Известия РАН. Серия физическая, 2022, T. 86, № 8, стр. 1091-1098

ВВЕДЕНИЕ

Известно, что ряд легких ядер могут быть представлены как состоящие из альфа-частиц (альфа-кластеров) и внешних (“валентных”) нуклонов [1, 2]. Структура ядер ⁹Be, ¹⁰Be, ¹⁰B, ¹⁰С, ¹¹B, ¹¹С как систем, состоящих из двух α-частиц и, соответственно, одного (2α + n), двух (2α + 2n, 2α + + n + p, 2α + 2p) и трех (2α + 2n+ p, 2α + n + 2p) нуклонов рассмотрена в работах [3, 4]. Было показано, что наиболее вероятной в ядре ⁹Be является конфигурация ядерной “молекулы” с нейтроном между α-частицами. В ядрах ¹⁰Be, ¹⁰B, ¹⁰С конфигурация ядерной “молекулы” с двумя нуклонами, образующими двухнуклонный кластер между α-частицами, обеспечивает большую устойчивость системы и большее значение энергии разделения ядра на α-частицы и нуклоны. Ядра ¹¹B, ¹¹С имеют аналогичную структуру с трехнуклонным кластером между двумя α-частицами. Добавление к ядру ¹⁰Be двух протонов приводит к существенному изменению структуры системы – ядро ¹²С может быть представлено как состоящее из трех α-частиц (α-кластеров) [5, 6]. В данной работе изучается структура основных состояния ядра ¹²С(3α) и соседних ядер ^{13, 14}C, ^13, 14N, ¹⁴O как систем из трех α-частиц и одного или двух нуклонов. Для решения квантовых задач трех, четырех и пяти тел использован метод фейнмановских континуальных интегралов [7–10]. Вычисление так называемого пропагатора ${{K}_{{\text{E}}}}\left( {q,\tau } \right)$ (континуального интеграла или интеграла по траекториям) в мнимом времени $t = - i\tau $ по схеме, изложенной в работе [11] с использованием параллельных вычислений [12] позволяет определить энергию ${{E}_{0}}$ и плотность вероятности ${{\left| {{{\Psi }_{0}}\left( q \right)} \right|}^{2}}$ для основного состояния системы, описываемой $s$-мерным вектором $q$ координат Якоби. Для этого используется асимптотика ${{K}_{{\text{E}}}}\left( {q,\tau } \right){\text{:}}$

где ${{E}_{n}}$ – энергия и ${{\left| {{{\Psi }_{n}}\left( q \right)} \right|}^{2}}$ – плотность вероятности для n-го возбужденного состояния системы. Расчеты, как и в работах [3, 4, 11], выполнялись в безразмерных переменных $\tilde {q} = {q \mathord{\left/ {\vphantom {q {{{x}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{x}_{0}}}},$ $\tilde {V} = {{V(q)} \mathord{\left/ {\vphantom {{V(q)} {{{\varepsilon }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\varepsilon }_{0}}}},$ ${{\tilde {E}}_{0}} = {{{{E}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{0}}} {{{\varepsilon }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\varepsilon }_{0}}}},$ $\tilde {m} = {m \mathord{\left/ {\vphantom {m {{{m}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{0}}}},$ $\tilde {\tau } = {\tau \mathord{\left/ {\vphantom {\tau {{{t}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{t}_{0}}}},$ $\Delta \tilde {\tau } = {{\Delta \tau } \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta \tau } {{{t}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{t}_{0}}}},$ ${{\tilde {K}}_{{\text{E}}}} = {{K}_{{\text{E}}}}x_{0}^{s}$, где ${{x}_{0}} = 1$ фм, ${{\varepsilon }_{0}} = 1$ МэВ, ${{m}_{0}}$ – масса нейтрона, ${{t}_{0}} = {{{{m}_{0}}x_{0}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{0}}x_{0}^{2}} \hbar }} \right. \kern-0em} \hbar } \approx 1.57 \cdot {{10}^{{ - 23}}}$ с, b₀ = ${{{{t}_{0}}{{\varepsilon }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{t}_{0}}{{\varepsilon }_{0}}} \hbar }} \right. \kern-0em} \hbar } \approx 0.02412.$ Энергия ${{\tilde {E}}_{0}}$ и плотность вероятности ${{\left| {{{\Psi }_{0}}(\tilde {q})} \right|}^{2}}$ определялись с помощью выражения справедливого в области линейной части графика зависимости пропагатора от $\tilde {\tau }.$ Сравнение теоретических значений энергии основного состояния системы α-частиц и нуклонов с экспериментальными значениями энергий разделения ряда атомных ядер на те же составляющие частицы позволяет уточнить свойства эффективных потенциалов взаимодействия частиц. Квадраты модуля ненормированных волновых функций основного состояния ${{\left| {{{\Psi }_{0}}(q)} \right|}^{2}},$ вычисленные по формуле могут быть использованы для определения структуры основных состояний рассматриваемых ядер, в частности, для сравнения вероятностей конфигураций с различным расположением частиц относительно друг друга. Как и в работах [3, 4, 11, 12] параллельные вычисления с использованием технологии CUDA [13–15], в основном, выполнялись на гетерогенном кластере HybriLIT [16] Лаборатории информационных технологий Объединенного института ядерных исследований.

ОСНОВНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДЕР ¹²C, ¹³C, ¹³N

Ядро ¹²С может быть представлено как состоящее из трех α-частиц (α-кластеров) [5, 6]. Для ядерной части взаимодействия α-частиц $V_{{\alpha - \alpha }}^{{({\text{N}})}}(r)$ в работах [3, 4] предложено выражение в виде суммы

функций типа Вудса−Саксона (фермиевского распределения)

Второе слагаемое в формуле (4) учитывает усредненное действие отталкивательного кора нуклон-нуклонного взаимодействия и следствия принцип Паули. Из-за отсутствия глубоких (“запрещенных”) уровней энергии выражение (4) можно назвать псевдопотенциалом (как и в теории металлов [17]), оно описывает поведение альфа-частиц при не очень малых расстояниях между их центрами. Выражение (4) сходно по структуре с четырехпараметрическим потенциалом Али–Бодмера [18]

но благодаря большему числу параметров может дать дополнительные возможности при сравнении теоретических энергий разделения ядер на альфа-частицы и нуклоны с экспериментальными данными. В расчетах для перечисленных ядер были использованы общие значения параметров потенциала (4) ${{U}_{{\alpha 1}}} = 30$ МэВ, ${{B}_{{\alpha 1}}} = 3.73$ фм ${{a}_{{\alpha 1}}} = {{a}_{{\alpha 2}}} = {{a}_{\alpha }} = 0.512$ фм, значения параметров ${{U}_{{\alpha 2}}},$ ${{B}_{{\alpha 2}}}$ несколько менялись от ядра к ядру, они приведены в табл. 1. Для кулоновской части $V_{{\alpha - \alpha }}^{{({\text{C}})}}(r)$ взаимодействия α-частиц использовано выражение с функцией (интегралом) ошибок ${\text{erf}}(x)$ из работы [18] где $\beta = 0.6$ фм^–1. Графики потенциалов взаимодействия α-кластеров ${{V}_{{\alpha - \alpha }}}(r) = V_{{\alpha - \alpha }}^{{({\text{N}})}}(r) + V_{{\alpha - \alpha }}^{{({\text{C}})}}(r),$ полученные для ядер ¹²С, ¹³С показаны на рис. 1a. График потенциала ${{V}_{{\alpha - \alpha }}}(r)$ для ядра ¹³N близок к графику для ядра ¹³С. Результаты расчетов пропагаторов ${{\tilde {K}}_{{\text{E}}}}$ для ядер ¹²С, ¹³С, ¹³N для интервалов $\tilde {\tau } = {\tau \mathord{\left/ {\vphantom {\tau {{{t}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{t}_{0}}}}{\kern 1pt} ,$ где выполнены условия линейности (2), показаны на рис. 1б, значения энергий разделения ядер на α-частицы и нуклоны приведены в табл. 1. Видно, что при выбранных значениях параметров потенциала (4) получено согласие с экспериментальными данными [19] для энергий разделения ядра ¹²С на три α-частицы и ядер ¹³С, ¹³N на три α-частицы и нуклон. Некоторое углубление потенциальной ямы на графике ${{V}_{{\alpha - \alpha }}}(r)$ (рис. 1а) при переходе от ядра ¹²С к ядрам ¹³С, ¹³N можно объяснить дополнительный поляризацией α-кластеров в ядрах ¹³С, ¹³N из-за взаимодействия с внешним нуклоном.

При расчетах для ядра ¹²С(3α) использовались координаты Якоби

Зависимость величины ${{\tilde {K}}_{{\text{E}}}}\left( {{{{\vec {\rho }}}_{1}},{{{\vec {\rho }}}_{2}};\tau } \right),$ при $\tilde {\tau } = {\tau \mathord{\left/ {\vphantom {\tau {{{t}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{t}_{0}}}} = 30$ пропорциональной квадрату модуля ненормированной волновой функции основного состояния ${{\left| {{{\Psi }_{0}}\left( {{{{\vec {\rho }}}_{1}},{{{\vec {\rho }}}_{2}}} \right)} \right|}^{2}},$ от ${{\rho }_{1}},$ ${{\rho }_{2}}$ при ${{\vec {\rho }}_{1}} \bot {{\vec {\rho }}_{2}},$ показана на рис. 2а вместе с рельефом потенциальной энергии системы ¹²С(3α). Видимое соответствие между областями определенных значений ${{\left| {{{\Psi }_{0}}\left( {{{{\vec {\rho }}}_{1}},{{{\vec {\rho }}}_{2}}} \right)} \right|}^{2}}$ и линиями уровня потенциальной энергии здесь и далее наглядно подтверждает достаточную точность расчетов. Узкий максимум функции ${{\tilde {K}}_{{\text{E}}}}\left( {{{\rho }_{1}},{{\rho }_{2}};\tau } \right)$ вблизи минимума потенциальной энергии соответствует наиболее вероятной конфигурации системы в форме правильного треугольника (см. рис. 2б). Расстояние между центрами α-частиц $x = \left| {{{{\vec {r}}}_{{{{\alpha }_{2}}}}} - {{{\vec {r}}}_{{{{\alpha }_{1}}}}}} \right| \approx 3$ фм, соответствует окрестности минимума потенциала ${{V}_{{\alpha - \alpha }}}(r)$ (рис. 1а). Вблизи вершин правильного треугольника располагаются максимумы плотности протяженных облаков (плотностей вероятности) из нуклонов, объединенных в α-кластеры. Покажем, что этот результат для распределения нуклонов близок к результату оболочечной модели деформированного ядра.

Известно, что ядро ¹²С деформировано c параметром квадрупольной деформации ${{\beta }_{2}}$ = –0.411 ± ± 0.226 [20]. Решение уравнения Шредингера с учетом спин-орбитального взаимодействия для двухкомпонентной спинорной волновой функции

в аксиально-симметричном поле может быть выполнено с использованием разложений по функциям Бесселя [21]. В оболочечной модели деформированного ядра с ${{\beta }_{2}} < 0$ 6 нейтронов и 6 протонов заселяют последовательно уровни с модулем $\left| {{{m}_{j}}} \right|$ проекции полного углового момента на ось симметрии ядра $\left| {{{m}_{j}}} \right| = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2},{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2},{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}$ (см., например, [19]). Полная плотность вероятности для 6 нейтронов показана на рис. 2в, для 6 протонов распределение плотности вероятности аналогично. Видно, что результаты для распределения нуклонной плотности согласуются с распределением плотности вероятности для конфигурации α-кластерных облаков вблизи вершин правильного треугольника, лежащего в плоскости перпендикулярной оси Oz при дополнительном усреднении по углам поворота треугольника вокруг Oz.

Ядра ¹³C и ¹³N представим состоящим из трех α-частиц и, соответственно, из нейтрона и протона. Псевдопотенциалы взаимодействия нейтрона и протона с α-частицей приведены в работах [3, 4]. При расчетах пропагатора использовались координаты Якоби

для ядра ¹³C (3α + n) и для ядра ¹³N (3α + p).

Величина ${{\tilde {K}}_{{\text{E}}}}\left( {{{{\vec {\rho }}}_{1}},{{{\vec {\rho }}}_{2}},{{{\vec {\rho }}}_{3}};\tau } \right),$ при $\tilde {\tau } = {\tau \mathord{\left/ {\vphantom {\tau {{{t}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{t}_{0}}}} = 35$ пропорциональная квадрату модуля ненормированной волновой функции основного состояния ${{\left| {{{\Psi }_{0}}\left( {{{{\vec {\rho }}}_{1}},{{{\vec {\rho }}}_{2}},{{{\vec {\rho }}}_{3}}} \right)} \right|}^{2}}$ ядра ¹³C(3α + n), от ${{\rho }_{1}},$ ${{\rho }_{3}}$ при ${{\vec {\rho }}_{1}} \bot {{\vec {\rho }}_{2}} \bot {{\vec {\rho }}_{3}},$ ${{\rho }_{2}} = {{\rho }_{1}}{{\sqrt 3 } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt 3 } 2}} \right. \kern-0em} 2},$ показана на рис. 2г и 3 вместе с рельефом потенциальной энергии системы. Узкий по ${{\rho }_{1}}$ и широкий по ${{\rho }_{3}}$ максимум функции ${{\tilde {K}}_{{\text{E}}}}\left( {{{\rho }_{1}},{{\rho }_{1}}{{\sqrt 3 } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt 3 } 2}} \right. \kern-0em} 2},{{\rho }_{3}};\tau } \right)$ вблизи минимума потенциальной энергии соответствует наиболее вероятной конфигурации системы с узкими облаками α-кластеров вблизи вершин правильного треугольника (как у ядра ¹²C) и протяженным нейтронным облаком с максимумом в центре треугольника (см. рис. 2б и рис. 3). Свойства функции ${{\tilde {K}}_{{\text{E}}}}\left( {{{\rho }_{1}},{{\rho }_{1}}{{\sqrt 3 } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt 3 } 2}} \right. \kern-0em} 2},{{\rho }_{3}};\tau } \right)$ для ядра ¹³N(3α + p) аналогичны свойствам для ядра ¹³C(3α + n), причем протяженность протонного облака несколько больше, чем для ядра ¹³С из-за кулоновского отталкивания всех частиц системы. Представленная на рис. 2д модель положений частиц, соответствующих максимуму плотности вероятности ${{\left| {{{\Psi }_{0}}} \right|}^{2}}$ основного состояния, согласуется с представлениями о форме ядер ¹³С и ³N как о ядерных молекулах, состоящих из трех α-частиц (α-кластеров) и облака внешнего нуклона вблизи центра молекулы.

В обобщенной модели можно считать, что ядро ¹³С состоит из деформированного остова {¹²С} с отрицательным параметром деформации ${{\beta }_{2}} < 0$ и внешнего нейтрона. В оболочечной модели деформированного ядра при ${{\beta }_{2}} = - 0.4$ внешний нейтрон занимает состояние с $\left| {{{m}_{j}}} \right| = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2},$ это соответствует экспериментальному значению спина ядра ¹³С $J = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}.$ Плотность вероятности для внешнего нейтрона ядра ¹³C в состоянии с $\left| {{{m}_{j}}} \right| = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2},$ показана на рис. 2е. Видно, что эти результаты для распределения нуклонной плотности согласуются с зависимостью распределения плотности вероятности от положения внешнего нейтрона, полученного для системы четырех тел (3α + n). Полное распределение нейтронов ядра ¹³С с учетом рис. 2в и 2е близко к сферическому.

ОСНОВНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДЕР ¹⁴C, ¹⁴N и ¹⁴O

Ядра ¹⁴C, ¹⁴N и ¹⁴O представим состоящими из трех α-кластеров и двух нуклонов: двух нейтронов для ¹⁴C, нейтрона и протона для ¹⁴N, двух протонов для ¹⁴O. Для указанных ядер использовались сходные координаты Якоби, приведем их для ядра ¹⁴C (системы 3α + 2n)

Для описания взаимодействия между протоном и нейтроном в ядре ¹⁴N использован триплетный потенциал $V_{{p - n}}^{{({{1}^{ + }})}}(r)$ взаимодействия протона с нейтроном, имеющий место в дейтроне [3, 4]. Экспериментальное значение спина нечетно-нечетного ядра ¹⁴N $J = 1$ соответствует результату оболочечной модели, оно получается при сложении параллельных моментов протона и нейтрона с проекциями моментов ${{m}_{j}} = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2},$ аналогичного сложению моментов нуклонов в дейтроне. Для взаимодействия между нейтронами в ядре ¹⁴C и протонами в ядре ¹⁴O использовались синглетные потенциалы $V_{{n - n}}^{{({{0}^{ + }})}}(r)$ и $V_{{p - p}}^{{({{0}^{ + }})}}(r),$ соответственно [3, 4].

Результаты расчетов пропагатора ${{\tilde {K}}_{{\text{E}}}}\left( {{{{\vec {\rho }}}_{1}},{{{\vec {\rho }}}_{2}},{{{\vec {\rho }}}_{3}},{{{\vec {\rho }}}_{4}};\tau } \right)$ для ядер ¹⁴C, ¹⁴N и ¹⁴O показаны на рис. 1б, значения энергий разделения ядер на α-частицы и нуклоны и значения параметров ${{U}_{{\alpha 2}}},$ ${{B}_{{\alpha 2}}}$ потенциала ${{V}_{{\alpha - \alpha }}}(r)$ приведены в табл. 1. Видно, что при выбранных значениях параметров потенциала (4) получено согласие с экспериментальными данными [19] для энергий разделения ядер ¹⁴C, ¹⁴N и ¹⁴O на три α-частицы и нуклоны.

График потенциала взаимодействия α-частиц ${{V}_{{\alpha - \alpha }}}(r),$ полученного для ядра ¹⁴С, показан на рис. 1a. Графики потенциала ${{V}_{{\alpha - \alpha }}}(r)$ для ядер ¹⁴N, ¹⁴O близки к графику для ядра ¹⁴С. Дополнительное углубление потенциальной ямы на графике ${{V}_{{\alpha - \alpha }}}(r)$ (рис. 1а) при переходе от ядер ¹³С, ¹³N к ядрам ¹⁴C, ¹⁴N и ¹⁴O можно объяснить усилением поляризации α-кластеров в ядрах ¹⁴C, ¹⁴N, ¹⁴O из-за взаимодействия с двумя внешними нуклонами.

Зависимость величины ${{\tilde {K}}_{{\text{E}}}}\left( {{{{\vec {\rho }}}_{1}},{{{\vec {\rho }}}_{2}},{{{\vec {\rho }}}_{3}},{{{\vec {\rho }}}_{4}};\tau } \right),$ при ${\tau \mathord{\left/ {\vphantom {\tau {{{t}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{t}_{0}}}} = 10$ пропорциональной квадрату модуля ненормированной волновой функции основного состояния ${{\left| {{{\Psi }_{0}}\left( {{{{\vec {\rho }}}_{1}},{{{\vec {\rho }}}_{2}},{{{\vec {\rho }}}_{3}},{{{\vec {\rho }}}_{4}}} \right)} \right|}^{2}}$ ядер ¹³C(3α + n), ¹⁴N(3α + n+ p), ¹⁴O(3α + 2p) показана на рис. 4 вместе с рельефом потенциальных энергий систем. Вероятности конфигураций с расположением α-частиц в вершинах правильного треугольника со стороной ${{\rho }_{1}}$ и высотой ${{\rho }_{2}} = {{\rho }_{1}}{{\sqrt 3 } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt 3 } 2}} \right. \kern-0em} 2}$ и симметричным расположением нуклонов на оси симметрии треугольника с межнуклонным расстоянием ${{\rho }_{3}}$ показаны на рис. 4а, 4в и 4д. Вероятности конфигураций с расположением α-частиц в вершинах правильного треугольника со стороной ${{\rho }_{1}} = 3$ фм и симметричным относительно оси симметрии треугольника расположением нуклонов на расстоянии ${{\rho }_{3}}$ друг от друга в плоскости, параллельной плоскости треугольника с межплоскостным расстоянием ${{\rho }_{4}}$ показаны на рис. 4б, 4г и 4е. Для обеих рассмотренных конфигураций ядра ¹⁴N наиболее вероятно близкое расположение нейтрона и протона, соответствующее их объединению в дейтонный кластер, локализованный вблизи центра треугольника из α-частиц. Такая картина сходна с образованием дейтонного кластера в ядрах ¹⁰B(2α + p + n) [4] и ⁶Li(α + p + n) [22]. Динейтронный кластер в ядре ¹⁴C также с наибольшей вероятностью находится центра треугольника из α-частиц, но является более протяженным и, следовательно, менее связанным, как и в ядрах ⁶He(α + 2n) [11] и ¹⁰Be(2α + 2n) [4]. При этом достаточно большую вероятность имеет и расположение нейтронов на больших удалениях друг от друга. Распределение протонов в ядре ¹⁴O еще более протяженное, поэтому существование дипротонного кластера в нем маловероятно, как и в ядре ¹⁰C(2α + 2p) [4].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В альфа-кластерной модели установлена пространственная структура основного состояния ядер ^{13, 14}C, ^{13, 14}N, ¹⁴O. Наиболее вероятными являются конфигурации частиц с расположением альфа-кластерных облаков вблизи вершин правильного треугольника и облаков внешних нуклонов над и под плоскостью треугольника вблизи его центра. Показано, что в ядре ¹⁴N наиболее вероятно расположение внешних протона и нейтрона в форме компактного дейтонного кластера. Для ядра ¹⁴C показано, что аналогичный динейтронный кластер является более протяженным, достаточно большую вероятность имеет и расположение нейтронов на больших удалениях друг от друга.

Предложенный поход к расчетам характеристик основного состояния ядер ^{13, 14}C, ^{13, 14}N, ¹⁴O может служить полезным дополнением к существующим более сложным теоретическим методам. Он позволяет достаточно просто определить зависимость энергии основного состояния от параметров потенциалов и вероятности различных конфигураций составляющих систему частиц.

Автор выражает благодарность команде гетерогенного кластера Лаборатории информационных технологий ОИЯИ за содействие выполнению трудоемких компьютерных расчетов.