Радиотехника и электроника, 2022, T. 67, № 6, стр. 541-545
О некоторых канонических представлениях радиометрических задач
В. В. Климов *
Фрязинский филиал Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН
141190 Фрязино, Московской обл., пл. Введенского, 1, Российская Федерация
* E-mail: klimov47@list.ru
Поступила в редакцию 28.05.2019
После доработки 15.10.2021
Принята к публикации 25.12.2021
- EDN: USKPFY
- DOI: 10.31857/S0033849422060110
Аннотация
Рассмотрен и обоснован новый подход к построению комплекса математических и программных средств для экологического мониторинга окружающей среды на основе многоканальной регистрации радиометрической информации и ее анализа и качественной интерпретации. Для решения прямой и обратной задачи получены простые аналитические соотношения, связывающие основные радиофизические параметры с параметрами среды. Подробно рассмотрен случай однородной среды с оценкой диапазона рабочих частот, а также случаи среды с экспоненциальным и полиномиальным поглощением.
В исследовании природных ресурсов Земли важную роль играют дистанционные методы измерения физических характеристик, основное преимущество которых по сравнению с контактными измерениями заключается в высокой скорости регистрации данных. Наряду с оптическими в последнее время все более широкое применение находят радиометрические методы исследования, которые позволяют получать не только поверхностные характеристики Земного покрова, но также и глубинные характеристики покрова [1, 2]. Такие характеристики позволяют, например, следить за влажностью почвы сельскохозяйственных полей, обнаруживать очаги пожаров, возникающие в торфяных образованиях, и решить ряд других народно-хозяйственных задач.
В измерениях, производимых с помощью радиометров различных диапазонов, устанавливаемых на борту самолета или искусственного спутника Земли, широко используется соотношение, связывающее радиояркостную температуру Tяi на рабочей частоте νi с термодинамическими и электрофизическими характеристиками среды [3, 6]:
(1)
$\begin{gathered} {{T}_{{{\text{я}}i}}} = ae\int\limits_0^\infty {T(h){{\gamma }_{i}}(h)\exp \left[ { - \int\limits_0^h {{{\gamma }_{i}}(h{\kern 1pt} ')dh{\kern 1pt} '} } \right]} dh = \\ = - a{{e}_{i}}\int\limits_0^\infty {T(h)d{{F}_{i}}(h)} \kappa , \\ \end{gathered} $Соотношение (1) позволяет по T(h) и γi(h) находить значение Tяi (прямая задача) и по Tяi находить T(h) и γi(h) (обратная задача). Поиск аналитических соотношений, связывающих радиояркостную температуру среды с ее термодинамическими и электрофизическими характеристиками, является актуальным как для решения прямой, так и обратной радиометрических задач.
Приводимые ниже соотношения являются относительно простыми формулами, включающими в себя значения T(h) и γi(h) и их производных в точке h = 0. Опыт работы, проведенной автором по вычислению радиояркостных температур чистой атмосферы и паров воды в диапазоне волн 0.7…2.0 мм, показал эффективность вычислений на основе таких соотношений. Так, применение этих соотношений позволило сократить объем вычислений по сравнению с прямым просчетом в среднем в пять раз. Приведем фрагмент алгоритма, соответствующий вычислению радиояркостной температуры по предлагаемому методу:
for i: =1 step 1 until BB do begin x:=0;
for i1:=j step 1 until HH do begin
h:=(W[i1+1,1] – W[i1,1])/5; dT:=(W[i1+1,4] – W[i1,4]/5;
d3:=(i,i1+1) – G(I, i1))/5; GH:=G(i, i1) – d3/2; TH:=W[i1, 4] – dT/2;
for j1:=1 step 1 until 5 do begin
GH:=GH+d3; TH:=TH+dT;
x:=x+TH·(1 – exp(-GH·H))·exp(–x1);
x1:=x1+GH·H end end; G3[i]:=x end; вывод (G3).
Здесь i – номер частоты, i1 – номер высоты, j – текущая высота наблюдения, G3 – значение радиояркостной температуры, W[i1, 1] – заданная моделью атмосферы высота, W[i1, 4] – заданная моделью атмосферы температура.
Перейдем к обобщению этого алгоритма. Отметим, что
Для удобства дальнейшего рассмотрения введем следующие обозначения:
(4)
$\begin{gathered} {{P}_{{{\text{1,}}i}}}(h) = T(h);\,\,\,\,{{P}_{{2,i}}} = \frac{{T'(h)}}{{{{\gamma }_{i}}(h)}}; \ldots ; \\ {{P}_{{k,i}}}(h) = \frac{{P_{{k - 1,i}}^{'}(h)}}{{{{\gamma }_{i}}(h)}}. \\ \end{gathered} $Представление яркостной температуры дает следующая лемма.
Лемма 1. Пусть функции T(h) и γi(h) таковы, что
тогда(6)
${{T}_{{{\text{я}}i}}} = a{{e}_{i}}\sum\limits_{k = 1}^N {{{P}_{{k,i}}}(0) + a{{e}_{i}}{{\delta }_{{Ni}}}} ,$Доказательство. Интегрируя (1) по частям и учитывая (3) получим
(7)
${{T}_{{{\text{я}}i}}} = a{{e}_{i}}{{T}_{0}} + \left[ {\int\limits_0^\infty {T{\kern 1pt} '(h){{F}_{i}}(h)dh} } \right],$Таким образом, имеем
Разделив и умножив подынтегральное выражение (7) на γi(h) и интегрируя полученное выражение, получим
Таким образом, имеем
Разделив и умножив подынтегральное выражение (8) на γi(h) и интегрируя полученное выражение, получим
Покажем, что при любом N справедливо
(9)
${{T}_{{{\text{я}}i}}} = a{{e}_{i}}\left[ {\sum\limits_{k = {\text{1}}}^N {{{P}_{{k,i}}}(0) + \int\limits_0^\infty {P_{{N,i}}^{'}(h){{F}_{i}}(h)dh} } } \right].$Для N = 1, 2, 3 справедливость (9) доказана. Пусть утверждение справедливо для N = l, докажем его для N = l + 1. Имеем
(10)
${{T}_{{{\text{я}}i}}} = \left[ {\sum\limits_{k = {\text{1}}}^l {{{P}_{{k,i}}}(0) + \int\limits_0^\infty {P_{{l,i}}^{'}(h){{F}_{i}}(h)dh} } } \right].$Учитывая, что ${{P}_{{l + 1,i}}}(h) = {{P_{{l,i}}^{'}(h)} \mathord{\left/ {\vphantom {{P_{{l,i}}^{'}(h)} {{{\gamma }_{i}}(h)}}} \right. \kern-0em} {{{\gamma }_{i}}(h)}}$, получим
(11)
$\begin{gathered} \int\limits_0^\infty {P_{{l,i}}^{'}(h){{F}_{i}}(h)dh} = \int\limits_0^\infty {\frac{{{{P}_{{e,i}}}(h)}}{{\gamma _{i}^{{}}(h)}}{{F}_{i}}(h){{\gamma }_{i}}(h)dh} = \\ = - \int\limits_0^\infty {{{P}_{{l + 1,i}}}(h)d{{F}_{i}}(h)} \\ \end{gathered} $(12)
$\int\limits_0^\infty {P_{{l,i}}^{'}(h){{F}_{i}}(h)dh} = {{P}_{{l + 1,i}}}(0) + \int\limits_0^\infty {P_{{l,i}}^{'}(h){{F}_{i}}(h)dh} .$Подставляя (12) в разложение (10), получим требуемый результат.
Лемма 2. Пусть ${{P}_{{N + 1,i}}}(h) = {{\delta }_{{N,i}}}{{\varphi }_{{N,i}}}(h),$ тогда соотношение (5) выполняется по крайней мере для следующих функций:
(14)
${{\varphi }_{{N,i}}}(h) = \frac{{\gamma _{i}^{2}(h) - \gamma _{i}^{'}(h)}}{{{{\gamma }_{i}}(h){{\gamma }_{i}}(0)}},$Доказательство. Пусть справедливо (13), тогда, используя (4), получим
Пусть справедливо (14). Поскольку
тоВ предпоследнем равенстве использовалось Fi(h) = = γi(h)Fi(h). Пусть выполняется (15), тогда
Рассмотрим теперь несколько примеров вычисления радиояркостной температуры для различных видов γi(h). В случае однородной среды, т.е. когда γi(h) ≡ γi(0) = γi> 0, используя соотношение (4) и лемму 1, получим
(16)
${{T}_{{{\text{я}}i}}} = a{{e}_{i}}\sum\limits_{k = {\text{1}}}^N {{{T}^{{(k - 1)}}}{{(0)} \mathord{\left/ {\vphantom {{(0)} {\gamma _{i}^{{k - 1}}}}} \right. \kern-0em} {\gamma _{i}^{{k - 1}}}}} + a{{e}_{i}}{{\delta }_{{N,i}}}.$Лемма 3. Пусть φN,i(h) ≡ $1$, тогда
(17)
${{T}_{{{\text{я}}i}}} = a{{e}_{i}}\sum\limits_{k = {\text{1}}}^N {\sum\limits_{t = k - {\text{1}}}^N {\frac{{t!}}{{(t - k + 1)!}}{{B}_{{ti}}}\Lambda _{i}^{{t - k + 1}}(0)} } + {{\delta }_{{N,i}}}a{{e}_{i}},$Пусть
тогда(18)
${{T}_{{{\text{я}}i}}} = a{{e}_{i}}\sum\limits_{k = {\text{1}}}^N {\sum\limits_{t = k - {\text{1}}}^N {\frac{{{{B}_{{ti}}}t!}}{{(t - k + 1)!}}C_{i}^{{t - k + 1}}} } + {{\delta }_{{N,i}}}a{{e}_{i}}.$Рассмотрим случай, когда ${{\gamma }_{i}}(h) = {\text{exp(}}{{a}_{i}}h)$, при этом
где Ci – некоторая константа. Находясь в условии леммы 3, получим(19)
${{T}_{{{\text{я}}i}}} = a{{e}_{i}}\sum\limits_{k = {\text{1}}}^N {\sum\limits_{t = k - {\text{1}}}^N {\frac{{{{B}_{{ti}}}t!}}{{(t - k + 1)!}}\left( {\frac{1}{{{{a}_{i}}}} + {{C}_{i}}} \right)_{{}}^{{t - k + 1}}} } + {{\delta }_{{N,i}}}a{{e}_{i}}.$(20)
$\begin{gathered} {{\Lambda }_{i}}(h) = \exp ({{a}_{i}}h) \times \\ \times \,\,\sum\limits_{k = 0}^n {\left[ {\frac{{{{h}^{k}}}}{{{{a}_{i}}}} + \sum\limits_{p = 1}^k {\frac{{{{{( - 1)}}^{p}}k!}}{{(k - p)!a_{i}^{{p + 1}}}}{{h}^{{k - p}}}} } \right]} {{C}_{{ik}}} + {{C}_{i}}. \\ \end{gathered} $(21)
${{T}_{{{\text{я}}i}}} = ae\sum\limits_{k = {\text{1}}}^N {\sum\limits_{t = k - {\text{1}}}^N {\frac{{{{B}_{{ti}}}t!}}{{(t - k + 1)!}}\left[ {\sum\limits_{l = 0}^n {\frac{{{{{( - 1)}}^{l}}}}{{a_{i}^{{l + 1}}}}l!{{C}_{{il}}} + {{C}_{i}}} } \right]{\kern 1pt} } } ,$Представление термодинамической температуры дает следующая лемма.
Лемма 4. Пусть ${{P}_{{N + 1,l}}}(h) = {{\delta }_{{N,i}}}(h)$, тогда
(22)
$T(h) = \sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {{{B}_{{ki}}}\Lambda _{i}^{k}(h)} + {{\delta }_{{N,i}}}{{\Phi }_{{N + 1,i}}}(h),$Доказательство. Из соотношений (4) следует, что
Интегрируя (23), находим
(24)
${{P}_{{N,i}}}(h) = \int {{{\delta }_{{N,i}}}(h){{\varphi }_{{N,i}}}(h)dh = {{\delta }_{{N,i}}}(h){{\varphi }_{{1,i}}}(h) + {{B}_{{1i}}}.} $Подставляя (24) в (4), получим дифференциальное уравнение
решение которого имеет вид
Повторяя эту процедуру (N – 1) раз, получим разложение (22).
Лемма 5. Если φN,i(h) ≡ 1, то
(25)
${{P}_{{k,i}}}(h) = \sum\limits_{t = k - 1}^N {\frac{{t!}}{{(t - k + 1)!}}{{B}_{{ti}}}\Lambda _{i}^{{t - k + 1}}} (h),$Доказательство. В силу сделанных предположений
и значит, по лемме 4 имеем(26)
$T(h) = \sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {{{B}_{{ki}}}\Lambda _{i}^{k}} (h) + {{\delta }_{{Ni}}}\frac{{\Lambda _{i}^{N}(h)}}{{N!}}.$Теперь справедливость леммы 3 не вызывает сомнений. Действительно, если в выражение (6) подставить Pk,i(h), вычисленное по формуле (25) при h = 0, то полученное выражение даст нам формулу (17).
Рассмотрим более подробно случай, когда φN,i(h) ≡ 1. В этом случае термодинамическая температура запишется в виде (26). Пусть ${{\gamma }_{i}}(h) = {{\gamma }_{{1i}}}h + {{\gamma }_{{0i}}}$, тогда
Будем искать T(h) в виде $T(h) = \sum\nolimits_{i = 0}^\infty {{{T}_{i}}{{h}^{i}}} $. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим при N = 1:
(27)
$\begin{gathered} {{T}_{0}} = {{B}_{{0i}}} + {{\delta }_{{1i}}}С_{i}^{{}},\,\,\,\,{{T}_{1}} = {{\delta }_{{1i}}}\gamma _{{0i}}^{{}}, \\ {{T}_{2}} = \frac{{{{\delta }_{{1i}}}}}{2}\gamma _{{1i}}^{{}},\,\,\,\,{{T}_{3}} = {{T}_{{\text{4}}}} = ... = 0. \\ \end{gathered} $Как следует из (27), произвольным образом можно задавать только T0. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях при N = 2, получим
(28)
$\begin{gathered} {{T}_{0}} = {{B}_{{0i}}} + {{B}_{{1i}}}{{C}_{i}} + \frac{{{{\delta }_{{2,i}}}}}{2}C_{i}^{2},\,\,\,\,{{T}_{1}} = {{B}_{{1i}}}{{\gamma }_{{0i}}} + \frac{{{{\delta }_{{2,i}}}}}{2}C_{i}^{{}}{{\gamma }_{{0i}}}, \\ {{T}_{2}} = {{B}_{{1i}}}{{\gamma }_{{1i}}} + \frac{{{{\delta }_{{2,i}}}}}{2}\gamma _{{0i}}^{2} + \frac{{{{\delta }_{{2,i}}}}}{4}{{C}_{i}}{{\gamma }_{{1i}}}, \\ {{T}_{3}} = \frac{{{{\delta }_{{2,i}}}{{\gamma }_{{0i}}}{{\gamma }_{{1i}}}}}{4},\,\,\,\,{{T}_{4}} = \frac{{{{\delta }_{{2,i}}}\gamma _{{1i}}^{2}}}{8},\,\,\,\,{{T}_{5}} = {{T}_{6}} = ... = 0. \\ \end{gathered} $Как это следует из формул (28), коэффициенты T0 и T1 можно задавать произвольно. Таким образом, увеличивая N, мы можем варьировать коэффициенты Ti при больших значениях индекса i.
Если
то по лемме 4 имеем
В случае ${{\gamma }_{i}}(h) = \exp ({{a}_{i}}h)$ термодинамическая температура будет равна
Для многих практических ситуаций достаточная степень точности расчета обеспечивается при N = 3 или когда
Из этого соотношения, в частности, следует, что в коротковолновой части спектра коэффициент поглощения реальных сред достаточно большой и значение радиояркостной температуры определяется в основном температурой на поверхности. С увеличением длины волны уменьшается поглощение среды и становится существенным вклад второго и третьего члена в разложении (29). При этом для частоты ν1, для которой $\gamma _{j}^{'} = \gamma _{j}^{2}(0)$, происходит смена знака второго члена. Это обстоятельство свидетельствует о взаимности появления локального экстремума в спектре радиояркостной температуры, что, в частности, подтверждается рядом натурных экспериментов, выполненных с торфяными образованиями с борта самолета [4, 5].
Для иллюстрации возможности использования полученных выше соотношений при решении обратных задач будем считать, что функции γi(h) заданы и требуется определить термодинамический профиль по известным значениям ${{T}_{{{\text{я}}i}}}(i = 1,...,\overline k )$.
При сделанных предположениях в соответствии с (6) образуется система линейных уравнений вида
(30)
${{T}_{{{\text{я}}i}}} = a{{e}_{i}}\sum\limits_{k = 1}^N {{{A}_{{ik}}}{{T}^{{(k - 1)}}}(0) + a{{e}_{i}}{{\delta }_{{N,i}}}} ,$Рассмотрим случай однородной среды $({{\gamma }_{i}}(h) \equiv {{\gamma }_{i}}(0) = {{\gamma }_{i}})$. В этом случае система (30) запишется в виде
(31)
${{T}_{{{\text{я}}i}}} = a{{e}_{i}}\sum\limits_{k = 1}^N {\frac{{{{T}^{{(k - 1)}}}(0)}}{{\gamma _{i}^{{k - 1}}}}} + a{{e}_{i}}{{\delta }_{{N,i}}}.$Предположим, что членами aeiδN,i можно пренебречь. Пусть i = 1, 2, …, N и WN – определитель системы (31) относительно T(0), T'(0),…, T(N– 1)(0), тогда
Нетрудно заметить, что
где DN – определитель Вандермонда, и, значит,Таким образом, если γp ≠ γk ни при каких p > k, то WN ≠ 0 и система уравнений (31) имеет единственное решение при любой левой части. Значит, частоты следует выбирать из диапазона, на котором функция γ1 = γ(ν1) монотонна.
Список литературы
Арманд Н.А., Башаринов А.Е., Шутко А.И. // Изв. вузов СССР. Радиофизика. 1977. Т. 20. № 6. С. 809.
Арманд Н.А., Крапивин В.Ф., Мкртчян Ф.А. Методы обработки данных радиофизического исследования окружающей среды. М: Наука, 1987.
Башаринов А.Е., Тучков Л.Т., Поляков В.М., Ананов Н.И. Измерение радиотепловых и плазменных излучений в СВЧ-диапазоне. М.: Сов. радио, 1968.
Бородин Л.Ф., Миронов А.С. // Экологические системы и приборы. 2009. № 11. С. 15.
Крапивин В.Ф., Бородин Л.Ф., Миронов А.С. и др. // Экологические системы и приборы. 2009. № 11. С. 28.
Тучков Л.Т. Естественные шумовые излучения в радиоканалах. М.: Сов. радио, 1968.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Радиотехника и электроника