1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Радиотехника и электроника
  4. T. 68, № 2, 2023

Радиотехника и электроника, 2023, T. 68, № 2, стр. 146-151

Множества недвоичных последовательностей с низким уровнем взаимной корреляции для систем передачи цифровой информации

В. Г. Стародубцев *

Военно-космическая академия им. А.Ф. Можайского
197198 Санкт-Петербург, ул. Ждановская, 13, Российская Федерация

* E-mail: vgstarod@mail.ru

Поступила в редакцию 26.04.2022
После доработки 14.06.2022
Принята к публикации 27.06.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Представлены множества недвоичных псевдослучайных последовательностей (НПП) для периодов N = pS – 1 < 20 000 (p = 3, 5, 7, 11), сформированных в конечных полях GF(pS), мощность которых равна V = N + 1, а максимум модуля пиков периодических автокорреляционной (ПАКФ) и взаимно корреляционной функций (ПВКФ) удовлетворяет граничным оценкам, полученным В.М. Сидельниковым. В дополнение к минимальным полиномам элементов ${{\alpha }}$ и ${{{{\alpha }}}^{2}}$, где α – примитивный элемент поля GF(pS), определены минимальные полиномы элементов ${{\alpha }}$ и ${{{{\alpha }}}^{{{{i}_{d}}}}}$ (id – индекс децимации), на основании которых могут быть сформированы новые множества НПП с эквивалентными корреляционными свойствами. Определены наборы индексов id > 2 для различных сочетаний параметров p и S. Рассмотрены случаи четного и нечетного значений параметра S, для которых получены максимальные по модулю значения ПАКФ и ПВКФ и определены число и значения различных уровней корреляционных функций.

Одним из направлений развития систем передачи цифровой информации (СПЦИ), предусматривающих корреляционную обработку, является переход к недвоичным фазоманипулированным сигналам с расширенным спектром (СРС), формируемым на основе недвоичных псевдослучайных последовательностей (НПП) [1–4].

Исследованию вопросов определения автокорреляционных и взаимно корреляционных свойств НПП посвящено большое количество работ [4–18]. Одной из основополагающих является работа [5], в которой получены нижние оценки максимума модуля автокорреляции и взаимной корреляции недвоичных последовательностей, формируемых для различных минимальных полиномов элементов полей GF(pS).

В [6, 7] определены индексы децимации id, позволяющие определять минимальные полиномы при формировании множеств НПП, для которых выполняется условие, что наибольший общий делитель (НОД) (id, pS – 1) = 1, т.е. последовательности в множествах получались путем сложения двух различных МП. При этом максимум модуля корреляции соответствует граничным оценкам, полученным в [5].

Дальнейшим направлением исследований стала разработка алгоритмов формирования множеств последовательностей с низким уровнем взаимной корреляции на основе децимации МП по индексам, не являющимся взаимно простыми с периодом N. В [8, 9] для нечетных значений S и индексов децимации, удовлетворяющих условию НОД (id, pS – 1) = 2, определена верхняя граница для значений взаимной корреляции |Rmax| = 1 + (p + + 1)pS/2/2 и мощность полученных множеств последовательностей. В [10–12, 14–17] для четных значений S и индексов децимации, для которых НОД (id, pS – 1) > 2, также определены мощности множеств и максимальные значения взаимной корреляции. При этом последовательности в данных множествах формируются путем сложения МП с периодом N = pS – 1 и децимированных последовательностей с периодами, являющимися делителями N.

В [18] проведен сравнительный анализ основных результатов по формированию множеств последовательностей с хорошей взаимной корреляцией и получены новые множества для S = 2 mod 4. В [19–22] рассмотрены возможности формирования многофазных сигналов на основе новых структур синтеза последовательностей.

Целью статьи является определение индексов децимации id для вычисления в полях GF(pS) минимальных полиномов элементов ${{\alpha }}$ и ${{{{\alpha }}}^{{{{i}_{d}}}}}$ (id > 2), на основании которых могут быть сформированы новые множества НПП с корреляционными свойствами, удовлетворяющими граничным оценкам, полученным в [5].

Основные результаты по формированию множеств НПП с низким уровнем автокорреляции и взаимной корреляции получены на основе композиции МП и последовательностей, получаемых путем ее децимации по различным индексам. Недвоичные МП с периодом N = pS – 1 формируются над конечными полями GF(pS). Символы di (i = 0, …, N – 1) МП в каноническом виде определяются выражением [2, 7, 10]

(1)
${{d}_{i}} = {\text{t}}{{{\text{r}}}_{{S1}}}({{\alpha }^{i}}),$

где trS1(α) – функция следа примитивного элемента α из поля GF(pS) в поле GF(p).

Известно [2–4], что корреляционные свойства СРС в основном определяются корреляционными свойствами последовательностей Aj

(2)
${{A}_{j}} = \{ {{a}_{{ji}}}\} = \{ {{a}_{{j0}}},{{a}_{{j1}}},...,{{a}_{{jN - 1}}}\} ,$

где N – период последовательности; aj i – элементы, принадлежащие комплекснозначному алфавиту из p элементов и представляющие собой корни p-й степени из единицы, т.е.

${{a}_{{ji}}} = \exp ({{j2\pi l} \mathord{\left/ {\vphantom {{j2\pi l} p}} \right. \kern-0em} p}),\,\,\,\,l = \overline {0,p - 1} $.

Если элемент aji принадлежит комплекснозначному алфавиту, то используется метрика в Евклидовом пространстве. При этом для периодической взаимно корреляционной функции (ПВКФ) последовательностей Aj и Ak с периодом N справедливо выражение [5–10]

(3)
${{R}_{{jk}}}({{\tau }}) = \sum\limits_{l = 0}^{N - 1} {{{a}_{{jl}}}a_{{k,l + {{\tau }}}}^{*}} ,$

где $a_{{j,l + {{\tau }}}}^{*}$ – комплексно сопряженный элемент; τ – циклический сдвиг, принимающий дискретные значения; сдвиг (l + τ) вычисляется по mod N.

Определение индексов децимации id > 2 для формирования множеств НПП выполним для значений p = 3, 5, 7, 11 для периодов N = pS – 1 < 20 000.

Каждая НПП образуется путем суммирования по mod p МП и последовательности, полученной путем децимации МП по индексам децимации, удовлетворяющим условию

(4)
${\text{НОД}}({{i}_{d}},{{p}^{S}} - 1) = 2.$

Для случая id = 2, т.е. при минимальном полиноме f(x) элементов ${{\alpha }}$ и ${{{{\alpha }}}^{2}}$, где α – примитивный элемент поля GF(pS), граничные оценки для максимума модуля боковых пиков ПАКФ и ПВКФ множеств НПП мощностью V = N + 1 приведены в [5, теорема 4]

(5)
$\left| {{{R}_{{\max }}}} \right| = {{p}^{{{S \mathord{\left/ {\vphantom {S 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} + 1.$

Определим минимальные полиномы f(x) для индексов децимации id > 2 при различных значениях параметров p и S.

Рассмотрим формирование НПП при p = 3 для нечетных значений S = 2k + 1. При S = 3 в поле GF(33) с примитивным полиномом h1(x) = x3 + 2x + 1 существует четыре неприводимых полинома, корни которых имеют период N1 = N/2 = 13, т.е. удовлетворяют условию (4). Это полиномы

$\begin{gathered} {{h}_{2}}\left( x \right) = {{x}^{3}} + {{x}^{2}} + x + 2;\,\,\,\,{{h}_{4}}\left( x \right) = {{x}^{3}} + {{x}^{2}} + 2; \\ {{h}_{8}}\left( x \right) = {{x}^{3}} + 2{{x}^{2}} + 2x + 2;\,\,\,\,{{h}_{{14}}}\left( x \right) = {{x}^{3}} + 2x + 2. \\ \end{gathered} $

Здесь и далее нижние цифровые индексы в обозначениях полиномов равны минимальному показателю степени их p-сопряженных корней и соответствуют индексам децимации id = 2, 4, 8, 14 при формировании децимированной последовательности из исходной МП вида (1).

Анализ автокорреляционных и взаимно корреляционных свойств последовательностей, формируемых путем сложения троичных МП с периодом N = 26 и последовательностей с периодом N1 = 13, показал, что кроме id = 2 множества НПП, обладающие трехуровневой ПАКФ (при τ ≠ kN) и ПВКФ Rp,S(τ), формируются для двух индексов децимации – id = 4, 8,

${{R}_{{3,3}}}(\tau ) = \left\{ { - 5.5;\,\, - {\kern 1pt} 1;\,\,3.5} \right\}.$

Максимальное значение модуля корреляционной функции и коэффициента корреляции соответственно равны

(6)
$\begin{gathered} \left| {{{R}_{{2\max }}}} \right| = 0.5 \times {{3}^{{{{\left( {3 + 1} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {3 + 1} \right)} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} + 1 = 5.5; \\ \left| {{{r}_{{2\max }}}} \right| = {{5.5} \mathord{\left/ {\vphantom {{5.5} {26}}} \right. \kern-0em} {26}} = 0.21. \\ \end{gathered} $

Таким образом, можно сказать, что НПП формируются с помощью полиномов, равных произведению минимального полинома h1(x) и одного из трех минимальных полиномов h2(x), h4(x), h8(x), например, hНПП1(x) = h1(x)h2(x), hНПП2(x) = h1(x)h4(x).

Так как полиномы hi(x) (i = 2, 4, 8) являются полиномами степени S = 3, то для каждого полинома может быть сформировано 26 последовательностей. При этом в зависимости от выбора начального состояния последовательности с hi(x) можно получить 13 различных циклических сдвигов последовательности, составленной из четных символов dj (j = 0, 2, 4…) из МП с полиномом h1(x), представленной в каноническом виде (1), и 13 сдвигов, составленных из нечетных символов МП.

Данное обстоятельство позволяет определить мощность множества НПП, которая определяется суммой 13-ти циклических сдвигов последовательностей из четных символов МП, 13-ти сдвигов из нечетных символов и непосредственно самой МП. Таким образом, мощность множества НПП определяется выражением

(7)
$V = {{p}^{S}} = N + 1.$

Для каждого из четырех примитивных полиномов в поле GF(33) можно сформировать по три множества НПП с характеристиками (6), (7). Для этого необходимо индекс полинома hi(x) (i = 2, 4, 8) умножить на индекс примитивного полинома. Например, для примитивного полинома hМП(x) = = h17(x) = x3 + 2x2 + 1 множество НПП с индексом децимации id = 8 формируется на основании полинома hНПП(x) = h17(x) h8 × 17 mod 26(x) = h17(x) h6(x) = = h17(x) h2(x). При этом индекс децимации становится равным id = 2. Легко можно показать, что другими двумя индексами для полинома h17(x) являются id = 8 и 14.

При S = 5 в поле GF(35) с полиномом h1(x) = x5 + + 2x + 1 существует по 22 как примитивных, так и неприводимых полинома, корни которых имеют период N1 = N/2 = 242/2 = 121, удовлетворяющий условию (4), и, соответственно, имеется 22 индекса децимации.

Анализ ПВКФ последовательностей, формируемых путем сложения МП с периодом N = 242 и децимированных последовательностей с периодом N1 = 121, показал, что кроме id = 2 существует еще восемь индексов децимации id = 4, 10, 14, 26, 28, 62, 134, 152, на основании которых можно сформировать множества НПП, обладающие трехуровневой ПВКФ:

(8)
${{R}_{{3,5}}}(\tau ) = \left\{ { - 14.5;\,\, - {\kern 1pt} 1;\,\,12.5} \right\}.$

Максимальное значение модуля корреляционной функции и коэффициента корреляции определяются выражениями

(9)
$\begin{gathered} \left| {{{R}_{{2{\text{max}}}}}} \right| = 0.5 \times {{3}^{{{{\left( {5 + 1} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {5 + 1} \right)} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} + 1 = 14.5; \\ \left| {{{r}_{{{\text{2max}}}}}} \right| = {{14.5} \mathord{\left/ {\vphantom {{14.5} {242}}} \right. \kern-0em} {242}} = 0.06. \\ \end{gathered} $

Таким образом, для периода N = 242 для каждого примитивного полинома можно сформировать девять множеств НПП с трехуровневой ПВКФ вида (8) с полиномами, равными произведению примитивного и одного из девяти неприводимых полиномов пятой степени.

Мощность множеств определяется выражением (7) и равна V = 243.

Аналогичные результаты получены для поля GF(37) с полиномом h1(x) = x7 + x2 + 2x + 1 и поля GF(39) с полиномом h1(x) = x9 + x4 + x2 + 1.

В поле GF(37) существует 156 примитивных полиномов с периодом N = 2186 и 156 неприводимых полиномов с периодом N1 = 1093. Анализ вычислений взаимной корреляции показал, что для формирования множеств НПП с трехуровневой ПВКФ подходят всего двенадцать индексов децимации.

В поле GF(39) существует по 1008 примитивных полиномов с периодом N = 19 682 и неприводимых полиномов с периодом N1 = 9841. Анализ проведен для первых 40 индексов, среди которых было определено шесть подходящих индексов.

Общее выражение для боковых пиков ПАКФ и ПВКФ множеств троичных НПП при нечетном значении параметра S = 2k+1 имеет вид

(10)
${{R}_{{3,S = 2k + 1}}}({{\tau }}) = \{ ( - 0.5 \times {{3}^{{{{(S + 1)} \mathord{\left/ {\vphantom {{(S + 1)} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} - 1);\,\, - {\kern 1pt} 1;\,\,(0.5 \times {{3}^{{{{(S + 1)} \mathord{\left/ {\vphantom {{(S + 1)} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} - 1)\} .$
(11)
$\left| {{{R}_{{{\text{2max}}}}}} \right| = 0.5 \times {{3}^{{{{(S + 1)} \mathord{\left/ {\vphantom {{(S + 1)} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} + 1.$

Формирование множеств пятеричных НПП проведено в конечных полях GF(5S) при S = 3, 5. В поле GF(53) с полиномом h1(x) = x3 + 3x + 2 имеется 20 примитивных полиномов с периодом N = 124 и 10 неприводимых полиномов с периодом N1 = 62. Для двух индексов децимации id = 2, 6 были получены множества НПП с семиуровневой ПВКФ:

(12)
${{R}_{{5,3}}}(\tau ) = \left\{ { - {\kern 1pt} 12.18;\,\, - {\kern 1pt} 10.05;\,\, - {\kern 1pt} 4.46{\text{ }} - {\kern 1pt} 1;\,\,2.46;\,\,8.05;\,\,10.18} \right\}.$

В поле GF(55) с полиномом f(x) = h1(x) = x5 + 4x + 2 существует 280 примитивных полиномов с периодом N = 3124 и 140 неприводимых полиномов с периодом N1 = 62. Для индексов децимации id = 2, 6, 26 были получены множества НПП с семиуровневой ПВКФ:

(13)
${{R}_{{5,5}}}(\tau ) = \left\{ { - 56.9;\,\, - {\kern 1pt} 46.23;\,\, - {\kern 1pt} 18.28;\,\, - {\kern 1pt} 1;\,\,16.28;\,\,44.23;\,\,54.9} \right\}.$

В общем виде выражения (12) и (13), а также максимальное значение модуля ПВКФ пятеричных НПП можно представить следующим образом:

(14)
$\begin{gathered} {{R}_{{5,S = 2k + 1}}}({{\tau }}) = \{ ( - 0.45 \times {{5}^{{(S + 1)/2}}} - 1); \\ ( - 0.36 \times {{5}^{{(S + 1)/2}}} - 1);( - 0.14 \times {{5}^{{(S + 1)/2}}} - 1); \\ - 1;(0.14 \times {{5}^{{(S + 1)/2}}} - 1);(0.36 \times {{5}^{{(S + 1)/2}}} - 1); \\ (0.45 \times {{5}^{{(S + 1)/2}}} - 1)\} . \\ \end{gathered} $
(15)
$\left| {{{R}_{{{\text{2max}}}}}} \right| = 0.45 \times {{5}^{{{{(S + 1)} \mathord{\left/ {\vphantom {{(S + 1)} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} + 1.$

Несмотря на увеличение числа значений ПВКФ для пятеричных НПП, максимальное значение модуля сравнимо с троичным случаем. При этом мощность множеств пятеричных НПП также определяется выражением (7).

Анализ семеричных НПП проводился в полях GF(7S) при S = 3, 5. В поле GF(73) с полиномом f(x) = = h1(x) = x3 + 3x + 2 имеется по 36 примитивных полиномов с периодом N = 342 и неприводимых полиномов с периодом N1 = 171. Для индексов децимации id = 2, 8, 86, 236 были получены множества НПП с семиуровневой ПВКФ

(16)
${{R}_{{7,3}}}(\tau ) = \left\{ { - 19.06;\,\, - {\kern 1pt} 15.48;\,\, - {\kern 1pt} 9.04;\,\, - {\kern 1pt} 1;\,\,7.04;\,\,13.48;\,\,17.06} \right\}.$

В поле GF(75) с полиномом f(x) = h1(x) = x5 + 2x + 2 имеется по 1120 примитивных полиномов с периодом N = 16  806 и неприводимых полиномов с периодом N1 = 8403. Были проверены первые 60 полиномов. Для индексов децимации id = 2, 8 были получены множества НПП с семиуровневой ПВКФ:

(17)
${{R}_{{7,5}}}(\tau ) = \left\{ { - 127.39;\,\, - {\kern 1pt} 102.36;\,\, - {\kern 1pt} 57.25;\,\, - {\kern 1pt} 1;\,\,55.25;\,\,100.36;\,\,125.39} \right\}.$

Выражения (16) и (17) также приводятся к общему виду:

(18)
$\begin{gathered} {{R}_{{7,S = 2k + 1}}}({{\tau }}) = \{ ( - 0.37 \times {{7}^{{(S + 1)/2}}} - 1); \\ ( - 0.30 \times {{7}^{{(S + 1)/2}}} - 1);( - 0.16 \times {{7}^{{(S + 1)/2}}} - 1); \\ - 1;(0.16 \times {{7}^{{(S + 1)/2}}} - 1);(0.30 \times {{7}^{{(S + 1)/2}}} - 1); \\ (0.37 \times {{7}^{{(S + 1)/2}}} - 1)\} . \\ \end{gathered} $
(19)
$\left| {{{R}_{{{\text{2max}}}}}} \right| = 0.37 \times {{7}^{{{{(S + 1)} \mathord{\left/ {\vphantom {{(S + 1)} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} + 1.$

Вследствие большой размерности при p = 11 и нечетных значениях S множества НПП были определены только в поле GF(113) с полиномом f(x) = = h1(x) = x3 + x2 + 5, в котором имеется по 216 примитивных с периодом N = 1330 и неприводимых полиномов с периодом N1 = 665. Были проверены 50 неприводимых полиномов. Для индексов децимации id = 2, 12 были получены множества НПП с ПВКФ, имеющей одиннадцать уровней

(20)
$\begin{gathered} {{R}_{{11,3}}}(\tau ) = \{ - 37.11;\,\, - {\kern 1pt} 34.19;\,\, - {\kern 1pt} 28.57;\,\, - {\kern 1pt} 20.72; \\ ~ - {\kern 1pt} 11.28;\,\, - {\kern 1pt} 1;\,\,9.28;\,\,18.72;\,\,26.57;\,\,32.19;\,\,35.11\} . \\ \end{gathered} $

Выражение (20) может быть записано в общем виде аналогично (18) и (19)

(21)
$\begin{gathered} {{R}_{{11,S = 2k + 1}}}({{\tau }}) = \{ ( - 0.3 \times {{11}^{{(S + 1)/2}}} - 1); \\ ( - 0.27 \times {{11}^{{(S + 1)/2}}} - 1);( - 0.23 \times {{11}^{{(S + 1)/2}}} - 1); \\ ( - 0.16 \times {{11}^{{(S + 1)/2}}} - 1);( - 0.08 \times {{11}^{{(S + 1)/2}}} - 1); \\ - 1;(0.08 \times {{11}^{{(S + 1)/2}}} - 1);(0.16 \times {{11}^{{(S + 1)/2}}} - 1); \\ (0.23 \times {{11}^{{(S + 1)/2}}} - 1);\,\,\;(0.27 \times {{11}^{{(S + 1)/2}}} - 1); \\ (0.3 \times {{11}^{{(S + 1)/2}}} - 1)\} . \\ \end{gathered} $
(22)
$\left| {{{R}_{{{\text{2max}}}}}} \right| = 0.3 \times {{11}^{{{{(S + 1)} \mathord{\left/ {\vphantom {{(S + 1)} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} + 1.$

В общем виде выражение для |R2max| при нечетных значениях S может быть представлено следующим образом:

(23)
$\left| {{{R}_{{{\text{2max}}}}}} \right| = {{k}_{p}}{{p}^{{{{(S + 1)} \mathord{\left/ {\vphantom {{(S + 1)} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} + 1,$

где k3 = 0.5; k5 = 0.45; k7 = 0.37; k11 = 0.3 при p = 3, 5, 7, 11.

Индексы децимации id, при которых формируются множества НПП, удовлетворяющие граничным оценкам, полученным в [5], а также максимальные значения модулей корреляционной функции |R2max| и коэффициента корреляции |r2max| приведены в табл. 1.

Таблица 1.

Характеристики множеств НПП при S = 2k + 1

p S N id |Rmax| |rmax| Число уровней Rp, S =2k +1(τ) V
3 3 26 2, 4, 8 5.5 0.21 3 27
5 242 2, 4, 10, 14, 26, 28, 62, 134, 152 14.5 0.06 243
7 2186 2, 4, 10, 14, 28, 40, 80, 112, 122, 224, 274, 548 41.5 0.02 2187
9 19 682 2, 4, 10, 28, 82, 122 122.5 0.01 19 683
5 3 124 2, 6 12.2 0.098 7 125
5 3124 2, 6, 26 56.9 0.018 3125
7 3 342 2, 8, 86, 236 19.06 0.056 7 343
5 16 806 2, 8 127.4 0.0076 16 807
11 3 1330 2, 12 37.1 0.028 11 1331

Определение множеств НПП для четных значений S выполняется аналогично. При построении полей и определении индексов децимации использованы примитивные полиномы, представленные в табл. 2.

Таблица 2.

Примитивные полиномы для полей GF(pS) при S = 2k

p S f(x) = h1(x) p S f(x) = h1(x)
3 2 x2 + x + 1 5 2 x2 + x + 2
3 4 x4 + x + 2 5 4 x4 + x2 + 2x + 2
3 6 x6 + x + 2 5 6 x6 + x2 + 2x + 2
3 8 x8 + 2x3 + 2            
7 2 x2 + x + 3 11 2 x2 + x + 7
7 4 x4 + x2 + 3x +5 11 4 x4 + x + 2

При p = 3 ПАКФ (при τ ≠ kN) и ПВКФ множеств НПП является пятиуровневой, т.е. содержит р + 2 уровня, и для значений S = 2, 4, 6, 8 имеет вид

(24)
$\begin{gathered} {{R}_{{3,S = 2k}}}({{\tau }}) = \{ ( - {{3}^{{S/2}}} - 1);( - 0.5 \times {{3}^{{S/2}}} - 1); \\ - 1;(0.5 \times {{3}^{{S/2}}} - 1);({{3}^{{S/2}}} - 1)\} . \\ \end{gathered} $

При p = 5, 7, 11 корреляционные функции НПП, так же как и при р = 3, содержат число уровней, равное (p + 2), т.е. семь, девять и тринадцать уровней

(25)
$\begin{gathered} {{R}_{{5,S = 2k}}}({{\tau }}) = \{ ( - {{5}^{{S/2}}} - 1);\,\,\,( - 0.81 \times {{5}^{{S/2}}} - 1);\,\,\,\,\,( - 0.31 \times {{5}^{{S/2}}} - 1);\,\,\, - 1; \\ (0.31 \times {{5}^{{S/2}}} - 1);\,\,\,(0.81 \times {{5}^{{S/2}}} - 1);\,\,({{5}^{{S/2}}} - 1)\} . \\ \end{gathered} $
(26)
$\begin{gathered} {{R}_{{7,S = 2k}}}({{\tau }}) = \{ ( - {{7}^{{S/2}}} - 1);\,\,\,\,( - 0.9 \times {{7}^{{S/2}}} - 1);\,\,\,\,( - 0.62 \times {{7}^{{S/2}}} - 1);\,\,\,( - 0.22 \times {{7}^{{S/2}}} - 1); \\ - 1;(0.22 \times {{7}^{{S/2}}} - 1);\,\,\,(0.62 \times {{5}^{{S/2}}} - 1);\,\,\,(0.9 \times {{7}^{{S/2}}} - 1);\,\,\,({{7}^{{S/2}}} - 1)\} . \\ \end{gathered} $
(27)
$\begin{gathered} {{R}_{{11,S = 2k}}}({{\tau }}) = \{ ( - {{11}^{{S/2}}} - 1);\,\,( - 0.96 \times {{11}^{{S/2}}} - 1);\,\,\,( - 0.84 \times {{11}^{{S/2}}} - 1);\,\,\,( - 0.65 \times {{11}^{{S/2}}} - 1); \\ ( - 0.42 \times {{11}^{{S/2}}} - 1);\,\,\,( - 0.14 \times {{11}^{{S/2}}} - 1);\,\,\, - 1;(0.14 \times {{11}^{{S/2}}} - 1);\,\,(0.42 \times {{11}^{{S/2}}} - 1); \\ (0.65 \times {{11}^{{S/2}}} - 1);\,\,(0.84 \times {{11}^{{S/2}}} - 1);\,\,\,(0.96 \times {{11}^{{S/2}}} - 1);\,\,\,({{11}^{{S/2}}} - 1)\} . \\ \end{gathered} $

Например, в поле GF(74) корреляционная функция последовательностей в множестве НПП при индексах децимации id = 2, 1202 имеет уровни, определенные в (26) для S = 4

${{R}_{{7,4}}}(\tau ) = \left\{ { - 50;\,\, - {\kern 1pt} 45.15;\,\, - {\kern 1pt} 31.55;\,\, - {\kern 1pt} 11.9;\,\, - {\kern 1pt} 1;\,\,9.9;\,\,29.55;\,\,43.15;\,\,48} \right\}.$

При этом максимальные значения взаимной корреляции при четных S для всех значений p определяются выражением

(28)
$\left| {{{R}_{{{\text{1max}}}}}} \right| = {{p}^{{{S \mathord{\left/ {\vphantom {S 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} + 1,$

что соответствует граничным оценкам, полученным в [5].

Таким образом, в работе получены новые индексы децимации id > 2 для определения в полях GF(pS) минимальных полиномов элементов ${{\alpha }}$ и ${{{{\alpha }}}^{{{{i}_{d}}}}}$, на основании которых могут быть сформированы множества НПП, максимум модуля значений ПАКФ и ПВКФ которых удовлетворяет граничным оценкам, полученным В.М. Сидельниковым.

Для рассмотренных значений периодов N = = pS–1 < 20 000 (p = 3, 5, 7, 11) получены общие выражения для распределения значений пиков ПАКФ и ПВКФ недвоичных последовательностей. При четных S число различных уровней ПВКФ равно p + 2, а при нечетных S равно p, кроме значения p = 5, для которого число уровней равно семи. Определены максимальные значения корреляционной функции, которые при четных значениях S равны |R1max| = pS/2 + 1, а при нечетных – |R2max| = kpp(S+ 1)/2 + 1 = kpp1/2|R1max|, где коэффициент kp для рассмотренных значений p и S уменьшается от 0.5 при p = 3 до 0.3 при p = 11, причем произведение kpp1/2 ≤ 1.

Полученные результаты могут быть использованы при формировании многофазных сигналов с расширенным спектром в СПЦИ, в которых требуются сигналы с низким уровнем взаимной корреляции.

Таблица 3.

Характеристики множеств НПП при S = 2k

p S N id |Rmax| |rmax| Число уровней Rp,S=2k(τ) V
3 2 8 2 4 0.5 5 9
4 80 2, 14 10 0.125 81
6 728 2, 10, 122, 374, 394 28 0.038 729
8 6560 2, 14, 122, 1094 82 0.013 6561
5 2 24 2, 14 6 0.25 7 25
4 624 2, 314 26 0.042 625
6 15 624 2, 26, 7814, 7838 126 0.008 15 625
7 2 48 2, 13 8 0.167 9 49
4 2400 2, 1202 50 0.021 2401
11 2 120 2, 62 12 0.1 13 121
4 14 640 2, 7322 122 0.008 14 641

Список литературы

  1. Ипатов В.П. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов. Принципы и приложения. М.: Техносфера, 2007.

  2. Golomb S.W., Gong G. Signal Design for Good Correlation for Wireless Communication, Cryptography and Radar. Cambridge: Univ. Press, 2005.

  3. CDMA: прошлое, настоящее, будущее / Под ред. Л.Е. Варакина и Ю.С. Шинакова. М.: МАС, 2003.

  4. Ипатов В.П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами. М.: Радио и связь, 1992.

  5. Сидельников В.М. // Докл. АН СССР. 1971. Т. 196. № 3. С. 531.

  6. Trachtenberg H.M. On the Cross-correlation Functions of Maximal Recurring Sequences. Ph.D. dissertation. Los Angeles: Univ. Southern California, 1970. 60 p. https://digitallibrary.usc.edu/CS.aspx?VP3=DamView& VBID=2A3BXZS3X99RR&SMLS=1&RW=1366&RH =657

  7. Dobbertin H., Helleseth T., Kumar P.V., Martinsen H. // IEEE Trans. 2001. V. IT-47. № 4. P. 1473.

  8. Muller E.N. // IEEE Trans. 1999. V. IT-45. № 1. P. 289.

  9. Hu Z., Li X., Mills D. et al. // Applicable Algebra Eng. Commun. Comput. 2001. V. 12. P. 255.

  10. Seo E.Y., Kim Y.S., No J.S., Shin D.J. // IEEE Trans. 2008. V. IT-54. № 7. P. 3140.

  11. Seo E.Y., Kim Y.S., No J.S., Shin D.J. // IEICE Trans. Fund. Electron., Commun. Comput. Sci. 2007. V. E90-A. № 11. P. 2568.

  12. Jang J.W., Kim Y.S., No J.S., Helleseth T. // IEEE Trans. 2004. V. IT-50. № 8. P. 1839.

  13. Kumar P.V., Moreno O. // IEEE Trans. 1991. V. IT-37. № 3. P. 603.

  14. Lee Wijik, Kim J.Y., No J.S. // IEICE Trans. on Commun. 2014. V. E97-B. № 1. P. 2311.

  15. Cho C.M., Kim J.Y., No J.S. // IEICE Trans. on Commun. 2015. V. E98. № 7. P. 1268.

  16. Xia Y., Chen S. // IEEE Trans. 2012. V. IT-58. № 9. P. 6037.

  17. Liang H., Tang Y. // Finite Fields and Their Appl. 2015. V. 31. P. 137.

  18. Choi S.T., Lim T., No J.S., Chung H. // IEEE Trans. 2012. V. IT-58. № 3. P. 1873.

  19. Song M.K., Song H.Y. // IEEE Trans. 2021. V. IT-67. № 11. P. 7490.

  20. Boztaş S., Özbudak F., Tekin E. // Cryptogr. Commun. 2018. V. 10. № 3. P. 509.

  21. Park K.H., Song H.Y., Kim D.S., Golomb S.W. // IEEE Trans. 2016. V. IT-62. № 2. P. 1076.

  22. Song M.K., Song H.Y. // IEEE Trans. 2018. V. IT-64. № 4. P. 2901.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Радиотехника и электроника

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал