Космические исследования, 2020, T. 58, № 4, стр. 312-320

Универсальное свойство интеграла Якоби для гравитационных маневров в Солнечной системе

Ю. Ф. Голубев^1, *, А. В. Грушевский¹, В. В. Корянов¹, А. Г. Тучин¹, Д. А. Тучин¹

¹ Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН
г. Москва, Россия

Поступила в редакцию 21.05.2019
После доработки 21.05.2019
Принята к публикации 04.07.2019

DOI: 10.31857/S0023420620040068

Аннотация

В работе показано, что стандартный и громоздкий способ традиционного обоснования постоянства асимптотической скорости при гравитационных маневрах в модели круговой ограниченной задачи трех тел (ОЗТТ), применяемый в современной астродинамике, может быть значительно упрощен. Представлены уточняющие формы интеграла Якоби, которые позволяют, помимо прочего, выявить прозрачную взаимосвязь интеграла Якоби и метода сопряженных конических сечений в ОЗТТ.

ВВЕДЕНИЕ

Проектирование современных космических миссий к телам Солнечной системы предполагает использование гравитационных маневров [2, 3, 9, 15, 19]. Применение гравитационных маневров уменьшает расход характеристической скорости космического аппарата и обеспечивает тем самым возможность решения современных комплексных задач изучения космоса.

Каждый гравитационный маневр (GAM – Gravity Assists Maneuver) можно рассматривать как составной элемент ограниченной задачи трех тел (ОЗТТ), поскольку, по определению, он предполагает прохождение пробной частицей (КА, кометой, астероидом) сферы действия “малого тела” (планеты, спутника планеты, малого тела Солнечной системы). В рамках Метода сопряженных Конических Сечений (МсКС) КА пролетает сферу действия планеты по планетоцентрической гиперболе, а вне ее – движется по гелиоцентрическому коническому сечению (кеплеровой дуге). Время гиперболического прохождения сферы действия планеты считается пренебрежимо малым по сравнению со временем пролета гелиоцентрической дуги. Модули скорости КА относительно малого тела (планеты) при пересечении границ ее сферы действия приблизительно равны величине асимптотической скорости КА ${{V}_{\infty }}$ для планетоцентрической гиперболы.

В дальнейшем полученное с использованием МсКС решение используется в качестве первого приближения для последующего уточнения в соответствии с полной эфемеридной моделью движения небесных тел.

Таким образом, при поиске приближенного решения задачи перелета в рамках модели ОЗТТ с использованием МсКС требуется вычисление “передаточного параметра” ${{V}_{\infty }}$ в условиях проведения GAM – при переключении на границах сфер действия малых тел с гелиоцентрических дуг на планетоцентрические участки и обратно.

В рамках ОЗТТ имеет место сохранение (инвариантность) величины ${{V}_{\infty }}$ асимптотической скорости КА относительно “малого тела” – “планеты” – при неоднократном совершении около нее GAM [16], сохраняющих постоянную интеграла Якоби. В МсКС, являющейся, по сути, аппроксимацией ОЗТТ с помощью последовательной склейки нескольких задач двух тел “текущий центр притяжения – пробная частица” с сингулярным переключением с одной на другую, указанное свойство, вообще говоря, очевидно в силу симметрии пролетной планетоцентрической гиперболы на одиночном гравитационном маневре (GAM). Вместе с тем при активном маневрировании КА вне сферы действия малой планеты постоянная интеграла Якоби может изменяться.

В рамках круговой ОЗТТ, с использованием ее интеграла Якоби $J$, возможно аналитическое вычисление ${{V}_{\infty }}$ с помощью универсального свойства этого интеграла для серии GAM: ${\text{const}} = J \approx 3 - V_{\infty }^{2}$ (в обезразмеренном через орбитальную скорость планеты виде). Вывод этого свойства осуществляется в астродинамике достаточно громоздким способом [7, 9, 16]: от канонической записи интеграла Якоби в синодической системе координат $J$ необходимо совершить переход к сидерической системе координат и его приближенной модификации при его записи через орбитальные оскулирующие элементы, которая становится идентичной параметру Тиссерана ${{T}_{{{\text{Ti}}}}}$. Далее используются достаточно громоздкие геометрические соображения (которые будут приведены в этой работе в Приложении I), позволяющие, тем не менее, приближенно получить универсальное свойство интеграла Якоби для серии GAM в круговой ОЗТТ через связь интеграла Якоби, параметра Тиссерана и величины асимптотической скорости КА в виде: ${\text{const}} = J \approx {{T}_{{{\text{Ti}}}}} \approx 3 - V_{\infty }^{2}$.

В настоящей работе предлагается более короткий метод получения указанного универсального свойства интеграла Якоби и представлены уточняющие формы интеграла Якоби, которые позволяют, помимо прочего, выявить внятную взаимосвязь интеграла Якоби и МсКС в круговой ОЗТТ.

1. КРУГОВАЯ ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ

В рамках круговой ОЗТТ рассматриваются центральное тело с гравитационным параметром ${{\mu }_{1}}$, малое тело с гравитационным параметром ${{\mu }_{2}} < {{\mu }_{1}}$ и пробная частица бесконечно малой массы (КА). Предполагается, что центральное и малое тела взаимодействуют по закону Всемирного тяготения и вращаются вокруг барицентра с одинаковыми угловыми скоростями. Вводится вращающаяся (синодическая) барицентрическая система координат $BXYZ$, где ось $BX$ проходит через центральное и малое тело и направлена в сторону малого тела, ось $BY$ перпендикулярна к оси $BX$ и сонаправлена относительной скорости малого тела, ось $BZ$ дополняет их до правоориентированного репера. Пусть ${{a}_{p}}$ – расстояние между центральным и малым телами, $n = \sqrt {{{\left( {{{\mu }_{1}} + {{\mu }_{2}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{{\mu }_{1}} + {{\mu }_{2}}} \right)} {a_{p}^{3}}}} \right. \kern-0em} {a_{p}^{3}}}} $ – угловая скорость вращения системы $BXYZ$, ${{\tilde {R}}_{1}},{{\tilde {R}}_{2}}$ – расстояния от пробной частицы (КА) до центрального и малого тел соответственно, ${{\tilde {V}}_{{sc\_rot}}}$ – скорость пробной частицы (КА) относительно вращающейся системы координат $BXYZ$. Пробная частица не влияет на движения центрального и малого тел, но сама притягивается к ним по закону Ньютона. При переходе к безразмерному времени $\tau = n{\text{ }}t$, безразмерным координатам КА $X,Y,Z$ и расстояниям ${{r}_{1}},{{r}_{2}}$ от КА до центрального и малого тел, нормированным по ${{a}_{p}}$, безразмерная скорость $V$ пробной частицы (КА) во вращающейся системе координат $BXYZ$ запишется как $V = \frac{{{{{\tilde {V}}}_{{{\text{sc\_rot}}}}}}}{{{{{\tilde {V}}}_{p}}}}$, где ${{\tilde {V}}_{p}}$ – средняя орбитальная скорость планеты относительно центрального тела:

${{\tilde {V}}_{p}} = \sqrt {{{\left( {{{\mu }_{1}} + {{\mu }_{2}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{{\mu }_{1}} + {{\mu }_{2}}} \right)} {{{a}_{p}}}}} \right. \kern-0em} {{{a}_{p}}}}} = n{{a}_{p}}.$

Интеграл Якоби J является обобщенным интегралом энергии [4], учитывающим действие центробежных сил, и единственным интегралом в круговой ОЗТТ [7, 17]. При этом не сохраняются ни энергия системы в обычном понимании, ни ее кинетический момент.

Выпишем выражения интеграла Якоби для ограниченной круговой задачи трех тел (в синодической и сидерической системах координат, в размерной и безразмерной форме).

2. ИНТЕГРАЛ ЯКОБИ

Интеграл Якоби $\tilde {J}$ для пробной частицы (КА) в синодической системе координат $BXYZ$ можно записать в виде [7, 13, 17]:

$\begin{gathered} \tilde {J} = 2\tilde {U} - \tilde {V}_{{sc\_rot}}^{2} = {{n}^{2}}({{{\tilde {X}}}^{2}} + {{{\tilde {Y}}}^{2}}) + \\ + \,\,2\frac{{{{\mu }_{1}}}}{{{{{\tilde {R}}}_{1}}}} + 2\frac{{{{\mu }_{2}}}}{{{{{\tilde {R}}}_{2}}}} - \tilde {V}_{{sc\_rot}}^{2}, \\ \end{gathered} $

где $\tilde {J}$ – размерная константа интеграла Якоби, $\tilde {X},\tilde {Y}$ – координаты частицы.

В сидерической (инерциальной) системе координат $B\xi \eta \zeta $, для которой ось $B\zeta $ сонаправлена с осью $BZ$, с учетом того, что по теореме сложения скоростей [4]

(1)

$\begin{gathered} {{{\tilde {V}}}^{2}} = {{{\dot {\tilde {X}}}}^{2}} + {{{\dot {\tilde {Y}}}}^{2}} + {{{\dot {\tilde {Z}}}}^{2}} = {{{\tilde {v}}}^{2}} + {{n}^{2}}({{{\tilde {\xi }}}^{2}} + {{{\tilde {\eta }}}^{2}}) - \\ - \,\,2n(\tilde {\xi }\dot {\tilde {\eta }} - \tilde {\eta }\dot {\tilde {\xi }}),\,\,\,\,{{{\bar {X}}}^{2}} + {{{\bar {Y}}}^{2}} = {{{\bar {\xi }}}^{2}} + {{{\bar {\eta }}}^{2}}, \\ \end{gathered} $

где $\tilde {v}$ – абсолютная скорость КА, тот же интеграл можно представить в виде

$\tilde {J} = 2n(\tilde {\xi }\dot {\tilde {\eta }} - \tilde {\eta }\dot {\tilde {\xi }}) + 2\frac{{{{\mu }_{1}}}}{{{{{\tilde {R}}}_{1}}}} - 2\frac{{{{\mu }_{2}}}}{{{{{\tilde {R}}}_{2}}}} - {{\tilde {v}}^{2}}.$

В безразмерном виде обе формы интеграла Якоби соответственно примут вид

(2)

$J = ({{X}^{2}} + {{Y}^{2}}) + 2\frac{{1 - \mu }}{{{{r}_{1}}}} + 2\frac{\mu }{{{{r}_{2}}}} - {{V}^{2}},$

(3)

$J = 2(\xi \dot {\eta } - \eta \dot {\xi }) + 2\frac{{1 - \mu }}{{{{r}_{1}}}} + 2\frac{\mu }{{{{r}_{2}}}} - {{v}^{2}},$

где $\mu = {{{{\mu }_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\mu }_{2}}} {({{\mu }_{1}} + {{\mu }_{2}})}}} \right. \kern-0em} {({{\mu }_{1}} + {{\mu }_{2}})}} \leqslant 1.$ В том случае, когда ${{\mu }_{2}}$ – гравитационный параметр какой-нибудь планеты и ${{\mu }_{1}}$ – гравитационный параметр Солнца, будем иметь $\mu \ll 1$. Обе формулы (2) и (3) эквивалентны. При анализе свойств движения КА глубоко в сфере действия малого тела удобно пользоваться формулой (2), а при анализе движения глубоко в сфере действия центрального тела полезные результаты поможет получить формула (3).

3. ДВИЖЕНИЕ В СФЕРЕ ДЕЙСТВИЯ МАЛОГО ТЕЛА

Обозначим $\chi = X - (1 - \mu )$ и предположим, что ${{r}_{2}} = \sqrt {{{\chi }^{2}} + {{Y}^{2}} + {{Z}^{2}}} \leqslant \varepsilon \ll 1$. Тогда

${{X}^{2}} + {{Y}^{2}} = {{(1 - \mu )}^{2}} + 2(1 - \mu )\chi + {{\chi }^{2}} + {{Y}^{2}},$

$\begin{gathered} 2\frac{{1 - \mu }}{{{{r}_{1}}}} = 2\frac{{1 - \mu }}{{\sqrt {{{{(1 + \chi )}}^{2}} + {{Y}^{2}} + {{Z}^{2}}} }} \approx \\ \approx 2(1 - \mu )\left( {1 - \chi - \frac{{{{\chi }^{2}} + {{Y}^{2}} + {{Z}^{2}}}}{2} + \frac{3}{2}{{\chi }^{2}}} \right). \\ \end{gathered} $

Здесь приближение выполнено с точностью до членов третьего порядка малости по $\chi $, $Y$, $Z$. С помощью приведенных соотношений формулу (2) можно приближенно представить в виде

(4)

$\begin{gathered} J \approx (1 - \mu )(3 - \mu ) + (3 - 2\mu ){{\chi }^{2}} + \mu {{Y}^{2}} - \\ - \,\,(1 - \mu ){{Z}^{2}} - 2{{h}_{2}},\,\,\,\,{{h}_{2}} = \frac{{{{V}^{2}}}}{2} - \frac{\mu }{{{{r}_{2}}}}. \\ \end{gathered} $

Величина ${{h}_{2}}$ представляет собой полную энергию системы двух тел, одно из которых КА, а другое есть малое тело ОЗТТ. Если принять, что величина $\mu \leqslant \varepsilon $ есть малая первого прядка, то формула (4) упрощается:

(5)

$J \approx (1 - \mu )(3 - \mu ) + 3{{\chi }^{2}} - {{Z}^{2}} - 2{{h}_{2}},$

откуда

(6)

$2{{h}_{2}} \approx (1 - \mu )(3 - \mu ) + 3{{\chi }^{2}} - {{Z}^{2}} - J.$

Видим, что ${{h}_{2}}$ меняется, в основном, из-за ${{\chi }^{2}}$ и ${{Z}^{2}}$, а если движение происходит в плоскости $BXY$, то, с точностью до величин третьего порядка малости, энергия ${{h}_{2}}$ будет зависеть только от ${{\chi }^{2}}$.

Энергия ${{h}_{2}}$ соответствует оскулирующей орбите КА относительно малого тела. Если из формулы (6) получится, что ${{h}_{2}} < 0$, то указанная оскулирующая орбита будет эллипсом с большой полуосью ${{a}_{2}} = {{ - \mu } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - \mu } {(2{{h}_{2}})}}} \right. \kern-0em} {(2{{h}_{2}})}}$. Известно [2], что безразмерный радиус ${{\rho }_{2}}$ сферы действия планеты выражается формулой ${{\rho }_{2}} = {{\left( {\frac{\mu }{{1 - \mu }}} \right)}^{{\frac{2}{5}}}}$, а сама сфера действия для планет Солнечной системы лежит внутри сферы Хилла. Таким образом, если окажется, что ${{а}_{2}} \leqslant {{\rho }_{2}} - 4{{\varepsilon }^{2}}$, то пассивный КА навсегда останется спутником малого тела – планеты.

В том случае, когда из формулы (5) следует, что ${{h}_{2}} \geqslant 0$, оскулирующая траектория КА в окрестности планеты представляет собой параболу или гиперболу, и КА гарантированно покидает сферу действия планеты через конечное время. Тогда величина $2{{h}_{2}} = V_{\infty }^{2} \geqslant 0$ есть квадрат асимптотической скорости на бесконечности, которую в задаче двух тел приобретет КА при неограниченном удалении от планеты. Формулу (6) можно тогда переписать в виде

(7)

$V_{\infty }^{2} \approx (1 - \mu )(3 - \mu ) + 3{{\chi }^{2}} - {{Z}^{2}} - J,$

а приближенное выражение для интеграла Якоби – следующим образом

(8)

$J \approx (1 - \mu )(3 - \mu ) + 3{{\chi }^{2}} - {{Z}^{2}} - V_{\infty }^{2}.$

Следовательно, для того чтобы в окрестности планеты получить гиперболическую траекторию, лежащую в плоскости эклиптики, достаточно обеспечить значение постоянной интеграла Якоби, удовлетворяющее неравенству

(9)

$J \leqslant (1 - \mu )(3 - \mu ) - {{\varepsilon }^{2}}.$

Если траектория пересекает плоскость $BXY$, то в точке пересечения координата $Z$ пропадает, а если эта точка служит перицентром орбиты КА, то для нее $\chi = {{\rho }_{\pi }}$. Тогда формула (8) принимает вид:

(10)

$J \approx (1 - \mu )(3 - \mu ) + 3\rho _{\pi }^{2} - V_{\infty }^{2}.$

4. ДВИЖЕНИЕ В СФЕРЕ ДЕЙСТВИЯ ЦЕНТРАЛЬНОГО ТЕЛА

Обозначим $\sigma = X + \mu $. Будем считать, что ${{r}_{1}} = \sqrt {{{\sigma }^{2}} + {{Y}^{2}} + {{Z}^{2}}} \leqslant \varepsilon \ll 1$. Тогда

${{X}^{2}} + {{Y}^{2}} = {{\mu }^{2}} - 2\mu \sigma + {{\sigma }^{2}} + {{Y}^{2}},$

$\begin{gathered} 2\frac{\mu }{{{{r}_{2}}}} = \frac{{2\mu }}{{\sqrt {{{{(1 - \sigma )}}^{2}} + {{Y}^{2}} + {{Z}^{2}}} }} \approx \\ \approx 2\mu \left( {1 + \sigma - \frac{{{{\sigma }^{2}} + {{Y}^{2}} + {{Z}^{2}}}}{2} + \frac{3}{2}{{\sigma }^{2}}} \right). \\ \end{gathered} $

Здесь приближение выполнено с точностью до членов третьего порядка малости по $\sigma $, $Y$, $Z$. С помощью приведенных соотношений формулу (2) можно приближенно представить в виде

(11)

$\begin{gathered} J \approx \mu (\mu + 2) + (1 + 2\mu ){{\sigma }^{2}} + (1 - \mu ){{Y}^{2}} - \\ - \,\,\mu {{Z}^{2}} - 2{{h}_{1}},\,\,\,\,{{h}_{1}} = \frac{{{{V}^{2}}}}{2} - \frac{{1 - \mu }}{{{{r}_{1}}}}. \\ \end{gathered} $

Здесь величина ${{h}_{1}}$ представляет собой полную энергию системы двух тел, одно из которых КА, а другое есть центральное тело ОЗТТ. Если принять, что величина $\mu \leqslant \varepsilon $ есть малая первого порядка, то формула (11) упрощается:

(12)

$J \approx \mu (\mu + 2) + {{\sigma }^{2}} + {{Y}^{2}} - 2{{h}_{1}}.$

Видим, что с точностью до величин третьего порядка малости, в выражении интеграла Якоби влияние тяготения малого тела (планеты) сказывается лишь как постоянная добавка $2\mu $, а величина $({{\sigma }^{2}} + {{Y}^{2}})$ отражает влияние центробежной силы, как если бы начало вращающейся системы координат было смещено в середину $C$ центрального тела, причем точка $C$ остается неподвижной. Слагаемое ${{\mu }^{2}}$ вносит постоянную поправку на перенос начала синодической системы координат. При этом сидерическая (инерциальная) система координат превращается в неинерциальную систему координат Кенига $Cxyz$ [4] из-за того, что центральное тело испытывает центробежное ускорение, при вращении вокруг барицентра. Ось $Cz$ параллельна оси $BZ$. При вращении системы $BXYZ$ вокруг неподвижной оси $Cz$ справедливы формулы, аналогичные (1):

$\begin{gathered} {{V}^{2}} = {{v}^{2}} + ({{x}^{2}} + {{y}^{2}}) - 2(x\dot {y} - y\dot {x}), \\ {{\sigma }^{2}} + {{Y}^{2}} = {{x}^{2}} + {{y}^{2}}, \\ \end{gathered} $

где $v$ – безразмерная скорость КА относительно системы $Cxyz$. Таким образом, в кениговой системе координат с началом $C$ в центральном теле интеграл Якоби можно представить в виде

$J \approx \mu (\mu + 2) + 2{{с}_{p}} - 2{{h}_{1}},\,\,\,\,{{с}_{p}} = x\dot {y} - y\dot {x}.$

По смыслу величина ${{c}_{p}}$ есть проекция на плоскость вращения планет (плоскость эклиптики) удвоенной площади, заметаемой радиус-вектором КА с началом в центральном теле.

Из сказанного следует, что ОЗТТ в системе координат $Cxyz$ интерпретируется с точностью до малых третьего порядка, как задача движения КА под действием единственной ньютоновой силы притяжения космического аппарата к центральному телу. Для такой задачи величина ${{h}_{1}}$ остается постоянной, орбита будет плоской и в общем случае она будет наклонена к плоскости $Cxy$ под углом $i$. Будет справедлив также интеграл площадей $с = \left| {{{{\mathbf{r}}}_{1}} \times {\mathbf{v}}} \right|,$ где ${{{\mathbf{r}}}_{1}}$ – радиус-вектор КА, а ${\mathbf{v}}$ – его скорость в системе координат $Cxyz$. Следовательно, в правой части формулы (13) стоит комбинация постоянных задачи двух тел, которая и определяет приближенное значение константы интеграла Якоби в ОЗТТ:

(14)

$J \approx \mu (\mu + 2) + {{T}_{{{\text{Ti}}}}},$

где

(15)

${{T}_{{{\text{Ti}}}}} = 2с\cos i - 2{{h}_{1}}$

есть параметр Тиссерана [20].

В том случае, когда ${{h}_{1}} < 0$, орбита КА в сфере действия центрального тела будет представлять собой эллипс с большой полуосью ${{a}_{1}} = {{ - (1 - \mu )} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - (1 - \mu )} {(2{{h}_{2}})}}} \right. \kern-0em} {(2{{h}_{2}})}}$. Параметр Тиссерана для эллиптических орбит в окрестности центрального тела принимает вид [20]

(16а)

$\begin{gathered} {{T}_{{{\text{Ti}}}}} = 2с\cos i - 2{{h}_{1}} = \frac{{1 - \mu }}{{{{a}_{1}}}} + \\ + \,\,2\sqrt {(1 - \mu ){{a}_{1}}(1 - e_{1}^{2})} \cos i, \\ \end{gathered} $

где ${{e}_{1}}$ – эксцентриситет орбиты КА в окрестности центрального тела.

Параметр ${{T}_{{{\text{Ti}}}}}$ используется при идентификации разнесенных по времени астрономических наблюдений “пробных частиц” – комет, поскольку сами элементы орбиты комет могут неоднократно меняться при прохождении ими сферы действия планеты Юпитер. Критерий Тиссерана ${{T}_{{{\text{Ti}}}}} \approx {\text{const}}$ опубликовал французский астроном Франсуа Тиссеран в 1896 г. Подчеркнем, что критерий выполняется только на удалении от сферы действия малого тела (планеты).

5. КРИТЕРИЙ ТИССЕРАНА И НЕРЕАЛИЗУЕМОСТЬ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО ЗАХВАТА В СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ В РАМКАХ МсКС

В рамках МсКС принимается, что в сфере действия центрального тела орбита перелета представляет собой оскулирующий эллипс с расстоянием ${{\bar {r}}_{\alpha }}$ от центрального тела до апоцентра: ${{\bar {r}}_{\alpha }} \geqslant {{r}_{1}}{{a}_{p}}$, где ${{r}_{1}}$ – безразмерное расстояние от пробной частицы до центрального тела в момент максимального сближения пробной частицы с малым телом. Из формулы $2{{h}_{1}} = {{ - (1 - \mu )} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - (1 - \mu )} {{{a}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{a}_{1}}}}$ получим для скорости ${{v}_{m}}$ пробной частицы в момент ее наибольшего сближения с малым телом

$v_{m}^{2} = 2\frac{{1 - \mu }}{{{{r}_{1}}}} + 2{{h}_{1}} = (1 - \mu )\left[ {2\frac{1}{{{{r}_{1}}}} - \frac{{(1 + {{e}_{1}})}}{{{{r}_{\alpha }}}}} \right].$

Видим, что при фиксированном эксцентриситете с увеличением ${{r}_{\alpha }}$ скорость ${{v}_{m}}$ возрастает. Она достигает минимума лишь если ${{r}_{\alpha }} = {{r}_{1}}$. Поэтому, если при ${{r}_{\alpha }} = {{r}_{1}}$ баллистический захват не происходит, то он не может произойти при ${{r}_{\alpha }} > {{r}_{1}}$. Рассмотрим с точки зрения возможности баллистического захвата случай ${{r}_{\alpha }} = {{r}_{1}}$. Тогда в безразмерном виде большая полуось оскулирующей орбиты КА запишется следующим образом: ${{a}_{1}} = {{(1 + {{\rho }_{\pi }})} \mathord{\left/ {\vphantom {{(1 + {{\rho }_{\pi }})} {(1 + {{e}_{1}})}}} \right. \kern-0em} {(1 + {{e}_{1}})}}$. Из формулы (16a) найдем

(16б)

$\begin{gathered} {{T}_{{{\text{Ti}}}}} = \frac{{(1 - \mu )(1 + {{e}_{1}})}}{{{{r}_{\alpha }}}} + 2\sqrt {(1 - \mu ){{r}_{\alpha }}(1 - {{e}_{1}})} \cos i, \\ {{r}_{\alpha }} = 1 + {{\rho }_{\pi }},\,\,\,\,0 \leqslant {{e}_{1}} < 1. \\ \end{gathered} $

Таким образом, для определения постоянной интеграла Якоби осталось задать лишь эксцентриситет ${{e}_{1}}$ требуемой орбиты перелета.

Сопоставив формулы (6) и (14), получим значение энергии КА в окрестности малого тела в зависимости от параметра Тиссерана орбиты в сфере действия центрального тела

(17)

$2{{h}_{2}} \approx 6(1 - \mu ) + 3(\rho _{\pi }^{2} - 1) - {{T}_{{{\text{Ti}}}}},$

или

(18)

$\begin{gathered} 2{{h}_{2}} \approx \left( {6 - \frac{{(1 + {{e}_{1}})}}{{{{r}_{\alpha }}}}} \right)(1 - \mu ) + 3{{r}_{\alpha }}({{r}_{\alpha }} - 2) + \\ + \,\,2\sqrt {(1 - \mu ){{r}_{\alpha }}(1 - {{e}_{1}})} \cos i. \\ \end{gathered} $

Коэффициент при $(1 - \mu )$ в формуле (18) заведомо положителен. Поэтому захват КА малым телом может произойти, если будет выполнено неравенство

(19)

${{\delta }^{2}} + 2{{b}_{1}}\delta - {{b}_{2}} < 0,$

где

$\begin{gathered} 0 \leqslant \delta = \sqrt {1 - \mu } < 1,\,\,\,\,{{b}_{1}} = \frac{{{{r}_{\alpha }}\sqrt {{{r}_{\alpha }}(1 - {{e}_{1}})} \cos i}}{{6{{r}_{\alpha }} - (1 + {{e}_{1}})}}, \\ {{b}_{2}} = \frac{{3r_{\alpha }^{2}(2 - {{r}_{\alpha }})}}{{6{{r}_{\alpha }} - (1 + {{e}_{1}})}} > 0. \\ \end{gathered} $

Квадратный трехчлен в (19) имеет положительный и отрицательный корни и, следовательно,

(20)

$0 < \delta < {{\delta }_{0}} = \left( {\sqrt {b_{1}^{2} + {{b}_{2}}} - {{b}_{1}}} \right) = \frac{{{{b}_{2}}}}{{\sqrt {b_{1}^{2} + {{b}_{2}}} + {{b}_{1}}}}$

удовлетворяет неравенству (19). Видим, что величина ${{\delta }_{0}}$ достигает максимума при ${{b}_{1}} = 0$. Поэтому $\delta _{0}^{2} \leqslant {{b}_{2}}$. Отметим, что

${{b}_{2}} = \frac{{3r_{\alpha }^{2}(2 - {{r}_{\alpha }})}}{{6{{r}_{\alpha }} - (1 + {{e}_{1}})}} \leqslant \frac{3}{4}{{(1 + \varepsilon )}^{2}},$

и если взять $\varepsilon < {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {(2\sqrt 3 + 3)}}} \right. \kern-0em} {(2\sqrt 3 + 3)}}$, то будет ${{b}_{2}} < 1$. Поскольку по предположению $\varepsilon \ll 1$, то можно считать, что неравенство ${{b}_{2}} < 1$ заведомо выполняется. Более того, если значение $\delta $ оказывается в диапазоне ${{b}_{2}} < \delta < 1$, то пролетная траектория в сфере действия малой планеты окажется гиперболической. Для наиболее массивной планеты Солнечной системы – Юпитера – имеем $\delta \approx 1 - 9 \cdot {{10}^{{ - 4}}} > {{b}_{2}}$ при принятых ограничениях относительно малости величин. Таким образом, в постановке ОЗТТ оказывается, что для всех планет Солнечной системы, когда большим телом служит Солнце, пролетная траектория в сфере действия малой планеты будет гиперболической и баллистический захват в модели МсКС невозможен. Рассмотренная математическая модель удобна для анализа последовательности гравитационных маневров, однако не позволяет проводить описание баллистического захвата [1].

Аналогичный результат вытекает и при анализе ОЗТТ для систем планет и их естественных спутников в Солнечной системе [14, 18] (максимальными в Солнечной системе оказываются отношения гравитационных параметров спутника и планеты–“хозяина” для системы Земля–Луна, ${{{{\mu }_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\mu }_{2}}} {{{\mu }_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{\mu }_{1}}}} \approx 0.0123$, и системы Плутон–Харон, ${{{{\mu }_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\mu }_{2}}} {{{\mu }_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{\mu }_{1}}}} \approx 0.0117$). Гигантские галилеевы луны Юпитера – Ио, Европа, Ганимед и Каллисто, так же как и крупнейший естественный спутник Солнечной системы – сатурнианский Титан, имеют еще меньшее значение ${{{{\mu }_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\mu }_{2}}} {{{\mu }_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{\mu }_{1}}}}$ в силу значительной величины гравитационной постоянной их планет-хозяев: ${{{{\mu }_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\mu }_{2}}} {{{\mu }_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{\mu }_{1}}}} \leqslant 0.00008$ для галилеевых лун и ${{{{\mu }_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\mu }_{2}}} {{{\mu }_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{\mu }_{1}}}} \approx 0.00023$ для системы Сатурн–Титан.

Вместе с тем из формулы (20) видно, что величину ${{V}_{\infty }}$ при пролете малого тела можно менять в ограниченных пределах за счет изменения параметра ${{b}_{1}}$. Для того чтобы уменьшить величину ${{V}_{\infty }}$, следует уменьшать ${{b}_{1}}$. Поэтому для экономии рабочего тела предпочтение нужно отдавать траекториям с большим наклонением к плоскости эклиптики и с большим эксцентриситетом ${{e}_{1}}$.

6. ЭКСПРЕСС-ВЫВОД УНИВЕРСАЛЬНОГО СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ЯКОБИ ДЛЯ GAM В КРУГОВОЙ ОЗТТ

Вывод универсального свойства интеграла Якоби в круговой ОЗТТ исполняется в астродинамике достаточно громоздким способом [7, 9, 16]: от канонической записи интеграла Якоби в синодической системе координат необходимо совершить переход к сидерической системе координат и записать его приближенное выражение через орбитальные оскулирующие элементы, которое оказывается идентичным параметру Тиссерана. Далее, с использованием весьма громоздких геометрических соображений (Приложение I), становится возможным получить в приближенном виде универсальное свойство через связь интеграла Якоби, параметра Тиссерана и величины асимптотической скорости КА при совершении гравитационных маневров. Учитывая результат раздела 5, представим более короткий и наглядный вывод этого свойства с использованием модели МсКС, даже не выходя при этом из синодической системы координат.

1. Пусть в качестве центрального тела выбрано Солнце. Тогда для всех небесных тел Солнечной системы сфера действия малого небесного тела аппроксимируется слегка сплюснутым эллипсоидом вращения с характерным безразмерным радиусом ${{\rho }_{2}} \ll 1$. Как следствие, при моделировании GAM, для значений ${{r}_{2}} \leqslant {{\rho }_{2}}$ расстояние ${{\tilde {R}}_{1}}$ от КА до центрального тела можно в нулевом приближении заменить расстоянием ${{a}_{p}}$ от планеты до центрального тела, поскольку, очевидно, согласно неравенству треугольника, при проходе сферы действия планеты выполнено:

(21)

$\begin{gathered} {{a}_{p}} - {{\rho }_{2}}{{a}_{p}} \leqslant {{{\tilde {R}}}_{1}} \leqslant {{a}_{p}} + {{\rho }_{2}}{{a}_{p}}, \\ 1 - {{\left( {\frac{\mu }{{1 - \mu }}} \right)}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 5}} \right. \kern-0em} 5}}}} \leqslant {{r}_{1}} \leqslant 1 + {{\left( {\frac{\mu }{{1 - \mu }}} \right)}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 5}} \right. \kern-0em} 5}}}}, \\ {{\left. {{{r}_{1}}} \right|}_{{{\text{GAM}}}}} \approx 1 \\ \end{gathered} $

2. Напомним, что в выражении интеграла Якоби (2) величина $V$ является скоростью пробной частицы относительно синодической системы координат. Однако при сближении с планетой и совершении около нее GAM выполняется (21), и скорость КА относительно синодической системы координат приблизительно равна скорости КА относительно планеты, замороженной в этой системе координат.

3. С учетом (2) приходим к выражению интеграла Якоби при совершении GAM:

$\begin{gathered} {{\left. J \right|}_{{{\text{GAM}}}}} = J = 1 + 2\frac{{1 - \mu }}{{{{r}_{1}}}} - V_{\infty }^{2} \approx \\ \approx 3 - 2\frac{\mu }{{{{r}_{1}}}} - V_{\infty }^{2} \approx 3 - V_{\infty }^{2}. \\ \end{gathered} $

Более строго: с учетом (2) при совершении GAM верно:

${{\left. J \right|}_{{{\text{GAM}}}}} = J = 1 + 2\frac{{1 - \mu }}{{{{r}_{1}}}} - 2{{h}_{2}}.$

В соответствии с разделом 5 для всех гравитационных маневров в Солнечной системе имеем ${{h}_{2}} > 0$. Тогда $2{{h}_{2}} = V_{\infty }^{2}$ и

(22)

$J \approx 3 - V_{\infty }^{2}.$

Выражение (22) является хотя и приближенным, но общим для всех планет и планетных систем Солнечной системы. Оно очень удобно для предварительных оценочных расчетов эффективности гравитационных маневров.

4. Из формулы (14) в том же приближении, что и для формулы (22), найдем

$J \approx {{T}_{{{\text{Ti}}}}},\,\,\,\,{{T}_{{{\text{Ti}}}}} \approx \frac{1}{{{{a}_{1}}}} + 2\sqrt {{{a}_{1}}(1 - e_{1}^{2})} \cos i,$

где по-прежнему ${{a}_{1}},e,i$ – нормированная большая полуось оскулирующей орбиты КА относительно центрального тела, ее эксцентриситет и наклонение.

Выражение (22) означает, что величина ${{V}_{\infty }}$ асимптотической скорости КА относительно малого тела, будучи связанной непосредственно с интегралом Якоби, останется постоянной для всех гравитационных маневров, выполняемых последовательно с этой планетой и сохраняющих константу интеграла Якоби, хотя само направление вектора асимптотической скорости может при этом существенно изменяться.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При поиске решения задач межпланетных перелетов в рамках модели ОЗТТ с использованием метода сопряженных конических сечений регулярно требуется вычисление “передаточного параметра” ${{V}_{\infty }}$ в условиях проведения GAM – при переключении с гелиоцентрических дуг на планетоцентрические участки и обратно. В рамках круговой ОЗТТ поиск ${{V}_{\infty }}$ может производиться с использованием интеграла Якоби $J$, на основе универсального свойства интеграла Якоби для GAM в постановке круговой ОЗТТ: ${\text{const}} = J \approx {{T}_{{{\text{Ti}}}}} \approx 3 - V_{\infty }^{2}$. Согласно этому свойству величина ${{V}_{\infty }}$ не изменяется при совершении многократных гравитационных маневров, сохраняющих константу интеграла Якоби.

В астродинамике это свойство известно, но выводится достаточно громоздким способом [7, 9, 16]. В настоящей работе предложен более короткий метод получения универсального свойства интеграла Якоби для GAM в постановке ограниченной круговой задачи трех тел и представлены новые, уточненные формы интеграла Якоби.

Список литературы

Белбруно Э. Динамика захвата и хаотические движения в небесной механике с приложениями к конструированию малоэнергетических перелетов. Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2011.
Голубев Ю.Ф., Грушевский А.В., Корянов В.В., Тучин А.Г. Гравитационные маневры космического аппарата в системе Юпитера // Известия РАН. Теория и системы управления. 2014. № 3. С. 149–167.
Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики: Учебник. 3‑е издание, переработанное и дополненное. М.: МГУ, 2019.
Охоцимский Д.Е. Динамика космических полетов. М.: МГУ, 1968.
Пуанкаре А. Избранные труды в 3 т. Т. 1. Новые методы небесной механики. М.: Наука, 1971.
Себехей В. Теория орбит. Ограниченная задача трех тел. М.: Наука, 1982.
Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука, 1968.
Боровин Г.К., Голубев Ю.Ф., Грушевский А.В. и др. Баллистико-навигационное обеспечение полетов автоматических космических аппаратов к телам Солнечной системы / Под ред. Тучина А.Г. Химки: “НПО Лавочкина”, 2018.
Campagnola S., Russell R.P. The Endgame problem part B: the multi-body technique and the T-P graph. Preprint AAS 09‑227. 2009.
Campagnola S., Russell R.P. Endgame Problem. Part 2: Multi-Body Technique and TP Graph // J. Guidance, Control, and Dynamics. 2010. V. 33. № 2. P. 476–486. https://doi.org/10.2514/1.44290
Campagnola S., Skerritt P., Russell R.P. Flybys in the planar, circular, restricted, three-body problem // Astrodynamics 2011: Proc. of the AAS/AIAA Astrodynamics Specialist Conference, Girdwood, Alaska. 2011. AAS Paper 11–425.
Campagnola S., Boutonnet A., Schoenmaekers J., Grebov D.J., Petropoulos A.E., Russell R.P. Tisserand-Leveraging Transfers // AAS/AIAA Space Flight Mech. Meeting, Charleston, SC, 2012. AAS Paper 12‑185.
Jacobi C.G.J. Sur le Movement d’un Point et sur un cas Particulier du Probleme des Trois Corps // Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de Paris. 1836. V. 3. P. 59–61.
JPL Planetary Satellite Physical Parameters. URL: https://ssd.jpl.nasa.gov/?sat_phys_par
Labunsky A.V., Papkov O.V., Sukhanov K.G. Multiple Gravity Assist Interplanetary Trajectories. Earth Space Institute Book Series. L.: Gordon and Breach Publishers, 1998. P. 33–68.
Miller J.K., Weeks C.J. Application of Tisserand’s Criterion to the Design of Gravity Assist Trajectories // AAS/AIAA Astrodynamics Specialist Conference and Exhibit, Monterey, GA, 2002. AIAA 2002-4717.
Murray C.D., Dermot S.F. Solar System Dynamics. Cambridge, England: Cambridge University Press. 1999. P. 68–71.
Standish E.M. 1998. JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE405/LE405.
Strange N.J., Russell R., Buffington B. Mapping the V_∞ Globe // AAS/AIAA Astrodynamics Specialist Conference and Exhibit. Mackinac Island, MI, 2007. AAS Paper 07‑277.
Tisserand F.F. Traité de Méchanique Céleste. V. 4. Paris: Gauthier-Villars et fils. 1896. P. 203–205.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Космические исследования

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал