Прикладная математика и механика, 2020, T. 84, № 1, стр. 85-90

НОВЫЙ КЛАСС ОДНОРОДНЫХ РЕШЕНИЙ ПЛОСКИХ

Н. Б. Расулова^1, *, М. Б. Расулов^1, **

¹ Институт математики и механики НАН Азербайджана
Баку, Азербайджан

^* E-mail: nazila.rasulova@imm.az
^** E-mail: rasulova@gmail.com

Поступила в редакцию 25.02.2019
После доработки 09.09.2019
Принята к публикации 16.09.2019

DOI: 10.31857/S0032823519050084

Аннотация

Представлен новый тип функционально-инвариантных решений Смирнова–Соболева волнового уравнения, которые могут быть использованы при решении многих однородных задач эластодинамики. Найденное решение обладает уникальным свойством: его двукратный прообраз Лапласа и Фурье с новым аргументом и коэффициентом совпадает с исходной функцией. Таким образом, это свойство позволяет получить удобную формулу обращения для двукратных интегральных преобразований. Метод получения формулы показан на примере решения задачи Лэмба для полуплоскости при переходе от изображения к оригиналу.

Ключевые слова: однородные решения, преобразования Лапласа и Фурье, задача Лэмба, волновое уравнение, решения Смирнова–Соболева

Введение. С целью разработки более удобного метода нахождения обратных двукратных интегральных преобразований некоторых плоских задач эластодинамики предложен новый вид функции-изображения, являющийся решением преобразованного волнового уравнения и одновременно обладающий очень удобным свойством: при переходе к оригиналу по двум операторам, эта функция, исключая ее коэффициент, как функция одного безразмерного параметра, сохраняет свой вид. При этом ее параметр заменяется другим безразмерным параметром, зависящим от реальных координат плоскости и времени.

Основываясь на этом свойстве найденного решения, легко и быстро решаются некоторые известные задачи, например, задача Броберга [2] и не менее знаменитая задача Лэмба для полуплоскости [3], до этого решенные весьма сложными и трудоемкими способами. В общем случае это свойство создает полезную формулу обращения для двукратных преобразований, которая позволяет представить значения какой-нибудь величины (компоненты скорости, напряжения и др.) в любой точке плоскости через их значения на границе полуплоскости. Кроме того, в решении большинства задач эластодинамики для неограниченных и полуограниченных областей, метод интегральных преобразований является мощнейшим, часто используемым математическим аппаратом. Но нахождение оригиналов во многих случаях сопровождается колоссальными трудностями, преодоление которых еще больше усложняется, если применены не одно-, а двукратные преобразования. Существует довольно много приближенных методов обращения, которые, естественно, не могут сравниться ни с одним точным аналитическим методом.

Новое решение будет представлено на примере решения задачи Лэмба для полуплоскости.

Задача Лэмба с момента своего появления привлекла внимание специалистов всего мира, решение этой задачи для полупространства до недавнего времени было единственным точным решением трехмерной задачи эластодинамики.

Обзоры постановок задач и методов их решения приведены в работах [4–6], в которых также показаны численные методы решения для несколько усложненных вариантов задач Лэмба. Тем не менее, основным методом решения этой задачи является метод интегральных преобразований, который впервые в динамике упругих сред был использован Лэмбом [1].

1. Задача Лэмба для полуплоскости и ее эффективное решение. Решение задачи об ударе сосредоточенной силой $I$ в момент $t = 0$ в изотропной упругой полуплоскости $~y < 0$, находящейся в покое при $t < 0$, дано в [3]. Эта задача была решена методом интегральных преобразований, и для нахождения оригиналов был использован трудоемкий способ с использованием метода Каньяра.

Ниже будет представлен новый, более удобный метод решения этой задачи. Уравнения движения среды, граничные и начальные условия в потенциалах $\phi $ и ${\psi }$, имеют следующий вид:

(1.1)

$\vec {u} = \operatorname{grad} \phi + {\text{rot}}\left( {{\psi }{{{\vec {e}}}_{3}}} \right)$

(1.2)

$\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial {{t}^{2}}}} = c_{1}^{2}{\Delta }\phi ;\quad ~\frac{{{{\partial }^{2}}{\psi }}}{{\partial {{t}^{2}}}} = c_{2}^{2}{\Delta \psi }~$

(1.3)

$\begin{gathered} {{{\sigma }}_{{yy}}}\left( {t,x,y} \right) = - I\delta \left( x \right)\delta \left( t \right),~\quad y = 0 \\ {{{\sigma }}_{{xy}}} = \frac{{c_{{2\rho }}^{2}}}{2}\left( {2\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial x\partial y}} + \frac{{{{\partial }^{2}}{\psi }}}{{\partial {{y}^{2}}}} - \frac{{{{\partial }^{2}}{\psi }}}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right) = 0~,\quad ~y = 0 \\ \phi = \psi = \frac{{\partial \phi }}{{\partial t}} = \frac{{\partial {\psi }}}{{\partial t}} = 0,\quad ~t = 0 \\ \end{gathered} $

Здесь $~\vec {u}$ – вектор перемещения, ${\rho }$ – плотность среды, ${{c}_{1}}$ и ${{c}_{2}}$ скорости продольных и поперечных волн, соответственно, $\left\{ {\sigma } \right\}$ – тензор напряжений, ${\delta }$ – дельта-функция Дирака. К компонентам вектора перемещения применяются преобразования Лапласа (по переменной t) и Фурье (по переменной x):

$~{{\bar {u}}_{j}}\left( {p,x,y} \right) = \mathop \smallint \limits_0^\infty {{u}_{j}}\left( {t,x,y} \right){{e}^{{ - pt}}}dt;\quad \operatorname{Re} p > 0$

$~\bar {u}_{j}^{*}\left( {p,q,y} \right) = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty {{\bar {u}}_{j}}\left( {{\text{\;}}p,x,y} \right){{e}^{{iqx}}}dx;\quad ~{\text{Im}}q = 0$

В результате компоненты перемещения представляются в виде [3]:

$\begin{gathered} \bar {u}_{x}^{*} = ~\frac{{Iqi}}{{\mu c_{1}^{2}R\left( {p,q} \right)}}\left[ {\left( {\frac{{{{p}^{2}}}}{{c_{2}^{2}}} + 2{{q}^{2}}} \right){{e}^{{y\sqrt {\frac{{{{p}^{2}}}}{{c_{1}^{2}}} + {{q}^{2}}} }}} - 2\sqrt {\left( {\frac{{{{p}^{2}}}}{{c_{1}^{2}}} + {{q}^{2}}} \right)\left( {\frac{{{{p}^{2}}}}{{c_{2}^{2}}} + {{q}^{2}}} \right)} {{e}^{{y\sqrt {\frac{{{{p}^{2}}}}{{c_{2}^{2}}} + {{q}^{2}}} }}}} \right]{\text{\;}} \\ \bar {u}_{y}^{*} = \frac{{I\sqrt {\frac{{{{p}^{2}}}}{{c_{1}^{2}}} + {{q}^{2}}} }}{{\mu c_{1}^{2}R\left( {p,q} \right)}}\left[ {\left( {\frac{{{{p}^{2}}}}{{c_{2}^{2}}} + 2{{q}^{2}}} \right){{e}^{{y\sqrt {\frac{{{{p}^{2}}}}{{c_{1}^{2}}} + {{q}^{2}}} }}} - 2{{q}^{2}}{{e}^{{y\sqrt {\frac{{{{p}^{2}}}}{{c_{2}^{2}}} + {{q}^{2}}} }}}} \right], \\ \end{gathered} $

где $R\left( {p,q} \right) = {{\left( {\frac{{{{p}^{2}}}}{{c_{2}^{2}}} + 2{{q}^{2}}} \right)}^{2}} - 4{{q}^{2}}\sqrt {\left( {\frac{{{{p}^{2}}}}{{c_{1}^{2}}} + {{q}^{2}}} \right)\left( {\frac{{{{p}^{2}}}}{{c_{2}^{2}}} + {{q}^{2}}} \right)} $.

C учетом того, что имеется следующая простая связь

$\left( {\frac{{{{p}^{2}}}}{{{{q}^{2}}c_{1}^{2}}} + 1} \right) = \frac{{с_{2}^{2}}}{{с_{1}^{2}}}\left( {\frac{{{{p}^{2}}}}{{{{q}^{2}}c_{2}^{2}}} + 1} \right) + \left( {1 - \frac{{с_{2}^{2}}}{{с_{1}^{2}}}} \right),$

приведенные выше решения могут быть представлены через функции определенного вида:

$\bar {u}_{k}^{*} = \frac{I}{{{\mu }c_{1}^{2}}}{{e}^{{y\sqrt {\frac{{{{p}^{2}}}}{{c_{k}^{2}}} + {{q}^{2}}} }}}\frac{1}{q}f\left( {\sqrt {\frac{{{{p}^{2}}}}{{{{q}^{2}}c_{k}^{2}}} + 1} } \right)$

Их можно преобразовать к следующему виду:

(1.4)

$\bar {u}_{k}^{*} = \frac{{I{{c}_{k}}}}{{{\mu }c_{1}^{2}}}\frac{{{{e}^{{y\sqrt {\frac{{{{p}^{2}}}}{{c_{k}^{2}}} + {{q}^{2}}} }}}}}{{\sqrt {{{p}^{2}} + c_{k}^{2}{{q}^{2}}} }}\left[ {\sqrt {\frac{{{{p}^{2}}}}{{{{q}^{2}}c_{k}^{2}}} + 1} } \right]f\left( {\sqrt {\frac{{{{p}^{2}}}}{{{{q}^{2}}c_{k}^{2}}} + 1} } \right)$

Используя формулу обращения:

$\frac{1}{{\sqrt {{{p}^{2}} + {{\alpha }^{2}}} }}{{e}^{{ - {\tau }\sqrt {{{p}^{2}} + {{\alpha }^{2}}} }}} \div {{{\text{J}}}_{0}}(\alpha \sqrt {{{t}^{2}} - {{\tau }^{2}}} )H\left( {t - {\tau }} \right),$

где знак $ \div $ обозначает переход от изображения к оригиналу и наоборот.

Применим формулу Эфроса для определения оригинала Лапласа функции (1.4),

(1.5)

$u_{k}^{*} = \frac{{I{{c}_{k}}}}{{{\mu }c~_{1}^{2}}}\mathop \smallint \limits_0^\infty \,{\Omega *}\left( {t,q,y,{\tau }} \right)d{\tau ,}$

где

(1.6)

$\Omega {\text{*}}\left( {t,q,y,{\tau }} \right) = \left\{ \begin{gathered} F\left( {\tau } \right){{{\text{J}}}_{0}}\left( {\sqrt {c_{k}^{2}{{t}^{2}}{{q}^{2}} - {{{\left( {\frac{{\tau }}{q} - y} \right)}}^{2}}{{q}^{{2~}}}} } \right)H\left( {{{c}_{k}}t - \left( {\frac{{\tau }}{q} - y} \right)} \right),\quad ~q > 0 \hfill \\ \bar {F}\left( {\tau } \right){{{\text{J}}}_{0}}\left( {\sqrt {c_{k}^{2}{{t}^{2}}{{q}^{2}} - {{{\left( {\frac{{\tau }}{q} + y} \right)}}^{2}}{{q}^{{2~}}}} } \right)H\left( {{{c}_{k}}t - \left| {\frac{{\tau }}{q} + y} \right|} \right),\quad ~q < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Здесь $F\left( t \right)$ – является оригиналом функции-изображения $pf\left( p \right)$:

$F\left( t \right) \div {{L}^{{ - 1}}}\left[ {pf\left( p \right)} \right]$

и обозначен $\bar {F}\left( z \right) = \overline {F\left( {\bar {z}} \right)} $, $H$ – функция Хэвисайда. Преобразуем выражение (1.6) к виду:

${\Omega *}\left( {t,q,y,{\tau }} \right) = \left\{ \begin{gathered} F\left( {\tau } \right){{{\text{J}}}_{0}}(\sqrt {c_{k}^{2}{{t}^{2}} - {{y}^{2}}} \sqrt {{{{\left( {q - {\alpha }} \right)}}^{2}} - {{{\beta }}^{{2~}}}} )H\left[ {\left| {q - {\alpha }} \right| - {\beta }} \right],\quad ~q > 0 \hfill \\ \bar {F}\left( \tau \right){{{\text{J}}}_{0}}(\sqrt {c_{k}^{2}{{t}^{2}} - {{y}^{2}}} \sqrt {{{{\left( {q + {\alpha }} \right)}}^{2}} - {{{\beta }}^{2}}} )~H\left[ {\left| {q + {\alpha }} \right| - {\beta }} \right],\quad ~q < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

${\alpha } = \frac{{{\tau }y}}{{c_{k}^{2}{{t}^{2}} - {{y}^{2}}}},~\quad {\beta } = \frac{{t{\tau }{{c}_{k}}}}{{c_{k}^{2}{{t}^{2}} - {{y}^{2}}}}$

С помощью таблиц, приведенных в [7], можно определить оригинал функции ${\Omega *}\left( {t,q,y,{\tau }} \right)$ по преобразованию Фурье:

$\begin{gathered} \Omega (t,x,y,\tau ) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^\infty {{{e}^{{ - iqx}}}\Omega {\text{*}}(t,q,y,\tau )} = \\ = \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{{2\pi }}[{{e}^{{ - i\alpha x}}}F(\tau ) + {{e}^{{i\alpha x}}}\bar {F}(\tau )]\frac{1}{{\sqrt {c_{k}^{2}{{t}^{2}} - {{x}^{2}} - {{y}^{2}}} }}{{e}^{{ - \beta \sqrt {c_{k}^{2}{{t}^{2}} - {{x}^{2}} - {{y}^{2}}} }}}, \hfill \\ {\text{при}}\quad \left| x \right| < \sqrt {c_{k}^{2}{{t}^{2}} - {{y}^{2}}} \hfill \\ \frac{1}{{2\pi }}[{{e}^{{ - i\alpha x}}}F(\tau ) + {{e}^{{i\alpha x}}}\bar {F}(\tau )]\frac{1}{{\sqrt {{{x}^{2}} + {{y}^{2}} - c_{k}^{2}{{t}^{2}}} }}\sin [\beta \sqrt {{{x}^{2}} + {{y}^{2}} - c_{k}^{2}{{t}^{2}}} ] + \hfill \\ + \;i[{{e}^{{ - i\alpha x}}}F(\tau ) + {{e}^{{i\alpha x}}}\bar {F}(\tau )] \cdot \frac{1}{{\sqrt {{{x}^{2}} + {{y}^{2}} - c_{k}^{2}{{t}^{2}}} }}\cos [\beta \sqrt {{{x}^{2}} + {{y}^{2}} - c_{k}^{2}{{t}^{2}}} ], \hfill \\ {\text{при}}\quad \left| x \right| > \sqrt {c_{k}^{2}{{t}^{2}} - {{y}^{2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \\ \end{gathered} $

В итоге получим:

(1.7)

${\Omega }\left( {t,x,y,{\tau }} \right) = \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{{\pi }}\frac{{{\text{Re(}}{{e}^{{ - {\tau }{{s}_{k}}}}}F\left( {\tau } \right){\text{)}}}}{{\sqrt {{{t}^{2}}c_{k}^{2} - {{x}^{2}} - {{y}^{2}}} }};\quad {\text{если}}\quad ~\left| x \right| < \sqrt {{{t}^{2}}c_{k}^{2} - {{y}^{2}}} \hfill \\ - \frac{1}{\pi }\frac{{{\text{Im(}}{{e}^{{ - {\tau }s_{{k~}}^{*}}}}~F{\text{(}}\tau {\text{))}}}}{{\sqrt {{{x}^{2}} + {{y}^{2}} - {{t}^{2}}c_{k}^{2}} }};\quad {\text{если}}\quad ~\left| x \right| > \sqrt {{{t}^{2}}c_{k}^{2} - {{y}^{2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Окончательное выражение для компонентов перемещения получается из интеграла (1.5), который в данном случае представляет собой обычную формулу обращения Лапласа

(1.8)

$\begin{gathered} ~{{u}_{k}} = \frac{{I{{c}_{k}}}}{{{\mu }c_{1}^{2}}}\mathop \smallint \limits_0^\infty \,{\Omega }\left( {t,x,y,{\tau }} \right)d{\tau } = \\ ~ = \frac{{I{{c}_{k}}}}{{{\mu }c_{1}^{2}}}\left\{ \begin{gathered} \frac{1}{{\pi }}\frac{{\operatorname{Re} {{s}_{k}}f({{s}_{k}})}}{{\sqrt {{{t}^{2}}c_{k}^{2} - {{x}^{2}} - {{y}^{2}}} }};\quad ~{\text{при}}\quad ~\left| x \right| < \sqrt {{{t}^{2}}c_{k}^{2} - {{y}^{2}}} \hfill \\ - \frac{1}{{\pi }}\frac{{\operatorname{Im} s_{k}^{*}f(s_{k}^{*})}}{{\sqrt {{{x}^{2}} + {{y}^{2}} - {{t}^{2}}c_{k}^{2}} }};~\quad ~{\text{при}}\quad ~\left| x \right| > \sqrt {{{t}^{2}}c_{k}^{2} - {{y}^{2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \\ \end{gathered} $

где

${{s}_{k}} = \frac{{t{{c}_{k}}\sqrt {{{t}^{2}}c_{k}^{2} - {{x}^{2}} - {{y}^{2}}} + ixy}}{{{{t}^{2}}c_{k}^{2} - {{y}^{2}}}},\quad s_{k}^{*} = \frac{{t{{c}_{k}}\sqrt {{{x}^{2}} + {{y}^{2}} - {{t}^{2}}c_{k}^{2}} + xy}}{{{{t}^{2}}c_{k}^{2} - {{y}^{2}}}}i~$

Функция $pf\left( p \right)$, фигурирующая в формуле преобразования, теперь появляется и в функции оригинала с новым аргументом и коэффициентом. Этот результат позволяет сформулировать следующую теорему.

Теорема. Функция вида

(1.9)

${{f}_{k}}\left( {x,y,t} \right) = A\left\{ \begin{gathered} \frac{1}{{\pi }}\frac{{\operatorname{Re} F({{s}_{k}})}}{{\sqrt {{{t}^{2}}c_{k}^{2} - {{x}^{2}} - {{y}^{2}}} }};\quad ~{\text{при}}\quad ~\left| x \right| < \sqrt {{{t}^{2}}c_{k}^{2} - {{y}^{2}}} \hfill \\ - \frac{1}{{\pi }}\frac{{{\text{Im}}F(s_{k}^{*})}}{{\sqrt {{{x}^{2}} + {{y}^{2}} - {{t}^{2}}c_{k}^{2}} }};\quad ~{\text{при}}\quad ~\left| x \right| > \sqrt {{{t}^{2}}c_{k}^{2} - {{y}^{2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

является решением волнового уравнения:

(1.10)

$\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{t}^{2}}}} = c_{k}^{2}{\Delta }u;~$

кроме того, она является прообразом функции двукратного преобразования (Лапласа и Фурье) следующего вида:

$\bar {f}_{k}^{*}\left( {q,y,p} \right) = A\frac{{{{e}^{{y\sqrt {\frac{{{{p}^{2}}}}{{c_{k}^{2}}} + {{q}^{2}}} }}}}}{{\sqrt {{{p}^{2}} + c_{k}^{2}{{q}^{2}}} }}F\left( {\sqrt {\frac{{{{p}^{2}}}}{{{{q}^{2}}c_{k}^{2}}} + 1} } \right),\quad y \leqslant 0,$

где $A$ – постоянная задачи.

Как показывает простое вычисление, функции вида $\operatorname{Re} F({{s}_{k}})$ и $\operatorname{Im} F(s_{k}^{*})$ с нулевыми порядками также удовлетворяют волновому уравнению (1.10). Это свидетельствует о том, что они образуют совершенно новый тип функционально-инвариантных решений Смирнова–Соболева и, соответственно, обладают всеми свойствами этих решений [8]. При этом функции (1.9) на фронте волны $\sqrt {{{x}^{2}} + {{y}^{2}}} = t{{c}_{k}}$, имея особенность степени 1/2, являются решениями порядка (–1) этого же семейства. Необходимо отметить, что данное однородное решение этого порядка обнаружено впервые, и что решение задачи Лэмба, полученное на основе представленной выше теоремы, полностью совпадает с решением, приведенным в [3].

Заключение. Найден новый тип функционально-инвариантных решений Смирнова-Соболева для волновых уравнений. Эти решения обладают свойством сохранения своего вида при переходе к двукратным интегральным преобразованиям Лапласа и Фурье. Благодаря данному свойству, полученные решения могут быть использованы в решении многих задач математической физики.

Список литературы

Lamb H. On the propagation of tremors over the surface of an elastic solid // Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1904. V. A203. P. 1–42.
Broberg K.B. Cracks and Fracture. London: Acad. Press, 1999. 705 p.
Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986, 328 с.
Kravtsov A.V., Kuznetsov S.V., Sekerzh-Zen’kovich S.Ya. Finite element models in Lamb’s problem // Mech. Solids. 2011. V. 46. № 6. P. 952–959.
Il’yasov Kh.Kh., Kravtsov A.V., Kuznetsov S.V., Sekerzh-Zen’kovich S.Ya. Exterior 3D Lamb problem: harmonic load distributed over a surface // Mech. Solids. 2016. V. 51. № 1. P. 39–45.
Kuznetsov S.V., Terentjeva E.O. Planar internal Lamb problem: waves in the epicentral zone of a vertical power source // Acoust. Phys. 2015. V. 61. № 3. P. 356–367.
Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционные исчисления. М.: Наука, 1961. 524 с.
Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1974. 672 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Прикладная математика и механика

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал