Теоретические основы химической технологии, 2021, T. 55, № 4, стр. 539-544

ВВЕДЕНИЕ

Входными показателями непрерывного стационарного процесса получения молочной кислоты [1, 2] являются: S₀ – концентрация основного субстрата (непосредственно потребляемого микроорганизмами), г/л; M₀ – концентрация компонента сырья, воспроизводящего основной субстрат в процессе синтеза, г/л; D – величина протока ($D = {{v} \mathord{\left/ {\vphantom {{v} V}} \right. \kern-0em} V},$ где ${v}$ – объемная скорость через ферментер, л/ч; V – объем ферментера, л), ч^–1.

Величиной, характеризующей качество работы ферментера, является продуктивность по целевому продукту (молочной кислоте) Q_P, г/(л ч), (${{Q}_{P}} = DP,$ где P – концентрация продукта на выходе из аппарата, г/л).

В дальнейшем анализе использованы формулы (1)–(5), полученные по уравнениям математической модели [1, 2]:

Сформированы два варианта оценки областей реального осуществления технологического процесса. Для первого варианта область представлена зависимостью S₀ от D при M₀ = 0; для второго – M₀ от D при S₀ = 0. Ограничивающими показателями для обеих областей являются координаты точек, получивших название “особых” в [1, 2]. Особые точки для области первого варианта обозначим номерами 1, 2, 3, 4, 5; для второго – номерами 1′, 2′, 3′, 4′, 5′.

Положение особых точек для обоих вариантов, определяется величиной протока D, ч^–1.

В дальнейшем полагается, что константы в (1)–(5) известны для конкретного штамма микроорганизмов.

Границы формируемых областей для обоих вариантов определяются величиной протока для особых точек 1, 2, 5 и 1′, 2′, 5′, обеспечивающих условия реального осуществления технологии. Особая точка 5 и 5′ есть точка максимума Q_P, г/(л ч). Значение величины протока одинаково для точек 1 и 1′, одинаково для точек 2 и 2′, одинаково для точек 5 и 5′. Последовательность вычислений соответствующих значений D для особых точек 1, 2, 5 и 1′, 2′, 5′ полагает первоначальное решение задачи оценки D₅, доставляющей максимум Q_P по уравнению (5) при использовании (1). В результате получим пару значений:

Решается задача оценки D₁ и D₂ так же по уравнению (5) для условия Q_P < maxQ_P. Получаем значения (D₂ > D₁).

Таким образом, области обоих вариантов ограничены значениями D:

Для особых точек 1, 2, 5 и 1′, 2′, 5′ вычисляются значения S₀ области первого варианта и M₀ – области второго варианта:

В соотношениях (8) и (9) значения$S_{{\text{1}}}^{'}$ вычисляются по (3).

Результаты формируют область первого варианта решением (3) и (4) для D по (7), где

Область второго варианта формируется следующими уравнениями:

Особые точки 3 и 3′, 4 и 4′ дают ограничения по S₀, г/л для области первого варианта и по M₀, г/л для области второго варианта.

Значение $D = D_{{\text{3}}}^{{\text{1}}}$ для точки 3 доставляет максимум $S_{{\text{1}}}^{'}\left( D \right)$ по (3); значение $D = D_{{\text{4}}}^{{\text{1}}}$ для точки 4 доставляет минимум $S_{{\text{2}}}^{'}\left( D \right)$ по (4).

${{S}_{{\text{0}}}}\left( {D_{{\text{3}}}^{{\text{1}}}} \right)$ и ${{S}_{{\text{0}}}}\left( {D_{{\text{4}}}^{{\text{1}}}} \right)$ есть максимальное и минимальное значение S₀, соответственно, для принятого Q_P, г/(л ч).

Значение $D = D_{{\text{3}}}^{{\text{2}}}$ для точки 3′ доставляет максимум M₀ в соотношении

Значение $D = D_{4}^{2}$ для точки 4′ доставляет минимум M₀ в соотношении

${{M}_{{\text{0}}}}\left( {D_{{\text{3}}}^{{\text{2}}}} \right)$ и ${{M}_{{\text{0}}}}\left( {D_{{\text{4}}}^{{\text{2}}}} \right)$ есть максимальное и минимальное значение M₀, соответственно, для принятого Q_P, г/(л ч).

ОБОБЩЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОСТАВА ОСОБЫХ ТОЧЕК

Обобщенная формула для области первого варианта получена по публикации [2]:

(17)

$0 \leqslant S_{0}^{i} \leqslant S{\text{*}}.$

В зависимости от $S_{0}^{i}$ вычисляются соответствующие значения $M_{0}^{i}.$

Обозначения для (16): особая точка 1: $S* = {{S}_{0}}\left( {{{D}_{1}}} \right),$ $D* = {{D}_{1}};$ особая точка 2: $S* = {{S}_{0}}\left( {{{D}_{2}}} \right),$ $D* = {{D}_{2}};$ особая точка 3: $S* = {{S}_{0}}\left( {D_{3}^{1}} \right),$ $D* = D_{3}^{1};$ особая точка 4: $S* = {{S}_{0}}\left( {D_{4}^{1}} \right),$ $D* = D_{4}^{1};$ особая точка 5: $S* = {{S}_{0}}\left( {{{D}^{{{\text{opt}}}}}} \right),$ $D* = {{D}^{{{\text{opt}}}}}.$

Задавая значение $S_{0}^{i}$ по (17), вычисляют $M_{0}^{i}$ по каждой из особых точек. Таким образом, для каждой особой точки формируется множество, состоящее из пар значений $\left( {S_{0}^{i},M_{0}^{i}} \right).$ Состав множества имеет следующий вид:

где $S_{0}^{n} = S{\text{*}}$ для каждой особой точки.

Обобщенная формула для области второго варианта получена по [1]:

(20)

$0 \leqslant M_{0}^{i} \leqslant M{\text{**}}.$

В зависимости от $M_{0}^{i}$ вычисляются соответствующие значения $S_{0}^{i}.$

Обозначения для (19): особая точка 1′: M** = = M₀(D₁), $D{\text{**}} = {{D}_{1}};$ особая точка 2′: M** = M₀(D₂), D** = D₂; особая точка 3′: $M{\text{**}} = {{M}_{0}}\left( {D_{3}^{2}} \right),$ $D{\text{**}} = D_{3}^{2};$ особая точка 4′: $M{\text{**}} = {{M}_{0}}\left( {D_{4}^{2}} \right),$ $D{\text{**}} = D_{4}^{2};$ особая точка 5′: $M{\text{**}} = {{M}_{0}}\left( {{{D}^{{{\text{opt}}}}}} \right),$ $D{\text{**}} = {{D}^{{{\text{opt}}}}}.$

Задавая $M_{0}^{i}$ по (20) вычисляются значения $S_{0}^{i}$ по каждой особой точке. При задании $M_{0}^{i}$ по (20) формируется множество, состоящее из пар значений $\left( {M_{0}^{i},S_{0}^{i}} \right).$ Состав множества имеет следующий вид:

В вышеприведенном анализе координаты особых точек для области первого варианта вычисляются при условии M₀ = 0; для области второго варианта – S₀ = 0.

В реальной технологии в потоке может содержаться как основной субстрат, так и компонент, воспроизводящий основной субстрат. В связи с этим состав в особых точках может быть иным, при том, что компоненты состава взаимосвязаны соотношением (2).

Численный пример для особой точки 1 (первый вариант). $S_{0}^{n} = S* = 77.6$ г/л. Число значений $S_{0}^{i}$ в соответствии с (17) принято равным пяти: $S_{0}^{1} = 77.6;$ $S_{0}^{2} = 58.2;$ $S_{0}^{3} = 38.8;$ $S_{0}^{4} = 19.4;$ $S_{0}^{5} = 0.0.$ Состав множества имеет следующий вид:

Численный пример для особой точки 2′ (второй вариант). $M_{0}^{n} = M{\text{**}} = 349.16$ г/л. Значений $M_{0}^{i}$ в соответствии с (20) было принято равным пяти: $M_{0}^{1} = 349.1;$ $M_{0}^{2} = 261.87;$ $M_{0}^{3} = 174.58;$ $M_{0}^{4} = 87.29;$ $M_{0}^{5} = 0.0.$ Состав множества имеет следующий вид:

Численный расчет выполнен с использованием значений констант (табл. 1) [1, 2] для продуктивности Q_P = 6 г/(л ч).

ОБОБЩЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОСТАВА ПОСТУПАЮЩЕГО ПОТОКА НА ФЕРМЕНТАЦИЮ

В общем случае состав поступающего потока на ферментацию (кроме отдельных добавок) определяется концентрацией двух компонентов основного субстрата и компонента, воспроизводящего основной субстрат в процессе ферментации.

Условия рассмотрены общие для двух вариантов областей реализации технологического процесса:

Каждая из областей делится на три части, границы которых определяются координатами особых точек.

Оценка технологических показателей выполняется при задании S₀, г/л для области первого варианта и M₀, г/л для области второго варианта.

В каждой из частей обеих областей сформированы множества для вычисления показателей процесса. Обозначение частей и множеств приведено ниже.

Положение каждого из множеств $.$ определяется величиной протока D.

Формула для области первого варианта. Для каждого из множеств заданным является значение S₀, г/л согласно (25)–(27). По формуле вычисляются значения $M_{0}^{i}$ – элементы множества Мн, которые формируются по ${{D}^{i}}{\text{:}}$

Обозначения к (28):

Мн1: S₀ по (25); $D_{1}^{1} \leqslant {{D}^{i}} \leqslant D_{2}^{1},$ $D_{1}^{1}$ и $D_{2}^{1}$ по (3); $S_{{\text{1}}}^{'} = {{S}_{0}};$ $S{\kern 1pt} '\left( {{{D}^{i}}} \right) = S_{{\text{1}}}^{'}\left( {{{D}^{i}}} \right)$ по (3).

Мн1*: S₀ по (26); ${{D}_{1}} \leqslant {{D}^{i}} \leqslant D_{2}^{2},$ $D_{2}^{2}$ по (3); $S_{{\text{1}}}^{'} = {{S}_{0}};$ $S{\kern 1pt} '\left( {{{D}^{i}}} \right) = S_{{\text{1}}}^{'}\left( {{{D}^{i}}} \right)$ по (3).

Мн2*: S₀ по (26); ${{D}_{1}} \leqslant {{D}^{i}} \leqslant D_{2}^{1},$ $D_{2}^{1}$ по (4); $S_{{\text{2}}}^{'} = {{S}_{0}};$ $S{\kern 1pt} '\left( {{{D}^{i}}} \right) = S_{{\text{2}}}^{'}\left( {{{D}^{i}}} \right)$ по (4).

Мн1**: S₀ по (27); ${{D}_{1}} \leqslant {{D}^{i}} \leqslant {{D}_{2}},$ ${{D}_{1}}$ и ${{D}_{2}}$ по (5), (1); $S{\kern 1pt} '\left( {{{D}^{i}}} \right) = S_{{\text{1}}}^{'}\left( {{{D}^{i}}} \right)$ по (3).

Мн2**: S₀ по (27); ${{D}_{1}} \leqslant {{D}^{i}} \leqslant D_{3}^{1},$ ${{D}_{1}}$ по (5), (1); $D_{3}^{1}$ по (4), $S_{{\text{2}}}^{'} = {{S}_{0}};$ $S{\kern 1pt} '\left( {{{D}^{i}}} \right) = S_{{\text{2}}}^{'}\left( {{{D}^{i}}} \right)$ по (4).

Мн3**: S₀ по (27); $D_{3}^{2} \leqslant {{D}^{i}} \leqslant {{D}_{2}},$ ${{D}_{2}}$ по (5), (1); $D_{3}^{2}$ по (4), $S_{{\text{2}}}^{'} = {{S}_{0}};$ $S{\kern 1pt} '\left( {{{D}^{i}}} \right) = S_{{\text{2}}}^{'}\left( {{{D}^{i}}} \right)$ по (4).

Пример числового расчета компонентов множеств $M_{0}^{i}$ для Мн1 и Мн3**. В качестве исходных данных пользователь задает S₀ и ${{D}^{i}}$ в соответствии с ограничениями для Q_P = 6 г/(л ч) < max Q_P = = 8.1718 г/(л ч).

Мн1: S₀ = 91.93 г/л; $0.1 \leqslant {{D}^{i}} \leqslant 0.2304,$ принято D¹ = 0.14 ч^–1, D² = 0.18 ч^–1, D³ = 0.22 ч^–1. Получили по (28): $M_{0}^{1} = 256.24$ г/л, $M_{0}^{2} = 208.35$ г/л, $M_{0}^{3} = 51.49$ г/л.

Мн3**: S₀ = 30 г/л; $0.30 \leqslant {{D}^{i}} \leqslant 0.3107,$ принято D¹ = 0.3025 ч^–1, D² = 0.305 ч^–1, D³ = 0.3075 ч^–1. Получили по (28): $M_{0}^{1} = 4.04$ г/л, $M_{0}^{2} = 10.618$ г/л, $M_{0}^{3} = 17.693$ г/л.

Формула для области второго варианта. Для каждого из множеств заданным является значение M₀, г/л согласно (25)–(27). По формуле вычисляются значения $S_{0}^{i}$ – элементы множества Мн, которые формируются по ${{D}^{i}}{\text{:}}$

Обозначения к (29):

Мн1₁: M₀ по (25); $D_{1}^{1} \leqslant {{D}^{i}} \leqslant D_{1}^{2},$ где $D_{1}^{1}$ и $D_{1}^{2}$ по решению $S_{{\text{1}}}^{'}\left( D \right) - \frac{{{{k}_{M}}}}{{D + {{k}_{M}}}}{{M}_{0}} = 0;$ $S{\kern 1pt} '\left( D \right)$ по (3); $D_{1}^{1} < D_{1}^{2};$ $S{\kern 1pt} '\left( {{{D}^{i}}} \right) = S_{{\text{1}}}^{'}\left( {{{D}^{i}}} \right)$ по (3).

${\text{Мн}}1_{1}^{*}{\text{:}}$ M₀ по (26); $D_{2}^{1} \leqslant {{D}^{i}} \leqslant {{D}_{2}},$ ${{D}_{1}},$ ${{D}_{2}}$ по (5), ${{D}_{1}} < {{D}_{2}};$ $D_{2}^{1}$ по решению $S_{{\text{1}}}^{'}\left( D \right) - \frac{{{{k}_{M}}}}{{D + {{k}_{M}}}}{{M}_{0}} = 0;$ $S_{{\text{1}}}^{'}\left( D \right)$ по (3); $S{\kern 1pt} '\left( {{{D}^{i}}} \right) = S_{{\text{1}}}^{'}\left( {{{D}^{i}}} \right)$ по (3).

${\text{Мн2}}_{1}^{*}{\text{:}}$ M₀ по (26); $D_{2}^{2} \leqslant {{D}^{i}} \leqslant {{D}_{2}},$ ${{D}_{1}},$ ${{D}_{2}}$ по (5), ${{D}_{1}} < {{D}_{2}};$ $D_{2}^{2}$ по решению $S_{{\text{2}}}^{'}\left( D \right) - \frac{{{{k}_{M}}}}{{D + {{k}_{M}}}}{{M}_{0}} = 0;$ $S_{{\text{2}}}^{'}\left( D \right)$ по (4); $S{\kern 1pt} '\left( {{{D}^{i}}} \right) = S_{{\text{2}}}^{'}\left( {{{D}^{i}}} \right)$ по (4).

${\text{Мн}}1_{1}^{{{\text{**}}}}{\text{:}}$ M₀ по (27); ${{D}_{1}} \leqslant {{D}^{i}} \leqslant {{D}_{2}},$ ${{D}_{1}},$ ${{D}_{2}}$ по (5), ${{D}_{1}} < {{D}_{2}};$ $S{\kern 1pt} '\left( {{{D}^{i}}} \right) = S_{{\text{2}}}^{'}\left( {{{D}^{i}}} \right)$ по (4).

${\text{Мн2}}_{1}^{{{\text{**}}}}{\text{:}}$ M₀ по (27); ${{D}_{1}} \leqslant {{D}^{i}} \leqslant D_{3}^{1};$ ${{D}_{1}},$ ${{D}_{2}}$ по (5), ${{D}_{1}} < {{D}_{2}};$ $D_{3}^{1},$ $D_{3}^{2}$ по решению $S_{2}^{'}(D)$ – $\frac{{{{k}_{M}}}}{{D + {{k}_{M}}}}{{M}_{0}} = 0;$ $D_{3}^{1} < D_{3}^{2};$ $S{\kern 1pt} '\left( {{{D}^{i}}} \right) = S_{{\text{2}}}^{'}\left( {{{D}^{i}}} \right)$ по (4).

${\text{Мн3}}_{1}^{{{\text{**}}}}{\text{:}}$ M₀ по (27); $D_{3}^{2} \leqslant {{D}^{i}} \leqslant {{D}_{2}};$ ${{D}_{1}},$ ${{D}_{2}}$ по (5), ${{D}_{1}} < {{D}_{2}};$ $D_{3}^{1},$ $D_{3}^{2}$ по решению $S_{2}^{'}(D)$ –$\frac{{{{k}_{M}}}}{{D + {{k}_{M}}}}{{M}_{0}} = 0;$ $D_{3}^{2} < D_{3}^{1};$ $S{\kern 1pt} '\left( {{{D}^{i}}} \right) = S_{{\text{2}}}^{'}\left( {{{D}^{i}}} \right)$ по (4).

Пример числового расчет компонент множеств $S_{0}^{i}$ для ${\text{Мн}}{{1}_{1}}$ и ${\text{Мн}}1_{1}^{*}.$ Пользователь задает M₀ и значения ${{D}^{i}}$для Q_P = 6 г/(л ч) < max Q_P = 8.1718 г/(л ч).

${\text{Мн}}{{1}_{1}}{\text{:}}$ M₀ = 670 г/л по неравенству (25): $349.16 \leqslant {{M}_{0}} \leqslant 773.1;$ $D_{1}^{1} = 0.13$ ч^–1, $D_{1}^{2} = 0.241$ ч^–1 по решению уравнения $S_{{\text{1}}}^{'}\left( D \right) - \frac{{{{k}_{M}}}}{{D + {{k}_{M}}}}{{M}_{0}} = 0.$ Формирование множества принято из трех элементов по ${{D}^{i}}{\text{:}}$ D¹ = 0.15 ч^–1, D² = 0.19 ч^–1, D³ = 0.23 ч^–1. Значения $S{\kern 1pt} '\left( {{{D}^{i}}} \right){\text{:}}$ $S{\kern 1pt} '\left( {{{D}^{1}}} \right) = 141.16$ г/л; S'(D²) = = 119.37 г/л; $S{\kern 1pt} '\left( {{{D}^{3}}} \right) = 92.24$ г/л. Компоненты множества: $S_{0}^{1} = 14.4$ г/л, $S_{0}^{2} = 15.15$ г/л, $S_{0}^{3} = 3.75$ г/л.

${\text{Мн}}1_{1}^{*}{\text{:}}$ M₀ = 321.2 г/л по неравенству (26): 295.28 ≤ ≤ M₀ ≤ 349.16; $D_{2}^{1} = 0.09865$ ч^–1, D₂ = 0.3107 ч^–1; $D_{2}^{1}$ по решению уравнения $S_{{\text{1}}}^{'}\left( D \right) - \frac{{{{k}_{M}}}}{{D + {{k}_{M}}}}{{M}_{0}} = 0;$ ${{D}_{2}}$ по (5). Формирование множества принято из трех элементов по ${{D}^{i}}{\text{:}}$ D¹ = 0.11 ч^–1, D² = 0.12 ч^–1, D³ = 0.13 ч^–1. Значения $S{\kern 1pt} '\left( {{{D}^{i}}} \right){\text{:}}$ $S{\kern 1pt} '\left( {{{D}^{1}}} \right) = 122.03$ г/л; $S{\kern 1pt} '\left( {{{D}^{2}}} \right) = 136.14$ г/л; $S{\kern 1pt} '\left( {{{D}^{3}}} \right) = 142.13$ г/л. Компоненты множества: $S_{0}^{1} = 44.55$ г/л, $S_{0}^{2} = 63.63$ г/л, $S_{0}^{3} = 74.0$ г/л.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведены обобщенные соотношения, по которым пользователь имеет возможность оценить множества показателей для “особых” точек, обеспечивающие реальные ограничения в создании технологического процесса. Приведены также обобщенные соотношения, позволяющие производить расчет технологических показателей потока, поступающего на синтез молочной кислоты по заданному значению продуктивности, что дает возможность оценить влияние начальных значений S₀ и M₀, обеспечивающих реальные условия синтеза.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РХТУ им. Д.И. Менделеева.

ОБОЗНАЧЕНИЯ

ИНДЕКСЫ