1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Расплавы
  4. № 4, 2021

Расплавы, 2021, № 4, стр. 376-390

К отбору устойчивой моды роста дендритного кристалла в условиях конвективного тепломассопереноса

Л. В. Торопова a, *, Д. В. Александров a, П. К. Галенко a

a Уральский федеральный университет
Екатеринбург, Россия

* E-mail: dmitri.alexandrov@urfu.ru

Поступила в редакцию 25.10.2019
После доработки 21.05.2020
Принята к публикации 17.07.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Проведено теоретическое исследование квазистационарного процесса устойчивого роста анизотропного дендрита в условиях конвективного тепло- и массопереноса в расплаве. На основе теории морфологической устойчивости и теории микроскопической разрешимости выведено отборное соотношение для скорости роста вершины дендрита и ее диаметра в случае конвективного тепломассопереноса, определяющее устойчивый рост дендритного кристалла с симметрией n-ого порядка. Выполнен сравнительный анализ полученного отборного соотношения с теоретической моделью при кондуктивных граничных условиях и экспериментальными данными по кинетике роста дендритов в сплаве Ti45Al55.

Ключевые слова: дендриты, тепломассоперенос, критерий отбора, фазовые переходы, конвекция

ВВЕДЕНИЕ

Хорошо известно, что процессы фазового превращения из жидкого (расплавленного) состояния материала в его твердое состояние определяют свойства и микроструктуру получаемых веществ, а также характеризуют сам процесс перехода, его продолжительность и стадии протекания [1–12]. Дендритный рост из расплавленного переохлажденного состояния вещества является одним из часто встречающихся типов фазовых превращений, протекающих в различных областях науки: от физики конденсированного состояния и материаловедения до процессов получения различных соединений в химической промышленности. Это обуславливает практическую важность изучения различных механизмов роста дендритных кристаллов в переохлажденных расплавах и пересыщенных растворах.

Изучением механизмов устойчивого роста дендритных кристаллов в чистых и бинарных расплавах занимаются уже несколько десятилетий. Одной из важных задач, решенных за это время, стала теория отбора устойчивого режима роста вершины изолированного дендрита в условиях кондуктивного механизма тепло- и массопереноса [13–23], развитая для небольших и умеренных переохлаждений (скоростей роста дендритных кристаллов). Затем эта теория была обобщена на случай быстрого дендритного роста в бинарных расплавах при больших переохлаждениях [24–26]. Однако, обтекание жидкостью дендритных кристаллов может быть настолько интенсивным, что механизм тепломассопереноса станет конвективным [27–29]. Исследованию влияния этого механизма на устойчивый рост дендритных кристаллов посвящена настоящая работа. А именно, в ней проводится исследование устойчивой моды дендритного роста при различных кристаллических симметриях и реализации конвективного механизма тепломасcопереноса вблизи поверхности растущего дендрита с симметрией n-ого порядка.

МОДЕЛЬ РОСТА КРИСТАЛЛА

Рассмотрим процесс роста изолированного дендрита в потоке жидкости, который описывается нелинейной тепло-концентрационной задачей Стефана с подвижной границей фазового перехода [30]. Температура жидкой и твердой фаз T и распределение примеси в бинарной системе описываются уравнениями теплопроводности и диффузии, которые записываются в системе координат, движущейся с постоянной скоростью. В этой системе координат дендрит находится в состоянии покоя (рис. 1)

(1)
$\frac{{\partial T}}{{\partial t}} + (\vec {w} \cdot \nabla )T = {{D}_{T}}{{\nabla }^{2}}T,\,\,\,\,\frac{{\partial C}}{{\partial t}} + (w \cdot \nabla )C = {{D}_{C}}{{\nabla }^{2}}C,$
где DT – коэффициент теплопроводности, C – концентрация примеси, DC – коэффициент диффузии примеси, а $\vec {w}$ – скорость, связанная с пересадкой в подвижную систему отсчета растущего кристалла.

Рис. 1.

Схема растущего дендритного кристалла во встречном потоке жидкости.

Далее учитываем, что температурное поле на границе фазового перехода (на поверхности дендрита) непрерывно и удовлетворяет соотношению Гиббса–Томсона

(2)
$T = {{T}_{l}} = {{T}_{s}} = {{T}_{0}} - \frac{{Qd(\theta )}}{{{{c}_{p}}R}} - \tilde {\beta }(\theta )\vec {\upsilon } \cdot \vec {n},$
где нижние индексы l и s обозначают температуру с жидкой и твердой стороны границы дендрита, соответственно, T0 – температура кристаллизации чистого расплава (без примеси), Q – скрытая теплота, выделяемая на единицу объема твердого тела, cp – удельная теплота, 1/R – локальная кривизна фронта, $\vec {\upsilon }$ – скорость межфазной поверхности, $\vec {n}$ – единичный вектор к поверхности дендрита, d(θ) и $\tilde {\beta }(\theta )$ – анизотропная капиллярная длина и анизотропный кинетический коэффициент роста, представленные как [29]
(3)
$d(\theta ) = {{d}_{0}}\left\{ {1 - {{\alpha }_{d}}\cos \left[ {4(\theta - {{\theta }_{d}})} \right]} \right\},$
(4)
$\tilde {\beta }(\theta ) = {{\beta }_{0}}{{T}_{Q}}\left\{ {1 - {{\alpha }_{\beta }}\cos \left[ {4(\theta - {{\theta }_{\beta }})} \right]} \right\},$
где TQ = Q/cp, θ – угол между нормалью к границе дендрита и его направлением роста, d0 и β0 являются капиллярной и кинетической константами, ${{\alpha }_{d}} \ll 1$ и ${{\alpha }_{\beta }} \ll 1$ – параметры анизотропии, а θd и θβ – углы между направлением роста и направлениями минимальных функций d(θ) и β(θ).

При существенном конвективном перемешивании расплава вблизи поверхности дендрита скорость его движения зависит от конвективного потока тепла и массы в жидкой фазе. В этом случае граничные условия баланса тепла и массы могут быть записаны, как [22, 28, 31–34]

(5)
$\frac{{{{T}_{Q}}}}{{{{D}_{T}}}}\vec {\upsilon } \cdot \vec {n} = \nabla {{T}_{s}} \cdot \vec {n} + \frac{{{{\alpha }_{h}}{{\rho }_{l}}{{c}_{l}}{{u}_{*}}}}{{{{k}_{s}}}}({{T}_{i}} - {{T}_{\infty }}),\,\,\,\,(1 - {{k}_{0}}){{C}_{i}}\vec {\upsilon } \cdot \vec {n} = {{\alpha }_{m}}{{u}_{*}}({{C}_{i}} - {{C}_{\infty }}),$
где индекс i обозначает температуру растворенного вещества на границе дендрита, αh и αm являются конвективным коэффициентам тепла и массы, ρl и cl – плотность и удельная теплоемкость жидкой фазы, ks – коэффициент теплопроводности твердой фазы, ${{T}_{\infty }}$ и ${{C}_{\infty }}$ – температура и концентрация вдали от дендрита, а ${{u}_{*}}$ – скорость трения жидкости о межфазную поверхность.

СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ФОРМ

Примем, что дендрит параболической формы растет с постоянной скоростью V вдоль пространственной оси z. Двумерный рост можно описать с помощью специальных параболических координат ξ и η, которые связаны с декартовыми координатами x и z соотношениями (рис. 1)

(6)
$2D{\kern 1pt} :\,\,~~\begin{array}{*{20}{c}} {x = \rho \sqrt {\xi \eta {\kern 1pt} } ,} \\ {z = \frac{\rho }{2}\left( {\eta - \xi } \right).} \end{array}$

В случае трехмерной геометрии рост кристалла описывается параболоидальными координатами ξ, η, и φ, связанными с декартовыми координатами x, y и z соотношениями

(7)
$3D{\kern 1pt} :\,\,\,\,~\begin{array}{*{20}{c}} {x = \rho \sqrt {\xi \eta } \cos \phi ,} \\ {y = \rho \sqrt {\xi \eta } \sin \phi ,} \\ {z = \frac{\rho }{2}\left( {\eta - \xi } \right).} \end{array}$
Здесь ρ/2 представляет радиус вершины дендрита, а межфазная граница находится при η = 1.

Проитнегрируем уравнения (1) в координатах (6) и (7). Принимая во внимание граничные условия (5). В результате получим следующие решения задачи в жидкой фазе, зависящие только от η

(8)
$T\left( \eta \right) = {{T}_{i}} + \left( {{{T}_{\infty }} - {{T}_{i}}} \right)\frac{{{{I}_{T}}\left( \eta \right)}}{{{{I}_{T}}\left( \infty \right)}},\,\,\,\,C\left( \eta \right) = {{C}_{i}} + \left( {{{C}_{\infty }} - {{C}_{i}}} \right)\frac{{{{I}_{C}}\left( \eta \right)}}{{{{I}_{C}}\left( \infty \right)}},$
где
(9)
${{I}_{T}}\left( \eta \right) = \mathop \smallint \limits_1^\eta \frac{{\exp \left( { - {{P}_{g}}\eta {\kern 1pt} '} \right)}}{{{{\eta }^{{{\text{'}}j}}}}}d\eta {\kern 1pt} ',\,\,\,\,{{I}_{C}}\left( \eta \right) = \mathop \smallint \limits_1^\eta \frac{{\exp \left( { - {{P}_{C}}\eta {\kern 1pt} '} \right)}}{{{{\eta }^{{{\text{'}}j}}}}}d\eta {\kern 1pt} ',$
Pg = ρV/(2DT) представляет собой число Пекле, j = 1/2 и j = 1 в случае двумерного и трехмерного роста соответственно, и

(10)
${{T}_{i}} = {{T}_{\infty }} + \frac{{{{T}_{Q}}V{{k}_{s}}}}{{{{\alpha }_{h}}{{\rho }_{l}}{{c}_{l}}{{u}_{*}}{{D}_{T}}}},\,\,\,\,{{C}_{i}} = \frac{{{{\alpha }_{m}}{{u}_{*}}{{C}_{\infty }}}}{{{{\alpha }_{m}}{{u}_{*}} - \left( {1 - {{k}_{0}}} \right)V}}.$

ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ

При достаточно малых анизотропиях поверхностного натяжения аналитические решения, описывающие рост дендрита с постоянной скоростью, могут быть найдены в окрестности классических решений параболического дендрита Иванцова [35–37]. Для этого необходимо использовать условие микроскопической разрешимости, представляющее собой интегральное выражение для определения устойчивого режима дендритного роста с заданной симметрией кристаллической решетки, которая учитывает анизотропию преимущественного направления роста кристалла. Это условие принимает следующий вид [14–16]

(11)
$\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty G\left[ {{{X}_{0}}\left( l \right)} \right]{{Y}_{m}}\left( l \right)dl = 0,\,\,\,\,{{Y}_{m}}\left( l \right) = \exp \left[ {i\mathop \smallint \limits_0^l {{k}_{m}}\left( {{{l}_{1}}} \right)d{{l}_{1}}} \right],$
где G – оператор кривизны, km(l) – маргинальная мода волнового числа дисперсионного уравнения для возмущений, i – мнимая единица и X0(l) – континуум решений, ведущих к km(l).

Найдем критическое значение волнового числа km, воспользовавшись результатами анализа линейной устойчивости в соответствии с теорией работ [13, 16, 30, 38].

Введем локальные декартовы координаты xc и yc, связанные с дендритом, которые соответсвенно обозначают тангенциальную и нормальную оси к межфазной поверхности в точке, где вектор нормали к поверхности образует угол θ с осью роста.

Уравнение для температурных T ' = T – $\bar {T}$ и C ' = C – $\bar {C}$ концентрационных возмущений, которые следует из (1) и (2), принимают вид

(12)
$\begin{gathered} \frac{{\partial T{\kern 1pt} '}}{{\partial t}} + \bar {u}\frac{{\partial T{\kern 1pt} '}}{{\partial {{x}_{c}}}} + \bar {\upsilon }\frac{{\partial T{\kern 1pt} '}}{{\partial {{y}_{c}}}} + \upsilon {\kern 1pt} '\frac{{d\bar {T}}}{{d{{y}_{c}}}} = {{D}_{T}}\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}T{\kern 1pt} '}}{{\partial x_{c}^{2}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}T{\kern 1pt} '}}{{\partial y_{c}^{2}}}} \right), \\ \frac{{\partial C{\kern 1pt} '}}{{\partial t}} + \bar {u}\frac{{\partial C{\kern 1pt} '}}{{\partial {{x}_{c}}}} + \bar {\upsilon }\frac{{\partial C{\kern 1pt} '}}{{\partial {{y}_{c}}}} + \upsilon {\kern 1pt} '\frac{{d\bar {C}}}{{d{{y}_{c}}}} = {{D}_{C}}\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}C{\kern 1pt} '}}{{\partial x_{c}^{2}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}C{\kern 1pt} '}}{{\partial y_{c}^{2}}}} \right), \\ \end{gathered} $
где $\bar {u}$ = –V sin θ, $\bar {\upsilon }$ = –V cos θ [16, 30].

В соответствии с теорией, которая была сформулирована в работах [16, 30], для дендритного роста в ламинарном вынужденном потоке, возмущения полей температуры T ' и концентрации C ' на поверхности дендрита ξ ' можно найти в виде

(13)
$\begin{gathered} T_{l}^{{\text{'}}} = \left( {{{T}_{{l0}}} + {{T}_{{l1}}}{{y}_{c}} + {{T}_{{l2}}}y_{c}^{2}} \right)E\left( {t,{{x}_{c}},{{y}_{c}}} \right),\,\,\,\,T_{s}^{{\text{'}}} = \left( {{{T}_{{s0}}} + {{T}_{{s1}}}{{y}_{c}} + {{T}_{{s2}}}y_{c}^{2}} \right)E\left( {t,{{x}_{c}},{{y}_{c}}} \right), \\ C{\kern 1pt} ' = \left( {{{C}_{0}} + {{C}_{1}}{{y}_{c}} + {{C}_{2}}y_{c}^{2}} \right)E\left( {t,{{x}_{c}},{{y}_{c}}} \right),\,\,\,\,\xi {\kern 1pt} ' = \Sigma \exp \left( {\omega t + ik{{x}_{c}}} \right), \\ \end{gathered} $
где E(t, xc, yc) = exp(ωt + ikxc – εkyc), ω и k – частота и волновое число возмущений, параметр ε имеет тот же знак, что и действительная часть k, ∂ξ'/∂t = $ - \upsilon {\kern 1pt} ',$ индексы l и s обозначают решения в жидкой и твердой фазах. Здесь Tlj, Tsj, Cj и Σ представляют собой амплитуды возмущений ( j = 0, 1, 2).

Подставим теперь (13) в (12) и свяжем коэффициенты амплитуд соотношениями

(14)
$\begin{gathered} {{T}_{{l,s2}}} = \frac{{\omega \Sigma }}{{4{{D}_{T}}}}\frac{{d{{{\bar {T}}}_{{l,s}}}}}{{d{{y}_{c}}}},\,\,\,\,{{T}_{{l,s1}}} = \frac{{3\omega \Sigma }}{{4\varepsilon k{{D}_{T}}}}\frac{{d{{{\bar {T}}}_{{l,s}}}}}{{d{{y}_{c}}}} - \frac{{\left[ {\omega + Vk\left( {\varepsilon \cos \theta - i\sin \theta } \right)} \right]{{T}_{{l,s0}}}}}{{2\varepsilon k{{D}_{T}}}}, \\ {{C}_{2}} = \frac{{\omega \Sigma }}{{4{{D}_{C}}}}\frac{{d\bar {C}}}{{d{{y}_{c}}}},\,\,\,\,{{C}_{1}} = \frac{{3\omega \Sigma }}{{4\varepsilon k{{D}_{C}}}}\frac{{d\bar {C}}}{{d{{y}_{c}}}} - \frac{{\left[ {\omega + Vk\left( {\varepsilon \cos \theta - i\sin \theta } \right)} \right]{{C}_{0}}}}{{2\varepsilon k{{D}_{C}}}}. \\ \end{gathered} $
Заметим, что решение (14) переходит к соответствующему выражению в [30, 39] в предельном случае нулевой скорости ламинарного течения, исследованного в [30, 39]. Производные ${{d{{{\bar {T}}}_{l}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{d{{{\bar {T}}}_{l}}} {d{{y}_{c}}}}} \right. \kern-0em} {d{{y}_{c}}}}$ = h1 и ${{d\bar {C}} \mathord{\left/ {\vphantom {{d\bar {C}} {d{{y}_{c}}}}} \right. \kern-0em} {d{{y}_{c}}}}$ = h2 на поверхности дендрита, входящие в (14), можно найти из стационарных решений (8)–(10). В этом случае они принимают следующий вид

(15)
${{h}_{{{\kern 1pt} 1}}} = - \frac{{2{{T}_{Q}}V{{k}_{s}}\exp ( - {{P}_{g}})}}{{\rho {{\alpha }_{h}}{{\rho }_{l}}{{c}_{l}}{{u}_{*}}{{D}_{T}}{{I}_{T}}\left( \infty \right)}},~\,\,\,\,{{h}_{{{\kern 1pt} 2}}} = - \frac{{2\left( {1 - {{k}_{0}}} \right)V{{C}_{\infty }}\exp ( - {{P}_{C}})}}{{\rho \left[ {{{\alpha }_{m}}{{u}_{*}} - \left( {1 - {{k}_{0}}} \right)V} \right]{{I}_{C}}\left( \infty \right)}}.$

Теперь, возмущая граничные условия (2) и (5), приходим к следующим условиям для температурных и концентрационных возмущений на поверхности дендрита (при yc = 0)

(16)
$T_{l}^{{\text{'}}} = - \left( {{{h}_{{{\kern 1pt} 1}}} + m{{h}_{{{\kern 1pt} 2}}}} \right)\xi {\kern 1pt} '\, - mC{\kern 1pt} '\, - d{{T}_{Q}}\frac{{{{\partial }^{2}}\xi {\kern 1pt} '}}{{\partial y_{c}^{2}}} + \tilde {\beta }\frac{{\partial \xi {\kern 1pt} '}}{{\partial t}},$
(17)
$T_{s}^{{\text{'}}} = m{{h}_{{{\kern 1pt} 2}}}\xi {\kern 1pt} '\, + mC{\kern 1pt} '\, + d{{T}_{Q}}\frac{{{{\partial }^{2}}\xi {\kern 1pt} '}}{{\partial y_{c}^{2}}} - \tilde {\beta }\frac{{\partial \xi {\kern 1pt} '}}{{\partial t}},\,\,\,\,\frac{{{{T}_{Q}}}}{{{{D}_{T}}}}\frac{{\partial \xi {\kern 1pt} '}}{{\partial t}} = \frac{{\partial T_{s}^{{\text{'}}}}}{{\partial {{y}_{c}}}} - 2b{{h}_{{{\kern 1pt} 1}}}\xi {\kern 1pt} '\, - 2bT_{l}^{{\text{'}}},$
(18)
$\frac{{1 - {{k}_{0}}}}{{{{\alpha }_{m}}{{u}_{*}}}}\left( {V\cos \theta C{\kern 1pt} '\, + V\cos \theta {{h}_{{{\kern 1pt} 2}}}\xi {\kern 1pt} '\, + {{C}_{i}}\frac{{\partial \xi {\kern 1pt} '}}{{\partial t}}} \right) + C{\kern 1pt} '\, + {{h}_{2}}\xi {\kern 1pt} ' = 0,$
где b = αhρlcl${{u}_{*}}$/(2ks).

Подстановка возмущений (13) в граничные условия (16)–(18) приводит к трем уравнениям для амплитуд возмущений Tl0, Ts0, C0 и Σ. Далее, приравняв детерминант этой системы к нулю, получим дисперсионное уравнение для функции ω(k).

Рассмотрим систему координат, движущуюся в направлении нормали к межфазной границе дендрита со скоростью V cos θ. Вследствие вращательной симметрии системы возмущение с волновым числом k возрастает со скоростью ω(k). Однако если начало системы координат движется вдоль оси z с постоянной скоростью V, то скорость роста возмущения принимает вид ω(k) – iVk sin θ вследствие наличия тангенциальной скорости в новой системе координат Vsinθ [16]. Поэтому, делая замену ω(k) на –iVk sin θ на кривой нейтральной устойчивости (где ω обращается в нуль) и полагая ε = –1, а также заменяя i на –i [3, 16, 30, 38], получим следующее уравнение для маргинальной моды волнового числа k = km

(19)
${{k}^{2}} + \left( {2b - \frac{{i\beta V\sin \theta }}{d} - \frac{{iB\sin \theta }}{{dA}}} \right)k - \frac{{2bi\beta V\sin \theta }}{d} - \frac{{iV\sin \theta }}{{{{D}_{T}}d}} - \frac{{2biB\sin \theta }}{{dA}} = 0,$
где

$A = 1 + \frac{{\left( {1 - {{k}_{0}}} \right)V\cos \theta }}{{{{\alpha }_{m}}{{u}_{*}}}},\,\,\,\,B = \frac{{\left( {1 - {{k}_{0}}} \right)m{{C}_{i}}V}}{{{{\alpha }_{m}}{{u}_{*}}{{T}_{Q}}}},\,\,\,\,\beta \left( \theta \right) = \frac{{\tilde {\beta }\left( \theta \right)}}{{{{T}_{Q}}}}.$

КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОГО РОСТА ВЕРШИНЫ ДЕНДРИТА

Критерий отбора для термически контролируемого роста в однокомпонентной системе

Из уравнения (19) находим следующее выражение для волнового числа

(20)
$k = - b\sqrt {1 + \frac{{iqV\sin \theta }}{{bd}}} - b + \frac{{i\beta V\sin \theta }}{{2d}},$
где ${{\alpha }_{\beta }} \ll 1;$ скорость роста V по порядку величины не превосходит 10 м/с и q = β0 + + 1/(bDT).

Далее подставляем k из (20) в условие разрешимости (11) при малых параметрах анизотропии (${{\alpha }_{d}} \ll 1$ и ${{\alpha }_{\beta }} \ll 1$) и нулевом угле между направлением роста и минимумом поверхностной энергии (θd = 0)

(21)
$\begin{gathered} \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty d\varphi G\left[ {{{X}_{0}}\left( {\eta \left( \varphi \right)} \right)} \right]\exp \left\{ {\mathop \smallint \limits_{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt {2{{\alpha }_{d}}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {2{{\alpha }_{d}}} }}}^\varphi \left[ {\sqrt {\frac{{{{2}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 n}} \right. \kern-0em} n}}}}{{\rho }^{2}}bqV\alpha _{d}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 n}} \right. \kern-0em} n}}}{{A}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 n}} \right. \kern-0em} n}}}}({{\varphi }^{{{\text{'}}{{\left( {n + 1} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {n + 1} \right)} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} - \tilde {\tau }\varphi ({{\varphi }^{{{\text{'}}{n \mathord{\left/ {\vphantom {n 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} - 1))}}{{{{d}_{0}}(1 - {{\varphi }^{{{\text{'}}{n \mathord{\left/ {\vphantom {n 2}} \right. \kern-0em} 2}}}})}}} } \right.} \right. + \\ \left. {\left. {^{{^{{^{{^{{^{{}}}}}}}}}} + \,\,\frac{{\rho A_{n}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 n}} \right. \kern-0em} n}}}}}{{{{2}^{{{{\left( {3n + 4} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {3n + 4} \right)} 4}} \right. \kern-0em} 4}}}}}}\sqrt {{{\alpha }_{d}}} \alpha _{d}^{{{{\left( {n - 4} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {n - 4} \right)} {2n}}} \right. \kern-0em} {2n}}}}{{d}_{0}}\left( {{{2}^{{{{\left( {3n + 7} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {3n + 7} \right)} 4}} \right. \kern-0em} 4}}}}\alpha _{d}^{{{{\left( {n + 1} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {n + 1} \right)} {2n}}} \right. \kern-0em} {2n}}}}A_{n}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 n}} \right. \kern-0em} n}}}b{{d}_{0}}\sqrt {\varphi {\kern 1pt} '} + {{2}^{{{{3n} \mathord{\left/ {\vphantom {{3n} 4}} \right. \kern-0em} 4}}}}{{\beta }_{0}}V{{\alpha }_{\beta }}} \right)} \right]d\varphi {\kern 1pt} '} \right\}, \\ \end{gathered} $
где введены следующие обозначения (см. также [14, 16, 19, 30])

$\tilde {\tau } = \tau A_{n}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 n}} \right. \kern-0em} n}}}\alpha _{d}^{{\frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 4} \right)}}{{4n}}}},~\,\,\,\,\tau = \frac{{{{2}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 4}} \right. \kern-0em} 4}}}}\alpha _{d}^{{{{\left( {5 - n} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {5 - n} \right)} 4}} \right. \kern-0em} 4}}}b{{d}_{0}}}}{{qV}}.$

Отборное соотношение (21) может быть вычислено в соответствии с предыдущей теорией, развитой в работах [14, 16, 19, 30, 38]. Необходимо отметить два главных вклада в этот интеграл: вклад от петли и вклад от стационарных фазовых точек.

Первый вклад может быть рассчитан между расстоянием ~τ2/3 (расстояние между стационарными фазовыми точками) на пересечении резкой траектории спуска и вещественной оси и ϕ' ∼ 1. Это условие приводит к осциллирующему фактору экспоненциально малой величины интеграла

(22)
$\begin{gathered} \cos \left[ {{{A}_{1}}\sqrt {\frac{{{{\rho }^{2}}\alpha _{d}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 n}} \right. \kern-0em} n}}}A_{n}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 n}} \right. \kern-0em} n}}}{{D}_{T}}bqV}}{{{{d}_{0}}}}} \left( {1 + {{B}_{1}}{{{\tilde {\tau }}}^{{\frac{{n + 5}}{{2\left( {n - 1} \right)}}}}}} \right) + \frac{{2{{a}_{1}}}}{3}{{{\tilde {\tau }}}^{{\frac{3}{{n - 1}}}}} + {{a}_{2}}{{{\tilde {\tau }}}^{{\frac{2}{{n - 1}}}}}} \right], \\ {{a}_{1}} = {{2}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 4}} \right. \kern-0em} 4}}}}A_{n}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 n}} \right. \kern-0em} n}}}\alpha _{d}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 n}} \right. \kern-0em} n}}}\rho b,\,\,\,\,{{a}_{2}} = \frac{{{{\alpha }_{\beta }}A_{n}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 n}} \right. \kern-0em} n}}}\rho {{\beta }_{0}}V}}{{\sqrt 2 {{d}_{0}}\alpha _{d}^{{\frac{{n - 2}}{n}}}}}. \\ \end{gathered} $

Вклад от стационарных фазовых точек имеет следующую осциллирующую часть

(23)
$\cos \left[ {{{A}_{2}}\sqrt {\frac{{{{\rho }^{2}}\alpha _{d}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 n}} \right. \kern-0em} n}}}A_{n}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 n}} \right. \kern-0em} n}}}{{D}_{T}}bqV}}{{{{d}_{0}}}}} \left( {1 + {{B}_{2}}{{{\tilde {\tau }}}^{{\frac{{n + 5}}{{2\left( {n - 1} \right)}}}}}} \right) + \frac{{2{{a}_{1}}\left( {1 - {{{\tilde {\tau }}}^{{\frac{3}{{n - 1}}}}}} \right)}}{3} + {{a}_{2}}\left( {1 - {{{\tilde {\tau }}}^{{\frac{2}{{n - 1}}}}}} \right)} \right].$

Здесь A1, A2, B1 и B2 – константы. Зануление суммы вкладов (22) и (23) определяет критерий отбора для термо-контролируемого дендритного роста с симметрией n-ого порядка в виде

(24)
$\sigma {\kern 1pt} {\kern 1pt} * = \frac{{{{\sigma }_{0}}\alpha _{d}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 n}} \right. \kern-0em} n}}}A_{n}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 n}} \right. \kern-0em} n}}}\left( {1 + b{{D}_{T}}{{\beta }_{0}}} \right){{{\left( {1 + \mu {{{\tilde {\tau }}}^{{\frac{{n + 5}}{{2\left( {n - 1} \right)}}}}}} \right)}}^{2}}}}{{{{{\left[ {1 + \nu \left( {\alpha _{d}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 n}} \right. \kern-0em} n}}}A_{n}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 n}} \right. \kern-0em} n}}}\rho b + \frac{{3\alpha _{d}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 4}} \right. \kern-0em} 4}}}A_{n}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 n}} \right. \kern-0em} n}}}\rho {{\beta }_{0}}V}}{{{{2}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 4}} \right. \kern-0em} 4}}}}{{d}_{0}}}}} \right)} \right]}}^{2}}}},$
где σ0, μ и ν представляют собой константы.

Стоит отметить важный момент, что ν можно определить из предельного случая высоких скоростей роста кристалла в кинетическом режиме. Таким образом, полагая b → 0, $\tilde {\tau }$ → 0 и ρβ0V/d0$ \gg $ 1, приходим к следующему выражению из (24)

(25)
$\sigma {\kern 1pt} * = \frac{{{{2}^{{{{11} \mathord{\left/ {\vphantom {{11} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}{{\sigma }_{0}}\alpha _{d}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 4}} \right. \kern-0em} 4}}}d_{0}^{2}\alpha _{d}^{{\frac{{2\left( {n - 2} \right)}}{n}}}}}{{36{{\nu }^{2}}\beta _{0}^{2}\alpha _{\beta }^{2}D_{T}^{2}P_{g}^{2}}},\,\,\,\,{{P}_{g}} = \frac{{\rho V}}{{2{{D}_{T}}}}.$

Критерий отбора, ранее полученный для роста дендрита в вынужденном ламинарном потоке [уравнение (29) в [19]] в том же пределе принимает вид

(26)
$\sigma {\kern 1pt} * = \frac{{{{\sigma }_{0}}\alpha _{d}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 4}} \right. \kern-0em} 4}}}d_{0}^{2}}}{{\gamma \beta _{0}^{2}D_{T}^{2}P_{g}^{2}}},\,\,\,\,\gamma = \frac{{400{{\sigma }_{0}}}}{3}.$

Объединяя выражения (25) и (26), получим

${{\nu }^{2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{9}a_{1}^{2}\sigma _{0}^{2}.$

Таким образом, критерий отбора (24) содержит две константы σ0 и μ, которые могут быть определены из экспериментальных данных или моделирования фазовым полем [5, 40, 41].

Критерий отбора для термохимического роста

Для определения критерия отбора для двухкомпонентного сплава рассмотрим два разных случая. Первый случай относится к очень разбавленным системам, в которых β1 = β0 + mCi(1 – k0)/(TQαs${{u}_{*}}$) $ \ll $ $\sqrt {{{{{d}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{d}_{0}}} {(V{{D}_{T}})}}} \right. \kern-0em} {(V{{D}_{T}})}}} $ или β1$ \ll $ bd0/V и A ∼ 1 (последняя оценка следует из граничного условия (5). В этом пределе волновое число k маргинального режима возьмем из выражения (20), где β0 заменим на β0 + mCi(1 – k0)/(TQαs${{u}_{*}}$). Критерий устойчивости можно получить аналогично критерию для однокомпонентных систем. В этом случае масштабный фактор σ * принимает вид (24), где полагаем β1 вместо β0 и получаем

(27)
$\sigma {\kern 1pt} * = \frac{{{{\sigma }_{0}}\alpha _{d}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 n}} \right. \kern-0em} n}}}A_{n}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 n}} \right. \kern-0em} n}}}\left( {1 + b{{D}_{T}}{{\beta }_{1}}} \right){{{\left( {1 + \mu {{{\tilde {\tau }}}^{{\frac{{n + 5}}{{2\left( {n - 1} \right)}}}}}} \right)}}^{2}}}}{{{{{\left[ {1 + \nu \left( {\alpha _{d}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 n}} \right. \kern-0em} n}}}A_{n}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 n}} \right. \kern-0em} n}}}\rho b + \frac{{3\alpha _{d}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 4}} \right. \kern-0em} 4}}}A_{n}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 n}} \right. \kern-0em} n}}}\rho {{\beta }_{1}}V}}{{{{2}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 4}} \right. \kern-0em} 4}}}}{{d}_{0}}}}} \right)} \right]}}^{2}}}},\,\,\,\,~\tilde {\tau } = \tau \frac{{\alpha _{d}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 n}} \right. \kern-0em} n}}}A_{n}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 n}} \right. \kern-0em} n}}}\rho {{b}^{2}}{{d}_{0}}}}{{{{2}^{{\frac{1}{4}}}}{{P}_{{g~}}}\left( {1 + b{{D}_{T}}{{\beta }_{1}}} \right)}}.$
Предел применимости этого критерия ${{\beta }_{1}} \ll \sqrt {{{{{d}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{d}_{0}}} {(V{{D}_{T}})}}} \right. \kern-0em} {(V{{D}_{T}})}}} $ или ${{\beta }_{1}} \ll {{b{{d}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{b{{d}_{0}}} V}} \right. \kern-0em} V}.$

Волновое число во втором предельном случае ${{\beta }_{1}} \gg {{b{{d}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{b{{d}_{0}}} V}} \right. \kern-0em} V}$ может быть найдено из уравнения

(28)
$k = \frac{{i\beta V\sin \theta }}{d}.$
Подставляя k из (28) в условие разрешимости (11), получим

(29)
$\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty d\varphi G\left[ {{{X}_{0}}\left( {\eta \left( \varphi \right)} \right)} \right]\exp \left\{ {\left( {\frac{{\sqrt 2 \rho V{{\beta }_{1}}\alpha _{d}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 n}} \right. \kern-0em} n}}}A_{n}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 n}} \right. \kern-0em} n}}}}}{{{{d}_{0}}}}} \right.} \right.\left. {\mathop \smallint \limits_{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt {2{{\alpha }_{d}}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {2{{\alpha }_{d}}} }}}^\varphi \frac{{\varphi {\kern 1pt} {{'}^{{{n \mathord{\left/ {\vphantom {n 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}d\varphi {\kern 1pt} '}}{{\varphi {\kern 1pt} {{'}^{{{n \mathord{\left/ {\vphantom {n 2}} \right. \kern-0em} 2}}}} - 1}}} \right).$

Выражение (29) является доминирующим из-за вклада от петли, который дает осциллирующий множитель экспоненциально малой величины интеграла

(30)
${\text{cos}}\left( {\frac{{{{A}_{3}}\rho V{{\beta }_{1}}\alpha _{d}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 n}} \right. \kern-0em} n}}}A_{n}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 n}} \right. \kern-0em} n}}}}}{{{{d}_{0}}}}} \right),$
где A3 – константа.

Этой функцией можно пренебречь для выбранных значений аргумента. Теперь приравняем последнее выражение к нулю и получаем критерий в следующем виде

(31)
$\sigma {\kern 1pt} * = \frac{{2{{d}_{0}}{{D}_{T}}}}{{{{\rho }^{2}}V}} = \frac{{2{{\sigma }_{0}}{{D}_{T}}{{\beta }_{1}}\alpha _{d}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 n}} \right. \kern-0em} n}}}A_{n}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 n}} \right. \kern-0em} n}}}}}{\rho }~,$
где σ0 обозначает константу, которая может быть найдена экспериментально или методом моделирования по теории фазового поля. Заметим, что предел применимости критерия (31) ${{\beta }_{1}} \gg \frac{{b{{d}_{0}}}}{V}.$

Стоит отметить, что σ * из уравнения (27), справедливое при ${{\beta }_{1}} \ll {{b{{d}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{b{{d}_{0}}} V}} \right. \kern-0em} V},$ стремится к нулю при больших β1. С другой стороны, σ* из (31), полученное в пределе ${{\beta }_{1}} \gg {{b{{d}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{b{{d}_{0}}} V}} \right. \kern-0em} V},$ стремится к нулю при малых β1. Такое поведение позволяет нам получить единый критерий разрешимости, объединив выражения (27) и (31) при различных β1. Следовательно, обобщенный критерий отбора можно записать в виде

(32)
$\sigma {\kern 1pt} *\left( {\rho ,~V} \right) = \frac{{2{{d}_{0}}{{D}_{T}}}}{{{{\rho }^{2}}V}} = \frac{{{{\sigma }_{0}}\alpha _{d}^{{\frac{5}{n}}}A_{n}^{{\frac{5}{n}}}\left( {1 + b{{D}_{T}}{{\beta }_{1}}} \right){{{\left( {1 + \mu {{{\tilde {\tau }}}^{{\frac{{n + 5}}{{2\left( {n - 1} \right)}}}}}} \right)}}^{2}}}}{{{{{\left[ {1 + \nu \left( {\alpha _{d}^{{\frac{3}{n}}}A_{n}^{{\frac{3}{n}}}\rho b + \frac{{3\alpha _{d}^{{\frac{1}{4}}}A_{n}^{{\frac{2}{n}}}{{P}_{g}}{{\beta }_{1}}{{D}_{T}}}}{{{{2}^{{\frac{1}{4}}}}{{d}_{0}}}}} \right)} \right]}}^{2}}}} + ~\frac{{2{{\sigma }_{0}}\alpha _{d}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 n}} \right. \kern-0em} n}}}A_{n}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 n}} \right. \kern-0em} n}}}{{D}_{T}}{{\beta }_{1}}}}{\rho }.~$

Таким образом, критерий отбора (32) определяет комбинацию между скоростью V и диаметром вершины ρ в случае анизотропного термо-концентрационного дендритного роста с симметрией кристалла n-ого порядка при условии конвективного тепло-и массопереноса в жидкости.

БАЛАНС ПЕРЕОХЛАЖДЕНИЯ И ТОЧНОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ

Выражение для полного переохлаждения ΔT = Tm – ${{T}_{\infty }}$, представляющее собой второе уравнение модели, содержит следующие вклады

(33)
$\Delta {{T}_{T}} = {{T}_{i}} - {{T}_{\infty }} = \frac{{{{T}_{Q}}V{{k}_{S}}}}{{{{\alpha }_{h}}{{\rho }_{l}}{{c}_{l}}{{u}_{*}}{{D}_{T}}}},\,\,\,\,\Delta {{T}_{C}} = m\left( {{{C}_{i}} - {{C}_{{l\infty }}}} \right) = \frac{{\left( {1 - {{k}_{0}}} \right)Vm{{C}_{{l\infty }}}}}{{{{\alpha }_{m}}{{u}_{*}} - \left( {1 - {{k}_{0}}} \right)V}},$
а также ΔTR = 4d0TQ/ρ и ΔTK = V/μk (R = ρ/2). Выражения (33) для ΔTT и ΔTC являются независимыми от ρ. Принимая во внимание, что полное переохлаждение ΔT = Tm – ${{T}_{\infty }}$ является постоянной величиной, выразим явную функцию ρ(V) в виде

(34)
$\rho \left( V \right) = \frac{{4{{d}_{0}}{{T}_{Q}}}}{{\Delta T - \Delta {{T}_{T}}\left( V \right) - \Delta {{T}_{C}}\left( V \right) - {V \mathord{\left/ {\vphantom {V {{{\mu }_{k}}}}} \right. \kern-0em} {{{\mu }_{k}}}}}}.$

Теперь, подставляя ρ(V) из (34) в (32), получим неявное уравнение для скорости роста дендрита V в виде

(35)
$\frac{{{{\rho }^{2}}\left( V \right)V}}{{2{{d}_{0}}{{D}_{T}}}}\sigma {\kern 1pt} *\left( {\rho \left( V \right),V} \right) = 1.$
где σ*(ρ(V), V) обозначает правую часть уравнения (32) после замены ρ(V) из выражения (34).

Таким образом, соотношения (34) и (35) представляют собой точное аналитическое решение в случае конвективного тепло- и массопереноса, определяющего устойчивый рост дендритного кристалла.

ВЛИЯНИЕ КОНВЕКТИВНОГО ПОТОКА НА ЗАТВЕРДЕВАНИЕ РАСПЛАВА Ti45Al55

Решение системы двух уравнений для критерия отбора (32) и баланса переохлаждения (35) определяет два параметра: скорость роста V и радиус дендрита ρ/2 при заданном переохлаждении ΔT. Полученное решение сравнивается с теоретической моделью при кондуктивных граничных условиях [8] и экспериментальными данными, полученными при затвердевании кристаллов в сплаве Ti45Al55.

Действительно, теоретические предсказания [8] демонстрируют хорошее соответствие с данными эксперимента [42]. Однако, при малых значениях скоростей роста интервалы ошибок экспериментальных данных не захватывают теоретическую кривую, рассчитанную для средних скоростей потока U = 0.5 и 0.75 м/с. Это объясняется тем, что при таких интенсивных скоростях возможен переход от ламинарного течения к турбулентному в левитирующих каплях. В этом случае модель [8] становится неприменимой из-за турбулентного характера течения, и, как следствие, для теоретического описания необходимо использовать модель с конвективными граничными условиями, заданную системой уравнений (32)–(35).

Рисунок 2 иллюстрирует сравнение теоретической модели при кондуктивных и конвективных граничных условиях с экспериментальными данными по кинетике роста дендритов в расплаве Ti45Al55. Видно, что модель с неподвижным расплавом (нулевая скорость набегающего потока, U = 0 м/с) не описывает данные эксперимента [8, 42]. Модель с кондуктивными граничными условиями и набегающим потоком со скоростью, представляющей верхний предел ламинарного течения, согласуется с нижним пределом измерений. Таким образом, кондуктивные граничные условия не точно описывают эксперимент в пределе низких скоростей.

Рис. 2.

Сравнение теоретической модели с экспериментальными данными по кинетике роста дендритов в сплаве Ti45Al55. Данные измерений, выполненных при кондуктивных граничных условиях в отсутствии конвекции, U = 0, и при конвективном потоке со средней скоростью U = 0.5 м/с, описаны в работе [8]. Данные измерений, выполненных при конвективных граничных условиях, описаны теоретической моделью (32)–(35), а параметры системы, принятые при расчетах, приведены в табл. 1. Экспериментальные данные (точки) из работы Хартманна и др. [42] рассчитаны при конвективных граничных условиях для малых значений скоростей потока. Интервалы ошибки показывают погрешность в экспериментальных измерениях скорости роста кристаллов, выполненных высокоскоростной камерой в каплях, обработанных в установке ЭМЛ.

Таблица 1.  

Материальные и расчетные параметры для роста дендритов в сплаве Ti45Al55

Параметр Обозначение Величина Ед. измерения
Постоянная отбора ${{\sigma }_{0}}$ – 1.17
Капиллярная постоянная ${{d}_{0}}$ м 9.28 · 10–10
Коэффициент температуропроводности ${{D}_{T}}$ м2/с 2.5 · 10–6
Плотность жидкости ${{\rho }_{l}}$ кг/м3 2.46 · 103
Коэффициент распределения примеси ${{k}_{0}}$ – 0.86
Номинальная концентрация ${{C}_{{l\infty }}}$ ат. % 55
Параметр анизотропии ${{\alpha }_{d}}$ – 0.3
Постоянная кинетического роста ${{\beta }_{0}}$ c/м 1.88 · 10–2
Параметр отбора $\mu $ – 10–3
Наклон линии ликвидус m K/ат. % 8.78
Теплоемкость ${{c}_{l}}$ Дж/(кг · K) 1237
Параметр устойчивости b м–1 1.04 · 106
Конвективный коэффициент теплоты ${{\alpha }_{h}}$ – 3.55
Скорость трения ${{u}_{*}}$ м/с 4
Переохлаждение ${{T}_{Q}}$ K 272.64
Кристаллическая теплопроводность ${{k}_{S}}$ Вт/(м · K) 29.22

Отметим, что включение конвективных граничных условий в модель дендритного роста позволяет описать теоретические данные [42] в пределах погрешности экспериментальных измерений скорости роста кристаллов. Можно предположить, что характер течения в левитирующих каплях становится турбулентным, а на вершинах растущих дендритов завихрение потока вызывает процессы переноса тепла и массы конвективного типа. Эта особенность позволяет описать экспериментальные данные в пределах низких скоростей роста дендритов в сплаве Ti45Al55 [42].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в настоящей работе развито теоретическое описание устойчивого роста дендритных кристаллов в переохлажденных бинарных расплавах в условиях конвективного тепло- и массопереноса вблизи границы фазового перехода. Выведен критерий отбора устойчивого режима роста при кристаллической симметрии n-го порядка. Сформулирована система, состоящая из баланса переохлаждений и критерия отбора, позволяющая определить зависимости скорости роста вершины дендрита и ее диаметра от переохлаждения расплава. Проведенное сравнение теории с затвердеванием расплава Ti45Al55 показало, что выведенные теоретические зависимости описывают экспериментальные данные в области малых переохлаждений жидкости, когда на вершинах растущих дендритов в левитирующих каплях завихрение потока вызывает процессы переноса тепла и массы конвективного типа.

В дальнейшем представляет интерес объединение теории дендритного роста с теорией зарождения и эволюции полидисперсного ансамбля кристаллов в переохлажденной области фазового перехода – двухфазной зоне. Такие исследования можно осуществить в духе ранее предложенных теоретических подходов [43–50].

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант 16-11-10 095).

Список литературы

  1. Kurz W., Fisher D.J. Fundamentals of Solidification 3rd ed. Aedermannsdorf: Trans Tech Publ., 1989.

  2. Herlach D., Galenko P., Holland-Moritz D. Metastable Solids from Undercooled Melts. Amsterdam: Elsevier, 2007.

  3. Alexandrov D.V., Galenko P.K., Herlach D.M. Selection criterion for the growing dendritic tip in a non-isothermal binary system under forced convective flow // J. Cryst. Growth. 2010. 312. P. 2122–2127.

  4. Chalmers B. Physical Metallurgy. N.Y.: Wiley, 1959.

  5. Gao J., Han M., Kao A., Pericleous K., Alexandrov D.V., Galenko P.K. Dendritic growth velocities in an undercooled melt of pure nickel under static magnetic fields: A test of theory with convection // Acta Materialia. 2016. 103. P. 184–191.

  6. Galenko P.K., Alexandrov D.V. From atomistic interfaces to dendritic patterns // Phil. Trans. R. Soc. A. 2018. 376. P. 20170210.

  7. Alexandrov D.V., Zubarev A.Y. Heterogeneous materials: metastable and non-ergodic internal structures // Phil. Trans. R. Soc. A. 2019. 377. P. 20180353.

  8. Galenko P.K., Danilov D.A., Reuther K., Alexandrov D.V., Rettenmayr M., Herlach D.M. Effect of convective flow on stable dendritic growth in rapid solidification of a binary alloy // J. Cryst. Growth. 2017. 457. P. 349–355.

  9. Gusakova O.V., Galenko P.K., Shepelevich V.G., Alexandrov D.V., Rettenmayr M. Diffusionless (chemically partitionless) crystallization and subsequent decomposition of supersaturated solid solutions in Sn–Bi eutectic alloy // Phil. Trans. R. Soc. A. 2019. 377. P. 20180204.

  10. Mohan D., Phanikumar G. Experimental and modelling studies for solidification of undercooled Ni–Fe–Si alloys // Phil. Trans. R. Soc. A. 2019. 377. P. 20180208.

  11. Gomez H., Bures M., Moure A. A review on computational modelling of phase-transition problems // Phil. Trans. R. Soc. A. 2019. 377. P. 20180203.

  12. Kessler D.A., Koplik J., Levine H. Pattern selection in fingered growth phenomena // Adv. Phys. 1988. 37. P. 255–339.

  13. Langer J.S., Hong D.C. Solvability conditions for dendritic growth in the boundary-layer model with capillary anisotropy // Phys. Rev. A. 1986. 34. P. 1462–1471.

  14. Pelcé P. (Ed.) Dynamics of Curved Fronts // Boston: Academic Press. 1988.

  15. Pelce P., Bensimon D. Theory of dendrite dynamics // Nucl. Phys. B. 1987. 2. P. 259–270.

  16. Bouissou Ph., Pelcé P. Effect of a forced flow on dendritic growth // Phys. Rev. A. 1989. 40. P. 6673–6680.

  17. Ben Amar M., Pelcé P. Impurity effect on dendritic growth // Phys. Rev. A. 1989. 39. P. 4263–4269.

  18. Brener E., Mel’nikov V.I. Pattern selection in two-dimensional dendritic growth // Adv. Phys. 1991. 40. P. 53–97.

  19. Alexandrov D.V., Galenko P.K. Thermo-solutal and kinetic regimes of an anisotropic dendrite growing under forced convective flow // Phys. Chem. Chem. Phys. 2015. 17. P. 19149–19161.

  20. Alexandrov D.V., Galenko P.K. Dendritic growth with the six-fold symmetry: Theoretical predictions and experimental verification // J. Phys. Chem. Solids. 2017. 108. P. 98–103.

  21. Alexandrov D.V., Galenko P.K. Selected mode of dendritic growth with n-fold symmetry in the presence of a forced flow // EPL. 2017. 119. P. 16001.

  22. Brener E.A. Effects of surface energy and kinetics on the growth of needle-like dendrites // J. Cryst. Growth. 1990. 90. P. 165–170.

  23. Brener E.A. Pattern formation in three-dimensional dendritic growth // Physica A. 1999. 263. P. 338–344.

  24. Alexandrov D.V., Galenko P.K. Selected mode for rapidly growing needle-like dendrite controlled by heat and mass transport // Acta Mater. 2017. 137. P. 64–70.

  25. Alexandrov D.V., Danilov D.A., Galenko P.K. Selection criterion of a stable dendrite growth in rapid solidification // Int. J. Heat Mass Trans. 2016. 101. P. 789–799.

  26. Alexandrov D.V., Galenko P.K. Selection criterion of stable mode of dendritic growth with n-fold symmetry at arbitrary Peclet numbers with a forced convection // Proceedings of IUTAM Symposium on Recent Advances in Moving Boundary Problems in Mechanics. Berlin. 2019. P. 203–215.

  27. McPhee M.G., Maykut G.A., Morison J.H. Dynamics and thermodynamics of the ice/upper ocean system in the marginal ice zone of the Greenland Sea // J. Geophys. Res. 1987. 92. P. 7017–7031.

  28. Alexandrov D.V., Nizovtseva I.G. To the theory of underwater ice evolution, or nonlinear dynamics of “false bottoms” // Int. J. Heat Mass Trans. 2008. 51. P. 5204–5208.

  29. Alexandrov D.V., Bashkirtseva I.A., Ryashko L.B. Nonlinear dynamics of mushy layers induced by external stochastic fluctuations // Phil. Trans. R. Soc. A. 2018. 376. P. 20170216.

  30. Alexandrov D.V., Galenko P.K. Dendrite growth under forced convection: analysis methods and experimental tests // Phys. Usp. 2014. 57. P. 771–786.

  31. McPhee M.G., Maykut G.A., Morison J.H. Dynamics and thermodynamics of the ice/upper ocean system in the marginal ice zone of the greenland sea // J. Geophys. Res. 1987. 92. P. 7017–7031.

  32. Notz D., McPhee M.G., Worster M.G., Maykut G.A., Schlünzen K.H., E.H. Impact of underwater-ice evolution on arctic summer sea ice // J. Geophys. Res. 2003. 108. P. 3223.

  33. Alexandrov D.V., Malygin A.P. Convective instability of directional crystallization in a forced flow: The role of brine channels in a mushy layer on nonlinear dynamics of binary systems // Int. J. Heat Mass Trans. 2011. 54. P. 1144–1149.

  34. Alexandrov D.V., Bashkirtseva I.A., Malygin A.P., Ryashko L.B. Sea ice dynamics induced by external stochastic fluctuations // Pure Appl. Geophys. 2013. 170. P. 2273–2282.

  35. Ivantsov G.P. Temeprature field around spherical, cylinder and needle-like dendrite growing in supercooled melt // Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1947. 58. № 4. P. 567–569.

  36. Ivantsov G.P. On a growth of spherical and needle-like crystals of a binary alloy // Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1952. 83. № 4. P. 573–575.

  37. Ivantsov G.P. Thermal and diffusional processes during crystal growth // Growth of Crystals. 1961. 3. P. 75–84.

  38. Alexandrov D.V., Galenko P.K. Selection criterion of stable dendritic growth at arbitrary Péclet numbers with convection // Phys. Rev. E. 2013. 87. P. 062403.

  39. Alexandrov D.V., Galenko P.K. Selection criterion for the growing dendritic tip at the inner core boundary // J. Phys. A: Math. Theor. 2013. 46. P. 195101.

  40. Jeong J.-H., Goldenfeld N., Dantzig J.A. Phase field model for three-dimensional dendritic growth with fluid flow // Phys. Rev. E. 2001. 64. P. 041602.

  41. Tong X., Beckermann C., Karma A., Li Q. Phase-field simulations of dendritic crystal growth in a forced flow // Phys. Rev. E. 2001. 63. P. 061601.

  42. Hartmann H., Galenko P.K., Holland-Moritz D., Kolbe M., Herlach D.M., Shuleshova O. Non-equilibrium solidification in undercooled Ti45Al55 melts // J. Appl. Phys. 2008. 103. P. 073509.

  43. Alexandrov D.V. On the theory of transient nucleation at the intermediate stage of phase transitions // Phys. Lett. A. 2014. 378. P. 1501–1504.

  44. Barlow D.A. Theory of the intermediate stage of crystal growth with applications to insulin crystallization // J. Cryst. Growth. 2017. 470. P. 8–14.

  45. Alexandrov D.V. Nucleation and crystal growth kinetics during solidification: The role of crystallite withdrawal rate and external heat and mass sources // Chem. Eng. Sci. 2014. 117. P. 156–160.

  46. Makoveeva E.V., Alexandrov D.V. A complete analytical solution of the Fokker-Planck and balance equations for nucleation and growth of crystals // Phil. Trans. R. Soc. A. 2018. 376. № 2113. P. 20170327.

  47. Aseev D.L., Alexandrov D.V. Nonlinear dynamics for the solidification of binary melt with a nonequilibrium two-phase zone // Phys. Dokl. 2006. 51. P. 291–295.

  48. Aseev D.L., Alexandrov D.V. Directional solidification of binary melts with a nonequilibrium mushy layer // Int. J. Heat Mass Transfer. 2006. 49. P. 4903–4909.

  49. Alexandrov D.V., Malygin A.P. Flow-induced morphological instability and solidification with the slurry and mushy layers in the presence of convection // Int. J. Heat Mass Trans. 2012. 55. P. 3196–3204.

  50. Alexandrov D.V., Malygin A.P. Coupled convective and morphological instability of the inner core boundary of the Earth // Phys. Earth Planet. Inter. 2011. 189. P. 134–141.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Расплавы

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал