Теплофизика высоких температур, 2019, T. 57, № 2, стр. 226-233

ВВЕДЕНИЕ

Исследование нестационарных процессов теплообмена, решение задач идентификации и диагностики тепловых процессов часто основываются на решении граничных обратных задач теплопроводности (ОЗТ). На сегодняшний день существует большое число подходов к решению этой проблемы [1–4]. В литературе наиболее полно освещены подходы к решению одномерных граничных ОЗТ, методы решения двумерных и трехмерных обратных задач представлены в меньшем объеме.

Базовые постановки двумерных и трехмерных ОЗТ приведены в [1], где на примере некоторых частных обратных задач, сформулированных в экстремальной постановке, предложен метод итерационной регуляризации, который в дальнейшем получил развитие в работах [5, 6]. Численные методы с применением регуляризирующих алгоритмов использованы для решения двумерных граничных ОЗТ в линейной [7] и нелинейной постановках [8]. Регуляризирующий алгоритм, позволяющий проводить параметрическую идентификацию тепловых потоков к границам анизотропной пластины, приведен в [9]. В работе [10] предложены методика и алгоритм решения двумерной ОЗТ по восстановлению пространственно-временнóй плотности теплового потока, приложенного к внешней поверхности полого кругового цилиндра, по измерениям на его внутренней поверхности. Для решения задачи построен итерационный регуляризирующий алгоритм, использующий для минимизации функционала невязки метод сопряженных градиентов.

Другой подход к решению ОЗТ основывается на сужении множества искомых решений до множества физически реализуемых функций, представляющего собой класс корректности [1], что позволяет получить параметрическое представление искомой характеристики, вектор параметров которого определяется на последующем этапе параметрической оптимизации.

В настоящей работе для решения двумерной граничной ОЗТ применяется разработанный и успешно апробированный при решении одномерных граничных обратных задач метод минимаксной оптимизации [11, 12], базирующийся на теории оптимального управления объектами с распределенными параметрами. Этот метод использует равномерную метрику оценивания [13, 14] температурных невязок, реализует сужение множества искомых характеристик, рассматриваемых в качестве оптимального управляющего воздействия, до класса корректности и тем самым обеспечивает редукцию исходной некорректно поставленной задачи к задаче полубесконечной оптимизации, соответствующей условно-корректной постановке и сохраняющей качественные особенности процессов с распределенными параметрами. Нахождение оптимальных значений конечномерного вектора параметров, определяемого выбранной структурой управляющего воздействия, осуществляется на последующем этапе минимизации на основе метода, учитывающего альтернансные свойства оптимальных решений [14, 15].

Предложенный метод минимаксной оптимизации достаточно универсален по отношению к виду математической модели и может быть применен к задачам, использующим как аналитические, так и численные модели процесса теплообмена. В работе на его основе решена задача определения граничного теплового потока, зависящего от времени и пространственной координаты для двумерного тела канонической формы.

ПОСТАНОВКА ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Подобно [1, 8] формулируется двумерная обратная задача нестационарной теплопроводности в случае одностороннего нагрева плоского тела прямоугольной формы, с пространственными координатами x и y, когда на ограничивающих плоскостях x = 0, y = 0 и 1 теплообмен отсутствует, а вектор теплового потока q(y, φ) параллелен плоскости xy.

Рассматривается уравнение теплопроводности для температурного поля θ(x, y, φ), заданное в относительных единицах изменения временнóй φ и пространственных координат:

дополненное начальным условием и граничными условиями второго рода

Здесь функция q(y, φ) неизвестна и является искомой величиной. Задана дополнительная информация о температуре на некоторой линии $x = x* = {\text{const}},$ $0 \leqslant x* \leqslant 1{\text{:}}$

Полагается, что пространственно-временнáя функция q(y, φ) двух переменных может быть представлена в виде произведения двух функций одной переменной

что соответствует большинству физически обоснованных ситуаций.

Идентифицируемая функция q(y, φ) рассматривается в качестве управляющего воздействия u(y, φ) = q(y, φ), структура которого соответствует виду (6):

где функции ${{u}^{{(1)}}}(y)$ и ${{u}^{{(2)}}}(\varphi )$ выступают как пространственно-распределенное и сосредоточенное управляющие воздействия, подчиненные типовым ограничениям принадлежности заданным множествам V₁ и V₂ функций. Таким образом, искомое управление u(y, φ) представляет собой произведение (7) пространственно-распределенной и сосредоточенной составляющих.

Формулируется ОЗТ в экстремальной постановке, предусматривающей минимизацию погрешности равномерного приближения модельного значения $\theta (x*,y,\varphi ),$ соответствующего искомой функции u(y, φ), к измеряемому температурному состоянию f(y, φ) на заданной области $\Omega = \left\{ {\left( {y,\varphi } \right);y \in [0,1];\varphi \in [0,\varphi *]} \right\}$ изменения пространственной переменной и временнóм интервале идентификации.

Для объекта (1)–(4) требуется определить управляющее воздействие u(y, φ), подчиненное согласно (7) ограничениям (8) и (9), обеспечивающее на заданной области изменения пространственной и временнóй переменной выполнение минимаксного соотношения

Для решения задачи производится сужение множества допустимых решений до класса корректности – физически реализуемых на заданных областях изменения соответствующих переменных функций, – осуществляемое на основе требований их достаточной гладкости [1]. Здесь в качестве класса корректности (компакта) рассматривается множество функций, непрерывных вместе со своими производными, – полиномиальных функций соответствующих переменных:

Значения N и M определяют порядки полиномов (11) и (12) и тем самым задают точную структуру искомых функций, что позволяет перейти к параметризованной форме искомых управлений. Таким образом, при фиксированных значениях N и M идентифицируемое воздействие u(y, φ) однозначно задается значениями полиномиальных коэффициентов в (11) и (12), образующих соответствующие векторы параметров ${{\Delta }^{y}} = \left( {\Delta _{0}^{y},\Delta _{1}^{y},...\Delta _{N}^{y}} \right)$ и ${{\Delta }^{\varphi }} = \left( {\Delta _{0}^{\varphi },\Delta _{1}^{\varphi },...\Delta _{M}^{\varphi }} \right).$ В результате на основе (7), (11) и (12) параметрическое представление управляющего воздействия имеет вид

где ${{\tilde {\Delta }}_{0}} = \Delta _{0}^{y}\Delta _{0}^{\varphi };$ $\tilde {\Delta }_{i}^{y} = {{\Delta _{i}^{y}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta _{i}^{y}} {\Delta _{0}^{y}}}} \right. \kern-0em} {\Delta _{0}^{y}}},\,\,i = \overline {1,N} ;$ $\tilde {\Delta }_{j}^{\varphi } = {{\Delta _{j}^{\varphi }} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta _{j}^{\varphi }} {\Delta _{0}^{\varphi }}}} \right. \kern-0em} {\Delta _{0}^{\varphi }}},$ $j = \overline {1,M} ,$ и, следовательно, вектор Δ = = $\left( {\tilde {\Delta }_{0}^{{}},\tilde {\Delta }_{1}^{y},...\tilde {\Delta }_{N}^{y},\tilde {\Delta }_{1}^{\varphi },...\tilde {\Delta }_{M}^{\varphi }} \right)$ искомого управления содержит N + M + 1 параметр.

При этом температурное поле $\theta (x*,y,\varphi ,{{u}^{{(1)}}},{{u}^{{(2)}}})$ = = $\theta (x*,y,\varphi ,\Delta )$ также является функцией рассматриваемого вектора Δ параметров и вычисляется как реакция на управляющее воздействие (13) при заданных значениях N и M и векторе Δ. Использование параметрического представления температурного поля $\theta (x*,y,\varphi ,\Delta )$ позволяет перейти от исходной некорректно поставленной обратной задачи к эквивалентной задаче параметрической оптимизации относительно вектора Δ, минимизирующей абсолютное отклонение расчетного температурного состояния от измеряемого в равномерной метрике оценивания

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Решение полученной задачи математического программирования (14), подобно [14–16], может основываться на известных качественных свойствах оптимальных температурных распределений, обладающих при Δ = Δ⁰ наилучшим равномерным приближением к требуемому состоянию f(y, φ). Данные свойства фиксируют в отдельных точках ${{z}^{0}} = ({{y}^{0}},{{\varphi }^{0}})$ на всей пространственно-временнóй области идентификации достижение предельных отклонений расчетной температуры $\theta (x*,y,\varphi ,{{\Delta }^{0}})$ от заданной f(y, φ), равных ±I ⁰, и тем самым устанавливают конфигурацию погрешности $\theta (x*,y,\varphi ,{{\Delta }^{0}}) - f(y,\varphi )$ аппроксимации температурного распределения f(y, φ). Число точек, где достигаются предельно допустимые максимальные по абсолютной величине значения погрешности $\theta (x*,y,\varphi ,{{\Delta }^{0}}) - f(y,\varphi ),$ характеризуемые разными знаками, должно быть не меньше числа неизвестных оптимального процесса [14], в роли которых выступают вектор Δ параметров искомого управления и сама величина погрешности I ⁰. Таким образом, при поиске аппроксимирующей функции u(y, φ), заданной, согласно (13), фиксированными значениями N и M, на наблюдаемой пространственно-временнóй области Ω всегда найдутся такие R = N + M + 2 точек $z = z_{k}^{0} = (y_{k}^{0},\varphi _{k}^{0}),$ $k = \overline {1,R} ,$ для которых выполняются равенства

В силу замкнутости системы равенств (15) относительно всех параметров оптимального управления, ее возможно перевести в систему расчетных уравнений относительно этих параметров. Последующее решение полученной системы и окажется решением задачи полубесконечной оптимизации (14).

Специфика данной задачи по сравнению с одномерными случаями, где минимизация ошибки равномерного приближения осуществляется по одной (временнóй или пространственной) переменной, заключается в требовании достижения минимаксной погрешности ${{I}^{0}}({{\Delta }^{0}})$ = $ = {{\max }_{{\varphi ,\,y}}}\left| {\theta (x*,y,\varphi ,{{\Delta }^{0}}) - f(y,\varphi )} \right|$ аппроксимации f(y, φ) на всей пространственно-временнóй области Ω. В связи со сложным многоэкстремальным характером зависимости $\theta (x*,y,\varphi ,{{\Delta }^{0}}) - f(y,\varphi )$ от искомого вектора параметров, пространственной координаты и времени в общем случае может возникать множество вариантов комбинаций расположения точек ${{z}^{0}} = ({{y}^{0}},{{\varphi }^{0}})$ с предельно допустимыми отклонениями I ⁰, соответствующих равенствам (15). Эти варианты различаются формой поверхности распределения $\theta (x*,y,\varphi ,{{\Delta }^{0}}) - f(y,\varphi )$ по переменным y и φ и координатами $({{y}^{0}},{{\varphi }^{0}})$ точек ${{z}^{0}}.$ Процедура опознавания точек z⁰ на плоскости (y,φ) и знаков предельных отклонений I ⁰ в этих точках на множестве возможных вариантов представляет основную сложность при решении двумерной задачи. Тем не менее в большинстве ситуаций, представляющих практический интерес, на основе физических закономерностей процесса теплопроводности возможно существенно уменьшить число претендентов на роль точек z⁰ альтернанса и среди оставшихся вариантов (если их количество больше одного), отвечающих системе равенств (15), выделить единственный вариант распределения $\theta (x*,y,\varphi ,{{\Delta }^{0}}) - f(y,\varphi ),$ обеспечивающий выполнение минимаксного соотношения (14).

С целью распространения результатов решения одномерных ОЗТ по идентификации сосредоточенного граничного воздействия q(φ) на двумерную область будем далее рассматривать конфигурацию поверхности температурной невязки как совокупность температурных кривых $\theta (x*,{{y}_{k}},\varphi ,{{\Delta }^{0}}) - f({{y}_{k}},\varphi ),$ $k = \overline {1,R} ,$ $\varphi \in \left[ {0,\varphi {\text{*}}} \right],$ характеризуемых предельно допустимыми отклонениями, достигаемыми на различных сечениях y_k = = const по объему тела ${{y}_{k}} \in \left[ {0,1} \right]$. При этом число точек альтернанса на совокупности зависимостей $\theta (x*,y,\varphi ,{{\Delta }^{0}}) - f(y,\varphi )$ во времени $\varphi \in \left[ {0,\varphi {\text{*}}} \right]$ соотносится с количеством искомых параметров оптимального управления, но достигаются они в точках с разными координатами y_k.

Методика решения двумерных граничных ОЗТ, основанная на минимаксной оптимизации погрешности аппроксимации наблюдаемого температурного поля, может быть сведена к следующей последовательности действий.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА

Решается последовательность задач полубесконечной оптимизации (14), ориентированных на выявление формы кривой $\theta (x*,y,\varphi ,{{\Delta }^{0}}) - f(y,\varphi )$ для различных значений N и M, поочередно возрастающих, начиная с N = M = 0. На каждом этапе система равенств (15) трансформируется в систему R расчетных соотношений

с R неизвестными: N + M + 1 параметрами оптимального управления ${{u}^{0}}(y,\varphi )$ и величиной минимакса $I_{{NM}}^{0}({{\Delta }^{0}}).$ Эта система фиксирует достижение предельно допустимых отклонений ±I⁰ в R точках. Для определения дополнительных неизвестных – координат внутренних, отличных от границ заданной области Ω, точек минимума или максимума поверхности $\theta (x*,y,\varphi ,{{\Delta }^{0}}) - f(y,\varphi ),$ – используются соотношения – условия существования экстремумов в этих точках по соответствующему временнóму или пространственному аргументу

Для каждого конкретного случая, заданного значениями N и M, проблема сводится к выбору соответствующей системы (16)–(18) и вычислению ее корней. При этом на первых этапах вычислительной процедуры могут использоваться аналогии с одномерными ситуациями, позволяющими конкретизировать расположение точек альтернанса и соответствующую расчетную систему уравнений. Например, результаты решения одномерных задач [11, 17] показывают, что первыми претендентами на роль точек альтернанса являются точки на границах ${{\left. {\partial \Omega } \right|}_{\begin{subarray}{l} 0 \leqslant y \leqslant 1,\varphi = \varphi * \\ y = 1,0 \leqslant \varphi \leqslant \varphi * \end{subarray} }}$ рассматриваемой пространственно-временнóй области. В двумерном случае, для демонстрируемого ниже примера, простейший случай N = M = 0, соответствующий постоянному управлению $u(y,\varphi ) = {{\tilde {\Delta }}_{0}},$ приводит к очевидному варианту формы разности $\theta (x*,y,\varphi ,{{\Delta }^{0}}) - f(y,\varphi )$ с двумя точками экстремума на сечениях $y_{1}^{0} = 1$ и $y_{2}^{0} = 0$ в моменты времени $\varphi _{1}^{0} = \varphi {\text{*}}$ и $\varphi _{2}^{0} = \varphi _{{{\text{ex}}}}^{0}$ (рис. 1). При этом в точках $z_{1}^{0} = (y_{1}^{0},\varphi _{1}^{0})$ и $z_{2}^{0} = (y_{2}^{0},\varphi _{2}^{0})$ достигаются соответственно максимальное и минимальное значения температурной невязки, что согласуется с законом знакочередования предельных отклонений [14].

При увеличении значений N или M в расчетной конфигурации $\theta (x*,y,\varphi ,{{\Delta }^{0}}) - f(y,\varphi )$ появляются дополнительные точки с предельно допустимыми отклонениями ±I ⁰. По-прежнему, варианты y⁰ = 1 или y ⁰ = 0, в том числе соответствующие расположению в “угловых” точках $({{y}^{0}} = 1,{{\varphi }^{0}} = \varphi {\text{*}})$ или $({{y}^{0}} = 0,{{\varphi }^{0}} = \varphi {\text{*}}),$ остаются первоочередными, но при этом предельно допустимые отклонения достигаются также во внутренних точках 0 < y⁰ < 1, число которых возрастает с увеличением порядков N и M. Ситуация усложняется тем, что для двумерной модели температурного поля в общем случае не выполняется правило знакочередования предельных температурных отклонений, которое существенно ограничивает число вариантов конфигурации $\theta (x*,y,\varphi ,{{\Delta }^{0}}) - f(y,\varphi ).$

Таким образом, число претендентов на роль точек z⁰ может оказаться больше их минимально необходимого количества, равного R, и заранее выявить конкретный, зависящий от исходных данных, вариант расположения точек альтернанса из всех возможных уже не удается.

В этом случае возможно применить специальным образом организованную вычислительную процедуру, подобную [14, 18], основанную на решении ряда задач оптимизации для возрастающих с достаточно малым шагом значений очередного N + 1-го или M + 1-го параметра относительно решенной на предыдущем шаге задачи, заданной N и M параметрами.

Пусть на очередном этапе найдено решение ${{\Delta }^{0}} = \left( {\tilde {\Delta }_{0}^{0},\tilde {\Delta }_{1}^{{y0}},...\tilde {\Delta }_{{N{\text{*}}}}^{{y0}},\tilde {\Delta }_{1}^{{\varphi 0}},...\tilde {\Delta }_{{M{\text{*}}}}^{{\varphi 0}}} \right)$ минимаксной задачи (14) в классе полиномиальных функций при N = = N*, M = M*. Конфигурация $\theta (x*,y,\varphi ,{{\Delta }^{0}}) - f(y,\varphi )$ характеризуется наличием N* + M* + 2 точек альтернанса. Пусть на следующем этапе увеличивается порядок аппроксимирующей функции u⁽²⁾(φ), т.е. N = N*, M = M* + 1, и искомый вектор параметров имеет вид ${{\Delta }^{0}} = \left( {\tilde {\Delta }_{0}^{0},\tilde {\Delta }_{1}^{{y0}},...\tilde {\Delta }_{{N{\text{*}}}}^{{y0}},\tilde {\Delta }_{1}^{{\varphi 0}},...\tilde {\Delta }_{{M*}}^{{\varphi 0}},\tilde {\Delta }_{{M* + 1}}^{{\varphi 0}}} \right).$ Решается задача оптимизации, заданная соответствующей системой расчетных уравнений (16)–(18), для ряда увеличивающихся с достаточно малым шагом значений $\tilde {\Delta }_{{M* + 1}}^{{\varphi 0}}$ до тех пор, пока абсолютное значение невязки температуры в какой-либо из вновь появляющихся точек экстремумов не сравняется со значениями невязки в других точках z⁰ и не станет равным $I_{{N*M* + 1}}^{0}({{\Delta }^{0}}).$ Такая ситуация соответствует наличию в форме $\theta (x*,y,\varphi ,{{\Delta }^{0}}) - f(y,\varphi ),$ $N{\text{*}} + M{\text{*}} + 3$ точек альтернанса. Начальные приближения для решения очередной задачи могут основываться на результатах решения расчетной системы на предыдущем шаге.

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ

Решение прямой задачи теплопроводности производилось на основе двумерной модели, найденной в результате последовательного применения двух конечных интегральных преобразований [19] по пространственным аргументам x и y с ядрами, равными собственным функциям $K({{\mu }_{m}}x) = \cos {{\mu }_{m}}x$ и $K{\text{*}}({{\lambda }_{n}}y) = \cos {{\lambda }_{n}}y,$ где $\mu _{m}^{2} = {{\pi }^{2}}{{m}^{2}},$ $m = 0,1,2...$ и $\lambda _{n}^{2} = {{\pi }^{2}}{{n}^{2}},$ $n = 0,1,2...$ – собственные числа, полученные на основе решения уравнений sin μ = 0 и sin λ = 0 соответственно. Расчетное температурное поле задается в виде двумерного бесконечного ряда относительно коэффициентов (временны́х мод) $\overline \theta ({{\mu }_{m}},{{\lambda }_{n}},\varphi )$ разложения θ(x, y, φ) по $K({{\mu }_{m}}x)$ и $K{\text{*}}({{\lambda }_{n}}y)$ [19]

где – изображение функции $q(y,\varphi ),$

Искомая функция $q{\text{*}}(y,\varphi ),$ согласно (6), представлена в виде

Соотношения (19)–(21) с учетом (22) приводят к выражению для температурного поля при $\alpha \ne 1,2,...$

где

На основе выражения (23) в результате проведения вычислительного эксперимента на интервале $\,\varphi \in \left[ {0,\varphi {\text{*}}} \right]$ в точках на линии $\left( {x = x*;\,\,y \in \left[ {0,1} \right]} \right)$ были получены двумерные температурные распределения $f(y,\varphi ) = \theta (x*,y,\varphi ),$ используемые как входная информация при решении обратной задачи.

Серия ОЗТ была решена для случая возрастающих значений N и M в классе $N = \overline {0,3} ,$ $M = \overline {0,3} .$ В общем случае при N = M = 3 искомое управление имеет вид

и определяется вектором параметров Δ = = $\left( {{{{\tilde {\Delta }}}_{0}},\tilde {\Delta }_{1}^{y},\tilde {\Delta }_{2}^{y},\tilde {\Delta }_{3}^{y},\tilde {\Delta }_{1}^{\varphi },\tilde {\Delta }_{2}^{\varphi },\tilde {\Delta }_{3}^{\varphi }} \right).$ Ситуации N < 3 или M < 3 можно рассматривать как “частные случаи” управления (24) при равных нулю соответствующих коэффициентах $\tilde {\Delta }_{i}^{y} = 0,_{{}}^{{}}i = \overline {N + 1,3} $ или $\tilde {\Delta }_{j}^{\varphi } = 0,$ $j = \overline {M + 1,3} .$

Параметризованная форма расчетного температурного поля имеет вид

где

Некоторые результаты решения соответствующих ОЗТ при $N = \overline {0,3} ,$ $M = \overline {0,3} $ приведены в таблице 1 и на рис. 1–4.

Как видно из представленных результатов, увеличение значений N и M приводит к уменьшению погрешности аппроксимации температурного поля, которая стремится к нулю при $N \to \infty $ и $M \to \infty .$

В подавляющем большинстве практических ситуаций на первых этапах вычислительной процедуры при малых значениях N и M величина $I_{{}}^{0}({{\Delta }^{0}})$ и соответствующее значение ошибки ${{\max }_{{y,\varphi }}}\left| {u\left( {y,\varphi ,{{\Delta }^{0}}} \right) - q{\text{*}}(y,\varphi )} \right|$ идентификации управляющего воздействия значительно превышают допустимую погрешность решения задачи. Эти этапы выполняются для того, чтобы получить решение, которое может служить начальным приближением на последующем шаге.

Например, в классе N = M = 0 постоянных управлений $u(y,\varphi ) = \tilde {\Delta }_{0}^{{}}$ конфигурация $\theta (x*,y,\varphi ,{{\Delta }^{0}})$ – ‒ $f(y,\varphi )$ характеризуется двумя точками $z_{j}^{0} = (y_{j}^{0},\varphi _{j}^{0}),j = 1,2$ с предельно допустимыми, противоположными по знаку, отклонениями $I_{{00}}^{0}({{\Delta }^{0}})$ (рис. 1) и задача (14) сводится к решению относительно единственного параметра управления $\tilde {\Delta }_{0}^{{}}$, величины $I_{{00}}^{0}$ и неизвестной координаты $\varphi _{{{\text{ex}}}}^{0}$ системы трех уравнений (система конкретизирована для рассматриваемого случая):

Далее с увеличением значений N и M в общем случае может возникать несколько вариантов конфигурации $\theta (x*,y,\varphi ,{{\Delta }^{0}}) - f(y,\varphi ),$ отвечающих системе (15). Для рассматриваемого примера (22), (23), (25) при N = M = 2 система расчетных уравнений, соответствующая конфигурации, представленной на рис. 2, имеет вид

При N = M = 3 количество сечений y_k, на которых достигаются предельно допустимые отклонения, опять увеличивается, что ведет к возрастанию числа вариантов конфигурации $\theta (x*,y,\varphi ,{{\Delta }^{0}}) - f(y,\varphi ).$ Результирующая система уравнений, обеспечивающая решение задачи (14), соответствует варианту, представленному на рис. 3, и имеет вид

Погрешность ${{\max }_{{y,\varphi }}}\left| {u\left( {y,\varphi ,{{\Delta }^{0}}} \right) - q{\text{*}}(y,\varphi )} \right|$ приближения идентифицируемой функции в общем случае убывает с ростом N и M, но их взаимосвязь имеет немонотонный характер. При практической реализации поочередное увеличение значений N и M заканчивается при выполнении на очередном l-м шаге неравенства $I_{l}^{0}(\Delta ) \leqslant {{\delta }_{1}}$ или $\left| {I_{l}^{0}(\Delta ) - I_{{l - 1}}^{0}(\Delta )} \right| \leqslant {{\delta }_{2}},$ где δ₁ и δ₂ задаются априори. Опыт решения конкретных задач показывает, что в большинстве ситуаций при ${{\delta }_{1}} \leqslant 1\% $ обеспечивается погрешность идентификации u(y, φ) до 10%, а при ${{\delta }_{1}} \leqslant 0.1\% $ – в пределах одного процента. Максимальные отклонения наблюдаются в “угловых” точках – в последний момент времени $({{y}^{0}} = 1,{{\varphi }^{0}} = \varphi *)$ или $({{y}^{0}} = 0,{{\varphi }^{0}} = \varphi {\text{*}})$ или в начале интервала идентификации $(y_{{}}^{0} = 1,{\text{ }}{{\varphi }^{0}} = 0)$.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложенный в работе метод решения ОЗТ на основе минимаксной оптимизации погрешности аппроксимации наблюдаемого температурного состояния позволяет получить приближенное аналитическое описание плотности теплового потока, зависящей от пространственной координаты и времени в виде произведения двух полиномиальных функций одной переменной.

Сужение класса искомых решений обеспечивает приведение исходной некорректно поставленной обратной задачи к задаче математического программирования, решение которой относительно параметров идентифицируемого воздействия осуществляется на основе специального метода, учитывающего альтернансные свойства оптимальных решений, и позволяет сохранить качественные особенности процессов с распределенными параметрами.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 18-08-00565).