Прикладная математика и механика, 2019, T. 83, № 2, стр. 228-233

При отсутствии трения в точках контакта тела с плоскостью рассматриваемая задача переходит в задачу Чаплыгина [1, 2], а при отсутствии лезвия и наличии трения во всех точках контакта – в задачу о движении треноги по плоскости с трением [3–6]. Кроме того, эта система может служить моделью для процесса торможения некоторых типов колесных экипажей [7].

1. Постановка задачи. Рассмотрим твердое тело, опирающееся о горизонтальную плоскость тремя точками $A,\,B$ и $C$ (см. фигуру 1), которые образуют равнобедренный треугольник ($AC = BC$, C – точка опоры лезвия). Предполагается, что плоскость лезвия ортогональна опорной плоскости и пересекается с последней по оси симметрии $EC$ треугольника $ABC$, а центр масс $S$ тела проецируется в точку $D$ на этой оси ($AE = EB = a$, $ED = b$, $DC = c$, $DS = h$).

Пусть $Oxyz$ – неподвижная система координат ($Oxy$ – опорная плоскость, $Oz$ – восходящая вертикаль), а $S\xi \eta \zeta $ – главные центральные оси инерции тела, причем . Единичные векторы осей $Oxyz$ и $S\xi \eta \zeta $ обозначим через ${{{\mathbf{e}}}_{x}}$, ${{{\mathbf{e}}}_{y}}$, ${{{\mathbf{e}}}_{z}}$ и ${{{\mathbf{e}}}_{\xi }}$, ${{{\mathbf{e}}}_{\eta }}$, ${{{\mathbf{e}}}_{\zeta }}$ соответственно:

$\psi $ – угол между осями $Ox$ и $S\xi $.

Предположим, что скорость точки $C$ тела ${{{\mathbf{v}}}_{C}} = v{{{\mathbf{e}}}_{\xi }}$ (тело не может скользить в направлении, ортогональном плоскости лезвия), а угловая скорость тела ${\mathbf{\omega }} = \omega {{{\mathbf{e}}}_{\zeta }}$ $(\omega = \dot {\psi })$, т.е. тело может вращаться только вокруг вертикали. При безотрывном движении тела скорость ${{{\mathbf{v}}}_{S}}$ его центра масс и скорости ${{{\mathbf{v}}}_{A}}$ и ${{{\mathbf{v}}}_{B}}$ его точек опоры $A$ и $B$ определяются соотношениями

На тело действует сила тяжести ${\mathbf{P}} = - mg{{{\mathbf{e}}}_{{\zeta }}}$ ($m$ – масса тела, $g$ – ускорение свободного падения), приложенная в точке $S$, и реакции ${{{\mathbf{R}}}_{A}}$, ${{{\mathbf{R}}}_{B}}$ и ${{{\mathbf{R}}}_{С }}$, приложенные в точках A, B и $С $:

Здесь ${{N}_{A}}$, ${{N}_{B}}$, ${{N}_{C}}$ – нормальные реакции в точках опоры, $k > 0$ – коэффициент трения Кулона, $R$ – реакция неголономной связи $({{{\mathbf{v}}}_{C}},{{{\mathbf{e}}}_{{\eta }}})$ = 0.

2. Определение реакций. Обозначим ${{G}_{ \pm }} = k\left( {\frac{{{{N}_{A}}}}{{{{\text{v}}_{A}}}} \pm \frac{{{{N}_{B}}}}{{{{\text{v}}_{B}}}}} \right)$, тогда главный вектор сил, действующий на тело, имеет вид

Найдем главный вектор моментов сил, действующих на тело, относительно его центра масс. Получим

Таким образом, уравнения движения тела в форме Ньютона–Эйлера, учитывающие условия безотрывного движения тела

в проекции на его главные центральные оси инерции имеют вид ($J$ – момент инерции тела относительно оси $S\zeta $)

Система (2.1), (2.2) замкнута относительно переменных $v$, $\omega $, ${{N}_{A}}$, ${{N}_{B}}$, ${{N}_{C}}$ и $R$. Реакции ${{N}_{C}}$ и $R$ можно выразить через реакции ${{N}_{A}}$ и ${{N}_{B}}$ (${{N}_{C}}$ – из третьего уравнения системы (2.1), а $R$ – из второго уравнения этой системы с учетом третьего уравнения системы (2.2):

При этом реакции ${{N}_{A}}$ и ${{N}_{B}}$ однозначно определяются из системы

которая получается из первых двух уравнений системы (2.2) с учетом соотношений (2.3) и (2.4). Очевидно, реакции ${{N}_{A}}$ и ${{N}_{B}}$ (а значит, и ${{N}_{C}}$ и $R$) зависят только от фазовых переменных $v$, $\omega $ и параметров задачи.

Заметим, что решение системы (2.5) должно удовлетворять условиям

которые накладывают ограничение на высоту центра масс тела и обеспечивают (наряду с условиями (2.3) и (2.5)) безотрывное движение тела. Действительно, если зафиксируем все параметры саней, кроме $h$, причем $b,c > 0$, а также возьмем произвольные значения ${{\omega }_{0}}$ и ${{v}_{0}}$, то из системы (2.5) получим нормальные реакции ${{N}_{A}}(h)$ и ${{N}_{B}}(h)$ как функции от высоты. Очевидно, что и условие (2.6) выполнено, причем все неравенства строгие. Но в силу того, что функции ${{N}_{A}}(h)$ и ${{N}_{B}}(h)$ непрерывны при $h = 0$, условия (2.6) будут выполнены и для любых значений $h \in [0,\,{{h}_{0}})$ для некоторого значения ${{h}_{0}}$, зависящего от начальных скоростей ${{v}_{0}}$ и ${{\omega }_{0}}$. В силу компактности множества M = $\{ (v,\omega )$ : $T(v,\omega )$ ≤ $T({{v}_{0}},{{\omega }_{0}})\} $ заключаем, что такое значение ${{h}_{0}}$ можно подобрать сразу для всех $(v,\omega ) \in М $.

Таким образом, существует значение ${{h}_{0}} > 0$, зависящее только от параметров задачи и начальных данных ${{v}_{0}}$ и ${{\omega }_{0}}$, такое, что при $h < {{h}_{0}}$ условия (2.6) выполнены для всех значений $v$ и $\omega $, при которых соответствующая кинетическая энергия не превосходит начальную.

3. Уравнения движения и свойства их решений. Пусть $h < {{h}_{0}}$. Тогда движение саней Чаплыгина по горизонтальной плоскости с сухим трением в точках опоры $A$ и $B$ описывается системой второго порядка относительно фазовых переменных задачи $v$ и $\omega $.

Уравнения этой системы получаются из первого уравнения системы (2.1) и третьего уравнения системы (2.2) с учетом соотношений (2.3) и (2.4); при этом ${{N}_{A}}(v,\omega )$ и ${{N}_{B}}(v,\omega )$ определяются из системы (2.5).

Утверждение 1. Система (3.1) инвариантна относительно замены $\omega $ на $ - \omega $.

Доказательство. При указанной замене ${{v}_{A}}$ и ${{v}_{B}}$ меняются местами. Следовательно (см. систему (2.5)), ${{N}_{A}}$ и ${{N}_{B}}$ меняются местами, т.е. система (3.1) переходит в себя.

Утверждение 2. Система (3.1) допускает инвариантное множество $\omega \equiv 0$, вдоль которого движение саней Чаплыгина определяется соотношениями

(берутся только верхние или только нижние знаки плюс и минус, ${{v}_{0}} = v\left( 0 \right)$, т.е. начальный момент без ограничения общности считается нулевым).

Доказательство. При $\omega = 0$ второе уравнение (3.1) выполняется тождественно при любом $v$, а первое уравнение принимает вид

откуда немедленно следуют соотношения (3.2).

Очевидно, ${{t}_{ + }} > {{t}_{ - }}$, т.е. поступательное движение саней Чаплыгина, при котором лезвие находится спереди, длится дольше, чем в случае, когда лезвие находится сзади (при одном и том же значении модуля начальной скорости).

Утверждение 3. Система (3.1) не допускает инвариантное множество $v \equiv 0$.

Доказательство. Если $v = 0$, то ${{v}_{A}} = {{v}_{B}} = l\left| \omega \right|$; следовательно (см. систему (2.5))

и система (3.1), (3.2) принимает вид

Очевидно, $\dot {v} < 0$.

Утверждение 4. Движение саней Чаплыгина на горизонтальной плоскости с сухим трением при любых начальных значениях ${{v}_{0}}$ и ${{\omega }_{0}}$, одновременно не равных нулю, прекращается за конечное время (если ${{v}_{0}} = 0$, ${{\omega }_{0}} = 0$, то $v \equiv 0$, $\omega \equiv 0$).

Доказательство. Из системы (3.1), (3.2) следует, что

где $T$ – кинетическая энергия. Очевидно, $Q$ – однородная функция степени 1 от фазовых переменных $v$ и $\omega $, причем $Q > 0$ при любых $v$ и $\omega $, одновременно не равных нулю. Следовательно, существует постоянная $q > 0$, такая, что $Q \geqslant q\sqrt T $. При этом соотношение (3.3) принимает вид и, следовательно,

Учитывая, что $\sqrt T \geqslant 0$, заключаем, что движение прекращается за конечное время ${{t}_{0}} \leqslant \frac{{\sqrt {{{T}_{0}}} }}{{2kq}}$.

4. Фазовый портрет при $h = 0$. Если $h = 0$, то уравнения (3.1) принимают вид

Очевидно, система (4.1), (4.2) допускает решение

и, в частности, решение $\omega \equiv 0$, $v \equiv 0$.

Пусть ${{\omega }_{0}} > 0$ (случай ${{\omega }_{0}} < 0$ рассматривается аналогично согласно утверждению 1). Если ${{v}_{0}} > 0$, то ${{v}_{A}} > {{v}_{B}}$ и $V > 0$ тогда и только тогда, когда

Если ${{v}^{2}} \geqslant {{a}^{2}}{{\omega }^{2}}$, то $V > 0$, если же ${{v}^{2}} < {{a}^{2}}{{\omega }^{2}}$, то $V > 0$ тогда и только тогда, когда

что заведомо выполнено, поскольку $b + c > 0$.

Таким образом, скорость $v(t)$ с момента начала движения убывает, причем $\dot {v}(t) < 0$ при $v(t)$ = 0. Следовательно, функция $v(t)$ некоторое время монотонно убывает до нуля, а затем продолжает убывать до некоторого отрицательного значения, при котором правая часть уравнения (4.1) обращается в нуль, после чего меняет знак. Начиная с этого момента времени функция $v(t)$ возрастает от отрицательного значения до нуля, а $\omega (t)$ продолжает убывать от соответствующего положительного значения до нуля. Действительно, пусть ${{v}_{0}} > 0$, а $0 < {{\omega }_{0}} < v{\text{/}}a$. Тогда правая часть уравнения (4.2) положительна, и функция $\omega (t)$ начинает расти. С другой стороны, при $\text{v} = 0$ правая часть уравнения (4.2) отрицательна. Следовательно, с некоторого момента времени, для которого величина $v(t)$ еще больше нуля, функция $\omega (t)$ начинает убывать и за конечное время достигает нулевого значения. При $v < 0$ и $\omega > 0$ правая часть уравнения (4.2) всегда отрицательная и $\omega (t)$ – убывающая функция времени.

В точках $\omega = 0$ выполняются условия теоремы о единственности решения задачи Коши для системы (4.1), (4.2), откуда вытекает, что при росте скорости $v(t)$ с некоторого отрицательного значения до нуля угловая скорость обращается в нуль только вместе с $v(t)$, что означает, что вращение и скольжение саней заканчиваются одновременно.

Таким образом, фазовый портрет задачи при $h = 0$ имеет вид, указанный на фигуре 1. В силу симметрии относительно оси $\omega = 0$ показана только половина портрета для $\omega \geqslant 0.$

Поскольку движение тела длится конечное время, а параметр $h$ входит в уравнения (3.1) регулярно, динамика саней Чаплыгина с малой, но ненулевой высотой центра масс близка к описанной выше динамике саней Чаплыгина с нулевой высотой центра масс.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (19-01-00140).