Известия РАН. Теория и системы управления, 2023, № 2, стр. 26-43

Введение. Объекты управления, описываемые системами четвертого порядка с двумя управляющими входами, достаточно распространены как в авиации [1], когда продольное [2] и боковое [3] движения летательного аппарата рассматриваются раздельно, так и при орбитальном движении космического аппарата во взаимосвязанных каналах крен–рысканье [4]. Возможные отказы измерительной аппаратуры могут приводить к ситуации, когда число измеряемых выходов равно двум. Для таких объектов решение задачи стабилизации (с заданным размещением полюсов замкнутой системы управления) путем построения наблюдателя состояния [5] из-за ошибок оценивания может приводить к недостаточной точности стабилизации, а также к повышению длительности переходных процессов и расхода топлива. Поэтому исследования, направленные на решение задачи управления по выходу системой четвертого порядка с двумя входами и двумя выходами, являются актуальными.

Ввиду математической сложности задачи модального управления по выходу в настоящее время ее универсального аналитического решения не существует. Известные методы решения ограничены в применимости соотношением между количеством состояний, входов и выходов или конкретным видом матриц состояния, управления и наблюдения. Так, метод решения данной задачи, основанный на подходах Ван дер Воуда [6], предполагает, что суммарная размерность векторов управления и наблюдения больше размерности вектора состояния [7]. Параметрический метод [8], базирующийся на выделении регулятора по выходу из общего параметризованного множества регуляторов (наблюдателей) по состоянию [9], напрямую применим лишь в частных случаях, когда параметры расположены так, что обнуление нужных столбцов (строк) в регуляторе (наблюдателе) по состоянию очевидно. В общем же случае для определения параметров, при которых реализуется регулятор по выходу, возникает необходимость решать нелинейные системы уравнений, что аналитически сделать затруднительно или невозможно. Также имеется зависимость от порядка следования желаемых полюсов.

В настоящей работе для определенного класса систем четвертого порядка с двумя входами и двумя выходами задача управления по выходу сводится к задаче управления (наблюдения) по состоянию для системы с одним входом, решение которой единственно и хорошо известно [10].

1. Постановка задачи. Задана полностью управляемая и полностью наблюдаемая система [11]

Здесь x – вектор состояния с числом компонент n = 4, u – вектор управления с двумя входами r = 2, y – вектор выхода размерности m = 2, ${\mathbf{A}} \in {{\mathbb{R}}^{{4 \times 4}}}$ – матрица состояния, ${\mathbf{B}} \in {{\mathbb{R}}^{{4 \times 2}}}$ – матрица управления (входов), ${\mathbf{C}} \in {{\mathbb{R}}^{{2 \times 4}}}$ – матрица наблюдения (выходов), $\mathbb{R}$ – множество вещественных матриц.

Требуется определить матрицу регулятора по выходу ${\mathbf{F}} \in {{\mathbb{R}}^{{2 \times 2}}}$, обеспечивающую матрице замкнутой системы ${\mathbf{A}}{\kern 1pt} * = {\mathbf{A}} - {\mathbf{BFC}}$ заданный характеристический полином [12]:

2. Приведение к задаче управления с одним входом (прямой подход). Предположим, что индекс наблюдаемости [13] заданной системы (1.1) равен двум, т.е.

Введем обозначение для матрицы наблюдателя по состоянию

Над матрицей замкнутой системы ${\mathbf{A}}{\kern 1pt} * = {\mathbf{A}} - {\mathbf{LC}}$ выполним преобразование подобия [14]

где блоки ${{{\mathbf{P}}}_{{{\mathbf{C}}0}}},{\text{ }}{{{\mathbf{P}}}_{{{\mathbf{C}}1}}} \in {{\mathbb{R}}^{{2 \times 2}}}$ таковы, что а преобразованная матрица состояния разомкнутой системы имеет вид

Здесь и далее ${{{\mathbf{0}}}_{{n \times m}}}$ – нулевая матрица, имеющая размерность n × m, I_n – единичная матрица, имеющая порядок n.

Далее, выполнив еще одно преобразование подобия [14] через матрицу

получим матрицу, которая должна иметь желаемый полином $\varphi {\kern 1pt} {\text{*}}(\lambda )$:

Обеспечение желаемого полинома матрице ${\mathbf{\tilde {A}}}_{{\mathbf{C}}}^{*}$ путем выбора матрицы ${{{\mathbf{K}}}_{{\mathbf{C}}}}$ представляет собой задачу модального управления по состоянию с двумя входами (MIMO – multi input multi output система). Для приведения к задаче с одним входом (к SIMO – single input multi output системе) обнулим одну из строк матрицы ${{{\mathbf{K}}}_{{\mathbf{C}}}}$.

Пусть ${\mathbf{c}}_{1}^{{\text{T}}}$ и ${\mathbf{c}}_{2}^{{\text{T}}}$ – соответственно первая и вторая строки матрицы наблюдения ${\mathbf{C}}$. Условия обнуления первой (а) или второй (б) строки матрицы ${{{\mathbf{K}}}_{{\mathbf{C}}}}$

принимают соответственно вид

При этом ненулевая строка матрицы K_C становится соответственно равна

При выполнении одного из условий (2.4) приходим к SIMO-системе

с матрицей состояния (2.3) и соответственно матрицей управления (вектор-столбец) и матрицей регулятора (вектор-строка) ${\mathbf{k}}_{{\mathbf{C}}}^{{\text{T}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathbf{k}}_{{{\mathbf{C}}1}}^{{\text{T}}}}&\vline & {{\mathbf{k}}_{{{\mathbf{C}}2}}^{{\text{T}}}} \end{array}} \right]$, где ${\mathbf{k}}_{{{\mathbf{C}}1}}^{{\text{T}}},{\mathbf{k}}_{{{\mathbf{C}}2}}^{{\text{T}}} \in {{\mathbb{R}}^{{1 \times 2}}}$, SIMO-система (2.5) полностью управляема при условии

Задача модального управления при желаемом характеристическом полиноме $\varphi {\kern 1pt} *\left( \lambda \right)$ в SIMO-системе (2.5) решается с помощью формулы Аккермана [10]:

где${\mathbf{A}}_{{\mathbf{C}}}^{i} = {\mathbf{\tilde {N}}}{{{\mathbf{A}}}^{i}}{{{\mathbf{\tilde {N}}}}^{{ - 1}}}$ $(i = \overline {0, \ldots ,4} )$, ${{{\mathbf{\tilde {U}}}}_{{\mathbf{C}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{{{\mathbf{\tilde {b}}}}}_{{\mathbf{C}}}}}&\vline & {{\mathbf{A}}{{{{\mathbf{\tilde {b}}}}}_{{\mathbf{C}}}}}&\vline & {{{{\mathbf{A}}}^{2}}{{{{\mathbf{\tilde {b}}}}}_{{\mathbf{C}}}}}&\vline & {{{{\mathbf{A}}}^{3}}{{{{\mathbf{\tilde {b}}}}}_{{\mathbf{C}}}}} \end{array}} \right]$, ${{{\mathbf{\tilde {b}}}}_{{\mathbf{C}}}} = {{{\mathbf{\tilde {N}}}}^{{ - 1}}}{{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{C}}}}$.

Матрицу наблюдателя L (2.2) определим из соотношения

С учетом значений (2.4) и (2.7) соответственно получим

Таким образом, в силу значений (2.6), в обоих случаях (а) и (б) матрица наблюдателя по состоянию равна

Условие обнуления (2.4) будет одновременно условием разрешимости уравнения (2.2) относительно матрицы регулятора по выходу F [6], если первый множитель в левой части равенства (2.4) является левым аннулятором матрицы B, т.е. соответственно если

Пусть ${{{\mathbf{B}}}^{ + }} = {{({{{\mathbf{B}}}^{{\text{T}}}}{\mathbf{B}})}^{{ - 1}}}{{{\mathbf{B}}}^{{\text{T}}}}$ – псевдообратная матрица [6] к матрице управления B. Тогда решение уравнения (2.2) и задачи (1.2) в целом при выполнении условий (2.1), (2.8), (2.11) с учетом значения матрицы L (2.10) принимает вид

Отметим, что условие (2.11) приводимости к задаче управления с одним входом может быть верно, только если индекс управляемости рассматриваемой системы (1.1) больше индекса ее наблюдаемости [13]. Сформулируем это утверждение в виде теоремы.

Теорема 1. Задана полностью управляемая и полностью наблюдаемая тройка матриц состояния, управления и наблюдения (1.1). Пусть индекс их наблюдаемости равен 2, т.е. выполняется условие (2.1), и справедливо одно из равенств (2.11), где соответственно ${\mathbf{c}}_{1}^{{\text{T}}}$ и ${\mathbf{c}}_{2}^{{\text{T}}}$ – строки матрицы наблюдения, а ${{r}_{{{\mathbf{C}}1,4}}}$ и ${{r}_{{{\mathbf{C}}2,3}}}$ – элементы матрицы (2.3). Тогда индекс управляемости матриц (1.1) равен 3 (больше индекса наблюдаемости).

Доказательство. Для доказательства необходимо и достаточно показать, что вырождается матрица

В силу условия (2.1) вырождение матрицы ${\mathbf{\tilde {U}}}$ эквивалентно вырождению матрицы ${\mathbf{\tilde {N}\tilde {U}}}$, которая имеет ненулевой аннулятор [6]:

Тогда справедливы равенства

Теорема доказана.

Наибольшую вычислительную сложность в предлагаемом алгоритме представляет формула Аккермана (2.9). Это обусловлено необходимостью возводить матрицу четвертого порядка в третью и четвертую степени, а также обращать матрицу, содержащую указанные степени. Между тем результат содержит большое количество подобных слагаемых, отследить которые в общем случае затруднительно как вручную, так и с применением команды “simplify” в MATLAB. Далее в виде теоремы предложен метод расчета модального регулятора для SIMO-системы (2.5), не требующий возведения матриц в высокие степени и существенно упрощающий окончательное символьное выражение для регулятора.

Теорема 2. Решение задачи модального управления для SIMO-системы (2.5) с обеспечением характеристического полинома $\varphi {\kern 1pt} *\left( \lambda \right) = {{\lambda }^{4}} + p_{3}^{*}{{\lambda }^{3}} + p_{2}^{*}{{\lambda }^{2}} + p_{1}^{*}\lambda + p_{0}^{*}$ записывается в виде

где

Доказательство. Задача модального управления для SIMO-системы (2.5) эквивалентна задаче с обеспечением того же полинома $\varphi {\kern 1pt} *\left( \lambda \right)$, но для более простой системы:

Решение этой задачи компактно записывается с помощью алгоритма Басса–Гура [9]:

где

При этом условие полной управляемости (2.8) принимает вид ${{t}_{{\mathbf{C}}}} \ne 0$, т.е.

Далее, выполнив перемножение в формуле Басса–Гура, запишем выражения для коэффициентов регулятора ${\mathbf{\bar {k}}}_{{\mathbf{C}}}^{{\text{T}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{k}_{{{\mathbf{C}}1,1}}}}&\vline & {{{k}_{{{\mathbf{C}}1,2}}}}&\vline & {{{k}_{{{\mathbf{C}}1,3}}}}&\vline & {{{k}_{{{\mathbf{C}}1,4}}}} \end{array}} \right]$:

где

После обратного перехода от вектора ${\mathbf{\bar {k}}}_{{\mathbf{C}}}^{{\text{T}}}$ к вектору ${\mathbf{k}}_{{\mathbf{C}}}^{{\text{T}}}$ получается результат (2.13).

Теорема доказана.

Таким образом, при выполнении условий (2.1), (2.11) и (2.14) регулятор по выходу (матрица ${\mathbf{F}}$) рассчитывается по формуле (2.12) с подстановкой значений (2.13).

Пример 1 (а). Требуется решить задачу (1.2) для матриц состояния, управления и наблюдения (1.1):

Запишем первые две блочные строки матрицы наблюдаемости:

Если ${{a}_{{3,1}}}{{a}_{{4,2}}} \ne 0$, то индекс наблюдаемости равен 2, т.е. верно условие (2.1).

Для проверки (2.11) рассчитаем следующую матрицу:

где ${{\tilde {a}}_{{4,1}}} = {{\left( {{{a}_{{4,1}}}\left( {{{a}_{{1,1}}} - {{a}_{{2,2}}}} \right) + {{a}_{{2,1}}}{{a}_{{4,2}}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{{a}_{{4,1}}}\left( {{{a}_{{1,1}}} - {{a}_{{2,2}}}} \right) + {{a}_{{2,1}}}{{a}_{{4,2}}}} \right)} {{{a}_{{3,1}}}}}} \right. \kern-0em} {{{a}_{{3,1}}}}}$. Рассматриваемая задача приводится к задаче модального управления с одним входом, так как выполнен вариант (а) условия (2.11):

Проведем промежуточные расчеты из теоремы 2:

где ${{\tilde {r}}_{{{\mathbf{C}}1,1}}} = {{a}_{{1,3}}}{{a}_{{3,4}}} - {{a}_{{1,4}}}{{a}_{{3,3}}}$, ${{\tilde {q}}_{{{\mathbf{C}}1}}} = {{q}_{{{\mathbf{C}}1}}} + {{a}_{{1,1}}}{{q}_{{{\mathbf{C}}2}}}$. С учетом неравенства ${{a}_{{3,1}}}{{a}_{{4,2}}} \ne 0$ можно утверждать, что условие (2.14) полной управляемости SIMO-системы справедливо, если

Согласно выражению (2.13) из теоремы 2 рассчитаем регулятор ${\mathbf{k}}_{{\mathbf{C}}}^{{\text{T}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathbf{k}}_{{{\mathbf{C}}1}}^{{\text{T}}}}&\vline & {{\mathbf{k}}_{{{\mathbf{C}}2}}^{{\text{T}}}} \end{array}} \right]$:

где ${{\tilde {k}}_{{{\mathbf{C}}1,3}}} = {{k}_{{{\mathbf{C}}1,3}}} + {{\tilde {a}}_{{4,1}}}$.

По формуле (2.12) определим искомую матрицу регулятора по выходу:

Таким образом, последовательность расчета искомого регулятора имеет вид

Символьные вычисления в MATLAB [15] подтвердили равенство полиномов (1.2).

Пример 1 (б). Требуется решить задачу (1.2) для матриц состояния, управления и наблюдения (1.1):

Запишем первые две блочные строки матрицы наблюдаемости:

Если ${{a}_{{1,3}}}{{a}_{{2,4}}} \ne 0$, то индекс наблюдаемости равен 2, т.е. верно условие (2.1).

Для проверки (2.11) рассчитаем следующую матрицу:

где ${{\tilde {a}}_{{1,4}}} = {{\left( {{{a}_{{1,4}}}\left( {{{a}_{{4,4}}} - {{a}_{{3,3}}}} \right) + {{a}_{{1,3}}}{{a}_{{3,4}}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{{a}_{{1,4}}}\left( {{{a}_{{4,4}}} - {{a}_{{3,3}}}} \right) + {{a}_{{1,3}}}{{a}_{{3,4}}}} \right)} {{{a}_{{2,4}}}}}} \right. \kern-0em} {{{a}_{{2,4}}}}}$. Рассматриваемая задача приводится к задаче модального управления с одним входом, так как выполнен вариант (б) условия (2.11):

Проведем промежуточные расчеты из теоремы 2:

где ${{\tilde {r}}_{{{\mathbf{C}}2,2}}} = {{a}_{{2,1}}}{{a}_{{4,2}}} - {{a}_{{2,2}}}{{a}_{{4,1}}}$, ${{\tilde {q}}_{{{\mathbf{C}}1}}} = {{q}_{{{\mathbf{C}}1}}} + {{a}_{{4,4}}}{{q}_{{{\mathbf{C}}2}}}$. С учетом неравенства ${{a}_{{1,3}}}{{a}_{{2,4}}} \ne 0$ можно утверждать, что условие (2.14) полной управляемости SIMO-системы верно, если

Согласно выражению (2.13), из теоремы 2 рассчитаем регулятор ${\mathbf{k}}_{{\mathbf{C}}}^{{\text{T}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathbf{k}}_{{{\mathbf{C}}1}}^{{\text{T}}}}&\vline & {{\mathbf{k}}_{{{\mathbf{C}}2}}^{{\text{T}}}} \end{array}} \right]$:

где ${{\tilde {k}}_{{{\mathbf{C}}1,4}}} = {{k}_{{{\mathbf{C}}1,4}}} + {{\tilde {a}}_{{1,4}}}$.

По формуле (2.12) определим искомую матрицу регулятора по выходу:

Таким образом, последовательность расчета искомого регулятора имеет вид

Символьные вычисления в MATLAB [15] подтвердили равенство полиномов (1.2).

3. Приведение к задаче наблюдения с одним входом (дуальный подход). Предположим, что индекс управляемости [13] заданной системы (1.1) равен 2, т.е.

Введем обозначение для матрицы регулятора по состоянию

Для матрицы замкнутой системы ${\mathbf{A}}{\kern 1pt} * = {\mathbf{A}} - {\mathbf{BK}}$ выполним преобразование подобия [14]

где блоки ${{{\mathbf{P}}}_{{{\mathbf{B}}0}}},\;{{{\mathbf{P}}}_{{{\mathbf{B}}1}}} \in {{\mathbb{R}}^{{2 \times 2}}}$ таковы, что а преобразованная матрица состояния разомкнутой системы имеет вид

Далее, выполнив еще одно преобразование подобия [14] через матрицу

получим матрицу, которая должна иметь желаемый полином $\varphi {\kern 1pt} *\left( \lambda \right)$:

Обеспечение желаемого полинома матрице ${\mathbf{\tilde {A}}}_{{\mathbf{B}}}^{*}$ путем выбора матрицы ${{{\mathbf{L}}}_{{\mathbf{B}}}}$ представляет собой задачу модального наблюдения по состоянию с двумя входами (MIMO-система). Для приведения к задаче с одним входом (к SIMO-системе) обнулим один из столбцов матрицы ${{{\mathbf{L}}}_{{\mathbf{B}}}}$.

Пусть b₁ и b₂ – соответственно первый и второй столбцы матрицы управления ${\mathbf{B}}$. Условия обнуления первого (а) или второго (б) столбца матрицы ${{{\mathbf{L}}}_{{\mathbf{B}}}}$

принимают соответственно вид

При этом ненулевой столбец матрицы ${{{\mathbf{L}}}_{{\mathbf{B}}}}$ становится соответственно равен

При выполнении одного из условий (3.4) приходим к SIMO-системе

с матрицей состояния (3.3) и соответственно матрицей наблюдения (вектор-строка) и матрицей наблюдателя (вектор-столбец) ${{{\mathbf{l}}}_{{\mathbf{B}}}} = {{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathbf{l}}_{{{\mathbf{B}}1}}^{{\text{T}}}}&\vline & {{\mathbf{l}}_{{{\mathbf{B}}2}}^{{\text{T}}}} \end{array}} \right]}^{{\text{T}}}}$, где ${{{\mathbf{l}}}_{{{\mathbf{B}}1}}},{\text{ }}{{{\mathbf{l}}}_{{{\mathbf{B}}2}}} \in {{\mathbb{R}}^{{2 \times 1}}}$,

SIMO-система (3.5) полностью наблюдаема при условии

Задача модального наблюдения при желаемом характеристическом полиноме $\varphi {\kern 1pt} *\left( \lambda \right)$ в SIMO-системе (3.5) решается с помощью дуальной формулы Аккермана [10]:

где

Матрицу регулятора ${\mathbf{K}}$ (3.2) определим из соотношения

С учетом значений (3.4) и (3.7) соответственно получим

Таким образом, в силу значений (3.6), в обоих случаях (а) и (б) матрица регулятора по состоянию равна

Условие обнуления (3.4) будет одновременно условием разрешимости уравнения (3.2) относительно матрицы регулятора по выходу F [6], если второй множитель в левой части равенства (3.4) является правым аннулятором матрицы C, т.е. соответственно если

Пусть ${{{\mathbf{C}}}^{ + }} = {{{\mathbf{C}}}^{{\text{T}}}}{{({\mathbf{C}}{{{\mathbf{C}}}^{{\text{T}}}})}^{{ - 1}}}$ – псевдообратная матрица [6] к матрице наблюдения C. Тогда решение уравнения (3.2) и задачи (1.2) в целом при выполнении условий (3.1), (3.8), (3.11) с учетом значения матрицы ${\mathbf{K}}$ (3.10) принимает вид

Отметим, что условие (3.11) приводимости к задаче наблюдения с одним входом может быть верно, только если индекс наблюдаемости рассматриваемой системы (1.1) больше индекса ее управляемости [13]. Сформулируем это утверждение в виде теоремы.

Теорема 3. Задана полностью управляемая и полностью наблюдаемая тройка матриц состояния, управления и наблюдения (1.1). Пусть индекс их управляемости равен 2, т.е. выполняется условие (3.1), и справедливо одно из равенств (3.11), где соответственно b₁ и b₂ – столбцы матрицы управления, а ${{r}_{{{\mathbf{B}}3,2}}}$ и ${{r}_{{{\mathbf{B}}4,1}}}$ – элементы матрицы (3.3).

Тогда индекс наблюдаемости матриц (1.1) равен 3 (больше индекса управляемости).

Доказательство. Для доказательства необходимо и достаточно показать, что вырождается матрица

В силу условия (3.1) вырождение матрицы ${\mathbf{\tilde {N}}}$ эквивалентно вырождению матрицы ${\mathbf{\tilde {N}\tilde {U}}}$, которая имеет ненулевой аннулятор [6]:

Тогда справедливы равенства

Теорема доказана.

По аналогии с рассуждениями о формуле (2.9) в данном случае наибольшую вычислительную сложность представляет дуальная формула Аккермана (3.9). Далее в виде теоремы предложен метод расчета модального наблюдателя для SIMO-системы (3.5), существенно упрощающий его окончательное символьное выражение.

Теорема 4. Решение задачи модального наблюдения для SIMO-системы (3.5) с обеспечением характеристического полинома $\varphi {\kern 1pt} *\left( \lambda \right) = {{\lambda }^{4}} + p_{3}^{*}{{\lambda }^{3}} + p_{2}^{*}{{\lambda }^{2}} + p_{1}^{*}\lambda + p_{0}^{*}$ записывается как

где

Доказательство. Воспользуемся результатом теоремы 2. Из соображений дуальности [16] положим ${{{\mathbf{A}}}_{{\mathbf{C}}}} = {\mathbf{A}}_{{\mathbf{B}}}^{{\text{T}}}$. Тогда, поскольку ${{{\mathbf{b}}}_{{\mathbf{C}}}} = {{{\mathbf{c}}}_{{\mathbf{B}}}}$, матрица наблюдателя (вектор-столбец) ${{{\mathbf{l}}}_{{\mathbf{B}}}}$ будет равна транспонированной матрице регулятора ${{{\mathbf{k}}}_{{\mathbf{C}}}}$ (2.13) из теоремы 2.

При этом условие полной наблюдаемости (3.8) принимает вид ${{t}_{{\mathbf{B}}}} \ne 0$, т.е.

Теорема доказана.

Таким образом, при выполнении условий (3.1), (3.11) и (3.14) регулятор по выходу (матрица ${\mathbf{F}}$) рассчитывается по формуле (3.12) с подстановкой значений (3.13).

Пример 2 (а). Требуется решить задачу (1.2) для матриц состояния, управления и наблюдения (1.1):

Запишем первые два блочных столбца матрицы управляемости:

Если ${{a}_{{1,2}}}{{a}_{{3,4}}}{{b}_{{2,1}}}{{b}_{{4,2}}} \ne 0$, то индекс управляемости равен 2, т.е. верно условие (3.1).

Для проверки условия (3.11) рассчитаем следующую матрицу:

где ${{\tilde {a}}_{{1,4}}} = {{\left( {{{a}_{{1,4}}}\left( {{{a}_{{1,1}}} - {{a}_{{3,3}}}} \right) + {{a}_{{1,3}}}{{a}_{{3,4}}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{{a}_{{1,4}}}\left( {{{a}_{{1,1}}} - {{a}_{{3,3}}}} \right) + {{a}_{{1,3}}}{{a}_{{3,4}}}} \right)} {{{a}_{{1,2}}}}}} \right. \kern-0em} {{{a}_{{1,2}}}}}$. Рассматриваемая задача приводится к задаче модального наблюдения с одним входом, так как выполнен вариант (а) условия (3.11):

Проведем промежуточные расчеты из теоремы 4:

где ${{\tilde {r}}_{{{\mathbf{B}}1,1}}} = {{a}_{{2,1}}}{{a}_{{4,2}}} - {{a}_{{2,2}}}{{a}_{{4,1}}}$, ${{\tilde {q}}_{{{\mathbf{B}}1}}} = {{q}_{{{\mathbf{B}}1}}} + {{a}_{{1,1}}}{{q}_{{{\mathbf{B}}2}}}$. С учетом неравенства ${{a}_{{1,2}}}{{a}_{{3,4}}}{{b}_{{2,1}}}{{b}_{{4,2}}} \ne 0$ можно утверждать, что условие (3.14) полной наблюдаемости SIMO-системы выполняется, если

Согласно выражению (3.13) из теоремы 4 рассчитаем наблюдатель ${{{\mathbf{l}}}_{{\mathbf{B}}}} = {{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathbf{l}}_{{{\mathbf{B}}1}}^{{\text{T}}}}&\vline & {{\mathbf{l}}_{{{\mathbf{B}}2}}^{{\text{T}}}} \end{array}} \right]}^{{\text{T}}}}$:

где ${{\tilde {l}}_{{{\mathbf{B}}3,1}}} = {{\bar {l}}_{{{\mathbf{B}}3,1}}} + {{\tilde {a}}_{{1,4}}}$.

По формуле (3.12) определим искомую матрицу регулятора по выходу:

Таким образом, последовательность расчета искомого регулятора имеет вид

Пример 2 (б). Требуется решить задачу (1.2) для матриц состояния, управления и наблюдения (1.1):

Запишем первые два блочных столбца матрицы управляемости:

Если ${{a}_{{1,2}}}{{a}_{{3,4}}}{{b}_{{2,1}}}{{b}_{{4,2}}} \ne 0$, то индекс управляемости равен 2, т.е. верно условие (3.1).

Для проверки условия (3.11) рассчитаем следующую матрицу:

где ${{\tilde {a}}_{{3,2}}} = {{\left( {{{a}_{{3,2}}}\left( {{{a}_{{3,3}}} - {{a}_{{1,1}}}} \right) + {{a}_{{1,2}}}{{a}_{{3,1}}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{{a}_{{3,2}}}\left( {{{a}_{{3,3}}} - {{a}_{{1,1}}}} \right) + {{a}_{{1,2}}}{{a}_{{3,1}}}} \right)} {{{a}_{{3,4}}}}}} \right. \kern-0em} {{{a}_{{3,4}}}}}$. Рассматриваемая задача приводится к задаче модального наблюдения с одним входом, так как выполнен вариант (б) условия (3.11):

Проведем промежуточные расчеты из теоремы 4:

где ${{\tilde {r}}_{{{\mathbf{B}}2,2}}} = {{a}_{{2,4}}}{{a}_{{4,3}}} - {{a}_{{2,3}}}{{a}_{{4,4}}}$, ${{\tilde {q}}_{{{\mathbf{B}}1}}} = {{q}_{{{\mathbf{B}}1}}} + {{a}_{{3,3}}}{{q}_{{{\mathbf{B}}2}}}$. С учетом неравенства ${{a}_{{1,2}}}{{a}_{{3,4}}}{{b}_{{2,1}}}{{b}_{{4,2}}} \ne 0$ можно утверждать, что условие (3.14) полной наблюдаемости SIMO-системы справедливо, если

Согласно выражению (3.13) из теоремы 4 рассчитаем наблюдатель ${{{\mathbf{l}}}_{{\mathbf{B}}}} = {{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathbf{l}}_{{{\mathbf{B}}1}}^{T}}&\vline & {{\mathbf{l}}_{{{\mathbf{B}}2}}^{T}} \end{array}} \right]}^{T}}$:

где ${{\tilde {l}}_{{{\mathbf{B}}4,1}}} = {{\bar {l}}_{{{\mathbf{B}}4,1}}} + {{\tilde {a}}_{{3,2}}}$.

По формуле (3.12) определим искомую матрицу регулятора по выходу:

Таким образом, последовательность расчета искомого регулятора имеет вид

Символьные вычисления в MATLAB [15] подтвердили равенство полиномов (1.2).

Заключение. Для линейной динамической системы четвертого порядка с двумя входами и двумя выходами при неравных индексах управляемости и наблюдаемости, а также при соблюдении условий (2.11) или (3.11) получено аналитическое решение задачи модального управления по выходу. В основу решения положено приведение указанной задачи к задаче управления (наблюдения) с одним входом, выполненное с помощью преобразований подобия и обнуления одной из строк (одного из столбцов) матрицы регулятора (наблюдателя) по состоянию. При этом следует заметить, что условия (2.11) или (3.11), когда указанное обнуление одновременно обеспечивает существование регулятора по выходу, ограничивают класс объектов, для которых применимо предложенное решение. Данное обстоятельство обусловлено математической сложностью задачи модального управления по выходу в общем виде. Однако существует ряд прикладных задач, удовлетворяющих приведенным условиям. В частности, это задача орбитальной стабилизации во взаимосвязанных каналах крен–рысканье [4, 5] при наличии измерений угла и угловой скорости только в одном из этих каналов.