Известия РАН. Серия физическая, 2022, T. 86, № 11, стр. 1617-1621

ВВЕДЕНИЕ

Свойства спекл-полей оптического излучения нашли отражение в многочисленных монографиях и статьях. Определенное внимание исследователей привлекли так называемые фрактальные спекловые структуры. Такую структуру приобретают волны, отраженные от шероховатых плоскостей и прошедшие через гистологические срезы биологических тканей. Было установлено, что в первом случае по величине фрактальной размерности распределения интенсивности волны можно определять степень шероховатости отражающей поверхности [1], а во втором – оценивать предрасположенность ткани к появлению злокачественных образований [2]. Несмотря на многочисленные публикации, ряд вопросов, относящихся к свойствам фрактальных спеклов, остаются открытыми. Не ясно, как меняется фрактальная размерность спекловых пучков по мере их распространения в пространстве, требуют уточнения изменения свойств спеклов при переходе от релеевской статистики к нерелеевской. Последний вопрос весьма актуален, поскольку появились литературные свидетельства о том, что переход к нерелевской статистике значительно расширяет возможности практического использования спекловых полей (достижение сверхразрешения [3, 4], построение фантомных изображений [5]). Целью данной работы является построение оптико-физической модели для решения совокупности вышеперечисленных вопросов и анализ особенностей процессов формирования и распространения спекловых полей с разными статистическими и скейлинговыми характеристиками. Большое внимание уделено разработке и программной реализации вычислительных алгоритмов, обеспечивающих возможность варьирования в широких пределах статистических и фрактальных параметров спекловых пучков в начальной плоскости и на разных расстояниях от нее. Помимо решения чисто исследовательских задач, в значительной степени связанных с совершенствованием биомедицинских технологий, созданные алгоритмы могут оказаться весьма полезными при программировании работы пространственных модуляторов света. Такие модуляторы, получивших в последнее время большое распространение [6], позволяют формировать световые пучки с заданным фазовым профилем.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФРАКТАЛЬНЫХ СПЕКЛ-ПОЛЕЙ

Основная часть расчетов структуры световых полей проводились с использованием алгоритмов, основанных на фрактальных свойствах двумерной модификации функции Мандельброта–Вейерштрасса (МВ) [7], имеющей вид

Выражение (1) является результатом вращения поля, задаваемого одномерной функции МВ, относительно изначальной системы координат {xy}. Величина W определяет амплитуду поля, дискретные поперечные координаты 0 ⩽ x.y ⩽ K – 1 (K – целое число), D характеризует фрактальную размерность, s – масштабирующий параметр, b – коэффициент скейлинга; σ – нормировочный множитель; n – номер гармоники; υ – азимутальный индекс; ψ_{n, υ} – фазы гармоник и азимутальных парциальных волн; α – единичный угол поворота амплитудно-фазового распределения; k₁, k₂, η, ς – числовые параметры. Варьируя входящие в формулу (1) величины и параметры, можно в широких пределах изменять статистические и скейлинговые характеристики моделируемых двумерных фрактальных распределений, относящихся, в частности, к спеклоподобным световым полям с релеевской и нерелеевской статистикой.

АНАЛИЗ СТРУКТУРЫ ИЗЛУЧЕНИЯ

На рис. 1 показано распределение интенсивности I(x, y) = |W(x, y)|² с соответствующим графиком плотности вероятности интенсивности. Предполагалось, что σ = 0.3, D = 1.3, s = 0.4, b = 2, N = 6, V = 47, α = 2π/48, K = 127, ${{\psi }_{{n,\upsilon }}} = \frac{{2\pi rnd(n,\upsilon )}}{{(n,\upsilon + 1)}},$ η = (K + 1)/2, ς = 1, k₁ = k₂ = 1. Наличие в выражении (1) фактора e^iςαυ придает полю вихревой вид, характеризующийся наличием осевой винтовой дислокации.

График плотности вероятности P интенсивности генерируемой спекловой волны качественно отличается от поведения этой величины, относящейся к обычному развитому спекл-полю. В последнем случае график P подчинялся релеевской зависимости, при которой наиболее вероятным значением интенсивности было I = 0. Из рис. 1б следует, что при указанном наборе параметров наиболее вероятные значения интенсивности располагаются вблизи ее средней величины ❬I❭, т.е. статистика поля становится нерелеевской. Изменением значений параметров в выражении (1) можно было менять форму графика P. Так, при нулевом значении ς = 0 и сохранении всех других параметров статистика становилась релеевской.

Важно отметить, что независимо от вида статистики фрактальные и скейлинговых свойства излучения не претерпевали сколь-нибудь заметных изменений. Это подтверждает рис. 2. На нем изображены структура пространственного спектра распределения амплитуды нерелеевских спеклов (рис. 2а) и график структурной функции интенсивности (рис. 2б). При расчете пространственного спектра Ф использовался метод БПФ. Двумерную структуру спектра, показанную на рис. 2а, характеризовала система концентрических окружностей. Поскольку их радиусы отличались в два раза, спектр отражал скейлинговые свойства излучения, определяемые коэффициентом скейлинга b = 2. Такого рода самоподобная структура пучка создает предпосылки для более эффективной обработки оптических сигналов в коре головного мозга.

Дополнительным подтверждением наличия фрактальных свойств было поведение структурной функции распределения интенсивности. Она задавалась в виде [8]

где m – целое число. Исследовать поведение C_m в двойном логарифмическом масштабе удобно с помощью функции L_m = log₂C_m. По наклону графика этой функции можно определить параметр Херста H и фрактальную размерность D = 2 – H. Высокая степень линейности функции L_m свидетельствовала о четко выраженной локальной фрактальности исследуемых распределений. Фрактальная размерность, определяемая из построенной графической зависимости (рис. 2б), имела значение D = 1.38, весьма близкое задаваемому при использовании выражения (1).

Для оценки устойчивости фрактальных характеристик было рассмотрено распространение пучков со спекловой структурой в системах, обеспечивающих построение оптических изображений. Было установлено, что изображение спекловой структуры обладает фрактальной размерностью, близкой к размерности изначального поля. В промежуточных плоскостях, лежащих между предметной плоскостью и изображением, фрактальная размерность могла меняться в больших пределах.

ДИСЛОКАЦИИ В НЕРЕЛЕЕВСКИХ СПЕКЛ-ПОЛЯХ

В качестве дополнительного вопроса была рассмотрена динамика трансформации дислокационной структуры волнового фронта спекловых пучков при переходе от нерелеевской статистики к нерелеевской. Изначальная дислокационная структура была образована системой хаотически расположенных винтовых дислокаций. Была использована итерационная процедура Герцберга-Сэкстона (ГС), часто используемая для решения фазовой проблемы в оптике [4, 9]. Программная реализация расчетной схемы позволяла вносить необходимые изменения в форму целевого (требуемого) распределения плотности вероятности при оперативном контроле скейлинговых и статических параметров. Если задать изначальное распределение интенсивности и фазы поля, соответствующее релеевской, а целевому распределению плотности вероятности придать нерелеевский вид, то после 50 итераций по алгоритму ГС произойдет существенное изменение как структуры поля, так и плотности распределения вероятностей. Независимо от степени упорядоченности начальных распределений и расположения в них винтовых дислокаций в процессе преобразования происходит резкое уменьшение (в 4–5 раз) эффективной площади дислокационных образований. Это видно из рис. 3а и 3г, где контуры дислокаций, внутри которых интенсивность не превышает 10% от среднего значения, помечены зелеными линиями. Это позволяет при построении фазовых портретов световых пучков существенно повысить пространственное разрешение, значительно превысив его дифракционный предел. Процесс перехода к сверхразрешению иллюстрирует рис. 3.

При реализации эффекта сверхразрешения при обработке фазовых изображений способом ГС следует учитывать существование определенных ограничений на уменьшение эффективной площади дислокаций. В этом можно убедиться, используя описание явления Гиббса [10], характеризующего поведение волнового поля вблизи точки сингулярности. Результаты анализа этого явления показывают, что при ограниченном составе пространственных частот излучения минимальная площадь дислокаций будет непосредственно связана с размером рабочего поля, уменьшаясь при его расширении. В этом можно было убедиться при получении данных, показанных на рис. 3. Если количество итераций превышало значение 50, то для данного диапазона изменения поперечных координат уменьшить площади дислокаций не удавалось.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработан подход к моделированию фрактальных спекловых полей, допускающий варьирование в широких пределах скейлинговых и статистических параметров излучения. Это их свойство делает их весьма полезными для совершенствования методик, используемых в биомедицине.

Разработанные алгоритмы могут быть использованы для программного обеспечения работы пространственных модуляторов света, формирующих световые пучки с фрактальной структурой.

Показано, что в рамках используемой модели переход от релеевской статистики распределения интенсивности спеклов к нерелеевской не влияет на скейлинговые свойства световых пучков.

Применительно к системам, обеспечивающим построение оптических изображений, установлено, что изображение спекловой структуры обладает той же самой фрактальной размерностью, что и изначальное поле.

Эффект уменьшения размеров дислокаций волнового фронта в спекловых полях с нерелеевской статистикой указывает на возможность реализовать с его помощью пространственное сверхразрешение в фазовых изображениях.