Радиотехника и электроника, 2020, T. 65, № 7, стр. 636-643
Аналитический метод исследования необыкновенной волны в одномерном анизотропном фотонном кристалле
К. А. Вытовтов a, b, *, Е. А. Барабанова a, b, В. М. Вишневский b, Ю. А. Максименко a
a Астраханский государственный технический университет
414056 Астрахань, ул. Татищева, 16, Российская Федерация
b Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН
117342 Москва, ул. Профсоюзная, 65, Российская Федерация
* E-mail: vytovtov_konstan@mail.ru
Поступила в редакцию 17.12.2019
После доработки 10.01.2020
Принята к публикации 28.02.2020
Аннотация
Рассмотрено поведение необыкновенной волны в слоистой одноосной анизотропной среде. Найдена матрица преобразования для однородного слоя и для многослойной структуры с произвольным числом слоев в аналитическом виде в элементарных функциях. Введено понятие парциальных волн в слоистой среде и их коэффициентов вклада для необыкновенной волны. Показано, что коэффициенты отражения и прохождения необыкновенной волны для плоскопараллельной пластины равны сумме коэффициентов отражения и прохождения парциальных волн.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время большое внимание уделяется разработке новых микроволновых и оптических систем связи и обработки информации [1‒3]. Особенно остро этот вопрос стоит в связи с необходимостью перехода к системам 5G/6G (пятого/шестого поколения) стандартов [4, 5]. Увеличение скорости передачи и обработки информации очевидно возможно только при переходе в более высокие диапазоны, для которых не существует диодной и транзисторной элементной базы, а существующие СВЧ-устройства оказываются достаточно громоздкими. Более того, использование нелинейных элементов в оптическом диапазоне не приводит к увеличению скорости передачи и обработке информации, поскольку сами эти процессы имеют малую скорость. В связи с этим существует необходимость создания новых линейных устройств приемо-передающих трактов, обеспечивающих их надежное функционирование. Создание таких устройств, прежде всего, требует глубокого понимания физических процессов в СВЧ и оптических структурах, разработки математического аппарата для их расчета и описания принципа действия. Важнейшим классом таких устройств являются управляемые структуры с распределенными параметрами на основе многослойных анизотропных материалов [6–9].
Цель данной работы – исследовать поведение необыкновенной волны в одноосной анизотропной среде. Отличием данной волны от обыкновенной является отличие волновых чисел прямой и обратной волн, а также скоростей распространения этих волн. Кроме того, при ее отражении от границы раздела углы падения и отражения также будут различными. Для однородной среды свойства необыкновенной волны исследованы достаточно подробно [8, 9], не составляет труда и нахождение матрицы преобразования двухслойной или трехслойной структуры. Однако увеличение числа слоев приводит к усложнению результирующих выражений настолько, что они не поддаются дальнейшему аналитическому исследованию. Поэтому неоднородные анизотропные среды при распространении в них необыкновенной волны описывали, как правило, численными методами или исследовали экспериментально [10–12]. В данной работе впервые получена матрица преобразования для обыкновенной волны в многослойной среде с произвольным конечным числом слоев и произвольным направлением оси анизотропии в каждом слое в аналитическом виде в элементарных функциях. Данная матрица является конечной суммой унимодулярных матриц с некоторыми коэффициентами. В соответствии с видом матрицы введено понятие парциальных волн многослойной структуры и коэффициентов вклада парциальных волн, поскольку с точки зрения физики унимодулярная матрица описывает поведение некоторого гармонического колебания. Проведен анализ отражения и прохождения волны через плоско-параллельную многослойную пластину и найдено, что результирующие коэффициенты отражения и прохождения равны сумме коэффициентов отражения и прохождения парциальных волн.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим поведение необыкновенной волны в одномерном фотонном кристалле, образованного одноосными анизотропными слоями с произвольном количестве слоев в периоде при произвольном направлении оси анизотропии (рис. 1). Диэлектрическая проницаемость каждого слоя описывается тензором
(1)
$\varepsilon = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\varepsilon }_{{11}}}}&0&0 \\ 0&{{{\varepsilon }_{{11}}}}&0 \\ 0&0&{{{\varepsilon }_{{33}}}} \end{array}} \right|~,$
а магнитная проницаемость $\mu $ является скаляром. С использованием преобразования координат Эйлера [13], тензор (1) в системе координат, связанной с границей раздела слоев, может быть записан в виде
(2)
$\begin{gathered} \varepsilon = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\varepsilon }_{{11}}}{{{\cos }}^{2}}\theta + {{\varepsilon }_{{33}}}{{{\sin }}^{2}}\theta }&0&{\left( {{{\varepsilon }_{{11}}} - {{\varepsilon }_{{33}}}} \right)\cos \theta \sin \theta } \\ 0&{{{\varepsilon }_{1}}}&0 \\ {\left( {{{\varepsilon }_{{11}}} - {{\varepsilon }_{{33}}}} \right)\cos \theta \sin \theta }&0&{{{\varepsilon }_{{11}}}{{{\sin }}^{2}}\theta + {{\varepsilon }_{{33}}}{{{\cos }}^{2}}\theta } \end{array}} \right| = \\ = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\varepsilon }_{{xx}}}}&0&{{{\varepsilon }_{{xz}}}} \\ 0&{{{\varepsilon }_{{yy}}}}&0 \\ {{{\varepsilon }_{{xz}}}}&0&{{{\varepsilon }_{{zz}}}} \end{array}} \right|~. \\ \end{gathered} $Решение уравнений Максвелла для данного случая дает две волны: обыкновенную и необыкновенную. Волновые числа необыкновенной волны для данного случая, полученные в результате решения уравнений Максвелла, имеют вид
(3)
$\begin{gathered} {{k}_{{z~1,2}}} = \\ = \frac{{ - {{\varepsilon }_{{xx}}}{{k}_{x}} \pm \sqrt {k_{x}^{2}{{\varepsilon }_{{xx}}}\left( {{{\varepsilon }_{{xx}}} - {{\varepsilon }_{{zz}}}} \right) - {{\omega }^{2}}\mu {{\varepsilon }_{{zz}}}\left( {{{\varepsilon }_{{xx}}}{{\varepsilon }_{{zz}}} - \varepsilon _{{xz}}^{2}} \right)} }}{{{{\varepsilon }_{{zz}}}}}~.~ \\ \end{gathered} $Важно отметить, что волновые числа прямой и обратной волн в данном случае являются различными, что существенно усложняет выражения, описывающие поведение такой волны. Выражения, связывающие компоненты электромагнитного поля необыкновенной волны, имеют вид
(4)
$\begin{gathered} {{E}_{x}} = \frac{{{{\varepsilon }_{{xz}}}{{k}_{x}} + {{\varepsilon }_{{zz}}}{{k}_{z}}}}{{\omega \left( {{{\varepsilon }_{{zz}}}{{\varepsilon }_{{zz}}} - \varepsilon _{{xz}}^{2}} \right)}}{{H}_{y}}, \\ {{E}_{z}} = - \frac{{{{\varepsilon }_{{xx}}}{{k}_{x}} + {{\varepsilon }_{{xz}}}{{k}_{z}}}}{{\omega \left( {{{\varepsilon }_{{zz}}}{{\varepsilon }_{{zz}}} - \varepsilon _{{xz}}^{2}} \right)}}{{H}_{y}}. \\ \end{gathered} $Задачей данной работы является разработка математического метода для описания поведения необыкновенной волны в одномерном фотонном кристалле с произвольным числом одноосных анизотропных слоев в периоде при произвольном направлении оси анизотропии. Кроме того, задачей является исследование коэффициентов отражения и прохождения многослойной пластины с произвольным конечным числом слоев (см. рис. 1).
2. МЕТОД МАТРИЦЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Математическая модель поведения необыкновенной волны в одноосной анизотропной среде при произвольном наклоне оси анизотропии основывается на методе матрицы преобразования, которая связывает тангенциальные компоненты полей на границах структуры:
(5)
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{E}_{{x2}}}\left( z \right)} \\ {{{H}_{{y2}}}\left( z \right)} \end{array}} \right| = {\mathbf{L}}\left( z \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{E}_{{x1}}}} \\ {{{H}_{{y1}}}} \end{array}} \right|.~$Для однородного слоя данная матрица является фундаментальной системой решений уравнений Максвелла с постоянными коэффициентами и ее нахождение не представляет труда. Что касается матрицы преобразования многослойной структуры, то она является произведением матриц преобразования однородных слоев и такое произведение автоматически удовлетворяет граничным условиям на границах раздела слоев. Однако такое решение было представлено только для случая обыкновенной волны, когда скорости прямых и обратных волн в однородных слоях равны [14].
3. МАТРИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОДНОРОДНОГО СЛОЯ
Для однородного слоя матрица находится с использованием типовой методики [14, 15] (Приложение 1 ) и имеет вид
(6)
${\mathbf{L}}\left( z \right) = \frac{1}{{{{\chi }_{{Ex1}}} - {{\chi }_{{Ex2}}}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\chi }_{{Ex1}}}\exp \left( {j{{k}_{1}}z} \right) - {{\chi }_{{Ex2}}}\exp \left( {j{{k}_{2}}z} \right)}&{ - {{\chi }_{{Ex1}}}{{\chi }_{{Ex2}}}\left[ {\exp \left( {j{{k}_{1}}z} \right) - \exp \left( {j{{k}_{2}}z} \right)} \right]} \\ {\exp \left( {j{{k}_{1}}z} \right) - \exp \left( {j{{k}_{2}}z} \right)}&{ - {{\chi }_{{Ex2}}}\exp \left( {j{{k}_{1}}z} \right) + {{\chi }_{{Ex1}}}\exp \left( {j{{k}_{2}}z} \right)} \end{array}} \right|~,$где
(7)
${{\chi }_{{1,2}}} = \frac{{{{k}_{{z1,2}}}{{\varepsilon }_{{zz}}} + {{k}_{x}}{{\varepsilon }_{{xz}}}}}{{\omega \left( {{{\varepsilon }_{{xx}}}{{\varepsilon }_{{zz}}} - {{\varepsilon }_{{xz}}}{{\varepsilon }_{{zx}}}} \right)}}.$В отличие от матрицы для волны в изотропной среде или обыкновенной волны в анизотропной среде, когда волновые числа прямых и обратных волн равны и элементы матрицы – тригонометрические функции [14, 15], элементы (6) представляют собой сумму экспонент. Определитель этой матрицы равен $\exp \left[ {j\left( {{{k}_{1}}z + {{k}_{2}}z} \right)} \right]$, т.е. матрица (6) является унимодулярной. Однако запись (6) в виде
(8)
$\begin{gathered} {\mathbf{L}}\left( z \right) = \frac{1}{{{{\chi }_{{Ex1}}} - {{\chi }_{{Ex2}}}}}\left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\chi }_{{Ex1}}}\exp \left( {j{{k}_{1}}z} \right)}&{ - {{\chi }_{{Ex1}}}{{\chi }_{{Ex2}}}\exp \left( {j{{k}_{1}}z} \right)} \\ {\exp \left( {j{{k}_{1}}z} \right)}&{ - {{\chi }_{{Ex2}}}\exp \left( {j{{k}_{1}}z} \right)} \end{array}} \right| - } \right. \\ \left. { - \,\,~\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\chi }_{{Ex2}}}\exp \left( {j{{k}_{2}}z} \right)}&{ - {{\chi }_{{Ex1}}}{{\chi }_{{Ex2}}}\exp \left( {j{{k}_{2}}z} \right)} \\ {\exp \left( {j{{k}_{2}}z} \right)}&{ - {{\chi }_{{Ex1}}}\exp \left( {j{{k}_{2}}z} \right)} \end{array}} \right|} \right) = ~ \\ = \frac{{\exp \left( {j{{k}_{1}}z} \right)}}{{{{\chi }_{{Ex1}}} - {{\chi }_{{Ex2}}}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\chi }_{{Ex1}}}}&{ - {{\chi }_{{Ex1}}}{{\chi }_{{Ex2}}}} \\ 1&{ - {{\chi }_{{Ex2}}}} \end{array}} \right| - \frac{{\exp \left( {j{{k}_{2}}z} \right)}}{{{{\chi }_{{Ex1}}} - {{\chi }_{{Ex2}}}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\chi }_{{Ex2}}}}&{ - {{\chi }_{{Ex1}}}{{\chi }_{{Ex2}}}} \\ 1&{ - {{\chi }_{{Ex1}}}} \end{array}} \right| \\ \end{gathered} $дает нам сингулярное разложение матрицы преобразования. Для перехода к унимодулярным тригонометрическим матрицам, описывающим гармонические колебания, необходимо использовать преобразование Эйлера.
4. МАТРИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МНОГОСЛОЙНОЙ СТРУКТУРЫ
Матрицу преобразования для N-слойной структуры в общем случае находим как [14, 15] произведение
(9)
$\begin{gathered} {{{\mathbf{L}}}_{{\mathbf{\Sigma }}}}\left( d \right) = {{{\mathbf{L}}}_{N}}\left( {{{d}_{N}}} \right){{{\mathbf{L}}}_{{N - 1}}}\left( {{{d}_{{N - 1}}}} \right) \ldots {{{\mathbf{L}}}_{1}}\left( {{{d}_{1}}} \right) = \\ = \prod\limits_{i = N}^1 {{{{\mathbf{L}}}_{{\text{i}}}}} \left( {{{d}_{i}}} \right). \\ \end{gathered} $Однако аналитического выражения для произвольного конечного числа слоев на сегодняшний день не получено. В данной работе с использованием достаточно громоздких алгебраических преобразований (Приложение 2 ) матрица преобразования для данного случая найдена в виде конечной суммы матриц ${{{\mathbf{M}}}_{q}}$ с коэффициентами вклада ${{\vartheta }_{q}}$:
(10)
${\mathbf{L}}\left( d \right) = \sum\limits_{q = 1}^N {{{\vartheta }_{q}}{{{\mathbf{M}}}_{q}}} ,~$где
(11)
$\begin{gathered} {{{\mathbf{M}}}_{q}} = \\ = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\left( { - 1} \right)}}^{{\sum\limits_{i = 1}^N {{{F}_{{q,i}}} + N - 1} }}}\chi _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}} \\ {{{{\left( { - 1} \right)}}^{{\sum\limits_{i = 1}^N {{{F}_{{q,i}}} + N - 1} }}}} \end{array}} \right.\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\left( { - 1} \right)}}^{{\sum\limits_{i = 1}^N {{{F}_{{q,i}}} + N} }}}\gamma _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\gamma _{{2 - {{F}_{{q,N}}}}}^{{\left( N \right)}}} \\ {{{{\left( { - 1} \right)}}^{{\sum\limits_{i = 1}^N {{{F}_{{q,i}}} + N} }}}\gamma _{{2 - {{F}_{{q,N}}}}}^{{\left( N \right)}}} \end{array}} \right|,~ \\ \end{gathered} $(12)
${{\vartheta }_{q}} = \frac{{\prod\limits_{i = 1}^{N - 1} {\left( {\chi _{{2 - {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}} - \chi _{{1 + {{F}_{{q,i + 1}}}}}^{{\left( {i + 1} \right)}}} \right)} }}{{\prod\limits_{i = 1}^N {\left( {\chi _{1}^{{\left( i \right)}} - \chi _{2}^{{\left( i \right)}}} \right)} }}\exp \left( {\sum\limits_{i = 1}^N {jk_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} } \right)~.$Функции ${{F}_{{q,i}}}$ определяются выражением
(13)
${{F}_{{q,i}}} = \frac{1}{2}1 - {\text{sign\;}}\left\{ {\sin \left[ {\frac{\pi }{{{{2}^{{N + 1 - i}}}}}\left( {2p - 1} \right)} \right]} \right\},~$отличным от полученного авторами ранее [16].
Таким образом, матрица преобразования одноосного анизотропного фотонного кристалла с произвольным числом слоев в периоде найдена в аналитическом виде в элементарных функциях.
Матрица (10) является унимодулярной, что свидетельствует о выполнении закона сохранения энергии [17], однако, разложение представляет собой конечную сумму ${{2}^{N}}$ сингулярных матриц $\left( {\det {{{\mathbf{M}}}_{q}} = 0} \right)$. Для перехода к унимодулярным матрицам, описывающим гармонические колебания, следует использовать преобразование Эйлера. Тогда вместо (10) запишем
(14)
${\mathbf{L}}\left( d \right) = \sum\limits_{q = 1}^{{{2}^{N}}} {{{\nu }_{q}}} \left( {{{{\mathbf{M}}}_{{q{\text{\;cos}}}}} + {{{\mathbf{M}}}_{{q~{\text{sin}}}}}} \right),$где
(15)
$\begin{gathered} {{{\mathbf{M}}}_{{q{\text{\;cos}}}}} = \\ = \left| \begin{gathered} {{\left( { - 1} \right)}^{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^N {{F}_{{q,i}}} + N - 1}}}\sqrt {\frac{{\chi _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}}}{{\gamma _{{2 - {{F}_{{q,N}}}}}^{{\left( N \right)}}}}} \cos \left( {\sum\limits_{i = 1}^N {k_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} } \right) \hfill \\ j{{\left( { - 1} \right)}^{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^N {{F}_{{q,i}}} + N - 1}}}\frac{1}{{\sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\gamma _{{2 - {{F}_{{q,N}}}}}^{{\left( N \right)}}} }}\sin \left( {\sum\limits_{i = 1}^N {k_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} } \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \times \\ ~ \times \,\,\left. \begin{gathered} j{{\left( { - 1} \right)}^{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^N {{F}_{{q,i}}} + N}}}\sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\gamma _{{2 - {{F}_{{q,N}}}}}^{{\left( N \right)}}} \sin \left( {\sum\limits_{i = 1}^N {k_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} } \right) \hfill \\ {{\left( { - 1} \right)}^{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^N {{F}_{{q,i}}} + N}}}\sqrt {\frac{{\gamma _{{2 - {{F}_{{q,N}}}}}^{{\left( N \right)}}}}{{\gamma _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}}}} \cos \left( {\sum\limits_{i = 1}^N {k_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} } \right) \hfill \\ \end{gathered} \right|; \\ \end{gathered} $(16)
$\begin{gathered} {{{\mathbf{M}}}_{{q~{\text{sin}}}}} = \left| \begin{gathered} j{{\left( { - 1} \right)}^{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^N {{F}_{{q,i}}} + N - 1}}}\sqrt {\frac{{\chi _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}}}{{\gamma _{{2 - {{F}_{{q,N}}}}}^{{\left( N \right)}}}}} \sin \left( {\sum\limits_{i = 1}^N {k_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} } \right) \hfill \\ {{\left( { - 1} \right)}^{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^N {{F}_{{q,i}}} + N - 1}}}\frac{1}{{\sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\gamma _{{2 - {{F}_{{q,N}}}}}^{{\left( N \right)}}} }}\cos \left( {\sum\limits_{i = 1}^N {k_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} } \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \times \\ \times \,\,~\left. \begin{gathered} {{\left( { - 1} \right)}^{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^N {{F}_{{q,i}}} + N}}}\sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\gamma _{{2 - {{F}_{{q,N}}}}}^{{\left( N \right)}}} \cos \left( {\sum\limits_{i = 1}^N {k_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} } \right) \\ j{{\left( { - 1} \right)}^{{\mathop \sum \limits_{i = 1}^N {{F}_{{q,i}}} + N}}}\sqrt {\frac{{\gamma _{{2 - {{F}_{{q,N}}}}}^{{\left( N \right)}}}}{{\gamma _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}}}} \sin \left( {\sum\limits_{i = 1}^N {k_{{1 + {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}}{{z}_{i}}} } \right) \\ \end{gathered} \right|; \\ \end{gathered} $(17)
${{\nu }_{q}} = \frac{{\prod\limits_{i = 1}^{N - 1} {\left( {\chi _{{2 - {{F}_{{q,i}}}}}^{{\left( i \right)}} - \chi _{{1 + {{F}_{{q,i + 1}}}}}^{{\left( {i + 1} \right)}}} \right)} }}{{\prod\limits_{i = 1}^N {\left( {\chi _{1}^{{\left( i \right)}} - \chi _{2}^{{\left( i \right)}}} \right)} }}\sqrt {\gamma _{{1 + {{F}_{{q,1}}}}}^{{\left( 1 \right)}}\gamma _{{2 - {{F}_{{q,N}}}}}^{{\left( N \right)}}} ~.$Матрицы Mq cos и Mq sin, полученные в результате преобразования Эйлера, являются унимодулярными и, следовательно, описывают незатухающие колебания [17]. Действительно, с математической точки зрения унитарное преобразование сохраняет площадь фигуры, построенной на соответствующих векторах. Таким образом, разложение (14) дает представление необыкновенной волны в одномерном анизотропном фотонном кристалле в виде суперпозиции ${{2}^{{N + 1}}}$ гармонических волн. Волны, описываемые ${{{\mathbf{M}}}_{q}}$, назовем парциальными, волны, описываемые ${{{\mathbf{M}}}_{{q~{\text{cos}}}}}$ и ${{{\mathbf{M}}}_{{q~{\text{sin}}}}}$, назовем парциальными косинусной и синусной волнами, соответственно, а ${{\vartheta }_{q}}$ − коэффициентом вклада парциальной волны.
Учитывая вид матрицы преобразования (10) и используя методику [14, 15], найдем коэффициент отражения необыкновенной волны от многослойной анизотропной пластины
Здесь $R = {{{{H}_{{{\text{отр}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{H}_{{{\text{отр}}}}}} {{{H}_{{{\text{пр}}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{H}_{{{\text{пр}}}}}}},$ $\rho $ – волновое сопротивление среды, окружающей многослойную пластину, ${{l}_{{mn}}}$ – элементы матрицы преобразования (10). Выражение (18) сходно с аналогичным выражением, представленным в [15]. Однако его анализ для данного случая с учетом [10] дает интересный результат. Действительно, матрица (10) связывает тангенциальные компоненты полей на границах структуры (см. (5)). При этом ${{E}_{{x1}}}$ и ${{H}_{{y1}}}$ в (5) включают в себя компоненты падающих и отраженных волн, а ${{E}_{{x2}}}$ и ${{H}_{{y2}}}$ являются компонентами прошедших волн [15]. Подставляя (10) в (5), получим
(19)
$\begin{gathered} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{E}_{{x2}}}} \\ {{{H}_{{y2}}}} \end{array}} \right| = \left[ {\sum\limits_{q = 1}^{{{2}^{N}}} {{{\vartheta }_{q}}} {{{\mathbf{M}}}_{q}}} \right]\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{E}_{{x1}}}} \\ {{{H}_{{y1}}}} \end{array}} \right| = {{\vartheta }_{1}}{{{\mathbf{M}}}_{1}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{E}_{{x1}}}} \\ {{{H}_{{y1}}}} \end{array}} \right| + {{\vartheta }_{2}}{{{\mathbf{M}}}_{2}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{E}_{{x1}}}} \\ {{{H}_{{y1}}}} \end{array}} \right| + \ldots + {{\vartheta }_{{{{2}^{N}}}}}{{{\mathbf{M}}}_{{{{2}^{N}}}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{E}_{{x1}}}} \\ {{{H}_{{y1}}}} \end{array}} \right| = \\ = {{\vartheta }_{1}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {E_{{x2}}^{{\left( 1 \right)}}} \\ {H_{{y2}}^{{\left( 1 \right)}}} \end{array}} \right| + {{\vartheta }_{2}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {E_{{x2}}^{{\left( 2 \right)}}} \\ {H_{{y2}}^{{\left( 2 \right)}}} \end{array}} \right| + \ldots + {{\vartheta }_{{{{2}^{N}}}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {E_{{x2}}^{{\left( {{{2}^{N}}} \right)}}} \\ {H_{{y2}}^{{\left( {{{2}^{N}}} \right)}}} \end{array}} \right| = \sum\limits_{q = 1}^{{{2}^{N}}} {{{\vartheta }_{q}}} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {E_{{x2}}^{{\left( q \right)}}} \\ {H_{{y2}}^{{\left( q \right)}}} \end{array}} \right| = \sum\limits_{q = 1}^{{{2}^{N}}} {{{\nu }_{q}}} \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {E_{{x2}}^{{\left( {q~{\text{cos}}} \right)}}} \\ {H_{{y2}}^{{\left( {q~{\text{cos}}} \right)}}} \end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {E_{{x2}}^{{\left( {q~{\text{sin}}} \right)}}} \\ {H_{{y2}}^{{\left( {q~{\text{sin}}} \right)}}} \end{array}} \right|} \right). \\ \end{gathered} $Учитывая, что ${{H}_{{y2}}} = {{H}_{{{\text{пр}}}}},$ ${{E}_{{x2}}} = {{E}_{{{\text{пр}}}}}\cos \alpha = $ $ = \rho {{H}_{{{\text{пр}}}}}\cos \alpha ,$ ${{H}_{{y1}}} = {{H}_{{{\text{пад}}}}} + {{H}_{{{\text{отр}}}}},$ ${{E}_{{x1}}} = \rho \left( {{{H}_{{{\text{пад}}}}} - } \right.$ $\left. { - \,\,{{H}_{{{\text{отр}}}}}} \right)\cos \alpha $, запишем
(20)
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rho {{H}_{{{\text{пр}}}}}\cos \alpha } \\ {{{H}_{{{\text{пр}}}}}} \end{array}} \right| = \left[ {\mathop \sum \limits_{q = 1}^{{{2}^{N}}} {{\vartheta }_{q}}{{{\mathbf{M}}}_{q}}} \right]\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rho \left( {{{H}_{{{\text{пад}}}}} - {{H}_{{{\text{отр}}}}}} \right)\cos \alpha } \\ {{{H}_{{{\text{пад}}}}} + {{H}_{{{\text{отр}}}}}} \end{array}} \right|~.$Поскольку $T = {{{{H}_{{{\text{пр}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{H}_{{{\text{пр}}}}}} {{{H}_{{{\text{пад}}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{H}_{{{\text{пад}}}}}}},$ $R = {{{{H}_{{{\text{отр}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{H}_{{{\text{отр}}}}}} {{{H}_{{{\text{пад}}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{H}_{{{\text{пад}}}}}}},$ определяемые (18), то получим
(21)
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rho T\cos \alpha } \\ T \end{array}} \right| = \left[ {\mathop \sum \limits_{q = 1}^{{{2}^{N}}} {{\vartheta }_{q}}{{{\mathbf{M}}}_{q}}} \right]\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rho \left( {1 - R} \right)\cos \alpha } \\ {1 + R} \end{array}} \right|~.$По аналогии с (21) введем коэффициенты прохождения парциальных волн ${{T}_{q}}$, как
(22)
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rho {{T}_{q}}\cos \alpha } \\ {{{T}_{q}}} \end{array}} \right| = {{\vartheta }_{q}}{{{\mathbf{M}}}_{q}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rho \left( {1 - R} \right)\cos \alpha } \\ {1 + R} \end{array}} \right|~$или
(23)
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rho {{T}_{q}}\cos \alpha } \\ {{{T}_{q}}} \end{array}} \right| = {{{\mathbf{M}}}_{q}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rho \left( {{{\nu }_{q}} - {{\nu }_{q}}R} \right)\cos \alpha } \\ {{{\nu }_{q}} + {{\nu }_{q}}R} \end{array}} \right|~.$Тогда ${{\nu }_{q}}$ является долей q-й волны в падающей, а ${{R}_{q}} = {{\nu }_{q}}R$ являются коэффициентами отражения парциальных волн. Таким образом, можно записать:
(24)
$T = \sum\limits_{q = 1}^{{{2}^{N}}} {{{\nu }_{q}}{{T}_{q}}} ;\,\,\,\,R = \sum\limits_{q = 1}^{{{2}^{N}}} {{{R}_{q}}} .$Таким образом, результирующие коэффициенты прохождения и отражения равны сумме соответствующих коэффициентов парциальных волн. Следовательно, представленное в данной работе разложение результирующей волны имеет не только математический, но и физический смысл.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе рассмотрено поведение необыкновенной волны в слоистой одноосной анизотропной среде при произвольном направлении оси анизотропии. В аналитическом виде в элементарных функциях найдена матрица преобразования для однородного слоя и для многослойной структуры с произвольным числом слоев. Введено понятие парциальных волн в слоистой среде для рассматриваемого случая. Аналитически показано, что коэффициенты отражения и прохождения необыкновенной волны для плоскопараллельной пластины равны сумме коэффициентов отражения и прохождения парциальных волн.
Список литературы
Otón E., Morawiak P., Mazur R. et al. // J. Lightwave Technol. 2019. V. 37. № 9. P. 2086.
Аверин С.В., Кузнецов П.И., Житов В.А. и др. // РЭ. 2019. Т. 64. № 10. С. 1038.
Barabanova E., Vytovtov K., Trong Thanh Nguyen // J. Phys.: Conf. Ser. 2019. V. 1368/2 https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/1368/2/ 022002
Wey J.Sh., Zhang J. // J. Lightwave Technol. 2019. V. 37. № 12. P. 2830.
Parygin D.S., Finogeev A.G., Kamaev V.A. et al. // J. Phys.: Conf. Ser. : Proc. Intern. Conf. on Inform. Technol. in Business and Industry 2016, Tomsk, Russia, 21–23 September 2016. IOP Publishing, 2017. V. 803 / 012112. P. 1–6. http://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/803/1/ 012112/pdf.
Velázquez-Benítez A.M., Reyes-Medrano M., Vélez-Cordero J.R., Hernández-Cordero J. // J. Lightwave Technol. 2015. V. 33. № 1. P. 176.
Scolari L., Alkeskjold Th.T., Riishede J. et al. // Opt. Express. 2005. V. 13. № 19. P. 7483.
Микаэлян А.Л. Теория и применение ферритов на сверхвысоких частотах. М.;Л.: Госэнергоиздат, 1963.
Лакс Б., Баттон К. Сверхвысокочастотные ферриты и ферримагнетики / Пер. с англ. М.: Мир, 1965.
Lee J.K., Kong J.A. // J. Opt. Soc. Amer. A. 1985. V. 2. № 12. P. 2171.
Veniaminova Y., Stashkevich A.A., Roussigné Y. et al. // Opt. Mater. Express. 2012. V. 2. № 9. P. 1260.
Yeon H. Lee, Chong-Hoon Kwak, El-Hang Lee // J. Opt. Soc. Amer. B. 1996. V. 13. № 12. P. 2762.
Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Физматлит, 2001.
Vytovtov K. // J. Opt. Soc. Amer. A. 2005. V. 22. № 4. P. 689.
Борн М., Вольф Э. Основы оптики. 1973. М.: Наука, 1973.
Bытoвтoв K.A. // PЭ. 2001. T. 46. № 2. C. 159.
Vytovtov K., Barabanova E., Vishnevskiy V. // Proc. Communications in Computer and Information Science. 2019. V. 1141. P. 199
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Радиотехника и электроника
Пн.-пт.: 10.00-19.00