Прикладная математика и механика, 2022, T. 86, № 5, стр. 710-723

1. Введение. Акустические свойства искусственной упругой среды с цилиндрическими каналами, центры которых совпадают с узлами правильной треугольной сетки, можно найти, решая осесимметричную задачу о распространении упругих волн вдоль трубки с радиально-закрепленной внешней цилиндрической поверхностью, которая приближенно заменяет шестигранную поверхность, окружающую канал.

Идея создания и первый приближенный расчет такой среды принадлежат Г.Д. Малюжинцу. В работе В.В. Тютекина [1] дана точная теория распространения осесимметричных упругих волн в безграничном волноводе типа “трубка”. Дальнейшие исследования этих вопросов изложены в работе А.Е. Вовк [2]. Получено точное решение для частного случая “трубки” конечного размера в работе [3].

Теория Г.Д. Малюжинца основана на применении принципа наименьшего действия Гамильтона–Остроградского и гипотезы плоских сечений и в этом отношении подобна расчету А. Лява ([4], § 278, с. 446) для продольных волн в стержне, учитывающему поправку Рэлея ([5], § 157, с. 273) на инерцию поперечного движения.

2. Вывод уравнения движения. Изложенная ниже приближенная теория также базируется на принципе наименьшего действия и гипотезе плоских сечений, которая состоит в предположении, что осевые смещения частиц ${{U}_{z}}$ во времени $t$ не зависят от радиуса r, т.е. любое поперечное сечение трубки остается при движении плоским:

Радиальные смещения зададим, следуя Г.Д. Малюжинцу, в виде

где $A = \operatorname{const} $, значение которой определим позже, ${{r}_{1}}$ – внешний радиус трубки, штрих над $f(z,t)$ означает производную по координате $z$.

Отличными от нуля компонентами тензоров деформаций и напряжений для осесимметричного случая будут ([6], с. 13, 23):

где $\lambda $ – первый коэффициент Ламе, $\mu $ – модуль сдвига материала трубки.

Заданная форма смещений (2.1), (2.2) удовлетворяет требуемым граничным условиям на внешней поверхности трубки

На свободной внутренней поверхности трубки радиуса ${{r}_{0}}$ должны выполняться условия

где $\varepsilon = r_{0}^{2}{\text{/}}r_{1}^{2}$ – коэффициент перфорации. Если, следуя Г.Д. Малюжинцу, положить то условие (2.7) выполнится точно. Лучше, однако, выбрать значение A из других соображений, приведенных ниже. При этом условия (2.6) и (2.7) будут выполняться лишь приближенно при соответствующих ограничениях, что станет ясно из дальнейшего.

Найдем кинетическую $T$ и упругую $E$ энергии отрезка трубки длиною $h$ по формулам:

где $\rho $ – плотность материала трубки, ${{\varepsilon }_{1}}(r,z,t)$ – упругая энергия единицы объема трубки, имеющая вид ([6], с. 21)

Вычисления дадут:

где

Применим к решению задачи, которая состоит теперь в отыскании функции $f(z,t)$, принцип наименьшего действия Гамильтона–Остроградского

где $W$ – работа внешних сил, действующих на торцах отрезка трубки; $\delta $ – символ вариации величины при малых произвольных изохронных вариациях вектора смещения $\delta \vec {U}$; ${{t}_{1}}$, ${{t}_{2}}$ – произвольные моменты времени. Подставив выражения (2.9) и (2.10) в формулу (2.11) и после варьирования, изменения порядка интегрирования и интегрирования по частям с учетом условия $\delta \vec {U}({{t}_{1}}) = \delta \vec {U}({{t}_{2}}) = 0$, получим

Вариация работы внешних сил $\delta W$ есть линейная форма от вариаций $\delta f = \delta {{U}_{z}}$ и $\delta f{\kern 1pt} '\sim \delta {{U}_{r}}$, взятых при $z = 0$ и $z = h$. В силу произвольности всех вариаций в выражении (2.12) каждый интеграл в отдельности должен обращаться в нуль. Тогда первый интеграл дает уравнение движения

а второй содержит два динамических граничных условия, которые зависят от характера осесимметричных напряжений, действующих на торцевых сечениях трубки, и от способа закрепления этих сечений.

Будем считать, что к торцевым сечениям трубки примыкают тонкие жесткие пластинки. Через них на трубку можно воздействовать извне только давлениями $P(0,t)$ и $P(h,t)$, работа которых запишется в виде

откуда

Рассмотрим два крайних варианта крепления таких пластинок на торцах трубки: без трения (“скользкая” пластинка) и жесткое крепление, или сцепление. В первом случае обращаются в нуль касательные напряжения ${{\sigma }_{{rz}}}$ между пластинкой и трубкой, т.е. в соответствии с формулой (2.3) должно выполняться граничное условие

В случае сцепления запрещены радиальные смещения в торцевом сечении трубки, что на основании формулы (2.2) дает граничное условие

Соответствующие динамические граничные условия найдем из выражения (2.12) с учетом (2.14):

для “скользкой” пластинки:

для случая сцепления:

При гармонических колебаниях, когда временна́я зависимость величин задана сокращаемым множителем ${{e}^{{ - i\omega t}}}$, где $i$ – мнимая единица, $\omega $ – круговая частота, уравнение движения (2.13) и динамические граничные условия (2.17), (2.18) для комплексных амплитуд запишем в виде

где

Введя дифференциальный оператор $\nabla \equiv d{\text{/}}dz$, уравнение (2.19) можно записать в виде

или

Общее решение этого уравнения может быть представлено суммой решений волновых уравнений

из которых первое определяет распространяющуюся волну с волновым числом $k$, а второе – неоднородную волну с волновым числом $\kappa $. Таким образом решение уравнения (2.19) для отрезка трубки следует искать в виде где ${{A}_{i}}$ произвольные постоянные, определяемые из граничных условий на торцах, а $k$ и $\kappa $ могут быть найдены из уравнений (2.20), (2.21).

3. Дисперсионное уравнение. Пока остается неопределенной постоянная $A$. Ее можно связать с волновым числом $k$ следующим образом. Возьмем точное уравнение в цилиндрических координатах для аксиальной составляющей смещения при осесимметричных движениях ([6], с. 126, (22.6))

Усредним его по площади сечения трубки $\pi \left( {r_{1}^{2} - r_{0}^{2}} \right)$ и, используя граничные условия (2.5) и (2.6), найдем:

где ${{\bar {U}}_{z}}$ – среднее по сечению трубки аксиальное смещение. Подставив в это точное уравнение заданную форму движения (2.1), (2.2), получим для гармонических колебаний волновое уравнение волновое число которого естественно отождествить с $k$:

Исключив из уравнений (2.20), (2.21), (3.1) $\kappa $ и $A$, найдем

где обозначено $n = k{\text{/}}{{k}_{l}}$ – показатель преломления перфорированной каналами среды относительно сплошной; ${{k}_{l}} = \omega \sqrt {\rho {\text{/}}\left( {\lambda + 2\mu } \right)} $ – волновое число для продольных волн в сплошной среде;

Постоянную $A$ найдем из формул (3.1)–(3.3):

Из формул (2.8), (3.6) и (3.2) при $\Omega \to 0$, получим:

что означает выполнение граничного условия (2.7) в квазистатическом случае.

Выражение (3.2) является приближенным дисперсионным уравнением для определения $k = n{{k}_{l}}$. Тогда получаем, что при $\Omega \to 0$

и как и должно быть для низкочастотных продольных волн, распространяющихся, соответственно этим предельным случаям, в сплошной среде ($\varepsilon = 0$) и в тонкой пластине ($\varepsilon \to 1$). Случаю $\Omega \to \infty $ соответствуют два варианта: $n \to 1$, т.е. $k(\infty ) \to {{k}_{l}}$ – продольная волна в сплошной среде; $n \to \sqrt {2\alpha } $, или где ${{k}_{t}}$ – волновое число для сдвиговых волн в сплошной среде.

Для вязкоупругих материалов (например, резин) модуль сдвига при гармонических колебаниях является комплексной функцией частоты:

где $\mu (\omega )$ – модуль сдвига, $\eta (\omega )$ – коэффициент сдвиговых потерь, величина которого обычно лежит в пределах $\eta (\omega ) = 0.1 \ldots 1.0$. Первый коэффициент Ламе $\lambda $ на звуковых и ультразвуковых частотах можно считать вещественной постоянной, причем $\lambda \gg \left| {\mu {\kern 1pt} *{\kern 1pt} (\omega )} \right|$. В связи с этим волновое число ${{k}_{l}}$, а также $a(\varepsilon )$ (3.5) будем с малой ошибкой полагать вещественными. Для вязкоупругих материалов допустим, что

Тогда дисперсионное уравнение (3.2) запишется в виде:

где в согласии с (3.3), (3.4) и (3.7)

Точное дисперсионное уравнение получено в работе [1]:

где а функция $\Phi (x)$ выражается через функции Бесселя и Неймана:

Выражение (3.9) следует из (3.11) в качестве низкочастотного приближения при $\left| U \right|$, $\left| V \right| \ll 1$. Используя в (3.12) представления цилиндрических функций рядами при $\left| x \right| \ll 1$ ([8], с. 415, 428), получим

Ограничившись только выписанными здесь членами в разложениях для функций $\Phi (U)$ и $\Phi (V)$ и подставив последние в уравнение (3.11), получим в точности формулу (3.9) [7]. При таком выводе она справедлива для вязкоупругих материалов, лишь когда

или

Фактически формула (3.9) была получена таким способом уже в работе [1] в качестве квазистатического приближения с рэлеевской поправкой.

В наиболее интересных случаях применения (для звукопоглощения), когда справедливы допущения: (3.8), $\left| {n{\kern 1pt} *} \right|\sim 1$, ${{k}_{l}}{{r}_{1}} \leqslant 1$, $\sqrt {2\varepsilon {\text{/}}\alpha } \ll 1$, $\varepsilon \ll 0.25$, можно считать, что $\left| U \right| \gg 1$, $\left| V \right| \ll 1$. Используя в формуле (3.12) для $\Phi (U)$ асимптотические представления цилиндрических функций [8, с. 449], а для $\Phi (V)$ – приближение (3.13), найдем:

Подставив (3.14), (3.15) в (3.11), при принятых допущениях снова придем к формуле (3.9) [7].

Учитывая (3.3)–(3.5), (3.10), представим зависимость (3.9) в виде

откуда

Величину $s{\kern 1pt} *$ можно назвать приведенной комплексной сжимаемостью перфорированной каналами среды [1]. Формула (3.16) подобна выражению для квадрата комплексного показателя преломления в теории дисперсии и абсорбции электромагнитных волн в разреженной среде, содержащей осцилляторы одного сорта, т.е. имеет обычный лоренцевский вид ([9], с. 56, (32.27)), ([10], § 156, с. 556). При этом $s{\kern 1pt} *$ является аналогом комплексной диэлектрической проницаемости такой среды, и поэтому $s{\kern 1pt} '$ и $s{\kern 1pt} ''$ должны быть связаны дисперсионными соотношениями Крамерса–Кронига ([11], § 82, с. 389, [12]).

На рис. 1 построены зависимости от ${{k}_{l}}{{r}_{1}}$ функций $s{\kern 1pt} '$ (3.17) и $s{\kern 1pt} ''$ (3.18) при $\alpha = 800$, $\eta = 1$, $\varepsilon = {{0.05}^{2}}$. Точками показаны значения этих величин для нулевой квазипродольной волны, вычисленные по точной теории в работе [2]. Видно хорошее совпадение. При $s{\kern 1pt} ' < 0$ мнимая часть $k{\kern 1pt} ''$ волнового числа $k* = {{k}_{l}}n{\kern 1pt} *$ превышает вещественную часть $k{\kern 1pt} '$. Из формулы (3.17) следует, что это возможно лишь при

в диапазоне частот, границы которого определяет соотношение откуда видно, что при уменьшении $\eta $ этот диапазон расширяется, но не может превысить разницы между частотой зарождения первой квазипродольной волны [2], соответствующей значению ${{\Omega }^{2}} = \Omega _{1}^{2}$ = $1 + \frac{{2\varepsilon \alpha }}{{1 + 3\varepsilon }}$, и собственной частотой канала при Ω = 1. Отношение $k{\kern 1pt} ''{\kern 1pt} {\text{/}}k{\kern 1pt} '$ максимально в центре диапазона при Ω² = 1 + $\frac{{\varepsilon \alpha }}{{1 + 3\varepsilon }}$ и составляет ${{\left( {k{\kern 1pt} ''{\kern 1pt} {\text{/}}k{\kern 1pt} '} \right)}_{{\max }}}$ = $\frac{{\varepsilon \alpha }}{{(1 + 3\varepsilon )\eta }}$. Это явление, которое можно назвать эффектом нераспространения, для среды с цилиндрическими каналами описано впервые в работе [13]. Аналогичное явление известно в электродинамике сплошных сред ([11], § 84, с. 399).

Рисунок 2 демонстрирует степень совпадения расчетных приближенных значений $n{\kern 1pt} '({{k}_{l}}{{r}_{1}})$ и $n{\kern 1pt} ''({{k}_{l}}{{r}_{1}})$ с точными из работы [2] при $\alpha = 125$, $\eta = 0.5$, $\varepsilon = {{0.05}^{2}}$. Условие (3.19) здесь не выполняется и поэтому везде $n{\kern 1pt} ' > n{\kern 1pt} ''$, т.е. эффект нераспространения отсутствует.

Из формулы (3.16) с учетом (3.3)–(3.5), (3.10) найдем выражение для волнового числа:

где ${{\omega }_{p}} = \frac{2}{{{{R}_{{\operatorname{eq} }}}}}\sqrt {\mu ({{\omega }_{p}}{\text{)/}}\rho } $ – собственная круговая частота канала, ${{R}_{{\operatorname{eq} }}} = 2{{r}_{0}}\sqrt {b(\varepsilon ){\text{/}}a(\varepsilon )} $.

При $\sqrt \varepsilon \leqslant 0.3$ достаточно хороша приближенная формула $\sqrt {b(\varepsilon ){\text{/}}a(\varepsilon )} $ = $\frac{1}{2}\sqrt {\ln \frac{1}{\varepsilon } - 1.5} $. Для заданного значения ${{r}_{1}}$ собственная частота канала минимальна при $\varepsilon = {{\varepsilon }_{0}}$ = 0.11 и слабо зависит от ${{r}_{0}}$ в широком диапазоне относительно больших значений $\varepsilon $, возрастая до бесконечности как при $\varepsilon \to 0$, так и при $\varepsilon \to 1$. Такое же значение ${{\omega }_{p}}$ получено в теории Г.Д. Малюжинца. Значение параметра ${{k}_{t}}{{r}_{0}}$ на резонансе: ${{({{k}_{t}}{{r}_{0}})}_{p}} = \sqrt {a(\varepsilon ){\text{/}}b(\varepsilon )} $.

Эффективные комплексные параметры дисперсных микронеоднородных сред – волновое число $\tilde {\kappa }$, сжимаемость $\tilde {k}$, плотность $\tilde {\rho }$ – связаны соотношением ${{\tilde {\kappa }}^{2}} = {{\omega }^{2}}\tilde {k}\tilde {\rho }$. Некоторые такие среды обладают резонансными свойствами, например, вода с газовыми пузырьками ([14], с. 379), резина с полостями, резина с твердыми включениями [15, 16]. В двух первых случаях за резонансные свойства отвечает комплексная сжимаемость $\tilde {k}$, тогда как $\tilde {\rho }$ – величина вещественная. В последнем случае наоборот: сжимаемость $\tilde {k}$ вещественна (при учете только вязких потерь), а резонансные свойства среды обусловлены ее комплексной плотностью $\tilde {\rho }$. Для таких сред, если они малоконцентрированные и монодисперсные, квадраты волновых чисел ${{\tilde {\kappa }}^{2}}$ выражаются такими же формулами, как (3.20).

Для вязкоупругих материалов согласно (3.6) и (3.10)

Поэтому при заданной форме движений (2.1), (2.2) для распространяющейся волны $\left( {\partial {\text{/}}\partial z \to ik{\kern 1pt} *} \right)$, используя зависимость (3.16), найдем:

Отсюда видно, что относительное радиальное движение стенок канала имеет два резонанса: на собственной частоте канала при ${{\Omega }^{2}} = 1$ и на частоте зарождения первой квазипродольной волны при ${{\Omega }^{2}} = 1 + 2\varepsilon \alpha {\text{/}}\left( {1 + 3\varepsilon } \right)$. На низких и высоких частотах радиальное движение стенок канала ослабевает.

Из формул (2.3), (2.4), (3.16), (3.21) для распространяющихся волн получим:

При $\left| {n{\kern 1pt} *} \right|\sim 1$, $\eta \sim 1$ это отношение всегда много меньше единицы, в том числе и на резонансе канала, что позволяет считать граничное условие (2.6) выполняющимся приближенно на всех частотах.

Волновое число неоднородных волн $\kappa {\kern 1pt} *$ при известных $k{\kern 1pt} *$ (3.20) и $A{\kern 1pt} *$ (3.21) следует из уравнения (2.21):

При $\varepsilon \ll 1$, $\eta \sim 1$ на всех частотах $\left| {\kappa {\kern 1pt} *} \right| \gg \left| {k{\kern 1pt} *} \right|$, откуда следует, что область неоднородных волн вблизи торцов трубки весьма мала в сравнении с длиной продольной волны.

Входная акустическая проводимость трубки с тонкой жесткой пластинкой на торце согласно (2.1) имеет вид:

где $P(0)$ – звуковое давление на торец. Используя граничные условия (2.15)–(2.19) для определения (2.22), найдем входные проводимости полубесконечных ($h \to \infty $) трубок:

при пластинке без трения

при пластинке, приклеенной к торцу,

Здесь второй множитель в правой части отражает влияние радиального закрепления входной поверхности трубки. В первом же случае ролью свободного от касательных напряжений торца чаще всего можно пренебречь.

В работе [17] приведены результаты измерений на установке “Импульсная труба” акустических характеристик образцов разной длины из резины с цилиндрическими каналами. Предполагалось, что длина каждого образца обеспечивает выполнение условия $n{\kern 1pt} ''{\kern 1pt} {{k}_{l}}h > 2$, позволяющего считать образец полубесконечным. Каналы в образцах несквозные – “со стороны основания оставляется тонкая диафрагма (толщина ее около 0.5 мм)” [17]. Для каждого образца измеряли входную проводимость, приведенную к проводимости сплошной среды с волновым сопротивлением $\rho (1 - \varepsilon ){{c}_{l}}$, т.е.

где под $Y(0)$ следует понимать либо (3.22), либо (3.23) – в зависимости от предположения о характере колебаний торцевой поверхности образца, граничащей с водой. Тогда получим:

для “скользкой” пластинки:

для пластинки, приклеенной к торцу трубки:

На рис. 3 приведены средние по измерениям на 1–3 образцах значения $P$ (черные точки) и $Q$ (белые точки), аппроксимированные частотными зависимостями $P(f)$ и $Q(f)$ в виде полиномов пятой степени (сплошная линия). Подставив эти зависимости в левые части выражений (3.24) или (3.25), получим уравнения для нахождения комплексного модуля сдвига (3.7) резины образцов. В первом случае это уравнение квадратное, и значения $\mu {\text{*}}(f)$ относительно $P(f)$ и $Q(f)$ находятся точно. При этом на высоких частотах величина коэффициента сдвиговых потерь возрастает до $\eta (f) > 6$, что нереально и говорит о непригодности представления о “скользкой” пластинке на входном торце образца. Во втором случае уравнение для $\mu {\text{*}}(f)$ переходит в квадратное, лишь если пренебречь в знаменателе правой части (3.25) малым слагаемым ${{\left( {k{\text{*/}}\kappa {\text{*}}} \right)}^{2}}$, так что решение не будет точным. Его можно улучшить, умножив на близкий к единице комплексный линейный полином и варьируя коэффициенты последнего. Компоненты уточненного модуля сдвига $\mu {\text{*}}(f)$ показаны на рис. 4. Подстановка их в правую часть уравнения (3.25) дает представленные на рис. 3 пунктирные кривые, близкие к исходным $P(f)$ и $Q(f)$. Результат рис. 4 вполне реалистичен до частот $f \approx 20$ кГц и несколько сомнителен на высоких частотах, где данных о $\mu (f)$ и $\eta (f)$ в [17] нет.

Заключение. Показано, что для распространяющейся в вязкоупругой среде с цилиндрическими каналами звуковой волны дисперсионное уравнение имеет такую же форму, как для других известных резонансных микронеоднородных сред. Это тем более справедливо, чем меньше коэффициент перфорации $\varepsilon $ (объемная концентрация каналов). Поскольку теория учитывает неоднородные волны вблизи торцевых поверхностей трубки, она применима к перфорированным резиновым слоям произвольно малой толщины с двумя типами граничных условий на поверхностях слоев [18].

Развитую здесь теорию можно привлечь к измерениям упругих параметров вязкоупругих материалов с помощью “Импульсной трубы” или вибростола. При определении модуля сдвига резины образцов работы [17] более подходящим (как и в [18]) оказалось допущение о сцеплении входного торца трубки с тонкой жесткой пластинкой.