Прикладная математика и механика, 2019, T. 83, № 2, стр. 323-330

КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО ЦИЛИНДРА С ПЕРЕМЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ПУАССОНА

Д. А. Пожарский *

Донской государственный технический университет
Ростов-на-Дону, Россия

* E-mail: pozharda@rambler.ru

Поступила в редакцию 01.12.2017
После доработки 20.03.2018
Принята к публикации 27.03.2018

Полный текст (PDF)

Аннотация

В цилиндрических координатах в условиях осевой симметрии изучается система двух дифференциальных уравнений упругого равновесия, когда коэффициент Пуассона – произвольная достаточно гладкая функция радиальной координаты, а модуль сдвига постоянный. При этом модуль упругости оказывается переменным по радиальной координате. Предлагается общее представление решения этой системы, которое приводит к векторному уравнению Лапласа и скалярному уравнению Пуассона, правая часть которого зависит от коэффициента Пуассона. При проецировании векторное уравнение Лапласа сводится к двум дифференциальным уравнениям, одно из которых – скалярное уравнение Лапласа. При помощи интегрального преобразования Фурье построены в квадратурах точные общие решения уравнений Лапласа и Пуассона. Получено интегральное уравнение осесимметричной контактной задачи о взаимодействии жесткого бандажа с неоднородным цилиндром и найдены его регулярное и сингулярное асимптотические решения по методу В.М. Александрова.

Ключевые слова: контактная задача, упругость, неоднородный цилиндр

Ранее аналогичные точные фундаментальные решения при переменном коэффициенте Пуассона были получены для полупространства и слоя (коэффициент Пуассона зависит от глубины) [1, 2] и для плоского клина (коэффициент Пуассона зависит от угловой координаты) [3]. Исследовался частный случай изменения коэффициента Пуассона с глубиной полупространства [4]. Для однородного упругого цилиндра известны фундаментальные решения [5] и асимптотические решения контактных задач [69]. Для неоднородного цилиндра, когда модуль упругости и коэффициент Пуассона зависят от радиальной координаты, предлагалось искать решение по методу возмущений [10]. При построении фундаментальных решений динамических задач для неоднородных цилиндрических труб использовались численные методы, для решения интегральных уравнений применялся обобщенный метод фиктивного поглощения [1113].

В отличие от предыдущих исследований [1013] в рассматриваемом ниже случае на основе подхода А.Н. Бородачева [2] фундаментальное решение и символ ядра интегрального уравнения контактной задачи получены в квадратурах. Показано, что асимптотические свойства символа ядра не меняются, когда функция, выражаемая через переменный коэффициент Пуассона, разлагается в степенной ряд.

1. Общее решение. В цилиндрических координатах r, z рассмотрим осесимметричную деформацию упругого полого цилиндра {ρ1r ≤ ρ, |z| < ∞}, когда модуль сдвига G постоянный, а коэффициент Пуассона ν(r) – произвольная достаточно гладкая функция, удовлетворяющая условию −1 < ν(r) < 0.5 [2]. В этом случае модуль продольной упругости материала E(r) = 2G(1 + ν(r)) – положительная функция угловой координаты. При отсутствии массовых сил векторное уравнение равновесия в перемещениях для этой модели принимает форму

(1.1)
$\begin{gathered} \Delta {\mathbf{u}} + \operatorname{grad} (\gamma (r)\operatorname{div} {\mathbf{u}}) = 0;\quad {\mathbf{u}} = (u,w),\quad u = u(r,z) \\ w = w(r,z),\quad \gamma (r) = {{[1 - 2\nu (r)]}^{{ - 1}}} \\ \end{gathered} $

Важно подчеркнуть, что в отличие от декартовых координат в цилиндрических координатах проекции оператора Лапласа от вектора не обязательно совпадают с оператором Лапласа от проекций этого вектора.

Разыскивая общее решение уравнения (1.1) в форме

(1.2)
${\mathbf{u}} = {\mathbf{B}} + \operatorname{grad} b,\quad {\mathbf{B}} = ({{B}_{1}},{{B}_{2}}),\quad {{B}_{1}} = {{B}_{1}}(r,z),\quad {{B}_{2}} = {{B}_{2}}(r,z),\quad b = b(r,z)$
и подставляя представление (1.2) в уравнение (1.1), приходим к векторному уравнению Лапласа и скалярному уравнению Пуассона

(1.3)
$\Delta {\mathbf{B}} = 0,\quad \Delta b = \eta (r)\operatorname{div} {\mathbf{B}};\quad \eta (r) = - {{[2(1 - \nu (r))]}^{{ - 1}}}$

Для однородного материала, ν(r) = ν = const, представление (1.2), (1.3) совпадает с решением Фрайбергера [14], которое в этом случае при

${{B}_{1}} = 4(1 - \nu ){{B}_{r}},\quad b = - r{{B}_{r}} - {{B}_{0}},\quad {{B}_{2}} = {{B}_{z}} = 0$
сводится к представлению Папковича−Нейбера в цилиндрических координатах через три гармонические функции B0, Br, Bz [5].

Проекции векторного уравнения Лапласа (1.3) приводят к уравнениям

(1.4)
$\Delta {{B}_{1}} - \frac{{{{B}_{1}}}}{{{{r}^{2}}}} = 0,\quad \Delta {{B}_{2}} = 0,\quad \Delta = \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{r}^{2}}}} + \frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}} + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{z}^{2}}}}$

При помощи интегрального преобразования Фурье, предполагая, что задача симметрична по z, общее решение уравнений (1.4) получим в виде

(1.5)
${{B}_{1}} = \int\limits_0^\infty {[{{C}_{1}}{{I}_{1}}(\beta r) + {{C}_{2}}{{K}_{1}}(\beta r)]\cos \beta zd\beta ,\quad } {{B}_{2}} = \int\limits_0^\infty {[{{D}_{1}}{{I}_{0}}(\beta r) + {{D}_{2}}{{K}_{0}}(\beta r)]\sin \beta zd\beta } ,$
где In(r) и Kn(r) – цилиндрические функции Бесселя (n = 0, 1). Отсюда выразим дивергенцию в правой части уравнения Пуассона (1.3), а затем, используя метод вариации произвольных постоянных, найдем частное решение этого уравнения, в форме

(1.6)
$\begin{gathered} b = \int\limits_0^\infty {\{ ({{C}_{1}} + {{D}_{1}})[{{E}_{1}}{{I}_{0}}(\beta r) - {{E}_{2}}{{K}_{0}}(\beta r)]} + ({{C}_{2}} - {{D}_{2}})[{{E}_{1}}{{K}_{0}}(\beta r) - {{E}_{3}}{{I}_{0}}(\beta r)]\} \beta \cos \beta zd\beta \\ {{E}_{1}} = \int\limits_{{{\rho }_{1}}}^r {s\eta (s){{I}_{0}}(\beta s){{K}_{0}}(\beta s)ds,\quad } {{E}_{2}} = \int\limits_{{{\rho }_{1}}}^r {s\eta (s)I_{0}^{2}(\beta s)ds,\quad } {{E}_{3}} = \int\limits_{{{\rho }_{1}}}^r {s\eta (s)K_{0}^{2}(\beta s)ds} \\ \end{gathered} $

Величины Cm и Dm (m = 1, 2) в формулах (1.5) и (1.6) определяются из четырех граничных условий на внешней и внутренней поверхностях цилиндра. На основании закона Гука для напряжений имеем выражения

(1.7)
${{\tau }_{{rz}}} = G\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial z}} + \frac{{\partial w}}{{\partial r}}} \right){\text{,}}\quad {{\sigma }_{r}} = 2G\gamma (r)\left( {(1 - \nu (r))\frac{{\partial u}}{{\partial r}} + \nu (r)\left( {\frac{u}{r} + \frac{{\partial w}}{{\partial z}}} \right)} \right)$

Пусть, например, к сплошному цилиндру (ρ1 = 0) при z = 0 приложена осесимметричная нормальная сосредоточенная нагрузка q. В этом случае в формулах (1.5) и (1.6) следует положить C2 = D2 = 0. Граничные условия имеют вид (δ(z) – δ-функция Дирака)

(1.8)
$r = \rho {\text{:}}\quad {{\tau }_{{rz}}} = 0,\quad {{\sigma }_{r}} = - q\delta (z)$

На основании представлений (1.2)−(1.7) и условий (1.8) приходим к системе двух уравнений, решив которую, найдем

${{C}_{1}} = \frac{{q\rho }}{{2\pi G}}\frac{{{{I}_{1}} - 2({{F}_{1}}{{I}_{1}} + {{F}_{2}}{{K}_{1}})}}{{I_{1}^{2} + 2{{F}_{2}}}},\quad {{D}_{1}} = \frac{{q\rho }}{{2\pi G}}\frac{{{{I}_{1}} + 2({{F}_{1}}{{I}_{1}} + {{F}_{2}}{{K}_{1}})}}{{I_{1}^{2} + 2{{F}_{2}}}}$
(1.9)
${{F}_{1}} = {{\beta }^{2}}\int\limits_0^\rho {s\eta (s){{I}_{0}}(\beta s){{K}_{0}}(\beta s)ds,\quad } {{F}_{2}} = {{\beta }^{2}}\int\limits_0^\rho {s\eta (s)I_{0}^{2}(\beta s)ds} $
${{I}_{n}} = {{I}_{n}}(\beta \rho ),\quad {{K}_{n}} = {{K}_{n}}(\beta \rho )$

Используя формулы (1.2), (1.5), (1.6) и (1.9), для нормального перемещения при r=ρ получим выражение

(1.10)
$u(\rho ,z) = \frac{{q\rho }}{{2\pi G}}\int\limits_0^\infty {\frac{{I_{1}^{2}\cos \beta zd\beta }}{{I_{1}^{2} + 2{{F}_{2}}}}} ,$
которое при ν(r) = ν = const совпадает с известным [69]

(1.11)
$u(\rho ,z) = - \frac{{q\rho (1 - \nu )}}{{\pi G}}\int\limits_0^\infty {\frac{{I_{1}^{2}\cos \beta zd\beta }}{{{{\beta }^{2}}{{\rho }^{2}}(I_{0}^{2} - I_{1}^{2}) - 2(1 - \nu )I_{1}^{2}}}} $

При выводе формулы (1.11) использовано значение интеграла [15]

(1.12)
$\int\limits_0^\rho {sI_{0}^{2}(\beta s)ds = \frac{{{{\rho }^{2}}}}{2}(} I_{0}^{2} - I_{1}^{2})$

2. Контактная задача. Рассмотрим осесимметричную контактную задачу о взаимодействии бесконечного упругого неоднородного (с переменным коэффициентом Пуассона) цилиндра радиуса ρ с жестким бандажом шириной 2a и основанием r = ρ – δ. Требуется определить контактное давление σr(ρ, z) = −q(z) в области контакта |z| ≤ a. Учитывая выражение (1.10) и условие контакта u(ρ, z) = −δ (|z| ≤ a), после введения безразмерных величин

(2.1)
$x = \frac{z}{a},\quad u = \beta \rho ,\quad \lambda = \frac{\rho }{a},\quad \varphi (x) = \frac{{(1 - {{\nu }_{0}})q(z)}}{G},\quad {{\nu }_{{\text{0}}}} = \nu (0),\quad f = \frac{\delta }{a}$
придем относительно функции φ(x) к интегральному уравнению (ИУ)
(2.2)
$\int\limits_{ - 1}^1 {\varphi (\xi )k\left( {\frac{{x - \xi }}{\lambda }} \right)d\xi = \pi f\quad (\left| x \right| \leqslant 1)} $
с ядром

(2.3)
$\begin{gathered} k(t) = \int\limits_0^\infty {K(u)\cos utdu} ,\quad K(u) = \frac{{ - {{{(1 - {{\nu }_{0}})}}^{{ - 1}}}I_{1}^{2}(u)}}{{2(I_{1}^{2}(u) + 2F(u))}} \\ F(u) = \frac{{{{u}^{2}}}}{{{{\rho }^{2}}}}\int\limits_0^\rho {s\eta (s)I_{0}^{2}\left( {\frac{{us}}{\rho }} \right)ds} \\ \end{gathered} $

Допустим, что функция η(r) (1.3) разлагается в ряд по четным степеням радиальной координаты:

(2.4)
$\eta (r) = {{\eta }_{0}} + {{\eta }_{1}}\frac{{{{r}^{2}}}}{{{{\rho }^{2}}}} + {{\eta }_{2}}\frac{{{{r}^{4}}}}{{{{\rho }^{4}}}} + \ldots \quad (0 \leqslant r \leqslant \rho ),\quad {{\eta }_{0}} = - \frac{1}{{2(1 - {{\nu }_{0}})}}$

Тогда, подставляя разложение (2.4) в формулу (2.3) для F(u) и используя интеграл (1.12) и рекуррентное значение интеграла [15] (см. обозначения (1.9))

(2.5)
$\begin{gathered} {{\beta }^{2}}\int\limits_0^\rho {{{s}^{{2m + 1}}}I_{0}^{2}(\beta s)ds = \frac{{2{{m}^{3}}}}{{2m + 1}}\int\limits_0^\rho {{{s}^{{2m - 1}}}I_{0}^{2}(\beta s)ds - } } \frac{{{{\rho }^{{2m}}}}}{{4m + 2}}[{{(m{{I}_{0}} - \beta \rho {{I}_{1}})}^{2}} + ({{m}^{2}} - {{\beta }^{2}}{{\rho }^{2}})I_{0}^{2}], \\ m = 1,2,\; \ldots \\ \end{gathered} $
можно последовательно находить возникающие интегралы по переменной s. В результате можно показать, что при удержании любого конечного числа слагаемых в разложении (2.4) асимптотическое поведение в бесконечности и нуле символа ядра K(u) вида (2.3) принципиально не меняется и имеет вид

(2.6)
$\begin{gathered} K(u) = {{c}_{0}}{{u}^{{ - 1}}} + {{c}_{1}}{{u}^{{ - 2}}} + {{c}_{2}}{{u}^{{ - 3}}} + {{c}_{3}}{{u}^{{ - 4}}} + O({{u}^{{ - 5}}})\quad {\text{(}}u \to \infty {\text{)}} \\ K(u) = {{d}_{0}} + {{d}_{1}}u + {{d}_{2}}{{u}^{2}} + O({{u}^{3}})\quad {\text{(}}u \to 0{\text{)}} \\ \end{gathered} $

Такое поведение обеспечивает возможность применения асимптотических методов при больших и малых значениях параметра λ [69] для решения ИУ (2.2). Безразмерный параметр λ, введенный в формулах (2.1), характеризует относительную ширину бандажа.

Далее будем удерживать в разложении (2.4) только два первых члена. Тогда

(2.7)
$\nu (r) = 1 + \frac{1}{{2({{\eta }_{0}} + {{\eta }_{1}}{{r}^{2}}{{\rho }^{{ - 2}}})}}$

С целью приведения коэффициента c0 в разложении (2.6) к единице домножим обе части ИУ (2.2) на 1 − 3η и будем рассматривать ИУ

(2.8)
$\int\limits_{ - 1}^1 {\varphi (\xi )k\left( {\frac{{x - \xi }}{\lambda }} \right)d\xi = \pi (1 - 3\eta )f\quad (\left| x \right| \leqslant 1)} ,$
для которого символ ядра, используя интегралы (1.12) и (2.5), запишем в форме

(2.9)
$\begin{gathered} K(u) = \frac{{1 - 3\eta }}{{{{u}^{2}}(1 - \eta )(\omega _{0}^{2} - 1) - 2\eta (u{{\omega }_{0}} - 1) - 2(1 - {{\nu }_{0}})}} \\ {{\omega }_{0}} = \frac{{{{I}_{0}}(u)}}{{{{I}_{1}}(u)}},\quad \eta = \frac{{2(1 - {{\nu }_{0}}){{\eta }_{1}}}}{3} \\ \end{gathered} $

При η = 0 символ (2.9) совпадает с известным для однородного цилиндра [69].

3. Регулярный асимптотический метод. Используя известные разложения для цилиндрических функций ([16], формулы 9.6.10 и 9.7.1), найдем коэффициенты в разложениях (2.6) для символа (2.9):

${{c}_{0}} = 1,\quad {{c}_{1}} = \frac{{1 - 2{{\nu }_{0}}}}{{1 - 3\eta }},\quad {{c}_{2}} = c_{1}^{2} - \frac{{3(3 - 5\eta )}}{{8(1 - 3\eta )}}$
(3.1)
${{c}_{3}} = c_{1}^{3} - \frac{{3(1 - 2{{\nu }_{0}})(3 - 5\eta )}}{{4{{{(1 - 3\eta )}}^{2}}}} - \frac{{3(2 - 3\eta )}}{{4(1 - 3\eta )}}$
${{d}_{0}} = \frac{{1 - 3\eta }}{{2(1 + {{\nu }_{0}}) - 6\eta }},\quad {{d}_{1}} = 0,\quad {{d}_{2}} = \frac{{(1 - 3\eta )\eta }}{{2{{{[2(1 + {{\nu }_{0}}) - 6\eta ]}}^{2}}}}{\text{ }}$

На основании асимптотического поведения символа (2.6), (3.1) ядро ИУ (2.3) при больших значениях λ (t → 0) можно представить в форме [6]

$k(t) = - \ln \left| t \right| + {{a}_{{30}}} + {{a}_{{20}}}\left| t \right| + {{a}_{{11}}}{{t}^{2}}\ln \left| t \right| + {{a}_{{31}}}{{t}^{2}} + {{a}_{{20}}}{{\left| t \right|}^{3}} + O({{t}^{4}}\ln \left| t \right|)$
(3.2)
${{a}_{{30}}} = \int\limits_0^\infty {\frac{{uK(u) - 1 + \exp ( - u)}}{u}du,\quad {{a}_{{20}}} = - \frac{{\pi {{c}_{1}}}}{2},\quad } {{a}_{{11}}} = \frac{{{{c}_{2}}}}{2},\quad {{a}_{{21}}} = \frac{{\pi {{c}_{3}}}}{{12}}$
${{a}_{{31}}} = - \frac{{3{{c}_{2}}}}{4} + \frac{1}{2}\int\limits_0^\infty {[{{u}^{2}} - {{u}^{3}}K(u) + {{c}_{1}}u + {{c}_{2}}(1 - \exp ( - u))]\frac{{du}}{u}} $

Значения интегралов в формулах (3.2) приведены в табл. 1 (вторая и третья колонки, ν0 = 0.3).

Таблица 1
η a30 a31 B C D E θ (%)
−0.08 −0.546 1.503 1.040 1.713 0.323 2.530 4.5
−0.04 −0.551 1.591 1.000 1.797 0.357 1.480 5.0
0 −0.556 1.701 1.050 1.806 0.400 2.250 5.0
0.04 −0.561 1.843 1.030 1.879 0.455 1.850 5.5
0.08 −0.567 2.034 1.020 1.945 0.526 1.850 6.0

Применяя для решения ИУ (2.8), (2.9) регулярный асимптотический метод [6], основанный на последовательном решении сингулярных ИУ с ядром Коши, получим приближенное выражение для контактного давления

$\varphi (x) = \frac{1}{{\sqrt {1 - {{x}^{2}}} }}\left[ {{{\omega }_{{00}}}(x) + \frac{{{{\omega }_{{10}}}(x)}}{\lambda } + \frac{{{{\omega }_{{20}}}(x)}}{{{{\lambda }^{2}}}} + \frac{{\ln \lambda }}{{{{\lambda }^{2}}}}{{\omega }_{{21}}}(x) + } \right.$
$ + \;\frac{{{{\omega }_{{30}}}(x)}}{{{{\lambda }^{3}}}} + \frac{{\ln \lambda }}{{{{\lambda }^{3}}}}{{\omega }_{{31}}}(x) + O\left. {\left( {\frac{{{{{\ln }}^{2}}\lambda }}{{{{\lambda }^{4}}}}} \right)} \right]$
${{\omega }_{{00}}}(x) = \frac{{{{N}_{0}}}}{\pi },\quad {{\omega }_{{10}}}(x) = \frac{{4{{N}_{0}}}}{{{{\pi }^{3}}}}{{a}_{{20}}}{{S}_{1}}(x),\quad {{\omega }_{{21}}}(x) = - \frac{{{{N}_{0}}}}{\pi }{{a}_{{11}}}(1 - 2{{x}^{2}})$
(3.3)
${\text{ }}{{\omega }_{{20}}}(x) = \frac{{{{N}_{0}}}}{\pi }\left[ {({{a}_{{11}}}(1.5 - \ln 2) + {{a}_{{31}}})(1 - 2{{x}^{2}}) + \frac{{32}}{{{{\pi }^{4}}}}a_{{20}}^{2}({{S}_{2}}(x) - {{S}_{0}})} \right]$
${\text{ }}{{\omega }_{{31}}}(x) = - \frac{{2{{N}_{0}}}}{{{{\pi }^{3}}}}{{a}_{{11}}}{{a}_{{20}}}{{S}_{4}}(x)$
${\text{ }}{{\omega }_{{30}}}(x) = \frac{{{{N}_{0}}}}{{{{\pi }^{3}}}}\left[ {\frac{8}{9}{{a}_{{11}}}{{a}_{{20}}}{{S}_{3}}(x) + \left( {6{{a}_{{21}}}(1 + 2{{x}^{2}}) - \frac{{128}}{{{{\pi }^{4}}}}a_{{20}}^{3}{{S}_{0}}} \right)} \right.{{S}_{1}}(x) + $
$ + \;[9{{a}_{{21}}} + 2{{a}_{{20}}}({{a}_{{11}}}(1.5 - \ln 2) + {{a}_{{31}}})]{{S}_{4}}(x) + \left. {\frac{8}{3}{{a}_{{21}}} + \frac{{64}}{{{{\pi }^{4}}}}a_{{20}}^{3}{{S}_{5}}(x)} \right],$
где

${{S}_{0}} = \sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{4m}}{{{{{(4{{m}^{2}} - 1)}}^{3}}}}} ,\quad {{S}_{1}}(x) = 1 - 2{{x}^{2}} + 2\sqrt {1 - {{x}^{2}}} \sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{\sin [(2m + 1)\arccos x]}}{{{{{(2m + 1)}}^{2}}}}} $
${{S}_{2}}(x) = \sqrt {1 - {{x}^{2}}} \left[ {0.4356 + 0.1321{{x}^{2}} + 0.2494x\ln \frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right]$
${{S}_{3}}(x) = - 1 + 2{{x}^{2}} + 144\sqrt {1 - {{x}^{2}}} \sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{{\sin [(2m + 3)\arccos x]}}{{{{{(2m + 1)}}^{2}}{{{(2m + 3)}}^{2}}{{{(2m + 5)}}^{2}}}}} $
${{S}_{4}}(x) = \frac{4}{3} - 2{{x}^{2}} + x(1 - {{x}^{2}})\ln \frac{{1 - x}}{{1 + x}}$
${{S}_{5}}(x) = 0.3547 - 8.463{{x}^{2}} + 0.3442{{x}^{4}} + $
$ + \;x(1 - {{x}^{2}})(0.1180 + 0.03305{{x}^{2}})\ln \frac{{1 - x}}{{1 + x}} - 0.4156{{(1 - {{x}^{2}})}^{2}}{{\ln }^{2}}\frac{{1 - x}}{{1 + x}} + 0.3026{{S}_{1}}(x)$

Интегральная характеристика контактного давления вычисляется по формуле

${{N}_{0}} = \int\limits_{ - 1}^1 {\varphi (x)dx} = \pi (1 - 3\eta )f[{{a}_{{30}}} + 0.8106{{a}_{{20}}}{{\lambda }^{{ - 1}}} + ({{a}_{{11}}} + {{a}_{{31}}} - 0.03287a_{{20}}^{2}){{\lambda }^{{ - 2}}} + $
$ + \;(1.442{{a}_{{21}}} - 0.2702{{a}_{{11}}}{{a}_{{20}}} - 0.1807{{a}_{{20}}}{{a}_{{31}}} - 0.02450a_{{20}}^{3}){{\lambda }^{{ - 3}}} + $
(3.4)
$ + \;\ln (2\lambda )(1 - {{a}_{{11}}}{{\lambda }^{{ - 2}}} + 0.1801{{a}_{{11}}}{{a}_{{20}}}{{\lambda }^{{ - 3}}}) + O({{\lambda }^{{ - 4}}}\ln (2\lambda )){{]}^{{ - 1}}}$

Погрешность решения (3.3), (3.4) при λ ≥ 2 не превосходит 6%. Это решение можно рекомендовать, когда диаметр цилиндра существенно превосходит длину бандажа.

4. Сингулярный асимптотический метод. При малых значениях λ заменим ИУ (2.8) на эквивалентную систему трех ИУ [8, 9]

$\int\limits_{ - 1}^\infty {\omega \left( {\frac{{1 + \xi }}{\lambda }} \right)k\left( {\frac{{x - \xi }}{\lambda }} \right)d\xi } = \pi \lambda + \int\limits_{ - \infty }^{ - 1} {\left[ {\omega \left( {\frac{{1 - \xi }}{\lambda }} \right) - p(\xi )} \right]k\left( {\frac{{x - \xi }}{\lambda }} \right)d\xi } \quad ( - {\kern 1pt} 1 \leqslant x < \infty {\text{)}}$
(4.1)
$\int\limits_{ - \infty }^1 {\omega \left( {\frac{{1 - \xi }}{\lambda }} \right)k\left( {\frac{{x - \xi }}{\lambda }} \right)d\xi } = \pi \lambda + \int\limits_{ - 1}^\infty {\left[ {\omega \left( {\frac{{1 + \xi }}{\lambda }} \right) - p(\xi )} \right]k\left( {\frac{{x - \xi }}{\lambda }} \right)d\xi } \quad ( - \infty < x \leqslant 1{\text{)}}$
$\int\limits_{ - \infty }^\infty {p\left( {\frac{\xi }{\lambda }} \right)k\left( {\frac{{x - \xi }}{\lambda }} \right)d\xi } = \pi \lambda \quad ( - \infty < x < \infty {\text{)}}$
при условии

(4.2)
$\varphi (x) = (1 - 3\eta )\frac{f}{\lambda }\left[ {\omega \left( {\frac{{1 + x}}{\lambda }} \right) + \omega \left( {\frac{{1 - x}}{\lambda }} \right) - p\left( {\frac{x}{\lambda }} \right)} \right]\quad (\left| x \right| \leqslant {\text{1)}}$

Из последнего ИУ (4.1) при помощи преобразования Фурье найдем вырожденное решение (см. формулы (2.6), (3.1))

(4.3)
$p(x{{\lambda }^{{ - 1}}}) = d_{0}^{{ - 1}}$

Первое и второе ИУ (4.1) заменами переменных сводятся к одному ИУ

(4.4)
$\int\limits_0^\infty {\omega (\tau )k(t - \tau )d\tau = \pi + \int\limits_{2/\lambda }^\infty {[\omega (\tau ) - d_{0}^{{ - 1}}]k\left( {\frac{2}{\lambda } - t - \tau } \right)d\tau } } $

Можно показать, что интеграл в правой части ИУ (4.4) экспоненциально убывает при λ → 0, и для решения этого ИУ применим метод последовательных приближений, на каждом шаге которого возникает ИУ Винера–Хопфа.

При малых значениях λ будем решать ИУ (4.4) в нулевом приближении, пренебрегая интегралом в правой части. Для упрощенной факторизации символа ядра в соответствии с его свойствами (2.6), (3.1) используем аппроксимацию

(4.5)
$K(u) \approx \frac{{\sqrt {{{u}^{2}} + {{B}^{2}}} }}{{{{u}^{2}} + {{C}^{2}}}}\exp \left( {\frac{D}{{\sqrt {{{u}^{2}} + {{E}^{2}}} }}} \right){\text{,}}\quad D = {{c}_{1}},\quad \frac{B}{{{{C}^{2}}}}\exp \left( {\frac{D}{E}} \right) = {{d}_{0}},\quad E > 1$

Значения постоянных, входящих в формулу (4.5), и погрешность этой аппроксимации на действительной оси θ приведены в табл. 1 (последние пять колонок, ν0 = 0.3).

Применяя метод Винера−Хопфа, решение ИУ (4.4), (4.5) в нулевом приближении получим в виде

(4.6)
$\begin{gathered} \omega (s) = \frac{1}{{\sqrt {{{d}_{0}}} }}\left( {\frac{{\exp ( - Bs)}}{{\sqrt {\pi s} }} + \frac{C}{{\sqrt B }}{\text{erf}}(\sqrt {Bs} ) + I(s)} \right) \\ I(s) = \frac{{ - D}}{\pi }\int\limits_0^s {\left[ {\frac{{\exp ( - B(s - \tau ))}}{{\sqrt {\pi (s - \tau )} }} + \frac{C}{{\sqrt B }}{\text{erf(}}\sqrt {B(s - \tau )} )} \right]} {\text{ }}{{K}_{0}}(E\tau )d\tau \\ \end{gathered} $

Формулы (4.2), (4.3) и (4.6) определяют сингулярное асимптотическое решение ИУ (2.8). На основании этих формул найдем интегральную характеристику контактного давления

${{N}_{0}} = (1 - 3\eta )f\left\{ {\frac{{2C}}{{\sqrt {{{d}_{0}}B} }}\left[ {\left( {\zeta - \frac{1}{{2B}} + \frac{1}{C}} \right){\text{erf}}(\sqrt {B\zeta } ) + \sqrt {\frac{\zeta }{{\pi B}}} \exp ( - B\zeta )} \right] - \frac{\zeta }{{{{d}_{0}}}} + \frac{{2J(\zeta )}}{{\sqrt {{{d}_{0}}} }}} \right\}$
(4.7)
$\zeta = \frac{2}{\lambda }$
$J(s) = \frac{{ - D}}{\pi }\int\limits_0^s {\left[ {\frac{C}{B}\sqrt {\frac{{s - \tau }}{\pi }} \exp ( - B(s - \tau )) + \frac{{{\text{erf(}}\sqrt {B(s - \tau )} )}}{{\sqrt B }}\left( {1 - \frac{C}{{2B}} + C(s - \tau )} \right)} \right]} {\text{ }}{{K}_{0}}(E\tau )d\tau $

Погрешность решения (4.2), (4.3), (4.6), (4.7) при λ ≤ 1 не превосходит (5 + θ)%. Это решение можно рекомендовать, когда длина бандажа существенно больше диаметра цилиндра.

В табл. 2 приведены значения интегральной характеристики N0/f, рассчитанные по формулам (3.4) и (4.7) при ν0 = 0.3 и разных значениях λ и η. В окрестности значения λ = 2 наблюдается смыкание регулярного и сингулярного асимптотических решений контактной задачи для неоднородного цилиндра с переменным коэффициентом Пуассона, обнаруженное ранее в контактной задаче для однородного цилиндра [8]. При уменьшении параметра λ контактное давление существенно возрастает. При учете обозначений (2.4), (2.9) и ν(0) = ν0 = 0.3 заключаем, что коэффициент Пуассона ν(r) вида (2.7) возрастает на интервале 0 ≤ r ≤ ρ при η < 0 и убывает при η > 0. При возрастающем коэффициенте Пуассона от оси до поверхности цилиндра (при этом модуль продольной упругости также возрастает) контактные давления, отнесенные к натягу бандажа  f, больше, чем при убывающем.

Таблица 2
η λ = 8 4 2 2 1 0.5 0.25
Формула (3.4) Формула (4.7)
−0.08 1.76 2.52 3.99 3.99 6.94 13.0 25.3
−0.04 1.60 2.29 3.64 3.63 6.31 11.9 23.1
0 1.43 2.06 3.28 3.29 5.76 10.9 21.2
0.04 1.27 1.83 2.92 2.93 5.14 9.74 19.0
0.08 1.10 1.60 2.55 2.57 4.54 8.65 17.0

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (18-01-00017).

Список литературы

  1. Бородачев А.Н., Дудинский В.И. Жесткий штамп на упругом полупространстве с изменяющимся по глубине коэффициентом Пуассона // Прикл. мех. 1985. Т. 21. № 8. С. 34–39.

  2. Бородачев А.Н. Упругое равновесие неоднородного по толщине слоя // Прикл. мех. 1988. Т. 24. № 8. С. 30–35.

  3. Пожарский Д.А. Упругое равновесие неоднородного клина с переменным коэффициентом Пуассона // ПММ. 2016. Т. 80. Вып. 5. С. 614–621.

  4. Кузнецов Е.А. Давление круглого цилиндра на полупространство с переменным по глубине коэффициентом Пуассона // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. № 1. С. 73–86.

  5. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: ГИТТЛ, 1955. 491 с.

  6. Александров В.М., Белоконь А.В. Асимптотическое решение одного класса интегральных уравнений и его применение к контактным задачам для цилиндрических упругих тел // ПММ. 1967. Т. 31. Вып. 4. С. 704–710.

  7. Александров В.М., Ромалис Б.Л. Контактные задачи в машиностроении. М.: Машиностроение, 1986. 176 с.

  8. Александров В.М., Пожарский Д.А. Об одном асимптотическом методе в контактных задачах // ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 2. С. 295–302.

  9. Alexandrov V.M., Pozharskii D.A. Three-dimensional contact problems. Dordrecht: Kluwer Academic, 2001. 406 p.

  10. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Ленанд, 2014. 376 с.

  11. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамика поверхности неоднородных сред. М.: Физматлит, 2009. 316 с.

  12. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамическая контактная задача для заполненной жидкостью преднапряженной цилиндрической трубы // ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 2. С. 289–302.

  13. Белянкова Т.И., Калинчук В.В., Лыжов В.А. Особенности динамики трехслойного полого цилиндра // Экологич. вестник науч. центров ЧЭС. 2015. № 4. С. 19–32.

  14. Gurtin M.E. The Linear Theory of Elasticity. Handbuch der Physik. Vol. VIa/2. Berlin: Springer, 1972. P. 1–295.

  15. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. 752 с.

  16. Handbook of Mathematical Functions / Ed. by M. Abramowitz and I. Stigan. N.Y.: Dover, 1964.

Дополнительные материалы отсутствуют.