Известия РАН. Теория и системы управления, 2022, № 1, стр. 11-18

Введение. При исследовании модели, содержащей связанные подсистемы (МССП), в [1] предлагается выбирать связи, обеспечивающие одновременно существование, устойчивость и стабилизацию колебания связанной системы. Тогда связь действует как управление, а задача стабилизации решается естественным образом, т.е. без привлечения других управлений. Связь может быть односторонней. В этом случае одна система действует на другую, не испытывая действия последней системы. Первая система генерирует управление, вторая система становится управляемой.

Рассматривается консервативная система, допускающая периодическое движение. Используются уравнения Лагранжа второго рода. Фазовое пространство консервативной системы симметрично относительно неподвижного множества $M = \{ q,\dot {q}:\dot {q} = 0\} $: q – обобщенная координата. В силу этого обстоятельства одночастотные колебания системы реализуются как симметричные периодические движения (СПД).

В рамках самой консервативной модели СПД не стабилизируется: необходимо приложить силу, нарушающую симметрию фазового пространства. Для ε-малой силы колебание ε-скорректированной системы будет ε-близким к колебанию консервативной системы.

Примечательным примером ε-скорректированной системы является уравнение Ван дер Поля. В нем действие ε-малой силы на линейный осциллятор приводит к существованию орбитально асимптотически глобально устойчивого цикла. Само управление дается нелинейной диссипацией, линейной по скорости и приложенной в текущей точке траектории осциллятора Ван дер Поля. Как результат через обратную связь системе навязывается режим цикла. Диссипация реализуется в электронной схеме для осциллятора Ван дер Поля на основе триода (см., например, [2. с. 26]).

Возникает идея использовать осциллятор Ван дер Поля как подсистему МССП для стабилизации (в большом) колебания консервативной системы. Идею предлагается реализовать в рамках слабо связанных систем: в связанной системе осциллятор Ван дер Поля действует через одностороннюю ε-связь на консервативную систему. При этом связь – управление действует как вынуждающая сила в теории колебаний.

В теории управления, как и в теории вынужденных колебаний, динамика системы, генерирующей управляющий сигнал (СГУС), обычно оказывается за рамками рассмотрения системы управления: она дается только действием на управляемый объект. В рамках связанной системы такой “дискриминации” не происходит. Знание о динамике СГУС можно применить для построения гибкой системы управления. Односторонная связь естественным образом выделяет СГУС в связанной системе. В работе предлагается внести в систему управления генератор колебаний с настраиваемой частотой, служащий для формирования стабилизирующего управлямого сигнала. При этом “излагается общий принцип стабилизации колебаний консервативных систем произвольной природы за счет управляющих воздействий…”¹¹.

В статье для решения задачи стабилизации применяется свойство осциллятора Ван дер Поля обладать орбитально асимптотически глобально устойчивым циклом. Учитывается свобода в выборе частоты (параметр $\omega $), амплитуды цикла (параметр $K$), а также возможность различной реализации (непрерывной, дискретной). Система, колебания которой стабилизируются, рассматривается, как механическая, а осциллятор Ван дер Поля – как электронная система. В этом смысле предлагается мехатронная схема стабилизации колебаний.

Уравнение Ван дер Поля широко используется в составе связанных систем (например, [3–5]) при моделирование нелинейных колебаний. Однако этот осциллятор не приводится в качестве регулятора в системе управления.

1. Постановка задачи. Предлагаемая схема стабилизации колебаний описывается связанной системой

содержащей уравнение Ван дер Поля и управляемую консервативную систему с функцией Лагранжа $L$. Консервативная система и функции ${{u}_{s}}$ в управлении принимаются гладкими.

В системе (1.1) применяются следующие обозначения: $\omega $ – частота линейного оциллятора, $K$ – постоянная, амплитуда автоколебаний осциллятора Ван дер Поля в первом приближении метода усреднения равна $2{\text{/}}\sqrt K $; $\varepsilon $ – малый параметр в уравнении Ван дер Поля и одновременно коэффициент усиления регулятора; число k имеет смысл переключателя и принимает значение 1 или (–1). Стандарный вид уравнения Ван дер Поля, где ω = 1 и $K = 1$, содержащий один только параметр $\varepsilon $, получается путем перехода к безразмерным переменной и времени.

В системе (1.1) динамика осциллятора Ван дер Поля через одностороннюю связь навязывается консервативной системе: осциллятор Ван дер Поля становится регулятором.

На СПД консервативной системы траектория пересекает множество $M$ в двух различных точках. Поэтому необходимые и достаточные условия существования СПД периода $T$ записываются в виде

где через ${{q}^{0}} = (q_{1}^{0}, \ldots ,q_{n}^{0}),$ ${{q}^{0}} \in M$, обозначается начальная точка для СПД в момент времени $t = 0$.

При $\tau = 0$ система (1.2) совместна. При $\tau = T{\text{/}}2$ получается система из $n$ уравнений c $n + 1$ неизвестными. Следовательно, СПД всегда образуют семейство Σ, например по параметру T.

Определение. Случай

называется невырожденным для симметричного периодического движения, а само СПД – невырожденным.

Согласно определению, колебания математического маятника являются невырожденными, а колебания линейного осциллятора – вырожденными.

Невырожденные СПД образуют семейство Σ, на котором период T монотонно зависит от одного параметра. Такая ситуация типична для семейства невырожденных СПД [6]. В консервативной системе за параметр обычно выбирается постоянная интеграла энергии: на $\Sigma $ период $T({{h}_{q}})$ является монотонной функцией поcтоянной энергии ${{h}_{q}}$. Траектории на семействе Σ описываются формулой $q = \varphi ({{h}_{q}},t + \gamma )$, где $q = ({{q}_{1}}, \ldots ,{{q}_{n}})$ – вектор обобщенных координат лагранжевой системы, $\gamma $ – временной сдвиг на траектории. При $\gamma = 0$ координаты ${{q}_{s}},s = \overline {1,n} $, даются четными функциями t.

В фазовом пространстве семейство Σ заполняет инвариантное двумерное многообразие $\tilde {\Sigma }$. Условия (1.2) выполняются на $\tilde {\Sigma }$ тождественно по паре $({{h}_{q}},T)$. Семейство Σ описывается консервативной системой с одной степенью свободы.

В самом деле, из условий (1.2) при $\tau = T{\text{/}}2$ следуют линейные равенства

которые выполняются тождественно на $\tilde {\Sigma }$. Для семейства $\Sigma $ справедливо условие rank $A = n$, поэтому линейным преобразованием $\eta = P\xi $, $\xi = ({{\xi }_{1}}, \ldots ,{{\xi }_{n}})$ с постоянной матрицей $P$ в векторной форме $\eta $ выделяется форма ${{a}_{1}}$: формы ${{\eta }_{2}}, \ldots ,{{\eta }_{n}}$ не содержат $d\tau $. Преобразование справедливо для любой точки $({{q}^{0}},\tau )$, поэтому выделение происходит на всем $\tilde {\Sigma }$. В результате семейство $\Sigma $ описывается консервативной системой с одной степенью свободы.

Предполагается, что консервативная система в (1.1) допускает семейство $\Sigma $ невырожденных СПД. Функция $T({{h}_{q}})$ может быть возрастающей или убывающей.

Пример 1. Период колебаний математического маятника возрастает с ростом отклонения маятника от вертикали. Решения консервативной системы $\ddot {y} + {{y}^{3}} = 0$ образуют семейство с убывающим периодом.

В работе ставится задача нахождения в связанной системе (1.1) при выбранных функциях u_s закона переключения по k, обеспечивающего существование притягивающего (в большом) цикла.

Для определенности излагается случай возрастающего периода $T({{h}_{q}})$. В конце статьи отмечается, как изменяются доказательства для убывающего периода.

2. Порождающие движения. При ε = 0 система (1.1) становится порождающей и распадается на линейный осциллятор и консервативную систему. Колебания линейного осциллятора описываются функцией $x = Acos\omega (t + \beta )$, где A – амплитуда колебания, $\beta $ – начальный сдвиг по траектории.

На периодических решениях порождающей системы выполняется условие $T({{h}_{q}}) = 2\pi {\text{/}}\omega $. В силу монотонности функции $T({{h}_{q}})$ для линейного осциллятора с частотой $\omega $ находится единственное значение ${{h}_{q}}$ энергии консервативной системы. Следовательно, уравнению Ван дер Поля в (1.1) из-за единственности его цикла будет соответствовать единственный цикл связанной системы. При этом энергия ${{h}_{l}}$ линейного осциллятора, соответствующего циклу Ван дер Поля, равна $2{{\omega }^{2}}{\text{/}}K$, а период цикла связанной системы (1.1) совпадает с периодом цикла осциллятора Ван дер Поля.

Решение автономной системы (1.1) содержит только один начальный сдвиг, поэтому $\gamma = \beta + \nu $, где $\nu $ – некоторое фиксированное число. Значит, все порождающие периодические решения даются формулами

где через ${{E}_{q}}(q,\dot {q})$ обозначена полная механическая энергия консервативной системы; ${{h}_{q}}$ – постоянная энергии.

В случае $\nu = 0$ из (2.1) получается семейство $\Xi (h)$ СПД консервативной системы, содержащей линейный осциллятор и консервативную систему с координатой q, с интегралом энергии

В ней $h = {{h}_{l}} + {{h}_{q}}$; период на семействе $\Xi (h)$ дается функцией $T = T(h)$.

Изучение вопроса о существовании периодического решения системы (1.1) при малых значениях $\varepsilon $ сводится [1] к анализу амплитудного (бифуркационного) уравнения. Оно получается при записи условия существования T*-периодического решения системы (1.1) в первом по $\varepsilon $ приближении: $T{\kern 1pt} * = T(h{\kern 1pt} *)$. Для семейства $\Xi (h)$ амплитудное уравнение принимает вид

где вместо функций $x(h,t)$ и $q(h,t)$ подставляются их выражения из (2.1).

Равенство ${{I}_{x}}(h) = 0$ выводится из уравнения Ван дер Поля и рассматривается отдельно. Оно допускает корень при любом $K(h{\kern 1pt} *)$: получается решение с амплитудой $A = 2{\text{/}}\sqrt {K(h{\kern 1pt} *)} $.

Изучается уравнение ${{I}_{q}}(h) = 0$. В силу возможности выбора $K(h{\kern 1pt} *)$ в уравнении Ван дер Поля это число берется таким, чтобы уравнение ${{I}_{q}}(h) = 0$ имело бы корнем число $h = h{\kern 1pt} *$. Тогда $K(h{\kern 1pt} *)$ вычисляется из равенства ${{I}_{q}}(h) = 0$ при подстановке вместо h значения h*. Отсюда следует, что корень h* существует. Далее вычисляется производная $d{{I}_{q}}(h{\kern 1pt} *){\text{/}}dh$ и показывается, что она отлична от нуля. Тем самым доказывается рождение цикла в точке $h = h{\kern 1pt} *$ семейства $\Xi (h)$.

При $\nu \ne 0$ периодическое решение порождающего уравнения будет несимметричным. В этом случае анализ проводится подстановкой решения $x = {{x}_{c}}(h_{l}^{*},t + \beta ),$ $h_{l}^{*} = 2{{\omega }^{2}}{\text{/}}K(h{\kern 1pt} *)$, описывающего цикл Ван дер Поля, во второе уравнение системы (1.1). Тогда получается задача для неавтономного периодического уравнения, содержащего произвольный параметр $\beta $. Существование цикла в (1.1) устанавливается с помощью амплитудного уравнения

При этом каждому простому корню $\nu = \nu {\kern 1pt} *$ уравнения (2.2) будет отвечать цикл связанной системы (1.1).

Условия существования цикла не зависят от знака k. Поэтому цикл существует как при $k = 1$, так и при $k = - 1$. Порождающие решения находятся для одного и того же (единственного) цикла Ван дер Поля. Следовательно, независимо от того или иного приведенного локального сценария рождения получается единственный цикл связанной системы. Сама реализация конкретного сценария зависит от свойств семейства Σ.

Доказательство существования цикла, свободное от выбора порождающего периодического решения, дается сначала для случая консервативной системы с одной степенью свободы. Эти результаты обобщаются на случай консервативной системы с произвольным числом степеней свободы.

3. Цикл связанной системы. В случае консервативной системы с одной степенью свободы, подверженной действию силы $( - f)$, второе уравнение системы (1.1) описывается скалярной переменной $y$. Функция $u(y,\dot {y})$ выбирается таким образом, чтобы в текущей точке траектории на плоскости ${{\Pi }_{y}} = (y,\dot {y})$, соответствующей точке осциллятора Ван дер Поля на плоскости Π_x = $(x,\dot {x})$, реализовалась бы диссипация: $u(y,\dot {y}) = \dot {y}$. Тогда связанная система (1.1) принимает вид

В уравнении Ван дер Поля энергия осциллятора ${{E}_{x}}$ меняется по следующему закону:

Закон изменения полной механической энергии E_y  для второго уравнения системы (3.1) записывается в виде

Любая траектория уравнения Ван дер Поля, исключая равновесие на плоскости ${{\Pi }_{x}}$, притягивается к циклу – кривой C_x. На цикле ${{E}_{x}}(t)$ становится $T{\kern 1pt} * = (2\pi {\text{/}}\omega )$-периодической функцией, среднее значение которой определяется энергией $h_{l}^{*}$ линейного осциллятора для цикла. Кривая C_x ограничивает область ${{\Omega }_{x}}$, содержащую начало координат. Приращение энергии $\Delta {{E}_{x}}$ на отрезке $t \in [0,T{\kern 1pt} *]$ положительно в ${{\Omega }_{x}}$ и отрицательно вне ${{\Omega }_{x}}$. На цикле $\Delta {{E}_{x}} = 0$, поэтому притяжение траектории к циклу сопровождается предельным переходом $\Delta {{E}_{x}} \to 0$. Многообразие $\tilde {\Sigma }$ принадлежит плоскости ${{\Pi }_{y}}$.

Для взаимного изменения энергий ${{E}_{x}}$ и ${{E}_{y}}$ из законов (3.2) и (3.3) выводится равенство

справедливое при $(1 - K{{x}^{2}}) \ne 0$.

При k = 1 равенство (3.4) выражает одновременное возрастание (убывание) энергии осциллятора Ван дер Поля и энергии консервативной системы. Отсюда получается, что приращение $\Delta {{E}_{y}}$ энергии ${{E}_{y}}$ на отрезке $t \in [0,T{\kern 1pt} *]$ в области ${{\Omega }_{y}} \in {{\Pi }_{y}}$, отвечающей области ${{\Omega }_{x}} \in {{\Pi }_{x}}$, удовлетворяет неравенству $\Delta {{E}_{y}} > 0$; вне области ${{\Omega }_{y}}$ получается $\Delta {{E}_{y}} < 0$. При стремлении траектории на плоскости ${{\Pi }_{x}}$ к циклу C_x траектория на плоскости ${{\Pi }_{y}}$ асимптотически стремится к кривой ${{C}_{y}} \in {{\Pi }_{y}}$. При этом $\Delta {{E}_{y}} \to 0$, и в пределе на кривой C_y приращение $\Delta {{E}_{y}} = 0$. На C_y функция ${{E}_{y}}(t)$ становится T*-периодической. Так как кривая C_y соответствует циклу Ван дер Поля C_x, то среднее значение функции${{E}_{y}}(t)$ на C_y определяется энергией $h_{y}^{*}$ консервативной системы для порождающего колебания.

Если точка $(x,\dot {x}) \in {{\Omega }_{x}}$, то $\Delta {{E}_{x}} > 0$. Поэтому $\Delta {{E}_{y}} > 0$. Для точек ${{\Omega }_{y}}$ неравенство $\Delta {{E}_{y}} > 0$ приводит к притяжению точки к C_y; точки $(y,\dot {y}) \notin {{\Omega }_{y}}$ отталкиваются от C_y.

Пусть точка $(x,\dot {x}) \notin {{\Omega }_{x}}$, тогда $\Delta {{E}_{x}} < 0$. Поэтому $\Delta {{E}_{y}} < 0$. Для точек $(y,\dot {y}) \notin {{\Omega }_{y}}$ неравенство $\Delta {{E}_{y}} < 0$ означает притяжение к C_y; точки $(y,\dot {y}) \in {{\Omega }_{y}}$ отталкиваются от C_y.

Таким образом, при k = 1 существует предельное T*-периодическое решение ${{C}_{x}} \times {{C}_{y}}$ автономной системы (1.1). По построению это решение единственное. Оно изолированное, т.е. является циклом. Цикл имеет гиперболический характер.

Аналогично доказывается, что при $k = - 1$ предельное T*-периодическое решение системы (1.1) существует. Оно совпадает с ${{C}_{x}} \times {{C}_{y}}$ и притягивает те траектории, где все время $(x,\dot {x}) \in {{\Omega }_{x}}$ и $(y,\dot {y}) \notin {{\Omega }_{y}}$ или $(x,\dot {x}) \in {{\Omega }_{x}}$ и $(y,\dot {y}) \in {{\Omega }_{y}}$. В оставшихся двух областях траектории отталкиваются от цикла: цикл имеет гиперболический характер.

Заметим, что совпадение циклов при $k = 1$ и $k = - 1$ не препятствуют различному устройству их окрестностей.

4. Схема управления. Закон переключения. Для консервативной системы с одной степенью свободы схема управления дается связанной системой (3.1). В ней регулятором служит осциллятор Ван дер Поля, действующий с малым коэффициентом $\varepsilon $ усиления. В (3.1) стабилизуется (в большом) цикл связанной системы, состоящий из цикла Ван дер Поля и колебания ε-скорректированной консервативной системы. Периоду T* консервативной системы отвечает энергия $E_{y}^{*} = h_{y}^{*}$. Частота $\omega $ осциллятора Ван дер Поля выбирается из условия $T{\kern 1pt} * = 2\pi {\text{/}}\omega $.

Единственный цикл системы (1.1) существует как при k = 1, так и при $k = - 1$. Циклу отвечают значения энергии линейного осциллятора $h_{l}^{*}$ и консервативной системы $h_{y}^{*}$.

Вводится плоскость $({{h}_{l}},{{h}_{y}})$ c началом координат в точке $(h_{l}^{*},h_{y}^{*})$. Согласно анализу, в разд. 3 для первого и третьего квадрантов число k = 1 обеспечивает притяжение траекторий к циклу; для второго и четвертого квадрантов значение k, обеспечивающего такое притяжение, равняется (–1). С учетом данного факта в системе (1.1) строится переключение по $k$ и конструируется кусочно-гладкая управляемая система, обеспечивающая притяжение всех траекторий в (1.1) к циклу ${{C}_{x}} \times {{C}_{y}}$. Тем самым решается задача стабилизации (в большом) цикла ${{C}_{x}} \times {{C}_{y}}$, а значит, и колебания консервативной системы, отвечающей циклу.

Захват колебания происходит настройкой частоты $\omega $ линейного осциллятора на период T* колебания консервативной системы.

Как результат формулируется теорема 1.

Теорема 1. Пусть при $\varepsilon = 0$ второе уравнение в (3.1) допускает многообразие $\tilde {\Sigma }$, заполненное семейством $\Sigma $ невырожденных симметричных периодических движений. Тогда связанная система (3.1) имеет единственный притягивающий цикл ${{C}_{x}} \times {{C}_{y}}$, отвечающий энергии $h_{l}^{*}$ линейного осциллятора и энергии $h_{y}^{*}$ консервативной системы. При этом на плоскости $({{h}_{l}},{{h}_{y}})$ с началом координат в точке $(h_{l}^{*},h_{y}^{*})$ используется следующий закон переключения: k = 1 для первого и третьего квадрантов, $k = - 1$ для второго и четвертого квадрантов. На плоскости $(y,\dot {y})$ область притяжения к C_y совпадает с $\tilde {\Sigma }$.

Замечание 1. В условиях выполнения теоремы 1 все траектории связанной системы (3.1) в четырехмерном пространстве $(x,\dot {x},y,\dot {y})$ притягиваются к циклу, который состоит из цикла Ван дер Поля – кривой C_x на плоскости ${{\Pi }_{x}}$ и замкнутой кривой C_y на плоскости ${{\Pi }_{y}}$.

Замечание 2. Из теоремы 1 следует стабилизация (в большом) цикла связанной системы (3.1). Область притяжения траекторий консервативной системы к кривой C_y совпадает с многообразием $\tilde {\Sigma }$.

Пример 2. Движение спутника в плоскости орбиты под действием гравитационных сил описывается уравнением В.В. Белецкого [7]. Для круговой орбиты уравнение приобретает вид

где $\mu $ – инерциальный параметр (${\text{|}}\mu {\text{|}} \leqslant 3$), $\alpha $ – угол между радиус-вектором центра масс и главной центральной осью инерции спутника в плоскости орбиты, ${v}$ – истинная аномалия, выбранная в качестве независимой переменной. Получается уравнение математического маятника или

Колебания спутника образуют семейство от начального отклонения по углу $y$, на котором период $T({{h}_{y}})$ возрастает.

С помощью схемы

где $y = 2\alpha $ при $\mu > 0$ и $y = 2\alpha + \pi $, если $\mu < 0$, любое колебание спутника выбором частоты $\omega $ настраивается на режим притягивающего (в большом) цикла с периодом $2\pi {\text{/}}\omega $.

5. Консервативная система с n степенями свободы. В случае консервативной системы с $n$ степенями свободы управление в связанной системе (1.1) выбирается с функцией

где $\left\| {{{r}_{{sj}}}} \right\|$ – постоянная матрица. Тогда изменение полной механической энергии ${{E}_{q}}$ консервативной системы происходит по закону в котором функция x удовлетворяет уравнению Ван дер Поля. В частном случае $n = 1$ из (5.2) получается формула (3.3).

Из законов (3.2) и (5.2) изменения энергии следует равенство

Сравнение (3.4) и (5.3) показывает, что в случае положительно-определенной квадратичной формы

полная энергия системы в окрестности $\tilde {\Sigma }$ меняется так же, как и на $\tilde {\Sigma }$. Поэтому приращение $\Delta {{E}_{q}}$ энергии ${{E}_{q}}$ за период $T{\kern 1pt} * = 2\pi {\text{/}}\omega $ следует за приращением $\Delta {{E}_{x}}$ по сценарию для $\Delta {{E}_{y}}$ в разд. 3. При этом $\Delta {{E}_{q}} \to 0$, когда $\Delta {{E}_{x}} \to 0$, а предельная функция ${{E}_{q}}(t)$ становится $T{\kern 1pt} *$-периодической.

В окрестности $\tilde {\Sigma }$ вводятся координаты $y$ и $z = ({{z}_{2}}, \ldots ,{{z}_{n}})$, где переменной $y$ описывается на $\tilde {\Sigma }$ консервативная система с одной степенью; $z = 0$ на $\tilde {\Sigma }$. При $z \ne 0$ энергия ${{E}_{q}}$ представляется суммой: ${{E}_{q}} = {{E}_{y}} + {{E}_{z}}$, где ${{E}_{y}}$ – энергия консервативной системы на $\tilde {\Sigma }$. В связанной системе (3.1) справедлив предельный переход $\Delta {{E}_{y}} \to 0$. Поэтому $\Delta ({{E}_{q}} - {{E}_{y}}) \to 0$. В силу T*-периодичности предельных функций ${{E}_{q}}(t)$ и ${{E}_{y}}(t)$ функция ${{E}_{z}}(t)$ будет T*-периодической. Колебания по переменной $z$ рассматриваются близ точки z = 0. В случае, когда в системе по $z$ коэффициенты ${{\lambda }_{i}},i = 2$, ..., n, устойчивости Пуанкаре положительны, получается

Поэтому при $\Delta ({{E}_{q}} - {{E}_{y}}) \to 0$ также ${{E}_{z}} \to 0$.

Таким образом, точки окрестности $\tilde {\Sigma }$ притягиваются к кривой ${{C}_{y}} \in \tilde {\Sigma }$: связанная система (1.1) имеет единственный цикл ${{C}_{x}} \times {{C}_{y}}$.

Заметим, что в случае ${{\lambda }_{i}} > 0$ корни соответствующего характеристического уравнения являются чисто мнимыми.

Теорема 2. Пусть консервативная механическая система допускает семейство невырожденных симметричных периодических движений $\Sigma $, заполняющее двумерное многообразие $\tilde {\Sigma }$: характеристические показатели для $\tilde {\Sigma }$ предполагаются чисто мнимыми. Тогда в связанной системе (1.1) с функцией (5.1), где форма (5.4) положительно определена, реализуется единственный притягивающий цикл ${{C}_{x}} \times {{C}_{y}}$, отвечающий энергии $h_{l}^{ * }$ линейного осциллятора и энергии $h_{q}^{*}$ консервативной системы. При этом на плоскости $({{h}_{l}},{{h}_{q}})$ с началом координат в точке $(h_{l}^{*},h_{q}^{*})$ используется следующий закон переключения: k = 1 для первого и третьего квадрантов, $k = - 1$ для второго и третьего квадрантов. Выход системы на режим цикла из точек окрестности $\tilde {\Sigma }$ происходит так, что траектории управляемой консервативной системы притягиваются к кривой ${{C}_{y}} \in \tilde {\Sigma }$, отвечающей циклу ${{C}_{x}} \times {{C}_{y}}$.

Замечание 3. Цикл ${{C}_{x}} \times {{C}_{y}}$ орбитально асимптотически устойчив в большом.

Замечание 4. Теоремы 1 и 2 остаются справедливыми для семейства $\Sigma $ с убывающим периодом: в доказательствах знак числа k меняется на противоположный.

Заключение. В мехатронной схеме стабилизации колебаний осциллятор Ван дер Поля становится регулятором, генерируя управление своей динамикой. Его динамика через одностороннюю ε-слабую связь навязывается консервативной системе, что приводит всю связанную систему к режиму притягивающего (в большом) цикла. При этом в ε-скорректированной консервативной системе реализуется асимптотически устойчивое колебание, ε-близкое к колебанию консервативной системы.