Космические исследования, 2022, T. 60, № 3, стр. 235-245

1. ВВЕДЕНИЕ

Развитие советской, а также мировой космонавтики тесно связано с изучением Луны. Дальнейшее изучение и освоение Луны, а также ее недр будет протекать тем быстрее, чем быстрее будут решены такие актуальные задачи (или будут созданы условия для их решения) как: определение положения спутников на низких и высоких орбитах вокруг Луны, а также на ее поверхности; дистанционное зондирование Луны спутниками; обеспечение связи и ретрансляция сигналов как между спутниками, находящимися на лунных орбитах, так и с объектами на Луне, а также с околоземными объектами и наземными станциями слежения. К этому можно добавить задачу наблюдения за объектами дальнего космоса: планетами, кометами, звездами и другими небесными телами. Весь спектр описанных выше проблем можно решить путем построения многофункциональной устойчивой спутниковой системы [1, 2].

Создание этой системы из-за высокой стоимости выведения таких ракет-носителей (РН), как “Союз-2.1б”, “Союз-2”, “Протон” и “Ангара А-5”, требует решения задачи оптимизации траекторий полета КА на орбиты ИСЛ, которые подходят для решения вышеуказанных задач. Вдобавок к этому, выбор наилучшей траектории выведения лунного КА, которая позволит сэкономить даже небольшое количество топлива, поможет решить проблему напряженного массового баланса лунных проектов, возникающего из-за больших затрат энергии, увеличит массу полезной нагрузки и повысит эффективность проекта. Таким образом, одним из основных вопросов создания лунной многофункциональной спутниковой системы с баллистической точки зрения является выбор схем выведения на высокие круговые орбиты ИСЛ и соответствующих им траекторий [3, 4].

Ранее для определения возможных параметров орбит такой системы был проведен анализ эволюции орбит ИСЛ на интервалах дат с мая 2016 по апрель 2019 г. [2]. При этом использовалась разработанная методика анализа эволюции орбит ИСЛ, позволяющая определить границы областей устойчивости орбит ИСЛ. Были найдены три области устойчивых орбит на плоскости параметров большая полуось a₀ и наклонение i₀:

– первая область – i₀ ∈ (63°, 67°) и a₀ ∈ [4, 4.4] тыс. км;

– вторая область – i₀ ∈ (80°, 97°) и a₀ ∈ [4.7, 5.4] тыс. км;

– третья область – i₀ ∈ (113°, 116°) и a₀ ∈ [4, 4.4] тыс. км.

Для них условное время существования T^y, т.е. промежуток времени, в течение которого эксцентриситет вырастет с 0 до 0.01 (т.е. форма орбиты будет стабильной), составляет более 1.5 лет. По предварительным оценкам, коррекция такой орбиты потребует запас характеристической скорости около 10 м/с в течение 1.5 лет.

Из данных областей была выбрана точка, соответствующая высокой полярной (с наклонением i₀ = 90°) орбите спутника вокруг Луны радиусом a₀ = 5 тыс. км. Анализу выведения именно на такую орбиту и будет посвящена основная часть данной работы. Отметим также, что сейчас рассматривается вопрос использования высокой полярной орбиты ИСЛ для размещения окололунной орбитальной пересадочной платформы [5].

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В работе рассматривается задача определения наилучшего (по критерию минимума характеристической скорости и максимума конечной массы КА m_f на орбите ИСЛ) перехода с начальной селеноцентрической гиперболической орбиты КА, являющейся заключительным участком орбиты прямого перелета КА с Земли к Луне, на конечную высокую (радиусом 5 тыс. км) полярную (i_f = 90°) круговую орбиту ИСЛ с заданными величинами большой полуоси a(t_f) = a_f = R_M + H_f (=5 тыс. км) и эксцентриситета e(t_f) = e_f = 0. Для начальной орбиты полета к Луне заданы время перелета c опорной низкой орбиты ИСЗ до периселения орбиты подлета к Луне (~4.5 сут), дата подлета к Луне в периселении, космодром старта с Земли. Задана также начальная масса КА m₀ (~2040 км) при подлете к Луне. Некоторые дополнительные характеристики орбиты полета к Луне укажем ниже. При низкой орбите ИСЛ (r = r_min) оптимальным является одноимпульсный переход [3, 4]. В данном случае высокой орбиты ИСЛ (и при V_∞ ~ 1 км/c) энергически более выгодными являются трехимпульсный перелет типа биэллиптического перехода Штернфельда (с учетом возмущений), а также его частный случай – двухимпульсный перелет, при котором импульс в наиболее удаленной точке не сообщается, а изменение элементов траектории происходит за счет влияния гравитационных возмущений [3–9]. Основным содержанием работы будет выявление характеристик (энергетических – по характеристической скорости, временных, геометрических и т.д.) одно-, двух- и трехимпульсного вариантов перехода на орбиту ИСЛ и сравнение их, в основном, с точки зрения энергетики перелета, выбор перелета с наименьшей суммарной характеристической скоростью и максимальной конечной массой.

3. МОДЕЛЬ ПОЛЯ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ КА ПРИ УЧЕТЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

При анализе выведения КА на высокие орбиты ИСЛ движение КА от Земли до границы сферы действия Луны (СДЛ) (когда расстояние от КА до центра Луны ρ больше радиуса сферы действия Луны, ρ > R_СДЛ ≈ 60 тыс. км) моделируется в рамках задачи четырех тел – КА, Земля с учетом ее нецентральности в разложении геопотенциала в ряд по сферическим функциям 8 × 8, Луна и Солнце как материальные точки. Движение КА определяется численным интегрированием системы дифференциальных уравнений движения точки в невращающейся геоцентрической геоэкваториальной системе прямоугольных координат OXYZ. При этом используется среднее равноденствие и средний геоэкватор стандартной эпохи J2000.0. Здесь дифференциальные уравнения, описывающие геоцентрическое движение КА, имеют вид (1):

где r – геоцентрический радиус-вектор КА; μ_i и r_i – гравитационные параметры и геоцентрические радиус-векторы возмущающих небесных тел, причем возмущение соответствует при i = 1 – притяжению Луны, а при i = 2 – притяжению Солнца; a_Е = {a_Еx, a_Еy, a_Еz} – возмущающее ускорение, вызванное нецентральностью поля тяготения Земли с разложением геопотенциала в ряд по сферическим функциям 8 × 8.

При дальнейшем движении КА (в основном, внутри границы СДЛ, когда расстояние от КА до центра Луны ρ меньше радиуса ее сферы действия ρ ≤ R_СДЛ ≈ 60 тыс. км) селеноцентрическое движение КА моделируется в рамках задачи четырех тел – КА, Луна с учетом ее нецентральности с разложением селенопотенциала в ряд по сферическим функциям 8 × 8, Земля и Солнце, как материальные точки) и определяется численным интегрированием системы дифференциальных уравнений движения точки в невращающейся селеноцентрической геоэкваториальной системе прямоугольных координат OXYZ. При этом используется среднее равноденствие и средний геоэкватор стандартной эпохи J2000.0. Дифференциальные уравнения, описывающие селеноцентрическое движение КА, имеют вид (2):

где ρ – селеноцентрический радиус-вектор КА; μ_i и r_i – гравитационные параметры и селеноцентрические радиус-векторы возмущающих небесных тел, причем возмущение соответствует при i = 3 – притяжению Земли, а при i = 4 – притяжению Солнца (μ_E = μ₃; μ₄= μ₂ = μ_S, μ₁ = μ_M; r₃ = –r₁, r₄ = r₃ + r₂); a_M = {a_Mx, a_My, a_Mz} – возмущающее ускорение, вызванное нецентральностью поля тяготения Луны с разложением ее потенциала в ряд 8 × 8.

Векторы состояния небесных тел определяются из табличных эфемерид DE-421 [10]. В расчетах использованы следующие значения констант: μ_E = 398600.4415 км³/с²; μ_M = 4902.79914 км³/с²; μ_S = 1.32712439935 · 10¹¹ км³/с². Эфемеридная поправка Δt (TDB-UTC) принята равной 69.184 с. В основных расчетах дата подлета к Луне меняется на интервале от 1.I по 31.XII.2030.

4. АНАЛИЗ РАССМОТРЕННЫХ СХЕМ ВЫВЕДЕНИЯ КА НА ВЫСОКУЮ ОРБИТУ ИСЛ

Анализ рассмотренных схем выведения КА на высокую круговую орбиту ИСЛ был проведен в четыре этапа.

5. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ АНАЛИЗА

Для численного анализа используется ДУ с характеристиками: тяга P = 420 кгс, удельный импульс P_уд = 298.7 с. При подлете к Луне масса КА принята равной m₀ ≈ 2040 кг. Анализ затрат на n – импульсное торможение, где n = 1, 2, 3, для перехода на высокую полярную орбиту ИСЛ радиусом a_f = 5 тыс. км проводился на интервале дат с 1.I по 31.XII.2030. Длительность полета от Земли до периселения у Луны составляет ∆t_(З–Л) = 4.5 дня. Для обеспечения лучшей видимости с российских станций слежения рассматриваются только северные траектории отлета КА от Земли. При этом подлет к Луне может происходить как с севера, так и с юга. Для одноимпульсного перехода КА на орбиту ИСЛ варианты подлета КА к Луне с севера или с юга равнозначны по энергетике. Для определенности в работе для всех вариантов торможения будет рассматриваться только вариант подлета КА к Луне с юга.

6. СРАВНЕНИЕ РАССМОТРЕННЫХ ВАРИАНТОВ ТОРМОЖЕНИЯ

Основные массово-энергетические характеристики рассмотренных выше вариантов торможения, а также результаты их сравнения приведены в табл. 1. В ней и далее индексы (1), (2) и (3) соответствуют характеристикам одно-, двух- и трехимпульсного вариантов выведения КА, индексы (1-3) и (3-1) – означают разницу соответствующих величин в одно- и трехимпульсном вариантах выведения, индексы (1-2) и (2-1) – означают разницу соответствующих величин в одно- и двухимпульсном вариантах выведения, индексы (2-3) и (3-2) – означают разницу соответствующих величин в двух- и трехимпульсном вариантах выведения, верхние числа в ячейках соответствуют наименьшим величинам соответствующего параметра, а нижние числа – его наибольшим значениям.

Для наглядности основные характеристики рассмотренных выше вариантов торможения представлены на рис. 6, 7 и 10. Так, на рис. 6 приведены значения селенографического подлетного наклонения для двух- и трехимпульсного вариантов торможения при переходе на высокую полярную орбиту ИСЛ радиусом a_f = 5 тыс. км в зависимости от даты подлета КА к Луне. На рис. 7 представлена продолжительность движения КА от периселения гиперболы подлета КА к Луне до перехода на орбиту ИСЛ для двух- и трехимпульсного торможений в зависимости от даты подлета. На рис. 10 приведены зависимости суммарной характеристической скорости одно-, двух- и трехимпульсного вариантов торможения при переходе на высокую полярную круговую орбиту ИСЛ радиусом a_f = 5 тыс. км в зависимости от даты подлета КА к Луне.

Из анализа табл. 1, а также рис. 4, 5, 8 и 10 видно, что для заданной схемы выведения РН “Союз-2.1б” с РБ “Фрегат” выигрыш 3-импульсного выведения над 1-импульсным ${{\delta }}V_{f}^{{\left( {1{\text{ - }}3} \right)}}$ по суммарной характеристической скорости меняется в пределах от ~79 до ~116 м/с, а по конечной массе КА δm^(3-1) – от ~45 до 64 кг. Выигрыш 2-импульсного выведения над 3-импульсным по суммарной характеристической скорости ${{\delta }}V_{x}^{{\left( {{\text{3 - 2}}} \right)}}$ составляет от ~29 до ~35 м/с, а по конечной массе КА δm^(2-3) от ~20 до 22.2 кг. Выигрыш 2-импульсного выведения над 1-импульсным по суммарной характеристической скорости ${{\delta }}V_{x}^{{\left( {{\text{1 - 2}}} \right)}}$ составляет от ~114 до ~155 м/с, а по конечной массе КА δm^(2-1) от ~65 до ~86.3 кг.

Из анализа рис. 8, 10 и табл. 1 видно, что для наилучшего варианта, двухимпульсного выведения на конечную орбиту в 2030 г., суммарная характеристическая скорость $\Delta V_{f}^{{\left( 2 \right)}}$ меняется в диапазоне от ~525 до ~577 м/с, при этом масса КА на целевой орбите варьируется от ~1652.9 до ~1694.8 кг. Также анализ рис. 6 показывает, что влияние возмущений так сильно воздействует на траекторию, что в случае двухимпульсного выведения подлетное наклонение i₀ в зависимости от даты перехода КА на орбиту ИСЛ меняется в пределах от ~32° до ~66°, а в случае трехимпульсного – от ~55° до ~77°. Таким образом, диапазон изменения подлетного наклонения в двухимпульсном случае существенно шире (и составляет ~34°, см. рис. 6), чем в трехимпульсном варианте, для которого этот разброс равен ~22° (рис. 6). Такая же картина наблюдается и для продолжительностей движения КА по орбитам вокруг Луны, изображенных на рис. 7. Из его анализа видно, что в случае двухимпульсного торможения длительность маневра изменяется в пределах от ~4.2 до ~8.1 сут, а в трехимпульсном – в пределах от ~3.8 до ~ 4 сут.

Из полученных данных следует, что в классе рассмотренных схем одно-, двух- и трехимпульсных перелетов (в рамках задачи четырех тел – Луна, Земля, Солнце, КА) на высокую круговую орбиту ИСЛ энергетически оптимальными (с меньшей величиной суммарной характеристической скорости) являются двухимпульсные перелеты. Для этих перелетов КА после торможения на минимальном расстоянии от Луны КА переходит на сильно вытянутую эллиптическую орбиту с апоселением в районе границы сферы действия Луны, около 45–65 тыс. км. При движении КА в районе апоселения происходит необходимое сильное изменение элементов орбит КА – не за счет импульса скорости в окрестности апоселения, а за счет возмущений, в основном, от Земли. Затем КА в периселении своей орбиты подлетает к конечной орбите, в общей точке сообщается заключительный импульс скорости.

Замечание. Выполненный анализ учитывает только номинальное движение КА и не учитывает всегда возникающие ошибки управления и навигации, а также необходимость проведения коррекций, что, конечно, приведет к появлению дополнительных расходов топлива. Для выбора энергетически оптимальных траекторий полета необходимо минимизировать суммарные затраты топлива – и на номинальное управление, и на коррекцию траектории полета КА. Из-за большой чувствительности двухимпульсных траекторий к действующим на КА возмущениям, расход топлива на коррекцию для них будет, возможно, больше, чем для более устойчивого трехимпульсного выведения, что, в целом, может сократить выигрыш двухимпульсного варианта выведения в сравнении с трехимпульсным.

В будущих работах авторы планируют представить результаты анализа выведения с помощью одно-, двух- и трехимпульсного торможений для перехода на высокие круговые орбиты ИСЛ при подлете к Луне с севера N, а также с учетом ошибок управления, навигации и коррекций траектории полета на орбиту ИСЛ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе выполнен анализ выведения КА на высокие круговые полярные орбиты ИСЛ радиусом 5 тыс. км, их можно использовать для построения лунной спутниковой системы и, возможно, для размещения окололунной пересадочной платформы. Определены характеристики трех схем прямого перелета КА от Земли к Луне с одно-, двух- и трехимпульсным маневром торможения при переходе на конечную орбиту ИСЛ с подлетом к Луне с юга S.

В рамках исследования разных схем полета от Земли на орбиты ИСЛ развит алгоритм определения трехимпульсного перелета и разработан алгоритм определения его частного случая – двухимпульсного перелета, для которого промежуточный импульс – нулевой. Здесь, в частности, предложен алгоритм подбора подлетного наклонения в случае двухимпульсного торможения при переходе на высокую полярную круговую орбиту ИСЛ радиусом 5 тыс. км.

Для времени перелета Земля–Луна 4.5 дня и на интервале дат подлета КА к Луне с 31.XII.2029 по 1.I.2031 получены количественные результаты анализа для рассмотренных вариантов торможения. Выполнен сравнительный анализ разных схем маневра для номинальных траекторий, без учета коррекций. В частности, проведено сравнение результатов, полученных для двухимпульсного перехода, с его одноимпульсными и трехимпульсными аналогами.

Показано, что для заданной схемы выведения с помощью РН “Союз-2.1б” с РБ “Фрегат” выигрыш трехимпульсного выведения над одноимпульсным ${{\delta }}V_{f}^{{\left( {{\text{1 - 3}}} \right)}}$ по суммарной характеристической скорости меняется в пределах от ~79 до ~116 м/с, а по конечной массе КА δm^(3-1) – от ~ 45 до 64 кг. Выигрыш двухимпульсного выведения над трехимпульсным по характеристической скорости составляет ${{\delta }}V_{x}^{{\left( {{\text{3 - 2}}} \right)}}$ от ~29 до ~35 м/с, а по конечной массе КА δm^(2-3) от ~20 до 22.2 кг. Выигрыш двухимпульсного выведения над одноимпульсным составляет по характеристической скорости ${{\delta }}V_{x}^{{\left( {{\text{1 - 2}}} \right)}}$ от ~114 до ~155 м/с, а по конечной массе КА δm^(2-1) от ~65 до ~86.3 кг. Для такой схемы выведения для варианта с двухимпульсным торможением при переходе на указанную конечную орбиту в 2030 г. суммарная характеристическая скорость $\Delta V_{f}^{{\left( 2 \right)}}$ меняется в диапазоне от ~525 до ~577 м/с, при этом масса КА на целевой орбите варьируется от ~1652.9 до ~1694.8 кг.

Показано, что возмущения, в основном, от Земли, так сильно воздействуют на двух- и трехимпульсную траектории, что в случае двухимпульсного выведения подлетное наклонение i₀ в зависимости от даты перехода КА на орбиту ИСЛ меняется в пределах от ~32° до ~66°, а в случае трехимпульсного – от ~55° до ~77°. Таким образом, диапазон изменения подлетного наклонения в двухимпульсном случае (~34°) существенно шире, чем в трехимпульсном варианте, для которого этот разброс равен ~22°. Такая же картина наблюдается и для продолжительности движения КА по орбитам вокруг Луны. В случае двухимпульсного торможения она меняется в пределах от ~4.2 до ~8.1 сут, а в трехимпульсном – в пределах от ~3.8 до ~4 сут.

Расстояние в удаленном апоселении для трехимпульсного варианта принято на основании предыдущего анализа равным 45 тыс. км, а в двухимпульсном случае оно определяется алгоритмом, меняясь в широком диапазоне – от 46.5 до 65.5 тыс. км, таким образом, его разброс составляет ~19 тыс. км. Возникающее здесь, в районе границы сферы действия Луны относительно Земли, сильное возмущение позволяет получить двухимпульсные траектории с нулевым промежуточным импульсом скорости, имеющие в рассмотренных ситуациях наименьшие характеристические скорости перелета.

Отмечена необходимость дальнейшего развития анализа задачи, в частности, с учетом коррекций для парирования ошибок управления и навигации при полете КА на заключительном этапе перелета на орбиту ИСЛ.