Теоретические основы химической технологии, 2023, T. 57, № 4, стр. 408-411

ВВЕДЕНИЕ

В расчетах аппаратуры процессов со взвешенным слоем безразмерная приведенная скорость жидкости (отношение приведенной скорости жидкости к скорости витания) в однородном псевдоожиженном слое сферических и несферических частиц в автомодельной области движения (Re > 500) определяется по эмпирическим степенным зависимостям от порозности слоя полученным экспериментальным путем без теоретических предпосылок [1]. Безразмерная скорость стесненного осаждения сферических частиц (отношение скорости стесненного движения к скорости одиночной частицы)в поле силы тяжести в силу аналогии осаждения и псевдоожижения может определяться по тем же степенным зависимостям от порозности.

Целью данной работы является определение безразмерных скоростей в процессах осаждения и псевдоожижения в автомодельной области полуэмпирическим путем, основанным на уравнении гидродинамики внешней задачи определяющего силу сопротивления при движении частицы в жидкости.

СКОРОСТЬ ОСАЖДЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ

Получим в общем виде безразмерную скорость осаждения на основе баланса сил. При свободном осаждении сферической частицы равновесие сил приводит к следующему уравнению:

При составлении баланса сил для стесненного осаждения примем следующие допущения:

1) порозность равномерно распределена по слою дисперсных частиц;

2) сопротивление, испытываемое группой частиц равно сумме сопротивлений, рассчитанных для каждой частицы подобным методом, как и для одиночной частицы. При этом коэффициент сопротивления ${{\xi }_{0}}$ заменяется на ${{\xi }_{{{\text{ст}}}}}$, учитывающий изменение поля скоростей и давлений, а также столкновение частиц при стесненном движении. Скорость движения частицы относительно стенок аппарата w₀ заменяется на относительную скорость фаз w_от;

3) выталкивающая сила Архимеда становится пропорциональной плотности слоя, а не плотности сплошной фазы как в случае одиночной частицы.

Из второго и третьего допущений получим баланс сил для каждой частицы слоя:

Относительная скорость фаз может быть выражена через скорость движения частиц относительно стенок аппарата и порозность:

Разницу плотностей частиц и слоя можно представить следующим образом:

Из уравнений (2)–(4) получим:

Почленное деление уравнений (1) и (5) приводит к следующему выражению для безразмерной скорости стесненного осаждения:

Эмпирическая зависимость, связывающая безразмерную приведенную скорость жидкости в однородном псевдоожиженном слое с порозностью в автомодельной области, имеет следующий вид [1]:

В силу аналогии однородного псевдожижения и осаждения эта зависимость сохраняется и для безразмерной скорости осаждения:

Ввиду того, что коэффициент сопротивления для одиночной частицы (${{\xi }_{0}}$) применяется в расчетах постоянной величиной (в интервале 0.43–0.5), коэффициент сопротивления при осаждении в стесненных условиях согласно уравнениям (6) и (8) должен выражаться следующим образом:

Полученное выражение для коэффициента сопротивления при движении в стесненных условиях очевидно справедливо лишь при равномерном распределении порозности в слое осаждающихся частиц (первое допущение). Поскольку есть многочисленные данные о том, что при осаждении, всплытии пузырьков и псевдоожижении наблюдается групповое движение частиц дисперсной фазы [1–6], причем локальная объемная доля дисперсных частиц в группах (φ_лок) превышает среднюю по слою долю (φ), а локальная порозность соответственно меньше средней, уравнения (6) и (9) для группового движения неприменимы.

По данным работы [3] среднее соотношение локальной и средней доли твердых частиц (В) при осаждении в интервале значений φ (0–0.6) составляет 1.14. Принимая приближенно среднее соотношение локальной и средней доли твердой фазы постоянным для всех величин порозности, получим выражение для локальной порозности в осаждающихся группах частиц.

Для группового осаждения частиц уравнение (6) сохраняет свой вид при замене средней порозности на локальную. В связи с этим возникает необходимость найти зависимость ξ_ст от локальной порозности. Поскольку общие закономерности осаждения в слое немного более концентрированным по твердой фазе не претерпят сильных изменений, можно предположить, что зависимость ξ_ст от локальной порозности также имеет вид степенной функции:

Уравнение (11) также как уравнение (9) соответствуют граничному условию при переходе от стесненного осаждения к свободному: ξ_ст = ξ₀ при ε = ε_лок = 1.

Показатель степени n в уравнении (11) можно найти по методу наименьших квадратов:

Решением уравнения (12) относительно В при различных значениях показателя степени n позволило найти величину n равной единице при условии равенства значения В (с небольшим приближением) ранее найденному соотношению локальной и средней доли твердой фазы (В = 1.14).

Таким образом, из уравнения (6), где средняя порозность заменяется на локальную, а также уравнений (8), (12) получен следующий результат: безразмерная скорость осаждения сферических частиц в автомодельной области равна локальной порозности в квадрате:

Ввиду того, что уравнение (13) получено при приближенном равенстве отношений локальной доли твердой фазы к средней, полученных из уравнения (12), а также с учетом допущения о выражении коэффициента сопротивления ξ_ст в виде степенной функции от локальной порозности, было проведено сравнение величин безразмерных скоростей осаждения рассчитанных по уравнению (13) и уравнению (8) полученному обработкой экспериментальных данных. Результаты сравнительных расчетов приведены в табл. 1. Коэффициенты детерминации, найденные при сравнении расчетов по уравнениям (8) и (13) составляют 0.9997.

СКОРОСТЬ ОСАЖДЕНИЯ НЕСФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ

В силу аналогии осаждения и псевдоожижения при равномерном распределении порозности в слое безразмерную скорость осаждения частиц цилиндрической и кубической формы в автомодельной области можно определить по степенной зависимости, полученной для процесса псевдоожижения [1]:

Показатель степени m определяется по следующей формуле:

где d_s – диаметр сферы с поверхностью равной поверхности несферической частицы; d_p – диаметр круга, равного по площади миделевому сечению частицы.

Уравнение (13) полученное для сферических частиц, может быть использовано и для несферических (кубических и цилиндрических) при условии равенства коэффициентов формы (отношений скорости осаждения несферических и сферических частиц для свободного и стесненного осаждения). В этом случае при почленном делении уравнений (1) и (5) получится тоже уравнение (6). Кроме того, необходимо, чтобы коэффициент В оставался прежним (1.14). Эти условия достаточно хорошо выполняются для цилиндрических частиц при соотношениях длины и диаметра больше двух. Результаты безразмерных скоростей, рассчитанных по уравнениям (13) и (14) при этом условии достаточно близки (коэффициенты детерминации составляют 0.9996–0.9998).

В случае кубических частиц величина В, характеризующая объединение частиц в группы должна быть больше 1.14, так как при столкновении частиц кубической формы возможно их объединение по плоскостям граней, поэтому коэффициент 1.14 для этого случая в уравнении (13) заменен на 1.16. Таким образом, для кубических частиц предлагается следующее выражение:

Сравнению безразмерных скоростей, определенных по уравнениям (14) и (16) соответствует коэффициент детерминации 0.9996.

Исходя из вышеизложенного, безразмерные скорости частиц при осаждении и жидкости при псевдоожижении могут быть определены по уравнению:

где В = 1.14 для сферических и цилиндрических частиц при указанных выше соотношениях L/d; В = 1.16 для кубических частиц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

С учетом неравномерного распределения порозности в слое осаждающихся и псевдоожиженных частиц, безразмерная скорость стесненного осаждения и безразмерная приведенная скорость жидкости при псевдоожижении могут быть приравнены локальной порозности в квадрате. Такая полуэмпирическая зависимость найдена для сферических, кубических и цилиндрических частиц.

ОБОЗНАЧЕНИЯ