Космические исследования, 2021, T. 59, № 5, стр. 377-384

НАЧАЛЬНЫЕ ОРБИТЫ

В общем случае перелет на геостационарную орбиту с использованием малой тяги представляет собой второй этап комбинированного маневра, в котором задействованы и большая, и малая тяга. На его первом этапе с помощью большой тяги космический аппарат выводится на промежуточную орбиту, с которой затем он перелетает по многовитковой траектории на ГСО с помощью ЭРД малой тяги. Промежуточная орбита, которая является начальной для перелета с малой тягой, есть результат компромиссного выбора в пользу большего использования в комбинированном маневре большой тяги, либо малой тяги [2]. Чем больше вклад малой тяги (в т. ч. в поворот плоскости орбиты) – тем больше полезная нагрузка, выводимая на ГСО, но и больше продолжительность перелета (и наоборот).

Варианты такого компромисса приведены в табл. 1, где даны характеристики начальных (для перелета с малой тягой) орбит (орбиты 1–4). Несколько особняком стоит последний вариант, который выделяется тем, что масса КА заметно меньше, чем в других случаях, а тяговооруженность существенно больше. Наиболее выразительный параметр, по которому различаются эти орбиты – наклонение, возрастающее от 4° для 1-й орбиты до 46.5° для 5-й. Также показателен радиус перигея, уменьшающийся с ≈29 тыс. км для 1-й орбиты до ≈7 тыс. км для двух последних орбит. Отметим также, что для первых двух орбит радиусы перигея >15 тыс. км, то есть выше основного радиационного пояса.

Отметим еще, что начальные орбиты имеют большой эксцентриситет. Это связано, в частности, с тем, что при комбинированном маневре необходимо повернуть плоскость орбиты на большой угол, что эффективней осуществлять на большом удалении от Земли, в окрестности апогея.

НОМИНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ

Для получения номинальных траекторий решается двухточечная краевая задача. Предполагается, что тяга работает постоянно (2 ЭРД СПД-140 с удельной тягой 1790 с и суммарной тягой 0.548 Н). В таком случае получаем задачу на минимум времени перелета, т.е. задачу быстродействия. На направление тяги не накладывается никаких ограничений, оно выбирается оптимальным на основе принципа максимума. Как и в работе [1], будем использовать равноденственные переменные φ, h, y, z, v, w, которые определяются через гравитационную постоянную Земли μ_Е и оскулирующие переменные p, e, θ, ω, Ω, i формулами:

h = (μ_Е/p)^1/2,   y = ecos(ω + Ω),   v = cos Ω tg(i/2),

φ = θ + ω + Ω,   z = e sin(ω + Ω),  w = sin Ω tg(i/2).

Два параметра в табл. 1: высота перигея H_π и апогея H_α – задают конфигурацию орбиты (значения p и e). А ее положение в пространстве определяют параметры i₀, ω₀, Ω₀. Как и в [1], зафиксируем ω₀ = 0°. Дополнительно предполагается, что КА стартует из перигея начальной орбиты, т.е. θ₀ = 0° (следовательно, φ₀ = Ω₀), а конечный момент времени определяется заданной угловой дальностью перелета, а именно, целым количеством витков N в переменной φ (φ_к = φ₀ + 2πN). Как правило, значение N подбирается оптимальным, для чего приходится решать несколько краевых задач.

В результате у нас остается два свободных параметра: долгота восходящего узла Ω₀ и время (дата) старта t₀ (измеряется в сутках от 00.00 1.I.2018). В силу того, что ГСО – круговая, ньютоновское поле – центральное, и отсутствуют возмущения, имеется симметрия по отношению к параметру Ω₀: изменение Ω₀ приводит к повороту начальной орбиты и траектории перелета как целого вокруг оси вращения Земли. Параметр t₀ также не влияет на траекторию перелета, поскольку от него не зависят ни положение начальной орбиты в пространстве, ни положение КА на орбите в начальный момент времени (в силу принятых выше допущений). Поэтому характеристики номинальных траекторий (условно названных как “короткая”, “средняя”, “длинная”, “очень длинная” и траектория “легкого” КА) одинаковы для всех значений параметров Ω₀, t₀. Они приведены в табл. 2.

УЧЕТ ВОЗМУЩЕНИЙ В УРАВНЕНИЯХ ДВИЖЕНИЯ КА

Изменение оскулирующей орбиты происходит под воздействием ускорения a, которое равно сумме ускорений от малой тяги a_мт, притяжения Луны a_л, Солнца a_c и вариаций геопотенциала a_вгп: a = a_мт + a_л + a_c + a_вгп. Тень влияет через обнуление ускорения a_мт. В результате все возмущения входят в уравнения движения КА, и в т. ч. в уравнения оптимального движения в равноденственных переменных, линейно [3], поэтому есть возможность исследовать их воздействие и совместно, и по отдельности.

Для возмущений a_л, a_c и a_вгп краевая задача формируется стандартным образом, а в случае учета возмущений от тени решается т. н. “неполная” краевая задача, в которой не учитываются условия оптимального пересечения границ тени [1].

В расчетах используется цилиндрическая модель тени, эфемериды DE405 [4] для расчета координат Луны и Солнца, матрица 12 × 12 разложения геопотенциала в ряд по сферическим функциям [5] и программное обеспечение SOFA [6] для учета вращения Земли.

ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЛИЯНИЕ ЛУНЫ

На рис. 1а для t₀ = 0 показаны зависимости дополнительных затрат рабочего вещества ∆М_РВ от параметра Ω₀ для всех пяти траекторий. Для коротких траекторий 1 и 5 графики почти совпадают. Для остальных они качественно похожи, различаясь диапазоном изменения ∆М_РВ. В процентах от М_РВ это [–0.44…0.38%] (тр. 1), [–0.78…0.69%] (тр. 2), [–1.09…1.02%] (тр. 3), [–1.33…1.33%] (тр. 4), [–0.49…0.41%] (тр. 5).

Рис. 1.

Гравитационное влияние Луны в зависимости от (а) параметра Ω₀ (при t₀ = 0) для пяти номинальных траекторий и (б) от t₀ (при заданных Ω₀) для средней траектории (тр. 2). Дополнительные затраты ∆M_РВ – в процентах от M_РВ.

Зависимость дополнительных затрат ∆М_РВ от параметра t₀ на интервале в 28 сут для различных значений Ω₀ показана на рис. 1б для средней траектории (тр. 2 на рис. 1а). Для графиков на рис. 1б максимальный диапазон изменения ∆М_РВ (разность между максимальным и минимальным значениями) равен 0.21 (для Ω₀ = 260°), минимальный – 0.14 (для Ω₀ = 0°), что в 7–10 раз меньше диапазона изменения ∆М_РВ для траектории 2 на рис. 1а.

Из этих данных следует, что наилучшие (наименьшие) ∆М_РВ достигаются примерно в диапазоне значений Ω₀ ∈ [280°…320°]; приемлемые (отрицательные или близкие к нулевым) – для Ω₀ ∈ ∈ [210°…360°]. Причем для всех пяти траекторий затраты ∆М_РВ не превышают 1.5%.

ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЛИЯНИЕ СОЛНЦА

Аналогичные графики в случае возмущений от Солнца представлены на рис. 2. В отличие от рис. 1а, где на интервале [0°…360°] один минимум, на рис. 2а графики ∆М_РВ имеют по два локальных минимума, причем меньший – в диапазоне [180°…360°].

Рис. 2.

Гравитационное влияние Солнца в зависимости от (а) параметра Ω₀ – на пяти номинальных траекториях при t₀ = 0, (б) от t₀ – на средней траектории (тр. 2) для трех значений Ω₀, и (в) от Ω₀ – также на средней траектории для четырех значений t₀.

А из графиков для средней траектории, представленных на рис. 2б, видно, что диапазоны изменения ∆М_РВ довольно большие: 1.04% для Ω₀ = = 230°, 0.94% для 290°, 0.79% для 340°, что сравнимо с диапазоном 1.38% изменения ∆М_РВ для траектории 2 на рис. 2а. Поэтому для других значений t₀ графики, приведенные на рис. 2а, будут заметно отличаться, что видно из рис. 2в, где для средней траектории даны графики для t₀ с интервалом в 1.5 мес. (0, 46, 91, 137). Для второго полугодия (183, 228, 274, 320), как следует из рис. 2б, графики почти не будут отличаться от представленных.

Из рис. 2в видно, хотя и не так явно, как в случае с Луной, что диапазон углов Ω₀ [180°…360°] предпочтительней, чем диапазон [0°…180°]. А если учитывать совместное влияние Солнца и Луны, то понятно, что диапазон углов Ω₀ [180°…360°] явно лучше. Отметим еще, что для всех пяти траекторий затраты ∆М_РВ < 1%.

ВЛИЯНИЕ ВЫКЛЮЧЕНИЯ ТЯГИ ЭРД ПРИ ПОПАДАНИИ КА В ТЕНЬ ЗЕМЛИ

Сначала рассмотрим среднюю номинальную траекторию, поскольку для нее задача с выключением тяги в области тени уже была подробно исследована в работе [1], в которой результаты расчетов дополнительных затрат ∆М_РВ были приведены в таблице с шагом по времени t₀ в 1.5 мес. и шагом по Ω₀ в 10°. Здесь они представлены более наглядно на рис. 3а, где изолинии отображают затраты ∆М_РВ как функции двух параметров (t₀, Ω₀). Они построены на основе расчетов с шагом по t₀ в 5 сут и шагом по Ω₀ в 10°. В [1] отмечалось, что решения неполной краевой задачи, которые не являются оптимальными, могут превышать номинальные затраты на десятки процентов. Для средней траектории max ∆М_РВ > 37%. Но при этом есть много “хороших” решений, с ∆М_РВ ≤ 2%. Таковых примерно 64%. Более того, поскольку за счет выбора времени старта в интервале одних суток можно получить весь спектр значений Ω₀, то допустимо решать задачу минимизации ∆М_РВ по параметру Ω₀. В результате были получены наилучшие, с точностью до 1°, значения $\Omega _{0}^{{\text{т}}}$ (на рис. 3а они отмечены значками “х”) такие, что для всех t₀ дополнительные затраты оказались отрицательными (отмечены белыми квадратами на рис. 3б). Минимальное ∆М_РВ = –0.5%.

Рис. 3.

Влияние возмущений на средней траектории: (а) изолинии уровней дополнительных затрат ∆М_РВ (t₀, Ω₀) из-за выключения тяги в области тени; значком “х” отмечены наилучшие (для данного t₀) значения Ω₀; (б) затраты ∆М_РВ (при наилучших Ω₀, либо при Ω₀ = 180°) в случае влияния только тени (Т) либо совместного влияния тени, Солнца (С) и Луны (Л).

Для короткой номинальной траектории результаты влияния тени представлены на рис. 4. Т. к. продолжительность перелета всего 69.1 сут, существуют такие значения параметров (t₀, Ω₀), при которых КА вообще не попадает в тень Земли. Они отмечены значками “0”. В остальной области параметров, за небольшим исключением, ∆М_РВ ≤ 2%. Количество вариантов с ∆М_РВ > 2% примерно 6%. Максимальное ∆М_РВ = 9.4%, минимальное ∆М_РВ = –0.9%. Наилучшие значения $\Omega _{0}^{{\text{т}}}$ также отмечены значками “х” на рис. 4а, а соответствующие значения ∆М_РВ – черными квадратами на рис. 4б.

Рис. 4.

Влияние возмущений на короткой траектории. Значком “0” отмечены области параметров, для которых на траектории вообще нет участков с тенью.

Для длинной номинальной траектории результаты влияния тени приведены на рис. 5. Максимальное ∆М_РВ = 31.7%, минимальное ∆М_РВ = –0.5%. В отличие от короткой и средней траекторий, вариантов с ∆М_РВ ≤ 2% значительно меньше – примерно 40%, и не для всех t₀ на рис. 5б минимальное (по параметру Ω₀) значение ∆М_РВ < 0.

Рис. 5.

Влияние возмущений на длинной траектории; “+Г” означает, что совместно с другими возмущениями учитывается влияние вариаций геопотенциала.

На траектории легкого КА ускорение малой тяги в 2–3 раза больше, чем в других случаях. Поэтому продолжительность перелета всего 4 мес., и есть немало вариантов (~10%), когда на траектории вообще нет участков с тенью (рис. 6а), а минимальные по параметру Ω₀ затраты ∆М_РВ для всех t₀ меньше 0 (рис. 6б). И это при том, что раскрутка идет с начальной орбиты с высотой перигея <800 км, и оскулирующая орбита поворачивается на самый большой угол – 46.5°. По этим показателям номинальная траектория сравнима с очень длинной траекторией. По количеству вариантов с ∆М_РВ > 2% (~40%), максимальному и минимальному значениям ∆М_РВ (32.5%, –0.56%) она сравнима со средней траекторией, а по продолжительности перелета и количеству витков занимает промежуточное положение между короткой и средней траекториями.

Рис. 6.

Влияние возмущений на траектории легкого КА.

В [1] отмечалось, что существует особое положение начальной орбиты относительно орбиты Солнца – при Ω₀ = 180°, при котором для всех значений t₀ величины ∆М_РВ “хорошие”. Для рассмотренных траекторий это также имеет место (отмечено белыми кружками на рис. 2б–6б): ∆М_РВ < 0.6% (тр. 2), <1.5% (тр. 1), <0.7% (тр. 3), <1.7% (тр. 5).

Отметим, что траектории 1–4 из табл. 2 можно рассматривать как траектории “одного ряда решений” комбинированного выведения КА на ГСО (с постепенным уменьшением вклада большой тяги и увеличением вклада малой тяги). И потому допустимо на основе решений рассмотренных задач (для короткой, средней и длинной траекторий) делать оценочные прогнозы для четвертой задачи – для очень длинной траектории. Сравнение рис. 3а, 4а, 5а показывает, что с увеличением количества витков и продолжительности номинальной траектории быстро уменьшается количество хороших вариантов (с ∆M_РВ ≤ 2%): 94, 64, 40%. Из этих данных следует, что хороших вариантов для очень длинной траектории скорее всего мало, да и расположены они большей частью в области Ω₀ ~ 180°.

Поскольку с увеличением количества витков и продолжительности перелета трудоемкость решения краевой задачи также быстро возрастает, было решено ограничиться расчетами в основном для Ω₀ = 180° (белые кружки на рис. 7а) и близких к 180° значений (черные квадраты). Для Ω₀ = 180° для всех значений t₀ имеем ∆М_РВ < 0.7%. Опираясь на результаты для длинной траектории, были сделаны попытки поиска и для некоторых других значений Ω₀. Удалось найти ветвь решений, которая дает лучшие ∆M_РВ в интервале t₀ ∈ [85…115] (Ω₀ ∈ [253°…264°]). На рисунке она отмечена белыми треугольниками.

Рис. 7.

Влияние возмущений на очень длинной траектории.

СОВМЕСТНОЕ ВЛИЯНИЕ ТЕНИ, ЛУНЫ И СОЛНЦА

Отметим, что половина наилучших $\Omega _{0}^{{\text{т}}}$ для короткой траектории расположена в диапазоне [180°…360°], для остальных трех траекторий в диапазоне [180°…360°] расположена бóльшая часть наилучших $\Omega _{0}^{{\text{т}}}.$ Причем и для остальных значений t₀ есть “хорошие” Ω₀ из диапазона [180°…360°], для которых ∆M_РВ лишь незначительно больше минимальных значений из [0°…180°]. Т. к. диапазон [180°…360°] предпочтительней и в случае гравитационного воздействия Луны и Солнца, то при учете влияния трех возмущающих факторов (тени, Солнца, Луны) ∆M_РВ как правило меньше, чем при учете только тени. При этом наилучшие $\Omega _{0}^{{{\text{тсл}}}}$ оказываются вблизи значений $\Omega _{0}^{{\text{т}}},$ отмеченных значком “х” на рис. 3а–6а, для тех t₀, для которых $\Omega _{0}^{{\text{т}}}$ находятся в диапазоне [180°…360°]. Разница не превышает 7°. А для перелетов с Ω₀ = 180°, наоборот, ∆M_РВ в большинстве случаев больше, чем при учете только тени – в основном из-за влияния Солнца. Это хорошо видно на рис. 3б, где светлыми значками отмечены ∆M_РВ при возмущениях только от тени, темными значками – при возмущениях от тени, Солнца и Луны. Во втором случае разница между двумя графиками (для наилучших Ω₀ и Ω₀ = 180°) может достигать 4% (рис. 6в).

При сравнении двух графиков на рис. 3б, прорисованных светлыми и темными кружками, хорошо видно долго-периодичное влияние Солнца и коротко-периодичное влияние Луны. Отметим, что хаотичность расположения черных квадратов на самом нижнем графике обусловлена не только влиянием Луны, но и возможным изменением количества витков при переходе к “соседней” траектории, и дискретным изменением $\Omega _{0}^{{{\text{тсл}}}}.$

ВЛИЯНИЕ ВАРИАЦИЙ ГЕОПОТЕНЦИАЛА

Т. к. высота перигея начальной орбиты для первых двух траекторий большая, дополнительные затраты из-за вариаций геопотенциала невелики (поэтому на графиках они не показаны). На короткой траектории для всех t₀ они не превышают 0.015% (и для наилучших Ω₀, и для Ω₀ = 180°). На средней траектории для наилучших Ω₀ имеем ∆M_РВ < 0.05%, для Ω₀ = 180° ∆M_РВ < 0.16%.

На длинной траектории и траектории легкого КА дополнительные затраты для наилучших Ω₀ не превышают трети процента от номинальных, а для Ω₀ = 180° они могут превышать 1.1% на длинной траектории и 1.6% на траектории легкого КА (рис. 5в и 6в).

Наконец, на очень длинной траектории (рис. 7б) для Ω₀ = 180° вклад вариаций геопотенциала в ∆M_РВ может превышать 2.1%, а общие затраты от возмущений могут быть более 2.7% (для t₀ = 260). На рисунке также показаны результаты локальной минимизации затрат по параметру Ω₀ вдоль основной ветви – черными квадратами, и вдоль второй ветви – черными треугольниками.

Отметим, что графики ∆M_РВ (t₀) c Ω₀ = 180° имеют минимумы по t₀ обычно в окрестности t₀ ~ ~ 90–100, иногда в окрестности t₀ ~ 270–280, причем для очень длинной траектории он равен ~1%, для других траекторий – меньше 0. Для наилучших значений (t₀, Ω₀), затраты могут составить ∆M_РВ ~ –1.5…–2%.

Итак, решая для многовитковых перелетов с высокоэллиптических орбит на ГСО неполную краевую задачу (не учитывающую оптимальные условия пересечения границ тени), с выключением тяги в области тени и возмущениями от Солнца, Луны и вариаций геопотенциала, для рассмотренных траекторий (продолжительностью от 2.3 до 11.5 мес., с количеством витков от 65 до 281 и начальными ускорениями от малой тяги 0.077…0.236 мм/с²) для Ω₀ = 180° в худшем случае (по дате старта t₀) получаем дополнительные затраты ∆M_РВ ~ 2–3%, в лучшем – от –0.5 до 1%. За счет выбора хороших значений Ω₀ можно иногда получить выигрыш в несколько (3–4) процентов, и в лучших случаях иметь ∆M_РВ ~ –1…–2%.