Космические исследования, 2021, T. 59, № 3, стр. 235-239

ВВЕДЕНИЕ

Важность вопросов обеспечения высокой надежности космических аппаратов не вызывает ни у кого сомнений. КА являются сложными и дорогостоящими системами, решающими важные научные и прикладные задачи. В процессе своего целевого функционирования они подвергаются воздействию большого количества факторов космического пространства (ФКП), в том числе: космической плазмы, потоков электронов и ионов, солнечного электромагнитного излучения и др. [1]. Это воздействие в большинстве случаев является причиной отказов бортовой аппаратуры КА. Необходимость анализа влияния ФКП на надежность бортовой аппаратуры КА является безусловной. Она признается как отечественными специалистами, так и зарубежными. В настоящей статье решается одна из задач такого анализа – предлагается подход к оценке вероятности безотказной работы КА в условиях неполных данных.

В теории надежности [2–5] достаточно широкое распространение получили модели “нагрузка-прочность”, в которых показателем надежности выступает вероятность (вероятность безотказной работы) того, что одна случайная величина (прочность) больше другой случайной величины (нагрузка). В работах [2–5], где предполагалось, что имеется полная информация о каждой из названных случайных величин (“прочности” и “нагрузки”). Применительно к КА в качестве величины “прочность” может выступать стойкость бортового оборудования к воздействию ФКП, а в качестве величины “нагрузка” выступают воздействующие ФКП. Например, это может быть радиационная стойкость бортовой радиоэлектронной аппаратуры КА к радиационному воздействию на нее (поглощенных доз электронов, протонов и суммарной дозы) [6–9].

Пусть k параметров характеризуют состояние бортовой аппаратуры КА (далее просто – КА) при целевом функционировании. Одни параметры характеризуют радиационную стойкость, другие параметры – воздействующие ФКП на КА. Условие работоспособности КА за время τ может быть записано в виде [4]:

φ(X, Y, τ) = X(Z₁, Z₂, … Z_l, τ) – Y(Z_l+1, Z_l+2, … , Z_k, τ) > 0,

где Z₁, Z₂, …, Z_k – параметры, характеризующие состояние КА; X(Z₁, Z₂,…, Z_l, τ) – случайная функция, характеризующая радиационную стойкость КА к воздействию ФКП; Y(Z_{l + 1}, Z_{l + 2}, …, Z_k, τ) – случайная функция, характеризующая воздействие ФКП на КА (уровни воздействующих ФКП).

Тогда основной показатель надежности КА – вероятность безотказной работы КА определяется соотношением [4, 5]:

P(τ) = P (X(Z₁, Z₂, …, Z_l, τ) > Y(Z_l + 1, Z_l + 2, …, Z_k, τ)) =

$ = ~\mathop \smallint \limits_{{{\varphi }}\left( {X,Y,{{\tau }}} \right) > 0}^{} f\left( {{{x}_{1}}, \ldots .{{x}_{k}},{{\tau }}} \right)d{{x}_{1}} \ldots d{{x}_{k}}.$

Здесь f(x₁, … x_k, τ) – многомерная плотность распределения случайных параметров, характеризующих состояние КА.

Рассмотрим случай, когда случайные функции X(Z₁, Z₂, …, Z_l τ) и Y(Z_{l + 1}, Z_{l + 2}, …, Z_k,τ) являются одномерными или сводимыми к ним, тогда основной показатель надежности КА – вероятность безотказной работы КА для времени τ определится соотношением:

Пусть F(t) – функция распределения случайной величины Х(τ), а G(t) – функция распределения случайной величины Y(τ). В случае, когда функции распределения F(t) и G(t) известны полностью, соотношения для основных, используемых в теории надежности распределений [5] представлены в работе [4].

В случае, когда функции распределения F(t) и G(t) известны не полн остью, а известны только до моментов распределения, оценки для вероятности, определяемой соотношением (1) получены только для случая, когда функции распределения F(t), G(t) известны до первого момента (математического ожидания) [13].

Определим аналогично [10–13] множества функций распределения F₀ и G₀, имеющих (известных) k фиксированных конечных моментов в виде:

Здесь ${{m}_{j}},~{{\mu }_{j}}$ – j-ые моменты распределения случайных величин X(τ) и Y(τ).

Задача состоит в нахождении экстремальных оценок вероятности безотказной работы КА на множестве функций распределения F₀ и G₀, т.е. необходимо найти

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Решение данной задачи дано в статье авторов [13], где получены в явном виде соотношения для вероятности, определяемой соотношением (1) при функциях распределения F(t) и G(t) известных до одного момента. В настоящей статье получены соотношения для вероятности безотказной работы КА при функциях распределения F(t) и G(t) известных до двух моментов.

Приведем основные соотношения из статьи [13], которые далее нужны будут для нахождения вероятности безотказной работы КА при функциях распределения F(t) и G(t) известных до двух моментов.

Соотношение (1) можно переписать в виде

или

Исходную задачу можно сформулировать следующим образом: необходимо найти экстремум определенного интеграла, определяемого соотношением (5) или (6), при условиях:

Пусть функции распределения $F\left( t \right) \in {{F}_{0}},$ $G\left( t \right) \in {{G}_{0}}$ являются непрерывно дифференцируемыми функциями, определёнными на интервалах (0, t_f) и (0, t_g) соответственно, тогда задача поиска экстремума определенного интеграла относится к числу изопериметрических задач [14, 15]. Для ее решения используется метод вариации Лагранжа.

Предположим, что решение задачи существует, применим принцип Лагранжа к гипотетическому решению, определим седловые точки и исследуем их на минимум или максимум путем сравнения с известными результатами.

Функции F(t), G(t), доставляющие экстремум определенному интегралу (соотношение (5) или (6)), должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений Эйлера [14, 15]:

где $~F{\kern 1pt} '\left( t \right) = ~\,\,\frac{{dF\left( t \right)}}{{dt~}}~,~~G{\kern 1pt} '\left( t \right) = \,\,~\frac{{dG\left( t \right)}}{{dt~}},$ L – лагранжиан, определяемый соотношением:

В последних соотношениях ${{{{\lambda }}}_{j}},~{{{{\eta }}}_{j}};j = \,\,~\overline {1,k} $ – неопределенные множители Лагранжа.

Выполнив соответствующие преобразования [13], получим следующие дифференциальные уравнения:

С учетом начальных условий F(0) = 0, G(0) = 0 получаем

Величины ${{{{\lambda }}}_{f}},~{{{{\eta }}}_{f}}~$ определяются выражениями:

P_э(τ) для случая ${{t}_{g}} > \,\,~{{t}_{f}}$ определяется соотношением:

Для случая ${{t}_{g}}~\,\, \leqslant \,\,~{{t}_{f}}$ – соотношением:

Исходя из последних соотношений (19), (20), для функций распределения F(t) и G(t) известных до первого конечного момента (математических ожиданий) в [13] получено:

для ${{t}_{f}} < \,\,~{{t}_{g}}$ или для ${{m}_{{1~}}} < \,\,~{{{{\mu }}}_{1}}$, нижняя оценка определяется в виде:

для ${{t}_{f}} \geqslant \,\,~{{t}_{g}}$ или ${{m}_{{1~}}} \geqslant \,\,~{{{{\mu }}}_{1}}$, верхняя оценка определяется в виде:

Все приведенные выше соотношения получены в работе [13].

Для случая, когда известны два первых момента функций распределения F(t), G(t), неопределенные множители Лагранжа можно определить следующим образом.

Из выражений (17) и (18) получаем:

Решая данные системы уравнений для μ_j и m_j, получаем:

где значения переменных ${{t}_{f}},~{{t}_{g}}$ определяются из условий F(t_f) = 1, G(t_g) = 1 соответственно. Вид функций F(t_f) и G(t_g) определим, решая дифференциальные уравнения (13) и (14):

Интегрирование дифференциальных уравнений (31) и (32) и использование начальных условий F(0) = 0, G(0) = 0 позволяет получить функции F(t_f) и G(t_g):

Используем условие F(t_f) = 1 и G(t_g) = 1 и решим выражения (33) и (34) относительно t_g и t_f:

При получении решения (36) можем попасть на значение функции на нисходящей ветви, когда ее производная меньше нуля. Поэтому значение t_g ищется при условии положительного значения производной функции (36) или используется значение другого корня, симметричного относительно максимума функции:

Значение (39) ${{t}_{{g~{\text{min}}}}}$ следует использовать вместо параметра t_g.

Экстремальная оценка показателя P_э(τ) для случая ${{t}_{g}} > \,\,~{{t}_{f}}$ в соответствии с (19) будет иметь вид:

Для случая ${{t}_{g}} \leqslant \,\,~{{t}_{f}}$ экстремальная оценка показателя качества P_kэ в соответствии с (20) будет иметь вид:

В выражениях (38) и (39) значения ${{t}_{f}},~{{t}_{g}}$ берутся из выражений (35) и (37) соответственно, а значения неопределенных множителей Лагранжа η₁, η₂, λ₁, λ₂ берутся из выражений (27)–(30) соответственно.

Зависимости экстремальной оценки P_э(τ) от первого момента m₁ при разных значениях второго момента m₂ показаны на рис. 1.

Вид распределений F(t) и G(t) для известных двух моментов распределения показаны на рис. 2 и 3 соответственно.

Зависимость времени t_f от первого момента распределения при значении второго момента m₂ = 3 показана на рис. 4.

Приведенные графики качественно показывают характер поведения рассмотренных параметров распределений для случая известных двух моментов распределений. Для всех приведенных зависимостей значения моментов для распределения G(t) брались постоянными: μ₁ = 0.2, μ₂ = 2.

Значения экстремальных оценок показателя P_э(τ) аналогично оценкам для первых моментов также могут рассматриваться как (38) – верхняя оценка, а (39) – нижняя оценка. На рис. 5 для вероятности (1) показаны зависимости значений экстремальных оценок показателя качества в сравнении с нормальным распределением в зависимости от первого момента распределения случайной величины X(τ) при равных значениях первого и второго моментов распределений. При этом учтено, что при получении оценок выражения для вычисления P_э(τ) выбираются в зависимости от соотношения между ${{t}_{g}}\,~{\text{и}}\,\,~{{t}_{f}}$.

При вычислениях учтено, что для нормального закона распределения случайных величин X и Y значение вероятности (1) равно:

где Φ(z) – функция Лапласа, D_xy, D_xy – дисперсии случайных величин X и Y, m_x, m_y – математические ожидания случайных величин X и Y.

Также учтена зависимость между вторым моментом нормального закона и дисперсией:

Следует также учитывать, что соотношения, используемые при вычислении P_э(τ), основаны на полученных финитных распределениях, которые ограничены значениями ${{t}_{g}}~\,\,{\text{и}}\,\,~{{t}_{f}}$.

ВЫВОДЫ

В настоящей статье предложена модель для оценки показателя надежности КА – вероятности безотказной работы КА. Данная модель относится к надежностным моделям типа “нагрузка–прочность”, в которой в качестве параметра “прочность” выступает радиационная стойкость КА, а в качестве параметра “нагрузка” выступают воздействующие на КА ФКП. Оценки вероятности безотказной работы КА найдены в общем случае при неполных данных, представленных моментами распределения величины характеризующей радиационную стойкость КА и величины, характеризующей уровни воздействующих ФКП. Эти оценки получены как решения изопериметрической задачи; при этом при одном и двух моментах соответствующих случайных величин оценки получены в аналитическом виде.