Микроэлектроника, 2022, T. 51, № 6, стр. 443-451

1. ВВЕДЕНИЕ

Одним из наиболее важных процессов, определяющих надежность функционирования многослойных межсоединений в микро- и и наноэлектронных элементах, является возникновение неустойчивости формы межслойных границ (интерфейсов) вследствие массопереноса, возникающего под действием ионной электромиграции [1–3]. Простейшая модель развития такого рода неустойчивости была предложена в работе [1], а в работах [2, 3] она получила дальнейшее развитие путем учета ряда существенных физических факторов.

В частности, в работе [2] было показано, что важную, а во многих случаях определяющую, роль в развитии неустойчивости интерфейса между двумя проводящими материалами может играть не только электромиграция непосредственно в самом интерфейсе, но и электромиграция в объемах соединенных материалов. В работе [2] был развит последовательный теоретический метод учета соответствующих электромиграционных процессов, позволивший прояснить степень их влияния на проблему деградации интерфейсов.

В последующей работе [3] модель, предложенная в работе [1], была обобщена в связи с необходимостью исследования реальной ситуации, когда слой одного из материалов осажден на подложку и в этом слое возникают остаточные механические напряжения, которые часто оказывают решающее воздействие на кинетику развития неустойчивости интерфейса.

Результаты работ [2–4] показывают, что условия возникновения неустойчивости интерфейса и характерные времена нарастания возмущений зависят от его прочностных характеристик таких, как коэффициент поверхностного натяжения и работа обратимого разделения соединенных материалов. В то же время в работах [5, 6] была развита теория, позволяющая установить количественную связь этих прочностных характеристик с дефектностью материалов, сильно влияющей на деградацию интерфейсных соединений.

На базе результатов, полученных ранее в работах [3–7], в настоящей работе теоретически исследован механизм влияния неравновесных решеточных дефектов на кинетику развития электромиграционной неустойчивости формы интерфейсов проводящих материалов с учетом действия остаточных механических напряжений. Получены и аналитически изучены зависимости условий неустойчивости пространственно-периодического возмущения изначально плоского интерфейса от его прочностных характеристик, и от концентраций неравновесных решеточных дефектов в объемах соединенных материалов. Для ряда практически важных случаев даны оценки концентраций дефектов, при которых имеют место заметные изменения условий возникновения неустойчивости, а также оценки соответствующих характерных времен нарастания неустойчивости.

2. МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОМИГРАЦИОННОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ФОРМЫ ИНТЕРФЕЙСОВ

Рассмотрим бесконечно протяженный плоский интерфейс (плоскость (x, z)), образованный двумя проводящими материалами 1 (нижний) и 2 (верхний). Будем считать, что материал 2 представляет полубесконечный по оси y слой (ось у направлена вверх, от материала 1 к 2, а y = 0 отвечает плоскости интерфейса), а материал 1 – плоский слой толщины H, лежащий на подложке и располагающийся в полуплоскости y < 0 (y = –H – граница материала 1 и подложки). Считаем, что все величины, относящиеся к соединенным материалам 1 и 2, не зависят от координаты z и z-компонента вектора смещения для всех точек системы равна нулю, то есть применимо приближение плоской деформации [8].

Различие микроскопических характеристик материала подложки и лежащего на ней слоя материала 1, а также технологические операции формирования этого слоя приводят к остаточным механическим напряжениям σ_∞ в нем [9]. В настоящей модели, как и в работах [3, 9], будем считать, что напряжение σ_∞ в слое материала 1 направлено вдоль оси x, не зависят от х и у и носит характер сжатия (${{\sigma }_{\infty }} > 0$) или растяжения (${{\sigma }_{\infty }} < 0$).

Пусть, кроме того, в направлении от материала 1 к материалу 2 вдоль оси y приложено электрическое поле, вызывающее электрический ток и электромиграцию ионов [9] обоих материалов, приводящую к массопереносу и в определенных условиях к возникновению неустойчивости формы интерфейса. В настоящей работе, как и в [1, 3], для простоты ограничимся учетом электромиграции только в самом интерфейсе, и в описании кинетики неустойчивости интерфейса с учетом действия остаточных механических напряжений используем модель, развитую в [3].

Рассмотрим в рамках сформулированных выше условий кинетику пространственно-периодического возмущения плоского интерфейса, которое имеет вид:

где h – изменение профиля интерфейса вдоль оси у, отсчитываемое от его исходного положения – плоскости y = 0; А – амплитуда, зависящая от времени t, $\omega = 2\pi {\text{/}}\lambda $ и λ – длина волны. Амплитуда А(t) предполагается малой по сравнению с λ, поэтому далее при анализе ограничимся линейным по А(t) приближением (см. также [1–3]).

Как было получено в работе [3], кинетика возмущения (1) определяется системой уравнений

где $u = {{u}_{1}} - u_{1}^{{(0)}} + {{u}_{2}}$, ${{u}_{{1,2}}}(x)$ – упругие смещения интерфейса вдоль оси y со стороны материалов 1 и 2, вызванные возмущением (1) и остаточным напряжением ${{\sigma }_{\infty }}$, вклад которого $u_{1}^{{(0)}} = \varepsilon _{0}^{{(1)}}H = {\text{const}}$ ($\varepsilon _{0}^{{(1)}} = - {{\nu }_{1}}(1 + {{\nu }_{1}}){{\sigma }_{\infty }}{\text{/}}{{E}_{1}}$, где ${{\nu }_{{1,2}}}$ и ${{E}_{{1,2}}}$ – коэффициент Пуассона и модуль Юнга материалов 1 и 2, соответственно); $\xi = {{u}_{2}}{\text{/}}u = {{G}_{1}}{\text{/}}({{G}_{1}} + {{G}_{2}}) = {\text{const}}$, ${{G}_{{1,2}}} = {{E}_{{1,2}}}{\text{/}}2(1 - \nu _{{1,2}}^{2})$; ${{J}_{{1,2}}}$ – потоки объема за счет ионного переноса вдоль интерфейса [3]: где ${{L}_{p}} = \delta {{D}_{p}}{{\Omega }_{p}}{\text{/}}kT$, $\gamma $ – коэффициент поверхностного натяжения интерфейса, ${{\Omega }_{p}}$ – атомарные объемы в материалах 1 и 2; ${{q}_{p}} = Z_{p}^{ * }{\text{/}}{{\Omega }_{p}}$, $Z_{p}^{ * }$ – эффективные заряды ионов в потоке электронов (электронном ветре) [10], $\varphi = \varphi (x,t)$ – электрический потенциал вдоль профиля интерфейса, – локальная кривизна профиля интерфейса (${{h}_{x}} = \partial h{\text{/}}\partial x$, ${{h}_{{xx}}} = {{\partial }^{2}}h{\text{/}}\partial {{x}^{2}}$, причем в (3) верхний знак перед $\gamma $ относится к материалу 1, а нижний – к материалу 2); $\sigma (x,t)$ – нормальные напряжения, действующие в интерфейсе на поверхность каждого из соединенных материалов со стороны другого материала вследствие возмущения (1) [1–3]; $\Delta {{F}_{p}}(x,t)$ – изменение свободной энергии (в расчете на единицу объема) за счет возникновения упругих деформаций поверхности р-го материала в интерфейсе в результате действия возмущения (1) и подложки.

Используя для электрического потенциала $\varphi = \varphi (x,t)$ в интерфейсе результаты [1], полученные решением соответствующего двумерного уравнения Лапласа для распределений потенциалов ${{\varphi }_{1}}(x,y)$ и ${{\varphi }_{2}}(x,y)$ в смежных материалах 1 и 2, имеем:

где ${{\rho }_{p}}$ – удельные сопротивления материалов, j – плотность тока, текущего поперек интерфейса под действием приложенного электрического поля.

Величины $\sigma (x,t)$ и $\Delta {{F}_{p}}(x,t)$, входящие в (3), определяются компонентами тензора механических напряжений ${{\sigma }_{{ik}}}$(где i, k = x, y, z), вызываемых в интерфейсе возмущением (1). Используя приближение плоской деформации, представим отличные от нуля компоненты ${{\sigma }_{{ik}}} = {{\sigma }_{{ik}}}(x,y)$ в следующем виде [8]:

где $\chi (x,y)$ – бигармоническая функция (так называемая функция напряжения [6], удовлетворяющая уравнению ${{\Delta }^{2}}\chi = 0$), ${{\nu }_{p}}$ – коэффициент Пуассона в соответствующем материале.

В работе [3] получены и проанализированы общее решение для функции $\chi (x,y)$ в областях $y \geqslant 0$ (материал 2) и $y \leqslant 0$ (материал 1) , отвечающее малому возмущению (1), и соответствующие выражения для компонент тензора напряжений ${{\sigma }_{{ik}}}$, учитывающие граничное условие ${{\sigma }_{{xy}}}(x,y = 0) = 0$, а также отвечающие им компоненты по закону Гука компоненты тензора упругих деформаций $\varepsilon _{{ik}}^{{(p)}}$ в материалах 1 и 2 (р = 1, 2). Используя найденные в [3] выражения для $\varepsilon _{{ik}}^{{(p)}}$ и учитывая, что согласно общему определению компонент тензора деформации [8] $\varepsilon _{{yy}}^{{(p)}} = \partial {{w}_{p}}{\text{/}}\partial y$, где ${{w}_{p}} = {{w}_{p}}(x,y)$ – распределение смещений вдоль оси y в р-ом материале, то есть ${{w}_{1}}(x,y = 0) = {{u}_{1}}$ и ${{w}_{2}}(x,y = 0) = {{u}_{2}}$, а также условие $H\omega \gg 1$, имеем (см. [3])

где $\sigma = a(t){{\omega }^{2}}{\kern 1pt} \sin (\omega x) = {{\sigma }_{{yy}}}(x,y = - 0) = - {{\sigma }_{{yy}}}(x,y = $ $ = + 0)$, откуда следует соотношение:

Используя также общее выражение для свободной энергии деформированного состояния $\Delta {{F}_{р}} = {{\sigma }_{{ik}}}\varepsilon _{{ik}}^{{(p)}}{\text{/}}2$ [8] и выражения для компонент тензоров напряжения и деформации, в [3] было получено, что с точностью до членов первого порядка малости по $a \sim U \sim A$:

где $G{\kern 1pt} * = E{\text{/}}2(1 + \nu )$ – модуль сдвига деформируемого материала и учтено соотношение $a = (G{\text{/}}\omega )U$ (см. (8)). При этом выражение для $\Delta {{F}_{2}}$ оказывается уже второго порядка малости по $a \sim U \sim A$ и поэтому может не учитываться в выражении (3) для потока ${{J}_{2}}$, так как остальные слагаемые в нем содержат вклады первого порядка по этим величинам. Таким образом, из (9) и (3) получим где $J_{р}^{{(0)}}$ – потоки при ${{\sigma }_{\infty }} = 0$ (см. также [1]).

Подставляя соотношения (3)–(10) в уравнения (2) и сохраняя в них только члены первого порядка по амплитудам A(t) и U(t), получим систему линейных уравнений:

где коэффициенты ${{a}_{{mn}}}$ (m, n =1, 2) даются выражениями: и $\rho = 2{{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}}{\text{/}}(\rho + \rho )$, j – плотность электрического тока, протекающего перпендикулярно интерфейсу.

Стандартное решение системы (11) имеет вид:

где $A(0)$ и $U(0)$ – некоторые начальные значения малых амплитуд A и U, {g, s} – собственный вектор матрацы $\{ {{а}_{{mn}}}\} $, а ${{\zeta }_{ \pm }}$ – ее собственные числа, которые, как следует из уравнений (11), даются выражениями

Таким образом, из соотношений (13), (14) следует, что исходная плоская форма интерфейса будет неустойчивой относительно действия малых возмущений вида (1), если, по крайней мере, одно из собственных значений ${{\zeta }_{ \pm }} = {{\zeta }_{ \pm }}(\omega )$ окажется положительным (в этом случае амплитуда возмущения (1) будет экспоненциально расти со временем). Соответственно, для устойчивости плоского интерфейса необходимо, чтобы оба собственных числа ${{\zeta }_{ \pm }} \leqslant 0$, определяемые выражениями (14), были отрицательны при одних и тех же значениях параметров системы.

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ КИНЕТИКИ ЭЛЕКТРОМИГРАЦИОННОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ИНТЕРФЕЙСА ОТ ДЕФЕКТНОСТИ СОЕДИНЕННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Из выражений (12) и (14) непосредственно следует, что кинетика изменения возмущения (1), включая условия неустойчивости интерфейса и характерные времена нарастания амплитуды возмущения, зависят в том числе и от таких величин как коэффициент поверхностного натяжения интерфейса $\gamma $ и коэффициенты диффузии ионов соединенных материалов в интерфейсе ${{D}_{{1,2}}}$ (поскольку ${{L}_{1}}_{{,2}}\sim {{D}_{{1,2}}}$).

Отметим, что $\gamma $ является одной из характеристик адгезионной прочности интерфейса, а коэффициенты диффузии ${{D}_{{1,2}}}$, как было показано в [5], связаны с другой ее важнейшей характеристикой ${{W}_{a}}$ – работой обратимого разделения интерфейса. Обобщая очевидным образом модель, развитую в [4], на диффузию ионов обоих материалов в интерфейсе, эту связь, которая имеет место для энергии активации диффузии ${{E}_{{D1,2}}}$(${{D}_{{1,2}}}\sim \exp ( - {{E}_{{1,2}}}{\text{/}}kT)$), в случае вакансионного механизма можно записать соотношением

где ${{\alpha }_{i}}$ и ${{\chi }_{i}}$ – положительные константы ($i = 1,2$), причем ${{\alpha }_{i}}$ – энергию активации диффузии иона $i$-го материала на его свободной поверхности, а ${{\chi }_{i}}$ определяется микрохарактеристиками взаимодействия атомов материалов 1 и 2 через интерфейс и дается выражением:

где ${{z}_{{Ii}}}$ – число ближайших соседей (координационное число) иона из граничной плоскости i‑материала в граничной плоскости другого материала; λ_i – усредненное изменение расстояния между ионом в граничной плоскости i-материала, попавшим в седловую точку энергетического барьера, отделяющего его от вакансии в соседнем узле этой плоскости, и его ближайшими соседями в граничной плоскости другого материала; ${{n}_{{Ii}}}$ – количество связей между атомами граничных плоскостей со стороны i-материала в интерфейсе в расчете на единицу его площади; ${{\delta }_{c}}$ – минимальное расстояние между материалами 1 и 2, начиная с которого они могут рассматриваться как разделенные.

В то же время, как было показано ранее в работах [5, 6], на адгезионные характеристики $\gamma $ и ${{W}_{a}}$ в сильной степени могут влиять концентрации неравновесных решеточных дефектов в объемах соединенных материалах 1 и 2. Например, если такими дефектами являются атомарные примеси внедрения или замещения, то

и где для (17) и (18) ${{С}_{{1,2}}}$ – соответствующие безразмерные концентрации (доли) атомов примесей внедрения, $\gamma _{{}}^{{(0)}} = \gamma ({{С}_{1}} = 0,{{С}_{2}} = 0)$, $W_{a}^{{(0)}} = {{W}_{a}}(0,0)$ – работа разделения в отсутствии этих примесей, ${{h}_{i}} = {{K}_{{ai}}}{\text{/}}{{K}_{{di}}}$ (безразмерный параметр), K_ai, K_di – константы скорости процессов адсорбции и десорбции примесей при их обмене между объемом i-го материала и границей; ${{h}_{{si}}} = K_{{ai}}^{{(s)}}{\text{/}}K_{{di}}^{{(s)}}$ (безразмерный параметр); $K_{{ai}}^{{(s)}}\;{\text{и}}\;K_{{di}}^{{(s)}}$ – константы скорости процессов адсорбции и десорбции примесных атомов на свободной поверхности i-го материала (d_i – толщина приповерхностного слоя i-го материала, в котором эти процессы происходят): $A({{h}_{i}}) = ({{h}_{i}} - 1){\text{/}}{{h}_{i}}$ для примеси замещения и $A({{h}_{i}}) = 1$ для примеси внедрения (то же самое для $A({{h}_{{si}}})$) ${{\Omega }_{1}}$ и ${{\Omega }_{2}}$ – удельные объемы, приходящиеся на один атом (молекулу) в материалах 1 и 2, соответственно, b – ширина интерфейса. Отметим, что в (18) подразумевается, что концентрации C₁ и C₂ неравновесных примесей определяются внешними источниками и поэтому могут быть равными нулю. Аналогичные зависимости были получены и для вакансий (см., например, [4]).

Таким образом, изменяя концентрации неравновесных дефектов в материалах 1 и 2, можно при данных внешних условиях (температура, плотность тока, остаточные механические напряжения) влиять на возможность возникновения нарастания возмущений (1) и величины характерных времен этого нарастания. Ниже применение соотношения (17), (18) будут применены к результатам описания кинетики неустойчивости интерфейса с помощью системы уравнений (11) с учетом зависимости коэффициентов ${{a}_{{ik}}}$ от величин $\gamma $ и ${{W}_{a}}$ .

4. НЕКОТОРЫЕ ПРАКТИЧЕСКИ ВАЖНЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ И ОЦЕНКИ

Используя изложенные выше теоретические результаты, проанализируем, какое влияние может оказать дефектность смежных материалов на неустойчивость формы интерфейса, описываемую системой уравнений (11) с коэффициентами (12). Ввиду сложности решения этой задачи в общем случае ограничимся здесь рассмотрением двух частных, но достаточно показательных и наглядных, примеров, допускающих к тому же аналитическое исследование и проведение практически полезных оценок.

1. Пусть интерфейс представляет собой границу, образованную одинаковыми материалами. Конкретным примером такого рода могут служить межзеренные границы в поликристаллическом проводнике со структурой типа “бамбук” [11], когда роль “подложки” выполняет является зерно, смежное с одним из тех, что образуют рассматриваемую межзеренную границу. Далее в этом пункте, для определенности, будем под интерфейсом понимать именно межзеренную границу.

Тогда, согласно выражениям (12), коэффициенты ${{а}_{{mn}}}$ принимают следующий вид:

где $L = {{L}_{1}} = {{L}_{2}} = \delta {{D}_{I}}\Omega {\text{/}}kT$, ${{D}_{I}} = D_{1}^{{}} = D_{2}^{{}}$, $\Omega = $ $ = {{\Omega }_{1}} = {{\Omega }_{2}}$, $\bar {Z}{\kern 1pt} *$ = $Z{\kern 1pt} *{\text{/}}\Omega $, $Z{\kern 1pt} * = Z_{1}^{ * } = Z_{2}^{ * } < 0$, $\rho = $ $ = {{\rho }_{1}} = {{\rho }_{2}}$, ${{G}_{1}} = {{G}_{2}} = G$ (то есть $\xi = {{G}_{1}}{\text{/}}({{G}_{1}} + {{G}_{2}}) = $ =  1/2), ${{\nu }_{1}} = {{\nu }_{2}} = {{\nu }_{{}}}$, $G_{1}^{*} = G_{2}^{*} = G{\kern 1pt} *$.

Из выражений (14) следует, что простейшим достаточным условием, обеспечивающим положительность корня ${{\zeta }_{ + }}$ и означающем неустойчивость интерфейса, является неравенство: ${{а}_{{11}}}{{а}_{{22}}} - {{а}_{{12}}}{{а}_{{21}}} < 0$. Подставляя в это неравенство выражения (19), получим, что условие неустойчивости интерфейса принимает следующий вид:

Учитывая тот факт, что для металлов $\overline {Z{\kern 1pt} *} < 0$ [10] и что $\left| {{{\sigma }_{\infty }}} \right|{\text{/}}4G{\kern 1pt} * \ll 1$ [3, 9], из соотношения (20) следует также, что это условие может выполняться, когда ${{\sigma }_{\infty }}$ и $j$ – одного знака; далее для конкретности считаем ${{\sigma }_{\infty }}$ и $j$ положительными. В этом случае для длин волн нарастающих возмущений получим следующее соотношение [3]

в котором $\mu = (1 - 2\nu ){{\sigma }_{\infty }}{\text{/}}8G{\kern 1pt} *$, причем $\left| \mu \right| \ll 1$.

Согласно результатам работы [3], для типичных металлов, например Al, в отсутствии неравновесных дефектов (то есть ${{С}_{1}} = {{С}_{2}} = 0$ для примесей), при плотностях токов $j \sim ({{10}^{9}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{10}^{{11}}})$ A/м² и ${{\sigma }_{\infty }} \sim 10$ МПа соотношение (21) дает оценку величины ${{\lambda }_{0}}$:

при получении которой считалось, что $\gamma = {{\gamma }^{{(0)}}} \approx $ $ \approx $ 1 Дж/м² [3]. Однако при наличии в материале зерен неравновесных дефектов величина $\gamma = \gamma (С)$, где $С = {{С}_{1}} = {{С}_{2}}$, может достаточно сильно отличаться от ${{\gamma }^{{(0)}}}$.

В рассматриваемом случае (межзеренной границы), выделяя в выражении (22) для ${{\lambda }_{0}}$ зависимость от $\gamma (С)$ и внешних условий (j и ${{\sigma }_{\infty }}$), получим

откуда следует, что при заданных $j$ и ${{\sigma }_{\infty }}$ за счет зависимости $\gamma (С)$ границу спектра ${{\lambda }_{0}}$ можно сдвигать либо в более коротковолновую, либо в более длинноволновую область.

Действительно, в соответствие с результатами работы [5] зависимость (17) в случае одинаковых материалов вместо (17) имеет место выражение

где $h = {{h}_{1}} = {{h}_{2}}$. Например, для примеси внедрения ($A(h) = 1$) зависимость $\gamma (С)$ убывает с ростом С и обращается в ноль при некоторой концентрации $С = С{\kern 1pt} *$. Приравнивая (24) к нулю, получим

Для комнатных температур ($kT \approx 0.025$ эВ), $\gamma = {{\gamma }^{{(0)}}} \approx 1$ Дж/м², $\Omega \sim {{10}^{{ - 29}}}$ м³, $b \approx 3 \times {{10}^{{ - 10}}}$ м (эти значения использованы в оценке (22)) параметр $\beta \sim {{10}^{3}} \gg 1$. Используя также для адсорбции примеси внедрения оценку $h\sim {{10}^{8}}$ [4], из (25) получим $С{\kern 1pt} *\sim \beta {\text{/}}h\sim {{10}^{{ - 5}}}$.

Таким образом, при концентрациях $С < С{\kern 1pt} *\sim $ $\sim {{10}^{{ - 5}}}$, но вблизи $С{\kern 1pt} *\sim {{10}^{{ - 5}}}$, можно ожидать значительного отклонения в меньшую сторону оценки (29) для нижней границы ${{\lambda }_{0}}$ диапазона неустойчивости. Например, задавая $\gamma (С) = 0.1\gamma _{{}}^{{(0)}}$, получим из (24), что соответствующая концентрация примеси С определяется уравнением (25), но с $\beta = \exp (0.9{{\gamma }^{{(0)}}}\Omega {\text{/}}bkT)$. Тогда при тех же значениях остальных параметров, получим $\beta \sim 0.5 \times {{10}^{3}} \gg 1$ и $С\sim \beta {\text{/}}h\sim 5 \times {{10}^{{ - 6}}} \approx 0.5С{\kern 1pt} *$, и оценка ${{\lambda }_{0}}$ по (22) дает ${{\lambda }_{0}} \approx 3(1{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 10)$ мкм.

Отметим еще два обстоятельства, которые следует учитывать при оценке возможности возникновения неустойчивости интерфейса типа межзеренной границы. Во-первых, из (24) следует, что при концентрации примеси внедрения $С > С{\kern 1pt} *$ коэффициент поверхностного натяжения границы $\gamma (С)$ становится отрицательным [5]. Тогда из (21), (22) имеем, что неустойчивость должна возникать только при разных знаках $j$ и ${{\sigma }_{\infty }}$. Во-вторых, как получено в работе [12], величина эффективного заряда $Z{\kern 1pt} *$ в межзеренной границе зависит от температуры и текстуры смежных зерен, что, согласно (20), также должно влиять на граничную длину волны, так как ${{\lambda }_{0}}\sim 1{\text{/}}\sqrt {\left| {Z{\kern 1pt} *} \right|} $. В частности, расчеты, проведенные в [12] для алюминия, показали, что $\left| {Z{\kern 1pt} *} \right|$ растет с уменьшением температуры.

2. Рассмотрим теперь, противоположный случай, когда интерфейс образован существенно разными материалами, в одном из которых (для определенности, в материале 2) диффузионная подвижность ионов значительно меньше, чем в другом. Тогда в соотношениях (22) можно положить ${{D}_{2}} = 0$, то есть ${{L}_{2}} = 0$, и из (22) получаем:

Отметим, что такого рода ситуация обычно имеет место в металлизации для интерфейса между слоем проводника (например, Al или Cu) и барьерным слоем, который делается из материала с низкой диффузионной подвижностью ионов (например, нитрид титана TiN [3] или рутений Ru [13, 14]).

Для выражений (26) выполняется точное равенство ${{а}_{{11}}}{{а}_{{22}}} - {{а}_{{12}}}{{а}_{{21}}} = 0$ и, следовательно, согласно решению (14), получаем ${{\zeta }_{ - }} = 0$, а

откуда следует, что положительность корня ${{\zeta }_{ + }}$ (то есть неустойчивость интерфейса) имеет место при выполнении условия: где теперь при анализе будем считать, что $\gamma = \gamma ({{С}_{1}},{{С}_{2}})$.

Учитывая, что $\left| {{{\sigma }_{\infty }}} \right|{\text{/}}2G_{1}^{*} \ll 1$ [3], из (28) имеем, что это условие заведомо выполняется, когда j < 0, ${{\sigma }_{\infty }} < 0$ (растяжение) и $0 < \omega \leqslant {{\omega }_{1}}$, где$~$

– положительный корень уравнения, получающегося приравниванием к нулю суммы первых трех слагаемых в левой части (28) [3]. Отсюда также следует, что имеет место спектр неустойчивых возмущений по длинам волн $\lambda = 2\pi {\text{/}}\omega $, который дается соотношением $\lambda \geqslant {{\lambda }_{1}}$, где ${{\lambda }_{1}} = 2\pi {\text{/}}{{\omega }_{1}}$.

Возмущение (1) с длиной волны ${{\lambda }_{1}}$ нарастают с характерным временем ${{\tau }_{ + }} = 1{\text{/}}{{\zeta }_{ + }}$:

где теперь, учитывая соотношения (15), (17) и (18), будем считать, что то есть зависят от концентраций неравновесных кристаллических дефектов в материалах 1 и 2.

Анализ оценок по соотношениям (29) и (30) для интерфейса Al – TiN, показывает [3], что в (29) имеет место неравенство:

которое заведомо выполняется для плотностей токов $\sim {\kern 1pt} ({{10}^{{12}}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{10}^{{13}}})$ А/м² и при учете возможной растущей зависимости $\gamma = \gamma ({{С}_{1}},{{С}_{2}})$, так как этот рост, согласно (17), слабо-логарифмический. В силу этого условия выражение (29) сводится к ${{\omega }_{1}} \approx (\xi {\text{/}}G)\overline {Z_{1}^{*}} j\rho $, которое не связано с величинами $\gamma $ и ${{W}_{a}}$, зависящими от концентраций неравновесных дефектов. Таким образом, сохраняется оценка граничной длины волны неустойчивых возмущений ${{\lambda }_{1}} \sim ({{10}^{2}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{10}^{4}})$ мкм, полученная в [3].

Иначе обстоит дело с величиной характерного времени ${{\tau }_{ + }} = 1{\text{/}}{{\zeta }_{ + }}$ нарастания возмущения с длиной волны ${{\lambda }_{1}}$. Из выражений (30), (31) следует, что. поскольку $1{\text{/}}{{D}_{1}}\sim \exp [{{E}_{{D1}}}({{C}_{1}},{{C}_{2}}){\text{/}}kT]$, то

где то при наличии неравновесных дефектов, оценка, полученная в [3] для $\tau _{ + }^{{(0)}}({{\omega }_{1}})$, может существенно изменяться как в ту, так и в другую сторону.

Чтобы показать это, ограничимся в (32) для простоты случаем, когда примесь внедрения введена только в материал 2. Тогда из соотношений (15), (18) имеем:

где $\Delta {{E}_{{D1}}}({{C}_{2}}) = {{E}_{{D1}}}({{C}_{1}} = 0,{{C}_{2}}) - E_{{D1}}^{{(0)}}$ – добавка к энергии активации диффузии собственных ионов материала 1 в интерфейсе, обусловленная примесью внедрения в материале 2. Анализ выражения (33) и результаты работы [4] показывают, что уже за счет достаточно малых концентраций примеси внедрения в материале 2 можно сильно уменьшить или увеличивать ${{\tau }_{ + }}({{\omega }_{1}})$. Считаем далее, что ${{C}_{2}} \ll 1$ и ${{C}_{2}}{{h}_{2}},{{C}_{2}}{{h}_{{s2}}} \gg 1$ (то есть ${{h}_{2}} \gg 1$ и ${{h}_{{s2}}} \gg 1$) [4] и приравниваем для удобства проведения оценок $\Delta {{E}_{{D1}}}({{C}_{2}})$ в (14) к $\varepsilon Е_{{D1}}^{{(0)}}$, где $\varepsilon $ – численный коэффициент, который может быть как положительным (рост $\Delta {{E}_{{D1}}}({{C}_{2}})$ и ${{\tau }_{ + }}({{\omega }_{1}})$), так и отрицательным (соответственно, уменьшение $\Delta {{E}_{{D1}}}({{C}_{2}})$ и ${{\tau }_{ + }}({{\omega }_{1}})$). Тогда, решая уравнение (33) относительно ${{C}_{2}}$, получим выражение для оценки концентрации примеси в зависимости от величины коэффициента $\varepsilon $:

Из (34) видно, что порядок величины ${{C}_{2}}$ в сильной степени определяется соотношением толщин интерфейса b и приповерхностного слоя ${{d}_{2}}$ в материале 2. Так, положив для определенности ${{\lambda }_{1}} \leqslant {{\delta }_{с}}{\text{/}}2$, ${{n}_{{I1}}} \approx \Omega _{2}^{{ - 2/3}}$, ${{z}_{{I1}}} \sim 1$ (эти величины нужны для оценки ${{\chi }_{1}}$) и $b = 3$ Å, ${{d}_{2}} = 2$ Å, ${{\Omega }_{2}} \sim {{\Omega }_{1}} \approx {{10}^{{ - 29}}}$ м³ [15 ] и приняв для примеси внедрения $Е_{{D1}}^{{(0)}}\sim 1$ эВ [4], при комнатных температурах $kT \approx 0.025$ эВ из (34) получим для дальнейшей оценки ${{C}_{2}}$ выражение:

Если, исходя из аррениусовской зависимости величин ${{h}_{2}}$и ${{h}_{{s2}}}$ от температуры, как и в [4] принять, что при комнатной температуре ($kT \approx 0.025$ эВ) для примеси внедрения имеет место оценка ${{h}_{2}},~{{h}_{{s2}}}\sim {{10}^{8}}$, то из (35) получим, что, например, при $\varepsilon = 0.3$ (то есть $\Delta {{E}_{{D1}}}({{C}_{2}}) = 0.3E_{{D1}}^{{(0)}}\sim 0.3$ эВ) концентрация примеси, необходимая для такого увеличения энергии активации, составляет ${{С}_{2}}\sim {{10}^{{ - 6}}}$. В соответствие с (32) такая концентрация приводит к увеличению времени нарастания возмущений ${{\tau }_{ + }}({{\omega }_{1}}) \approx \tau _{ + }^{{(0)}}({{\omega }_{1}}){{10}^{5}}$, причем оценки согласуются со сделанными выше допущении ${{C}_{2}}{{h}_{2}},{{C}_{2}}{{h}_{{s2}}} \gg 1$.

Однако, если ${{h}_{2}} \gg 1$ и ${{h}_{{s2}}} \gg 1$, но разного порядка, то возможно уменьшение энергии активации диффузии ${{E}_{{D1}}}$. Пусть, например, ${{h}_{2}} \approx {{10}^{6}}$ и ${{h}_{{s2}}} \approx {{10}^{8}}$, что в рамках аррениусовского представления ${{h}_{2}}\sim \exp (\Delta {{E}_{2}}{\text{/}}kT)$, ${{h}_{{s2}}}\sim \exp (\Delta {{E}_{{s2}}}{\text{/}}kT)$ при комнатных температурах отвечает отличию разниц энергий активации десорбции и адсорбции примеси $(\Delta {{E}_{{s2}}} - \Delta {{E}_{2}})$ на свободной поверхности и в интерфейсе лишь на 0.1 эВ, в то время как для примеси внедрения $\Delta {{E}_{{s2}}},\Delta {{E}_{2}}\sim 1$ эВ. Тогда при тех же, как и выше, значениях толщин $b$ и ${{d}_{2}}$ и других параметров, из (16) при $\varepsilon = - 0.1$ (то есть $\Delta {{E}_{{D1}}}({{C}_{2}}) = - 0.1E_{{D1}}^{{(0)}}\sim - 0.1$ эВ) и комнатных температурах получим оценку ${{С}_{2}}\sim {{10}^{{ - 4}}}$ (что также согласуется с исходным допущением). В этих условиях согласно (32) имеет место уменьшение времени ${{\tau }_{ + }}({{\omega }_{1}}) \approx \tau _{ + }^{{(0)}}({{\omega }_{1}}){{10}^{{ - 2}}}$ (ускорение развития неустойчивости) за счет введения примеси. В условиях ускоренных экспериментов по тестированию надежности, когда $Т = (500{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 600)$ К ($kT \approx 0.05$ эВ), из (32) получим, что время развития неустойчивости интерфейса становится значительно короче: ${{\tau }_{ + }}({{\omega }_{1}}) \approx \tau _{ + }^{{(0)}}({{\omega }_{1}}){{10}^{{ - 4}}}$.

Отметим, что согласно (30) и (32) на границе спектра неустойчивости $\lambda \geqslant {{\lambda }_{1}}$ время ее нарастания при заданной температуре и плотности тока определяется неравновесной дефектностью материалов и величиной остаточных напряжений:

Поэтому, если, например, при $\Delta {{E}_{{D1}}} < 0$, как было получено в последней оценке, присутствие дефектов приводит к уменьшению ${{\tau }_{ + }}({{\omega }_{1}})$ (ускорению роста неустойчивости), то за счет уменьшения остаточных напряжений можно увеличить время развития неустойчивости.

Отметим также, что в работе [3] была выделена еще одна длина волны возмущения (1), при которой возможна неустойчивость интерфейса. Она отвечает случаю, при которой обращается в нуль сумма первого и последнего членов в левой части условия неустойчивости (28), то есть, когда ${{\sigma }_{\infty }} < 0$ и $\omega = {{\omega }_{2}}$, где

В этом случае, согласно (27)

и для того, чтобы выполнялось ${{\tau }_{ + }}({{\omega }_{2}}) > 0$, необходима положительность знаменателя. Это возможно только при $Z_{1}^{*}j > 0$, то есть с учетом того, что $Z_{1}^{*} < 0$, – при $j < 0$, и если одновременно имеет место $\xi (Z_{1}^{*}{\text{/}}{{\Omega }_{1}})\rho j > {{\omega }_{2}}G$. Последнее условие может регулироваться как величиной плотности тока, так и за счет зависимости $\gamma = \gamma ({{С}_{1}},{{С}_{2}})$, поскольку из (36) имеем ${{\omega }_{2}}\sim 1{\text{/}}\gamma ({{С}_{1}},{{С}_{2}})$. В частности, если неравновесными точечными дефектами являются атомы примеси замещения, то как следует из (17) и результатов работы [5] зависимость $\gamma = \gamma ({{С}_{1}},{{С}_{2}})$ может быть как монотонно растущей, так и убывающей. Величина ${{\tau }_{ + }}({{\omega }_{2}})$ при этом будет определяться еще и зависимостью ${{L}_{1}} = {{L}_{1}}({{C}_{1}},{{C}_{2}})\sim {{D}_{1}}$, то есть аналогично (32): ${{\tau }_{ + }}({{\omega }_{2}})\sim \exp [\Delta {{E}_{{D1}}}({{C}_{1}},{{C}_{2}}){\text{/}}kT]$.

Таким образом, полученные оценки показывают, что в зависимости от соотношения адсорбционных (относительно решеточных дефектов) свойств интерфейса и свободных поверхностей соединенных материалов, а также соотношения толщин интерфейса и приповерхностных слоев материалов, изменение дефектности самих материалов может приводить как к ускорению развитию неустойчивости интерфейса, так и к замедлению.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе исследовано влияние неравновесных кристаллических дефектов на кинетику неустойчивости формы границы (интерфейса) слоев соединенных проводящих материалов, возникающей в результате электромиграции ионов этих материалов. Механизм возникновения неустойчивости учитывает действие механических напряжений в системе, включая напряжения, которые обусловлены разнородностью материалов подложки и осажденного на нее слоя (остаточные напряжения). Получены зависимости условий неустойчивости пространственно-периодического возмущения изначально плоского интерфейса от его прочностных характеристик (коэффициента поверхностного натяжения и работы обратимого разъединения) и тем самым от концентраций неравновесных решеточных дефектов в объемах соединенных материалов.

Для более детального анализа и оценок рассмотрены два частных случая, когда интерфейс образован соединением двух одинаковых материалов и когда соединенные материалы существенно различаются так, что в одном из них диффузионной подвижностью ионов можно пренебречь. В этих случаях аналитически исследованы зависимости границ диапазонов длин волн возмущения, для которых именно остаточные механические напряжения приводят к росту со временем его амплитуды, от дефектности материалов, образующих интерфейс. Проанализированы также характерные времена нарастания амплитуды возмущения формы интерфейса в этих диапазонах длин волн как функции концентраций решеточных дефектов в материалах. Получено, что в зависимости от микроструктурных свойств материалов введение дефектов может приводить к расширению или сужению указанных диапазонов и к увеличению или уменьшению характерных времен развития неустойчивости. Выполнены оценки таких изменений.

Результаты работы представляют интерес для улучшения технологии изготовления и повышения надежности функционирования проводящих элементов микро- и наноэлектронных схем. В частности, их применение и развитие могут оказаться полезными для дальнейшего внедрения в практику металлизации, различных ее элементов с использованием рутения или кобальта, например, в качестве барьерного слоя в медной металлизации или в качестве самих проводящих слоев – см., например, [13, 14] и недавние материалы компаний Applied Materials (https://3dnews.ru/970911), Микрон (https://www.mikron.ru) и Imec (https://3dnews.ru/990638, https://3dnews.ru/971666, https://3dnews.ru/970779), представленные на их сайтах.

Работа выполнена в рамках Государственного задания ФТИАН им. К.А. Валиева РАН Минобрнауки РФ по теме № FFNN-2022-0019.