Прикладная математика и механика, 2022, T. 86, № 6, стр. 801-813

1. Введение. Понятие “гиростат” возникло в результате моделирования движения либо системы связанных твердых тел (У. Томсон [1], А. Грей [2], распределение масс которой не изменяется в течение времени), либо движения твердых тел, содержащих идеальную жидкость (Н.Е. Жуковский [3]). Дальнейшее развитие исследований движения гиростата получено в статьях В.В. Румянцева [4], Й. Виттенбурга [5] и П.В. Харламова [6]. В.В. Румянцев полагал, что гиростат можно трактовать как систему связанных твердых тел, которая содержит динамически и статически уравновешенные роторы. П.В. Харламов рассматривал систему связанных твердых тел, несомые тела которых вращаются вокруг своих осей динамической симметрии, несущих центры масс роторов. Задачу о движении гиростата более общего вида исследовал Й. Виттенбург. Тематика динамики гиростата рассмотрена во многих публикациях (см., например, [7–12]).

В силу того, что уравнения движения гиростата, имеющего неподвижную точку, являются неавтономными дифференциальными уравнениями, то их интегрирование целесообразно проводить с помощью методов инвариантных соотношений (ИС), предложенных Т. Леви-Чивитой [13] и П.В. Харламовым [14] (особенности этих методов изучены в монографии автора статьи [15]). В монографии [10] показано, что они наиболее эффективны в задачах об условиях существования прецессионных движений твердого тела и гиростата. Понятие таких движений в динамике твердого тела введено Д. Гриоли [16], а обзор результатов, установленных в задачах о движении гиростата в полях сложной структуры, указан в [17, 18]. Основной особенностью проведенных ранее исследований условий существования прецессий является подход, основанный на применении прецессионной подвижной системы координат [19]. В статье [20] при изучении прецессий гиростата использована главная система координат.

Данная статья посвящена рассмотрению более общего класса прецессий гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил по сравнению с [11], так как, в отличие от [11], здесь предполагается, что вектор, который образует в процессе движения гиростата постоянный угол с осью симметрии силовых полей, занимает произвольное положение в главной системе координат. Построено новое решение уравнений класса Кирхгофа–Пуассона, описывающее регулярную прецессию гиростата.

2. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в случае переменного гиростатического момента: ${\mathbf{\lambda }}(t) = ({{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},{{\lambda }_{3}}(t))$. Параметры ${{\lambda }_{1}}$ и ${{\lambda }_{2}}$ полагаем постоянными; ${{\lambda }_{3}}(t{\text{)}}\,$ – функция, зависящая от времени $t$. В гиростате введем главную систему координат $Oxyz$; $O$ – неподвижная точка тела-носителя; ${{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},{{\lambda }_{3}}{\text{(}}t{\text{)}}\,$ – компоненты гиростатического момента ${\mathbf{\lambda }}$ в этой системе координат; i₁, i₂, i₃ – единичные векторы осей $Ox$, $Oy$, $Oz$. Уравнения движения гиростата запишем в векторной форме [20–23]:

где ${\mathbf{\omega }} = ({{\omega }_{1}},{{\omega }_{2}},{{\omega }_{3}})$ – вектор угловой скорости гиростата; ${\mathbf{\nu }} = ({{\nu }_{1}},{{\nu }_{2}},{{\nu }_{3}})$ – единичный вектор оси симметрии силовых полей; A = $\operatorname{diag} ({{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}})$ – тензор инерции; B = diag(B₁, ${{B}_{2}},{{B}_{3}})$ – матрица, характеризующая гироскопические силы; C = $\operatorname{diag} ({{C}_{1}},{{C}_{2}},{{C}_{3}})$ – матрица, определяющая нелинейные по ${{\nu }_{i}}$ $(i = \overline {1,3} )$ потенциальные силы; $s = ({{s}_{1}},{{s}_{2}},{{s}_{3}})$ – вектор обобщенного центра масс гиростата; точка над переменными обозначает дифференцирование по времени. Применение ссылок перед формулами (2.1) связано с аналогией задачи о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил и задачи о движении твердого тела в жидкости. Запишем первые интегралы уравнений (2.1) где $k$ – произвольная постоянная.

Система (2.1), (2.2) является неавтономной системой дифференциальных уравнений относительно переменных ${{\omega }_{i}}(t)$, ${{\nu }_{i}}(t)$ $(i = \overline {1,3} )$, ${{\lambda }_{3}}(t)$. Поэтому ее интегрирование может быть основано на нескольких подходах. В данной статье применяется подход [23]. Он состоит в том, чтобы уравнения (2.1), (2.2) рассматривать совместно с уравнениями

где $D_{3}^{{}}$ – момент инерции ротора $S_{3}^{{}}$ относительно оси вращения $Oz$; $\dot {\kappa }(t)$ – угловая скорость $S_{3}^{{}}$; $L(t)$ – проекция сил и моментов, действующих на ротор $S_{3}^{{}}$ со стороны тела-носителя.

Следуя [24], зададим для уравнений (2.1), (2.2) три инвариантных соотношения (ИС):

где $\beta _{1}^{2} + \beta _{2}^{2} + \beta _{3}^{2} = 1$, то есть вектор ${\mathbf{\beta }} = ({{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}},{{\beta }_{3}})$ является единичным вектором; ${\kern 1pt} \varepsilon ({{\nu }_{3}})$, $g({{\nu }_{3}})$ – дифференцируемые функции переменной ${{\nu }_{3}}$. В векторном виде уравнения (2.4) можно записать так:

При выполнении равенства (2.5) уравнение Пуассона из (2.1) таково: ${\mathbf{\dot {\nu }}} = g({{\nu }_{3}})({\mathbf{\nu }} \times {\mathbf{\beta }})$. Отсюда в скалярном виде имеем:

Система дифференциальных уравнений (2.6) допускает два первых интеграла

где $c_{0}^{{}}$ – произвольная постоянная. Отметим, что случай $\beta _{3}^{{}} = 0$ рассмотрен в [11]. Из второго соотношения системы (2.7) следует, что ${\mathbf{\beta }} \cdot {\mathbf{\nu }} = {{c}_{0}}$. В силу $\left| {\mathbf{\beta }} \right| = 1$, $\left| {\mathbf{\nu }} \right| = 1$ параметр $\left| {{{c}_{0}}} \right| < 1$. Примем ${{\nu }_{3}}$ за независимую вспомогательную переменную. Тогда из системы (2.7) получим где $\kappa _{0}^{2} = \beta _{1}^{2} + \beta _{2}^{2}$, а функция $F{\text{(}}\nu _{3}^{{}})$ является квадратичной функцией переменной $\nu _{3}^{{}}$:

Подставляя ${{\nu }_{1}}({{\nu }_{3}})$, ${{\nu }_{2}}({{\nu }_{3}})$ из (2.8) в третье уравнение системы (2.6), устанавливаем, что функция ${{\nu }_{3}}(t)$ находится путем обращения интеграла

Функции ${{\omega }_{i}}(t)$ $(i = \overline {1,3} )$ определяются из системы (2.4) на основании равенств (2.8).

Покажем, что при выполнении условия ${{c}_{0}} < 1$ решение (2.8)–(2.10) действительно. Из равенства (2.9) следует, что $F{\text{(}}{{\nu }_{3}}) < {\text{0}}$ при $\left| {{{\nu }_{3}}} \right| \geqslant 1$. Обозначив $\mu _{0}^{{}} = \sqrt {1 - c_{0}^{2}} $, из уравнения $F{\text{(}}\nu _{3}^{{}}) = {\text{0}}$ имеем его корни в виде

которые принадлежат промежутку $\nu _{3}^{{}} \in ( - 1;1)$. То есть при изменении $\nu _{3}^{{}}$ на отрезке $\left[ {{{{({{\nu }_{3}})}}_{2}},{{{({{\nu }_{3}})}}_{1}}} \right]$, исключая его концы, функция $F{\text{(}}\nu _{3}^{{}})$ положительна.

Рассмотрим случай ${\kern 1pt} \varepsilon ({{\nu }_{3}}) = {{\varepsilon }_{0}}$, ${\kern 1pt} g({{\nu }_{3}}) = {{g}_{0}}$. Из равенств (2.4) получим

где ${{\varepsilon }_{0}}$ и ${{g}_{0}}$ – постоянные параметры. Введем обозначения

Тогда из соотношений (2.8)–(2.10) получим

где $\psi = g_{0}^{{}}t$ (в силу периодичности (2.14) начальное значение $t_{0}^{{}}$ положено равным нулю). Отметим вид обозначений (2.13) и соотношений при $\beta _{3}^{{}} = 0$, которые рассмотрены в [11] (очевидно $\kappa _{0}^{{}} = 1$):

Постановка задачи, которая исследуется в данной статье, состоит в изучении условий существования решения (2.12), (2.14) у динамического уравнения из (2.1).

Отметим, что отличие данной задачи от задачи, которая рассматривалась в статье [11], заключается в том, что здесь полагается $\beta _{3}^{{}} \ne 0$, а ${{\lambda }_{1}}$, ${{\lambda }_{2}}$ – постоянные параметры. В статье [11] указанные параметры приняты равными нулю.

3. Редукция первого уравнения (2.1) на ИС (2.4), (2.8). Запишем это уравнение в скалярной форме

Подставим значения (2.4) в уравнения (3.1)–(3.3). Принимая во внимание уравнения (2.6), получим

Рассмотрим случай (2.12), (2.14), исключая производные $\dot {\omega }_{i}^{{}}(t)$ $(i = \overline {1,3} )$, с учетом (2.6), представим уравнения (3.1)–(3.3) следующим образом:

Из второго соотношения системы (2.2) следует

где ${{k}_{*}} = 2{{k}_{0}} + B_{3}^{{}}$. Исключим в (3.7), (3.8) функцию ${{\lambda }_{3}}(t)$:

Подставим в уравнение (3.11) $\omega _{i}^{{}}$ из (2.12), $\nu _{i}^{{}}$ $(i = \overline {1,3} )$ из (2.14) и потребуем, чтобы полученное равенство было тождеством по $\psi $. Рассмотрим общий вид данного равенства:

где а многоточием обозначены члены, которые содержат тригонометрические функции меньших аргументов $(2\psi ,\psi )$. В силу $a_{2}^{{}} \ne 0$, $h_{1}^{{}} \ne 0$, $h_{2}^{{}} \ne 0$, $r_{1}^{{}} \ne 0$, $r_{2}^{{}} \ne 0$ (см. формулы (2.13)), из (3.12) следует ${\text{D}} = 0$. На основании (3.13) найдем первое условие на параметры задачи

Очевидно, что условие (3.14) имеет место и в случае $\beta _{3}^{{}} = 0$ [11], для которого справедливы формулы (2.15), (2.16). Как показано ниже, рассмотрение уравнения (3.14) носит вспомогательный характер. Но главным итогом такого подхода является получение условия (3.14), которое в значительной степени упрощает исследование уравнений (3.4)–(3.6) на решении (2.12), (2.14) с обозначениями (2.13).

Запишем уравнение (3.9) на ИС (2.14). Вначале введем обозначения

Тогда из (3.9) на основе указанного подхода и обозначений (3.15) имеем

В силу ограниченности функции ${{\lambda }_{3}}(t)$ (см. формулы (2.11), (2.14), (3.7), (3.8)) из формулы (3.16) следует равенство $h_{0}^{{}}H_{1}^{{}} + r_{0}^{{}}H_{2}^{{}} + H_{0}^{{}}$ = 0, или, в силу (2.13), (3.15), условие на параметры

Тогда из уравнения (3.16) получим

где ${{\lambda }_{0}}$ – постоянный параметр, а параметры $L_{1}^{{}}$, $L_{2}^{{}}$ имеют вид

Учтем в уравнениях (3.4), (3.5) равенства $\varepsilon (\nu _{3}^{{}}) = \varepsilon _{0}^{{}}$, $g(\nu _{3}^{{}}) = g_{0}^{{}}$, функции $\nu _{i}^{{}}(t)$ $(i = \overline {1,3} )$ из (2.14) и для их преобразования воспользуемся условием (3.14). Введем обозначения

Отметим, что при $\beta _{3}^{{}} = 0$ [11] первое, четвертое, пятое равенства из (3.20) не изменяются, а остальные равенства таковы:

Подставим в уравнения (3.4), (3.5) ИС (2.14) и учтем равенства $\varepsilon (\nu _{3}^{{}}) = \varepsilon _{0}^{{}}$, $g(\nu _{3}^{{}}) = g_{0}^{{}}$ и значение ${{\lambda }_{3}}(\psi )$ из (3.18):

Рассмотрим равенство нулю коэффициентов при функции $\sin 2\psi $, которые следуют из (3.22), (3.23):

Из системы алгебраических уравнений (3.24) в силу $r_{1}^{{}} \ne 0$, $r_{2}^{{}} \ne 0$, $h_{1}^{{}} \ne 0$, $h_{2}^{{}} \ne 0$ находим (полагаем $\beta _{3}^{{}} \ne 0$)

Запишем первое равенство из (3.25) на основании (2.13), (3.15), (3.19)

При выполнении условия (3.26) при $\beta _{3}^{{}} \ne 0$ равенство (3.17) упрощается:

Отметим, что при $\beta _{3}^{{}} = 0$, в силу $r_{2}^{{}} = 0$ и $h_{2}^{{}} = 0$, имеет место только второе условие из (3.25), то есть в этом случае L₂ из системы (3.19) также равно нулю. Из (3.19) находим

С помощью значений $a_{2}^{{}}$ из (2.13), $G_{{23}}^{{}}$ из (3.20) и $L_{1}^{{}}$ из (3.28) равенство $a_{2}^{{}}G_{{23}}^{{}} - \varepsilon _{0}^{{}}L_{1}^{{}}$ = = 0 запишем в виде

Таким образом, равенство (3.29) является четвертым условием на параметры задачи (при $\beta _{3}^{{}} \ne 0$). Первые три условия – равенства (3.14), (3.26), (3.27). Если $\beta _{3}^{{}} = 0$, то условия существования – равенства (3.17), (3.29).

Рассмотрим уравнения (3.22), (3.23). Запишем равенство нулю коэффициентов при $\cos \psi $:

Вычитая левые части уравнений (3.30), получим

При $\beta _{3}^{{}} = 0$ из (3.31) имеем тождество, а из (3.30), в силу (2.13), (3.20), устанавливаем значение параметра $\lambda _{0}^{{}}$:

В случае $\beta _{3}^{{}} \ne 0$ из (3.31) следует

а из первого равенства системы (3.30) найдем

Условие (3.33) позволяет упростить равенство (3.26)

Запишем равенство нулю коэффициентов при $\sin \psi $ и свободных членах в уравнениях (3.22), (3.23):

На основании обозначений (2.13), (3.20), (3.28) из уравнений (3.36) устанавливаем условие (3.35) и равенство

Из уравнений (3.37) в результате линейной комбинации получим

Отметим, что при $\beta _{3}^{{}} = 0$ из (3.39) имеем тождество, а из уравнения (3.40), в силу ${{a}_{0}} = 0$, $G_{0}^{{}} = 0$, $R_{0}^{{}} = 0$, находим $\lambda _{0}^{{}} = 0$. Тогда из равенства (3.32) устанавливаем условие

Если в (3.39) $\beta _{3}^{{}} \ne 0$, то получим условие (3.27).

Распишем значение $\lambda _{0}^{{}}$ из (3.40), используя значения ${{a}_{0}}$ из (2.13), $G_{3}^{{}}$, $R_{3}^{{}}$, $G_{0}^{{}}$, $R_{0}^{{}}$ из (3.20):

Приравняем правые части равенств (3.34) и (3.42):

Перечислим все условия существования решения (2.12), (2.14) уравнений (2.1) при $\beta _{3}^{{}} \ne 0$: (3.14), (3.25), (3.27), (3.29), (3.33), (3.35), (3.37), (3.38), (3.43). Для удобства исследования запишем их вместе (кроме равенства (3.43))

Для сравнения результатов, полученных в данной статье, приведем условия [11], найденные при $\beta _{3}^{{}} = 0$, $\lambda _{1}^{{}} = 0$, $\lambda _{2}^{{}} = 0$. Условие (3.44) сохраняется, условие (3.45) преобразуется к виду

а параметры $s_{3}^{{}}$ и $\lambda _{0}^{{}}$ равны нулю. Условия (3.46) необходимо опустить. Равенство (3.17) принимает вид

В равенствах (3.47), (3.48) необходимо положить $\lambda _{1}^{{}} = 0$, $\lambda _{2}^{{}} = 0$. Функция $\lambda _{3}^{{}}(\psi )$ при $L_{2}^{{}} = 0$ имеет вид

а в случае (3.43)–(3.48) она такова

4. Анализ условий (3.43)–(3.48). Случай 1. Положим, что выполняются равенства

Введем параметры $l_{1}^{{}}$ и $l_{2}^{{}}$ по формулам

В силу (4.1) уравнение (3.45) становится тождеством. Из системы (3.46) и уравнения (3.44) получим

На основании условий (4.2), (4.3) из (3.43), (3.47), (3.48) установим окончательные условия

При наличии равенств (4.2)–(4.4) параметр $\lambda _{0}^{{}}$ из (3.42) примет вид

Из формулы (3.28) следует

То есть в формуле (3.52) параметры $\lambda _{0}^{{}}$, $L_{1}^{{}}$ имеют значения (4.5), (4.6). Из условий (4.1) следует, что векторы, которые являются проекциями векторов β, λ, ${\mathbf{s}}$, коллинеарны друг другу и лежат в плоскости равных главных моментов инерции, то есть векторы β, λ, ${\mathbf{s}}$ принадлежат этой плоскости.

Общий случай. Очевидно, что в этом случае выполняется условие $A_{2}^{{}} \ne A_{1}^{{}}$. Данное ограничение позволяет из уравнения (3.44) и второго уравнения из (3.46) определить значение параметра $\varepsilon _{0}^{{}}$ и условие на параметры, характеризующие матрицы $A,B,C$:

Уравнение (3.45) параметризуем следующим образом:

где $d_{0}^{{}}$ – параметр. Из первого уравнения системы (3.46) найдем значение $g_{0}^{{}}$:

Равенства (4.8), в силу (4.7), (4.9), можно применять для нахождения параметра $d_{0}^{{}}$:

Если проведем анализ равенств (4.7)–(4.10), то приходим к выводу о том, что они не содержат параметры $\beta _{3}^{{}}$ и ${{c}_{0}}$. Поэтому условие (3.43), в силу (4.7)–(4.10), можно использовать для определения этого параметра через параметры уравнений движения гиростата и параметры $\beta _{1}^{{}}$, $\beta _{2}^{{}}$. Выписывать значение $\beta _{3}^{{}}$ нецелесообразно, так как окончательный результат имеет достаточно громоздкий вид. Уравнение (3.48) можно интерпретировать как условие на $C_{1}^{{}}$ и $C_{3}^{{}}$.

Рассмотрим значение параметра $\lambda _{0}^{{}}$ из равенства (3.42). Очевидно, что он зависит от уже найденных значений (3.47)–(3.50) и параметра $\beta _{3}^{{}}$, а также от постоянной ${{c}_{0}}$, которая характеризует ИС из (2.11). То есть в построенном решении (2.12), (2.14) уравнений (2.1) параметр ${{c}_{0}}$ можно считать произвольной постоянной, то есть данное ИС является первым интегралом уравнения Пуассона из (2.1). Функция $\lambda _{3}^{{}}(\psi )$ и в общем случае имеет вид (3.52), а значения параметров $L_{1}^{{}}$ и $\lambda _{0}^{{}}$ выражаются по формулам (4.5), (4.6).

Рассмотрим уравнения (2.3). Подставим в них функцию (3.52):

Из формулы (4.11) определяется проекция сил и моментов, действующих на ротор $S_{3}^{{}}$ со стороны тела-носителя. Соотношение (4.12) служит для нахождения скорости вращения этого ротора. Таким образом, уравнения (2.1) проинтегрированы на решении (2.12), (2.14).

Заключение. Установлено новое решение уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил, которое описывает регулярную прецессию гиростата с переменным гиростатическим моментом. Оно получено при более общих условиях, чем решение в [11]. В силу этого в данной статье проведен сравнительный анализ указанных решений, что позволило упростить и получение решения [11].