Известия РАН. Механика твердого тела, 2022, № 4, стр. 85-89
СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОНЦЕНТРАЦИИ МИКРОДЕФЕКТОВ В РАСТЯГИВАЕМЫХ ОБРАЗЦАХ МАТЕРИАЛА
Д. В. Бабич a, *, Т. И. Дородных b, **
a Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины
Киев, Украина
b Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого
Тула, Россия
* E-mail: babich_dv@ukr.net
** E-mail: tdortula@gmail.com
Поступила в редакцию 26.05.2021
После доработки 09.08.2021
Принята к публикации 12.08.2021
- EDN: TLDBUC
- DOI: 10.31857/S0572329922040031
Аннотация
Разрушение материала является сложным, многоэтапным процессом, включающим рассеянные микроразрушения структурных элементов. Разрушение структурных элементов может происходить путем образования плоских микротрещин отрыва, сдвига или при наличии обоих механизмов. В работе приводятся методики определения концентрации микродефектов в повреждающемся материале на основании законов распределения пределов прочности (текучести) в структурных элементах материала и на основании экспериментальных данных по определению основных механических характеристик материала при растяжении стандартных образцов.
Введение. В процессе деформирования гетерогенных материалов образуются повреждения в виде микротрещин отрыва и сдвига либо в виде площадок текучести. Микроповреждения в материале существенно влияют на значения основных деформационных характеристик типа предел пропорциональности, предел пластичности, временное сопротивление и коэффициент поперечного сужения. Это обстоятельство сказывается на результатах расчетов на прочность, устойчивость и др. для реальных конструкций. Как правило, такие расчеты идут в запас прочности. Очевидно, в связи с этим указанный вопрос обсуждался недостаточно. В настоящее время существуют различные подходы к моделированию микроповреждаемости материалов [1–6, 14–17]. Есть подходы, где учитывается взаимодействие соседних структурных элементов в процессе деформирования, что приводит к изменению масштаба и типа структурных элементов. При взаимодействии микротрещин в материале возникает развитие регулярной структуры разрушения. Например, взаимодействие микротрещин в пористом теле при сжатии с образованием такой структуры разрушения, рассматривается в работе [7]. Следует отметить подходы с использованием метода минимизации целевой функции осуществляемого с помощью алгоритма Левенберга–Марквардта [8–10].
Структурно-вероятностная модель повреждаемости материала описана в работах [1, 3, 4]. Результаты исследований особенностей деформирования, разрушения конструкций, устойчивости тонкостенных конструкций, а также работы по электроупругим материалам, с учетом микроразрушений отражены в работах [1–6, 11].
В указанных работах для оценки степени поврежденности материала используется параметр $p = {{{\text{F}}}_{r}}{\text{/}}{{{\text{F}}}_{0}}$, где ${{{\text{F}}}_{0}}$ – исходная эффективная площадь сечений, ${{{\text{F}}}_{r}}$ – разрушенная часть исходной площади. Для определения параметра $p$ используются функции распределения случайных значений пределов прочности структурных элементов материала.
Концентрация микроразрушений $p$ является одной из основных характеристик материала, поэтому поиск способов определения этой характеристики представляет теоретический и практический интерес. Наряду с аналитическим способом определения концентрации микроразрушений в образцах на основе функции распределения пределов прочности (текучести) в структурных элементах материала, приводится новый экспериментальный способ на основе замеров текущих значений удлинения образцов в макроэксперименте.
1. Экспериментальный способ. При растяжении экспериментальных образцов силой ${\text{P}}$ образуется остаточная деформация
где ${{\varepsilon }} = \bar {\sigma }{\text{/}}\overline {{{{\text{E}}}_{c}}} $ – полная деформация; ${{{{\varepsilon }}}_{y}} = \bar {\sigma }{\text{/}}\overline {{{{\text{E}}}_{0}}} $ – упругая деформация; $\overline {{{{\text{E}}}_{{\text{c}}}}} $ – секущий модуль; $\overline {{{{\text{E}}}_{{\text{0}}}}} $ – модуль упругости растягиваемого образца. Истинные напряжения $\bar {\sigma }$ определяются выражением(1.2)
$\overline {{\sigma }} = {\text{P/}}({{{\text{F}}}_{0}} - {{{\text{F}}}_{{{\nu }}}} - {{{\text{F}}}_{r}}) = {{{{\sigma }}}^{/}}{\text{/}}(1 - {{p}_{{{\nu }}}} - p)\,$В (1.2) обозначено: ${{{\text{F}}}_{{{\nu }}}},\,{{{\text{F}}}_{r}}$ – соответственно уменьшение эффективной площади сечения за счет эффекта Пуассона и микроразрушений в материале. ${{p}_{{{\nu }}}},p$ – относительные доли ${{{\text{F}}}_{{{\nu }}}},\,{{{\text{F}}}_{r}}$; ${{{{\sigma }}}^{/}} = {\text{P/}}{{{\text{F}}}_{0}}$ – условные напряжения, в которых приводятся справочные данные об основных механических характеристиках материала; (${{\sigma }}_{{0.02}}^{/}$ – условный предел пропорциональности; ${{\sigma }}_{{0.2}}^{/}$ – условный предел текучести).
В процессе деформирования образца эффективная площадь сечений с учетом эффекта Пуассона и микроразрушений в материале определяется выражением
где ${{\nu }}$– коэффициент поперечного сужения, изменяющийся в процессе деформирования. С учетом (1.2), (1.3) выражение (1.1) преобразуется к виду(1.4)
${{{{\varepsilon }}}_{0}} = \frac{{{{{{\sigma }}}^{/}}}}{{{{{\overline {\text{E}} }}_{c}}(1 - p)\,{{{(1 - {{\nu }}\,{{\varepsilon }})}}^{2}}}} - \frac{{\varepsilon - {{\varepsilon }_{0}}}}{{{{{\overline {\text{E}} }}_{0}}(1 - p)\,{{{(1 - {{\nu }}\,{{\varepsilon }})}}^{2}}}}$С учетом, что первое слагаемое в (1.4) обозначает общую деформацию ${{\varepsilon }}$ следует соотношение
(1.5)
$p = 1 - \frac{{{{{{\sigma }}}^{/}}}}{{{{{\overline {\text{E}} }}_{0}}({{\varepsilon }} - {{{{\varepsilon }}}_{0}})\,{{{(1 - {{\nu }}\,{{\varepsilon }})}}^{2}}}}$С учетом малости ${{\nu \varepsilon }} \ll 1$ для конструкционных материалов типа сталей соотношение (1.5) принимает вид
(1.6)
$p = 1 - \frac{{{{{{\sigma }}}^{/}}}}{{{{{\overline {\text{E}} }}_{0}}({{\varepsilon }} - {{{{\varepsilon }}}_{0}})\,}}$В (1.6) выражение ${{\varepsilon }}_{y}^{/} = \frac{{{{{{\sigma }}}^{/}}}}{{{{{\overline {\text{E}} }}_{0}}}}$ – обозначает условную упругую деформацию, ${{\bar {\varepsilon }}_{y}} = {{\varepsilon }} - {{{{\varepsilon }}}_{0}}$ обозначает истинную упругую деформацию, ${{\varepsilon }}_{y}^{/} = (1 - p) \cdot {{\bar {\varepsilon }}_{y}}.$
В абсолютно упругом теле ${{{{\varepsilon }}}_{0}} = 0$, в частично упругом ${{{{\varepsilon }}}_{0}} \ne 0$ [18]. При деформировании частично упругого материала в упругой области $0 < {{{{\sigma }}}^{/}} \leqslant {{\sigma }}_{{0.02}}^{/}$ имеет место выражение
(1.7)
${{{{\varepsilon }}}_{0}} = \frac{{{{{{\sigma }}}^{/}}}}{{{{{\overline {\text{E}} }}_{0}}(1 - p)\,}} - \frac{{{{{{\sigma }}}^{/}}}}{{{{{\text{E}}}_{0}}}}\,$(1.8)
${{{{\varepsilon }}}_{0}} = {{{{\varepsilon }}}_{ + }} - \,{\text{|}}{{{{\varepsilon }}}_{ - }}{\text{|}}$Из (1.7) следует выражение для концентрации микротрещин отрыва
(1.9)
$p = 1 - \frac{{{{{{\varepsilon }}}_{ + }}}}{{\left| {{{{{\varepsilon }}}_{ - }}} \right| + {{{{\varepsilon }}}_{0}}}}$Абсолютно упруго материал ведет себя в диапазоне напряжений $0 < {{{{\sigma }}}^{/}} \leqslant {{\sigma }}_{{{\text{ce}}}}^{/},$ где ${{\sigma }}_{{c\,e}}^{/}$ – минимальный предел прочности структурных элементов материала. Параметр ${{\sigma }}_{{c\,e}}^{/}$ представляет собой максимальное условное напряжение в образце, при котором ${{{{\varepsilon }}}_{0}}$ = 0.
Методика аналитического определения величин ${{{\text{E}}}_{ + }},{{\overline {\text{E}} }_{0}},{{{\text{E}}}_{ - }}$ изложена в [3]. В частично упругом материале предел пропорциональности является условной величиной, которая зависит от принимаемого в качестве приближенного значения ${{{{\varepsilon }}}_{0}},$ при котором материал в некотором приближении считается упругим.
2. Аналитический способ. Физическая суть параметра p состоит в том, что он представляет относительную долю площади пересекаемых структурных элементов, в которых локальные напряжения достигают уровня пределов прочности либо текучести. В [13] на основе анализа тонких срезов осадков в петрографии показано, что $p = \frac{{{{N}_{0}}}}{N}\,,$ где N и N0 соответственно общее число и число разрушенных структурных элементов. Существует несколько подходов к определению распределения пределов прочности (текучести). Для аппроксимации распределения прочностных свойств кристаллитов и зерен различной ориентации в микронеоднородных материалах предложены различные законы: степенной закон [4], нормальный закон распределения микропрочности [4], функция распределения Вейбулла [4], функция распределения Пирсона третьего рода [16] и др.
В качестве примера рассматривается степенной закон. Согласно этому закону плотность и интегральная функция распределения пределов прочности (текучести) структурных элементов имеют вид
(2.1)
$f(\bar {\sigma }) = \frac{{dp(\bar {\sigma })}}{{d\bar {\sigma }}} = {{\alpha }}\left( {\frac{1}{{{{{\bar {\sigma }}}_{1}} - {{{\bar {\sigma }}}_{0}}}}} \right){{\left( {\frac{{\bar {\sigma } - {{{\bar {\sigma }}}_{0}}}}{{{{{\bar {\sigma }}}_{1}} - {{{\bar {\sigma }}}_{0}}}}} \right)}^{{\alpha - 1}}}$(2.2)
$p(\overline {{\sigma }} ) = {{\left( {\frac{{\overline {{\sigma }} - {{{\overline {{\sigma }} }}_{0}}}}{{{{{\overline {{\sigma }} }}_{1}} - {{{\overline {{\sigma }} }}_{0}}\,}}} \right)}^{{{\alpha }}}}$В (2.1), (2.2) обозначено: $\bar {\sigma }$ – случайные значения пределов прочности (текучести) структурных элементов при растяжении; ${{\bar {\sigma }}_{0}},{{\bar {\sigma }}_{1}}$ – соответственно минимальное и максимальное значения пределов прочности (текучести); α – коэффициент рассеивания пределов прочности.
В случае микродефектов сдвига в формулах (2.1), (2.2) следовало бы перейти к касательным напряжениям. Однако в этом нет необходимости, поскольку характерные сдвиговые параметры определяются через соответствующие параметры в нормальных напряжениях. Поэтому независимо от критериев текучести конечный результат (значение $p$) будет одинаковым. В случае касательных напряжений отсутствует эффект Пуассона, которым пренебрегается в конечных выражениях при нормальных напряжениях.
Способы определения параметров интегральной функции распределения $p(\bar {\sigma })$ изложены в [1, 6].
Очевидно, интенсивное разрушение либо текучесть в структурных элементах начинаются при напряжениях больших предела пропорциональности. Поэтому принимается ${{\bar {\sigma }}_{0}} = {{\sigma }_{{0.02}}}$.
В дальнейшем в качестве примера микроразрушение в материале рассматривается в интервале напряжений ${{\bar {\sigma }}_{{0.02}}} < {{\bar {\sigma }}^{/}} \leqslant {{\bar {\sigma }}_{{0.2}}}$, где цифрами внизу обозначены значения остаточной деформации в долях процента. В указанном интервале параметры α и ${{\bar {\sigma }}_{1}}$ определяются выражениями [6]:
(2.4)
${{\bar {\sigma }}_{1}} = \frac{{(1 + {{\alpha }})}}{{{\alpha }}}({{\bar {\sigma }}_{{0.2}}} - {{{{\sigma }}}_{{0.02}}}) + {{{{\sigma }}}_{{0.02}}}$Основанием для определения параметра $\alpha $ для истинного ${{\bar {\sigma }}_{{0.2}}}$ по формулам (2.3) является равенство дисперсии для случайных значений условного и истинного пределов текучести. Вследствие этого коэффициент вариации ${{w}_{{0.2}}}$ для условного $({{\sigma }}_{{0.2}}^{/})$ и истинного $({{\bar {\sigma }}_{{0.2}}})$ пределов текучести будет одинаковым. Выражение (2.2) с учетом (2.4) преобразуется к виду
По экспериментальным данным концентрация микродефектов определяется формулой (1.6). Соотношение (1.6) позволяет проверить достоверность выражения (2.5) в частном случае условного ${{\sigma }}_{{0.2}}^{/}$. В случае других условных пределов текучести ${{\sigma }}_{х}^{/}$ такая проверка возможна при известных значениях коэффициента вариации ${{w}_{х}}$ для заданного ${{\sigma }}_{х}^{/}$.
3. Числовой пример. Проверка достоверности выражений (1.6), (2.5) проводится путем сравнения результатов расчета по этим формулам для стали 15 × 2МФА, стандартные характеристики для которой составляют [14]:
Из формулы (2.3) для заданного ${{\sigma }}_{{0.2}}^{/}$ следует ${{\alpha }} = 1.5813$. По формуле (2.5) p = 0.4608, а согласно (1.6) $p = 0.4901$. Значения концентраций микродефектов, рассчитанные по соотношениям (1.6), (2.5) согласуются в рамках допустимой точности.
Заключение. Изложены экспериментальный и структурно-вероятностный подходы к определению концентрации микроразрушений при растяжении повреждающихся образцов. Случай сжатия образцов требует отдельного рассмотрения. Показано, что остаточная деформация является следствием микроразрушений в материале. При отрывном микроразрушении образцов остаточная деформация определяется разностью значений деформации при растяжении и сжатии, поскольку при растяжении в материале образца происходят микроразрушения, а при сжатии материал ведет себя как сплошной. С учетом изложенного выше было бы полезно расширить список основных стандартных механических параметров типа предел пропорциональности, условный предел текучести, предел прочности, дополнив его соответствующими указанным параметрам значениями коэффициентов вариации, полной и остаточной деформациями.
Список литературы
Бабич Д.В. Моделирование связаного процесса деформирования и трещинообразования в упругохрупких материалах // Пробл. прочн. 2004. № 2. С. 96–105.
Бабич Д.В. Статистический критерий разрушения для хрупких материалов при статических и повторяющихся нагружениях // Теор. прикл. мех. 2011. № 7. С. 16–27.
Бабич Д.В. Влияние геометрии плоских микроповреждений материала на его деформационные свойства // Пробл. прочн. 2011. № 3. С. 160–174.
Болотин В.В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. М.: Машиностроение, 1984. 312 с.
Бабич Д.В., Дородных Т.И. Неоднозначность критической нагрузки для сферических оболочек при повреждаемости // Изв. РАН МТТ. 2016. № 1. С. 97–109.
Бабич Д.В., Дородных Т.И. Статистическая модель усталостного разрушения материалов // Изв. РАН МТТ. 2018. № 5. С. 133–144.
Гольдштейн Р.В., Осипенко Н.М. О модели разрушения структурированной среды в условиях сжатия // Изв. РАН МТТ. 2010. № 6. С. 86–97.
Лебедев И.М., Шифрин Е.И. Обнаружение множественных трещин в балке с помощью собственных частот поперечных колебаний // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Сер. мех. пред. сост . 2020. Т. 44. С. 19–26.
Shifrin E.I. Identification of small well-separated defects in an isotropic elastic body using boundary measurements // Mech. Sys. Signal Proc. 2016. V. 70. P. 613–624.
Shifrin E.I., Popov A.L., Lebedev I.M., Chelyubeev D.A., Kozintsev V.M. Numerical and experimental verification of a method of identification of localized damages in a rod by natural frequencies of longitudinal vibration // Acta Mech. 2021. V. 232. № 5. P. 1797–1808.
Бабич Д.В., Дородных Т.И. Структурно-вероятностная интерпретация деформационной теории пластичности // Мат. методи фіз.-мех. поля. 2018. Т. 61 № 2. С. 124–133.
Канторова Т.А., Френкель Я.И. Статистическая теория хрупкой прочности реальных кристаллов // Ж. тех. физ. 1941. Т. 11. Вып. 3. С. 173–183.
Кендалл М., Моран П. Геометрические вероятности. М.: Наука, 1972. 192 с.
Махутов Н.А., Зацаринный В.В., Базарас Ж.M. Статистические закономерности малоциклового нагружения. М.: Наука, 1989. 252 с.
Салганик Р.Л. Механика тел с большим числом трещин // Изв. АН СССР. МТТ. 1973. № 4. С. 149–158.
Справочник по теории вероятностей и математической статистике / Под Ред. В.С. Королюк, Н.И. Портенко, А.В. Скороход, А.Ф. Турбан. М.: Наука, 1985. 640 с
Тамуж В.П., Куксенко В.С. Микромеханика разрушения полимерных материалов. Рига: Зинатне, 1978. 294 с.
Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. Т. 1. М.: Наука, 1966. 363 с.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Известия РАН. Механика твердого тела