Радиотехника и электроника, 2022, T. 67, № 6, стр. 557-561

ВВЕДЕНИЕ

Сверхширокополосные (СШП) антенные решетки ТЕМ-рупоров интенсивно исследуются в настоящее время. Интерес к ним связан с требованием расширения полосы рабочих частот радиотехнических систем. При этом большинство известных работ (см., например, [1–5]) посвящено численному и экспериментальному исследованию конструкций таких решеток. В отличие от линейных и кольцевых решеток при использовании ТЕМ-рупора в качестве элемента двумерной решетки возникает эффект аномально высокого заднего излучения [6, 7], а использование металлического экрана приводит к значительному сужению полосы согласования. Для частичного преодоления указанной проблемы были предложены [8, 9] двумерные решетки ТЕМ-рупоров с металлизацией межрупорного пространства. В указанных работах моделирование проводилось численно-аналитическим методом Бубнова–Галеркина для решения интегрального уравнения, а также при помощи электродинамического моделирования.

Для моделирования больших антенных решеток было использовано приближение бесконечной решетки [7, 8, 10]. Анализ такой структуры сводится к анализу одного ее периода, получившего название канала Флоке, т.е. фактически исследовали собственные волны канала Флоке. Аналогичный подход использован для решеток антенн Вивальди без диэлектрического заполнения [11, 12].

В рамках указанного метода канал Флоке рассматривается как ступенчатый волноводный трансформатор, преобразующий волны, возбужденные источником, в волны пустого канала Флоке (т.е. свободного пространства). Анализ неоднородного канала Флоке проводится в два этапа. На первом решается задача о собственных волнах однородного канала. Иными словами, строится математическая модель, связывающая параметры собственных волн с геометрическими параметрами структуры. На втором этапе строится математическая модель неоднородной структуры: исследуемый ТЕМ-рупор разбиваем на парциальные ступеньки и для каждой определяем волновую матрицу передачи, а затем находим результирующую матрицу путем их перемножения.

В работе [10] для нахождения импеданса в сечении канала Флоке использовали метод Бубнова–Галеркина [7]. Цель данной работы – развитие альтернативного способа анализа СШП-решеток ТЕМ-рупоров с металлизацией межрупорного пространства с помощью метода конформного отображения.

2. МЕТОД КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ

Метод конформного отображения является строгим методом решения электростатических задач. Определение характеристического сопротивления (импеданса) одиночного ТЕМ-рупора методом конформного отображения проводилось в [13], причем было показано, что импеданс регулярного бесконечного ТЕМ-рупора в квазистатическом приближении зависит только от двух угловых параметров и не меняется вдоль его длины. В данной работе аналогичный метод был применен для определения импеданса в сечении бесконечной решетки ТЕМ-рупоров.

На рис. 1а и 1б показаны соответственно канал Флоке и его поперечное сечение. В синфазной решетке на боковых поверхностях канала Флоке могут быть установлены идеальные электрические и идеальные магнитные стенки. В результате задача сводится к четверти поперечного сечения канала Флоке (рис. 2).

Чтобы определить импеданс, отобразим этот элемент на прямоугольник, причем на его горизонтальных ребрах выполняются граничные условия идеальной электрической проводимости, а на вертикальных ребрах – идеальной магнитной проводимости. Такую структуру принято называть ТЕМ-волноводом. Его импеданс определяется как отношение его сторон [14]. В связи с тем, что не существует прямого решения для конформного отображения многоугольника на прямоугольник, отображение будем осуществлять в два этапа, используя известные отображения многоугольника на полуплоскость интеграла Шварца–Кристоффеля и полуплоскости на прямоугольник. Конформное отображение многоугольника на полуплоскость [15] осуществляют с использованием выражения (1), которое устанавливает соответствие между вершинами многоугольника на плоскости z₁ и точками ${{a}_{n}}$ на нижней границе верхней полуплоскости Im(ω) > 0. Для произвольного многоугольника преобразование Шварца–Кристоффеля имеет следующий вид:

где n – общее число вершин многоугольника, ${{\alpha }_{j}}$ – внутренний угол многоугольника в вершине A_j. Основной проблемой метода конформного отображения при использовании интеграла Шварца–Кристоффеля является определение неизвестных констант, входящих в выражение (1). Их определяют из условий тождества многоугольника, который задается отображением (1) и поперечного сечения канала Флоке. Для определения констант конформного отображения (1) нами предложен следующий численный алгоритм.

Первый этап преобразования отображает плоскость z₁ (рис. 3а) на комплексную плоскость ω (рис. 3б). Тогда общее выражение (1) принимает вид

причем контур многоугольника на плоскости z₁ соответствует действительной оси плоскости ω, вершины А₀…А₅ соответствуют точкам а₀, …, а₅ действительной оси плоскости ω, внутренний угол многоугольника при вершине A_j равен α_jπ (j = 0, 1, …, n ‒ 1). Для каждого многоугольника в плоскости z₁ три точки а_j из шести могут быть выбраны произвольно, а остальные точки и константы С₁ и С₂ определяются единственным образом.

Введем длины сторон многоугольника ${{I}_{j}}$:

Для однозначного определения конформного отображения получаем следующие соотношения:

Постоянную С₁, задающую масштаб фигуры, находят из следующего равенства:

Постоянная C₂ определяет положение многоугольника на плоскости z₁ относительно начала координат. Примем ее равной $i\left| {{{I}_{5}}} \right|{{C}_{1}}$. Тогда вершина А₅ окажется в точке z = 0.

Соотношения (4) используем для определения параметров а₀, …, а₅. Видно, что число неизвестных превышает число уравнений, что дает нам возможность сформулировать для параметров а₀, …, а₅ дополнительные условия. Потребуем выполнения следующих соотношений:

С учетом равенств (6) находим три неизвестные постоянные а₁, …, а₃ и три уравнения (4) для их определения.

Зададим положение точек а₁, …, а₃ с помощью коэффициентов k₁, …, k₃:

где все указанные коэффициенты меняются в пределах интервала от 0 до 1. Определение точек а₁, …, а₃ (7) автоматически обеспечивает выполнение неравенств ${{a}_{1}} < {{a}_{2}} < {{a}_{3}}$.

Введем следующие функции:

Подстановка (8) приводит нас к системе трех уравнений относительно коэффициентов k₁, …, k₃. Непосредственное ее решение представляет собой достаточно трудоемкий процесс, связанный с численным определением интегралов (3). Чтобы избежать больших затрат компьютерного времени, мы использовали процедуру многомерной аппроксимации. Для этого функции А₁, …, А₃ были рассчитаны для дискретных значений аргументов:

По полученным массивам данных строится сплайн-аппроксимация. Для контроля точности получаемого решения введем параметр Δ:

Он позволяет оценить отличие между фигурой на плоскости ${{z}_{1}}$ и истинным сечением канала Флоке. На рис. 4 показана зависимость параметра Δ от расстояния h (см. рис. 1). Кривая получена для ${w \mathord{\left/ {\vphantom {w {{{P}_{x}}}}} \right. \kern-0em} {{{P}_{x}}}}$ = 0.4. Видно, что конформное отображение в описываемом примере осуществляется с относительной погрешностью, не превышающей 10^–7.

На втором этапе с помощью эллиптического интеграла первого рода (11) конформно отобразим верхнюю полуплоскость Im(ω) > 0 на прямоугольник АВСD в плоскости z₂ (см. рис. 3в).

При этом потребуем, чтобы вершины А₀–А₃ на плоскости z₁ перешли на левую вертикальную границу прямоугольника на плоскости z₂, а вершины А₄, А₅ на его правую границу. В этом случае получаем искомое расположение электрических и магнитных стенок, позволяющее записать для импеданса Z_c простое соотношение

где W₀ – волновое сопротивление свободного пространства, отрезки AD, CD (cм. рис. 3в).

Отображение в форме (11) переводит точку ω = 0 на плоскости ω в нулевую точку на плоскости z₂. Точкам а₀, а₃, а₄, а₅ на плоскости ω будут соответствовать точки АBCD на плоскости z₂. Параметр k, задающий положение точки перехода с горизонтальной стороны прямоугольника на вертикальную, выбирается из условия k = 1/a₄. При 0 < u < 1/k, u = Re(ω) подынтегральное выражение в формуле (11) будет чисто действительным, т.е. движению точки в этом интервале в плоскости ω соответствует движение точки вдоль стороны ВС (от 0 до С) в плоскости z₂, а при 1/k < u < 1 выражение становится чисто мнимым и движению точки в этом интервале на плоскости ω будет соответствовать вертикальный отрезок СD. Вычисляя соответствующие интегралы, определяем длины отрезков ВС и СD. Отметим, что величина постоянной С₃, входящей в отображение (11), не влияет на характеристическое сопротивление, так как в него входит отношение длин отрезков и данная константа сокращается.

Отметим, что в результате отображений исходной фигуры на прямоугольник ее две электрические стенки перешли в вертикальные отрезки АВ и CD, а магнитные соответственно в горизонтальные AD и BC, т.е. мы пришли к так называемому ТЕМ-волноводу, для которого известно соотношение (12). Физически это отношение разности потенциалов между двумя металлическими пластинами к полному току на одной из них.

Таким образом, осуществив преобразования (1) и (11) и определив необходимые константы, мы получили решение задачи о характеристическом сопротивлении (импедансе) в сечении канала Флоке.

5. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Результаты расчетов импеданса, полученных при использовании конформного отображения и расчетов с помощью системы электродинамического моделирования HFSS приведены на рис. 5. Расчет был проведен для ячеек Флоке, имеющих вдоль оси 0z постоянное сечение при w = 3, 4, 5 мм и изменении параметра h от 2 до 12 мм. Как видно на рисунке, результаты совпадают с графической точностью.

На рис. 6 представлены зависимости коэффициента отражения от частоты для решетки регулярных ТЕМ-рупоров, расчитанные методом матрицы рассеяния и конформного отображения (точки) и при помощи НFSS (сплошные линии). Результаты совпадают с графической точностью до уровня ‒20 дБ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представленные результаты показали, что метод конформного отображения может быть применен для расчета характеристического сопротивления (импеданса) в сечениях канала Флоке сверхширокополосной синфазной антенной решетки ТЕМ-рупоров с металлизацией межрупорного пространства. Этот вывод подтверждается результатами сравнения с расчетами регулярных ячеек Флоке с использованием HFSS, а также сопоставлением расчетов частотной зависимости коэффициента отражения бесконечной двумерно-периодической решетки регулярных ТЕМ-рупоров.