Известия РАН. Теория и системы управления, 2022, № 2, стр. 22-28

Введение. Фазовое пространство механической системы, подверженной действию позиционных сил, симметрично относительно неподвижного множества системы $M = \{ q,\dot {q}:\dot {q} = 0\} $, где q – обобщенная координата. Одночастотные колебания относятся к классу симметричных периодических движений (СПД). Поэтому в рамках самой модели механической системы с позиционными силами колебания не могут быть орбитально асимптотически устойчивыми. Для того, чтобы добиться такой устойчивости, необходимо прилагать силу, нарушающую симметрию фазового портрета системы. В случае равновесия для этой цели используется диссипация Релея.

Дополнительная сила действует как управление, и тем самым ставится задача стабилизации колебания управляемой механической системы. В случае малой силы стабилизируемое колебание будет близким к колебанию самой механической системы. Малая сила обычно приводит к локальной стабилизации. Однако существуют такие системы, где действие малой силы оказывает глобальный стабилизирующий эффект, в частности, это происходит в уравнении Ван дер Поля. Оказывается, для отдельной механической системы управление типа Ван дер Поля носит универсальный характер [1, 2]. Гладкое управление дается нелинейной функцией, приводящей к диссипации в каждой текущей точке цикла.

В настоящее время в различных областях знаний активно исследуются связанные системы. Классическим примером в механике является симпатический маятник Зоммерфельда, некоторые другие примеры находятся в [3–12]. Предметом дальнейшего рассмотрения в статье будут связанные механические системы.

При исследовании модели, содержащей связанные подсистемы, в [13] предложено выбирать связи, обеспечивающие одновременно существование, устойчивость и стабилизацию колебаний связанной системы. Тогда связь действует как управление, а задача стабилизации колебания решается естественным образом, т.е. без привлечения иных управлений. Встает вопрос о реализации такой связи-управления на основе универсального управления, предложенного для отдельной системы в [1, 2].

В работе рассматриваются слабо связанные консервативные механические системы. Предполагается, что в каждой из них в отсутствие связи существует семейство невырожденных периодических движений, пересечение которых образует подобное семейство для всех систем. Находятся структура и конкретный вид универсальных связей–управлений, решаются задачи существования, устойчивости и естественной стабилизации колебания. Показывается, что в цикле происходит синхронизация колебаний механических систем по частоте и фазе. При этом сначала подробно исследуется отдельная система; результаты обобщаются на связанные консервативные системы.

1. Многомерная механическая система как связанная система. Для описания механической системы используются уравнения Лагранжа второго рода; q – обобщенная координата. Предполается, что система подвержена действию позицонных сил (потенциальных и неконсервативно позицинных) и допускает периодическое движение. В силу симметрии фазового пространства относительно неподвижного множества $M = \{ q,\dot {q}:\dot {q} = 0\} $ скорость $\dot {q}$ на M обращается в ноль, а само периодическое движение является симметричным относительно M и представляет собой СПД.

Необходимые и достаточные условия существования СПД с периодом T даются равенствами

где q⁰ – начальная точка при t = 0. Отсюда следует, что СПД образуют семейства, например, по параметру T.

Используется следующее определение невырожденного СПД.

Определение. Случай ${\text{rank||}}\partial{ \dot {q}}({{q}^{0}},T{\text{/}}2){\text{/}}\partial {{q}^{0}}{\text{||}} = n$ называется невырожденным для симметричного периодического движения, а само СПД – невырожденным.

Согласно определению, колебания математического маятника будут невырожденными, а колебания линейного осциллятора – вырожденными.

Невырожденные СПД в фазовом пространстве заполняют инвариантное двумерное многообразие $\tilde {\Sigma }$; период на семействе СПД монотонно зависит от одного параметра [14]. Такая ситуация типична для семейства невырожденных СПД. В консервативной системе за параметр h семейства колебаний $\Sigma $ обычно выбирается постоянная интеграла энергии; на $\Sigma $ обобщенная координата описывается формулой $q = \varphi (h,t + \gamma )$, где $\gamma $ – временной сдвиг на траектории. При $\gamma = 0$ координата q дается четной функцией времени t.

Доказывается, что семейство невырожденных СПД в многомерной системе описывается консервативной системой с одной степенью свободы.

В самом деле, из условий (1.1) при $\tau = T{\text{/}}2$ следуют линейные равенства

которые выполняются тождественно на $\tilde {\Sigma }$. Для семейства невырожденных СПД справедливо условие detB = n, а вектор ускорения $C = ({{c}_{1}}, \ldots ,{{c}_{n}}{{)}^{{\text{T}}}}$ на СПД отличен от нулевого. Поэтому посредством линейного преобразования $d\eta = Pd\xi $, $d\xi = (d{{\xi }_{1}}, \ldots ,d{{\xi }_{n}}{{)}^{{\text{T}}}}$, с постоянной матрицей $P = \left\| {{{p}_{{sj}}}} \right\|$, удовлетворяющй условиям $d{{\eta }_{2}} = 0, \ldots ,d{{\eta }_{n}} = 0$, в векторной форме $d\eta $ выделяется форма $d{{\eta }_{1}}$. Преобразование справедливо для любой точки $({{q}^{0}},\tau )$, поэтому выделение происходит на всем $\tilde {\Sigma }$. Тогда на $\tilde {\Sigma }$ получается:

Для семейства Σ невырожденных СПД найденное линейное преобразование означает существование координат ${{w}_{1}}, \ldots ,{{w}_{n}}$, таких, что $n - 1$ из них на Σ принимают нулевые значения: ${{w}_{2}} = 0, \ldots ,{{w}_{n}} = 0$. Начальная точка q⁰ на Σ является функцией одного параметра, например начального значения $w_{1}^{0}$ переменной ${{w}_{1}}$. Поэтому из первого равенства в (1.2) получается

и динамика на $\tilde {\Sigma }$ описывается консервативной системой с одной степенью свободы.

Таким образом, в механической системе с $n > 1$ степенями свободы всегда выделяется консервативная система с одной степенью свободы, в которой, собственно, и реализуется семейство $\Sigma $. Поэтому многомерная система может рассматриваться как связанная система.

2. Конструирование управляемой механической системы. Пусть рассматриваемая консервативная система допускает семейство $\Sigma $ невырожденных СПД по параметру $h$ – постоянной интеграла энергии. Ему отвечает пара нулевых характеристических показателей (ХП) в жордановой клетке. Остальные ХП в консервативной системе образуют пары чисел противоположного знака. При действии малого управления одно из чисел в паре, находясь в положительной полуплоскости, остается в этой полуплоскости. Поэтому необходимым условием стабилизации цикла является принадлежность всех ХП мнимой оси. При выполнении этого условия в [1, 2] строится управляемая механическая система, обладающая орбитально асимптотически устойчивым циклом. В [2] доказывается существование искомого управления для системы с $n$ степенями свободы. В [1] указывается конкретный вид управления при $n = 1$. Однако матрица для управления в случае $n > 1$ в [1], [2] не находится. Согласно разд. 1, многомерная система содержит связанные подсистемы, поэтому для управления этой системой необходимо находить связи-управления. Структура и конкретный вид связей-управлений также нужны при рассмотрении связанных консервативных систем.

В окрестности $\tilde {\Sigma }$ механическая система описывается в обобщенных координатах переменными $(x,y)$, где $x = {{w}_{1}}$, $y = ({{w}_{2}}, \ldots ,{{w}_{n}}{{)}^{{\text{T}}}}$. Тогда, согласно [2], в консервативной системе на $\tilde {\Sigma }$ используется универсальное управление c функцией $(1 - K{{x}^{2}})\dot {x}$, где $K$ – постоянная, отвечающая энергии $h{\kern 1pt} *$ для цикла. Для построения цикла периода $T{\kern 1pt} *$ с энергией $h{\kern 1pt} *$ на семействе Σ по параметру h используется зависимость K(h*).

В консервативной системе полная механическая энергия редуцированной системы по переменной $x$ обозначается через ${{E}_{x}}$; она изменяется по закону

где число $\sigma $ равно +1 или –1; $\varepsilon $ – коэффициент усиления, близкий к нулю для слабой связи. На траекториях системы ${{E}_{x}} = {{E}_{x}}(h,t)$. Равенство нулю интеграла от функции ${{E}_{x}}(h,t)$ на отрезке $[0,T{\kern 1pt} *]$ является необходимым условием существование цикла. Согласно [1], при выборе числа $\sigma $ из условия $\sigma dK(h{\kern 1pt} *){\text{/}}dh < 0$ выполняется достаточное условие, и на $\tilde {\Sigma }$ реализуется орбитально асимптотически устойчивый цикл, отвечающий энергии $h{\kern 1pt} *$. На цикле функция ${{E}_{x}} = E_{x}^{c}(t)$ становится периодической: ее среднее за период значение $\bar {E}_{x}^{c}(t) = h{\kern 1pt} *$.

Для полной механческой энергии E всей системы справедлив закон изменения

Соглаcно [2], во всей системе реализуется орбитально асимптотически устойчивый цикл, совпадающий с циклом на $\tilde {\Sigma }$. Для ${{E}_{y}}$ – разности энергий $E - {{E}_{x}}$ – справедливо равенство

Из сравнения законов (2.1) и (2.2) следует, что при ${{E}_{x}} \to E_{x}^{c}(t)$ функция ${{E}_{y}} \to 0$ и траектория управляемой системы из окрестности $\tilde {\Sigma }$ стремится к циклу.

Управление $\varepsilon (1 - K{{x}^{2}})\dot {w}$ (с учетом обозначения $w = ({{w}_{1}}, \ldots ,{{w}_{n}}{{)}^{{\text{T}}}}$) в преобразованной консервативной системе дается знакоположительной формой

Линейное преобразование в разд. 1 проводится с постоянной матрицей P, поэтому оно не меняет знака квадратичной формы. Следовательно, в исходных переменных получается управление со знакоположительной формой

Таким образом, связь-управление с функциями

задаваемыми положительно-определенной квадратичной формой $R$, гарантирует существование в отдельной управляемой консервативной системе орбитально асимптотически устойчивого цикла, близкого к СПД системы с энергией $h = h{\kern 1pt} *$.

Заметим, что задача нахождения связи-управления для многомерной системы, поставленная в [2], получила решение.

Пример 1. Рассмотрим систему уравнений [15]

описывающую движение двух связанных пружиной жесткости $\kappa $ неуправляемых идентичных маятников, точки подвесов которых лежат на горизонтальной прямой; ${{\theta }_{{1,2}}}$ – углы отклонения маятников от вертикали, c – отношение расстояния от точки крепления маятника к ее длине. Система (2.3) допускает интегральное многобразие $\tilde {\Sigma }$ : которое описывает движение двух маятников как одного целого (пружина недеформирована). Для этого многообразия строится управляемая система в которой во втором уравнении явно выписываются только линейные по $y$ слагаемые.

Для математического маятника характеристика $K(h)$ дается в [16]: функция монотонно убывает. Поэтому σ = 1.

Система (2.4) с σ = 1 допускает орбитально асимптотически устойчивый цикл, близкий к колебанию с энергией h* на многообразии $\tilde {\Sigma }$, если ХП уравнения по $y$ принадлежат мнимой оси.

3. Связанные консервативные системы. Рассматриваются $m$ консервативных систем, где i-я система описывается координатой ${{q}^{i}}$ и в отсутствие связей допускает семейство ${{\Sigma }^{i}}$ невырожденных СПД. Предполагается, что для ${{\Sigma }^{i}}$ выполняются условия принадлежности ХП мнимой оси, а множество условно-периодических движений $ \cup {{\Sigma }^{i}}$ содержит семейство невырожденных СПД. Применяются слабые связи, что гарантируется малостью параметра $\varepsilon $. Исследуется связанная система, в которой все подсистемы входят равноправно. Для нее применяются связи, полученные обобщением слабых связей для одной системы.

В каждой консервативной системе выделяется многообразие ${{\tilde {\Sigma }}^{i}}$, на котором движение по координате ${{x}^{i}}$ описывается системой с одной степенью свободы. В окрестности ${{\tilde {\Sigma }}^{i}}$ используются координаты ${{x}^{i}}$ и ${{y}^{i}}$. В отдельной системе диссипация $\varepsilon (1 - K{{({{x}^{i}})}^{2}}){{\dot {x}}^{i}}$ вводится в окрестности цикла, на котором ${{y}^{i}} = 0$. В связанной системе на цикле ${{y}^{i}} = 0$, $i = \overline {1,m} $. При этом квадрат радиуса для цикла равен

Поэтому в переменных ${{x}^{i}},{{y}^{i}}$ связующие функции с помощью коэффициентов ${{\sigma }_{i}}$, принимающих значения +1 или –1, приобретают вид

Постоянная K находится по значению $h$ полной механической энергии E, равной сумме энергий рассматриваемых консервативных систем.

С учетом функций (3.1) в связанной системе законы изменения энергий $E_{x}^{i}$ и $E_{y}^{i}$ во всех подсистемах даются равенствами

где индивидуальный для i-й системы коэффицент ${{\sigma }_{i}}$ обеспечивает в отдельной системе существование орбитально асимптотически устойчивого цикла.

При ${{y}^{i}} \equiv 0$, $i = \overline {1,m} $, подсистема уравнений по переменным xⁱ отщепляется, образуя редуцированную связанную систему

допускающую в отсутствии связей семейство СПД по параметру $h$. Для полной механической энергии системы (3.3) из m консервативных систем с одной степенью свободы справедлив закон

Отсюда при интегрировании на отрезке $[0,T{\kern 1pt} *]$ получается необходимое условие

существования цикла с периодом T*.

Вычисляется приращение $\Delta {{E}_{x}}$ энергии ${{E}_{x}}$ на отрезке $[0,T{\kern 1pt} *]$:

Формула (3.4) справедлива при малых приращениях $\Delta h = h - h{\kern 1pt} *$. Из нее следует, что при $\chi \nu \ne 0$ выполняется достаточное условие существование цикла: верно условие $dI(h{\kern 1pt} *){\text{/}}dh \ne 0$ простоты корня h* амплитудного уравнения $I(h) = 0$ [2]. При $\chi \nu < 0$ в каждом временном отрезке длиной T* знак приращения энергии противоположен знаку приращения $\Delta h$. Значит, траектории системы (3.3) асимптотически приближаются к поверхности уровня энергии $h = h{\kern 1pt} *$, отвечающей циклу. При этом изменение энергий $E_{x}^{i}$ описывается первой группой законов в (3.2).

На цикле связанной системы функции $E_{x}^{i} = E_{x}^{{ic}}(t)$ и $E_{y}^{i} = E_{y}^{{ic}}(t)$ имеют период T*; он отвечает значению

$h_{i}^{*}$ – значение энергии в i-й системе для цикла связанной системы. Числа $h_{i}^{*}(h{\kern 1pt} *)$ единственным образом вычисляются через энергию $h{\kern 1pt} *$.

Закон для $E_{x}^{i}$ в (3.2) обеспечивает достижение в цикле среднего значения энергии $E_{x}^{i}$, равного $h_{i}^{*}$. При этом стремление траекторий происходит по одной скалярной переменной ${{x}^{i}}$. Стремление траекторий к уровню $h = h{\kern 1pt} *$ по всем переменным xⁱ, $i = \overline {1,n} $, приводит к орбитальной асимптотической устойчивоcти цикла редуцированной системы (3.3). Законы для $E_{y}^{i}$ в (3.2), как и в случае отдельной системы, обеспечивают принадлежность цикла именно редуцированной системе (3.3).

Таким образом, получается следующий основной вывод. Задача конструирования орбитально асимптотически устойчивого цикла в связанной консервативной системе решается малыми связями-управлениями с функциями

в которых $r_{{sj}}^{i}$ – коэффициенты знакоположительных квадратичных форм.

Орбитальная асимптотическая устойчивость цикла управляемой консервативной системы со связями-управлениями (3.5) приводит к естественной стабилизации этого цикла. При этом в цикле реализуется синхронизация колебаний отдельных консервативных систем по частоте и фазе.

В частном случае основной вывод справедлив для связанных консервативных систем с одной степенью свободы.

Пример 2. Рассматриваются СПД – колебания слабо связанных идентичных маятников с кратными друг другу частотами. Строится управляемая система

где $h$ – энергия системы маятников, h* – значение энергии для рассматриваемого СПД.

Для отдельного математического маятника характеристика $K(h)$ дается в [16]: функция монотонно убывает, поэтому ${{\sigma }_{1}} = {{\sigma }_{2}} = 1$. Для системы из двух маятников получается характеристика $K(h){\text{/}}2$.

Система (3.6), в которой ${{\sigma }_{1}} = {{\sigma }_{2}} = 1$, допускает орбитально асимптотически устойчивый цикл, близкий к колебанию маятников с энергией h*.

Заключение. Предложен подход к стабилизации колебания связанных консервативных механических систем, использующий идею построения орбитально асимптотически устойчивого цикла. Реализация подхода приводит к естественной стабилизации колебания без привлечения иных управлений и одновременно – синхронизации колебаний систем по частоте и фазе. Найдены слабые связи-управления, имеющие универсальный характер. Подход применим как для многомерной консервативной системы, так и связанных консервативных систем. В [1] подход применяется к консервативной системе с одной степенью свободы.