Известия РАН. Механика твердого тела, 2021, № 3, стр. 62-67

Введение. Рассматривается флаттер пластины, обтекаемой, с одной стороны, потоком воздуха. Принята математическая модель флаттера пластины построена А.А. Ильюшиным, И.А. Кийко [1]. Эффективный алгоритм решения задачи разработан автором и Кийко И.А. [2]. Основу программы составляет построение дискретного бигармонического оператора по методике [3]. Конформное отображение строится по программе Э.П. Казанджана [4]. Программный комплекс устроен таким образом, что если известны параметрические уравнения границы области, то возможно найти критическую скорость флаттера и построить соответствующую собственную форму. Стандартно критическая скорость флаттера ищется на двух сетках 9 × 15 и 15 × 31; критерием правильности расчета является близость полученных значений, возможно задать произвольную сетку.

1. Математическая постановка задачи. Исследование устойчивости колебаний тонкой пластины произвольной формы в плане, которая в плоскости x, y занимает область G с границей $\partial G$ и обдувается потоком газа, приводит к спектральной задаче [1] для амплитудного значения прогибов ${{\varphi }} = {{\varphi }}(x,y)$, $(x,y) \in G$.

Здесь Е, ν – модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала пластины, h – ее толщина, V = (V_x, V_y) – вектор скорости газа, р₀, с₀ – давление и скорость звука в невозмущенном потоке, k – показатель политропы газа.

Собственное число λ связано с частотой колебаний соотношением

в котором ρ – плотность материала пластины.

Оператор М в (1.2) – это известный в теории пластин дифференциальный оператор, определяемый типом граничных условий. Методика решения спектральной задачи (1.1)– (1.3) описана для произвольного оператора М.

Колебания пластины будут устойчивыми или нет в зависимости от того, будет ли Reω < 0 или Reω > 0; если ${{{{\lambda }}}_{1}} = {{{{\alpha }}}_{1}} + i{{{{\beta }}}_{1}}$ – наименьшее по модулю собственное значение, то вследствие (1.3) выписанным неравенствам соответствуют $F\left( {{{{{\alpha }}}_{1}},{{{{\beta }}}_{1}}} \right) > 0$ или $F({{{{\alpha }}}_{1}},{{{{\beta }}}_{1}})$ < 0, где $F\left( {{{{{\alpha }}}_{1}},{{{{\beta }}}_{1}}} \right) = {{{{\alpha }}}_{1}}{{\beta }}_{1}^{2} - {{\rho }}h{{\beta }}_{1}^{2}$. Поскольку ${{{{\alpha }}}_{1}} = {{{{\alpha }}}_{1}}\left( V \right)$, ${{{{\beta }}}_{1}} = {{{{\beta }}}_{1}}\left( V \right)$ уравнение $F({{{{\alpha }}}_{1}},{{{{\beta }}}_{1}})$ = 0 определяет нейтральную кривую и соответствующую ей критическую скорость флаттера. Речь идет, следовательно, о нахождении нулей функции F(α₁(V), ${{{{\beta }}}_{1}}(V))$ при заданном направлении вектора скорости потока.

Обозначим через l характерный размер области G и введем безразмерные (со штрихами) координаты и параметры: $x = x{\kern 1pt} '{\kern 1pt} l$, $y = y{\kern 1pt} '$, $E = E{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {{p}_{0}}$, $h = h{\kern 1pt} '{\kern 1pt} l$, ${{\rho }} = \frac{{{{\rho }}{\kern 1pt} {\text{'}}{{p}_{0}}}}{{c_{0}^{2}}}$, ${{\omega }} = \frac{{{{\omega '}}{{c}_{0}}}}{l}$, $V = V{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {{c}_{0}}$, ${{\varphi }} = {{\varphi '}}l$.

Подставив в (1.1) (1.3), убеждаемся, что в безразмерной форме система сохраняет свой вид, если параметр β заменить на безразмерный параметр k. В дальнейшем изложении штрихи будем опускать.

Введем вместо декартовых координат х, у криволинейные координаты r, θ по формулам $x = u~\left( {r,~{{\theta }}} \right)$, $y = {\text{\;}}{v}(r,~{{\theta }})$; если выполнены условия Коши–Римана

то система координат r, θ ортогональна. Выберем теперь функции $u~\left( {r,~{{\theta }}} \right)$, и ${v}(r,~{{\theta }})$ таким образом, чтобы функция задавала конформное отображение круга $\left| \zeta \right| = r \leqslant 1$ на область G. Тогда в координатах $(r,{{\theta }})$ уравнение (1.1) примет вид граничные условия (1.2) преобразуются известным образом [6]. В дальнейшем изложении область G предполагается односвязной, а контур $\partial G$ – кривой Ляпунова; это обеспечивает выполнение основной теоремы Римана и теоремы о соответствии границ. Обозначим и запишем уравнение (1.4) в виде

Теперь очевидно, что дискрeтизация краевой задачи (1.5), (1.2) вполне аналогична описанной ранее [5] для бигармонического оператора.

2. Вычислительные эксперименты. Рассматривалась эллиптическая пластина с большой полуосью a = 1 и эксцентриситетом e = 0.7 для 4-х материалов: титан $({{c}_{2}}$ = 14.773, сталь $({{c}_{2}} = 15.131)$, алюминий $({{c}_{2}} = 15.214){\text{\;}}$ и дюралюминий $\left( {{{c}_{2}} = 15.257} \right)$, где c₂ – безразмерная скорость звука в пластине (отношение скорости звука в пластине к скорости звука в воздухе). Величина $h \times {{10}^{3}}$ менялась от 1 до 5 с шагом 1, где h – толщина пластины (безразмерная, a – характерный размер). Критическая скорость флаттера ищется на двух сетках 9 × 15 и 15 × 31; критерием правильности расчета является близость полученных значений. Было произведено 80 расчетов. Проводились 4 серии расчетов (по 20 расчетов в серии):

Первая краевая задача (защемленная по контуру пластинка). Рассматривается случай θ = 0, где θ – угол направления вектора потока с осью Ox. По результатам численных расчетов подбиралась аналитическая зависимость критической скорости флаттера $z = {{{v}}_{{{\text{кр}}}}}$, от двух безразмерных параметров $x = {{c}_{2}}$ – безразмерная скорость звука в пластине (отношение скорости звука в пластине к скорости звука в воздухе), $y = h \times {{10}^{3}}$, где h – толщина пластины (безразмерная, a – характерный размер) в результате получено:

Первая краевая задача (защемленная по контуру пластинка). Рассматривается случай ${{\theta }} = \pi {\text{/}}2$. Получена та же зависимость (2.1), где $a = 10.889836$, $b = - 0.71384416$, c = = $0.023068911$.

Вторая краевая задача (свободно опертая по контуру пластинка). Рассматривается случай θ = 0. Получена та же зависимость (2.1), где $a = 1.4538196$, $b = - 0.089596533$, $c = 0.011091714$.

Вторая краевая задача (свободно опертая по контуру пластинка). Рассматривается случай θ = π/2. Получена та же зависимость (2.1), где $a = 3.885002$, $b = - 0.25079837$, $c = 0.019491586$.

Дальнейшие расчеты проводились для алюминиевой пластины с разными направлениями вектора скорости потока.

В этих таблицах в левой колонке приведены углы ${{\theta }}$ направления вектора потока с осью Оx. Запись 9 × 15 означает сетку в круге из 9 окружностей по 15 точек на каждой окружности и т.п. Число в круглых скобках указывает номер собственного значения, по которому исследовалась устойчивость.

По таблицам 1, 3–6 подбиралась аналитическая зависимость критической скорости флаттера от двух параметров h – толщина пластины и θ – направление вектора скорости с осью абсцисс. В приведенных формулах первый параметр x = h, а y – доля π в θ. Например, для ${{\theta }} = {{\pi /}}8$, $y = 1{\text{/}}8$.

3. Выводы. I. Во всех проведенных расчетах подтвердилось, что зависимость критической скорости флаттера $z = {{{v}}_{{cr}}}$, от двух безразмерных параметров $x = {{с}_{2}}$ – безразмерная скорость звука в пластине (отношение скорости звука в пластине к скорости звука в воздухе), $y = h \times {{10}^{3}}$, где h – толщина пластины (безразмерная, a – характерный размер) есть $z = a + bx + c{{y}^{3}}$. Это утверждение не противоречит ранее полученному соотношению (2.1) $z = a + с{{y}^{3}}$ для алюминиевой пластины, т.е. когда варьировалась только толщина пластины, bx – поправка на материал.

Можно сказать, что решена задача табулирования: вместо того, чтобы хранить громоздкие таблицы со значениями критической скорости флаттера, зависящей от двух параметров, достаточно воспользоваться простой формулой (2.1).

II. Максимум критической скорости флаттера для алюминиевой пластины достигается при обтекании вдоль малой полуоси эллипса, а минимум при обтекании вдоль большой оси эллипса для обеих краевых задач: 1-я краевая задача – защемленная пластинка; 2-я краевая задача – свободно опертая пластинка. В первом случае критическая скорость флаттера монотонно возрастает от значения 0.3622 до значения 0.4505 (при $h = 0.003$). Во втором случае монотонного возрастания критической скорости флаттера для алюминия нет, а для титана есть. Видимо это связано с тем, что первый материал более мягкий.

Для алюминия зависимость критической скорости флаттера от двух параметров h – толщина пластины и θ – направление вектора скорости с осью абсцисс представляется рациональной функцией (для обеих краевых задач):

Первая краевая задача $z = \frac{{(a + bx + c{{x}^{2}} + dy)}}{{(1 + ex + fy + g{{y}^{2}} + h{{y}^{3}})}}$,

Вторая краевая задача

Эти формулы содержат 8 параметров, которые могут быть определены в методических расчетах (для других значений эксцентриситета).

Благодарность. Работа выполнена по теме государственного задания № АААА-А20-120011690132-4.