Известия РАН. Механика твердого тела, 2023, № 1, стр. 47-54

Введение. Импульсные воздействия на гидрогеофизические массивы могут иметь естественное (падения астероидов, извержения вулканов, сейсмические воздействия и т.д.) и искусственное (надземные, подземные и подводные взрывы) происхождения. Во многих случаях они сопровождаются крупномасштабными динамическими изменениями окружающей природной среды с возникновениями цунами, наводнений, оползней и обвалов береговых склонов [1–5] и, нередко, оказывают значительные негативно-разрушающие воздействия на населенные пункты, селитебные территории, объекты экономики, представляя значительную угрозу для безопасности жизнедеятельности людей. При научных исследованиях указанных воздействий с оценкой их мощности и прогнозом возможных последствий наиболее широкое применение получила гидродинамическая модель тяжелой идеальной жидкости [3, 5, 6]. В частности, в работах [6, 7] рассматриваются случаи падения (ударов) высокоскоростных (до 15–50 км/с) астероидов на земную и водную поверхности с проникновениями, соответственно, в грунтовую толщу и до дна водной акватории.

Особенности развития во времени подводного импульса (взрыва) рассматривается в работе [3, с. 279–281], где указано также на наличие гидродинамического парадокса – при увеличении глубины расположения источника импульса (в определенном интервале) не происходит снижение силы импульсного воздействия, то есть пробивная сила ударной волны остается постоянной. Задача о распределении импульсных давлений по ряду плавающих тел в покоящейся жидкости при ударном воздействии на одного из них в момент времени, непосредственно следующий за ударом, изложена в [6, с. 259].

Импульсные (взрывные) методы воздействия на гидрогеофизические массивы могут быть использованы также при создании искусственных островов и оградительных дамб (преимущественно в относительно мелкой воде) путем комбинированных разновременных взрывов, при которых первые (вспомогательные заряды) удаляют слой воды, а вторые (наклонные заряды с двух сторон) набрасывают (сгребают) грунт дна водоема в тело насыпи [8, с. 8].

В работе [9, с. 77] рассматривается задача о распределении давления в безграничной несжимаемой жидкости от воздействия подводного импульсного источника (взрыва мины) в начальный (весьма малый) промежуток времени в гидромеханической постановке как плоская задача осесимметричного потенциального потока без учета наличия водной поверхности.

1. Постановка задачи. В работе начальное импульсное воздействие заглубленного источника округленного профиля на гидрогеофизический массив (водный, грунтовый) рассматривается в плоской постановке как задача гидромеханического моделирования потенциального потока [1, 2, 6, 10], принимая контур источника импульса за полный (единичный) потенциал, а горизонтальную поверхность массива (линию стока) – за линию нулевого потенциала (рис. 1).

2. Метод и построение решения. Задача решается на основе теории функции комплексного переменного с использованием метода последовательных конформных отображений, отличительной особенностью от [1, 3, 6] которой является аналитическое определение в элементарных функциях характеристик потенциального потока в первоначальный момент времени импульсного воздействия.

В силу симметрии физической области течения $z = x + iy$ (рис. 1, a) в качестве расчетной схемы принята правая ее половина $ABCDE$ (рис. 2, a), представленная в IV квадранте источником импульса округленного профиля (размером d по вертикальной оси), заглубленным в гидрогеофизический массив на величину $h$. Решение задачи отыскивается на основе аналитической однозначной взаимосвязи между указанной областью физической течения $z = x + iy$ (рис. 1, 2, a) и областью комплексного потенциала $W = {{\varphi }} + i{{\psi }}$, геометрический образ которого для принятой расчетной схемы представлен прямоугольником $ABCD(E)$ с точкой A в центре координат ${{\varphi }}A{{\psi }}$ (рис. 2, i), где ${{\varphi }}$ и ${{\psi }}$ – напорная (потенциальная) функция и функция тока. В указанном прямоугольнике линии равного напора $BC$ и $AE$ соответствуют значениям потенциала, равным напорам – единичному ${{\varphi }} = H = 1$ (в усл. ед.) и нулевому ${{\varphi }} = 0$, а линии тока $BA$ и $CD$ – значениям функции тока нулевого (${{\psi }} = 0$) и полного (для правой половины области течения ${{\psi }} = q$) расходов.

При этом имеем следующие граничные условия (рис. 1, 2):

– по линиям осевой симметрии (непроницаемые границы) $BA$ и $CD$ функция тока ${{\psi }}$ равна, соответственно, нулевому ${{\psi }} = 0$ и полному расходу ψ = q;

– вдоль очертания импульсного источника $BC$ и линии поверхности стока $AE$ функции тока ${{\psi }}$ растут от нулевого значения ${{\psi }} = 0$ до полного расхода ψ = q;

– напорная (потенциальная) функция ${{\varphi }}$ на линии контура источника импульса $BC$ равна полному (единичному) напору $H$ (${{\varphi }} = H = 1$), а на выходном участке стока $AE$ – нулевому значению ${{\varphi }} = 0$.

Аналитическая взаимосвязь между комплексными областями физического течения $z = x + iy$ (рис. 2, a) и комплексного потенциала $W = {{\varphi }} + i{{\psi }}$ (рис. 2, i) устанавливается путем их последовательного конформного отображения на единую связующую полуплоскость ${{\zeta }} = {{\xi }} + i{{\eta }}$ (рис. 2, h) [10–12]. При этом для конформного отображения области $z = x + iy$ на полуплоскость ${{\zeta }} = {{\xi }} + i{{\eta }}$ используются промежуточные комплексные области ${{z}_{1}} = {{x}_{1}} + i{{y}_{1}}$, $t = {{t}_{1}} + i{{t}_{2}}$, $S = {{S}_{1}} + i{{S}_{2}}$, ${{\gamma }} = {{{{\gamma }}}_{1}} + i{{{{\gamma }}}_{2}}$, ${{\varepsilon }} = {{{{\varepsilon }}}_{1}} + i{{{{\varepsilon }}}_{2}}$, $J = {{J}_{1}}$ + iJ₂ (рис. 2, b, c, d, e, f, g) с помощью функции [10–14]:

в которых

С другой стороны, необходимо также конформно отобразить на полуплоскость ${{\zeta }} = {{\xi }} + i{{\eta }}$ область комплексного потенциала $W = {{\varphi }} + i{{\psi }}$, имеющего вид прямоугольника шириной H = 1 и длиной равной q (рис. 2, i), для точного отображения которого на полуплоскость требуется использование эллиптического синуса Якоби [10–15]. Однако, возникающие при этом математические сложности (в том числе при последующих преобразованиях эллиптических функций Якоби [15, 16]), затрудняют получение итоговых аналитических выражений в элементарных функциях для непосредственного определения гидромеханических характеристик потока в начальный момент импульсного воздействия, что имеет важное значение как для теоретического анализа, так и решения прикладных задач.

Для преодоления изложенных математических трудностей ниже приводится новая методика конформного отображения области комплексного потенциала $W = {{\varphi }} + i{{\psi }}$, представленного в виде прямоугольника, на полуплоскость ${{\zeta }} = {{\xi }} + i{{\eta }}$ [10, 17, 18]. При этом используется промежуточная комплексная область ${{W}_{1}} = {{{{\varphi }}}_{1}} + i{{{{\psi }}}_{1}}$ – прямоугольник шириной ${{\pi }}$ с осевым расположением мнимой оси $O{{{{\varphi }}}_{1}}$ ( рис. 2, j), определяемая зависимостью (при H = 1)

который (при “удлиненном” прямоугольнике $q{\text{/}}H \geqslant 1$) отображается на полуплоскость ${{\zeta }} = {{\xi }} + i{{\eta }}$ элементарными алгебраическими соотношениями (с погрешностью ≪1%) [17, 18]:

При этом комплексные области $J = {{J}_{1}} + i{{J}_{2}}$ (рис. 2, g) и ${{\zeta }} = {{\xi }} + i{{\eta }}$ (рис. 2, h) связываются между собой по соответствию трех точек: $A$ (${{J}_{A}} = - a$, ${{{{\zeta }}}_{A}} = - 1$), $B$ (${{J}_{B}} = 0$, ${{{{\zeta }}}_{B}} = 1$) и $D$ (${{J}_{D}} = - \propto $, ) зависимостями:

где a – модуль точки A в комплексной области $J = {{J}_{1}} + i{{J}_{2}}$ (рис. 2, g), определяемый из последовательных отображений областей $z \to {{z}_{1}} \to t \to S \to {{\gamma }} \to {{\varepsilon }} \to J$ по формуле

При этом, для определения в формулах (2.4) значений параметров ${{\lambda }}$, $R$ и расхода $q$, из зависимости (2.5) для образа точки C в области ${{\zeta }} = {{\xi }} + i{{\eta }}$ (рис. 2, h)

выразим (при ${{J}_{C}} = 1$; ) значение ${{\lambda }}$ в виде подставляя которое в формулы (2.4), получим

Таким образом, устанавливаем аналитическую взаимосвязь $z = f(W)$ между областями физического течения $z = x + iy$ (рис. 2, a) и комплексного потенциала $W = {{\varphi }} + i{{\psi }}$ (рис. 2, i) с учетом значений промежуточных функций ${{z}_{1}},t,S,{{\gamma }},{{\varepsilon }},J,{{\zeta }},{{W}_{1}}$, определяемых по зависимостям (2.1)–(2.8). Разделяя в последних действительную и мнимую части и преобразовывая получим окончательные выражения в элементарных функциях для определения координат x и y области физического течения $z = x + iy$ при известных величинах $d$ и $h$ в зависимости от заданных значений напорной функции ${{\varphi }}$ и функции тока ${{\psi }}$ в виде:

в которых

3. Анализ результатов и примеры. Полученное строгое решение рассматриваемой задачи, представленное в виде аналитической взаимосвязи $z = f(W)$, позволяет определять на основе элементарных расчетных зависимостей (2.7)–(2.10) для заданных значений параметра импульсного очага d и глубины его расположения h значения всех необходимых гидромеханических характеристик потенциального потока (поля) в области физического течения в начальный момент времени.

При этом значения скоростей потока ${{V}_{x}}$ и ${{V}_{y}}$ – горизонтальной и вертикальной составляющих полной скорости $V$, определяются по зависимостям [10, 15]:

в которых $\Delta {{\varphi }}$, $\Delta {{\psi }}$ и $\Delta x$, $\Delta y$ расчетные величины приращений напоров и функции тока при соответствующих приращениях координат для рассматриваемых (весьма малых) участков области течения.

Очертание же профиля самого источника импульса определяется полуобратным методом – последовательным конформным отображением четверти дуги $BC$ единичной окружности в области ${{\gamma }} = {{{{\gamma }}}_{1}} + i{{{{\gamma }}}_{2}}$ (рис. 2, e) на область физического течения $z = x + iy$ (рис. 2, a) через промежуточные комплексные области $S = {{S}_{1}} + i{{S}_{2}}$, t = t₁ + it₂, ${{z}_{1}} = {{x}_{1}} + i{{y}_{1}}$ (рис. 2, d, c, b). При этом профиль источника импульса BC получает вид, описываемый параметрическими зависимостями:

для задаваемых значений $0 \leqslant {{{{\gamma }}}_{1}} \leqslant 1$ – от 0 (точки $B$) до 1 (точки $C$), где величина m находится по формуле (2.2).

На рис. 1, a, b приведены общая схема задачи в виде симметричного потенциального потока, а также результаты расчетов основных гидромеханических параметров для двух частных случаев при начальном импульсном воздействии (в усл. ед.):

– при $h = 5$; d = 1 (на правой половине рисунка)

– при $h = 1$; $d = 1$ (на левой половине рисунка)

При этом, для указанных случаев на рисунке также представлены:

– криволинейные ортогональные гидродинамические сетки потенциального потока;

– очертания профилей импульсного источника $BC$ в физической области течения (кривые 1);

– очертания семейств кривых функции тока (относительных расходов ${{\bar {\psi }}} = {{\psi /}}q$) – через 0.25 (кривые 2);

– очертания семейств кривых линий равных напоров (потенциальной функции ${{\varphi }}$) – через 0.25 (кривые 3);

– эпюры функции тока ${{\bar {\psi }}}$ вдоль границ стока (кривые 4);

– эпюры выходных скоростей потока ${{V}_{y}} = {{V}_{{out}}}$ вдоль границ стока (кривые 5);

– эпюры действующих вертикальных скоростей ${{V}_{y}}$ и напоров ${{\varphi }}$ вдоль осевой линии области течения при $h{\text{/}}d = 5$ (соответственно, кривые 6 и 7).

Ортогональность расчетных криволинейных ячеек гидродинамических сеток (рис. 1, b) непосредственно подтверждает потенциальность распределения гидромеханических характеристик потока импульсного источника.

Заключение. В работе дано новое гидромеханическое решение задачи заглубленного начального импульсного воздействия на гидрогеофизический массив (водный, грунтовый) с непосредственным аналитическим определением в элементарных функциях гидромеханических характеристик потенциального потока. При этом, воздействие очага импульса для начального момента времени моделировалось источником потенциального потока округленного профиля с единичным напором, а область стока – линией нулевого потенциала. Полученное строгое решение рассматриваемой задачи с установлением аналитической взаимосвязи между физической областью течения и комплексным потенциалом основано на теории функции комплексного переменного – использовании метода последовательных конформных отображений с определением полей гидромеханических характеристик потока в начальный момент времени. Приведены примеры расчета для двух частных случаев с построением: криволинейных ортогональных гидродинамических сеток, очертаний семейств линий равных напоров и линий токов, профилей источников импульса, а также эпюр скоростей потока, напоров и относительных расходов потенциального потока.

Часть работы, связанная с гидродинамикой водоемов, выполнена в рамках темы № FMWZ-2022-0001 государственного задания ИВП РАН.