Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2019, № 12, стр. 8-19
К рефлектометрии нейтронов с прецессирующими спинами
Н. К. Плешанов *
Петербургский институт ядерной физики им. Б.П. Константинова
НИЦ “Курчатовский институт”
188300 Ленинградская область, Гатчина, Россия
* E-mail: pleshanov_nk@pnpi.nrcki.ru
Поступила в редакцию 28.12.2018
После доработки 11.02.2019
Принята к публикации 28.02.2019
Аннотация
Для анализа поведения вектора нейтронной поляризации определен оператор спина в точке σ(r) ≡ σδ(r' – r). Поляризация нейтронов в двухуровневом состоянии при прохождении областей с магнитным полем в отсутствие рассеяния описывается с помощью таких понятий как пилотная скорость, прецессионный фронт, нутационная и динамическая оси. Предложена схема рефлектометрии нейтронов в двухуровневом состоянии (рефлектометрия нейтронов с прецессирующими спинами) для более детального исследования магнитных слоистых структур.
ВВЕДЕНИЕ
Современные нейтронные методики используют трехмерную природу поляризации и многоуровневые состояния. В их числе нейтронное резонансное спин-эхо [1], четырехволновое нейтронное резонансное спин-эхо [2], нейтронная резонансная интерферометрия [3] и ее обобщенный вариант с меняющейся во времени структурой плотности вероятности [4], метод нейтронной группировки [5], открывающий новые перспективы для высокоразрешающей спектроскопии, временнóй интерферометрии и нейтронной голографии.
В нейтронной рефлектометрии также могут использоваться многоуровневые состояния. Наиболее простой для реализации является схема рефлектометрии нейтронов в двухуровневом состоянии (рефлектометрия нейтронов с прецессирующими спинами). В этой связи значительный интерес представляет точное описание прохождения нейтрона в двухуровневом состоянии через области с магнитным полем.
Квазиклассический подход к нейтронной поляризации на основе ларморовского уравнения был обогащен важными деталями в ряде работ [6–13], в которых используется тот факт, что проекции спина нейтрона на направления вдоль (“вверх”) и против (“вниз”) поля являются фактически проекциями в оптически разные среды.
В настоящей работе для анализа поведения вектора поляризации введен оператор спина в точке. Он использован для описания поляризации нейтронов в двухуровневом состоянии при прохождении областей с магнитным полем в отсутствие рассеяния. Введение таких понятий как пилотная скорость, прецессионный фронт, нутационная и динамическая оси позволяет наиболее просто описать поведение спина. На основе анализа предложена схема рефлектометрии нейтронов с прецессирующими спинами, которая может быть использована для более детального исследования магнитных слоистых структур.
ВЕКТОР НЕЙТРОННОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ
Спин нейтрона представлен квантово-механическим оператором ${\mathbf{\hat {s}}},$ который действует в спиновом подпространстве и преобразует спиновые компоненты волновой функции, не “замечая” пространственные координаты. На практике используют оператор Паули, пропорциональный оператору спина ${\mathbf{\hat {s}}}{\text{:}}$
(1)
$\hat {\sigma } = {{2{\mathbf{\hat {s}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2{\mathbf{\hat {s}}}} \hbar }} \right. \kern-0em} \hbar }.$(2)
${\mathbf{P}} = \left\langle {{\mathbf{\hat {\sigma }}}} \right\rangle \equiv {{\left\langle \Psi \right|{\mathbf{\hat {\sigma }}}\left| \Psi \right\rangle } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left\langle \Psi \right|{\mathbf{\hat {\sigma }}}\left| \Psi \right\rangle } {\left\langle {\Psi } \mathrel{\left | {\vphantom {\Psi \Psi }} \right. \kern-0em} {\Psi } \right\rangle }}} \right. \kern-0em} {\left\langle {\Psi } \mathrel{\left | {\vphantom {\Psi \Psi }} \right. \kern-0em} {\Psi } \right\rangle }}.$Ввиду ортогональности координатного и спинового подпространств ось квантования Z может быть выбрана независимо от координатных осей. Выбрав ось квантования Z и орты eX, eY, eZ декартовой системы координат, оператор Паули можно записать с помощью операторов проекции спина на соответствующие оси:
(3)
${\mathbf{\hat {\sigma }}} = {{\hat {\sigma }}_{X}}{{{\mathbf{e}}}_{X}} + {{\hat {\sigma }}_{Y}}{{{\mathbf{e}}}_{Y}} + {{\hat {\sigma }}_{Z}}{{{\mathbf{e}}}_{Z}}.$(4)
$\begin{gathered} {{{\hat {\sigma }}}_{X}} = {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \\ 1&0 \end{array}} \right)}_{Z}},\,\,\,\,{{{\hat {\sigma }}}_{Y}} = {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - i} \\ i&0 \end{array}} \right)}_{Z}}, \\ {{{\hat {\sigma }}}_{Z}} = {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \\ 0&{ - 1} \end{array}} \right)}_{Z}}. \\ \end{gathered} $Длину вектора поляризации P будем считать равной единице, поэтому вектор P визуализирует вектор спинового подпространства – нормированный спинор
(5)
$\begin{gathered} \left| A \right\rangle = {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{a}_{ \uparrow }}\exp (i{{\alpha }_{ \uparrow }})} \\ {{{a}_{ \downarrow }}\exp (i{{\alpha }_{ \downarrow }})} \end{array}} \right)}_{Z}},\,\,\,\,{{a}_{{ \uparrow , \downarrow }}} \geqslant 0, \\ a_{ \uparrow }^{2} + a_{ \downarrow }^{2} = 1, \\ \end{gathered} $(6)
$\left| A \right\rangle = \exp \left( {i\frac{{{{\alpha }_{ \uparrow }} + {{\alpha }_{ \downarrow }}}}{2}} \right){{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos ({\gamma \mathord{\left/ {\vphantom {\gamma 2}} \right. \kern-0em} 2})\exp ({{ - i\varphi } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - i\varphi } 2}} \right. \kern-0em} 2})} \\ {\sin ({\gamma \mathord{\left/ {\vphantom {\gamma 2}} \right. \kern-0em} 2})\exp ({{i\varphi } \mathord{\left/ {\vphantom {{i\varphi } 2}} \right. \kern-0em} 2})} \end{array}} \right)}_{Z}},$(7)
${\varphi } = {{\alpha }_{ \downarrow }} - {{\alpha }_{ \uparrow }},\,\,\,\,{{a}_{ \uparrow }} = \cos ({\gamma \mathord{\left/ {\vphantom {\gamma 2}} \right. \kern-0em} 2}),\,\,\,\,{{a}_{ \downarrow }} = \sin ({\gamma \mathord{\left/ {\vphantom {\gamma 2}} \right. \kern-0em} 2}).$(8)
$\begin{gathered} {\mathbf{P}} = {{\left( {\left\langle A \right|{{\sigma }_{X}}\left| A \right\rangle ,\,\,\left\langle A \right|{{\sigma }_{Y}}\left| A \right\rangle ,\,\,\left\langle A \right|{{\sigma }_{Z}}\left| A \right\rangle } \right)}_{Z}} = \\ = {{\left( {\sin \gamma \cos \varphi ,\,\,\sin \gamma \sin \varphi ,\,\,\cos \gamma } \right)}_{Z}}, \\ \end{gathered} $Рис. 1.
Геометрическая визуализация спинора: углы γ и φ задают ориентацию вектора поляризации P. Также спинор можно интерпретировать как суперпозицию ортогональных состояний $\left| \uparrow \right\rangle $ (“спин вверх”) и $\left| \downarrow \right\rangle $ (“спин вниз”); спин вдоль вектора поляризации P визуализирует состояние $\left| A \right\rangle .$
Также спинор $\left| A \right\rangle $ можно интерпретировать как суперпозицию ортогональных состояний $\left| \uparrow \right\rangle $ и $\left| \downarrow \right\rangle ,$ и визуализировать двумя спинами – вдоль (“вверх”) и против (“вниз”) оси квантования (рис. 1). Изменение отношения амплитуд вероятности этих состояний ${{{{\alpha }_{ \uparrow }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\alpha }_{ \uparrow }}} {{{\alpha }_{ \downarrow }}}}} \right. \kern-0em} {{{\alpha }_{ \downarrow }}}}$ приводит к изменению угла γ. Увеличению разности фаз φ между этими состояниями соответствует вращение P (спина нейтрона) вокруг оси квантования Z против часовой стрелки. При условии ${{a}_{ \uparrow }} = {{a}_{ \downarrow }}$ вектор P вращается в плоскости XY.
ПЛОСКОВОЛНОВОЕ РЕШЕНИЕ
Теперь проанализируем поведение спина нейтрона в однородной магнитной среде на основе точных плосковолновых решений уравнения Шредингера
(9)
$i\hbar \frac{d}{{dt}}\left| {\Psi ({\mathbf{r}},t)} \right\rangle = \left( { - \frac{{{{\hbar }^{2}}}}{{2m}}\Delta + {{V}_{n}} - {{{\mu }}_{n}}\hat {\sigma }{\mathbf{B}}} \right)\left| {\Psi ({\mathbf{r}},t)} \right\rangle .$При выборе оси квантования Z||B имеем $\hat {\sigma }{\mathbf{B}} = {{\hat {\sigma }}_{Z}}B,$ и уравнение распадается на независимые уравнения для компонент Ψ±(r,t) со спином вдоль (+) и против (–) поля. Частными решениями этих уравнений для нейтрона с энергией $E = \hbar \omega $ являются плоские волны с волновыми векторами k± длиной
(10)
${{k}_{ \pm }} = {{\hbar }^{{ - 1}}}\sqrt {2{{m}_{n}}[E - ({{V}_{n}} \pm \left| {{{\mu }_{n}}} \right|B)]} {\kern 1pt} .$(11)
$\left| {{\Psi }({\mathbf{r}},t)} \right\rangle = \exp ( - i\omega t){{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{a}_{ + }}\exp (i{{\alpha }_{ + }})\exp (i{{{\mathbf{k}}}_{ + }}{\mathbf{r}})} \\ {{{a}_{ - }}\exp (i{{\alpha }_{ - }})\exp (i{{{\mathbf{k}}}_{ - }}{\mathbf{r}})} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}}.$(12)
$\left| {{\Psi }({\mathbf{r}},t)} \right\rangle = \exp ( - i\omega t)\exp (i{\mathbf{\hat {k}r}})\left| {{\Psi }(0,0)} \right\rangle ,$(13)
${\mathbf{\hat {k}}} = {{({{{\mathbf{k}}}_{ + }} + {{{\mathbf{k}}}_{ - }})} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{{\mathbf{k}}}_{ + }} + {{{\mathbf{k}}}_{ - }})} 2}} \right. \kern-0em} 2} + \hat {\sigma }{\mathbf{b}} \cdot {{({{{\mathbf{k}}}_{ + }} - {{{\mathbf{k}}}_{ - }})} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{{\mathbf{k}}}_{ + }} - {{{\mathbf{k}}}_{ - }})} 2}} \right. \kern-0em} 2},$С помощью радиочастотного флиппера с рабочей частотой ωRF можно приготовить нейтрон в состоянии, которое является суперпозицией когерентных состояний со спинами вдоль (+) и против (−) поля с разной энергией E± [1, 9]:
Соответствующее плосковолновое решение уравнения (9) есть(15)
$\left| {{\Psi }({\mathbf{r}},t)} \right\rangle = {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{a}_{ + }}\exp (i{{\alpha }_{ + }})\exp [i({{{\mathbf{k}}}_{ + }}{\mathbf{r}} - {{\omega }_{ + }}t)]} \\ {{{a}_{ - }}\exp (i{{\alpha }_{ - }})\exp [i({{{\mathbf{k}}}_{ - }}{\mathbf{r}} - {{\omega }_{ - }}t)]} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}},$(16)
$\begin{gathered} {{k}_{ \pm }} = {{\hbar }^{{ - 1}}}\sqrt {2{{m}_{n}}[{{E}_{ \pm }} - ({{V}_{n}} \pm \left| {{{\mu }_{n}}} \right|B)]} , \\ {{\omega }_{ \pm }} = {{{{E}_{ \pm }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{ \pm }}} \hbar }} \right. \kern-0em} \hbar }. \\ \end{gathered} $В операторной форме общее плосковолновое решение уравнения (9) для нейтрона, состояние которого является суперпозицией двух состояний со своей энергией (E1 или E2) и своей ориентацией спина, есть
(17)
$\begin{gathered} \left| {{\Psi }({\mathbf{r}},t)} \right\rangle = \left| {{{{\Psi }}_{{\text{1}}}}({\mathbf{r}},t)} \right\rangle + \left| {{{{\Psi }}_{{\text{2}}}}({\mathbf{r}},t)} \right\rangle = \\ = \exp ( - it{{\omega }_{1}})\exp (i{{{{\mathbf{\hat {k}}}}}_{1}}{\mathbf{r}})\left| {{{{\Psi }}_{1}}(0,0)} \right\rangle + \\ + \,\,\exp ( - it{{\omega }_{2}})\exp (i{{{{\mathbf{\hat {k}}}}}_{2}}{\mathbf{r}})\left| {{{{\Psi }}_{2}}(0,0)} \right\rangle , \\ \end{gathered} $(18)
${{{\mathbf{\hat {k}}}}_{{1,2}}} = {{({\mathbf{k}}_{{1,2}}^{ + } + {\mathbf{k}}_{{1,2}}^{ - }} \mathord{\left/ {\vphantom {{({\mathbf{k}}_{{1,2}}^{ + } + {\mathbf{k}}_{{1,2}}^{ - }} 2}} \right. \kern-0em} 2}) + \hat {\sigma }{\mathbf{b}} \cdot {{({\mathbf{k}}_{{1,2}}^{ + } - {\mathbf{k}}_{{1,2}}^{ - })} \mathord{\left/ {\vphantom {{({\mathbf{k}}_{{1,2}}^{ + } - {\mathbf{k}}_{{1,2}}^{ - })} 2}} \right. \kern-0em} 2},$(19)
$\begin{gathered} k_{{1,2}}^{ \pm } = {{\hbar }^{{ - 1}}}\sqrt {2{{m}_{n}}[{{E}_{{1,2}}} - ({{V}_{n}} \pm \left| {{{\mu }_{n}}} \right|B)]} , \\ {{\omega }_{{1,2}}} = {{{{E}_{{1,2}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{{1,2}}}} \hbar }} \right. \kern-0em} \hbar }, \\ \end{gathered} $ОПЕРАТОР СПИНА В ТОЧКЕ
Из определения (2) для нейтронного состояния (15) в пределе бесконечно большого объема Ω получим компоненты вектора поляризации ($\left\langle {{{\Psi }({\mathbf{r}},t)}} \mathrel{\left | {\vphantom {{{\Psi }({\mathbf{r}},t)} {{\Psi }({\mathbf{r}},t)}}} \right. \kern-0em} {{{\Psi }({\mathbf{r}},t)}} \right\rangle $ = $\int_\Omega {{{d}^{3}}{\mathbf{r}}} = \Omega $):
(20a)
$\begin{gathered} {{P}_{X}} = \frac{{2{{a}_{ + }}{{a}_{ - }}}}{\Omega }\int\limits_\Omega {\cos [({{{\mathbf{k}}}_{ - }} - {{{\mathbf{k}}}_{ + }}){\mathbf{r}} + } \\ + \,\,{{t\Delta E} \mathord{\left/ {\vphantom {{t\Delta E} \hbar }} \right. \kern-0em} \hbar } + {{\alpha }_{ - }} - {{\alpha }_{ + }}]{{d}^{3}}{\mathbf{r}} = 0, \\ \end{gathered} $(20б)
$\begin{gathered} {{P}_{Y}} = \frac{{2{{a}_{ + }}{{a}_{ - }}}}{\Omega }\int\limits_\Omega {\sin [({{{\mathbf{k}}}_{ - }} - {{{\mathbf{k}}}_{ + }}){\mathbf{r}} + } \\ + \,\,{{t\Delta E} \mathord{\left/ {\vphantom {{t\Delta E} \hbar }} \right. \kern-0em} \hbar } + {{\alpha }_{ - }} - {{\alpha }_{ + }}]{{d}^{3}}{\mathbf{r}} = 0, \\ \end{gathered} $Таким образом, формальный подход не выявляет прецессии вектора поляризации, хотя компоненты PX и PY обращаются в ноль благодаря прецессии.
Поэтому введем оператор спина в точке
(21)
${\mathbf{\hat {\sigma }}}({\mathbf{r}}) \equiv {\mathbf{\hat {\sigma }}}\delta ({\mathbf{r}}{\text{'}} - {\mathbf{r}}) = \delta ({\mathbf{r}}{\text{'}} - {\mathbf{r}}){\mathbf{\hat {\sigma }}},$(22)
$\begin{gathered} {\mathbf{P}}({\mathbf{r}},t) = \\ = {{\left\langle {\Psi ({\mathbf{r}}{\text{'}},t)} \right|{\mathbf{\hat {\sigma }}}({\mathbf{r}})\left| {\Psi ({\mathbf{r}}{\text{'}},t)} \right\rangle } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left\langle {\Psi ({\mathbf{r}}{\text{'}},t)} \right|{\mathbf{\hat {\sigma }}}({\mathbf{r}})\left| {\Psi ({\mathbf{r}}{\text{'}},t)} \right\rangle } {\left\langle {\Psi ({\mathbf{r}}{\text{'}},t)} \right|\delta ({\mathbf{r}}{\text{'}} - {\mathbf{r}})\left| {\Psi ({\mathbf{r}}{\text{'}},t)} \right\rangle }}} \right. \kern-0em} {\left\langle {\Psi ({\mathbf{r}}{\text{'}},t)} \right|\delta ({\mathbf{r}}{\text{'}} - {\mathbf{r}})\left| {\Psi ({\mathbf{r}}{\text{'}},t)} \right\rangle }}, \\ \end{gathered} $(23)
$\delta ({{{\mathbf{r}}}_{0}} - {\mathbf{r}})\left| {\Psi ({\mathbf{r}},t)} \right\rangle = \left| {\Psi ({{{\mathbf{r}}}_{0}},t)} \right\rangle .$(24)
$\begin{gathered} \left\langle {{\Psi ({\mathbf{r}},t)}} \mathrel{\left | {\vphantom {{\Psi ({\mathbf{r}},t)} {\Psi ({\mathbf{r}},t)}}} \right. \kern-0em} {{\Psi ({\mathbf{r}},t)}} \right\rangle = \\ = \int {\left[ {{{{\left| {{{\Psi }_{ + }}({\mathbf{r}}{\text{'}},t)} \right|}}^{2}} + {{{\left| {{{\Psi }_{ - }}({\mathbf{r}}{\text{'}},t)} \right|}}^{2}}} \right]{{d}^{{\text{3}}}}{\mathbf{r}}{\text{'}}} , \\ \end{gathered} $(25)
$\left\langle {{\Psi ({{{\mathbf{r}}}_{0}},t)}} \mathrel{\left | {\vphantom {{\Psi ({{{\mathbf{r}}}_{0}},t)} {\Psi ({{{\mathbf{r}}}_{0}},t)}}} \right. \kern-0em} {{\Psi ({{{\mathbf{r}}}_{0}},t)}} \right\rangle = {{\left| {{{\Psi }_{ + }}({{{\mathbf{r}}}_{0}},t)} \right|}^{2}} + {{\left| {{{\Psi }_{ - }}({{{\mathbf{r}}}_{0}},t)} \right|}^{2}}.$С помощью δ-функции можно ввести “траекторию” движения со скоростью v из точки r0 и найти
(26)
$\left| {\Psi (t)} \right\rangle = \delta ({{{\mathbf{r}}}_{0}} + {\mathbf{v}}t - {\mathbf{r}})\left| {\Psi ({\mathbf{r}},t)} \right\rangle $(27)
$\begin{gathered} {\mathbf{P}}(t) = \frac{{\left\langle {\Psi ({\mathbf{r}},t)} \right|{\mathbf{\hat {\sigma }}}({{{\mathbf{r}}}_{0}} + {\mathbf{v}}t)\left| {\Psi ({\mathbf{r}},t)} \right\rangle }}{{\left\langle {{\Psi (t)}} \mathrel{\left | {\vphantom {{\Psi (t)} {\Psi (t)}}} \right. \kern-0em} {{\Psi (t)}} \right\rangle }} \equiv \\ \equiv \frac{{\left\langle {\Psi ({\mathbf{r}},t)} \right|{\mathbf{\hat {\sigma }}}\delta ({{{\mathbf{r}}}_{0}} + {\mathbf{v}}t - {\mathbf{r}})\left| {\Psi ({\mathbf{r}},t)} \right\rangle }}{{\left\langle {{\Psi (t)}} \mathrel{\left | {\vphantom {{\Psi (t)} {\Psi (t)}}} \right. \kern-0em} {{\Psi (t)}} \right\rangle }} = \frac{{\left\langle {\Psi (t)} \right|{\mathbf{\hat {\sigma }}}\left| {\Psi (t)} \right\rangle }}{{\left\langle {{\Psi (t)}} \mathrel{\left | {\vphantom {{\Psi (t)} {\Psi (t)}}} \right. \kern-0em} {{\Psi (t)}} \right\rangle }}, \\ \end{gathered} $ПРЕЦЕССИЯ СПИНА НЕЙТРОНА
Скорость нейтрона невозможно использовать в формуле (27), поскольку состояние нейтрона в магнитном поле есть суперпозиция состояний с разными скоростями:
(28)
${{{\mathbf{v}}}_{ \pm }} = {{\hbar {{{\mathbf{k}}}_{ \pm }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\hbar {{{\mathbf{k}}}_{ \pm }}} {{{m}_{n}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{n}}}}.$Поэтому подставим решение (15) в формулу (26), заменив v пилотной скоростью, получим:
(29)
${{{\mathbf{v}}}_{p}} = {{({{{\mathbf{v}}}_{ + }} + {{{\mathbf{v}}}_{ - }})} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{{\mathbf{v}}}_{ + }} + {{{\mathbf{v}}}_{ - }})} 2}} \right. \kern-0em} 2}.$(30)
$\begin{gathered} \left| {{\Psi }(t)} \right\rangle = \delta ({{{\mathbf{v}}}_{p}}t - {\mathbf{r}})\left| {{\Psi }({\mathbf{r}},t)} \right\rangle = \\ = \exp \left( {it\frac{{m{v}_{p}^{2}}}{\hbar } - it\frac{{{{\omega }_{ + }} + {{\omega }_{ - }}}}{2}} \right) \times \\ \times \,\,{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{a}_{ + }}\exp (i{{\alpha }_{ + }})\exp ({{ - i{{\omega }_{{\text{L}}}}t} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - i{{\omega }_{{\text{L}}}}t} 2}} \right. \kern-0em} 2})} \\ {{{a}_{ - }}\exp (i{{\alpha }_{ - }})\exp ({{i{{\omega }_{{\text{L}}}}t} \mathord{\left/ {\vphantom {{i{{\omega }_{{\text{L}}}}t} 2}} \right. \kern-0em} 2})} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}}. \\ \end{gathered} $(31)
${\mathbf{P}} = {{\left( {\sin \gamma \cos (\varphi + {{\omega }_{{\text{L}}}}t),\sin \gamma \sin (\varphi + {{\omega }_{{\text{L}}}}t),\cos \gamma } \right)}_{{\mathbf{B}}}}{\kern 1pt} ,$(32)
${{\omega }_{{\text{L}}}} = {{2\left| {{{\mu }_{n}}} \right|B} \mathord{\left/ {\vphantom {{2\left| {{{\mu }_{n}}} \right|B} \hbar }} \right. \kern-0em} \hbar }.$Таким образом, при выборе движения с пилотной скоростью вектор поляризации прецессирует вокруг вектора магнитной индукции B в точности с ларморовской частотой независимо от разности значений энергии в состояниях “спин вверх” и “спин вниз”. Это утверждение верно также в случае, когда направления k+ и k− (v+ и v−) не совпадают. Тогда направление vp является промежуточным между направлениями v+ и v−.
Использование пилотной скорости расширяет применимость концепции ларморовской прецессии в область очень медленных нейтронов. Пилотная скорость может быть полезна и в общем случае. Например, “дополнительная” прецессия спина в немагнитном бруске [14], наблюдавшаяся в случае нейтронов с длиной волны около 0.6 нм [15], получает объяснение, не выходящее за рамки чисто ларморовской прецессии: ядерный потенциал уменьшает пилотную скорость нейтрона в бруске и увеличивает время пролета в магнитном поле и прецессионный угол.
В другом эксперименте [16] авторы используют прецессию спина для определения времени прохождения нейтронов с длиной волны 0.6 нм через магнитные пленки и приходят к весьма странному выводу: “наблюдаемые сдвиги сигналов спин-эхо хорошо согласуются с классической ларморовской прецессией при прохождении по пути луча, преломленного только за счет ядерного потенциала магнитной пленки”. Этот вывод также получает свое объяснение, не выходящее за рамки чисто ларморовской прецессии. Действительно, зависимость компоненты пилотной скорости:
(33)
${{{v}}_{{ \bot p}}} = {{({{{v}}_{{ \bot + }}} + {{{v}}_{{ \bot - }}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{{v}}_{{ \bot + }}} + {{{v}}_{{ \bot - }}})} 2}} \right. \kern-0em} 2}$(34)
${{{v}}_{{ \bot \pm }}} = \sqrt {{{2[E{{{\sin }}^{2}}\theta - ({{V}_{n}} \pm \left| {{{\mu }_{n}}} \right|B)]} \mathord{\left/ {\vphantom {{2[E{{{\sin }}^{2}}\theta - ({{V}_{n}} \pm \left| {{{\mu }_{n}}} \right|B)]} m}} \right. \kern-0em} m}} ,$Из (15) следует, что плоскости с одинаковой ориентацией P задаются условием:
т.е. прецессионный фронт перпендикулярен разностному вектору k− − k+. Из-за спин-зависимой рефракции в магнитной пленке направления волновых векторов k+ и k– будут различаться. Прецессионный фронт не параллелен волновым фронтам, и можно говорить о нефронтальной прецессии, не перпендикулярной пилотной скорости vp. Благодаря двулучепреломлению в магнитной пленке фронт прецессии будет параллелен ее границам.Благодаря двулучепреломлению при отражении от зеркала в магнитном поле (эффект Игнатовича [17]) прецессионный фронт в отраженном пучке также параллелен поверхности зеркала (рис. 2). Нефронтальная прецессия легко наблюдается в малых полях [18], но разрушается при наблюдении углового расщепления отраженных лучей в больших полях [19].
Рис. 2.
Нейтронная волна в состоянии “спин вверх” (k+) отражается от зеркала в магнитном поле без флиппирования $({\mathbf{k}}_{ + }^{'})$ и с флиппированием спина $({\mathbf{k}}_{ - }^{'}).$ Разностный вектор ${\mathbf{k}}_{ - }^{'}$ − ${\mathbf{k}}_{ + }^{'}$ перпендикулярен поверхности зеркала, поэтому прецессионный фронт в отраженном пучке параллелен этой поверхности.
КВАНТОВАЯ НУТАЦИЯ СПИНА НЕЙТРОНА
Согласно общему плосковолновому решению (17) состояниям с разной энергией E1 и E2 в начальный момент времени в начале координат соответствуют произвольно ориентированные спины. Запишем решение (17) в представлении с осью квантования Z||B:
(36)
$\begin{gathered} \left| {\Psi (r,t)} \right\rangle = \left| {{{{\Psi }}_{{\text{1}}}}({\mathbf{r}},t)} \right\rangle + \left| {{{{\Psi }}_{{\text{2}}}}({\mathbf{r}},t)} \right\rangle = \\ = \exp ( - it{{\omega }_{1}}){{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {A_{1}^{ + }\exp (i{\mathbf{k}}_{1}^{ + }{\mathbf{r}})} \\ {A_{1}^{ - }\exp (i{\mathbf{k}}_{1}^{ - }{\mathbf{r}})} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}} + \\ + \,\,\exp ( - it{{\omega }_{2}}){{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {A_{2}^{ + }\exp (i{\mathbf{k}}_{2}^{ + }{\mathbf{r}})} \\ {A_{2}^{ - }\exp (i{\mathbf{k}}_{2}^{ - }{\mathbf{r}})} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}}, \\ \end{gathered} $Для траектории движения из точки r0= 0 (t = 0) со скоростью v по (26) найдем:
(37)
$\begin{gathered} \left| {{{{\Psi }}_{{{\text{1,2}}}}}(t)} \right\rangle = \exp \left[ {i\left( {{\mathbf{k}}_{{1,2}}^{ + } + {\mathbf{k}}_{{1,2}}^{ - }} \right){{{\mathbf{v}}t} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\mathbf{v}}t} {2 - i{{\omega }_{{{\text{1,2}}}}}t}}} \right. \kern-0em} {2 - i{{\omega }_{{{\text{1,2}}}}}t}}} \right] \times \\ \times \,\,{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {A_{{1,2}}^{ + }\exp \left[ {{{ - i\left( {{\mathbf{k}}_{{1,2}}^{ - } - {\mathbf{k}}_{{1,2}}^{ + }} \right){\mathbf{v}}t} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - i\left( {{\mathbf{k}}_{{1,2}}^{ - } - {\mathbf{k}}_{{1,2}}^{ + }} \right){\mathbf{v}}t} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right]} \\ {A_{{1,2}}^{ - }\exp [{{i({\mathbf{k}}_{{1,2}}^{ - } - {\mathbf{k}}_{{1,2}}^{ + }){\mathbf{v}}t} \mathord{\left/ {\vphantom {{i({\mathbf{k}}_{{1,2}}^{ - } - {\mathbf{k}}_{{1,2}}^{ + }){\mathbf{v}}t} 2}} \right. \kern-0em} 2}]} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}}. \\ \end{gathered} $Аргументы экспоненциальных множителей в $\left| {{{{\Psi }}_{{\text{1}}}}(t)} \right\rangle $ и $\left| {{{{\Psi }}_{{\text{2}}}}(t)} \right\rangle $ равны для скорости v = vp, которая удовлетворяет равенству:
(38)
$\left( {{\mathbf{v}}_{p}^{{(1)}} - {\mathbf{v}}_{p}^{{(2)}}} \right){{{\mathbf{v}}}_{p}} = {{({{\omega }_{1}} - {{\omega }_{2}})\hbar } \mathord{\left/ {\vphantom {{({{\omega }_{1}} - {{\omega }_{2}})\hbar } m}} \right. \kern-0em} m} = {{\left( {{v}_{1}^{2} - {v}_{2}^{2}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{v}_{1}^{2} - {v}_{2}^{2}} \right)} 2}} \right. \kern-0em} 2},$(39)
${\mathbf{v}}_{p}^{{(1,2)}} = {{\left( {{\mathbf{v}}_{{1,2}}^{ + } + {\mathbf{v}}_{{1,2}}^{ - }} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{\mathbf{v}}_{{1,2}}^{ + } + {\mathbf{v}}_{{1,2}}^{ - }} \right)} 2}} \right. \kern-0em} 2},\,\,\,\,{\mathbf{v}}_{{1,2}}^{ \pm } = {{\hbar {\mathbf{k}}_{{1,2}}^{ \pm }} \mathord{\left/ {\vphantom {{\hbar {\mathbf{k}}_{{1,2}}^{ \pm }} m}} \right. \kern-0em} m}.$Выбор vp по условию (38) однозначен, только если все волновые векторы ${\mathbf{k}}_{{1,2}}^{ \pm }$ параллельны друг другу. Тогда направление скорости vp то же, а величину можно записать в виде:
(40)
${{{v}}_{p}} = \frac{{{v}_{1}^{2} - {v}_{2}^{2}}}{{2({v}_{p}^{{(1)}} - {v}_{p}^{{(2)}})}} = \frac{{{v}_{p}^{{(1)}} + {v}_{p}^{{(2)}}}}{2}\frac{{{v}_{1}^{2} - {v}_{2}^{2}}}{{{v}_{1}^{ + }{v}_{1}^{ - } - {v}_{2}^{ + }{v}_{2}^{ - }}},$(41)
${{E}_{{1,2}}} = {{m{v}_{{1,2}}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{m{v}_{{1,2}}^{2}} 2}} \right. \kern-0em} 2} = {{m{{{({v}_{{1,2}}^{ \pm })}}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{m{{{({v}_{{1,2}}^{ \pm })}}^{2}}} {2 + {{V}_{n}} \pm \left| {{{\mu }_{n}}B} \right|}}} \right. \kern-0em} {2 + {{V}_{n}} \pm \left| {{{\mu }_{n}}B} \right|}}.$Поэтому в случае произвольных ${\mathbf{k}}_{{1,2}}^{ \pm }$ в качестве новой пилотной скорости можно выбрать скорость
(42)
${{{\mathbf{v}}}_{p}} = \frac{{{\mathbf{v}}_{p}^{{(1)}} + {\mathbf{v}}_{p}^{{(2)}}}}{2}\frac{{{v}_{1}^{2} - {v}_{2}^{2}}}{{{\mathbf{v}}_{1}^{ + }{\mathbf{v}}_{1}^{ - } - {\mathbf{v}}_{2}^{ + }{\mathbf{v}}_{2}^{ - }}},$(43)
$\begin{gathered} \left| {\psi (t)} \right\rangle = {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {A_{1}^{ + }\exp \left[ {{{ - i\left( {{\mathbf{k}}_{1}^{ - } - {\mathbf{k}}_{1}^{ + }} \right){{{\mathbf{v}}}_{p}}t} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - i\left( {{\mathbf{k}}_{1}^{ - } - {\mathbf{k}}_{1}^{ + }} \right){{{\mathbf{v}}}_{p}}t} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right]} \\ {A_{1}^{ - }\exp \left[ {{{i\left( {{\mathbf{k}}_{1}^{ - } - {\mathbf{k}}_{1}^{ + }} \right){{{\mathbf{v}}}_{p}}t} \mathord{\left/ {\vphantom {{i\left( {{\mathbf{k}}_{1}^{ - } - {\mathbf{k}}_{1}^{ + }} \right){{{\mathbf{v}}}_{p}}t} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right]} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}} + \\ + \,\,{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {A_{2}^{ + }\exp \left[ {{{ - i\left( {{\mathbf{k}}_{2}^{ - } - {\mathbf{k}}_{2}^{ + }} \right){{{\mathbf{v}}}_{p}}t} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - i\left( {{\mathbf{k}}_{2}^{ - } - {\mathbf{k}}_{2}^{ + }} \right){{{\mathbf{v}}}_{p}}t} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right]} \\ {A_{2}^{ - }\exp \left[ {{{i\left( {{\mathbf{k}}_{2}^{ - } - {\mathbf{k}}_{2}^{ + }} \right){{{\mathbf{v}}}_{p}}t} \mathord{\left/ {\vphantom {{i\left( {{\mathbf{k}}_{2}^{ - } - {\mathbf{k}}_{2}^{ + }} \right){{{\mathbf{v}}}_{p}}t} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right]} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}}. \\ \end{gathered} $Плоскости с одинаковой фазой прецессии двух спинов найдутся аналогично (35):
(44)
$\left( {{\mathbf{k}}_{{1,2}}^{ - } - {\mathbf{k}}_{{1,2}}^{ + }} \right){\mathbf{r}} = {\text{const}}{\text{.}}$Если разностные векторы ${\mathbf{k}}_{1}^{ - } - {\mathbf{k}}_{1}^{ + }$ и ${\mathbf{k}}_{2}^{ - } - {\mathbf{k}}_{2}^{ + }$ параллельны, P в точке на траектории r = vpt задает вектор поляризации в плоскости, перпендикулярной этим разностным векторам.
Используем результат о прецессии спина с ларморовской частотой в системе координат, движущейся с соответствующей скоростью ${\mathbf{v}}_{p}^{{(1,2)}},$ для каждого слагаемого в (43). Тогда получим:
(45)
$\begin{gathered} \left| {\psi (t)} \right\rangle = \left| 1 \right\rangle + \left| 2 \right\rangle = {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {A_{1}^{ + }\exp ({{ - it\omega _{{{\text{L1}}}}^{'}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - it\omega _{{{\text{L1}}}}^{'}} 2}} \right. \kern-0em} 2})} \\ {A_{1}^{ - }\exp ({{it\omega _{{{\text{L1}}}}^{'}} \mathord{\left/ {\vphantom {{it\omega _{{{\text{L1}}}}^{'}} 2}} \right. \kern-0em} 2})} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}} + \\ + \,\,{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {A_{2}^{ + }\exp ({{ - it\omega _{{{\text{L2}}}}^{'}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - it\omega _{{{\text{L2}}}}^{'}} 2}} \right. \kern-0em} 2})} \\ {A_{2}^{ - }\exp ({{it\omega _{{{\text{L2}}}}^{'}} \mathord{\left/ {\vphantom {{it\omega _{{{\text{L2}}}}^{'}} 2}} \right. \kern-0em} 2})} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}}, \\ \end{gathered} $(46)
$\omega _{{{\text{L1,L2}}}}^{'} = \frac{{{{{v}}_{p}}}}{{{v}_{p}^{{(1,2)}}}}{{\omega }_{{\text{L}}}}.$В любой момент времени состояниям $\left| 1 \right\rangle $ и $\left| 2 \right\rangle $ с разной энергией соответствуют спины с определенными направлениями ($\left| 1 \right\rangle $-спин и $\left| 2 \right\rangle $-спин). Из уравнения (45) следует, что $\left| 1 \right\rangle $-спин и $\left| 2 \right\rangle $-спин вращаются вокруг B с частотами, соответственно, $\omega _{{{\text{L1}}}}^{'}$ и $\omega _{{{\text{L2}}}}^{'}.$ Направление спина нейтрона найдется из суперпозиции состояний $\left| 1 \right\rangle $ и $\left| 2 \right\rangle .$
Уравнение (45) можно также записать в виде:
(47)
$\left| {\psi (t)} \right\rangle = {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {A_{1}^{ + }\exp \left( {{{ - it{{\omega }_{n}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - it{{\omega }_{n}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right) + A_{2}^{ + }\exp \left( {{{it{{\omega }_{n}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{it{{\omega }_{n}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)} \right]\exp \left( {{{ - it{{\omega }_{p}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - it{{\omega }_{p}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)} \\ {\left[ {A_{1}^{ - }\exp ({{it{{\omega }_{n}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{it{{\omega }_{n}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}) + A_{2}^{ - }\exp \left( {{{ - it{{\omega }_{n}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - it{{\omega }_{n}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)} \right]\exp \left( {{{it{{\omega }_{p}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{it{{\omega }_{p}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}},$(48)
${{\omega }_{p}} = \frac{{\omega _{{{\text{L1}}}}^{'} + \omega _{{{\text{L2}}}}^{'}}}{2} = \frac{{{{{v}}_{p}}\left( {{v}_{p}^{{(1)}} + {v}_{p}^{{(2)}}} \right)}}{{2{v}_{p}^{{(1)}}{v}_{p}^{{(2)}}}}{{\omega }_{{\text{L}}}},$(49)
${{\omega }_{n}} = \frac{{\omega _{{{\text{L1}}}}^{'} - \omega _{{{\text{L2}}}}^{'}}}{2} = \frac{{{{{v}}_{p}}\left( {{v}_{p}^{{(2)}} - {v}_{p}^{{(1)}}} \right)}}{{2{v}_{p}^{{(1)}}{v}_{p}^{{(2)}}}}{{\omega }_{{\text{L}}}}.$Отсюда следует, что в системе координат, вращающейся вокруг B против часовой стрелки с частотой ωp, движение спина описывается функцией
(50)
$\begin{gathered} \left| {{{\psi }_{{{\text{rot}}}}}(t)} \right\rangle = {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {A_{1}^{ + }\exp ({{ - it{{\omega }_{n}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - it{{\omega }_{n}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})} \\ {A_{1}^{ - }\exp ({{it{{\omega }_{n}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{it{{\omega }_{n}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}} + \\ + \,\,{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {A_{2}^{ + }\exp ({{it{{\omega }_{n}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{it{{\omega }_{n}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})} \\ {A_{2}^{ - }\exp ({{ - it{{\omega }_{n}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - it{{\omega }_{n}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}}. \\ \end{gathered} $В новой системе координат $\left| 1 \right\rangle $-спин и $\left| 2 \right\rangle $-спин вращаются в противоположных направлениях с одинаковой частотой ωn. Функцию (50) можно также записать как
(51)
$\begin{gathered} \left| {{{\psi }_{{{\text{rot}}}}}(t)} \right\rangle = \exp \left( { - it\frac{{{{\omega }_{n}}}}{2}} \right){{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {A_{1}^{ + }} \\ {A_{2}^{ - }} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}} + \\ + \,\,\exp \left( {it\frac{{{{\omega }_{n}}}}{2}} \right){{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {A_{2}^{ + }} \\ {A_{1}^{ - }} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}}, \\ \end{gathered} $(52)
$\left| {{{\psi }_{{{\text{rot}}}}}(t)} \right\rangle = \exp \left( { - it\frac{{{{\omega }_{n}}}}{2}} \right)\left| \alpha \right\rangle + \exp \left( {it\frac{{{{\omega }_{n}}}}{2}} \right)\left| \beta \right\rangle .$Ранее была доказана теорема [13]: суперпозиция любых двух спиновых состояний $\left| \alpha \right\rangle $ и $\left| \beta \right\rangle ,$ разность фаз между которыми меняется с заданной частотой ω, задает вращение спина (вектора поляризации P) вокруг некоторой оси с периодом 2π/ω; при условии $\left| {A_{1}^{ + }A_{2}^{ + }} \right|$ = $\left| {A_{1}^{ - }A_{2}^{ - }} \right|$ вращение спина – равномерное, в противном случае угловая скорость вращения изменяется в течение периода и сопровождается изменением плотности вероятности нахождения частицы с данной ориентацией спина. Следовательно, движение вектора поляризации P есть суперпозиция двух вращений – с периодом Tn = 2π/ωn вокруг нутационной оси N, которая, в свою очередь, вращается вокруг вектора B с частотой ωp (рис. 3).
Рис. 3.
Движение вектора поляризации P есть суперпозиция двух вращений – с периодом Tn = 2π/ωn вокруг нутационной оси N, которая, в свою очередь, вращается вокруг вектора магнитной индукции B с частотой ωp. Нутационный конус задается углом наклона нутационной оси ξ к полю B и углом раствора конуса 2η; здесь $\left| 1 \right\rangle $-спин направлен по полю B (χ1 = 0°), а $\left| 2 \right\rangle $-спин перпендикулярен B (χ2 = 90°).
Ориентацию нутационной оси N в случае, когда $\left| 1 \right\rangle $-спин, $\left| 2 \right\rangle $-спин и вектор B лежат в одной плоскости, найдем более простым способом, чем в [13]. Поскольку углы наклона $\left| 1 \right\rangle $-спина (χ1) и $\left| 2 \right\rangle $-спина (χ2) относительно вектора B при их вращении сохраняются, функцию (50) всегда можно записать в виде:
(53)
$\left| {{{\psi }_{{{\text{rot}}}}}(t)} \right\rangle = {{w}_{0}}(\left| 1 \right\rangle + \left| 2 \right\rangle ),$(54)
$\begin{gathered} \left| 1 \right\rangle = {{w}_{1}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos ({{{{\chi }_{{\text{1}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\chi }_{{\text{1}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})\exp ({{i\varphi _{1}^{ + } - it{{\omega }_{n}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{i\varphi _{1}^{ + } - it{{\omega }_{n}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})} \\ {\sin ({{{{\chi }_{{\text{1}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\chi }_{{\text{1}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})\exp ({{i\varphi _{1}^{ - } + it{{\omega }_{n}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{i\varphi _{1}^{ - } + it{{\omega }_{n}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}}, \\ \left| 2 \right\rangle = {{w}_{2}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos ({{{{\chi }_{{\text{2}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\chi }_{{\text{2}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})\exp ({{i\varphi _{2}^{ + } + it{{\omega }_{n}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{i\varphi _{2}^{ + } + it{{\omega }_{n}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})} \\ {\sin ({{{{\chi }_{{\text{2}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\chi }_{{\text{2}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})\exp ({{i\varphi _{2}^{ - } - it{{\omega }_{n}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{i\varphi _{2}^{ - } - it{{\omega }_{n}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}}, \\ \end{gathered} $(55)
${{w}_{{0,1,2}}} \geqslant 0,\,\,\,\,\,w_{1}^{2} + w_{2}^{2} = 1,\,\,\,\,\varphi _{{1,2}}^{ \pm } = \arg (A_{{1,2}}^{ \pm }).$Без ограничения общности можно считать, что w0 = 1. Соответственно,
(56)
$\begin{gathered} \left| \alpha \right\rangle = {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{w}_{1}}\cos ({{{{\chi }_{{\text{1}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\chi }_{{\text{1}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})\exp (i\varphi _{1}^{ + })} \\ {{{w}_{2}}\sin ({{{{\chi }_{{\text{2}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\chi }_{{\text{2}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})\exp (i\varphi _{2}^{ - })} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}}, \hfill \\ \left| \beta \right\rangle = {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{w}_{2}}\cos ({{{{\chi }_{{\text{2}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\chi }_{{\text{2}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})\exp (i\varphi _{2}^{ + })} \\ {{{w}_{1}}\sin ({{{{\chi }_{{\text{1}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\chi }_{{\text{1}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})\exp (i\varphi _{1}^{ - })} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}}. \hfill \\ \end{gathered} $Угол между осью X и проекцией нутационной оси N на плоскость (X,Y) запишем как
Из (53), (54) следует, что в течение нутационного периода Tn нейтронная плотность:
(58)
${{\rho }_{n}}(t) = \left\langle {{{{\psi }_{{{\text{rot}}}}}(t)}} \mathrel{\left | {\vphantom {{{{\psi }_{{{\text{rot}}}}}(t)} {{{\psi }_{{{\text{rot}}}}}(t)}}} \right. \kern-0em} {{{{\psi }_{{{\text{rot}}}}}(t)}} \right\rangle ,$(59)
${{t}_{0}} = {{[\varphi _{1}^{ + } - \varphi _{1}^{ - } - (\varphi _{2}^{ + } - \varphi _{2}^{ - })]} \mathord{\left/ {\vphantom {{[\varphi _{1}^{ + } - \varphi _{1}^{ - } - (\varphi _{2}^{ + } - \varphi _{2}^{ - })]} {2{{\omega }_{n}}}}} \right. \kern-0em} {2{{\omega }_{n}}}}.$Изменение фаз $\varphi _{{1,2}}^{ \pm }$ меняет угол δ, а также t0, т.е. угол φn на нутационной окружности, при котором нейтронная плотность максимальна. Она минимальна при максимальном удалении $\left| 1 \right\rangle $-спина и $\left| 2 \right\rangle $-спина в момент времени t0 + Tn/2.
При условии $\varphi _{{1,2}}^{ \pm } = 0$ нутационная ось N находилась бы в плоскости (XZ), максимальное и минимальное сближение $\left| 1 \right\rangle $-спина и $\left| 2 \right\rangle $-спина было бы, соответственно, при t = 0 и t = Tn/2, когда волновая функция принимает значения:
(60)
$\left| {{{\psi }_{{{\text{rot}}( \pm )}}}} \right\rangle = {{w}_{1}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos ({{{{\chi }_{{\text{1}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\chi }_{{\text{1}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})} \\ {\sin ({{{{\chi }_{{\text{1}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\chi }_{{\text{1}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}} \pm {{w}_{2}}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos ({{{{\chi }_{{\text{2}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\chi }_{{\text{2}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})} \\ {\sin ({{{{\chi }_{{\text{2}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\chi }_{{\text{2}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}},$(61)
${{\xi }_{{( \pm )}}} = 2arctg\left| {\frac{{{{w}_{1}}\sin ({{{{\chi }_{{\text{1}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\chi }_{{\text{1}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}) \pm {{w}_{2}}\sin ({{{{\chi }_{{\text{2}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\chi }_{{\text{2}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})}}{{{{w}_{1}}\cos ({{{{\chi }_{{\text{1}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\chi }_{{\text{1}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}) \pm {{w}_{2}}\cos ({{{{\chi }_{{\text{2}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\chi }_{{\text{2}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})}}} \right|.$(62)
$\xi = {{({{\xi }_{{( + )}}} + {{\xi }_{ - }})} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{\xi }_{{( + )}}} + {{\xi }_{ - }})} 2}} \right. \kern-0em} 2},$(63)
$\eta = {{\left| {{{\xi }_{{( + )}}} - {{\xi }_{{( - )}}}} \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{\xi }_{{( + )}}} - {{\xi }_{{( - )}}}} \right|} 2}} \right. \kern-0em} 2}.$(64)
${{\varphi }_{n}}(t) = \arg [\left\langle {{ - N}} \mathrel{\left | {\vphantom {{ - N} {{{\psi }_{{{\text{rot}}}}}(t)}}} \right. \kern-0em} {{{{\psi }_{{{\text{rot}}}}}(t)}} \right\rangle ] - \arg [\left\langle {{ + N}} \mathrel{\left | {\vphantom {{ + N} {{{\psi }_{{{\text{rot}}}}}(t)}}} \right. \kern-0em} {{{{\psi }_{{{\text{rot}}}}}(t)}} \right\rangle ],$(65)
${{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\psi _{{{\text{rot}}}}^{ \uparrow }(t)} \\ {\psi _{{{\text{rot}}}}^{ \downarrow }(t)} \end{array}} \right)}_{N}} = U(\delta ,\xi ){{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\psi _{{{\text{rot}}}}^{ + }(t)} \\ {\psi _{{{\text{rot}}}}^{ - }(t)} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}},$(66)
$\begin{gathered} U(\delta ,\xi ) = \\ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos ({\xi \mathord{\left/ {\vphantom {\xi 2}} \right. \kern-0em} 2})\exp ({{i\delta } \mathord{\left/ {\vphantom {{i\delta } 2}} \right. \kern-0em} 2})}&{\sin ({\xi \mathord{\left/ {\vphantom {\xi 2}} \right. \kern-0em} 2})\exp ({{ - i\delta } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - i\delta } 2}} \right. \kern-0em} 2})} \\ { - \sin ({\xi \mathord{\left/ {\vphantom {\xi 2}} \right. \kern-0em} 2})\exp ({{i\delta } \mathord{\left/ {\vphantom {{i\delta } 2}} \right. \kern-0em} 2})}&{\cos ({\xi \mathord{\left/ {\vphantom {\xi 2}} \right. \kern-0em} 2})\exp ({{ - i\delta } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - i\delta } 2}} \right. \kern-0em} 2})} \end{array}} \right). \\ \end{gathered} $(67)
${{\varphi }_{n}}(t) = \arg \left[ {\psi _{{{\text{rot}}}}^{ \downarrow }(t)} \right] - \arg \left[ {\psi _{{{\text{rot}}}}^{ \uparrow }(t)} \right].$Рис. 4.
Временны́е зависимости нейтронной плотности ρn и нутационного угла φn в течение периода нутации Tn = 2π/ωn при ${{w}_{1}} = {{w}_{2}} = \sqrt {0.5} $, χ1 = 0° и χ2 = 5°, 45°, 90°, 135° и 180°. Момент времени c максимальной плотностью вероятности считается начальным (t = 0).
Для того чтобы получить выражения для ρn и φn, используем представление с Z||N. Тогда
(68)
$\left| \alpha \right\rangle = {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {d_{1}^{ \uparrow }\exp \left( {i\theta _{1}^{ \uparrow }} \right)} \\ {d_{1}^{ \downarrow }\exp \left( {i\theta _{1}^{ \downarrow }} \right)} \end{array}} \right)}_{N}},\,\,\,\,\left| \beta \right\rangle = {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {d_{2}^{ \uparrow }\exp \left( {i\theta _{2}^{ \uparrow }} \right)} \\ {d_{2}^{ \downarrow }\exp \left( {i\theta _{2}^{ \downarrow }} \right)} \end{array}} \right)}_{N}},$(69)
${{\left( {d_{1}^{ \uparrow }} \right)}^{2}} + {{\left( {d_{1}^{ \downarrow }} \right)}^{2}} + {{\left( {d_{2}^{ \uparrow }} \right)}^{2}} + {{\left( {d_{2}^{ \uparrow }} \right)}^{2}} = 1.$(70)
$\begin{gathered} \left| {{{\psi }_{{{\text{rot}}}}}(t)} \right\rangle = \exp \left( { - it\frac{{{{\omega }_{n}}}}{2}} \right)\left| \alpha \right\rangle + \exp \left( {it\frac{{{{\omega }_{n}}}}{2}} \right)\left| \beta \right\rangle = \\ = \sqrt {\rho (t)} {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{d}_{ \uparrow }}\exp (i{{\theta }_{ \uparrow }})\exp \left( {{{ - it{{\varphi }_{n}}(t)} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - it{{\varphi }_{n}}(t)} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)} \\ {{{d}_{ \downarrow }}\exp (i{{\theta }_{ \downarrow }})\exp \left( {{{it{{\varphi }_{n}}(t)} \mathord{\left/ {\vphantom {{it{{\varphi }_{n}}(t)} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)} \end{array}} \right)}_{N}}, \\ \end{gathered} $(72)
$\begin{gathered} {{\rho }_{n}}(t) = 1 + \frac{{2d_{1}^{ \uparrow }d_{2}^{ \uparrow }\cos \left( {\theta _{2}^{ \uparrow } - \theta _{1}^{ \uparrow } + {{\omega }_{n}}t} \right)}}{{{{{\left( {d_{1}^{ \uparrow }} \right)}}^{2}} + {{{\left( {d_{2}^{ \uparrow }} \right)}}^{2}}}} = \\ = 1 + \frac{{2d_{1}^{ \downarrow }d_{2}^{ \downarrow }\cos \left( {\theta _{2}^{ \downarrow } - \theta _{1}^{ \downarrow } + {{\omega }_{n}}t} \right)}}{{{{{\left( {d_{1}^{ \downarrow }} \right)}}^{2}} + {{{\left( {d_{2}^{ \downarrow }} \right)}}^{2}}}}, \\ \end{gathered} $(73)
$\begin{gathered} {{\varphi }_{n}}(t) = \theta _{1}^{ \downarrow } - \theta _{1}^{ \uparrow } + {{\varphi }_{ \downarrow }}(t) - {{\varphi }_{ \uparrow }}(t) = \\ = \theta _{2}^{ \downarrow } - \theta _{2}^{ \uparrow } + {{\varphi }_{ \downarrow }}(t) - {{\varphi }_{ \uparrow }}(t), \\ \end{gathered} $(74)
${{\varphi }_{{ \uparrow , \downarrow }}}(t) = {\text{arctg}}\frac{{d_{2}^{{ \uparrow , \downarrow }}\sin \left( {\theta _{2}^{{ \uparrow , \downarrow }} - \theta _{1}^{{ \uparrow , \downarrow }} + {{\omega }_{n}}t} \right)}}{{d_{1}^{{ \uparrow , \downarrow }} + d_{2}^{{ \uparrow , \downarrow }}\cos \left( {\theta _{2}^{{ \uparrow , \downarrow }} - \theta _{1}^{{ \uparrow , \downarrow }} + {{\omega }_{n}}t} \right)}}.$Найдем также условия ортогональности пар состояний из (54) и (56). Их скалярные произведения:
(75)
$\begin{gathered} \left\langle {2} \mathrel{\left | {\vphantom {2 1}} \right. \kern-0em} {1} \right\rangle = {{w}_{1}}{{w}_{2}}\left\{ {a_{1}^{ + }a_{2}^{ + }\exp \left[ {i\left( {\varphi _{1}^{ + } - \varphi _{2}^{ + } - {{\omega }_{n}}t} \right)} \right] + } \right. \\ \left. { + \,\,a_{1}^{ - }a_{2}^{ - }\exp \left[ {i\left( {\varphi _{1}^{ - } - \varphi _{2}^{ - } + {{\omega }_{n}}t} \right)} \right]} \right\}, \\ \end{gathered} $(76)
$\begin{gathered} \left\langle {\beta } \mathrel{\left | {\vphantom {\beta \alpha }} \right. \kern-0em} {\alpha } \right\rangle = {{w}_{1}}{{w}_{2}}\left\{ {a_{1}^{ + }a_{2}^{ + }\exp \left[ {i\left( {\varphi _{1}^{ + } - \varphi _{2}^{ + }} \right)} \right] + } \right. \\ \left. { + \,\,a_{1}^{ - }a_{2}^{ - }\exp \left[ { - i\left( {\varphi _{1}^{ - } - \varphi _{2}^{ - }} \right)} \right]} \right\}, \\ \end{gathered} $(77)
$a_{{1,2}}^{ + } = \cos ({{{{\chi }_{{{\text{1,2}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\chi }_{{{\text{1,2}}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}),\,\,\,\,a_{{1,2}}^{ - } = \sin ({{{{\chi }_{{{\text{1,2}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\chi }_{{{\text{1,2}}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}).$(80)
${{\rho }_{n}}(t) = \left\langle {\psi (t){\text{|}}\psi (t)} \right\rangle = \left\langle {{{\psi }_{{{\text{rot}}}}}(t){\text{|}}{{\psi }_{{{\text{rot}}}}}(t)} \right\rangle = 1$(81)
$\varphi _{1}^{ + } - \varphi _{1}^{ - } = \varphi _{2}^{ + } - \varphi _{2}^{ - } + \pi + 2{{\omega }_{n}}t.$Вращение вокруг нутационной оси, действительно, выглядит как известная из классической механики нутация (рис. 3). Конечно, эту аналогию не следует воспринимать слишком глубоко, тем более что природа нутаций в классической механике иная. Поэтому вращение спина нейтрона вокруг нутационной оси было названо квантовой нутацией [12]. Следует отметить, что прецессия также трактуется по-разному в классической и квантовой механике, но термин прецессия широко употребляется в квантовой механике, а термин квантовая прецессия использован в [20, 21] для описания поведения спина, неколлинеарного намагниченности зеркального покрытия, при полном отражении нейтронов.
Из (49) следует, что происхождение нутации обусловлено разностью частот вращения $\left| 1 \right\rangle $-спина и $\left| 2 \right\rangle $-спина вокруг B. В результате взаимная ориентация $\left| 1 \right\rangle $-спина и $\left| 2 \right\rangle $-спина со временем меняется, что и приводит к изменению угла между спином нейтрона и B, которое проявляется в виде нутации. Знак ωn определяет направление нутации (или, другими словами, направление нутационной оси).
Обычно ${{\left| {{{\mu }_{n}}} \right|B} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {{{\mu }_{n}}} \right|B} {{{E}_{{1,2}}}}}} \right. \kern-0em} {{{E}_{{1,2}}}}} \ll 1,$ поэтому все скорости в выражении (48) почти одинаковы, и ωp практически совпадает с ларморовской частотой ωL. Тогда пути нейтрона за одну прецессию и одну нутацию равны, соответственно,
(82)
${{L}_{p}} = {{{v}}_{p}}\frac{{2\pi }}{{{{\omega }_{p}}}} = \frac{{{v}_{p}^{{(1)}}{v}_{p}^{{(2)}}}}{{{{{{\bar {v}}}}_{p}}}}\frac{{2\pi }}{{{{\omega }_{{\text{L}}}}}} \cong \frac{{1.36 \times {{{10}}^{{ - 5}}}}}{{B\lambda }},$(83)
${{L}_{n}} = {{{v}}_{p}}\frac{{2\pi }}{{\left| {{{\omega }_{n}}} \right|}} \cong \frac{{0.369}}{{{{B}_{{{\text{RF}}}}}B{{\lambda }^{3}}}},$Таблица 1.
Пути нейтрона за одну прецессию (Lp) и одну нутацию (Ln) для B = 0.1 Тл, BRF = 0.01 Тл и разных длин волн λ нейтронов
| λ, нм | Lp | Ln | Ln/Lp |
|---|---|---|---|
| 0.1 | 1.36 мм | 369 км | 2.7 × 108 |
| 1 | 0.136 мм | 369 м | 2.7 × 106 |
| 10 | 13.6 мкм | 369 мм | 2.7 × 104 |
| 100 | 1.36 мкм | 0.369 мм | 2.7 × 102 |
Таким образом, квантовые нутации могут проявляться только для нейтронов с энергиями, сравнимыми с разницей между ними. При существующих потоках медленных нейтронов наблюдать нутации практически невозможно. Однако проведенный выше анализ будет полезен в других экспериментальных ситуациях, рассмотренных ниже.
ЛОКАЛЬНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ОСЬ
Рассмотрим поведение вектора нейтронной поляризации P в лабораторной системе координат (v = 0). Введя координату L вдоль траектории, заданной точкой r0 (L = 0) и пилотной скоростью (42), определим по формуле (36) волновую функцию в виде:
(84)
$\begin{gathered} \left| {\Psi (L,t)} \right\rangle = \delta ({{L{{{\mathbf{v}}}_{p}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{L{{{\mathbf{v}}}_{p}}} {{{{v}}_{p}} - {\mathbf{r}}}}} \right. \kern-0em} {{{{v}}_{p}} - {\mathbf{r}}}})\left| {\Psi ({\mathbf{r}},t)} \right\rangle = \\ = \left| {\psi (L,t)} \right\rangle \exp [{{ - it({{E}_{1}} + {{E}_{2}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - it({{E}_{1}} + {{E}_{2}})} {2\hbar }}} \right. \kern-0em} {2\hbar }}], \\ \end{gathered} $(85)
$\begin{gathered} \left| {\psi (L,t)} \right\rangle = {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {A_{1}^{ + }\exp \left( {ik_{1}^{ + }L} \right)} \\ {A_{1}^{ - }\exp \left( {ik_{1}^{ - }L} \right)} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}}\exp \left( { - it\frac{{{{\omega }_{{{\text{RF}}}}}}}{2}} \right) + \\ + \,\,{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {A_{2}^{ + }\exp \left( {ik_{2}^{ + }L} \right)} \\ {A_{2}^{ - }\exp \left( {ik_{2}^{ - }L} \right)} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}}\exp \left( {it\frac{{{{\omega }_{{{\text{RF}}}}}}}{2}} \right), \\ \end{gathered} $(86)
$\begin{gathered} \left| {\psi (L,t)} \right\rangle = \exp \left( {{{ - it{{\omega }_{{{\text{RF}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - it{{\omega }_{{{\text{RF}}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)\left| {1,L} \right\rangle + \\ + \,\,\exp \left( {{{it{{\omega }_{{{\text{RF}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{it{{\omega }_{{{\text{RF}}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)\left| {2,L} \right\rangle , \\ \end{gathered} $Используя проведенный выше анализ суперпозиции двух спиноров, можно заключить, что в точке с координатой L вектор P вращается с периодом TRF = 2π/ωRF вокруг фиксированной оси D, которую назовем локальной динамической осью. Ее ориентацию можно найти также как ориентацию нутационной оси. Знак ωRF определяет направление вращения (или, другими словами, направление оси D). Если |1,L〉-спин и |2,L〉-спин антипараллельны, P равномерно вращается вокруг локальной динамической оси D, а нейтронная плотность ρn не меняется. В противном случае ρn изменяется с периодом TRF, с меньшим ρn угловая скорость вращения dφRF/dt выше (Tn и φn на рис. 4 следует заменить на TRF и φRF). Поскольку вероятность обнаружения нейтрона в объеме dxdydz вблизи точки r в интервале времени (t, t + dt) пропорциональна ρn, вероятности реализации состояния с разной ориентацией спина могут существенно различаться.
Именно вероятностную интерпретацию следует использовать при анализе поведения спина в лабораторной системе координат. Некорректно говорить о прецессии спина в нулевом поле, что иногда допускается при интерпретации экспериментов в методе нейтронного резонансного спин-эхо. Если B = 0, то при движении с пилотной скоростью спин нейтрона остается неподвижным.
При перемещении вдоль траектории локальная динамическая ось D вращается вокруг B с периодом Lp, причем угол между этой осью и B изменяется с периодом Ln. Согласно проведенным оценкам (табл. 1) Ln практически всегда намного превышает Lp.
ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ МАГНИТНЫХ СРЕД
Рассмотрим прохождение нейтронов в двухуровневом состоянии, являющемся суперпозицией состояний $\left| 1 \right\rangle $ и $\left| 2 \right\rangle $ с разной энергией E1,2, через границу раздела магнитных областей с неколлинеарными полями B0 и B в предположении, что пучок перпендикулярен границе и отражением от нее можно пренебречь.
Положим вначале, что $\left| 1 \right\rangle $-спин и $\left| 2 \right\rangle $-спин в первой области направлены, соответственно, вдоль и против поля B0, поэтому на границе сред (L = 0) состояние нейтрона будет суперпозицией ортогональных состояний:
(87)
$\begin{gathered} \left| {{{\Psi }_{1}}(0,t)} \right\rangle = \cos \frac{{{{\eta }_{0}}}}{2}\exp \frac{{ - i{{\varphi }_{0}} - {{\omega }_{{{\text{RF}}}}}t}}{2}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \end{array}} \right)}_{{{{{\mathbf{B}}}_{0}}}}}\,\,\,\,{\text{и}} \\ \left| {{{\Psi }_{2}}(0,t)} \right\rangle = \sin \frac{{{{\eta }_{0}}}}{2}\exp \frac{{i{{\varphi }_{0}} + {{\omega }_{{{\text{RF}}}}}t}}{2}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \end{array}} \right)}_{{{{{\mathbf{B}}}_{0}}}}}, \\ \end{gathered} $(88)
$\begin{gathered} \left| {{{\Psi }_{1}}(0,t)} \right\rangle = \cos \frac{{{{\eta }_{0}}}}{2}\exp \frac{{ - i({{\varphi }_{0}} + {{\omega }_{{{\text{RF}}}}}t)}}{2}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos ({\chi \mathord{\left/ {\vphantom {\chi 2}} \right. \kern-0em} 2})} \\ { - \sin ({\chi \mathord{\left/ {\vphantom {\chi 2}} \right. \kern-0em} 2})} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}}, \\ \left| {{{\Psi }_{2}}(0,t)} \right\rangle = \sin \frac{{{{\eta }_{0}}}}{2}\exp \frac{{i({{\varphi }_{0}} + {{\omega }_{{{\text{RF}}}}}t)}}{2}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin ({\chi \mathord{\left/ {\vphantom {\chi 2}} \right. \kern-0em} 2})} \\ {\cos ({\chi \mathord{\left/ {\vphantom {\chi 2}} \right. \kern-0em} 2})} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}}. \\ \end{gathered} $(89)
$\begin{gathered} {{w}_{1}} = {\text{cos}}({{{{\eta }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\eta }_{0}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}),\,\,\,\,{{w}_{2}} = {\text{sin}}({{{{\eta }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\eta }_{0}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}),\,\,\,\,{{\chi }_{1}} = \chi , \\ {{\chi }_{2}} = \pi - \chi ,\,\,\,\,\varphi _{1}^{ + } = {{ - {{\varphi }_{{\text{0}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{\varphi }_{{\text{0}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2},\,\,\,\,\varphi _{1}^{ - } = {{ - {{\varphi }_{{\text{0}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{\varphi }_{{\text{0}}}}} {2 + \pi }}} \right. \kern-0em} {2 + \pi }}, \\ {\varphi }_{2}^{ \pm } = {{{{\varphi }_{{\text{0}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\varphi }_{{\text{0}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}. \\ \end{gathered} $Рис. 5.
Граница раздела магнитных сред в момент времени, когда вектор поляризации P лежит в плоскости (B0,B). Ось квантования Z||B и ось X лежат в плоскости (B0,B). В системе координат, вращающейся с частотой ωp, движение вектора P в области с полем B задается вращением $\left| 1 \right\rangle $-спина и $\left| 2 \right\rangle $-спина вокруг B в противоположных направлениях с одинаковой частотой ωn. Другие обозначения определены в тексте.
В момент пересечения нейтроном границы (t = 0) состояния $\left| 1 \right\rangle $ и $\left| 2 \right\rangle $ ($\left| {{{{\Psi }}_{1}}(0,0)} \right\rangle $ и $\left| {{{{\Psi }}_{2}}(0,0)} \right\rangle $) ортогональны при любом значении φ0, угла поворота P вокруг B0. Из значений $\left| {{{{\Psi }}_{1}}(0,0)} \right\rangle $ и $\left| {{{{\Psi }}_{2}}(0,0)} \right\rangle $ в представлении с Z||B (88) получаем:
(90)
$\begin{gathered} \left| \alpha \right\rangle = \cos ({\chi \mathord{\left/ {\vphantom {\chi 2}} \right. \kern-0em} 2}){{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos ({{{{\eta }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\eta }_{0}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})\exp ({{ - i{{\varphi }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - i{{\varphi }_{0}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})} \\ {\sin ({{{{\eta }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\eta }_{0}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})\exp ({{i{{\varphi }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{i{{\varphi }_{0}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}}\,\,\,\,\,{\text{и}} \\ \left| \beta \right\rangle = \sin ({\chi \mathord{\left/ {\vphantom {\chi 2}} \right. \kern-0em} 2}){{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin ({{{{\eta }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\eta }_{0}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})\exp ({{i{{\varphi }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{i{{\varphi }_{0}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})} \\ { - \cos ({{{{\eta }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\eta }_{0}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})\exp ({{ - i{{\varphi }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - i{{\varphi }_{0}}} 2}} \right. \kern-0em} 2})} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}}. \\ \end{gathered} $Комбинируя (91) и (92), находим угол раствора нутационного конуса: ξ = 2χ. Отсюда следует, что угол между нутационной осью N и вектором P равен углу χ между B0 и B, а угол наклона оси N относительно B равен углу η0 между B0 и P на границе областей. Как и следовало ожидать, антипараллельные $\left| \alpha \right\rangle $-спин и $\left| \beta \right\rangle $-спин лежат на нутационной оси.
При φ0 ≠ 0 $\left| \alpha \right\rangle $-спин и $\left| \beta \right\rangle $-спин найдутся в результате их вращения из положения в плоскости (B0,B) (при φ0 = 0) вокруг B0 в противоположных направлениях на угол φ0. При φ0 = π они максимально сближаются, вновь оказываясь в плоскости (B0,B). Вектор P на границе найдется в результате его вращения вокруг B0 на угол φ0 из положения в плоскости (B0,B). Нутационный конус, на котором оказывается вектор P для данного φ0, подобен определенному выше, имеет тот же угол раствора 2χ, его ось наклонена под тем же углом η к полю B. Нутационная ось во второй области в момент пересечения нейтроном границы может быть найдена поворотом вокруг B на угол φ0 из ее положения в плоскости (B0,B) в первой области.
Подобие нутационных конусов можно объяснить следующим образом. Согласно (88) введение φ0 ≠ 0 в значения $\left| {\text{1}} \right\rangle $ и $\left| {\text{2}} \right\rangle $ на границе (L = 0), т.е. в $\left| {{{{\Psi }}_{1}}(0,t)} \right\rangle $ и $\left| {{{{\Psi }}_{2}}(0,t)} \right\rangle $, эквивалентно смещению по времени. Во вращающейся системе координат при смещении по времени вектор поляризации P остается на том же нутационном конусе. В стационарной системе координат этот нутационный конус поворачивается вокруг B на угол φ0, и P оказывается на разных нутационных конусах, подобных друг другу.
Как следствие, движение спина нейтрона всегда является суперпозицией равномерных вращений – с частотой ωn вокруг нутационной оси, наклоненной под углом η к полю B, которая вращается вокруг B с частотой ωp. Обычно расстояние Ln очень велико, поэтому состояния $\left| {\text{1}} \right\rangle $ и $\left| {\text{2}} \right\rangle $ остаются ортогональными, и единственным движением вектора P является вращение с частотой ωp, которая практически совпадает с ларморовской (ωL).
В первой области и на границе динамическая ось коллинеарна B0. При перемещении вдоль пучка во второй области динамическая ось вращается вокруг B. Если Ln намного превышают длину прибора, состояния $\left| {{\text{1,}}L} \right\rangle $ и $\left| {{\text{2,}}L} \right\rangle $ остаются ортогональными.
В общем случае состояния $\left| {{\text{1,}}L} \right\rangle $ и $\left| {{\text{2,}}L} \right\rangle $ нейтрона в поле B0 (L < 0) не являются ортогональными, и динамическая ось D0 на границе раздела сред (L = 0) не коллинеарна B0. Тогда анализ поведения спина при прохождении нейтрона в поле B аналогичен проведенному выше анализу с той лишь разницей, что роль B0 будет играть ось D0. Преобразование $\left| {{{{\Psi }}_{1}}(0,t)} \right\rangle $ и $\left| {{{{\Psi }}_{2}}(0,t)} \right\rangle $ к представлению с Z||D0 аналогично преобразованию $\left| \alpha \right\rangle $ и $\left| \beta \right\rangle $ к представлению с Z||N (68)–(74). Неравномерность вращения спина нейтрона и временнáя зависимость ρn(t) на границе магнитных областей транслируются в область с полем B: спин неравномерно вращается вокруг динамической оси D; при перемещении вдоль пучка ось D вращается вокруг B с периодом Lp, угол ее наклона относительно B и нейтронная плотность ρn изменяются с периодом Ln. Отметим, что ось D будет наклонена к вектору B даже при условии, что D0||B (направление динамической оси меняется скачком при переходе через границу). В системе координат, движущейся в поле B с пилотной скоростью, спин равномерно прецессирует и совершает неравномерное нутационное вращение с изменением плотности вероятности ρn(t); ρn(t) пропорциональна плотности вероятности ρn(t0) в момент t0 пересечения нейтроном границы.
Аналогично можно рассмотреть прохождение нейтроном нескольких областей с резкими границами, например, через прецессионную катушку. Отметим важную роль, которую играет динамическая ось и ее изменение на каждой из границ при описании прохождения нейтрона.
ОТРАЖЕНИЕ НЕЙТРОНОВ С ПРЕЦЕССИРУЮЩИМИ СПИНАМИ
На рис. 6 представлена схема рефлектометрии нейтронов с прецессирующими спинами. Пучок с прецессирующим вектором поляризации готовится с помощью зеркального поляризатора (реманентного суперзеркала или π/2-вращателя спина); прецессионный фронт параллелен поверхности поляризатора. После радиочастотного флиппера энергия нейтрона в состояниях со спином вдоль и против поля различна, в каждой точке прецессионного фронта вектор P синхронно вращается с частотой ωRF вокруг направления ведущего поля.
Рис. 6.
Пучок с прецессирующим вектором поляризации P готовится с помощью реманентного суперзеркала с вектором намагниченности M, перпендикулярным ведущему полю B0, и радиочастотного флиппера. Прецессионный фронт параллелен поверхности суперзеркала. Зеркальный образец в ведущем поле B; его поверхность параллельна поверхностям суперзеркал поляризатора и анализатора.
Если поверхность образца параллельна поверхности зеркального поляризатора, то в любой момент времени t спины падающих на образец нейтронов имеют одинаковую ориентацию. Значения волновых функций падающего и отраженного нейтрона в точках r(S) на поверхности S образца можно записать в виде:
(93)
$\begin{gathered} \left| {{{\psi }_{{{\text{inc}}}}}(S,t)} \right\rangle = {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{A}_{ + }}\exp \left( {{{ - it{{\omega }_{{{\text{RF}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - it{{\omega }_{{{\text{RF}}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)} \\ {{{A}_{ - }}\exp \left( {{{it{{\omega }_{{{\text{RF}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{it{{\omega }_{{{\text{RF}}}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}}, \\ {{A}_{ \pm }} = {{a}_{ \pm }}\exp [i({{{\mathbf{k}}}_{ \pm }}{\mathbf{r}}(S) + {{\alpha }_{ \pm }})], \\ {{a}_{ \pm }} \geqslant 0,\,\,\,\,a_{ + }^{2} + a_{ - }^{2} = 1, \\ \end{gathered} $(94)
$\begin{gathered} \left| {{{\psi }_{{{\text{refl}}}}}(S,t)} \right\rangle = \hat {r}\left| {{{\psi }_{{{\text{inc}}}}}(S,t)} \right\rangle = \\ = {{A}_{ + }}\exp \left( { - it\frac{{{{\omega }_{{{\text{RF}}}}}}}{2}} \right){{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{r}_{{ + + }}}} \\ {{{r}_{{ + - }}}} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}} + {{A}_{ - }}\exp \left( {it\frac{{{{\omega }_{{{\text{RF}}}}}}}{2}} \right){{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{r}_{{ - + }}}} \\ {{{r}_{{ - - }}}} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}}, \\ \end{gathered} $(96)
$\hat {r} = {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{r}_{{ + + }}}}&{{{r}_{{ - + }}}} \\ {{{r}_{{ + - }}}}&{{{r}_{{ - - }}}} \end{array}} \right)}_{{\mathbf{B}}}}.$Состояния отраженных нейтронов, соответствующие разным значениям энергии, задаются разными элементами матрицы отражения (96). Как правило, |r+−| = |r−+|, поэтому при |r++| ≠ |r−−| состояния $\left| {1,S} \right\rangle $ и $\left| {2,S} \right\rangle $ не будут ортогональными. Направление динамической оси D, неравномерность вращения P вокруг D, сопутствующее изменение нейтронной плотности можно описать представленным выше способом. Биения нейтронной плотности и вращение P вокруг локальной динамической оси с одинаковым для всех нейтронов периодом 2π/ωRF можно наблюдать в сечениях пучка, параллельных поверхности образца. Угол наклона локальной динамической оси D относительно B, угол между осью D и вектором P, неравномерность вращения P вокруг D зависят не только от модулей, но и от фаз элементов матрицы отражения. Таким образом, можно получить более детальную информацию о магнитных слоях в образце.
Вращение P вокруг локальной динамической оси с высокой частотой, задаваемой радиочастотным флиппером, может усложнить измерение поляризации. Поэтому радиочастотный флиппер можно исключить из схемы измерений. Достаточно изменять ведущее поле, дискретно или с небольшой частотой. Экспериментальные аспекты нейтронной рефлектометрии с векторным анализом поляризации были подробно рассмотрены ранее [21].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Использование оператора ${\mathbf{\hat {\sigma }}}({\mathbf{r}}) \equiv {\mathbf{\hat {\sigma }}}\delta ({\mathbf{r}}{\text{'}} - {\mathbf{r}}),$ представляющего вектор поляризации P в точке r, и теоремы о суперпозиции двух спиноров [13] позволило описать поведение спина нейтронов в двухуровневом состоянии в однородном магнитном поле в таких терминах как пилотная скорость, прецессионный фронт, нутационная и динамическая оси. Введение пилотной скорости не только расширяет применимость концепции ларморовской прецессии в область медленных нейтронов, но и может играть эвристическую роль. Скажем, под действием гравитации траектории частицы будут параболическими. Изменение вертикальной компоненты пилотной скорости может изменить время нахождения нейтрона в области с магнитным полем и, следовательно, угол прецессии. Поскольку вертикальные компоненты всех скоростей за один и тот же промежуток времени изменятся на одинаковую величину, фронты прецессии, перпендикулярные разностным векторам (44), не изменятся. В частности, вертикальный фронт прецессии останется вертикальным, несмотря на изменение направления пилотной скорости под действием силы тяжести.
Предложена схема рефлектометрии нейтронов с прецессирующим спином. Для ее реализации формируется пучок нейтронов в двухуровневых состояниях с фронтом прецессии, параллельным поверхности исследуемого магнитного покрытия. Поляризационные эффекты при отражении нейтронов в двухуровневом состоянии могут быть использованы для более детального исследования магнитных зеркальных образцов, а также для создания элементов нейтронной спин-манипуляционной оптики [22, 23]. В дальнейшем для раскрытия потенциала рефлектометрии нейтронов с прецессирующими спинами будут проведены численные расчеты на основе представленного формализма.
Список литературы
Gähler R., Golub R. // Z. Phys. B. 1987. V. 65. P. 269.
Grigoriev S.V., Kraan W.H., Rekveldt M.Th. // Phys. Rev. A. 2004. V. 69. P. 043615.
Chetverikov Yu.O., Axelrod L.A., Syromyatnikov A.V. et al. // Physica B. 2004. V. 350. P. E1039.
Grigoriev S.V., Chetverikov Yu.O., Metelev S.V., Kraan W.H. // Phys. Rev. A. 2006. V. 74. P. 043605.
Golub R., Gähler R., Habicht K., Klimko S. // Phys. Lett. A. 2006. V. 349. P. 59.
Badurek G., Rauch H., Summhammer J. // Phys. Rev. Lett. 1983. V. 51. P. 1015.
Mezei F. // Physica B. 1988. V. 151. P. 74.
Baryshevskii V.G., Cherepitza S.V., Frank A.I. // Phys. Lett. A. 1991. V. 153. P. 299.
Golub R., Gähler R., Keller T. // Am. J. Phys. 1994. V. 62. P. 779.
Mezei F. // J. Phys. Soc. Jpn. 1996. V. 65. S. A. P. 25.
Pleshanov N.K. // Phys. Lett. A. 1999. V. 259. P. 29.
Pleshanov N.K. // Phys. Rev. B. 2000. V. 62. P. 2994.
Pleshanov N.K. // Physica B. 2001. V. 304. P. 193.
Frank A.I. // Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. A. 1989. V. 284. P. 161.
Hino M., Achiwa N., Tasaki S. et al. // Physica. B. 1995. V. 213–214. P. 842.
Hino M., Achiwa N., Tasaki S. et al. // J. Phys. Soc. Jpn. 1996. V. 65. Suppl. A. P. 203.
Игнатович В.К. // Письма в ЖЭТФ. 1978. V. 28. P. 311.
Pleshanov N.K., Bodnarchuk V., Gähler R. et al. // Physica B. 2001. V. 297. P. 126.
Felcher G.P., Adenwalla S., De Haan V.O., Van Well A.A. // Nature. 1995. V. 377. P. 409.
Funahashi H., Ebisawa T., Haseyama T. et al. // Phys. Rev. A. 1996. V. 54. P. 649.
Плешанов Н.К., Аксельрод Л.А., Забенкин В.Н. и др. // Поверхность. Рентген. синхротр. и нейтрон. исслед. 2008. Т. 11. С. 3.
Плешанов Н.К. // Поверхность. Рентген. синхротр. и нейтрон. исслед. 2015. Т. 1. С. 28.
Pleshanov N.K. // Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. A. 2017. V. 853. P. 61.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования
Пн.-пт.: 10.00-19.00