Известия РАН. Теория и системы управления, 2019, № 5, стр. 32-43

Введение. Динамические системы, содержащие малые параметры при нелинейностях, принято называть квазилинейными. Задачи оптимизации таких систем в различных постановках исследовались многими авторами (см., например, [1–6]). Интерес к квазилинейным задачам вызван эффективностью асимптотических методов их решения, при применении которых исходные по существу нелинейные задачи сводятся к сравнительно несложной коррекции решений задач оптимизации линейных систем.

В статье рассматривается задача оптимального управления квазилинейной системой с интегральным квадратичным критерием качества при наличии линейных терминальных ограничений на траектории. Ее можно трактовать как задачу управления с минимальными энергетическими затратами. Целью работы является построение асимптотических приближений к оптимальному программному управлению и оптимальной обратной связи в рассмотренной задаче. Суть применяемого подхода к исследованию состоит в асимптотическом разложении по целым степеням малого параметра начальных значений сопряженных переменных и множителей Лагранжа – конечномерных элементов, соответствующих в силу принципа максимума [7] оптимальному управлению. Статья обобщает результаты, полученные в [8], где рассматривалась задача с фиксированным правым концом траекторий.

1. Постановка задачи. В классе многомерных управляющих воздействий с кусочно-непрерывными компонентами рассмотрим следующую задачу оптимизации квазилинейной системы:

где µ – малый (по модулю) параметр, ${{t}_{*}}$, t* – заданные начальный и конечный моменты времени (${{t}_{*}} < t{\text{*}}$), u – r-вектор управления, x – n-вектор фазового состояния системы, g – m-вектор $\left( {m \leqslant n} \right)$. Остальные элементы задачи имеют соответствующие размеры, при этом среди линейных терминальных ограничений (1.2) нет “лишних”, т.е. ${\text{rank}}\,H = m$. В критерии качества $Q\left( t \right)$ – неотрицательно-определенная, а $P\left( t \right)$ – положительно-определенная симметрические матрицы для всех $t \in T = [{{t}_{*}},t{\text{*}}]$. В дальнейшем для определенности будем считать управления непрерывными справа в любой момент времени.

Предположение 1. Элементы матриц $A(t)$, $B(t)$, $Q(t)$, $P(t)$, $\partial f(x,t){\text{/}}\partial x$, $x \in {{R}^{n}}$, $t \in T$, принадлежат классу ${{C}^{p}}$, $p \geqslant 1$.

Управление $u(t,\mu )$, $t \in T$, с кусочно-непрерывными компонентами принято называть допустимым, если для порожденной им траектории $x(t,\mu )$, $t \in T$, системы (1.1) выполняется условие $Hx(t{\text{*}},\mu ) = g$. Допустимое управление, минимизирующее функционал J(u), называют оптимальным. Наряду с этими общеупотребительными понятиями определим то, что будет пониматься под асимптотическими приближениями к решению рассматриваемой задачи.

Определение 1. Управление ${{u}^{{(N)}}}(t,\mu )$, $t \in T$, с кусочно-непрерывными компонентами назовем (программным) асимптотически субоптимальным управлением N-го порядка ($N = 0,1,2,\; \ldots $,) в задаче (1.1)–(1.3), если оно отклоняется по критерию качества (1.3) от оптимального управления на величину $O({{{\mu }}^{{N + 1}}})$, а порожденная им траектория $x\left( {t,\mu } \right)$, $t \in T$, удовлетворяет терминальному ограничению (1.2) с точностью того же порядка малости.

Определение 2. Вектор-функцию ${{u}^{{(N)}}}(x,t,\mu )$ назовем асимптотически субоптимальной обратной связью N-го порядка, если для любого начального состояния $({{x}_{*}},{{t}_{*}})$, ${{t}_{*}} < t{\text{*}}$, имеет место ${{u}^{{(N)}}}({{x}_{*}},{{t}_{*}},\mu ) = {{u}^{{(N)}}}({{t}_{*}},\mu )$, где ${{u}^{{(N)}}}(t,\mu )$, $t \in T$, – асимптотически субоптимальное управление N-го порядка в задаче (1.1)–(1.3).

В статье предлагается алгоритм, с помощью которого для заданного числа N (N < p) можно построить асимптотически субоптимальное управление N-го порядка в рассматриваемой задаче. Алгоритм опирается на конструктивное доказательство теоремы о существовании при сделанном далее предположении оптимального управления и его асимптотических свойствах. Его суть состоит в построении полиномов Тейлора начальных значений сопряженных переменных (в момент времени ${{t}_{*}}$), которые в силу принципа максимума [7] соответствуют оптимальному управлению. Эти величины как функции малого параметра принадлежат классу C^p. В работе также построены асимптотически субоптимальные обратные связи нулевого и первого порядков.

2. Базовая задача. На первом этапе построения асимптотически субоптимальных управлений решается базовая задача

которая формально получается из исходной при $\mu = 0$ и в отличие от нее выступает задачей оптимизации линейной системы.

Предположение 2. Динамическая система (2.1) является управляемой на отрезке $\left[ {\tau ,\;t{\text{*}}} \right]$ относительно подпространства $Hx = 0$ при любом $\tau \in [{{t}_{*}},t{\text{*}})$ (см. [9]).

Это предположение выполняется тогда и только тогда (см., например, [10]), когда при любом $\tau \in [{{t}_{*}},t{\text{*}})$ и любом ненулевом m-векторе l имеет место соотношение

где ${{F}_{0}}(t)$, $t \in T$, – (n × n) – матричная функция, являющаяся решением начальной задачи с единичной матрицей ${{E}_{n}}$. Заметим, что условие (2.3), которое называют неявным критерием управляемости на подпространство, для стационарной динамической системы эквивалентно требованию [9]

При выполнении предположения 2 в задаче (2.1), (2.2) существуют допустимые управления, а тогда эта задача имеет единственное решение (см. [11]), которое является нормальной экстремалью. Последнее означает, что принцип максимума [7] в данном случае может быть сформулирован следующим образом: пусть ${{u}^{0}}(t)$, ${{x}^{0}}(t)$, $t \in T$, – оптимальные управление и траектория в задаче (2.1), (2.2), тогда существует такой m-вектор множителей Лагранжа ${{\lambda }_{0}}$, что выполняется условие

где ${{{\psi }}^{0}}(t)$, $t \in T$, – решение сопряженной системы

Отсюда непосредственно получаем

После решения базовой задачи формируется матрица

Здесь ${{F}_{{12}}}\left( t \right)$, ${{F}_{{22}}}\left( t \right)$, $t \in T$, – блоки размеров n × n матричной функции

удовлетворяющей дифференциальному уравнению в котором

Пусть ${{{\nu }}_{0}} = {{\psi }^{0}}({{t}_{*}})$. В [10] показано, что при выполнении предположения 2 матрица (2.6) является невырожденной при ${{t}_{*}} < t{\text{*}}$, а компоненты векторов ${{{\nu }}_{0}}$, ${{\lambda }_{0}}$ – решением следующей системы линейных алгебраических уравнений:

3. Асимптотический анализ решения исходной задачи. Говорить об асимптотически субоптимальных управлениях можно лишь в том случае, когда исходная задача имеет решение. Убедимся, что при сделанных предположениях в задаче (1.1)–(1.3) с достаточно малым µ существует оптимальное управление. Доказательство будет конструктивным и предопределит дальнейшие вычисления при построении асимптотически субоптимальных управлений.

Рассмотрим начальную задачу

в которой $t \in T$. В силу теоремы о дифференцируемости решений обыкновенных дифференциальных уравнений по начальным данным и параметрам [12] и предположения 1 существуют такие положительные числа ${{\varepsilon }_{0}}$, ${{\mu }_{0}}$, что задача (3.1) имеет единственное решение , , $t \in T$, принадлежащее классу C^p, если только $\left\| {\nu - {{\nu }_{0}}} \right\| < {{{\varepsilon }}_{0}}$, $\left| {\mu } \right| < {{\mu }_{0}}$. Ниже будет показано, что ответ о существовании оптимального управления в исходной задаче тесно связан с разрешимостью системы конечных уравнений относительно неизвестных ν, λ при достаточно малых µ. В дальнейшем для сокращения записи будем использовать векторы $\eta = \left( {\nu ,\lambda } \right)$, ${{\eta }_{0}} = \left( {{{\nu }_{0}},{{\lambda }_{0}}} \right)$, размерности n + m и вектор-функцию что позволяет записать систему (3.2) в виде

Теорема. При выполнении предположений 1, 2 в задаче (1.1)–(1.3) с достаточно малым (по модулю) μ существует единственное оптимальное управление, которое является нормальной экстремалью и представимо в виде

Значение ν(µ) вектора сопряженных переменных в момент ${{t}_{*}}$ и m-вектор множителей Лагранжа λ(µ), соответствующий в силу принципа максимума оптимальному управлению, удовлетворяют уравнениям (3.2), причем $\nu (\mu ) \in {{C}^{p}}$, $\nu \left( 0 \right) = {{\nu }_{0}}$, $\lambda \left( \mu \right) \in {{C}^{p}}$, $\lambda \left( 0 \right) = {{\lambda }_{0}}$.

Доказательство. С помощью теоремы о неявной функции убедимся, что система уравнений (3.4) однозначно разрешима относительно η при достаточно малых μ. Прежде всего, заметим, что вектор-функция $R(\eta ,\mu )$, определенная в области $\left\| {\eta - {{\eta }_{0}}} \right\| < {{{\varepsilon }}_{0}}$, $\left| {\mu } \right| < {{\mu }_{0}}$, принадлежит классу C^p. Поскольку $x\left( {t,{{\nu }_{0}},0} \right) = {{x}^{0}}(t)$, $\psi \left( {t,{{\nu }_{0}},0} \right) = {{\psi }^{0}}(t)$, $t \in T$, то, как видно из (3.3), $R({{\eta }_{0}},0) = 0$. Привлекая для записи решения задачи (3.1) при μ = 0 фундаментальную матрицу, а затем дифференцируя, получаем $\partial R\left( {{{\eta }_{0}},0} \right){\text{/}}\partial \eta = {{I}_{0}}({{t}_{*}})$ (см. формулу (2.6)). Как было отмечено в предыдущем разделе, при выполнении предположения 2 эта матрица Якоби будет невырожденной. Таким образом, для системы (3.4) или, что то же самое, (3.2) выполнены условия теоремы о неявной функции. Согласно этой теореме, в некоторой окрестности нуля $\left| \mu \right| < {{\mu }_{1}}$ однозначно определена вектор-функция $\eta (\mu ) = (\nu (\mu ),\lambda (\mu ))$ из класса C^p, удовлетворяющая уравнениям (3.2) и условию $\eta (0) = {{\eta }_{0}}$ = (ν₀, λ₀).

Рассмотрим управление (3.5). Оно будет допустимым в исходной задаче, поскольку для порожденной им траектории ${{x}^{0}}(t,\mu ) = x(t,\nu (\mu ),\mu )$, $t \in T$, системы (1.1) выполняется терминальное ограничение $H{{x}^{0}}(t{\text{*}},\mu ) = g$. Вместе с тем это управление удовлетворяет принципу максимума [7] с вектором сопряженных переменных ${{\psi }^{0}}\left( {t,\mu } \right) = \psi \left( {t,\nu \left( \mu \right),\mu } \right)$, $t \in T$. Заметим, что управление (3.5) является нормальной экстремалью, которой соответствует m-вектор множителей Лагранжа $\lambda \left( \mu \right)$.

Покажем, что экстремаль ${{u}^{0}}(t,\mu )$, $t \in T$, будет единственным оптимальным управлением в задаче (1.1)–(1.3), если $\mu $ достаточно мало. Предположим противное, тогда существует такая последовательность ${{\mu }_{k}} \to 0$, что управление ${{u}^{0}}(t,{{\mu }_{k}})$, $t \in T$, k = 1, 2, …, либо не является оптимальным в исходной задаче с $\mu = {{\mu }_{k}}$, либо существует другое оптимальное управление. Поскольку установлено, что в задаче (1.1)–(1.3) с достаточно малым $\mu $ существует допустимое управление, то эта задача имеет решение в классе измеримых функций [11]. Решение исходной задачи с μ = μ_k отличное от u⁰(t, μ_k), t ∈ T, обозначим через $\bar {u}$(t, μ_k), t ∈ T, и пусть $\bar {x}$(t, μ_k), t ∈ T – соответствующая оптимальная траектория. Тогда

Опираясь на эти неравенства, можно убедиться в том, что последовательность измеримых вектор-функций $\bar {u}\left( {t,{{\mu }_{k}}} \right)$, $t \in T$, содержит подпоследовательность, сходящуюся почти всюду к ${{u}^{0}}(t)$, $t \in T$. Рассуждения, которые приводят к такому выводу, аналогичны тем, что использовались при доказательстве теоремы 8.1 из [6]. Чтобы не усложнять обозначений, будем считать, что сама последовательность $\bar {u}\left( {t,{{\mu }_{k}}} \right)$, t ∈ T, сходится почти всюду к оптимальному управлению базовой задачи. Тогда $\bar {x}\left( {t,{{\mu }_{k}}} \right) \to {{x}^{0}}(t)$ равномерно на T. Поскольку управление $\bar {u}\left( {t,{{\mu }_{k}}} \right)$, t ∈ T, является оптимальным, то для него выполняется принцип максимума, т.е. существует такой ненулевой вектор множителей Лагранжа $({{\overline \lambda }_{0}}\left( {{{\mu }_{k}}} \right),\,{{\overline \lambda }_{1}}\left( {{{\mu }_{k}}} \right),\,...,\,{{\overline \lambda }_{m}}\left( {{{\mu }_{k}}} \right)),\,({{\overline \lambda }_{0}}\left( {{{\mu }_{k}}} \right) \geqslant 0),$ что вдоль $\bar {u}\left( {t,{{\mu }_{k}}} \right)$, $\bar {x}\left( {t,{{\mu }_{k}}} \right)$ и решения ${\bar {\psi }}\left( {t,{{\mu }_{k}}} \right)$, $t \in T$, сопряженной системы

почти всюду на T (за исключением, быть может, множества нулевой меры) выполняется условие

Поскольку вектор $({{\bar {\lambda }}_{0}}\left( {{{\mu }_{k}}} \right),\bar {\lambda }\left( {{{\mu }_{k}}} \right))$ определен с точностью до положительного множителя, то без ограничения общности можно считать, что $\left\| {\left( {{{{\bar {\lambda }}}_{0}}\left( {{{\mu }_{k}}} \right),\bar {\lambda }\left( {{{\mu }_{k}}} \right)} \right)} \right\| = \left\| {\,\left( {1,\,{{\lambda }_{0}}} \right)} \right\|$, $k = 1,2,\; \ldots $ Тогда из последовательности векторов $\left( {{{{\bar {\lambda }}}_{0}}\left( {{{\mu }_{k}}} \right),\bar {\lambda }\left( {{{\mu }_{k}}} \right)} \right)$ можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Чтобы не усложнять обозначений, будем считать, что сама последовательность сходится и обозначим ее предел через $({{\bar {\lambda }}_{0}},\bar {\lambda })$. Понятно, что ${{\bar {\lambda }}_{0}} \geqslant 0,$ $\left\| {\left( {{{{\bar {\lambda }}}_{0}},\bar {\lambda }} \right)} \right\| = \left\| {\,\left( {1,\,{{\lambda }_{0}}} \right)} \right\|$. Последовательность $\bar {\psi }(t,{{\mu }_{k}})$, t ∈ T, как видно из (3.6), будет равномерно сходиться к решению ${\bar {\psi }}\left( t \right)$, t ∈ T, начальной задачи

Переходя к пределу в (3.7) при $k \to \infty $, получаем, что почти всюду на T

В силу (3.8), (3.9) управление ${{u}^{0}}\left( t \right)$, $t \in T$, удовлетворяет принципу максимума с вектором множителей Лагранжа $\left( {{{{\bar {\lambda }}}_{0}},\bar {\lambda }} \right)$. В [10] показано, что при выполнении предположения 2 оптимальному управлению в задаче (2.1), (2.2) соответствует в силу принципа максимума единственный (с точностью до положительного множителя) вектор сопряженных переменных. Поэтому ${{\bar {\lambda }}_{0}} = 1,\,\,\bar {\lambda } = {{\lambda }_{0}}$ и соответственно $\bar {\psi }(t) = {{\psi }_{0}}(t)$, $t \in T$. Поскольку ${{\lambda }^{0}}\left( {{{\mu }_{k}}} \right) > 0$ для достаточно больших k, то из (3.7) следует, что почти всюду на T

Отсюда и из (1.1), (3.1), (3.6) видно, что

где $\bar {\nu }{\text{(}}{{\mu }_{k}}{\text{)}}$ = $\bar {\psi }({{t}_{ * }},{{\mu }_{k}})$. Поскольку $H\bar {x}\left( {t*,{{\mu }_{k}}} \right) = g$, $\bar {\psi }(t*,{{\mu }_{k}}) = {{H}^{{\rm T}}}\bar {\lambda }({{\mu }_{k}})$, то вектор $(\bar {\nu }({{\mu }_{k}}){\text{/}}{{\bar {\lambda }}_{0}}({{\mu }_{k}})$, $\bar {\lambda }({{\mu }_{k}}){\text{/}}{{\bar {\lambda }}_{0}}({{\mu }_{k}}))$ является решением системы (3.2) при $\mu = {{\mu }_{k}}$. В силу однозначной разрешимости этой системы в окрестности точки $({{\nu }_{0}},\,{{\lambda }_{0}},\,0)$ имеем $\nu \left( {{{\mu }_{k}}} \right) = \bar {\nu }\left( {{{\mu }_{k}}} \right){\text{/}}{{\bar {\lambda }}_{0}}\left( {{{\mu }_{k}}} \right)$, $\lambda \left( {{{\mu }_{k}}} \right) = \bar {\lambda }\left( {{{\mu }_{k}}} \right){\text{/}}{{\bar {\lambda }}_{0}}\left( {{{\mu }_{k}}} \right)$ для достаточно больших k и соответственно $\bar {u}\left( {t,{{\mu }_{k}}} \right) = {{u}^{0}}\left( {t,{{\mu }_{k}}} \right)$ почти всюду на T. Поскольку получено противоречие, теорема доказана.

4. Построение асимптотически субоптимальных управлений. Продолжим изложение алгоритма построения асимптотических приближений к решению задачи (1.1)–(1.3), опираясь на утверждения теоремы. Пусть задано натуральное число N, N < p. Поскольку $\eta (\mu ) = (\nu (\mu ),\lambda (\mu ))$ принадлежит классу C  ^p и $\eta (0) = ({{\nu }_{0}},{{\lambda }_{0}})$, то имеют место асимптотические равенства ν(μ) = ${{\nu }^{{\left( N \right)}}}(\mu ) + O({{\mu }^{{N + 1}}})$, $\lambda (\mu ) = {{\lambda }^{{\left( N \right)}}}(\mu ) + O({{\mu }^{{N + 1}}})$, где

есть полиномы Тейлора N-й степени. Вектор-функция будет асимптотическим субоптимальным управлением N-го порядка в исходной задаче. Действительно, согласно доказанной теореме, оптимальное управление представимо в виде (3.5). Вместе с тем $\nu \left( \mu \right) - {{\nu }^{{\left( N \right)}}}\left( \mu \right) = O({{\mu }^{{N + 1}}})$, а вектор-функция , как было отмечено, принадлежит классу C^p. Поэтому управление (4.2) отличается от оптимального по норме пространства непрерывных вектор-функций на величину порядка $O({{\mu }^{{N + 1}}})$. По доказанному оптимальная траектория в исходной задаче представима в виде ${{x}^{0}}\left( {t,\mu } \right) = x\left( {t,\nu (\mu ),\mu } \right)$, t ∈ T, а для траектории, порожденной управлением (4.2), справедливо равенство ${{x}^{{\left( N \right)}}}\left( {t,\mu } \right) = x\left( {t,{{\nu }_{N}}(\mu ),\mu } \right)$, t ∈ T. Поскольку вектор-функция $x\left( {t,\nu ,\mu } \right)$ принадлежит классу C^p, то траектория ${{x}^{{\left( N \right)}}}\left( {t,\mu } \right)$, t ∈ T, отличается от оптимальной по норме пространства непрерывных вектор-функций на величину порядка $O({{\mu }^{{N + 1}}})$. Из вышесказанного следует, что для достаточно малых (по модулю) µ имеют место оценки где $\Delta u\left( {t,\mu } \right) = {{u}^{{\left( N \right)}}}\left( {t,\mu } \right) - {{u}^{0}}\left( {t,\mu } \right)$, $\Delta x\left( {t,\mu } \right) = {{x}^{{\left( N \right)}}}\left( {t,\mu } \right) - {{x}^{0}}\left( {t,\mu } \right)$, а C – некоторая положительная постоянная. Здесь и далее норму векторов и матриц считаем евклидовой. Поскольку справедливо неравенство а нормы матриц Q(t), P(t) и вектор-функций ${{x}^{0}}\left( {t,\mu } \right)$, ${{u}^{0}}\left( {t,\mu } \right)$ ограничены на промежутке T, то для достаточно малых (по модулю) µ левая часть неравенства ограничена сверху величиной ${{C}_{0}}{{\left| \mu \right|}^{{N + 1}}}$, где C₀ – некоторая положительная постоянная. Отсюда непосредственно следует, что управление (4.2) отклоняется по критерию качества от оптимального управления на величину $O({{\mu }^{{N + 1}}})$. Кроме того, порожденная им траектория удовлетворяет терминальному ограничению с точностью того же порядка малости. Таким образом оно является асимптотически субоптимальным управлением N-го порядка в задаче (1.1)–(1.3).

Для построения управления (4.2) нужно найти коэффициенты ${{\nu }_{k}}$, k = 1, 2, …, N, полинома (4.1), что можно сделать с помощью методики, изложенной в [6]. Согласно этой методике, прежде всего, нужно разложить левую часть уравнения (3.4) по степеням малого параметра. Вектор-функции $x\left( {t,\nu ,\mu } \right)$, $\psi \left( {t,\nu ,\mu } \right)$ в каждой точке области определения имеют частные производные по μ до порядка p включительно, поэтому они представимы в виде

Применяя формализм Пуанкаре к системе (3.1), составим дифференциальные уравнения для функций ${{x}_{k}}(t,\nu )$, ${{\psi }_{k}}(t,\nu )$, k = 0, 1, 2, …, N, при фиксированном ν:

где $h\left( {x,\psi ,t} \right) = {{\psi }^{{\rm T}}}f\left( {x,t} \right)$.

Как видно из (4.4), нахождение коэффициентов разложений (4.3) при заданном ν сводится к последовательному решению начальных задач для систем линейных дифференциальных уравнений.

В силу формул (3.3), (4.3) левая часть уравнения (3.3) допускает асимптотическое представление

в котором

Составим системы линейных уравнений для векторов ${{\eta }_{k}} = \left( {{{\nu }_{k}},{{\lambda }_{k}}} \right)$, k = 1, 2, …, N. В соответствии со схемой, изложенной в [6], применим для этого метод неопределенных коэффициентов, а именно разложим с помощью формулы Тейлора вектор-функцию

где ${{\eta }^{{\left( N \right)}}}\left( \mu \right) = ({{\nu }^{{\left( N \right)}}}\left( \mu \right),{{\lambda }^{{\left( N \right)}}}\left( \mu \right))$, по степеням $\mu $ до порядка N включительно и приравняем коэффициенты разложения (начиная с коэффициента при µ) к нулю. В результате с учетом того, что вектор-функции ${{R}_{k}}(\eta )$, $k = 0,1,2,\;...,\;N$, линейны по η, получим невырожденные системы линейных уравнений для последовательного нахождения векторов ${{\eta }_{k}} = \left( {{{\nu }_{k}},{{\lambda }_{k}}} \right)$, k = 1, 2, …, N:

Как видно из (4.5), чтобы сформировать правые части этих систем, необходимо знать значения функций ${{x}_{k}}(t,\nu )$, ${{\psi }_{k}}(t,\nu )$ и их частных производных по компонентам вектора ν в точке $(t*,{{\nu }_{0}})$. Значения функций находятся посредством интегрирования уравнений (4.4). Формальным дифференцированием этих уравнений получаем начальные задачи для производных. Например,

При вычислении правых частей систем (4.6) следует учитывать, что ${{x}_{0}}(t,{{\nu }_{0}}) = {{x}^{0}}(t)$, ψ₀(t, ν₀) = = ${{\psi }^{0}}(t)$, t ∈ T. Тогда, как видно из (4.4), (4.5),

а вектор-функции $x_{1}^{0}\left( t \right)$, $\psi _{1}^{0}\left( t \right)$, t ∈ T, являются решением начальной задачи

Последовательно решая системы (4.6), находим векторы ${{\eta }_{k}} = \left( {{{\nu }_{k}},{{\lambda }_{k}}} \right)$, k = 1, 2, …, N, и составляем полином (4.1). Управление (4.2), как было отмечено, является асимптотически субоптимальным управлением N-го порядка в исходной задаче. Для его построения необходимо решить начальную задачу (3.1) при $\nu = {{\nu }^{{\left( N \right)}}}\left( \mu \right)$. Вместе с тем в силу (4.3) $\psi (t,{{\nu }^{{\left( N \right)}}}\left( \mu \right),\mu ) = {{\bar {\psi }}^{{\left( N \right)}}}\left( {t,\mu } \right) + O({{\mu }^{{N + 1}}})$, где

а вектор функции ${{\bar {\psi }}_{k}}(t)$ находятся в результате последовательного решения задач Коши, отличающихся от задач (4.4) только начальными условиями для ${{\psi }_{k}}$: ${{\bar {\psi }}_{k}}({{t}_{*}}) = {{\nu }_{k}}$, $k = 0,\,1, \ldots ,N$. Управление наряду с (4.2) является асимптотически субоптимальным управлением N-го порядка в задаче (1.1)–(1.3).

Поскольку ${{\bar {\psi }}^{{\left( 0 \right)}}}\left( {t,\mu } \right) = {{\psi }^{0}}(t)$, t ∈ T, то ${{\bar {u}}^{{\left( 0 \right)}}}\left( {t,\mu } \right) = {{u}^{0}}\left( t \right)$, t ∈ T, т.е. решение базовой задачи является асимптотически субоптимальным управлением нулевого порядка в исходной задаче. Согласно (4.8), (4.9), асимптотически субоптимальное управление первого порядка представимо в виде

где ${{\bar {\psi }}_{1}}\left( t \right)$, t ∈ T, есть результат решения задачи Коши, отличающейся от задачи (4.7) только тем, что в ней ${{\psi }_{1}}({{t}_{*}}) = {{\nu }_{1}}$. Привлекая для записи решения этой задачи фундаментальную матрицу, получаем где ${{\Phi }_{{22}}}(t,{{t}_{*}})$, t ∈ T, – блок размеров n × n фундаментальной матрицы удовлетворяющей дифференциальному уравнению в которой матрица $\bar {A}(t)$ задается формулой (2.9).

В силу (4.11) асимптотически субоптимальное управление первого порядка (4.10) может быть представлено в виде

Заметим, что для всех $t \leqslant t{\text{*}}$ имеет место равенство $\Phi (t*,t) = F\left( t \right)$ (см. (2.7), (2.8)).

Построенные асимптотические приближения корней системы уравнений (3.4) можно использовать для точного решения этой системы, а значит, и рассмотренной задачи при заданном значении µ. Для этого нужно применить процедуру доводки [13], т.е. найти с помощью метода Ньютона корни уравнения (3.2), взяв в качестве начального приближения ${{\eta }^{{\left( N \right)}}}\left( \mu \right)$. Чтобы упростить вычисления вместо матрицы $\partial R\left( {\eta ,\mu } \right){\text{/}}\partial \eta $, можно воспользоваться ее асимптотическим приближением ${{I}_{0}}({{t}_{*}})$.

5. Асимптотически субоптимальный синтез. Коэффициенты полиномов (4.1), (4.8), которые используются при построении программных асимптотически субоптимальных управлений, разумеется, зависят от начального состояния $({{x}_{*}},{{t}_{*}})$ динамической системы. Ранее такая зависимость нами не учитывалась, поскольку начальное состояние считалось заданным. В настоящем разделе, который посвящен построению асимптотически субоптимальных обратных связей нулевого и первого порядков, нас будет интересовать в первую очередь именно эта зависимость. Она будет учтена и в обозначениях.

Рассмотрим невырожденную систему алгебраических уравнений (2.10). В [10] показано, что ${{F}_{{22}}}({{t}_{*}})$ – невырожденная матрица. Тогда, как следует из системы (2.10),

где а $K\left( t \right) = F_{{22}}^{{ - 1}}\left( t \right){{F}_{{21}}}\left( t \right)$, t ∈ T, есть решение уравнения Риккати:

Поскольку ${{u}^{0}}\left( t \right)$, t ∈ T, является асимптотически субоптимальным управлением нулевого порядка в задаче (1.1)–(1.3) и ${{u}^{0}}({{t}_{*}}) = {{P}^{{ - 1}}}({{t}_{*}}){{B}^{{\text{T}}}}({{t}_{*}}){{\nu }_{0}}$, то, как следует из формулы (5.1), вектор-функция

представляет собой асимптотически субоптимальную обратную связь нулевого порядка в рассмотренной задаче. Строится эта линейная обратная связь по формулам (2.7)–(2.9), (5.2), (5.3).

Перейдем к построению асимптотически субоптимальной обратной связи первого порядка. Как видно из формулы (4.10), для асимптотически субоптимального управления первого порядка

Решив первую из систем (4.6), получаем

где $x_{1}^{0}(t,{{x}_{*}},{{t}_{*}})$, $\psi _{1}^{0}(t,{{x}_{*}},{{t}_{*}})$, t ∈ T, – решение начальной задачи (4.7), в которой $x_{{}}^{0}\left( t \right) = x_{{}}^{0}(t,{{x}_{*}},{{t}_{*}})$, $\psi _{{}}^{0}\left( t \right) = \psi _{{}}^{0}(t,{{x}_{*}},{{t}_{*}})$, t ∈ T, – траектории прямой и сопряженных систем, соответствующих оптимальному управлению в базовой задаче. Они являются решением первой из начальных задач (4.4), где $\nu = {{\nu }_{0}}({{x}_{*}},{{t}_{*}})$. Привлекая для записи решения этой задачи фундаментальную матрицу (4.12) и учитывая (5.1), будем иметь где

Из формул (5.1), (5.4)–(5.6) следует, что асимптотически субоптимальная обратная связь первого порядка представима в виде

где

Записав решение начальной задачи (4.7) по формуле Коши с учетом (5.7), получаем формулу, которой можно пользоваться при вычислении значений вектор-функции (5.10):

Матричные функции ${{C}_{1}}\left( {\tau ,t} \right)$, ${{C}_{2}}\left( {\tau ,t} \right)$, ${{C}_{2}}\left( {\tau ,t} \right)$, ${{C}_{4}}\left( {\tau ,t} \right)$ определены ранее формулами (5.8).

В задаче оптимального управления с закрепленным правым концом траектории, которая является частным случаем задачи (1.1)–(1.3) $\left( {H = {{E}_{n}},\;g = 0} \right)$, формулы для асимптотически субоптимальных обратных связей упрощаются. Обратная связь нулевого порядка, как легко убедиться, принимает вид ${{u}^{{\left( 0 \right)}}}\left( {х,t} \right) = - {{P}^{{ - 1}}}(t){{B}^{{\rm T}}}(t)F_{{12}}^{{ - 1}}\left( t \right){{F}_{{11}}}\left( t \right)x$ (см. также [8]). Относительная управляемость в данном случае означает полную управляемость [1].

Значительно проще строятся асимптотически субоптимальные обратные связи в задаче (1.1)–(1.3) и случае, когда $Q\left( t \right) = 0$, $t \in T$. В этом случае ${{F}_{{21}}}\left( t \right) = K\left( t \right) = 0$, ${{F}_{{11}}}\left( t \right) = {{F}_{0}}\left( t \right)$, $F_{{22}}^{{ - 1}}\left( t \right) = F_{0}^{{\rm T}}\left( t \right)$, $M\left( t \right) = C\left( t \right)$, $t \in T$. Матричная функция F₀(t) является решением начальной задачи (2.4), а

где $L\left( t \right)$, $t \in T$, – решение начальной задачи $\dot {L} = - LA\left( t \right)$, $L\left( {t{\text{*}}} \right) = H$. Тогда формула (5.4) для асимптотически субоптимальной обратной связи нулевого порядка принимает вид

6. Пример. В классе управляющих воздействий $u\left( t \right) = \left( {{{u}_{1}}(t),{{u}_{2}}(t),{{u}_{3}}\left( t \right)} \right)$, $t \in [{{t}_{*}},t*]$, $0 \leqslant {{t}_{*}} < t{\text{*}}$, с кусочно-непрерывными компонентами рассмотрим задачу

которая, в частности, моделирует процесс управления вращениями твердого тела, близкого к сферически симметричному. Построим асимптотически субоптимальные обратные связи нулевого и первого порядка в этой задаче. Условие (2.5) в данном случае выполняется.

С помощью формул (2.8), (2.9) находим

Здесь и далее под ch, sh, th понимаются гиперболические косинус, синус и тангенс соответственно. Тогда согласно (5.2), (5.3) получаем

Асимптотически субоптимальная обратная связь нулевого порядка (5.4) в данном случае задается формулой

Перейдем к построению асимптотически субоптимальной обратной связи первого порядка (5.9). Для этого остается найти вектор-функцию (5.10). В данном случае

Используя равенства (5.7), (5.10), получаем

Для оценки точности построенных асимптотических приближений были найдены невязки в терминальных ограничениях на траектории, порожденные субоптимальными обратными связями нулевого и первого порядков при конкретных значениях начальных данных и малого параметра. Результаты вычислений приведены в таблице (с точностью до 10^–6). В левом столбце таблицы указан порядок субоптимальных обратных связей, а в остальных столбцах приведены невязки в терминальных ограничениях для траекторий, порожденных этими связями. Судить о близости по критерию качества невозможно, поскольку неизвестно его оптимальное значение.

Заключение. В статье предложены вычислительные процедуры построения асимптотических приближений к оптимальному программному управлению и оптимальной обратной связи в рассмотренной задаче. При их использовании вычисления сводятся к решению линейно-квадратичной задачи оптимального управления, интегрированию систем линейных дифференциальных уравнений, а также к нахождению корней невырожденных линейных алгебраических систем.