Известия РАН. Серия физическая, 2021, T. 85, № 2, стр. 276-281

ВВЕДЕНИЕ

Интерферометрическая обработка [1–3] основана на когерентном накоплении спектральной интенсивности волнового поля вдоль локализованных полос интерференционной картины (интерферограммы) в переменных частота–время, формируемой широкополосным источником, которая далее подвергается двукратному преобразованию Фурье. На выходе интегрального преобразования спектральная плотность концентрируется в узкой полосе в форме фокальных пятен, обусловленных интерференцией мод различных номеров. В отличие от сигнала, накопление помехи вдоль полос интерферограммы не когерентно и распределено по всей области двукратного интегрального преобразования. Восстановление зашумленной интерферограммы достигается фильтрацией двумерной спектральной плотности сигнала с последующим применением к ней двукратного обратного преобразования Фурье. Преобразованную спектральную плотность интерферограммы назовем голограммой, а саму обработку – голографической интерферометрией, позволяющей выделять слабые сигналы на фоне интенсивной помехи. Регулярный характер интерференционной картины, позволяющей реализовать такую обработку, обусловлен волноводной дисперсией и многомодовым распространением звуковых волн.

Наиболее очевидным применением голографической интерферометрии является локализация малошумных источников [1–3]. На ее основе разработаны два адаптивных алгоритма интерферометрической обработки, которые решают проблему локализации малошумных источников в условиях, когда отсутствует априорная информация о передаточной функции океанической среды [4–6].

Другое представляющее интерес применение голографической интерферометрии связано с возможностью передачей неискаженной гидроакустической информации через случайно-неоднородную океаническую среду. Впервые данный эффект экспериментально обнаружен при прохождении широкополосного сигнала стационарной трассы, возмущенной интенсивными внутренними волнами (ИВВ), в эксперименте SWARM-95 [7, 8] и описан в работах [9, 10].

В настоящей работе на основе теоретического анализа и численного моделирования изучен механизм формирования интерферограммы и голограммы, когда ИВВ приводят к взаимодействию мод поля источника. Объяснен экспериментальный эффект [10] образования двух непересекающихся областей голограммы, обусловленных невозмущенным и рассеянным полями. Оценена погрешность восстановления интерферограммы невозмущенного поля.

ФОРМИРОВАНИЕ ГОЛОГРАММЫ В ПРИСУТСТВИИ ИВВ

Теоретическое обоснование избежания искажений информации при наличии гидродинамических возмущений опирается на возможность представления интерферограммы в виде линейной суперпозиции двух независимых интерферограмм, порожденных невозмущенным и рассеянным полями. Тогда, согласно свойству линейности двукратного преобразования Фурье, на голограмме формируются две неперекрывающиеся локализованные спектральные области. Одна из них, обусловленная невозмущенным полем, концентрируется в форме фокальных пятен преимущественно в направлении оси времени, а вторая, вызванная гидродинамическим возмущением, – в направлении оси частоты. Фильтрация этих областей позволяет разрешить голограммы невозмущенного и рассеянного полей. Применение к ним обратного двукратного преобразования Фурье дает возможность реконструировать их интерферограммы. Одна из них обусловлена интерференцией мод невозмущенной среды, другая – изменчивостью среды.

В условиях, когда моды нельзя считать независимыми, вариации показателя преломления инициируют обмен энергии между их комплексными амплитудами. Изменения фазы, определяющей вид локализованных полос интерферограммы, обусловлены изменениями как горизонтальных волновых чисел, так и амплитуд мод. Поправки фазы по отношению к невозмущенному значению можно определить методом малых возмущений, позволяющим описать слабую межмодовую трансформацию, характерную для океанических неоднородностей.

Для простоты ограничимся рассмотрением ИВВ в форме одиночного солитона, распространяющегося вдоль акустической трассы. Поправки комплексных амплитуд ${{A}_{m}}$ определяются из системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка для взаимодействующих мод

где ${{\xi }_{m}} = {{h}_{m}} + i{{{\gamma }}_{m}}$ – комплексное горизонтальное волновое число m-й моды, ${{{\delta }}_{{mn}}}$ – символ Кронекера, x – текущее горизонтальное расстояние между источником и приемником, t – время [11]. Далее невозмущенные значения величин обозначаются чертой сверху, а возмущенные – тильдой.

Коэффициенты взаимодействия мод равны

Здесь $\bar {k}_{0}^{2}$ – квадрат волнового числа на глубине $z = 0,$ ${{\bar {\psi }}_{m}}\left( z \right)$ – собственная функция m-й моды. Флуктуационная компонента квадрата показателя преломления записывается как

где Q ≈ 2.4 с²/м – константа, определяемая физическими свойствами воды; $N\left( z \right)$ – частота плавучести; $\Phi \left( z \right)$ – собственная функция первой гравитационной моды, нормированная на собственное значение на глубине приема, H – глубина волновода [12]. Вертикальные смещения водных слоев $\zeta \left( {x,t} \right),$ определяемые решением уравнения Кортевега–де Вриза, имеют вид

Здесь B и η – амплитуда и полуширина солитона на уровне 0.42 от максимума, u – скорость распространения.

Учитывая малость ${{\tilde {n}}^{2}}$ по отношению к ${{\bar {n}}^{2}},$ ${{\tilde {n}}^{2}} \ll {{\bar {n}}^{2}},$ результирующее поле p представим как

где ${{p}_{0}}$ – невозмущенное поле, удовлетворяющее волновому уравнению

с соответствующими граничными условиями при ${{\tilde {n}}^{2}}\left( {x,z,t} \right) = 0$, ${{p}_{s}}$ − рассеянное поле первого порядка относительно ${{\tilde {n}}^{2}}$. Запишем поля ${{p}_{{0,s}}}$ как сумму мод вида

Здесь ${{\Phi }_{m}}\left( {{\omega },~t} \right) = \int_0^{x\left( t \right)} {{{{\tilde {h}}}_{m}}} \left( {{\omega },~t} \right)dx{\kern 1pt} '$ − фаза m-моды рассеянного поля, ${{x}_{0}}$ − расстояние между источником и приемником. Поправки ${{\tilde {A}}_{m}}$ и ${{\tilde {h}}_{m}}$ определяются из решения системы уравнений (1). Цилиндрическое расхождение поля, модальное затухание, глубины источника ${{z}_{s}}$ и приемника ${{z}_{q}}$ формально учитываются амплитудной зависимостью мод.

Интерферограмма результирующего поля I = = |p|², согласно (5), равна

где звездочкой обозначена комплексно-сопряженная величина. Первое и четвертое слагаемые представляют собой интерферограммы невозмущенного и рассеянного полей, а второе и третье слагаемые − интерферограммы, вызванные произведением невозмущенного и рассеянного полей. Невозмущенное и рассеянное поля некогерентны, поэтому второе и третье слагаемые можно рассматривать как некий фон (среднее значение), снижающий контрастность результирующей интерферограммы.

Вычтем из интерферограммы I (9) среднее значение $\bar {\bar {I}}$, $\dddot I = I - \bar {\bar {I}}$. Тогда

Согласно (7), (8),

Здесь ${{\bar {h}}_{{mn}}} = {{\bar {h}}_{m}} - {{\bar {h}}_{n}},$ ${{\tilde {h}}_{{mn}}} = {{\tilde {h}}_{m}} - {{\tilde {h}}_{n}}{\kern 1pt} .$ Таким образом, при наличии возмущения интерферограмма представляет собой сумму интерферограмм невозмущенного и рассеянного полей.

Применим к интерферограмме $\dddot I\left( {{\omega },t} \right)$ (10) двукратное преобразование Фурье. В результате получаем сумму голограмм невозмущенного и рассеянного полей

Здесь $\mathop \nu \limits^\prime = 2{\pi }$ и τ − циклическая частота и время голограммы; $\Delta t$ − время наблюдения; ω_1, 2 = = ${{{\omega }}_{0}} \mp \left( {{{\Delta {\omega }} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta {\omega }} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)$, $\Delta {\omega }$ и ${{{\omega }}_{0}}$ − ширина и средняя частота спектра.

Используя подход при получении голограммы движущегося источника [1], для парциальной голограммы невозмущенного поля находим

где ${\alpha } = {{d{{{\bar {h}}}_{l}}\left( {{{{\omega }}_{0}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{d{{{\bar {h}}}_{l}}\left( {{{{\omega }}_{0}}} \right)} {dl}}} \right. \kern-0em} {dl}}$ = ${{\bar {h}}_{{l + 1}}}\left( {{{{\omega }}_{0}}} \right) - {{\bar {h}}_{l}}\left( {{{{\omega }}_{0}}} \right)$, l – номер моды, в окрестности которой моды синфазны. Введение величины α полезно при интерпретации голограммы. В действительности, $\left( {{{d{\alpha }} \mathord{\left/ {\vphantom {{d{\alpha }} {d{\omega }}}} \right. \kern-0em} {d{\omega }}}} \right)\left( {m - n} \right)$ = = $\left( {d{{{\bar {h}}}_{{mn}}}{{\left( {{{{\omega }}_{0}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{{{\omega }}_{0}}} \right)} {d{\omega }}}} \right. \kern-0em} {d{\omega }}}} \right)$.

Вычисление парциальной голограммы рассеянного поля (13) возможно лишь численными методами. Однако и без численного решения можно получить некоторые общие выводы относительно расположения на голограмме области локализации рассеянного поля. Положим, что в интерферограмме рассеянного поля (12) амплитуды ${{\tilde {A}}_{{m,n}}}$ медленно меняются с изменением частоты и времени по сравнению с “быстрым” экспоненциальным множителем. Тогда парциальную голограмму рассеянного поля можно представить как

Если в разности фаз ${{\Phi }_{{mn}}}\left( {{\omega },t} \right)$ = ${{\Phi }_{m}}\left( {{\omega },t} \right) - {{\Phi }_{n}}\left( {{\omega },t} \right)$ можно пренебречь изменениями частоты, то спектральная плотность рассеянного поля концентрируется вдоль оси частоты $\mathop \nu \limits^\prime $. Данный эффект ранее наблюдался в натурном эксперименте [10]. В противном случае, когда эту зависимость необходимо учитывать, спектральная плотность будет располагаться в узкой полосе под некоторым углом к оси частоты.

Таким образом, в присутствии ИВВ на голограмме реализуются две неперекрывающиеся области спектральной плотности невозмущенного и рассеянного полей. Применение к отфильтрованным спектральным плотностям обратных двукратных преобразований Фурье дает возможность реконструировать двумерные интерферограммы невозмущенного и рассеянного полей.

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Использовался невозмущенный горизонтально-однородный волновод, близкий по характеристикам экспериментальному каналу [7, 8]. Рассматривались два диапазона частот: $\Delta {{f}_{1}} = 100{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 120$ Гц и $\Delta {{f}_{2}} = 300{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 320$ Гц. Параметры жидкого поглощающего дна: отношение плотности грунта и воды ${\rho } = 1.8$; для первого диапазона частот комплексный показатель преломления $n = 0.84\left( {1 + i0.03} \right)$, для второго − $n = 0.84\left( {1 + i0.05} \right)$. Расстояние между неподвижными источником и приемником ${{x}_{0}} = 10$ км. Источник располагался на глубине ${{z}_{s}} = 12.5$ м, приемник − на глубине ${{z}_{q}} = 35$ м. Задавался равномерный спектр, импульсы регистрировались с периодичностью 5 с, дискретизация по частоте спектра принимаемого сигнала 0.25 Гц. Единичный солитон перемещался вдоль трассы в направлении от приемника к источнику. Параметры солитона: амплитуда $B = 15$ м, ширина $\eta = 150$ м, скорость $w = 0.7$ м/с. Время наблюдения $\Delta t = 20$ мин. Результаты моделирования приведены на рис. 1−4. С целью повышения контрастности и информативности на интерферограммах вырезаны средние значения.

На рис. 1 представлены интерферограммы и модули голограмм для невозмущенных полей, т.е. когда солитон располагался вне стационарной трассы. С точностью до постоянного множителя интерферограмма невозмущенного поля является передаточной функцией волновода.

Интерферограммы и модули голограмм для начального момента времени наблюдения, когда солитон удален на расстояние ${{x}_{*}} = 5$ км от источника, приведены на рис. 2. За время наблюдения $\Delta t = 20$ мин солитон прошел расстояние $\Delta x = 840$ м. На низких частотах, когда рассеяние на неоднородности мало, в результирующей интерферограмме преобладают вертикальные локализованные полосы (рис. 2а), характерные невозмущенному волноводу. С повышением частоты̀ эффекты рассеяния возрастают, усиливается вклад интерференции мод рассеянного поля, что приводит к формированию горизонтальных локализованных полос (рис. 2в). В результате интерференционная картина усложняется. На голограммах спектральные плотности невозмущенного и рассеянного полей в форме фокальных пятен сконцентрированы вдоль осей времени τ и частоты ν (рис. 2б, 2г). Вне этих пятен спектральная плотность практически подавлена. Механизм расположения фокальных пятен делает возможным восстановление интерферограмм невозмущенного и рассеянного полей.

Фильтрация спектральных плотностей голограмм невозмущенного поля, сосредоточенных вблизи оси времени, и их образ Фурье показаны на рис. 3. Интерферограммы и топография расположения локализованных областей на голограммах невозмущенных полей в отсутствие солитона и восстановленных близки между собой (см. рис. 1). Максимумы расположения фокальных пятен совпадают. Наиболее ярко близость их интерферограмм иллюстрирует рис. 4.

На рис. 4 приведены одномерные интерферограммы невозмущенных полей в отсутствие солитона на трассе (сплошная линия) и реконструированные (точки), когда солитон движется по трассе. Интерферограммы представляют собой горизонтальные сечения двумерных интерферограмм (рис. 1, 3). Погрешность восстановления интерферограмм оценивалась как

где число отсчетов $~J = 80$. Здесь ${{I}_{{1,2}}}$ − интерферограмма невозмущенного поля в отсутствие солитона и восстановленная при его наличии соответственно. Для ширины спектра $\Delta {{f}_{1}} = 100{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 120$ Гц ошибка $d = 0.014{\kern 1pt} ,$ для ширины спектра $\Delta {{f}_{2}} = 300{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 320$ Гц − $d = 0.074$. Различие между ошибками обусловлено эффектом рассеяния на неоднородности с увеличением частоты. На рис. 4 нормированные величины обозначены сверху значком “крышка”.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В условиях взаимодействия мод акустического поля источника, вызванного проявлением одиночного солитона, применяя голографическую интерферометрию, доказана возможность восстановления интерферограммы невозмущенного поля. Обработка основана на записи результирующей голограммы, формируемой невозмущенным и рассеянным полями, которая представляет собой непересекающиеся локализованные области спектральных плотностей, отвечающих отсутствию и наличию возмущения. Считывание этих областей путем обратного двукратного преобразования Фурье позволяет реконструировать интерферограмму невозмущенного поля с малыми искажениями.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 19-29-06075 и № 19-38-90326).