Известия РАН. Механика твердого тела, 2020, № 5, стр. 21-26

НЕЛИНЕЙНЫЕ ТЕНЗОР-ФУНКЦИИ ДВУХ АРГУМЕНТОВ И НЕКОТОРЫЕ “ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ” НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Д. В. Георгиевский ab*

a Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Москва, Россия

b Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Москва, Россия

* E-mail: georgiev@mech.math.msu.su

Поступила в редакцию 25.11.2019
После доработки 08.12.2019
Принята к публикации 10.02.2020

Аннотация

Исследуется общее представление в трехмерном пространстве симметричной изотропной тензор-функции второго ранга, зависящей от двух тензорных аргументов также второго ранга. В данное представление входят восемь скалярных материальных функций десяти инвариантов зависимых тензоров, включая четыре совместных инварианта. Тензор-функция интерпретируется как определяющее соотношение изотропного нелинейного материала, выражающее связь деформаций с напряжениями и скоростями напряжений. Выбирается определенный вид напряженного состояния, соответствующий комбинации осевого растяжения стержня постоянной силой и (θz)-кручения периодическим по времени моментом. Показывается, что при надлежащем подборе упомянутых восьми материальных функций как функций инвариантов напряженного состояния можно описать гораздо более сильное изменение осевых деформаций при совместном растяжении и циклическом кручении, чем при отдельном растяжении без кручения. Такой “ортогональный эффект” напряженно-деформированного состояния близок по форме к известным в экспериментальной механике рэтчеттингу и виброползучести.

Ключевые слова: нелинейная тензор-функция, изотропия, напряжение, деформация, скорость напряжений, рэтчеттинг, виброползучесть, “ортогональный эффект”

DOI: 10.31857/S0572329920040042

Список литературы

  1. Лохин В.В., Седов Л.И. Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов // ПММ. 1963. Т. 27. Вып. 3. С. 393–417.

  2. Спенсер Э. Теория инвариантов. М.: Мир, 1974. 156 с. Spencer A.J.M. Continuum Physics. V. 1. Part III. Theory of Invariants. N.-Y. London, 1971. P. 239–353.

  3. Георгиевский Д.В. О потенциальных изотропных тензор-функциях двух тензорных аргументов в МДТТ // Изв. РАН. МТТ. 2010. № 3. С. 220–224.

  4. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: ЛЕНАНД, 2014. 320 с.

  5. Аннин Б.Д. Формула Лагранжа–Сильвестра для тензорной функции, зависящей от двух тензоров // Докл. АН СССР. 1960. Т. 133. № 4. С. 743–744.

  6. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986. 264 с.

  7. Гольдштейн Р.В., Ентов В.М. Качественные методы в механике сплошных сред. М.: Наука, 1989. 224 с.

  8. Димитриенко Ю.И. Нелинейная механика сплошной среды. М.: Физматлит, 2009. 624 с.

  9. Георгиевский Д.В. Избранные задачи механики сплошной среды. М.: ЛЕНАНД, 2018. 560 с.

  10. Георгиевский Д.В. Об “ортогональных эффектах” напряженно-деформированного состояния в механике сплошной среды // Вестн. Киевского нац. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. 2013. № 3. С. 114–116.

  11. Георгиевский Д.В. Об угле между девиаторами напряжений и скоростей деформаций в тензорно-нелинейной изотропной среде // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 2013. № 6. С. 63–66.

  12. Георгиевский Д.В. Порядок малости эффекта Пойнтинга с позиций аппарата тензорно нелинейных функций // Изв. РАН. МТТ. 2018. № 4. С. 29–33.

  13. Wertheim G. Me′moire sur la torsion. Premire Partie // Annales de Chimie et de Physique. 1857. Ser. 50. P. 195–321.

  14. Poynting J.H. On the changes in the dimensions of a steel wire when twisted, and on the pressure of distorsional waves in steel // Proc. Roy. Soc. London. 1912. Ser. A86. P. 534–561.

  15. Green A.E. A note on second-order effect in the torsion of incompressible cylinders // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1954. V. 50. № 3. P. 488–490.

  16. Batra R.C., dell’Isola F., Ruta G.C. Generalized Poynting effects in prismatic bars // J. Elasticity. 1998. V. 50. № 2. P. 181–196.

  17. Akinola A. An energy function for transversely isotropic elastic material and the Poynting effect // Korean J. Comput. Appl. Math. 1999. V. 6. № 3. P. 639–649.

  18. Астапов В.Ф., Маркин А.А., Соколова М.Ю. Кручение сплошного цилиндра из изотропного упругого материала // Изв. Тульского ГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1999. Т. 5. Вып. 2. С. 43–48.

  19. Гавриляченко Т.В., Карякин М.И. Об особенностях нелинейно-упругого поведения сжимаемых тел цилиндрической формы при кручении // ПМТФ. 2000. Т. 41. № 2. С. 188–193.

  20. Малышев Б.М. Пластическое течение при совместном непрерывном растяжении и кручении под действием малых крутящих моментов // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика, астрономия, физика, химия. 1958. № 1. С. 55–68.

  21. Малышев Б.М. Кручение трубок при ступенчатом изменении крутящего момента в процессе непрерывного растяжения // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика, астрономия, физика, химия. 1958. № 2. С. 33–46.

  22. Васин Р.А., Быля О.И., Чистяков П.В. О некоторых тенденциях в исследовании ретчеттинга // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 2020. № 4.

  23. Локощенко А.М. Виброползучесть металлов при одноосном и сложном напряженных состояниях // Изв. РАН. МТТ. 2014. № 4. С. 111–120.

Дополнительные материалы отсутствуют.