Известия РАН. Теория и системы управления, 2021, № 5, стр. 105-110

Введение. Транспортная система крупного города относится к большим системам, поэтому с организацией пассажирских перевозок по маршрутам города всегда были проблемы [1, 2]. По мнению специалистов, данную проблему в крупных городах можно решить за счет наиболее рационального использования имеющихся в наличии и готовых к эксплуатации транспортных средств (ТС) на основе координированного управления работой всеми видами городского пассажирского транспорта [3, 4].

Анализ постановки и решения задачи координации в управлении транспортной системой крупного города показал, что при решении задач перспективного, текущего и оперативного управления вся информационная база делится на три основных массива: условно-постоянный (данные о маршрутной сети и о составе ТС), нормативный (экономические показатели) и переменный (данные о пассажиропотоках и на их основе определяемые количественные и качественные показатели работы транспортной системы) [5]. При этом отмечено, что основной проблемой при координированном управлении всей транспортной системой крупного города выступает знание информации о маршрутных корреспонденциях пассажиропотоков (МКП), которые различны по мощности на всех маршрутах города и меняются в течение суток на каждом из них, и потому требуется автоматизация и механизация ее получения.

Известно, что в целях автоматизации и механизации получения информации о МКП наиболее эффективным способом считается обработка данных входа a_i, $i = \overline {1,n} $, и выхода b_j, $j = \overline {1,n} $, пассажиров на каждом остановочном пункте (ОП) маршрута (где n – число ОП на маршруте) [6]. При этом к числу малоисследованных задач относится задача расчета информации о распределении пассажиропотоков по маршруту ${{x}_{{ij}}}$, i ≤ j, т.е. необходимо определить, сколько пассажиров проехало между двумя любыми остановками i и j по маршруту в течение одного рейса.

1. Постановка задачи. Для эффективного управления и организации пассажирских перевозок по маршрутам крупного города большое значение имеет наличие информации о МКП. Отсутствие такой информации практически заставило разработчиков найти способ ее определения в результате обработки данных входа и выхода пассажиров, фиксируемых во время пассажирообмена на каждом ОП маршрута.

Заметим, что когда происходит фиксация общих данных входа и выхода на каждом ОП маршрута, то для любого пассажира в отдельности информация о его пути следования никак не фиксируется. При этом остаются неизвестными и его мотивы выбора именно пути передвижения от i до j по маршруту, а значит, остаются неизвестными его ОП входа и выхода. Более того, его передвижение по маршруту никак не зависит от выбора пути следования другими пассажирами. Это позволяет считать, что поездка любого пассажира по маршруту есть процесс случайный и не зависит от выбора другими пассажирами своего пути следования. И так как для каждого пассажира в салоне ТС его ОП входа i и выхода j считаются неизвестными, то допустимо следующее предположение: для любого из них событие выйти на этом ОП или поехать дальше равновероятно.

Таким образом, решение задачи определения элементов маршрутных корреспонденций пассажиропотоков по данным входа-выхода требует вероятностной интерпретации.

Во время стоянки ТС на  j-м ОП происходит пассажирообмен: из всех подъехавших с предыдущего ОП, которых обозначим через ${{Q}_{{j - 1}}}$, вначале из салона выходит группа в количестве ${{b}_{j}}$ пассажиров, а затем входит в салон группа из a_j пассажиров. При отправлении ТС от  j-го ОП в салоне будет находиться Q_j пассажиров, число которых определяется по формуле

Так как во время стоянки ТС на i-м ОП в салон вошло ${{a}_{i}}$ пассажиров, то не исключено, что некоторые из них могут выйти на (i + 1)-м ОП, что соответствует числу пассажиров, совершивших поездку от i-го до (i + 1)-го ОП – ${{x}_{{i,i + 1}}}$. И если это число вычесть из всех вошедших на i-м ОП, то получим оставшихся из ${{a}_{i}}$ пассажиров, которые и продолжат свои поездки дальше по маршруту. Обозначим это число через ${{a}_{{i,i + 1}}}$, которое вычисляется следующим образом: ${{a}_{{i,i + 1}}} = {{a}_{i}}$ – x_{i, i + 1}.

По прибытии ТС на ОП (i + 2) вместе с вышедшими (${{b}_{{i + 2}}}$) могут выйти и те, которые вошли на i-м ОП, что соответствует числу пассажиров, совершивших поездки от i-го до (i + 2)-го ОП на маршруте ${{x}_{{i,i + 2}}}$. И если теперь это значение вычесть из ${{a}_{{i,i + 1}}}$, то получим число пассажиров, которые вошли на i-м ОП и продолжили свой путь и после (i + 2) ОП:

и т.д.

И в целом, для любых i и j данная величина вычисляется по формуле

Другими словами, a_ij – это число оставшихся пассажиров из всех вошедших на i-м ОП, которые продолжат свой путь по маршруту и после  j-го ОП, и определяется вычитанием из ${{a}_{i}}$ всех тех, которые уже проехали отрезки на маршруте от i до (i + 1) ОП – ${{x}_{{i,i + 1}}}$, от i до (i + 2) ОП – ${{x}_{{i,i + 2}}}$, …, от i до (j – 1) ОП – ${{x}_{{i,j - 1}}}$.

В перевозочном процессе по маршруту, когда на  j-м ОП стояло ТС, то внутри салона находилось ${{Q}_{{j - 1~}}}$ пассажиров, среди которых имелись и вошедшие на i-м ОП – a_ij. В результате пассажирообмена на ОП вместе с ${{b}_{j}}$ могли выйти и те пассажиры, которые вошли в салон ТС на i-м ОП, т.е. из группы a_ij. В этом случае число ${{x}_{{ij}}}$, которое одновременно будет принадлежать a_ij и ${{b}_{j}}$, и является искомой величиной.

Если таким образом определить все поездки пассажиров между двумя любыми ОП на маршруте, то их можно отобразить в виде таблицы элементов маршрутных корреспонденций пассажиропотоков (табл. 1). При этом считается, что ${{x}_{{ii}}}$ = 0, так как нет таких пассажиров, которые начинают и заканчивают свою поездку на i-м ОП, где n – число ОП на маршруте; ${{a}_{i}}$ – число пассажиров, вошедших в ТС на i-м ОП; ${{b}_{j}}$ – число пассажиров, вышедших из ТС на j-м ОП; ${{x}_{{ij}}}$ – число корреспондирующих пассажиров от i-го до j-го ОП, $i \leqslant j$.

Из табл. 1 видно, что математическая формализация постановки задачи определения ${{x}_{{ij}}}$ по данным ${{a}_{i}}$ и ${{b}_{j}}$ заключается в следующем. Задана система линейных алгебраических уравнений:

причeм

Так как система (1.1) состоит из 2n уравнений с $n(n + 1){\text{/}}2$ неизвестными, то единственное решение существует, когда $2n = n(n + 1){\text{/}}2$. Следовательно, единственное решение возможно при n $ \leqslant $ 3, в то время как для n $ > $ 3 существует, в принципе, бесчисленное множество решений. Потому без дополнительного предположения относительно распределения пассажирских потоков между ОП маршрута нельзя получить однозначного решения данной задачи.

2. Вероятностный метод решения задачи. Когда ТС стояло на j-м ОП, то в салоне находилось ${{Q}_{{j - 1}}}$ пассажиров, из которых вышло ${{b}_{j}}$ человек. С учетом принятого предположения о том, что для каждого пассажира в салоне ТС событие выйти на этом ОП или поехать дальше считается равновероятным, то выход любой группы пассажиров из ТС в количестве ${{b}_{j}}$ человек из всех подъехавших – равновозможное и несовместное событие. Общее число таких групп в различных комбинациях равно числу сочетаний из ${{Q}_{{j - 1}}}$ по ${{b}_{j}}$, т.е. $C_{{{{Q}_{{j - 1}}}}}^{{{{b}_{j}}}}$.

Всех подъехавших пассажиров к  j-му ОП (${{Q}_{{j - 1}}}$) условно можно разбить на две группы: одна группа состоит из тех пассажиров, которые вошли в салон ТС на i-м ОП и не  вышли  ранее j-го ОП (a_ij), а вторая группа – все остальные $({{Q}_{{j - 1}}} - {{a}_{{ij}}})$. Так как на  j-м ОП вышло ${{b}_{j}}$ человек, то среди них могут оказаться и те, которые принадлежат группе a_ij. Обозначим их через ${{\lambda }_{{ij}}}$. Очевидно, что ${{\lambda }_{{ij}}}$ – случайная величина, которая принимает целочисленные значения. И группу ${{\lambda }_{{ij}}}$ человек из a_ij можно выбрать $C_{{{{a}_{{ij}}}}}^{{{{\lambda }_{{ij}}}}}$ способами в различных комбинациях. Но для каждой определенной группы ${{\lambda }_{{ij}}}$ остальных пассажиров (${{b}_{j}} - {{\lambda }_{{ij}}}$) при этом также можно выбрать $C_{{{{Q}_{{j - 1}}} - {{a}_{{ij}}}}}^{{{{b}_{j}} - {{\lambda }_{{ij}}}}}$ различными способами. И тогда общее число благоприятствующих случаев будет равно $C_{{{{a}_{{ij}}}}}^{{{{\lambda }_{{ij}}}}}C_{{{{Q}_{{j - 1}}} - {{a}_{{ij}}}}}^{{{{b}_{j}} - {{\lambda }_{{ij}}}}}$.

Согласно классической формуле определения вероятности события, что между остановками i и j совершат поездки ${{\lambda }_{{ij}}}$ человек, на основании выше изложенного нетрудно вычислить вероятность того, что среди вышедших ${{b}_{j}}$ пассажиров группе ${{a}_{{ij}}}$ будет принадлежать ровно ${{\lambda }_{{ij}}}$ человек [7]:

При данном описании задачи возможны два случая: ${{a}_{{ij}}} \geqslant {{b}_{j}}$ и ${{a}_{{ij}}} \leqslant {{b}_{j}}$.

При ${{a}_{{ij}}} \geqslant {{b}_{j}}$ случайная величина ${{\lambda }_{{ij}}}$ может принимать целочисленные значения от 0 до ${{b}_{j}}$, а при ${{a}_{{ij}}} \leqslant {{b}_{j}}$ – от 0 до ${{a}_{{ij}}}$. В общем случае она может принимать значения на отрезке

Итак, при решении задачи (1.1)–(1.2) случайная величина поездок пассажиров (${{\lambda }_{{ij}}}$) между конкретными ОП i и j на маршруте может принимать целые неотрицательные значения только на отрезке (2.2). Любое число вне этого отрезка не может быть принято в качестве решения задачи (1.1)–(1.2).

По сути своей случайная величина λ_ij является дискретной величиной, которая может принимать любое целочисленное значение на отрезке (2.2). Для каждого значения ставится в соответствие вероятность, которая определяется по формуле (2.1). Полученное соответствие отобразим в виде табл. 2, где $k = {\text{min}}\left[ {{{a}_{{ij}}},{{b}_{j}}} \right]$, а вероятности ${{p}_{l}}$, $l = \overline {0,k} $, определяются по формуле (2.1) для конкретного значения λ_ij.

В этом случае из всех целых чисел λ_ij на отрезке (2.2) в качестве единственной искомой величины можно принять то значение, для которой вероятность достигает своего максимального значения по аргументу λ_ij:

Раз ${{x}_{{ij}}}$ является наивероятнейшим значением для случайной величины ${{\lambda }_{{ij}}}$, то для двух рядом стоящих чисел $({{x}_{{ij}}} - 1)$ и (${{x}_{{ij}}} + 1$) должны выполняться неравенства [7]:

Раскрывая эти неравенства, приходим к выражениям:

Решение же этих неравенств относительно ${{x}_{{ij}}}$ приводит к результату:

Так как числа, получаемые при вычислениях по формулам $\left( {{{a}_{{ij}}} + 1} \right)\left( {{{b}_{j}} + 1} \right){\text{/}}\left( {{{Q}_{{J - 1}}} + 2} \right)$ и ${{a}_{{ij}}}{{b}_{j}}{\text{/}}{{Q}_{{j - 1}}}$, являются дробными, расположены на числовой оси между одними и теми же целыми числами и разница между ними очень мала, при этом значения ${{x}_{{ij}}}$ в качестве решения округляются до целого числа, то полученное выражение можно записать в виде

Из этого двойного неравенства следует, что формула определения ${{x}_{{ij}}}$ имеет вид

В данной формуле величины ${{a}_{{ij}}}$ и ${{Q}_{{j - 1~}}}$ имеют единственные значения, ${{b}_{j}}$ является исходной величиной, поэтому для любых i и j значения ${{x}_{{ij}}}$ также будут единственными. Следовательно, данная формула определения ${{x}_{{ij}}}$ позволяет получать единственное решение поставленной задачи, которое можно отобразить в виде табл. 1.

Однако следует заметить, что при вычислении элементов ${{x}_{{ij}}}$ в качестве единственного решения принимаются их округленные значения до целого, а это значит, что в некоторых строчках (или столбцах) таблицы их суммы могут не совпадать с исходными данными входа (или выхода). В целях сохранения баланса в каждой строчке и столбце таблицы предлагается следующий способ расчета. Если  j = i, то ${{x}_{{ij}}} = 0$, и они в таблице расположены на главной диагонали. Если  j = n, то элементы расположены в последнем столбце таблицы – ${{x}_{{1,n}}}$, ${{x}_{{2,n}}}$, ${{x}_{{3,n}}}$, …, ${{x}_{{n - 1,n}}}$. Тогда их вычисление осуществляется следующим образом: находят сумму всех элементов, например в i-й строке до искомого, а затем искомый находят как разницу между a_i и полученной суммой:

Если  j = i + 1, то элементы расположены первыми над диагональными в каждом столбце таблицы – ${{x}_{{12}}}$, ${{x}_{{23}}}$, ${{x}_{{34}}}$, …, ${{x}_{{n - 1,n}}}$. Тогда их вычисление осуществляется следующим образом: вначале находят сумму элементов, например в  j-м столбце до искомого, а затем искомый находят как разницу между ${{b}_{j}}$ и полученной суммой:

На основе изложенных уточнений предложена общая формула расчета поездок пассажиров по маршруту при решении задачи (1.1)–(1.2), которая имеет следующий вид:

Заключение. Для проверки вычисления элементов x_ij по предложенной формуле использовали существующие таблицы маршрутных корреспонденций пассажиропотоков по рейсам и часам. Брали данные входа-выхода из имеющих таблиц, на их основе получали расчетным способом значения элементов маршрутных корреспонденций пассажиропотоков, а затем сравнивали их с табличными.

Анализ результатов сравнения расчетных x_ij с имеющимися в таблицах элементами маршрутных корреспонденций пассажиропотоков показал, что отклонение колеблется в среднем: а) для рейсовых элементов x_ij в пределах 1.1–5.3 со средним значением 3.2%; б) для часовых элементов x_ij в пределах 5.8–11.6 со средним значением 8.7%. Это позволяет сделать следующий вывод: точность вычисления элементов x_ij выше при небольших значениях данных входа и выхода, характеризующих слабые пассажиропотоки.

Важность этого вывода необходимо учитывать при разработке автоматизированной системы моделей и алгоритмов обработки материалов транспортных обследований. Например, технология фиксации данных входа-выхода позволяет вначале находить информацию о поездках пассажиров по каждому рейсу. Однако для решения задач текущего и перспективного планирования в основном необходима информация, детализированная по часам суток и за сутки в целом. В этом случае почасовые элементы x_ij можно определять двумя способами:

1) вначале суммировать данные входа-выхода каждого рейса по часовым интервалам, а затем с помощью расчета определять элементы x_ij;

2) по данным входа-выхода каждого рейса вычислять элементы x_ij, а затем суммировать их по часовым интервалам.

Аналогично двумя способами можно получать суточные элементы x_ij.

Расчеты первым и вторым способами дают различные результаты, причем более точен второй способ. Это вытекает, во-первых, из вывода, что данные входа-выхода каждого рейса в отдельности характеризуют менее слабые пассажиропотоки в сравнении с почасовыми исходными данными, на основании которых определяются элементы x_ij. Во-вторых, второй способ дает наибольшую стабильность результатов в сравнении с первым, когда вычисление осуществляется при допущении о равной вероятности выхода на ОП любого из пассажиров независимо от рейса, которым он следует.

Кроме того, отсутствие баланса между данными входа-выхода в каждом часе (довольно часто случается так, что начало и конец поездки для пассажира попадают в разные часовые интервалы) также указывает на преимущество второго способа.