1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Прикладная математика и механика
  4. T. 85, № 4, 2021

Прикладная математика и механика, 2021, T. 85, № 4, стр. 503-515

Об устойчивости лагранжевых решений в пространственной близкой к круговой ограниченной задаче трех тел

А. П. Маркеев 1, 2, *

1 Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Москва, Россия

2 Московский авиационный институт (НИУ)
Москва, Россия

* E-mail: anat-markeev@mail.ru

Поступила в редакцию 15.01.2021
После доработки 11.03.2021
Принята к публикации 15.03.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается ограниченная задача трех тел (материальных точек). Предполагается, что орбиты основных притягивающих тел представляют собой эллипсы малого эксцентриситета, а пассивно гравитирующее тело при своем движении может выходить из плоскости орбит основных тел (пространственная задача). Исследуется устойчивость движения этого тела, отвечающего треугольным лагранжевым точкам либрации. Характерной особенностью рассматриваемой пространственной задачи является наличие резонанса, обусловленного равенством периода кеплеровского движения основных тел и периода линейных колебаний пассивно гравитирующего тела по направлению, перпендикулярному плоскости их орбит. При помощи методов классической теории возмущений, КАМ-теории и алгоритмов компьютерной алгебры исследована нелинейная задача об устойчивости для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий и задача о формальной устойчивости (устойчивости в любом сколь угодно высоком конечном приближении относительно координат и импульсов возмущенного движения).

Ключевые слова: ограниченная задача трех тел, треугольные точки либрации, устойчивость

Уравнения движения ограниченной задачи трех тел допускают [1, 2] пять точных решений, для которых три тела либо располагаются вдоль одной прямой (прямолинейные точки либрации, открытые Л. Эйлером в 1757 г. [3]), либо образуют равносторонний треугольник, лежащий в плоскости орбит основных притягивающих тел (треугольные точки либрации, их существование показано Ж. Лагранжем в 1772 г. [4]).

Задаче об устойчивости точек либрации и о характере близких к ним движений посвящено очень много исследований. Достаточно подробное обсуждение полученных результатов содержится в публикациях [2, 5–11] и в приведенной в них библиографии.

К настоящему времени значительное развитие получили задача о решениях, аналогичным точкам либрации, в случае произвольного числа тел [12–15], а также задача о существовании и устойчивости точек либрации при учете светового давления [16–18].

Исследования о точках либрации представляют не только теоретический интерес. Существуют проекты запуска искусственных спутников в окрестности точек либрации Солнечной системы и, прежде всего, системы Земля–Луна, направленные на использование точек либрации для решения практических задач космических исследований. Ряд таких проектов уже осуществлен [19–21].

Цель статьи состоит в численно-аналитическом исследовании нелинейной задачи об устойчивости треугольных точек либрации в случае, когда эксцентриситет орбит основных тел мал, а пассивно гравитирующее тело может совершать произвольное пространственное движение вблизи точек либрации.

1. Введение. Расмотрим три тела (материальные точки) ${{P}_{1}}$, ${{P}_{2}}$ и ${{P}_{3}}$, движущиеся под действием гравитационного притяжения по закону Ньютона. Считаем, что масса точки ${{P}_{3}}$ пренебрежимо мала по сравнению с массами ${{m}_{1}}$ и ${{m}_{2}}$ точек ${{P}_{1}}$ и ${{P}_{2}}$, и, следовательно, движение точки ${{P}_{2}}$ относительно точки ${{P}_{1}}$ определяется из задачи двух тел (материальных точек). Пусть орбита точки ${{P}_{2}}$ в ее движении относительно точки точки ${{P}_{1}}$ является эллипсом с эксцентриситетом $e$.

Через $X,Y,Z$ обозначим координаты точки ${{P}_{3}}$ в системе координат $OXYZ$ с началом в центре масс тел ${{P}_{1}}$ и ${{P}_{2}}$ и осью $OX$, направленной по прямой ${{P}_{1}}{{P}_{2}}$ в сторону точки ${{P}_{2}}$; направление кратчайшего поворота оси $OX$ к оси $OY$совпадает с направлением вращения точки ${{P}_{2}}$ относительно ${{P}_{1}}$. Пусть $R$ – расстояние между точками ${{P}_{1}}$ и ${{P}_{2}}$. Введем координаты Нехвилла $x = X{\text{/}}R$, $y = Y{\text{/}}R$, $z = Z{\text{/}}R$, а в качестве независимой переменной примем истинную аномалию $\nu $ в эллиптическом движении точки ${{P}_{2}}$. Дифференциальные уравнения движения точки ${{P}_{3}}$ можно получить [1, 2] в форме канонических уравнений с функцией Гамильтона $\Gamma $ вида

$\Gamma = \frac{1}{2}(p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}) + {{p}_{x}}y - {{p}_{y}}x + \frac{{e\cos \nu }}{{2(1 + e\cos \nu )}}({{x}^{2}} + {{y}^{2}} + {{z}^{2}}) + \frac{1}{{1 + e\cos \nu }}\Pi $
(1.1)
$\Pi = - \frac{{1 - \mu }}{{{{R}_{1}}}} - \frac{\mu }{{{{R}_{2}}}},\quad \mu = \frac{{{{m}_{2}}}}{{{{m}_{1}} + {{m}_{2}}}}\quad \left( {0 < \mu \leqslant \frac{1}{2}} \right)$
${{R}_{1}} = \sqrt {{{{(x + \mu )}}^{2}} + {{y}^{2}} + {{z}^{2}}} {\text{ }},\quad {{R}_{2}} = \sqrt {{{{(x + \mu - 1)}}^{2}} + {{y}^{2}} + {{z}^{2}}} $

Соответствующие этой функции уравнения движения допускают следующее решение

(1.2)
${{x}_{0}} = \frac{{1 - 2\mu }}{2},\quad {{y}_{0}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2},\quad {{z}_{0}} = 0,\quad {{p}_{{{{x}_{0}}}}} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2},\quad {{p}_{{{{y}_{0}}}}} = \frac{{1 - 2\mu }}{2},\quad {{p}_{{{{z}_{0}}}}} = 0,$
отвечающее треугольной точке либрации.

Введем возмущения ${{u}_{j}}$, ${{{v}}_{j}}$ $(j = 1,2,3)$, положив

$x = {{x}_{0}} + {{u}_{1}},\quad y = {{y}_{0}} + {{u}_{2}},\quad z = {{u}_{{\text{3}}}},\quad {{p}_{x}} = {{p}_{{{{x}_{0}}}}} + {{{v}}_{1}},\quad {{p}_{y}} = {{p}_{{{{y}_{0}}}}} + {{{v}}_{2}},\quad {{p}_{z}} = {{{v}}_{3}}$

В переменных ${{u}_{j}}$, ${{{v}}_{j}}$ невозмущенное движение (1.2) будет положением равновесия ${{u}_{j}} = {{{v}}_{j}}{\text{ }} = {\text{0}}$.

Линейным уравнениям возмущенного движения отвечает квадратичная часть ${{\Gamma }_{2}}$ в разложении функции Гамильтона (1.1) в ряд по степеням ${{u}_{j}}$, ${{{v}}_{j}}$

(1.3)
$\Gamma = {{\Gamma }_{{\text{2}}}}{\text{ }} + {{\Gamma }_{{\text{3}}}} + {{\Gamma }_{4}} + \cdots ,$
где ${{\Gamma }_{m}}$ – форма степени $m$ относительно ${{u}_{j}}$, ${{{v}}_{j}}$ с $2\pi $-периоическими по $\nu $ коэффициентами. Не зависящее от ${{u}_{j}}$, ${{{v}}_{j}}$ слагаемое в (1.3) отброшено.

В случае круговой задачи ($e = 0$) точки либрации устойчивы в первом приближении, если параметр $\mu $ лежит в интервале

$0 < \mu < {{\mu }_{*}} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt {69} }}{{18}} = 0.03852...$

При малых $e$ из точки $\mu = {{\mu }_{0}}$

${{\mu }_{0}} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{3} = 0.02860...$
этого интервала исходит область неустойчивости (область параметрического резонанса) [1, 2]. Далее будем считать, что $\mu $ лежит в одном из интервалов

(1.4)
$0 < \mu < {{\mu }_{0}}\quad {\text{или}}\quad {{\mu }_{0}} < \mu < {{\mu }_{*}}$

Для таких значений μ треугольные точки либрации ограниченной эллиптической задачи трех тел устойчивы в первом (линейном) приближении, если эксцентриситет $e$ достаточно мал. Для $\mu > {{\mu }_{*}}$ точки либрации при малых $e$ неустойчивы по Ляпунову (не только в линейном приближении, но и в строгой нелинейной постановке задачи об устойчивости) [1, 2].

При $e = 0$ частоты малых колебаний в окрестности точек либрации равны ${{\omega }_{1}}$, ${{\omega }_{2}}$ и 1, причем ${{\omega }_{1}}$ и ${{\omega }_{2}}$ являются корнями уравнения

(1.5)
${{\omega }^{4}} - {{\omega }^{2}} + \frac{{27}}{4}\mu (1 - \mu ) = 0$

В рассматриваемых областях (1.4) изменения параметра $\mu $ величины ${{\omega }_{1}}$ и ${{\omega }_{2}}$ удовлетворяют неравенствам

(1.6)
$1 > {{\omega }_{1}} > \sqrt 2 {\text{/}}2 > {{\omega }_{2}} > 0,\quad {{\omega }_{2}} \ne 1{\text{/}}2$

Для значений $\mu $ из промежутков (1.4) характеристические показатели, определяемые линейными уравнениями с $2\pi $-периодическими коэффициентами, задаваемыми квадратичной частью ${{\Gamma }_{2}}$ функции Гамильтона возмущенного движения (1.3), будут при малых $e$ чисто мнимыми величинами $ \pm i{{\lambda }_{j}}$ $(j = 1,2,3)$, где $i$ – мнимая единица, а ${{\lambda }_{j}}$ – вещественные числа любого знака (причем $\left| {{{\lambda }_{3}}} \right| = {\text{1}}$ при любых $\mu $ и $e$). Если величины ${{\lambda }_{j}}$ таковы, что

(1.7)
${{k}_{1}}{{\lambda }_{1}} + {{k}_{2}}{{\lambda }_{2}} + {{k}_{3}}{{\lambda }_{3}} = N,$
где $N,\;{{k}_{1}},\;{{k}_{2}},\;{{k}_{3}}$ – целые числа, причем $\left| {{{k}_{1}}} \right| + \left| {{{k}_{2}}} \right| + \left| {{{k}_{3}}} \right| = k$, то в изучаемой системе реализуется резонанс порядка $k$. В задаче об устойчивости наиболее важными являются резонансы низких порядков (до четвертого порядка включительно).

Отметим, что изучаемая в данной статье пространственная задача при любых значениях параметров μ и $e$ является резонансной, так как $\left| {{{\lambda }_{3}}} \right| = {\text{1}}$. Для случая плоской задачи, когда пассивно гравитирующая точка ${{P}_{3}}$ во все время движения остается в плоскости орбит основных точек ${{P}_{1}}$ и ${{P}_{2}}$, в резонансном соотношении (1.7) следует положить ${{k}_{3}} = 0$ и оно принимает вид

(1.8)
${{k}_{1}}{{\lambda }_{1}} + {{k}_{2}}{{\lambda }_{2}} = N$

Для значений $\mu $ из промежутков (1.4) при достаточно малых $e$ все шесть корней характеристического уравнения матрицы монодромии линейных уравнений возмущенного движения с функцией Гамильтона ${{\Gamma }_{2}}$ имеют модули, равные единице, а сама матрица приводится к диагональной форме. Поэтому [22] точки либрации устойчивы в первом (линейном) приближении. При строгом же решении вопроса об устойчивости необходим нелинейный анализ. Для его осуществления целесообразно сначала преобразовать квадратичную часть ${{\Gamma }_{2}}$ функции (1.3) к вещественной нормальной форме. Это можно сделать [23] при помощи линейной, аналитической по $e$ канонической замены переменных ${{u}_{j}},{{{v}}_{j}} \to {{y}_{j}},{{Y}_{j}}$. Эта замена осуществляется в два этапа. Сначала делается замена ${{u}_{j}},{{{v}}_{j}} \to {{x}_{j}},{{X}_{j}}$, приводящая функцию ${{\Gamma }_{2}}$ в случае круговой задачи (когда $e = 0$) к сумме гамильтонианов трех, не связанных один с другим, гармонических осцилляторов с частотами ${{\omega }_{1}},\;{{\omega }_{2}}$ и 1. А затем при помощи метода Депри–Хори теории возмущений [24, 25] делается линейная, $2\pi $-периоическая по $\nu $ каноническая замена переменных ${{x}_{j}},{{X}_{j}} \to {{y}_{j}},{{Y}_{j}}$, задаваемая сходящимися при малых $e$ рядами. Преобразованная к нормальным координатам ${{y}_{j}},\;{{Y}_{j}}$ функция ${{\Gamma }_{2}}$ имеет вид [23]

(1.9)
${{H}_{2}} = \frac{1}{2}\sum\limits_{j = 1}^3 {{{\lambda }_{j}}(y_{j}^{2} + Y_{j}^{2})} $
(1.10)
${{\lambda }_{1}} = {{\omega }_{1}} + O({{e}^{2}}),\quad {{\lambda }_{2}} = - {{\omega }_{2}} + O({{e}^{2}}),\quad {{\lambda }_{3}} = 1,$
где величины $O({{e}^{2}})$ – не зависящие от $\nu $ функции параметров $\mu $ и $e$.

Далее исследуется нелинейная задача об устойчивости невозмущенного движения ${{u}_{j}} = {{{v}}_{j}} = 0$ $(j = 1,2,3)$. Будет рассмотрена устойчивость для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий ${{u}_{j}}(0)$, ${{{v}}_{j}}(0)$ и формальная устойчивость (устойчивость при учете в разложении (1.3) форм ${{\Gamma }_{m}}$ до сколь угодно высокой конечной степени).

2. Устойчивость для большинства начальных условий (см. [26–30]). В рассматриваемых интервалах (1.4) изменения параметра $\mu $ в случае плоской эллиптической задачи малого эксцентриситета возможны пять резонансов (1.8) третьего и восемь резонансов четвертого порядка ([2], стр. 155 и 156). Задача об устойчивости для большинства начальных условий в плоском случае при отсутствии этих резонансов рассмотрена в гл. 9 книги [2]. Обзор недавних исследований можно найти в работе [31].

Ниже исследуется вопрос об устойчивости для большинства начальных условий в случае пространственной эллиптической задачи при малых значениях эксцентриситета $e$. Предполагается, что значения параметров $\mu $ и $e$ лежат вне кривых резонансов третьего и четвертого порядков.

2.1. О нормальной форме функции Гамильтона (1.3), вычисленной до членов четвертого порядка включительно. После линейного преобразования ${{u}_{j}},{{{v}}_{j}} \to {{y}_{j}},{{Y}_{j}}$, приводящего квадратичную часть функции (1.3) к нормальной форме (1.9), сделаем, следуя [2], близкое к тождественному $2\pi $-периодическое по $\nu $, аналитическое относительно $e$ и ${{q}_{j}},{{p}_{j}}$ нелинейное каноническое преобразование ${{y}_{j}},{{Y}_{j}} \to {{q}_{j}},{{p}_{j}}$. Это преобразование приводит функцию Гамильтона возмущенного движения к ее нормальной форме с точностью до членов четвертой степени включительно относительно ${{q}_{j}},{{p}_{j}}$. Показано [2], что новым переменным отвечает функция Гамильтона вида

(2.1)
$\begin{gathered} H = {{\lambda }_{1}}{{r}_{1}}{\text{ }} + {{\lambda }_{2}}{{r}_{2}} + {{r}_{3}} + {{f}_{{200}}}r_{1}^{2} + {{f}_{{110}}}{{r}_{1}}{{r}_{2}} + {{f}_{{020}}}r_{2}^{2} + \\ + \;({{f}_{{101}}}{{r}_{1}} + {{f}_{{011}}}{{r}_{2}} + {{f}_{{002}}}{{r}_{3}}){{r}_{3}} + H{\kern 1pt} ' \\ \end{gathered} $

Здесь ${{\varphi }_{j}},{{r}_{j}}$ – симплектические полярные координаты:

${{q}_{j}} = \sqrt {2{{r}_{j}}} \sin {{\varphi }_{j}},\quad {{p}_{j}} = \sqrt {2{{r}_{j}}} \cos {{\varphi }_{j}}\quad (j = 1,2,3),$
а $H{\kern 1pt} ' = O({{({{r}_{1}} + {{r}_{2}} + {{r}_{3}})}^{{5/2}}})$ – $2\pi $-периодическая относительно ${{\varphi }_{j}}$ и $\nu $ функция. Коэффициенты ${{f}_{{200}}},{{f}_{{110}}},{{f}_{{020}}}$ не зависят от $\nu $, причем

(2.2)
${{f}_{{200}}} = {{с}_{{200}}}(\mu ) + O({{e}^{2}}),\quad {{f}_{{110}}} = {{с}_{{110}}}(\mu ) + O({{e}^{2}}),\quad {{f}_{{020}}} = {{с}_{{020}}}(\mu ) + O({{e}^{2}})$
(2.3)
$\begin{gathered} {{с}_{{200}}} = \frac{{\omega _{2}^{2}(124\omega _{1}^{4} - 696\omega _{1}^{2} + 81)}}{{144{{{(1 - 2\omega _{1}^{2})}}^{2}}(1 - 5\omega _{1}^{2})}} \\ {{с}_{{110}}} = - \frac{{{{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}(64\omega _{1}^{2}\omega _{2}^{2} + 43)}}{{6(1 - 2\omega _{1}^{2})(1 - 2\omega _{2}^{2})(1 - 5\omega _{1}^{2})(1 - 5\omega _{2}^{2})}} \\ {{с}_{{020}}} = \frac{{\omega _{1}^{2}(124\omega _{2}^{4} - 696\omega _{2}^{2} + 81)}}{{144{{{(1 - 2\omega _{2}^{2})}}^{2}}(1 - 5\omega _{2}^{2})}} \\ \end{gathered} $

Выражения (2.3) впервые получены в работе [32].

Остальные три коэффициента квадратичной относительно ${{r}_{1}},\;{{r}_{2}},\;{{r}_{3}}$ части функции (2.1) зависят от переменных $\nu $ и ${{\varphi }_{3}}$, от ${{\varphi }_{1}}$ и ${{\varphi }_{2}}$ они не зависят. Их структура такова:

${{f}_{{101}}} = {{с}_{{101}}}(\mu ) + {{x}_{{101}}} + {{y}_{{101}}}\sin 2\varphi + {{z}_{{101}}}\cos 2\varphi $
(2.4)
${{f}_{{002}}} = {{с}_{{002}}}(\mu ) + {{x}_{{002}}} + {{y}_{{002}}}\sin 2\varphi + {{z}_{{002}}}\cos 2\varphi + {{u}_{{002}}}\sin 4\varphi + {{{v}}_{{002}}}\cos 4\varphi $
${{f}_{{011}}} = {{с}_{{011}}}(\mu ) + {{x}_{{011}}} + {{y}_{{011}}}\sin 2\varphi + {{z}_{{011}}}\cos 2\varphi \quad \varphi = {{\varphi }_{3}} - \nu $

Величины $x,\;y,\;z,\;u,\;{v}$ с индексами – функции от $\mu $ и $e$. Все они имеют порядок ${{e}^{2}}$, кроме ${{u}_{{002}}}$ и ${{{v}}_{{002}}}$, которые имеют порядок ${{e}^{4}}$. Величины ${{с}_{{101}}}$, ${{с}_{{011}}}$ и ${{с}_{{002}}}$ вычисляются по формулам из статьи [33]:

(2.5)
$\begin{gathered} {{с}_{{101}}} = - \frac{{8{{\omega }_{1}}\omega _{2}^{2}}}{{3(1 - 2\omega _{1}^{2})(4 - \omega _{1}^{2})}} \\ {{с}_{{011}}} = \frac{{8\omega _{1}^{2}{{\omega }_{2}}}}{{3(1 - 2\omega _{2}^{2})(4 - \omega _{2}^{2})}} \\ {{с}_{{002}}} = - \frac{{\omega _{1}^{2}\omega _{2}^{2}}}{{3(4 - \omega _{1}^{2})(4 - \omega _{2}^{2})}} \\ \end{gathered} $

Функцию (2.1) можно упростить , сделав каноническую замену переменных

${{\varphi }_{1}} \to {{\psi }_{1}},\quad {{\varphi }_{2}} \to {{\psi }_{2}},\quad {{\varphi }_{{\text{3}}}} \to \nu + {{\psi }_{3}},\quad {{r}_{{\text{j}}}} \to {{r}_{j}}\quad (j = 1,2,3)$

Новая функция Гамильтона не будет содержать ${{r}_{{\text{3}}}}$ в ее линейной относительно ${{r}_{j}}$ части, а в функциях ${{f}_{{101}}},{{f}_{{011}}},{{f}_{{002}}}$ величины $2({{\varphi }_{3}} - \nu )$ и $4({{\varphi }_{3}} - \nu )$ заменяются на $2{{\psi }_{3}}$ и $4{{\psi }_{3}}$, соответственно. Таким образом, получим преобразованную функцию Гамильтона

(2.6)
$H = {{\lambda }_{1}}{{r}_{1}} + {{\lambda }_{2}}{{r}_{2}} + {{f}_{{200}}}r_{1}^{2} + {{f}_{{110}}}{{r}_{1}}{{r}_{2}} + {{f}_{{020}}}r_{2}^{2} + {{f}_{{101}}}{{r}_{1}}{{r}_{3}} + {{f}_{{011}}}{{r}_{2}}{{r}_{3}} + {{f}_{{002}}}r_{3}^{2} + H{\kern 1pt} '',$
где $H{\kern 1pt} '' = O({{({{r}_{1}} + {{r}_{2}} + {{r}_{3}})}^{{5/2}}})$ – $2\pi $-периодическая по $\nu ,{{\psi }_{1}},{{\psi }_{2}},{{\psi }_{3}}$ функция; коэффициенты ${{f}_{{101}}},{{f}_{{011}}},{{f}_{{002}}}$ в (2.6) зависят только от $\mu ,e,{{\psi }_{3}}$, от $\nu $ они не зависят.

Отбросив в (2.6) величину $H{\kern 1pt} ''$, получим систему с укороченной функцией Гамильтона $h = H - H{\kern 1pt} ''$. При достаточно малых $e$ равновесие ${{r}_{1}} = {{r}_{2}} = {{r}_{3}} = 0$ этой системы устойчиво по Ляпунову. Это легко усмотреть [2], так как при $e = 0$ имеем

(2.7)
${{f}_{{002}}} = {{с}_{{002}}}(\mu ) = - \frac{{3\mu (1 - \mu )}}{{16 + 9\mu (1 - \mu )}} < 0$

При малых $e$ движение, описываемое укороченным гамильтонианом имеет колебательный характер.

2.2. Выражение укороченного гамильтониана через переменные действия. При малых $e$ введем переменные действия ${{I}_{1}},{{I}_{2}},{{I}_{3}}$ и запишем укороченный гамильтониан $H - H{\kern 1pt} ''$ через эти переменные.

Так как в укороченной системе углы ${{\psi }_{1}},{{\psi }_{2}}$ циклические, то переменные ${{I}_{1}},{{I}_{2}}$ – это соответствующие импульсы ${{r}_{1}},{{r}_{2}}$ и из интеграла $H - H{\kern 1pt} '' = h = \operatorname{const} $ следует, что

(2.8)
${{f}_{{101}}}{{r}_{1}}{{r}_{3}} + {{f}_{{011}}}{{r}_{2}}{{r}_{3}} + {{f}_{{002}}}r_{3}^{2} = \tilde {h} = \operatorname{const} $
(2.9)
$\tilde {h} = h - ({{\lambda }_{1}}{{I}_{1}} + {{\lambda }_{2}}{{I}_{2}} + {{f}_{{200}}}I_{1}^{2} + {{f}_{{110}}}{{I}_{1}}{{I}_{2}} + {{f}_{{020}}}I_{2}^{2})$

Из (2.8) находим

(2.10)
${{r}_{3}} = \sqrt {\frac{{\tilde {h}}}{{{{f}_{{002}}}}}} - \frac{1}{{2{{f}_{{002}}}}}({{f}_{{101}}}{{I}_{1}} + {{f}_{{011}}}{{I}_{2}}) + O({{({{I}_{1}} + {{I}_{2}})}^{2}})$

Третья из переменных действие ${{I}_{3}}$ определяется равенством

(2.11)
${{I}_{3}} = \frac{1}{{2\pi }}\oint {{{r}_{3}}} d{{\psi }_{3}},$
где интеграл вычисляется по кривой, отвечающей колебательному движению в окрестности равновесия при заданных ${{I}_{1}},{{I}_{2}}$ и $h$. Из (2.10), (2.11) и равенств (2.4) получаем

(2.12)
${{I}_{3}} = \sqrt {\frac{{\tilde {h}}}{{{{c}_{{002}}}}}} - \frac{1}{{2{{c}_{{002}}}}}({{c}_{{101}}}{{I}_{1}} + {{c}_{{011}}}{{I}_{2}}) + O({{({{I}_{1}} + {{I}_{2}})}^{2}}) + O({{e}^{2}})$

Отсюда и из (2.9) (с учетом равенств (1.10) и (2.4)) получаем искомое выражение укороченного гамильтониана через переменные действия:

(2.13)
$h = {{\omega }_{1}}{{I}_{1}} - {{\omega }_{2}}{{I}_{2}} + {{c}_{{200}}}I_{1}^{2} + {{c}_{{110}}}{{I}_{1}}{{I}_{2}} + {{c}_{{020}}}I_{2}^{2} + {{c}_{{101}}}{{I}_{1}}{{I}_{3}} + {{c}_{{011}}}{{I}_{2}}{{I}_{3}} + {{c}_{{002}}}I_{3}^{2}$

В (2.13) отброшены члены выше второй степени относительно ${{I}_{1}},{{I}_{2}},{{I}_{3}}$, а во всех коэффициентах отброшены слагаемые порядка ${{e}^{2}}$ и выше.

2.3. Устойчивость для большинства начальных условий. Достаточное условие устойчивости для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий записывается в виде следующего неравенства [29, 30]:

(2.14)
${{D}_{3}} = \det \left\| {\frac{{{{\partial }^{2}}h}}{{\partial {{I}_{i}}\partial {{I}_{j}}}}} \right\|_{{i,j = 1}}^{3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {2{{c}_{{200}}}}&{{{c}_{{110}}}}&{{{c}_{{101}}}} \\ {{{c}_{{110}}}}&{2{{c}_{{020}}}}&{{{c}_{{011}}}} \\ {{{c}_{{101}}}}&{{{c}_{{011}}}}&{2{{c}_{{002}}}} \end{array}} \right| \ne 0$

Проведя некоторые преобразования, учитывающие выражения (2.3), (2.5) и уравнение (1.5), для определителя (2.14) можно получить такое представление:

(2.15)
${{D}_{3}} = - \frac{f}{{7776{{{(u - 4)}}^{2}}{{{(4u - 25)}}^{2}}{{{(12u + 1)}}^{2}}}},$
где
(2.16)
$u = \frac{1}{{\omega _{1}^{2}\omega _{2}^{2}}} = \frac{4}{{27\mu (1 - \mu )}},$
а $f$ – многочлен четвертой степени относительно $u$,

$f = 66\,258\,000{{u}^{4}} - 637\,971\,912{{u}^{3}} + 1\,253\,184\,093{{u}^{2}} - 299\,701\,528u + 384\,400.$

Корни ${{u}_{s}}$ ${\text{(}}s = {\text{1,2,3,4)}}$ этого многочлена таковы:

${{u}_{1}} = 0.0012 \ldots ,\quad {{u}_{2}} = 0.2755 \ldots ,\quad {{u}_{3}} = 2.3222 \ldots ,\quad {{u}_{4}} = 7.0295 \ldots $

Но в рассматриваемых промежутках (1.4) изменения параметра $\mu $ для величины $u$ из (2.16) имеет место неравенство $u > 4$. Поэтому из четырех корней смыслу задачи отвечает наибольший корень ${{u}_{4}}$. Точное выражение для этого корня записывается через радикалы:

${{u}_{4}} = \frac{{\sqrt {\alpha - \gamma \sqrt \beta \sin (\chi + \pi /6)} + \sqrt {\alpha + \gamma \sqrt \beta \sin (\chi - \pi /6)} + \sqrt {\alpha + \gamma \sqrt \beta \cos \chi } }}{{3\,681\,000}}$
$\alpha = 35\,799\,685\,470\,091,\quad \beta = 153\,175\,407\,602\,285\,586\,489,\quad \gamma = 2750$
$\chi = \frac{1}{3}\arccos \left( {\frac{{3\,684\,223\,905\,679\,758\,932\,447\,679}}{{305\,225\,753\,078\,723\sqrt \beta }}} \right)$

Найденному значению ${{u}_{4}}$ корня уравнения ${{D}_{3}} = 0$ соответствует значение $\mu = {{\mu }_{{*{\kern 1pt} *}}}$, где

(2.17)
${{\mu }_{{*{\kern 1pt} *}}} = 0.02154 \ldots $

Таким образом показано, что, если $\mu \ne {{\mu }_{{*{\kern 1pt} *}}} + O({{e}^{2}})$, то при достаточно малых значениях $e$ условие устойчивости для большинства начальных условий выполнено.

Если параметры $\mu $ и $e$ не лежат на кривой $\mu = {{\mu }_{{*{\kern 1pt} *}}} + O({{e}^{2}})$, на которой ${{D}_{3}} = 0$, то большинство траекторий ${{u}_{j}}(\nu )$, ${{{v}}_{j}}(\nu )$ $(j = 1,2,3)$ системы с функцией Гамильтона (1.3), удовлетворяющих в начальный момент $\nu = 0$ условию $I(0) = \sum\nolimits_{j = 1}^3 {(u_{j}^{2}(0)} $ + ${v}_{j}^{2}(0)) < \varepsilon $, при всех $\nu $ остается в малой окрестности невозмущенного движения ${{u}_{j}} = {{{v}}_{j}} = 0$. Множество начальных условий упомянутого “большинства” имеет относительную меру, не меньшую $1 - O({{\varepsilon }^{{1/4}}})$.

Траектории начинающиеся в дополнении к множеству “большинства” начальных условий, могут, вообще говоря, уйти далеко от их начального положения. Но, как показано Н. Нехорошевым [34–36], при отсутствии резонансов (1.7) до некоторого достаточно высокого порядка, почти для всякой системы с функцией Гамильтона (1.3) существуют положительные числа $a$ и $b$ такие, что отклонение величины $I(\nu )$ от ее начального значения $I(0)$ не превосходит величину порядка ${{\varepsilon }^{b}}$ при всех $\nu $, удовлетворяющих неравенству

$0 \leqslant \nu \leqslant \frac{1}{\varepsilon }\exp \left( {\frac{1}{{{{\varepsilon }^{a}}}}} \right)$

Функции, для которых эти оценки не имеют места , представляют собой очень редкое исключение: коэффициенты разложения в ряд этих функций должны удовлетворять бесконечному числу независимых алгебраических уравнений. Эти исключительные функции не удовлетворяют некоторым (довольно громоздко формулируемым) требованиям, названными в [34–36] условиями крутизны.

3. Формальная устойчивость (см. [37–44]). Понятие формальной устойчивости введено Ю. Мозером для гамильтоновых систем, обладающих знакоопределенным формальным интегралом, представляющим собой степенной ряд, возможно расходящийся. Это понятие является очень важным при исследовании устойчивости на конечном (но очень большом) интервале времени. Наличие формальной устойчивости означает, что неустойчивость по Ляпунову (если она в рассматриваемой задаче есть) не обнаруживается при учете в разложении функции Гамильтона членов до сколь угодно большого (но конечного) порядка относительно координат и импульсов возмущенного движения. При наличии формальной устойчивости, если и существуют тректории, уходящие далеко от невозмущенного движения, то движение по ним происходит крайне медленно. Соответствующие оценки получены Ю. Мозером [38, 39], К. Зигелем [41], Дж. Глиммом [42], Н. Нехорошевым [35, 36] и др. (см [30, 44]).

Формальная устойчивость лагранжевых решений плоской эллиптической задачи исследована ранее ([2], гл. 9). В этом разделе рассматривается пространственная задача.

Будем предполагать, что эксцентриситет $e$ – малая величина и для любых целых ${{k}_{1}},{{k}_{2}},N$ параметры $\mu $ и $e$ лежат вне резонансных кривых (1.8); тогда в изучаемой системе возможен только один резонанс ${{\lambda }_{3}} = 1$ (тождественный, существующий в пространственной задаче при всех $\mu $ и $e$). Покажем, что при сделанных предположениях лагранжевы решения формально устойчивы.

После описанной в разд. 1 линейной замены переменных ${{u}_{j}},{{{v}}_{j}} \to {{y}_{j}},{{Y}_{j}}$, приводящей квадратичную часть функции Гамильтона (1.3) к ее нормальной форме (1.9), сделаем близкое к тождественному нелинейное $2\pi $-периодическое по $\nu $ каноническое преобразование ${{y}_{j}},{{Y}_{j}} \to {{\xi }_{j}},{{\eta }_{j}}$, которое приводит функцию (1.3) к ее нормальной форме во всех порядках относительно новых переменных ${{\xi }_{j}},{{\eta }_{j}}$. Это преобразование аналогично аналитическому преобразованию ${{y}_{j}},{{Y}_{j}} \to {{q}_{j}},{{p}_{j}}$ предыдущего раздела, но в отличие от него задается формальными (возможно, расходящимися) рядами. Не останавливаясь на подробностях, отметим только, что нормализованная функция Гамильтона не содержит форм нечетной степени относительно ${{\xi }_{j}},\;{{\eta }_{j}}$ $(j = 1,2,3)$.

Нормальную форму удобно представить в симплектических полярных координатах ${{\theta }_{j}},{{\rho }_{j}}$

${{\xi }_{j}} = \sqrt {2{{\rho }_{j}}} \sin {{\theta }_{j}},\quad {{\eta }_{j}} = \sqrt {2{{\rho }_{j}}} \cos {{\theta }_{j}}{\text{ }}\quad (j = 1,2,3){\text{ }}$

Несложно показать, что нормальная форма не зависит от углов ${{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}}$, а от ${{\theta }_{3}}$ она будет зависеть только через посредство комбинации ${{\theta }_{3}} - \nu $. Эта комбинация содержится в нормальной форме в виде синусов и косинусов от величины $2p{\text{ }}({{\theta }_{3}} - \nu )$, где $p{\text{ }} = {\text{0,1,2,3,}} \ldots $ Такая структура нормальной формы обусловлена наличием тождественного резонанса и тем, что сумма показателей степеней возмущений ${{u}_{3}}$ и ${{{v}}_{3}}$ в каждом члене разложения (1.3) является четным числом. Нормализованную функцию Гамильтона можно записать в следующем виде:

(3.1)
$H = {{\lambda }_{1}}{{\rho }_{1}}{\text{ }} + {{\lambda }_{2}}{{\rho }_{2}} + {{\rho }_{3}} + \sum\limits_{r = 2}^\infty {{\text{ }}\sum\limits_{l + m + n = r} {{{a}_{{lmn}}}} } {\text{ }}\rho _{1}^{l}\rho _{2}^{m}\rho _{3}^{n}$

Здесь ${{a}_{{lmn}}}$ – функции от $\mu $, $e$ и ${{\theta }_{3}} - \nu $, причем ${{a}_{{lm0}}} = {{d}_{{lm0}}}(\mu ,e)$ зависит только от $\mu $, $e$, а при $n \geqslant 1$

(3.2)
${{a}_{{lmn}}} = {{d}_{{lmn}}}(\mu ,e) + \sum\limits_{p = 1}^n {\left\{ {c_{{lmn}}^{{(p)}}(\mu ,e)\cos [2p({{\theta }_{3}} - \nu )] + s_{{lmn}}^{{(p)}}(\mu ,e)\sin [2p({{\theta }_{3}} - \nu )]} \right\}} $

При малых $e$ справедливы равенства

(3.3)
${{d}_{{lm0}}} = {{с}_{{lm0}}}(\mu ) + O({{e}^{2}}),\quad {{d}_{{lmn}}} = {{с}_{{lmn}}}(\mu ) + O({{e}^{2}}),\quad c_{{lmn}}^{{(p)}}{\text{ }} = O({{e}^{{2p}}}{\text{),}}\quad s_{{lmn}}^{{(p)}}{\text{ }} = O({{e}^{{2p}}}{\text{)}}$

Если вместо ${{\theta }_{3}}$ ввести переменную $\theta + \nu $, а остальные переменные ${{\rho }_{1}},{{\rho }_{2}},{{\rho }_{3}}$ оставить без изменения, то в нормальной форме (3.1) исчезает ${{\rho }_{3}}$ из части, линейной относительно ${{\rho }_{1}},{{\rho }_{2}},{{\rho }_{3}}$, а сама функция Гамильтона не будет содержать независимую переменную $\nu $:

(3.4)
$H = {{\lambda }_{1}}{{\rho }_{1}}{\text{ }} + {{\lambda }_{2}}{{\rho }_{2}} + \sum\limits_{r = 2}^\infty {{\text{ }}\sum\limits_{l + m + n = r} {{{a}_{{lmn}}}} } {\text{ }}\rho _{1}^{l}\rho _{2}^{m}\rho _{3}^{n},$
где по-прежнему ${{a}_{{lm0}}} = {{d}_{{lm0}}}(\mu ,e)$, а при $n \geqslant 1$

(3.5)
${{a}_{{lmn}}} = {{d}_{{lmn}}} + \sum\limits_{p = 1}^n {\left[ {c_{{lmn}}^{{(p)}}\cos 2p\theta + s_{{lmn}}^{{(p)}}\sin 2p\theta } \right]} $

Система с функцией Гамильтона (3.4) имеет три формальных интеграла ${{\rho }_{1}} = \operatorname{const} $, ${{\rho }_{2}} = \operatorname{const} $ и $H = \operatorname{const} $. Для доказательства формальной устойчивости рассмотрим функцию

$V = \rho _{1}^{2} + \rho _{2}^{2} + {{(H - {{\lambda }_{1}}{{\rho }_{1}} - {{\lambda }_{2}}{{\rho }_{2}})}^{2}}$

При малых ${{\rho }_{1}},{{\rho }_{2}},{{\rho }_{3}}$ ее можно записать в виде

(3.6)
$V = \rho _{1}^{2} + \rho _{2}^{2} + {{\left[ {\sum\limits_{l + m + n = 2} {{{a}_{{lmn}}}\rho _{1}^{l}\rho _{2}^{m}\rho _{3}^{n} + O\left( {{{{({{\rho }_{1}} + {{\rho }_{2}} + {{\rho }_{3}})}}^{3}}} \right)} } \right]}^{2}}$

При ${{\rho }_{1}} = {{\rho }_{2}} = 0$ выражение в квадратных скобках в правой части равенства (3.6) равно ${{a}_{{002}}}\rho _{3}^{2} + O(\rho _{3}^{3})$, где, согласно (3.2)–(3.5), ${{a}_{{002}}} = {{с}_{{002}}}(\mu ) + O({{e}^{2}})$. Но, в соответствии с (2.7), величина ${{с}_{{002}}}(\mu ) < 0$. Поэтому для каждого из рассматриваемых значений (1.4) параметра $\mu $ при достаточно малых $e$ функция $V$ неотрицательна, причем $V = 0$ только при ${{\rho }_{1}} = {{\rho }_{2}} = {{\rho }_{3}} = 0$, то есть $V$ – формальный определенно-положительный интеграл. Формальная устойчивость доказана.

Заключение. Исследована устойчивость треугольных лагранжевых решений пространственной слабоэллиптической ограниченной задачи трех тел для значений параметра $\mu $, лежащих в областях (1.4) устойчивости в первом приближении.

1. Для значений параметров $\mu ,e$, лежащих вне кривых (1.8) резонансов третьего и четвертого порядков и не попадающих на кривую вырождения $\mu = {{\mu }_{{*{\kern 1pt} *}}} + O({{e}^{2}})$ нормальной формы (2.13) (${{\mu }_{{*{\kern 1pt} *}}}$ задается равенством (2.17)), доказана устойчивость для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий. Вопрос об устойчивости на кривой вырождения должен решаться при учете в нормальной форме функции Гамильтона членов не ниже шестой степени относительно координат и импульсов возмущенного движения.

2. В предположении об отсутствии резонансов (1.8) плоской задачи до сколь угодно высокого порядка доказана формальная устойчивость.

Работа выполнена за счет гранта Российского научного фонда (проект № 19-11-00116) в Московском авиационном институте (Национальном исследовательском университете) и в Институте проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН.

Список литературы

  1. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М.: Наука, 1978. 456 с.

  2. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978. 312 с.

  3. Euler L. De motu rectilineo trium corporum se mutuo attrahentum // Novi Comm. Acad. Sci. Imp. Petrop. 1767. V. 11. P. 144–151.

  4. Lagrange J.L. Essai sur le Problème des Trois Corps. Oeuvres de Lagrange. V. 6. Paris: Gauthier  Villars, 1873. P. 229–324.

  5. Ляпунов А.М. Об устойчивости движения в одном частном случае задачи о трех телах. Собр. соч., Т. 1. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956. С. 327–401.

  6. Danby J.M.A. Stability of the triangular points in the elliptic restricted problem of three bodies // Astron. J. 1964. V. 69. Iss. 2. P. 165–172.

  7. Giacaglia G.E.O. Characteristics exponents at L4 and L5 in the elliptic restricted problem of three bodies // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 1971. V. 4. Iss. 3/4. P. 468–489.

  8. Nayfeh A.H., Kamel A.A. Stability of the triangular points in the elliptic restricted problem of three bodies // AIAA J. 1970. V. 8. Iss. 2. P. 221–223.

  9. Юмагулов М.Г., Беликова О.Н. Бифуркация 4π-периодических решений плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел // Астрон. ж. 2009. Т. 86. № 2. С. 170–174.

  10. Kovacs T. Stability chart of the triangular points in the elliptic restricted problem of three bodies // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2013. V. 430. Iss. 4. P. 2755–2760.

  11. Исанбаева Н.Р. О построении границ областей устойчивости треугольных точек либрации плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел // Вестн. Башкирск. унив. Математика и механика. 2017. Т. 22. № 1. С. 5–9.

  12. Симо К. Периодические траектории плоской задачи N тел с равными массами и телами, движущимися по одной и той же траектории // Сб. работ “Относительные равновесия. Периодические решения”. М.; Ижевск: Инст. компьют. исслед., 2006. С. 175–201.

  13. Whipple A.L., Szebehely V. The restricted problem of $n + v$ bodies // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 1984. V. 32. Iss. 2. P. 137–144.

  14. Budzko D.A., Prokopenya A.N. On the stability of equilibrium positions in the circular restricted four-body problem // in: Computer Algebra in Scientific Computing. LNCS. V. 6885 / Ed. by Gerdt V.P. et all. Heidelberg: Springer, 2011. P. 88–100.

  15. Гребеников Е.А. Математические проблемы гомографической динамики. М.: Изд-во РУДН, 2011. 254 с.

  16. Куницын А.Л., Турешбаев А.Т. Устойчивость треугольных точек либрации фотогравитационной задачи трех тел // Письма в Астрон. ж. 1985. Т. 11. № 2. С. 145–148.

  17. Лукьянов Л.Г., Кочеткова А.Ю. Об устойчивости лагранжевых точек либрации в ограниченной эллиптической фотогравитационной задаче трех тел // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 1996. № 5. С. 71–76.

  18. Зимовщиков А.С., Тхай В.Н. Диаграммы устойчивости для гетерогенного ансамбля частиц в коллинеарных точках либрации фотогравитационной задачи трех тел // ПММ. 2010. Т. 74. Вып. 2. С. 221–229.

  19. Кононенко А. Точки либрации системы Земля–Луна // Авиация и космонавтика. 1968. № 5. С. 71–73.

  20. Аверкиев Н.Ф., Васьков С.А., Салов В.В. Баллистическое построение систем космических аппаратов связи и пассивной радиолокации лунной поверхности // Изв. вузов. Приборостроение. 2008. Т. 51. № 12. С. 66–72.

  21. Salazar F., Winter O., Macau E., Masdemont J., Gomez G. Natural configuration for formation flying around triangular libration points for the elliptic and the bicircular problem in the Earth – Moon System // The 65th Int. Astronautical Congress. Toronto, Canada. September 29–October 3, 2014. 14 p.

  22. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 530 с.

  23. Маркеев А.П. О нормальных координатах в окрестности лагранжевых точек либрации ограниченной эллиптической задачи трех тел // Вестн. Удмурт. унив. Математика. Механика. Компьют. науки. 2020. Т. 30. № 4. С. 657– 671.

  24. Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, 1979. 320 с.

  25. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 456 с.

  26. Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // Докл. АН СССР. 1954. Т. 98. № 4. С. 527–530.

  27. Арнольд В.И. Доказательство теоремы А.Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // УМН. 1963. Т. 18. № 5. С. 13–40.

  28. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // УМН. 1963. Т. 18. № 6. С. 91–192.

  29. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Эдиториал УРСС, 1999. 408 с.

  30. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: Эдиториал УРСС, 2002. 414 с.

  31. Lhotka Ch., Efthymiopoulos C., Dvorak R. Nekhoroshev stability at L4 or L5 in the elliptic-restricted three-body problem–application to Trojan asteroids // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2008. V. 384. P. 1165–1177.

  32. Deprit A., Deprit-Bartholomé A. Stability of the triangular Lagrangian points // Astron. J. 1967. V. 72. № 2. P. 173–179.

  33. Маркеев А.П. Об устойчивости треугольных лагранжевых решений пространственной круговой ограниченной задачи трех тел // Астрон. ж. 1971. Т. 48. № 4. С. 862–868.

  34. Нехорошев Н.Н. О поведении гамильтоновых систем, близких к интегрируемым // Функц. анализ и его прил. 1971. Т. 5. № 4. С. 82–83.

  35. Нехорошев Н.Н. Экспоненциальная оценка времени устойчивости гамильтоновых систем, близких к интегрируемым // УМН. 1977. Т. 32. № 6. С. 5–66.

  36. Нехорошев Н.Н. Экспоненциальная оценка времени устойчивости гамильтоновых систем, близких к интегрируемым. II // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 1979. № 5. С. 5–50.

  37. Moser J. New aspects in the theory of stability of Hamiltonian systems // Comm. Pure Appl. Math. 1958. V. 11. № 1. P. 81–114.

  38. Moser J. Stabilitätsverhalten Kanonischer Differentialgleichungs Systeme // Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. IIa. 1955. № 6. S. 87–120.

  39. Moser J. On the elimination of the irrationality condition and Birkhoff’s concept of complete stability // Bol. Soc. Mat. Mexicana. 1960. V. 5. P. 167–175.

  40. Moser J. Stability of the asteroids // Astron. J. 1958. V. 63. № 10. P. 439–443.

  41. Зигель К.Л. Лекции по небесной механике. М.: Изд-во иностр. лит., 1959. 300 с.

  42. Glimm J. Formal stability of Hamiltonian systems // Comm. Pure Appl. Math. 1964. V. 17. № 4. P. 509–526.

  43. Брюно А.Д. О формальной устойчивости систем Гамильтона // Матем. заметки. 1967. Т. 1. № 3. С. 325–330.

  44. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел. Плоские периодические орбиты. М.: Наука, 1990. 215 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Прикладная математика и механика

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал