Прикладная математика и механика, 2019, T. 83, № 2, стр. 249-264

1. Введение. Крутильные волны в нелинейно-упругом стержне моделируются ([1], гл. 3, § 3.3 и формула (П.18) из обзора, приведенного в приложении) уравнением соболевского типа, не разрешенным относительно временной производной второго порядка:

Отметим, что после замены

в уравнении крутильных колебаний [1] параметр $\alpha = {{{{c}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{c}_{0}}} {{{c}_{{\text{1}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{{\text{1}}}}}}$ в уравнении (1.1) равен отношению скоростей продольных ${{c}_{0}}$ и крутильных ${{c}_{{\text{1}}}}$ волн.

Для уравнения (1.1) рассмотрим задачу Коши

полагая, что начальные функции $\varphi = \varphi (x)$, $\psi = \psi (x)$ и искомое классическое решение для всех значений временной переменной $t$ по переменной $x$ принадлежат банахову пространству $C[ - \infty , + \infty ]$ ≡ $C[{{R}^{1}}]$ (с нормой ${{\left\| {g(x)} \right\|}_{C}}$ = $\mathop {\sup }\limits_{x \in {{R}^{1}}} \left| {g(x)} \right|$) – множеству непрерывных функций $g = g(x)$, для которых существуют пределы при $x \to \pm \infty $. (Под классическим решением понимается достаточно гладкая функция, имеющая все непрерывные производные нужного порядка, и удовлетворяющая уравнению в каждой точке области его задания.)

Наряду с уравнением (1.1) будем рассматривать уравнение, получающееся из (1.1) заменой ${{u}_{x}}$ = $\upsilon $ и последующим дифференцированием обеих его частей:

Цель исследования – для случая $\beta = 0$, т.е. для соответствующего (1.1) линейного уравнения, найти явный вид решения задачи Коши, а в случае $\beta \ne 0$ найти временной отрезок существования классического решения задачи Коши и оценить норму в $C[{{R}^{1}}]$ этого локального решения уравнения (1.3), далее рассмотреть условия существования глобального (определенного для $t \in \bar {R}_{ + }^{1}$) решения уравнения (1.1) и разрушения его решения на конечном временном отрезке.

Замечание 1. Выбор пространства $C[{{R}^{1}}]$ и его подмножеств

обоснован тем, что дифференциальный оператор ${d \mathord{\left/ {\vphantom {d {dx}}} \right. \kern-0em} {dx}}$ с областью определения $D(d{\text{/}}dx)$ = = ${{C}^{{(1)}}}[{{R}^{1}}]$ является ([2], гл. 8, § 1; [3], § 1.3) производящим оператором группы класса ${{C}_{0}}$ левых сдвигов: а оператор ${{d}^{2}}{\text{/}}d{{x}^{2}}$, $D({{d}^{2}}{\text{/}}d{{x}^{2}}) = {{C}^{{(2)}}}[{{R}^{1}}]$, порождает [2] полугруппу класса ${{C}_{0}}$:

Положительная полуось $\lambda > 0$ принадлежит [2] резольвентным множествам операторов $d{\text{/}}dx$, ${{d}^{2}}{\text{/}}d{{x}^{2}}$ и для соответствующих резольвент справедливы оценки

где $I$ – тождественный оператор.

2. Задача Коши для линейного уравнения крутильных волн. В линейном однородном уравнении¹¹

введем новую неизвестную функцию полагая, что частные производные ${{u}_{{xx}}}$, ${{u}_{{xxt}}}$ непрерывны при $t \geqslant 0$. Используя существование и представление [2] линейного ограниченного оператора ${{(I - {{d}^{2}}{\text{/}}d{{x}^{2}})}^{{ - 1}}}$, из замены (2.2) можно единственным образом определить начальные значения функции w = w(x, t): при условии, что функции $\varphi (x)$ и $\psi (x)$ принадлежат ${{C}^{{(2)}}}[{{R}^{1}}]$, и выразить решение $u(x,t)$ задачи Коши (1.1), (1.2) через новую неизвестную функцию $w(x,t)$:

В результате замены (2.2) уравнение (2.1) в пространстве $C[{{R}^{1}}]$ можно записать в виде абстрактного обыкновенного дифференциального уравнения

где $W = W(t)$: $t \to w(x,t)$ – искомая вектор-функция, определенная для $t \in \bar {R}_{ + }^{1}$ и со значениями в пространстве $C[{{R}^{1}}]$. Операторный коэффициент в уравнении (2.4) – линейный оператор ${{K}_{0}}$, определен на функциях $g(x) \in {{C}^{{(4)}}}[{{R}^{1}}]$, и его можно продолжить до оператора

Таким образом, получим эквивалентное (2.1) интегро-дифференциальное уравнение

в котором через $\varphi * \psi $ обозначена свертка функций из $C[{{R}^{1}}]$.

Дальнейшее рассмотрение разобьем на три случая: $\alpha = 1$, $\alpha > 1$ и $\alpha < 1$.

Случай $\alpha = 1$. Уравнение (2.5) вырождается в классическое гиперболическое уравнение, решение которого находится по формуле Даламбера

если начальная функция ${{w}_{0}}(x)$ имеет непрерывные производные до второго порядка включительно, а ${{w}_{1}}(x)$ – до первого. Эти условия будут выполнены, если

В этом случае из соотношений (2.3) и (2.6) имеем

Случай $\alpha > 1$ и ${{\alpha }_{1}} = \sqrt {{{\alpha }^{2}} - 1} $. Оператор $K$ запишем в виде

Оператор $A$, $D(A) = D({{d}^{2}}{\text{/}}d{{x}^{2}})$, порождает в пространстве $C[{{R}^{1}}]$ ([3], § 1.5) косинус оператор-функцию $C(t;A)$, $t \in {{R}^{1}}$, класса ${{C}_{0}}$, для которой на произвольном элементе $g(x) \in C[{{R}^{1}}]$ справедливо представление

где обозначено и оценка нормы

Возмущенный оператор

также порождает в $C[{{R}^{1}}]$ ([3], § 8.1) косинус оператор-функцию $C(t;A + \alpha _{1}^{2}I)$, $t \in {{R}^{1}}$, класса ${{C}_{0}}$, для которой, при всех $g(x) \in C[{{R}^{1}}]$, справедливо представление где ${{I}_{1}}(z)$ – модифицированная функция Бесселя ([5], прилож. 2.10), и оценка нормы

Ограниченный оператор ${{B}_{1}}$, $D({{B}_{1}}) = C[{{R}^{1}}]$, является в $C[{{R}^{1}}]$ производящим оператором косинус оператор-функции $C(t;{{B}_{1}})$, $t \in {{R}^{1}}$, класса ${{C}_{0}}$, которая для произвольного элемента $g(x)$ ∈ $C[{{R}^{1}}]$ представляется ([3], § 4.2) степенным рядом

равномерно сходящимся по $t$ на каждом конечном отрезке из ${{R}^{1}}$. Из представления (2.11) выводим

Используя формулу [2], выражающую степени резольвенты ${{(I - {{d}^{2}}{\text{/}}d{{x}^{2}})}^{{ - n}}}$ через полугруппу, порождаемую оператором ${{d}^{2}}{\text{/}}d{{x}^{2}}$:

преобразуем представление (2.11): где ${}_{0}{{F}_{2}}(;3{\text{/}}2,2; - z{\text{/}}4)$ – обобщенная гипергеометрическая функция ([6], гл. 7, § 7.2.3). Применяя интегральное представление полугруппы $U(s;{{d}^{2}}{\text{/}}d{{x}^{2}})$, формуле (2.13) можно придать вид

Возмущение ограниченным оператором ${{B}_{1}}$ сохраняет способность оператора $A + \alpha _{1}^{2}I$ порождать косинус оператор-функцию класса ${{C}_{0}}$ ([3], § 8.2), поэтому оператор $K$ является производящим оператором косинус оператор-функции класса ${{C}_{0}}$, для которой на элементах $g(x)$ ∈ $D(A)$ и для всех $t \in {{R}^{1}}$ справедливо представление

Используя формулы (2.8), (2.10), (2.14), косинус оператор-функцию $C(t;K)g(x)$ записываем в явном виде на функциях $g(x)$ ∈ $D({{d}^{2}}{\text{/}}d{{x}^{2}})$:

Используя табличные интегралы ([7], гл. 2, § 2.4.2; [5], гл. 2, § 2.15.9; [5], прилож. 2.10), оценим норму косинус оператор-функции (2.16):

С косинус оператор-функцией (2.16) ассоциируют ([3], § 1.4) синус оператор-функцию

и линейное многообразие т.е. подмножество ${{C}_{1}}[{{R}^{1}}] \subset C[{{R}^{1}}]$ состоит из тех функций из $C[{{R}^{1}}]$, для которых $C(t;K)g(x)$ : ${{R}^{1}}$ → $C[{{R}^{1}}]$ – непрерывно дифференцируемая функция переменной $t$. Очевидно, что

Используя оценку (2.17), имеем

Случай $\alpha < 1$ и ${{\alpha }_{2}} = \sqrt {1 - {{\alpha }^{2}}} $. Оператор $K$ запишем в виде

Ограниченный оператор ${{B}_{2}}$, $D({{B}_{2}}) = C[{{R}^{1}}]$, является производящим оператором косинус оператор-функции $C(t;{{B}_{2}})$, $t \in {{R}^{1}}$, класса ${{C}_{0}}$, которая для произвольного элемента g(x) ∈ $C[{{R}^{1}}]$ представляется степенным рядом

равномерно сходящимся по $t$ на каждом конечном отрезке из ${{R}^{1}}$. Из равенства (2.20) выводим

Применяя формулу бинома Ньютона и затем представление (2.12), имеем

где $\Psi (a,b;z)$ – вырожденная гипергеометрическая функция Трикоми ([6], гл. 7, § 7.2.2). В рассматриваемом случае ([6], гл. 7, § 7.11.4) где $L_{m}^{n}(z)$ – обобщенные многочлены Лагерра ([5], прилож. 2.11).

Используя интегральное представление полугруппы $U(s;{{d}^{2}}{\text{/}}d{{x}^{2}})$, из равенства (2.21) выводим

Косинус оператор-функция класса ${{C}_{0}}$, порождаемая оператором $K = A + {{B}_{2}}$, на элементах $g(x) \in D(A)$ представляется формулами (2.15), в которых следует положить ${{\alpha }_{1}} = 0$ и заменить ${{B}_{1}}$ на ${{B}_{2}}$. Отсюда, применяя формулы (2.8) и (2.22), получаем явный вид косинус оператор-функции $C(t;K)g(x)$ на функциях $g(x) \in D({{d}^{2}}{\text{/}}d{{x}^{2}})$:

Используя оценку (2.9), оценим норму косинус оператор-функции (2.23):

Синус оператор-функция $S(t;K)$, порождаемая оператором $K$, в рассматриваемом случае допускает оценку

Таким образом, во всех трех случаях задания параметра $\alpha $ приходим к абстрактному дифференциальному уравнению, обобщающему уравнение (2.4) в пространстве $C[{{R}^{1}}]$:

в котором оператор $K$ порождает косинус оператор-функцию класса ${{C}_{0}}$. Начальные условия в $C[{{R}^{1}}]$ для уравнения (2.26) перепишутся в виде где $\Phi $ и $\Psi $ – элементы пространства $C[{{R}^{1}}]$.

Для того чтобы задача Коши (2.26), (2.27) была равномерно корректной на $\bar {R}_{ + }^{1}$, необходимо и достаточно, чтобы оператор $K$ был производящим оператором сильно непрерывной косинус оператор-функции класса ${{C}_{0}}$; при этом классическое решение задачи Коши (2.26), (2.27) дается формулой ([3], § 1.4)

для любых $\Phi \in D(K)$ и $\Psi \in {{C}_{1}}[{{R}^{1}}]$.

Замечание 2. Задача Коши

в банаховом пространстве $E$ называется равномерно корректной ([3], § 1.2), если: найдется плотное подмножество ${{E}_{1}} \subset E$ такое, что при ${{u}^{0}}$, ${{u}^{1}} \in {{E}_{1}}$ существует единственное решение на $\bar {R}_{ + }^{1}$ и это решение равномерно устойчиво по $t$ на любом компакте $P \subset \bar {R}_{ + }^{1}$, т.е. из условия $u_{n}^{m}$ → 0 ($u_{n}^{m} \in {{E}_{1}}$, $m = 0,1$) при $n \to \infty $ следует сходимость соответствующих решений ${{u}_{n}}(t)$ → 0 равномерно по $t \in P$, где $u_{n}^{{(m)}}(0) = u_{n}^{m}$, $m = 0,1$.

Замечание 3. Дважды непрерывно дифференцируемая функция $u(t){\text{:}}\;\bar {R}_{ + }^{1} \to E$, т.е. $u(t) \in {{C}^{{(2)}}}(\bar {R}_{ + }^{1};E)$, называется классическим решением абстрактной задачи Коши (2.28), если $u(t) \in D(A)$, $Au(t) \in C(\bar {R}_{ + }^{1};E)$ при $t \in \bar {R}_{ + }^{1}$ и удовлетворяются равенства (2.28).

Теперь, производя обратную замену (2.3) и используя перестановочность резольвенты ${{(I - {{d}^{2}}{\text{/}}d{{x}^{2}})}^{{ - 1}}}$ c косинус оператор-функцией, порождаемой оператором $K$, находим решение задачи Коши для уравнения (2.1)

Таким образом, имеет место утверждение.

Теорема 1. Пусть начальные функции $\varphi (x)$, $\psi (x)$ вместе с производными до четвертого порядка включительно принадлежат пространству $C[{{R}^{1}}]$. Тогда задача Коши для линейного однородного уравнения (2.1) равномерно корректна, классическое решение дается формулой (2.29), или в подробной записи:

1) при $\alpha = 1$ – формулой (2.7), и для решения справедлива оценка

2) при $\alpha > 1$ – формулой

и для решения справедлива оценка

3) при $\alpha < 1$ – формулой

и для решения справедлива оценка

Замечание 4. От начальной функции $\psi (x)$ в теореме 1 требуем заведомо большую гладкость, чем нужно для существования решения задачи Коши, чтобы не заниматься описанием подмножества ${{C}_{1}}[{{R}^{1}}]$ пространства $C[{{R}^{1}}]$.

Замечание 5. При $\alpha = 1$ синус оператор-функция представляется в явном виде формулой

и для нее справедлива оценка нормы

Замечание 6. Хотя изначально ставилась цель найти решение линейного однородного уравнения крутильных колебаний на полуоси $t \in R_{ + }^{1}$, формула (2.29) определяет решение $u(x,t)$ и его частные и смешанные производные на всей числовой прямой $t \in {{R}^{1}}$, что естественно вытекает и из самого задания уравнения, так как оно не меняется при замене $t \to - t$.

Замечание 7. Так как классическое решение $W\left( t \right)$ абстрактной задачи Коши (2.26), (2.27) принадлежит ${{C}^{{\left( 2 \right)}}}(\bar {R}_{ + }^{1};C[{{R}^{1}}])$ и для него $KW(t)$ ∈ $C(\bar {R}_{ + }^{1};C[{{R}^{1}}])$, то решение

уравнения (2.1) принадлежит ${{C}^{{(4)}}}[{{R}^{1}}]$ для всех $t \in \bar {R}_{ + }^{1}$.

3. Локальное решение задачи Коши для нелинейного уравнения крутильных волн. Применим к обеим частям уравнения (1.3) оператор ${{(I - {{d}^{2}}{\text{/}}d{{x}^{2}})}^{{ - 1}}}$, тогда получим эквивалентное (1.3) нелинейное интегро-дифференциальное уравнение – нелокальное уравнение Клейна–Гордона

Уравнение (3.1) в пространстве $C[{{R}^{1}}]$ можно записать в виде абстрактного полулинейного уравнения

Начальные условия (1.2) для уравнения (3.2) перепишутся в виде

где $\Phi = \varphi (x)$, $\Psi = \psi (x)$ – элементы пространства $C[{{R}^{1}}]$.

В уравнении (3.2) оператор $K$ такой же, как и в уравнении (2.26), а $F( \cdot )$ – заданный нелинейный оператор:

Отметим, что из непрерывной дифференцируемости оператора суперпозиции $Q$ в пространстве непрерывных функций ([8], гл. 5, § 20.1) и ограниченности оператора ${{(I - {{d}^{2}}{\text{/}}d{{x}^{2}})}^{{ - 1}}} - I$ следует непрерывная дифференцируемость по Фреше оператора $F( \cdot )$ в пространстве $C[{{R}^{1}}]$, и следовательно, $F( \cdot )$ удовлетворяет локальному условию Липшица. Поэтому существует промежуток $[0,t{\text{*[}}$, в котором абстрактная задача Коши (3.2), (3.3) имеет ([9], § 3) единственное обобщенное решение $V = V(t)$, т.е. единственное непрерывно дифференцируемое решение интегрального уравнения

для любых $\Phi \in D(K)$ и $\Psi \in {{C}_{1}}[{{R}^{1}}]$.

Учитывая, что для элементов пространства $C[{{R}^{1}}]$ справедлива оценка

в силу чего с ним можно работать как с алгеброй ([10], гл. 6, § 6.1), из интегрального уравнения (3.4) выводим интегральное неравенство

Нормы оператор-функций из этого неравенства оцениваются разными мажорантами в зависимости от значения параметра $\alpha $ уравнения (1.3). Поэтому дальнейшее рассмотрение интегрального неравенства (3.5) разобьем на три случая:

1) пусть $\alpha = 1$, тогда, обозначая $\Omega _{{\Phi ,\Psi }}^{{\alpha = 1}}(t) = {{\left\| \Phi \right\|}_{C}} + t{{\left\| \Psi \right\|}_{C}}$, неравенству (3.5) придадим вид

откуда следует [11] оценка

2) пусть $\alpha > 0$, тогда, применяя оценки (2.17) и (2.19) норм оператор-функций (2.16) и (2.18), записанные в виде

имеем откуда следует ([12], гл. 1, § 1.3) выполнение при $t \in [0,{{t}_{{\text{*}}}}]$, где оценки нормы обобщенного решения

3) пусть $\alpha < 1$, тогда, используя неравенства (2.24) и (2.25), переписанные в виде

и обозначая имеем откуда следует [11] выполнение при $t \in [0,{{t}_{{\text{*}}}}]$, где оценки нормы обобщенного решения²²

Итак, на отрезке $[0,{{t}_{{\text{*}}}}]$ существует обобщенное решение абстрактной задачи Коши (3.2), (3.3) для которого, в зависимости от значения параметра $\alpha $, справедлива соответствующая оценка нормы (3.6)–(3.8). Это обобщенное решение $V(t)$ будет классическим решением задачи Коши (3.2), (3.3), если оно дважды непрерывно дифференцируемо, что является следствием [9] непрерывной дифференцируемости нелинейного оператора $F( \cdot )$, при условии $\Phi \in D(K)$ и $\Psi \in {{C}_{1}}[{{R}^{1}}]$.

Таким образом, имеет место

Теорема 2. Пусть начальные функции $\varphi (x)$ и $\psi (x)$ задачи Коши (1.3), (1.2) принадлежат пространству $C[{{R}^{1}}]$ вместе со своими производными до четвертого порядка включительно. Тогда при $t \in [0,{{t}_{{\text{*}}}}]$ существует единственное классическое решение $\upsilon = \upsilon (x,t)$, $(x,t)$ ∈ ${{R}^{1}}$ × $[0,{{t}_{{\text{*}}}}]$, этой задачи в пространстве $C[{{R}^{1}}]$, для которого, в зависимости от значения параметра $\alpha $, справедлива оценка нормы (3.6)–(3.8), или в подробной записи

1) при $\alpha = 1$, обозначая

имеем

2) при $\alpha > 1$, ${{\alpha }_{1}} = \sqrt {{{\alpha }^{2}} - 1} $, обозначая

имеем

3) при $\alpha < 1$, ${{\alpha }_{2}} = \sqrt {1 - {{\alpha }^{2}}} $, обозначая

имеем

Замечание 8. Здесь надо учитывать, что классическое решение уравнения (1.3) из ${{C}^{{(4)}}}[{{R}^{1}}]$, тогда как классическое решение уравнения (3.1) из ${{C}^{{\left( 2 \right)}}}[{{R}^{1}}]$.

Замечание 9. Из существования локального классического решения уравнения (1.3) следует существование классического решения уравнения (1.1) на том же отрезке $[0,t{\text{*}}]$.

4. Существование глобального решения уравнения крутильных волн и разрушения его решения на конечном отрезке. Если функция $g(x)$ ∈ $C[{{R}^{1}}]$ также принадлежит пространству Соболева $W_{2}^{1}({{R}^{1}})$, то [13] справедлива оценка

причем, если к тому же $g(x) \in {{C}^{{\left( 2 \right)}}}[{{R}^{1}}]$, то предел при $x \to \pm \infty $ функций $g(x)$ и $g{\text{'}}(x)$ равен нулю.

Полагая, что для всех $t \geqslant 0$ классическое решение $u = u(x,t)$ уравнения (1.1) принадлежит пересечению пространств $C[{{R}^{1}}]$ ∩ $W_{2}^{1}({{R}^{1}})$, рассмотрим так называемый интеграл энергии

в котором $u = u(x,t)$ – решение уравнения (1.1).

Применяя к правой части равенства

неравенство Коши–Буняковского ($\left| {(\varphi ,\psi )} \right|$ ≤ ${{\left\| \varphi \right\|}_{2}}{{\left\| \psi \right\|}_{2}}$, где $(\varphi ,\psi )$ = $\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\varphi (x)\psi (x)dx} $ и ${{\left\| \varphi \right\|}_{2}}$ = = $\sqrt {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{{{\left| {\varphi (x)} \right|}}^{2}}dx} } $ – скалярное произведение и норма в пространстве ${{L}_{2}}({{R}^{1}})$), выводим оценку $y{\text{'}}(t)$ ≤ $\left\| u \right\|_{{W_{2}^{1}}}^{2}$ + $\left\| {{{u}_{t}}} \right\|_{{W_{2}^{1}}}^{2}$, или

Аналогично, из равенства

выводим оценку

Используя уравнение (1.1), представление

и интегрируя по частям, имеем откуда выводим первое энергетическое равенство

Аналогично, используя представление

и интегрируя по частям, имеем откуда следует второе энергетическое равенство в котором

Пусть коэффициент уравнения (1.1) – параметр $\beta > 0$, тогда из соотношений (4.1) и (4.4) следует, что

и значит, в силу леммы Гронуолла, откуда следует, что при выполнении начальными функциями условий классическое решение $u(x,t)$ уравнения (1.1) принадлежит пространству Соболева $W_{2}^{1}({{R}^{1}})$, и значит, справедлива оценка или в подробной записи обеспечивающая существование глобального решения уравнения (1.1).

Таким образом, имеет место

Теорема 3. Пусть в уравнении (1.1) параметр $\beta > 0$, а начальные функции $\varphi (x)$ и $\psi (x)$ удовлетворяют условию (4.5). Тогда существует единственное глобальное классическое решение задачи Коши (1.1), (1.2), для которого справедлива оценка (4.6).

Вернемся к рассмотрению энергетических равенств (4.3) и (4.4): исключая из них слагаемое с параметром $\beta $; имеем

откуда, в силу оценки (4.2), вытекает дифференциальное неравенство для интеграла энергии сравнивая которое с основным дифференциальным неравенством для интеграла энергии ([14], прилож., § 1) (см. ниже замечание 10), заключаем, что если потребовать выполнение условий то имеет место оценка снизу интеграла энергии и оценка сверху времени $T{\text{*}}$ существования классического решения уравнения (1.1)

Таким образом, имеет место

Теорема 4. Пусть параметры $\alpha $, $\beta $ и начальные функции $\varphi (x)$ и $\psi (x)$ задачи Коши (1.1), (1.2) подчинены условиям (4.7). Тогда не существует глобального по времени классического решения уравнения крутильных колебаний нелинейно-упругого стержня, т.е. решение разрушается за конечное время $T{\text{*}}$, причем имеет место оценка сверху для времени существования решения.

Замечание 10. Пусть в дифференциальном неравенстве

выполнены условия

Тогда время $T > 0$ не может быть сколь угодно большим, а именно, выполнено неравенство

причем

Замечание 11. Оценку (4.6) нормы решения уравнения крутильных колебаний в пространстве $C[{{R}^{1}}]$ можно существенно улучшить, если воспользоваться при $\beta > 0$ неравенствами, вытекающими из энергетических равенств (4.3) и (4.4): ${{2}^{{ - 1}}}y{\text{''}}(t) \leqslant z(t) \leqslant {{Z}_{0}}$, откуда, интегрируя, имеем

Замечание 12. Покажем совместность достаточных условий (4.7). Пусть, например, начальные функции $\varphi $ и $\psi $ совпадают между собой: $\varphi (x) = \psi (x) \equiv \gamma (x) \ne 0$, причем $\gamma {\text{'}}(x) \ne 0$. Тогда выполнены первые два условия (4.7): $M = \left\| \gamma \right\|_{{W_{2}^{1}}}^{2} > 0$, и значит, третье условие (4.7) перепишется в виде ${{Z}_{0}} < \left\| \gamma \right\|_{{W_{2}^{1}}}^{2}$, откуда в этом случае следует

Таким образом, при значениях параметра $\beta $, удовлетворяющих неравенству (4.8), совместны условия (4.7) разрушения за конечное время решения уравнения крутильных колебаний бесконечного нелинейно-упругого стержня.