Радиотехника и электроника, 2021, T. 66, № 8, стр. 782-790

ВВЕДЕНИЕ

Воздействие помех на системы синхронизации в устройствах радионавигации (ГЛОНАСС, GPS и др.), радиосвязи и радиолокации рассматривалось в ряде работ [1–16]. Среди помех особое внимание уделяется шумовым и активным помехам, к которым, в частности, относятся гармонические прицельные и перестраиваемые помехи. Особое внимание в последние годы уделяется воздействию гармонических помех на системы фазовой автоподстройки.

Определяющая роль в исследовании воздействия помех на систему фазовой автоподстройки (ФАП) принадлежит В.И. Тихонову. Основные статистические характеристики ФАП при воздействии шумовых и гармонических помех получены В.И. Тихоновым и его ближайшими учениками.

К статистическим характеристикам ФАП относятся плотность распределения вероятности (ПРВ) сигнала ошибки, его числовые характеристики в стационарном и переходящих режимах, частота вращательных движений, время достижения указанным сигналом соответствующих порогов и, в частности, среднее время до срыва слежения.

Первые исследования приведенных характеристик были начаты В.И. Тихоновым. К этим работам он активно привлекал своих учеников. В результате комплекса работ была создана теория ФАП, функционирующая под воздействием помех, что имело большое практическое значение и породило массу работ его последователей.

При содействии В.И. Тихонова начато исследование ФАП и при воздействии на нее гармонических помех [11], которое продолжилось в работах [12, 13] на основе применения метода гармонического баланса [17].

В [17, 18] методом гармонического баланса найден ряд динамических характеристик ФАП при условии, что частота гармонической помехи лежит за пределами полосы синхронизации ФАП, причем в [17] это сделано при условии малой амплитуды биений.

1. РАБОТЫ В.И. ТИХОНОВА И ЕГО БЛИЖАЙШИХ УЧЕНИКОВ ПО ИССЛЕДОВАНИЮ ВОЗДЕЙСТВИЯ ШУМОВ И ГАРМОНИЧЕСКИХ ПОМЕХ НА СИСТЕМУ ФАП

Рассмотрим подробно вывод основного соотношения метода гармонического баланса, из которого видна степень приближения полученного результата и, следовательно, возможность оценки его точности. В работе [1, с. 1192] была получена ставшая общеизвестной формула Тихонова

Формула Тихонова (1) соответствует нулевой начальной расстройке ${{{\text{Д}}}_{0}}$ по частоте сигналов, подаваемых на фазовый дискриминатор (рис. 1).

Рис. 1.

Структурная схема ФАП (по В.И. Тихонову): ЭГ – эталонный генератор, ФД – фазовый детектор (дискриминатор), ФНЧ – фильтр низкой частоты, УЭ – управляющий элемент, УГ – управляемый генератор, сигналы u_э – эталонный, u_г – от генератора, u_д – от дискиминатора, u₁ – на входе ФАП.

Там же [1] представлена ПРВ $W\left( x \right)$ в интегральной форме для случая ${{{\text{Д}}}_{0}} \ne 0$ [1, ф-ла (21)] с нормирующим множителем N, в который входит квадрат модуля модифицированной функции Бесселя с мнимым индексом ${{\left| {{{I}_{{iv}}}\left( r \right)} \right|}^{2}},~\left( {v = {{{\text{Д}}}_{0}}} \right)$. В этом случае при вычислениях ПРВ $W\left( x \right)$ требовалось использовать известные таблицы Моргана.

В работе [3, ф-ла (9)] интегральная формула Тихонова была преобразована в быстросходящийся ряд по модифицированным функциям Бесселя с целочисленным индексом и исследована сходимость полученного ряда. Величина ${{\left| {{{I}_{{iv}}}\left( r \right)} \right|}^{2}}$ была представлена (рис. 2) [1, рис. 2.2 ; 4, ф-ла (XIX)] в форме ряда

Рис. 2.

Зависимость квадрата модуля модифицированной функции Бесселя от аргумента и чисто мнимого порядка iv.

Впервые результаты расчета ПРВ $W\left( x \right)$ (при ${{{\text{Д}}}_{0}} \ne 0$) опубликованы в работе [5].

С учетом оценки сходимости ряда для ПРВ $W\left( x \right)$ [3] при точности $\varepsilon = {{10}^{{ - 4}}}$ получено, что число слагаемых отрезка ряда равно $N = 4,~7,~10,~15,~22,~26$ при ОСШ $r = 1,~2.7,~4.5,~7.4,~12.2,~17.$ На рис. 3 приведены ПРВ $W\left( x \right)$ при $r = 7.4$ и различных значениях $v = {{{\text{Д}}}_{0}}$ [3].

Рис. 3.

Плотность распределения вероятностей фазовой ошибки при отношении сигнал/шум r = 7.4 и разных значениях частотной расстройки, приближенные значения ПРВ отмечены крестиками и кружками.

На основе ПРВ $W\left( x \right)$ в форме рядов получены формулы для начальных моментов ${{m}_{{1x}}}$ и ${{m}_{{2x}}}$ сигнала рассогласования ФАП [4], а также формула дисперсии (при $v = 0$) [7]:

Была разработана разностная схема для уравнения [1, ф-ла (13)] и найдена ПРВ $W\left( {x,t} \right)$ в переходном режиме (рис. 4) при $r = 2.5;~\,\,v = 0$ и ${{x}_{0}} = 1;$ $~{{W}_{0}}\left( x \right) = \delta \left( {x - {{x}_{0}}} \right).$

Рис. 4.

Плотность распределения вероятностей фазовой ошибки W(x, t) в переходном режиме при r = 2.5 и нулевой расстройке по частоте.

Следует отметить, что в первой работе [1] В.И. Тихоновым решена и другая (в отличие от ПРВ $W\left( x \right)$) проблема статистической динамики ФАП, а именно получена характеристика вращательных движений ${{\beta }_{c}}$ в системе ФАП, которая после преобразований может быть представлена в виде [4]

Рис. 5.

Характеристика вращательных движений ФАП (сплошные кривые), где β = v/r, β_c – нормированная частота вращательных движений; асимптотика β_c для систем ФАП второго порядка (штриховые).

В работе [10], а также [5, 8] аналитически, экспериментально и посредством моделирования была детально исследована проблема срыва слежения в системе ФАП. В частности, рассмотрена задача достижения границ марковским процессом [10], найдены формулы для начальных моментов времени ${{T}_{1}}$ до срыва слежения. Показано, что нормированное среднее время ${{\gamma }_{c}} = {{\Omega }}{{T}_{c}}$ (${{\Omega }}$ – полоса синхронизации ФАП, ${{T}_{c}} = {{T}_{1}}$) может быть представлено в виде (рис. 6, $\beta = {v \mathord{\left/ {\vphantom {v r}} \right. \kern-0em} r}$)

Рис. 6.

Зависимости нормированного среднего значения времени до срыва слежения от параметров ФАП (сплошные кривые), расчет по асимптотическим формулам (штриховые) и нормированное среднеквадратическое значение времени до срыва слежения (крестики).

Получены также зависимости ${{\gamma }_{1}}\left( s \right) = \Omega {{T}_{1}}\left( s \right)$ от порога s (рис. 7). Найдена вероятность срыва слежения (рис. 8) на основе разностной схемы уравнения Понтрягина.

Рис. 7.

Зависимость нормированного среднего значения времени достижения порога s.

Рис. 8.

Зависимость вероятности срыва слежения от времени и отношения сигнал/шум.

Экспериментально показано, что срыв слежения в системе ФАП определяется не только простым пересечением сигналом рассогласования фазовых уровней ${\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 2}} \right. \kern-0em} 2}$ и π, а также циклом вращения вокруг фазового цилиндра с последующим переходом от от состояния равновесия к соседнему (рис. 9). Данные явления срыва подтверждены результатами моделирования ФАП (рис. 10).

Рис. 9.

Осциллограммы при физическом моделировании срыва слежения.

Рис. 10.

Зависимости, полученные при математическом моделирование срыва слежения.

Исследования В.И. Тихонова шумовых воздействий на ФАП продолжены его учениками. В результате наряду с шумовыми помехами рассмотрены и воздействия на ФАП и гармонических помех [11–13].

Следует отметить, что наряду с анализом ФАП под воздействием помех В.И. Тихонов получил ряд результатов в области синтеза оптимальных систем ФАП [7, 14] (рис. 11).

Рис. 11.

Структурная схема оптимальной (по В.И. Тихонову) системы ФАП: АРУ – автоматическая регулировка усиления, НФ – нелинейный фильтр, РЛ – управляющий элемент.

2. ВОЗДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ПОМЕХИ НА СИСТЕМУ ФАП

2.1. Основные соотношения метода гармонического баланса

Можно показать, что при воздействии на ФАП наряду с сигналом и гармонической помехи дифференциальное уравнение ФАП имеет вид [17]

(6)

$px~ = {\text{\;}}\beta - F\left( p \right)\left[ {{\text{sin\;}}x + \varepsilon ~{\text{sin}}\left( {x + dt + {{\Delta }}\theta } \right)} \right],$

где $p~\,\, = {d \mathord{\left/ {\vphantom {d {dt}}} \right. \kern-0em} {dt}}$ – оператор дифференцирования; $t\,~ = {{\Omega }}{{t}_{1}}$; ${{t}_{1}}$ – время в c; ${{\Omega }}$ – полоса синхронизации ФАП; $x~ = {\text{\;}}x\left( t \right)$ – сигнал рассогласования; $\beta ~\,\, = {{{{{{\Omega }}}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{{\Omega }}}_{0}}} {{\Omega }}}} \right. \kern-0em} {{\Omega }}}$; ${{{{\Omega }}}_{0}} = {{\omega }_{{{\text{c}}~}}} - ~\,\,{{\omega }_{0}}$ – расстройка по частоте сигнала ${{\omega }_{{{\text{c}}~}}}$ и частотой управляемого генератора (УГ) ${{\omega }_{0}}$; $\varepsilon ~\,\, = {{{{A}_{{\text{п}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{A}_{{\text{п}}}}} {{{A}_{{\text{с}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{A}_{{\text{с}}}}}}$ – отношение амплитуд помехи ${{A}_{{\text{п}}}}$ и сигнала ${{A}_{{\text{с}}}}$ (ОПС); $d\,\,~ = \,\,~{{\Delta \Omega } \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta \Omega } \Omega }} \right. \kern-0em} \Omega }$; $\Delta \Omega ~\,\, = \,\,~{{\omega }_{{\text{п}}}}~~ - \,\,~{{\omega }_{{\text{с}}}}~$ – разность частот помехи и сигнала.

Предполагаемое решение дифференциального уравнения (6) в методе гармонического баланса при учете лишь одной гармоники принимается в виде [17]

(7)

Параметры предполагаемого решения (7) – постоянная составляющая ${{x}_{0}}$, амплитуда первой гармоники ${{x}_{1}}$ и фазовый угол ${{\Phi }}$ – найдены в процессе гармонического баланса подстановкой (7) в левую и правую части дифференциального уравнения (6).

В работе [17] эти параметры были нами найдены при условии малого значения амплитуды ${{x}_{1}}$ и при условии $d > 1$, что обусловило использование приближенных соотношений [17] (нулевое приближение):

(8)

Затем нами были получены уточняющие соотношения на основе первого приближения.

В данной статье при использовании дифференциального уравнения (6) и предполагаемого решения в форме (7) используем более строгий подход (второе приближение), когда вместо (8) используются приближения более высокого порядка, в связи с чем повышается точность полученных результатов: динамических характеристик и критических значений параметров ФАП и помехи.

В данном случае используются отрезки рядов

(9)

где ${{J}_{0}} = {{J}_{0}}({{x}_{1}})$, ${{J}_{1}} = {{J}_{1}}({{x}_{1}})$, ${{J}_{2}} = {\text{\;}}{{J}_{2}}({{x}_{1}})$ – функции Бесселя соответствующих порядков, причем здесь добавляется в разложении (9) вторая гармоника ${\text{cos\;}}2{{\Phi }}$.

В результате вместо (8) используются соотношения

(10)

Подставляя предполагаемое решение (2) в исходное дифференциальное уравнение (6), получим

$\begin{gathered} - d{{x}_{1}}\sin \Phi = \beta \,\,~ - \,\,~F\left( p \right)\left\{ {\sin x + ~\,\varepsilon \sin \left( {x + dt + \Delta \theta } \right)} \right\} = \\ = \beta ~\,\, - \,\,~F\left( p \right)\left\{ {\sin \left[ {{{x}_{0}} + \,~{{x}_{1}}~\cos \Phi } \right]~} \right. + \\ \left. { + \,\,~\varepsilon ~\sin x~\cos \left( {\Phi ~ - \psi } \right)\,~ + ~\varepsilon ~\cos x~\sin \left( {\Phi ~ - ~\psi } \right)} \right\} = \\ = \,\,~\beta \,\,~ - \,\,~F\left( p \right)\{ \sin {{x}_{0}}~\cos \left( {{{x}_{1}}~\cos \Phi } \right)~\,\, + \\ + ~\cos {{x}_{0}}~\sin \left( {{{x}_{1}}~\cos \Phi } \right) + \varepsilon ~\sin \left( {{{x}_{0}}~\,\, + \,\,~{{x}_{1}}~\cos \Phi } \right) \times \\ \times \,\,\left( {\cos \Phi \cos \psi ~ + ~\sin \Phi \sin ~\psi } \right) + \\ + \,\,\varepsilon ~\cos \left( {{{x}_{0}}\,\,~ + ~{{x}_{1}}~\cos \Phi } \right)\left( {\sin \Phi \cos \psi ~\,\, - ~\cos \Phi \sin \psi } \right) = \\ = \beta ~\,\, - ~\,\,F\left( p \right)\{ \sin ~{{x}_{0}}~\cos \left( {x1~\cos \Phi } \right)\,\,~ + \\ + ~\cos ~{{x}_{0}}~\sin \left( {{{x}_{1}}~\cos \Phi } \right) + \varepsilon \left[ {\sin ~{{x}_{0}}~\cos \left( {{{x}_{1}}~\cos \Phi } \right)~\,\, + } \right. \\ \left. {~ + \,\,\cos ~{{x}_{0}}~\sin {{x}_{1}}~\cos \Phi } \right]\left[ {\cos \Phi \cos \psi ~\,\, + ~\sin \Phi \sin ~\psi } \right] + \\ + \,\,\varepsilon \left[ {\cos ~{{x}_{0}}~\cos \left( {{{x}_{1}}~\cos \Phi } \right)~\,\, - ~\sin ~{{x}_{0}}~\sin \left( {{{x}_{1}}~\cos \Phi } \right)} \right] \\ \left. { \times \,\,\left[ {\sin \Phi \cos \psi ~ - ~\cos \Phi \sin ~\psi } \right]} \right\}. \\ \end{gathered} $

Воспользуемся соотношением (9). В результате получим (первая стадия упрощения)

$\begin{gathered} - d{{x}_{1}}~\sin \Phi \,\,~ = \,~\beta ~\,\, - \,\,~F\left( p \right)\{ \sin ~{{x}_{0}}\left( {{{J}_{0}}~\,\, - \,\,~2{{J}_{2}}\cos ~2\Phi } \right)~\,\, + \\ + \,\,~\cos {{x}_{{0~}}}2{{J}_{1}}\cos \Phi + \varepsilon \left[ {\sin ~{{x}_{0}}\left( {{{J}_{0}} - 2{{J}_{2}}~\cos ~2\Phi } \right) + ~} \right. \\ \left. { + \,\,~\cos ~{{x}_{0}}~2{{J}_{1}}\cos \Phi } \right][\cos \Phi \cos \psi \,\,~ + ~\sin \Phi \sin \psi + \\ + \,\,\varepsilon \left[ {\cos ~{{x}_{0}}\left( {{{J}_{0}} - 2{{J}_{2}}~\cos ~2\Phi } \right)~\,\, - ~\sin ~{{x}_{0}}~~2{{J}_{1}}\cos \Phi } \right] \times \\ \left. { \times \,\,[\sin \Phi \cos \psi ~ - ~\left. {\cos \Phi \sin \psi } \right]} \right\}. \\ \end{gathered} $

На второй стадии упрощения пренебрегаем второй гармоникой во втором слагаемом в фигурных скобках, при перемножении воспользуемся приближенными равенствами (отбросим третьи гармоники):

а также отбросим вторые гармоники, возникающие в произведениях,

В результате в правой части приведенного соотношения останутся лишь первые гармоники вида и :

$\begin{gathered} - d{{x}_{1}}\sin \Phi ~\,\, = \,\,~\beta \,\,~ - \,\,~F\left( p \right)\{ {{J}_{0}}~\sin ~{{x}_{0}}~\,\, + \\ + \,\,~\cos ~{{x}_{0}}~~2{{J}_{1}}~\cos \Phi + \varepsilon {{J}_{0}}~\sin ~{{x}_{0}} \times \\ \times \,\,\left( {\cos \Phi \cos \psi ~\,\, + ~\sin \Phi \sin ~\psi } \right) - \varepsilon {{J}_{2}}~\sin ~{{x}_{0}}~\,\, \times \\ \times \,\,\cos \psi ~\cos \Phi ~\,\, + \,\,~\varepsilon {{J}_{2}}\sin ~{{x}_{0}}~\sin ~\psi ~\sin \Phi ~\,\, + \\ + \,\,~\varepsilon {{J}_{1}}~\cos ~{{x}_{0}}~\cos \psi + \varepsilon {{J}_{0}}~\cos ~{{x}_{0}} \times \\ \times \,\,\left( {\sin \Phi \cos \psi \,\,~ - ~\cos \Phi \sin ~\psi } \right) + \varepsilon {{J}_{2}}~\cos ~{{x}_{0}}~\,\, \times \\ \times \,\,\cos \psi ~\sin \Phi ~\,\, + \,\,~\varepsilon {{J}_{2}}~\cos ~{{x}_{0}}~\sin ~\psi \,\,~ \times \\ \times \,\,\cos \Phi \,\,~\left. { + \,\,~\varepsilon {{J}_{1}}~\sin ~{{x}_{0}}~\sin ~\psi } \right\}. \\ \end{gathered} $

Выделим в правой части данного соотношения постоянную составляющую

(11)

$\beta ~\,\, - {{M}_{0}}\left[ {{{J}_{{\text{o}}}}{\text{\;sin}}{{x}_{0}}{\text{\;}} + \varepsilon {{J}_{1}}{\text{\;cos}}\left( {{{x}_{0}}{\text{\;}} - \,\,~\psi } \right)} \right] = {\text{\;}}0,$

где ${{M}_{0}}{\text{\;}} = F\left( 0 \right).$

В результате оставшиеся переменные характеризуются соотношениями

(12)

где

$\begin{gathered} A~\,\, = - 2{{J}_{1}}{\text{\;cos\;}}{{x}_{0}}{\text{\;}} - \,\,~\varepsilon \left( {{{J}_{0}}{\text{\;}} - ~\,{{J}_{2}}} \right){\text{sin}}\left( {{{x}_{0}}{\text{\;}} - ~\,\,\psi } \right), \\ B~\,\, = \varepsilon \left( {{{J}_{0}}{\text{\; + }}\,{{J}_{2}}} \right){\text{cos}}\left( {{{x}_{0}} - \,\,~\psi } \right). \\ \end{gathered} $

Запишем передаточную функцию фильтра в комплексной форме

(13)

$F~\left( p \right)~\,\, = ~\,\,M~{\text{exp}}\left( {iP} \right)~,$

где $M = \left| {F~\left( p \right)} \right|~$, $P = {\text{arg}}F\left( p \right).~$

В результате из (12) с учетом (13) находим

После гармонического баланса по и получим два уравнения относительно величин ${\text{cos}}P$ и ${\text{sin\;}}P$:

(18)

$\begin{gathered} A{\text{cos}}P - B~{\text{sin}}P = {\text{\;}}0, \\ B{\kern 1pt} {\text{cos}}P + A{\text{sin}}P = \frac{{d{{x}_{1}}}}{M}. \\ \end{gathered} $

Определитель ${{\Delta }}$ системы уравнений (14) имеет вид

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} A&{ - B} \\ B&A \end{array}} \right| = {{A}^{2}} + {{B}^{2}}.$

В результате решения системы уравнений (14) находим искомые величины ${\text{cos}}{\kern 1pt} P$ и ${\text{sin}}P$ в виде

(15)

${\text{cos}}P~\, = {{{{{{\Delta }}}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{{\Delta }}}_{1}}} {{\Delta }}}} \right. \kern-0em} {{\Delta }}};\,\,\,{\text{sin}}P\,\,~ = {{{{{{\Delta }}}_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{{\Delta }}}_{2}}} {{\Delta }}}} \right. \kern-0em} {{\Delta }}}.$

где

${{{{\Delta }}}_{1}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - B} \\ {\frac{{d{{x}_{1}}}}{M}}&{ - A} \end{array}} \right| = B\frac{{d{{x}_{1}}}}{M} = \frac{{d{{x}_{1}}}}{M}\varepsilon \left( {{{J}_{0}}{\text{\;}} + {{J}_{2}}} \right){\text{cos}}\left( {{{x}_{0}}{\text{\;}} - ~\psi } \right),$

$\begin{gathered} {{{{\Delta }}}_{2}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} A&0 \\ B&{\frac{{d{{x}_{1}}}}{M}} \end{array}} \right| = A\frac{{d{{x}_{1}}}}{M} = \frac{{d{{x}_{1}}}}{M}\varepsilon \left( {{{J}_{0}}{\text{\;}} - ~{{J}_{2}}} \right) \times \\ \times \,\,{\text{sin}}\left( {\psi ~ - ~{{x}_{0}}} \right){\text{\;}} - \,\,~2{{J}_{1}}{\text{\;cos\;}}{{x}_{0}}. \\ \end{gathered} $

Очевидно, что

${\text{sin}}{{{\text{\;}}}^{2}}P~ + {\text{\;cos}}{{{\text{\;}}}^{2}}P = \frac{{{{\Delta }}_{1}^{2}}}{{{{{{\Delta }}}^{2}}}} + \frac{{{{\Delta }}_{2}^{2}}}{{{{{{\Delta }}}^{2}}}} = 1.$

Отсюда имеем

${{\Delta }}_{1}^{2} + {{\Delta }}_{2}^{2} = \frac{{d{{x}_{1}}}}{M}\left( {{{A}^{2}} + {{B}^{2}}} \right) = {{\left( {\frac{{d{{x}_{1}}}}{M}} \right)}^{2}}{{\Delta }} = {{{{\Delta }}}^{2}}.$

Таким образом, эквивалентная запись определителя имеет вид

${{\Delta }} = {{\left( {\frac{{d{{x}_{1}}}}{M}} \right)}^{2}}.$

Поэтому окончательно получим

${\text{сos}}P = \frac{{{{{{\Delta }}}_{1}}}}{{{\Delta }}} = \frac{{{{M}^{2}}}}{{{{{\left( {d{{x}_{1}}} \right)}}^{2}}}}\frac{{d{{x}_{1}}}}{M}B = \frac{M}{{d{{x}_{1}}}}B,$

${\text{sin}}P = \frac{{{{{{\Delta }}}_{2}}}}{{{\Delta }}} = \frac{{{{M}^{2}}}}{{{{{\left( {d{{x}_{1}}} \right)}}^{2}}}}\frac{{d{{x}_{1}}}}{M}A = \frac{M}{{d{{x}_{1}}}}A,$

или в другой форме –

(16)

$d{{x}_{1}}~{\text{cos}}P~ = {\text{\;}}\varepsilon M\left( {{{J}_{0}}{\text{\;}} + {\text{\;}}{{J}_{2}}{\text{\;}}} \right){\text{cos}}\left( {\psi ~ - ~{{x}_{0}}} \right),$

(17)

$\begin{gathered} d{{x}_{1}}~{\text{sin\;}}P = \\ = M\left[ {\varepsilon \left( {{{J}_{0}} - ~{{J}_{2}}{\text{\;}}} \right){\text{sin}}\left( {\psi ~ - ~{{x}_{0}}} \right) - \,~2{{J}_{1}}{\text{\;cos\;}}{{x}_{0}}} \right], \\ \end{gathered} $

где ${{J}_{0}} = {{J}_{0}}\left( {{{x}_{1}}} \right),$ ${{J}_{1}} = {{J}_{1}}\left( {{{x}_{1}}} \right),~$ $~{{J}_{2}} = {{J}_{2}}\left( {{{x}_{1}}} \right).$

Полученные соотношения (11), (16), (17) совпадают с соответствующими уравнениями (7)–(9), приведенными в [18] без вывода, теперь по приведенному процессу их вывода можно судить о степени приближенности найденных соотношений.

При ${{J}_{2}} = {{J}_{2}}\left( {{{x}_{1}}} \right) = 0~$ по (16), (17) следует частный случай, полученный ранее.

2.2. Соотношения для параметров${{x}_{0}}$, ${{x}_{1}}$, $\psi $ предполагаемого решения дифференциального уравнения

По (16) и (17) может быть найдена система уравнений относительно величин ${\text{cos}}\psi $ и ${\text{sin}}\psi $, имеющая вид

(18)

$\begin{array}{*{20}{c}} {\cos ~{{x}_{0}}~\cos \psi + \sin {{x}_{0}}\sin ~\psi = {{c}_{1}},} \\ { - ~{\kern 1pt} \sin ~{{x}_{0}}\cos \psi + \cos ~{{x}_{0}}\sin ~\psi = {{c}_{2}},} \end{array}$

где

$\begin{gathered} {{c}_{1}} = \frac{{d{{x}_{1}}}}{{\varepsilon M\left( {{{J}_{0}} + {{J}_{2}}} \right)}}{\text{cos}}P, \\ {{c}_{2}} = \frac{{d{{x}_{1}}}}{{\varepsilon M\left( {{{J}_{0}} - {{J}_{2}}} \right)}}{\text{sin}}P - \frac{{2{\text{cos}}{{x}_{0}}}}{{\varepsilon \left( {{{J}_{0}} - {{J}_{2}}} \right)}}{{J}_{1}}. \\ \end{gathered} $

Определитель системы (18) равен единице, поэтому

(19)

${\text{cos}}\psi = {{{{\Delta }}}_{1}},~\,\,\,~{\text{sin}}\psi = {{{{\Delta }}}_{2}},$

где

$\begin{gathered} {{{{\Delta }}}_{1}} = \frac{{d{{x}_{1}}}}{{\varepsilon M\left( {J_{0}^{2} - J_{2}^{2}} \right)}}\left[ {{{J}_{0}}{\text{\;cos}}\left( {P~ + {\text{\;}}{{x}_{0}}} \right) - ~{{J}_{2}}{\text{\;cos}}\left( {P~ - ~{{x}_{0}}} \right)} \right] - \\ - \,\,\frac{{{{J}_{1}}}}{{\varepsilon \left( {{{J}_{0}} - {{J}_{2}}} \right)}} - ~{\text{sin\;}}2{{x}_{0}} = {{\gamma }_{1}}{{F}_{1}},\,\,\,\,{{{{\Delta }}}_{2}} = \frac{{d{{x}_{1}}}}{{\varepsilon M\left( {J_{0}^{2} - J_{2}^{2}} \right)}} \times \\ \times \,\,\left[ {{{J}_{0}}{\text{\;sin}}\left( {{{x}_{0}} + P~} \right) - ~{{J}_{2}}{\text{\;sin}}\left( {{{x}_{0}} - P~} \right)} \right] + \\ + \,\,\frac{{2{{J}_{1}}}}{{\varepsilon \left( {{{J}_{0}} - {{J}_{2}}} \right)}}~{\text{co}}{{{\text{s}}}^{2}}2{{x}_{0}} = {{\gamma }_{1}}{{F}_{2}},\,\,\,\,{{\gamma }_{1}} = \frac{{d{{x}_{1}}}}{{\varepsilon M\left( {J_{0}^{2} - J_{2}^{2}} \right)}}, \\ {{F}_{1}}{\text{\;}} = d\left[ {{{J}_{0}}{\text{\;cos}}\left( {P~ + {\text{\;}}{{x}_{0}}} \right) - ~{{J}_{2}}{\text{\;cos}}\left( {P~ - ~{{x}_{0}}} \right)} \right)]{\text{\;}} - \\ - \,\,\frac{1}{2}\frac{2}{{{{x}_{1}}}}{{J}_{1}}M\left( {{{J}_{0}}{\text{\;}} + {{J}_{2}}} \right){\text{\;sin}}2{{x}_{0}}, \\ {{F}_{2}}{\text{\;}} = d\left[ {{{J}_{0}}{\text{\;cos}}\left( {P~ + {\text{\;}}{{x}_{0}}} \right) + ~{{J}_{2}}{\text{\;cos}}\left( {P~ - ~{{x}_{0}}} \right)} \right)] - \\ - \,\,\frac{2}{{{{x}_{1}}}}{{J}_{1}}M\left( {{{J}_{0}}{\text{\;}} + {{J}_{2}}} \right){\text{\;co}}{{{\text{s}}}^{2}}2{{x}_{0}}. \\ \end{gathered} $

При малых значениях амплитуды ${{x}_{1}}$ функция ${{J}_{2}}\left( {{{x}_{1}}} \right) \approx 0$, поэтому в этом случае из (19) находим

(20)

$\begin{gathered} {{{{\Delta }}}_{1}} = \frac{{{{x}_{1}}}}{{\varepsilon M{{J}_{0}}}} \times \\ \times \,\,\left[ {d{\text{\;cos}}\left( {P~ + {\text{\;}}{{x}_{0}}} \right) - \,\,~\frac{1}{2}\frac{2}{{{{x}_{1}}}}{{J}_{1}}M{\text{sin}}2{{x}_{0}}} \right] = {{\gamma }_{{10}}}{{F}_{{10}}}, \\ \end{gathered} $

(21)

$\begin{gathered} {{{{\Delta }}}_{1}} = \frac{{{{x}_{1}}}}{{\varepsilon M{{J}_{0}}}} \times \\ \times \,\,\left[ {d{\text{\;cos}}\left( {P~ + {\text{\;}}{{x}_{0}}} \right) - ~\,\,\frac{2}{{{{x}_{1}}}}{{J}_{1}}M{\text{co}}{{{\text{s}}}^{2}}{{x}_{0}}} \right] = {{\gamma }_{{20}}}{{F}_{{20}}}. \\ \end{gathered} $

Далее из (17) находим

$\begin{gathered} {\text{sin}}\left( {\psi ~\,\, - \,\,~{{x}_{0}}} \right) = \frac{1}{{\varepsilon M\left( {{{J}_{0}} - {{J}_{2}}} \right)}} \times \\ \times \,\,\left( {\frac{{d{{x}_{1}}}}{M}{\text{sin}}P + 2{{J}_{1}}{\text{cos}}{{x}_{0}}} \right) = G. \\ \end{gathered} $

Тогда

(22)

$\psi = \left\{ \begin{gathered} ~{{x}_{0}}{\text{\;}} + \varphi {\kern 1pt} ,\,\,\,\,~{\text{при}}\,\,\,\,d > ~~0,{\text{\;}}\beta ~\,\, > \,\,~0, \hfill \\ {{x}_{0}} - \varphi + \pi ,\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,\,d~~ < 0,\,\,\beta \,\,~ > \,\,~0; \hfill \\ \end{gathered} \right.$

где $\varphi = {\text{\;arcsin}}G.$

Графики зависимости $\psi \,\,~ = f\left( d \right)$ представлены на рис. 12 при $\varepsilon $ = 0.5, $a$ = 0.8; $~\alpha _{0}^{{ - 2}}$ = 6.25, при невырожденном и вырожденном фильтре для $\beta $ = 0.9, 0.7 и 0.5.

Рис. 12.

Зависимость фазового угла ψ от относительной разности частот d помехи и сигнала при ε = 0.5; a = 0.8; Ωτ = 6.25 (τ – постоянная времени фильтра) и различных β = 0.9 (1, 2); 0.7 (3, 4); 0.5 (5, 6) в случае невырожденного (1, 3, 5) и вырожденного фильтров (2, 4, 6).

Соотношение для постоянной составляющей $~{{x}_{0}}$ находится по (11) с учетом (16) и имеет вид

(23)

${\text{sin\;}}{{x}_{0}} = \frac{1}{{{{J}_{0}}}}\left[ {\frac{\beta }{{{{M}_{0}}}} - {{J}_{1}}\frac{{d{{x}_{1}}{\text{cos}}P}}{{M\left( {{{J}_{0}} + {{J}_{2}}} \right)}}} \right].$

Графики зависимости ${{x}_{0}} = f\left( d \right)$ изображены на рис. 13а при $\varepsilon $ = 0.5; $a$ = 0.8; $\alpha _{0}^{{ - 2}}$ = 6.25 при невырожденном и вырожденном фильтре для $\beta $ = 0.9, 0.7 и 0.5.

Рис. 13.

Зависимость постоянной составляющей x₀ (а) и амплитуды первой гармоники x₁ (б) от относительной разности частот d помехи и сигнала при ε = 0.5; a = 0.8; Ωτ = 6.25 и различных β = 0.9 (1, 2); 0.7 (3, 4); 0.5 (5, 6) в случае невырожденного (1, 3, 5) и вырожденного фильтров (2, 4, 6).

Остается найти зависимость амплитуды$~{{x}_{1}}$ первой гармоники предполагаемого решения от параметров ФАП и отстройки $d$. По (19) находим неявную зависимость

(24)

$x_{1}^{2} = \frac{{{{{\left( {\varepsilon M} \right)}}^{2}}{{{\left( {J_{0}^{2} - J_{2}^{2}} \right)}}^{2}}}}{{{{d}^{2}}{{{\left( {F_{1}^{2} + F_{2}^{2}} \right)}}^{2}}}}.$

При больших отстройках $d$ находим

(25)

$x_{1}^{2} = \frac{{\varepsilon J_{0}^{2}}}{{{{d}^{2}} + {{{[{{2{{J}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2{{J}_{1}}} {{{x}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{x}_{1}}}}]}}^{2}}{\text{cos}}{{x}_{0}}}} \approx \frac{{{{\varepsilon }^{2}}}}{{{{d}^{2}} + 1 - {{\beta }^{2}}}}.$

Графики зависимости ${{x}_{1}} = f\left( d \right)$ представлены на рис. 13б при тех же параметрах, что и на рис. 13а.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, определяющая роль в создании теории ФАП под воздействием помех принадлежит В.И. Тихонову и его ближайшим ученикам. Были создали не только методы анализа стохастической ФАП, но и ее синтеза на основе нелинейной теории оптимальной фильтрации Р.Л. Стратоновича [19] (научным руководителем Р.Л. Стратоновича на раннем этапе его творчества был B.И. Тихонов).

Следует также отметить заметный вклад В.И. Тихонова в исследование теории выбросов случайных процессов [20] и теории передачи сообщений [21].