Известия РАН. Теория и системы управления, 2022, № 2, стр. 58-61

Введение. Работа посвящена задачам распределенного управления колебаниями системы, описываемой уравнением Гуртина–Пипкина. Это уравнение содержит член сверточного (по временной переменной) типа, который часто называют памятью. Впервые данное уравнение появляется в статье [1]. Ставится вопрос о возможности приведения таких систем в состояние покоя. Заметим, что, вообще говоря, это понятие для систем с памятью не эквивалентно приведению системы в нулевое состояние. Как будет ясно в дальнейшем, управляемость в покой для подобных моделей не всегда возможна, даже если управляющее воздействие приложено ко всей области, занимаемой механической системой. В ходе доказательства мы не будем соблюдать должную строгость в части, касающейся разрешимости начально-краевых задач, а уделим больше внимания качественной стороне вопроса управляемости.

Рассмотрим важный класс ядер, имеющий вид ряда из счетного числа убывающих экспоненциальных функций. Также будет упомянуто ядро абелевского типа (ядро с особенностью). Эти ядра применяются в различных моделях механики, в частности для описания некоторых колебательных процессов.

1. Задача о неприводимости в состояние покоя системы, описываемой уравнением Гуртина–Пипкина и ядром в виде ряда из убывающих экспоненциальных функций. Рассмотрим начально-краевую задачу:

Здесь и далее

где ${{c}_{j}}$, ${{\gamma }_{j}}$ – заданные положительные постоянные, такие, что

В данном случае $\Omega $ – ограниченная односвязная область в ${{R}^{n}}$ с бесконечно гладкой границей, $\Delta $ – оператор Лапласа с областью определения

$u(t,x)$ – функция управления. Существование и единственность решения задачи (1.1)–(1.3) при дополнительных условиях, наложенных на ядро ${{K}_{1}}(t)$ и правую часть $u$, доказаны в [2].

Для уравнений, “похожих” на (1.1), и в ряде частных случаев (например, [3–5]) удается доказать, что колебания системы можно полностью остановить за конечное время, если управление приложено ко всей области $\Omega $. В [6] доказывается, что механическую систему, описываемую уравнением Гуртина–Пипкина для двумерных областей и широкого класса непрерывных ядер нельзя привести в покой управлением, приложенным только к подобласти, замыкание которой содержится в Ω. Заметим, что ${{K}_{1}}(t)$ является примером такого ядра.

Пусть теперь ядро имеет вид

где $\Gamma (\lambda )$ – гамма-функция. Это ядро Абеля. В [7] для одномерного уравнения теплопроводности с интегральной памятью и ядром (1.4) доказывается неуправляемость в покой данной системы, если управление приложено к одному концу отрезка, а второй конец закреплен. Заметим, что управляемость в покой в этом случае недостижима даже если мы управляем за всю область [8].

Здесь и далее для ядра ${{K}_{1}}(t)$ потребуем выполнение следующего условия:

Уравнение (1.1) является интегродифференциальным уравнением Гуртина–Пипкина, которое описывает процесс распространения тепла в средах с памятью, процесс распространения звука в вязкоупругих средах, а также оно возникает в задачах усреднения в перфорированных средах (закон Дарси). Заметим, что в ряде моделей производная $K_{1}^{'}(t)$ от ядра имеет особенность при t = 0, т.е.

Подробно с описанием моделей для условий $(1.5)$, $(1.6)$ и физических законов можно ознакомиться в статье [2].

Будем говорить, что система управляема в состояние покоя, если для всех начальных условий $\varphi $ найдется управление $u(t,x)$ и момент времени $T > 0$ такой, что $u(t,x)$ тождественно равно нулю для $t > T$ и соответствующее решение $\theta (t,x,u)$ задачи (1.1)–(1.3) также тождественно равно нулю для $t > T$. Заметим, что для систем с памятью понятия управляемость в состояние покоя и управляемость в нулевое состояние не являются тождественными. Во многих случаях решение, достигнув нулевого значения в какой-то момент времени, затем может из этого значения выйти.

Для уравнений вида (1.1) и различных типов ядер можно поставить, например, следующие задачи управления: привести в покой, управляя за фиксированную подобласть, движущийся компакт или за всю область $\Omega $. Можно также поставить задачу граничного управления, как это сделано, например, в [6, 7]. В данной статье будет показано, что для ядра ${{K}_{1}}(t)$ управляемости в покой для системы (1.1)–(1.3) нет, если управление производится даже за всю область. Остаются открытыми вопросы о возможности приведения в покой для некоторых других типов ядер. Для “похожих” уравнений иногда можно добиться управляемости в покой, если управление приложено к движущемуся по некоторому закону компакту (при этом управляемости за фиксированную подобласть нет). Например, проблема управляемости в покой для одномерного уравнения колебания струны с памятью рассмотрена в [9]. В этом случае ядро в интегральном члене уравнения тождественно равно единице и управление сосредоточено на подотрезке (части струны), который движется с постоянной скоростью.

Покажем, что в задаче управления (1.1)–(1.3) для ядра ${{K}_{1}}(t)$ привести систему в покой (вообще говоря) невозможно. А именно рассмотрим управление

продолженное нулем при $t > T$. Далее докажем, что найдется такое начальное условие $\varphi (x)$, при котором движение системы невозможно остановить. Точнее, существует начальное условие $\varphi (x)$, такое, что для каждой функции управления $u(t,x)$, которая тождественно равна нулю при $t > T$ для некоторого $T > 0$, соответствующее решение не может быть тождественно равно нулю вне ограниченного сегмента (по переменной $t$).

Определение. Показателем сходимости последовательности комплексных чисел $\{ {{z}_{k}}\} $ называется чиcло

Теорема. Предположим, что выполнено условие (1.5) и для последовательности показателей $\{ {{\gamma }_{k}}\} $ ядра ${{K}_{1}}(t)$ $\tau > 1$. Тогда управляемость в состояние покоя для системы (1.1)–(1.3) не имеет места.

Доказательство. Рассмотрим ортонормированную систему собственных функций $\{ {{\psi }_{n}}\} $ и собственные значения $ - a_{n}^{2}$ ($n = 1,2,...$) оператора Δ относительно краевого условия (1.3). Пусть

где ${{\xi }_{1}} \ne 0$. Разложим решение $\theta (t,x)$ и управляющее воздействие $u(t,x)$ в ряды Фурье по упомянутой системе собственных функций (это базис в ${{L}_{2}}(\Omega )$). В результате получается счетная система интегродифференциальных уравнений:

Очевидно, что, в силу выбора $\varphi $, только первое уравнение из системы (1.7) имеет ненулевое начальное условие.

Сделаем преобразование Лапласа от обеих частей в равенстве (1.7) для $n = 1$:

Напомним определение пространства $P{{W}_{ + }}$ как линейного пространства образов преобразований Лапласа от элементов из ${{L}_{2}}(0, + \infty )$, таких, что они равны нулю на множестве $\{ t:t > T\} $ для некоторого $T > 0$. Известно, что $f\left( \lambda \right) \in P{{W}_{ + }}$, если и только если она является целой функцией, такой, что:

1) существуют вещественные числа C и T, такие, что $\left| {f\left( \lambda \right)} \right| \leqslant C{{e}^{{T|\lambda |}}}$ (заметим, что C и T зависят от $f(\lambda )$);

2) $\mathop {\sup }\limits_{x \geqslant 0} \,\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{\left| {f\left( {x + iy} \right)} \right|}^{2}}dy < + \infty $.

Предположим, что система (1.1)–(1.3) управляема в состояние покоя, тогда функции ${{\hat {\theta }}_{1}}(\lambda )$ и ${{\hat {u}}_{1}}(\lambda )$ являются элементами пространства $P{{W}_{ + }}$. Следовательно, это целые функции экспоненциального типа.

Рассмотрим теперь корни уравнения

В [2] доказывается, что уравнение (1.9) имеет (в том числе) счетное число вещественных корней $\{ {{\lambda }_{k}}\} $, для которых выполнены неравенства:

Из (1.10) и условия теоремы следует, что показатель сходимости $\tau $ для последовательности корней $\{ {{\lambda }_{k}}\} $ больше единицы.

По определению целая функция $f(\lambda )$ имеет конечный порядок роста, если найдется число $\mu > 0$, такое, что

При этом порядком роста ρ целой функции $f(\lambda )$ называется нижняя грань тех $\mu > 0$, для которых верно (1.11).

Очевидно, что для целой функции экспоненциального типа порядок роста $\rho $ равен 1. В комплексном анализе хорошо известно, что показатель сходимости последовательности нулей целой функции не превосходит ее порядка роста $(\tau \leqslant \rho )$. Из (1.8) следует, что последовательность $\{ {{\lambda }_{k}}\} $ –нули функции ${{\xi }_{1}} + {{\hat {u}}_{1}}(\lambda )$. Но это целая функция экспоненциального типа, следовательно, ее порядок роста равен 1 и показатель сходимости последовательности ее нулей не превосходит 1. При этом выше было установлено, что для $\{ {{\lambda }_{k}}\} $ число $\tau $ больше единицы. Установленное противоречие доказывает теорему.

Заключение. “Неустойчивость” управляемости для ядра, состоящего из конечного числа экспонент. Если ядро в уравнении (1.1) состоит лишь из конечного числа убывающих экспоненциальных функций, то, используя методы работ [3, 4], можно доказать, что рассматриваемую механическую систему можно привести в покой за конечное время, если управление приложено ко всей области. Поэтому из доказанной теоремы можно получить важное следствие о “неустойчивости” управляемости этой системы. Заметим, что эта “неустойчивость” связана с добавлением к новому ядру малого возмущения, т.е., согласно доказанной теореме, управляемость теряется, если это возмущение представляет собой остаток ряда ${{K}_{1}}(t)$.