Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 4, стр. 587-596

Существование решения обратной коэффициентной задачи для квазилинейного гиперболического уравнения

А. М. Денисов^*

МГУ
119992 Москва, Ленинские горы, Россия

Поступила в редакцию 10.10.2018
После доработки 14.11.2018
Принята к публикации 14.11.2018

DOI: 10.1134/S0044466919040021

Аннотация

Рассматривается задача с данными на характеристиках для квазилинейного гиперболического уравнения. Ставится обратная задача, состоящая в определении неизвестного коэффициента уравнения, зависящего от его решения. В качестве дополнительной информации для решения обратной задачи задаются значения решения задачи с данными на характеристиках при фиксированном значении одной из независимых переменных. Доказывается теорема существования решения обратной задачи. Доказательство основано на выводе нелинейного операторного уравнения для неизвестного коэффициента и доказательстве его разрешимости. Библ. 15.

Ключевые слова: квазилинейное гиперболическое уравнение, задача с данными на характеристиках, обратная задача, теорема существования, нелинейное операторное уравнение.

1. ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим следующую задачу для функции $u(x,t)$:

(1.1)

${{u}_{{xt}}} + a{{u}_{t}} + b(u){{u}_{x}} = 0,\quad (x,t) \in {{Q}_{T}},$

(1.2)

$u(0,t) = f(t),\quad 0 \leqslant t \leqslant T,$

(1.3)

$u(x,0) = 0,\quad 0 \leqslant x \leqslant l,$

где ${{Q}_{\tau }} = \{ (x,t):0 \leqslant x \leqslant l,\;0 \leqslant t \leqslant \tau \} ,$ $a$ – положительная постоянная.

Задача (1.1)–(1.3) представляет собой задачу с данными на характеристиках для квазилинейного гиперболического уравнения (1.1). Сформулируем утверждение о существовании и единственности ее решения.

Лемма 1. Предположим, что функции $b(s)$ и $f(t)$ удовлетворяют следующим условиям:

(1.4)

$b \in {{C}^{1}}(R),\quad 0 < b(s) \leqslant {{b}_{{00}}},\quad \left| {b{\kern 1pt} '(s)} \right| \leqslant {{b}_{{01}}},\quad s \in R,$

(1.5)

$f \in {{C}^{1}}[0,T],\quad f(0) = 0,$

где ${{b}_{{00}}}$ и ${{b}_{{01}}}$ – положительные постоянные. Тогда существует единственная функция $u(x,t)$ такая, что $u,{{u}_{x}},{{u}_{t}},{{u}_{{xt}}} \in C({{Q}_{T}})$ и $u(x,t)$ удовлетворяет уравнению (1.1) и условиям (1.2), (1.3).

Сформулируем обратную задачу. Пусть число $a$ и функция $f(t)$ заданы, а функция $b(s)$ неизвестна. Требуется определить $b(s)$, если задана дополнительная информация о решении задачи (1.1)–(1.3)

$u(l,t) = g(t),\quad 0 \leqslant t \leqslant T,$

где $g(t)$ – заданная функция.

Дадим определение решения обратной задачи для $s \in [0,f({{t}_{0}})]$, где ${{t}_{0}} \in (0,T]$.

Определение. Функция $b(s)$ называется решением обратной задачи для $s \in [0,f({{t}_{0}})]$, если $b \in {{C}^{1}}(R) \cap {{C}^{2}}[0,f({{t}_{0}})]$, $b(s)$ удовлетворяет условиям (1.4), $b{\kern 1pt} ''(s)$ удовлетворяет условию Липшица на отрезке $[0,f({{t}_{0}})]$ и соответствующее ей решение задачи (1.1)–(1.3) таково, что

(1.6)

$u(l,t) = g(t),\quad 0 \leqslant t \leqslant {{t}_{0}}.$

Основным результатом этой работы является локальная теорема существования решения обратной задачи.

Теорема. Пусть функции $f(t)$ и $g(t)$ таковы, что: $f,g \in {{C}^{4}}[0,T]$, $f{\kern 1pt} ''''(t)$, $g{\kern 1pt} ''''(t)$ удовлетворяют условию Липшица на отрезке $[0,T]$, $f(0) = 0,\;f{\kern 1pt} '(t) > 0,\;t \in [0,T]$, и

(1.7)

$g(0) = 0,\quad g{\kern 1pt} '(0) = f{\kern 1pt} '(0){{e}^{{ - al}}},\quad g{\kern 1pt} ''(0) > f{\kern 1pt} ''(0){{e}^{{ - al}}}.$

Тогда существуют число ${{t}_{0}} \in (0,T]$ и функция $b(s)$, являющаяся решением обратной задачи для $s \in [0,f({{t}_{0}})]$.

Исследованию обратных задач для гиперболических уравнений посвящено большое количество работ (см., например, [1]–[6] и приведенные в них списки литературы). Обратные задачи для квазилинейных гиперболических уравнений изучались в работах [7]–[13].

2. СВОЙСТВА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (1.1)–(1.3)

В этом разделе мы установим некоторые свойства решения задачи (1.1)–(1.3). Начнем с доказательства леммы 1. Оно проводится стандартным образом (см., например, [14], [15]) однако, в процессе доказательства будут выведены интегральные уравнения, которые будут использованы в дальнейшем.

Доказательство леммы 1. Предположим, что существует функция $u(x,t)$ такая, что $u,{{u}_{x}},{{u}_{t}},{{u}_{{xt}}} \in C({{Q}_{T}})$ и $u(x,t)$ удовлетворяет уравнению (1.1) и условиям (1.2), (1.3).

Интегрируя уравнение (1.1) с начальным условием ${{u}_{x}}(x,0) = 0$, получаем

(2.1)

${{u}_{x}}(x,t) = - a\int\limits_0^t exp\left\{ { - \int\limits_\tau ^t \,b(u(x,\theta ))d\theta } \right\}{{u}_{t}}(x,\tau )d\tau ,\quad (x,t) \in {{Q}_{T}}.$

Используя формулу интегрирования по частям и условие (1.3), преобразуем это уравнение к виду

${{u}_{x}}(x,t) + au(x,t) = a\int\limits_0^t exp\left\{ { - \int\limits_\tau ^t \,b(u(x,\theta ))d\theta } \right\}b(u(x,\tau ))u(x,\tau )d\tau ,\quad (x,t) \in {{Q}_{T}}.$

Интегрируя это уравнение с условием (1.2), получаем нелинейное интегральное уравнение для функции $u(x,t)$:

(2.2)

$\begin{gathered} u(x,t) = f(t){{e}^{{ - ax}}} + a\int\limits_0^x \int\limits_0^t exp\left\{ { - a(x - z) - \int\limits_\tau ^t \,b(u(z,\theta ))d\theta } \right\} \times \\ \times \;b(u(z,\tau ))u(z,\tau )d\tau dz,\quad (x,t) \in {{Q}_{T}}. \\ \end{gathered} $

Следовательно, если функция $u(x,t)$ является решением задачи (1.1)–(1.3), то она удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению (2.2).

Справедливо и обратное утверждение. Пусть функция $u(x,t)$ является непрерывным решением уравнения (2.2). Тогда из этого уравнения и условий леммы 1 следует, что ${{u}_{x}},{{u}_{t}},{{u}_{{xt}}} \in C({{Q}_{T}})$ и $u(x,t)$ является решением задачи (1.1)–(1.3). Таким образом, интегральное уравнение (2.2) эквивалентно задаче (1.1)–(1.3). Следовательно, для доказательства существования и единственности решения задачи (1.1)–(1.3) достаточно доказать существование и единственность непрерывного решения нелинейного интегрального уравнения (2.2). Существование решения этого уравнения следует из равномерной ограниченности и равномерной сходимости последовательности функций ${{u}_{n}}(x,t)$, определяемых итерационным процессом

$\begin{gathered} {{u}_{{n + 1}}}(x,t) = f(t){{e}^{{ - ax}}} + a\int\limits_0^x \int\limits_0^t exp\left\{ { - a(x - z) - \int\limits_\tau ^t \,b({{u}_{n}}(z,\theta ))d\theta } \right\} \times \\ \times \;b({{u}_{n}}(z,\tau )){{u}_{n}}(z,\tau )d\tau dz,\quad n = 0,1\;...,\quad {{u}_{0}}(x,t) = 0,\quad (x,t) \in {{Q}_{T}}. \\ \end{gathered} $

Единственность непрерывного решения уравнения (2.2) следует из леммы Гронуолла. Таким образом, лемма 1 доказана.

Пусть ${{t}_{0}}$ – произвольное число такое, что ${{t}_{0}} \in (0,T]$.

Лемма 2. Предположим, что для функций $b(s)$ и $f(t)$ выполнены условия (1.4) и (1.5) соответственно. Тогда если $b \in {{C}^{2}}[0,f({{t}_{0}})]$ и $b{\kern 1pt} ''(s)$ удовлетворяет условию Липшица на отрезке $[0,f({{t}_{0}})]$, а $f \in {{C}^{3}}[0,{{t}_{0}}],\;f{\kern 1pt} '(t) > 0,\;t \in [0,{{t}_{0}}]$, и $f{\kern 1pt} '''(t)$ удовлетворяет условию Липшица на отрезке $[0,{{t}_{0}}]$, то решение задачи (1.1)–(1.3), т.е. функция $u(x,t)$ такова, что $u \in {{C}^{3}}({{Q}_{{{{t}_{0}}}}})$ и ${{u}_{{ttt}}}(x,t)$ удовлетворяет в ${{Q}_{{{{t}_{0}}}}}$ условию Липшица по переменной $t$. Кроме того,

(2.3)

${{u}_{t}}(x,t) > 0,\quad (x,t) \in {{Q}_{{{{t}_{0}}}}},\quad {{u}_{x}}(x,t) < 0,\quad 0 \leqslant x \leqslant l,\quad 0 < t \leqslant {{t}_{0}},$

(2.4)

$0 \leqslant u(x,t) \leqslant f({{t}_{0}}),\quad (x,t) \in {{Q}_{{{{t}_{0}}}}}.$

Доказательство. Так как условия леммы 1 выполнены, то существует единственная непрерывная функция $u(x,t)$, имеющая в ${{Q}_{T}}$ непрерывные производные ${{u}_{x}},{{u}_{t}},{{u}_{{xt}}}$ и удовлетворяющая уравнению (2.2). Из уравнений (1.1) и (2.1) следует, что производная ${{u}_{t}}(x,t)$ является решением уравнения

${{u}_{{xt}}} + a{{u}_{t}} = b(u)a\int\limits_0^t exp\left\{ { - \int\limits_\tau ^t \,b(u(x,\theta ))d\theta } \right\}{{u}_{t}}(x,\tau )d\tau ,\quad (x,t) \in {{Q}_{{{{t}_{0}}}}}.$

Интегрируя это уравнение с условием ${{u}_{t}}(0,t) = f{\kern 1pt} '(t)$, имеем

(2.5)

$\begin{gathered} {{u}_{t}}(x,t) = f{\kern 1pt} '(t){{e}^{{ - ax}}} + a\int\limits_0^x \,{{e}^{{ - a(x - z)}}}b(u(z,t)) \times \\ \times \;\int\limits_0^t exp\left\{ { - \int\limits_\tau ^t \,b(u(z,\theta ))d\theta } \right\}{{u}_{t}}(z,\tau )d\tau dz,\quad (x,t) \in {{Q}_{{{{t}_{0}}}}}. \\ \end{gathered} $

Из уравнения (2.5) и условий леммы следует, что ${{u}_{t}}(x,t) > 0$ в ${{Q}_{{{{t}_{0}}}}}$. Тогда из уравнения (2.1) получим, что ${{u}_{x}}(x,t) < 0$ при $0 \leqslant x \leqslant l$, $0 < t \leqslant {{t}_{0}}$ и неравенства (2.3) доказаны. Неравенство (2.4) является следствием неравенств (2.3).

Из неравенства (2.4) следует, что решение задачи (1.1)–(1.3) на множестве ${{Q}_{{{{t}_{0}}}}}$ однозначно определяется значениями функций $f(t)$ на отрезке $[0,{{t}_{0}}]$ и функции $b(s)$ на отрезке $[0,f({{t}_{0}})]$.

Рассмотрим функцию $u(x,t)$ на множестве ${{Q}_{{{{t}_{0}}}}}$. Так как $b \in {{C}^{2}}[0,f({{t}_{0}})]$ и $b{\kern 1pt} ''(s)$ удовлетворяет условию Липшица на отрезке $[0,f({{t}_{0}})]$, а $f \in {{C}^{3}}[0,{{t}_{0}}]$ и $f{\kern 1pt} '''(t)$ удовлетворяет условию Липшица на отрезке $[0,{{t}_{0}}]$, то из уравнения (2.2) следует, что $u \in {{C}^{3}}({{Q}_{{{{t}_{0}}}}})$ и ${{u}_{{ttt}}}(x,t)$ удовлетворяет в ${{Q}_{{{{t}_{0}}}}}$ условию Липшица по переменной $t$. Лемма 2 доказана.

Рассмотрим вопрос о коэффициентной устойчивости решения задачи (1.1)–(1.3) на специальном множестве функций $b(s)$.

Введем множество

${{K}_{{{{t}_{0}}}}} = \{ k \in C[0,f({{t}_{0}})],\;k(0) = {{k}_{0}},\;{\text{|}}k({{s}_{1}}) - k({{s}_{2}}){\text{|}} \leqslant L{\text{|}}{{s}_{1}} - {{s}_{2}}{\text{|}},\;\forall {{s}_{1}},{{s}_{2}} \in [0,f({{t}_{0}})]\} ,$

где ${{k}_{0}},L$ – постоянные, $L > 0$, ${{t}_{0}} \in (0,T]$.

Рассмотрим множество ${{B}_{{{{t}_{0}}}}}$ функций $b(s)$ таких, что они удовлетворяют условиям (1.4) и

(2.6)

$b(s) = {{b}_{0}} + {{b}_{1}}s + \int\limits_0^s \,(s - z)k(z)dz,\quad s \in [0,f({{t}_{0}})],$

где ${{b}_{0}}$ и ${{b}_{1}}$ – фиксированные постоянные, а $k(s)$ принадлежат множеству ${{K}_{{{{t}_{0}}}}}$.

Получим оценки устойчивости решения задачи (1.1)–(1.3) и его производных на множестве ${{B}_{{{{t}_{0}}}}}$.

Лемма 3. Пусть функция $f(t)$ удовлетворяет условиям леммы 2, а функции ${{b}_{1}}(s)$ и ${{b}_{2}}(s)$ принадлежат множеству ${{B}_{{{{t}_{0}}}}}$. Тогда если ${{u}_{i}}(x,t)$, $i = 1,2$ – решения задачи (1.1)–(1.3) с функциями ${{b}_{i}}(s)$ соответственно, то

(2.7)

${{\left\| {{{u}_{1}} - {{u}_{2}}} \right\|}_{{C({{Q}_{{{{t}_{0}}}}})}}} \leqslant {{c}_{1}}{{t}_{0}}{{\left\| {{{b}_{1}} - {{b}_{2}}} \right\|}_{{C[0,f({{t}_{0}})]}}},$

(2.8)

${{\left\| {{{{({{u}_{1}})}}_{t}} - {{{({{u}_{2}})}}_{t}}} \right\|}_{{C({{Q}_{{{{t}_{0}}}}})}}} \leqslant {{c}_{2}}{{t}_{0}}{{\left\| {{{b}_{1}} - {{b}_{2}}} \right\|}_{{C[0,f({{t}_{0}})]}}},$

(2.9)

${{\left\| {{{{({{u}_{1}})}}_{{tt}}} - {{{({{u}_{2}})}}_{{tt}}}} \right\|}_{{C({{Q}_{{{{t}_{0}}}}})}}} \leqslant {{c}_{3}}{{t}_{0}}{{\left\| {b_{1}^{'} - b_{2}^{'}} \right\|}_{{C[0,f({{t}_{0}})]}}},$

(2.10)

${{\left\| {{{{({{u}_{1}})}}_{{ttt}}} - {{{({{u}_{2}})}}_{{ttt}}}} \right\|}_{{C({{Q}_{{{{t}_{0}}}}})}}} \leqslant {{c}_{4}}{{t}_{0}}{{\left\| {b_{1}^{{''}} - b_{2}^{{''}}} \right\|}_{{C[0,f({{t}_{0}})]}}},$

где постоянные ${{c}_{m}}$, $m = 1,2,3,4$, не зависят от ${{t}_{0}}$ и функций ${{b}_{1}}(s)$, ${{b}_{2}}(s)$, принадлежащих множеству ${{B}_{{{{t}_{0}}}}}$.

Доказательство. Пусть $b(s)$ – произвольная функция из множества ${{B}_{{{{t}_{0}}}}}$. Из формулы (2.6) следует, что $b''(s) = k(s)$ для $s \in [0,f({{t}_{0}})]$. Принимая во внимание определение множества ${{K}_{{{{t}_{0}}}}}$, получим, что для любой функции $k(s)$ из этого множества справедлива оценка

(2.11)

${\text{|}}k(s){\text{|}} \leqslant {\text{|}}{{k}_{0}}{\text{|}} + Lf({{t}_{0}}),\quad s \in [0,f({{t}_{0}})].$

Учитывая формулу (2.6) и неравенство (2.11), получаем, что любая функция $b(s)$ из множества ${{B}_{{{{t}_{0}}}}}$ и ее производные ограничены так, что

(2.12)

${{\left\| b \right\|}_{{C[0,f({{t}_{0}})]}}} \leqslant {{c}_{5}},\quad {{\left\| {b{\kern 1pt} '{\kern 1pt} } \right\|}_{{C[0,f({{t}_{0}})]}}} \leqslant {{c}_{6}},\quad {{\left\| {b{\kern 1pt} ''{\kern 1pt} } \right\|}_{{C[0,f({{t}_{0}})]}}} \leqslant {{c}_{7}},$

где постоянные ${{c}_{5}},{{c}_{6}}$ и ${{c}_{7}}$ не зависят от $b(s)$.

Получим оценки для производных решения задачи (1.1)–(1.3) на множестве ${{Q}_{{{{t}_{0}}}}}$ равномерные относительно функций $b(s)$ из множества ${{B}_{{{{t}_{0}}}}}$.

Из уравнения (2.5) и неравенств (2.12) имеем

${\text{|}}{{u}_{t}}(x,t){\text{|}} \leqslant {{\left\| {f{\kern 1pt} '{\kern 1pt} } \right\|}_{{C[0,T]}}} + a{{c}_{5}}\int\limits_0^x \int\limits_0^t \,{\text{|}}{{u}_{t}}(z,\theta ){\text{|}}d\theta dz,\quad (x,t) \in {{Q}_{{{{t}_{0}}}}}.$

Из этого неравенства следует, что

(2.13)

${{\left\| {{{u}_{t}}} \right\|}_{{C({{Q}_{{{{t}_{0}}}}})}}} \leqslant {{c}_{8}}\quad \forall b \in {{B}_{{{{t}_{0}}}}}.$

Дифференцируя уравнение (2.5) по $t$, получаем

(2.14)

$\begin{gathered} {{u}_{{tt}}}(x,t) = f{\kern 1pt} ''(t){{e}^{{ - ax}}} + a\int\limits_0^x \,{{e}^{{ - a(x - z)}}}b{\kern 1pt} '(u(z,t)){{u}_{t}}(z,t) \times \int\limits_0^t exp\left\{ { - \int\limits_\tau ^t \,b(u(z,\theta ))d\theta } \right\}{{u}_{t}}(x,\tau )d\tau dz + \\ + \;a\int\limits_0^x \,{{e}^{{ - a(x - z)}}}b(u(z,t))\left[ {{{u}_{t}}(z,t) - \int\limits_0^t exp\left\{ { - \int\limits_\tau ^t \,b(u(z,\theta ))d\theta } \right\}b(u(z,t)){{u}_{t}}(z,\tau )d\tau } \right]dz,\quad (x,t) \in {{Q}_{{{{t}_{0}}}}}. \\ \end{gathered} $

Из формулы (2.14), неравенств (2.12) и (2.13) следует, что

(2.15)

${{\left\| {{{u}_{{tt}}}} \right\|}_{{C({{Q}_{{{{t}_{0}}}}})}}} \leqslant {{c}_{9}}\quad \forall b \in {{B}_{{{{t}_{0}}}}}.$

Аналогично, дифференцируя формулу (2.14) по $t$, используя неравенства (2.12), (2.13) и (2.15), имеем

(2.16)

${{\left\| {{{u}_{{ttt}}}} \right\|}_{{C({{Q}_{{{{t}_{0}}}}})}}} \leqslant {{c}_{{10}}}\quad \forall b \in {{B}_{{{{t}_{0}}}}}.$

Перейдем к доказательству оценок (2.7)–(2.10). Пусть функции ${{u}_{i}}(x,t)$, $i = 1,2$, являются решениями задачи (1.1)–(1.3) с функциями ${{b}_{i}}(s) \in {{B}_{{{{t}_{0}}}}}$. Тогда они удовлетворяют интегральным уравнениям, аналогичным уравнению (2.2)

$\begin{gathered} {{u}_{i}}(x,t) = f(t){{e}^{{ - ax}}} + a\int\limits_0^x \int\limits_0^t exp\left\{ { - a(x - z) - \int\limits_\tau ^t {{b}_{i}}({{u}_{i}}(z,\theta ))d\theta } \right\} \times \\ \times \;{{b}_{i}}({{u}_{i}}(z,\tau )){{u}_{i}}(z,\tau )d\tau dz,\quad (x,t) \in {{Q}_{{{{t}_{0}}}}}. \\ \end{gathered} $

Вычитая одно уравнение из другого и используя оценки (2.12), получаем неравенство

$\begin{gathered} {\text{|}}{{u}_{1}}(x,t) - {{u}_{2}}(x,t){\text{|}} \leqslant al{{t}_{0}}f({{t}_{0}})({{t}_{0}}{{c}_{5}} + 1){{\left\| {{{b}_{1}} - {{b}_{2}}} \right\|}_{{C[0,f({{t}_{0}})]}}} + a{{c}_{5}}{{c}_{6}}f({{t}_{0}})\int\limits_0^x \int\limits_0^t \int\limits_\tau ^t \,{\text{|}}{{u}_{1}}(z,\theta ) - {{u}_{1}}(z,\theta ){\text{|}}d\theta d\tau dz + \\ + \;a({{c}_{6}}f({{t}_{0}}) + {{c}_{5}})\int\limits_0^x \int\limits_0^t \,{\text{|}}{{u}_{1}}(z,\tau ) - {{u}_{1}}(z,\tau ){\text{|}}d\tau dz,\quad (x,t) \in {{Q}_{{{{t}_{0}}}}}, \\ \end{gathered} $

из которого следует оценка (2.7).

Докажем неравенство (2.8). Записывая уравнения (2.5) для функций ${{({{u}_{i}})}_{t}}(x,t)$, вычитая их одно из другого и используя оценки (2.12),(2.13), имеем

$\begin{gathered} {\text{|}}{{({{u}_{1}})}_{t}}(x,t) - {{({{u}_{2}})}_{t}}(x,t){\text{|}} \leqslant al{{t}_{0}}{{c}_{8}}(1 + {{c}_{5}}{{t}_{0}}){{\left\| {{{b}_{1}} - {{b}_{2}}} \right\|}_{{C[0,f({{t}_{0}})]}}} + al{{t}_{0}}{{c}_{6}}{{c}_{8}}(1 + {{c}_{5}}{{t}_{0}}){{\left\| {{{u}_{1}} - {{u}_{2}}} \right\|}_{{C({{Q}_{{{{t}_{0}}}}})}}} + \\ + \;a{{c}_{5}}\int\limits_0^x \int\limits_0^t \,{\text{|}}{{({{u}_{1}})}_{t}}(z,\tau ) - {{({{u}_{1}})}_{t}}(z,\tau ){\text{|}}d\tau dz,\quad (x,t) \in {{Q}_{{{{t}_{0}}}}}. \\ \end{gathered} $

Из этого неравенства и оценки (2.7) следует неравенство (2.8).

Рассмотрим вопрос о коэффициентной устойчивости производной ${{u}_{{tt}}}(x,t)$. Из формулы (2.14) следует, что эта производная выражается через функции $u(x,t),{{u}_{t}}(x,t),b(u(x,t))$ и $b{\kern 1pt} '(u(x,t))$. Используя эту формулу и оценки (2.7),(2.8),(2.12) и (2.13) выводим неравенство (2.9).

Дифференцируя равенство (2.14) по $t$, получаем формулу для производной ${{u}_{{ttt}}}(x,t)$. Используя эту формулу, оценки (2.7)–(2.9), (2.12),(2.13), (2.15) и условие Липшица для функций $b_{1}^{{''}}(s)$, $b_{2}^{{''}}(s)$, получаем оценку (2.10). Лемма 3 доказана.

3. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

Доказательство теоремы существования. Пусть функция $b(s)$ является решением обратной задачи для $s \in [0,f({{t}_{0}})]$. Из леммы 2 следует, что функция $u(x,t)$, являющаяся решением задачи (1.1)–(1.3) с этой функцией $b(s)$ такова, что $u \in {{C}^{3}}({{Q}_{{{{t}_{0}}}}})$.

Проинтегрировав уравнение (1.1) с условием ${{u}_{t}}(0,t) = f{\kern 1pt} '(t)$ , получим

(3.1)

${{u}_{t}}(x,t) = f{\kern 1pt} '(t){{e}^{{ - ax}}} - \int\limits_0^x \,{{e}^{{ - a(x - z)}}}b(u(z,t)){{u}_{z}}(z,t)dz,\quad (x,t) \in {{Q}_{{{{t}_{0}}}}}.$

Введя функцию

$q(s) = \int\limits_0^s \,b(\xi )d\xi ,$

перепишем уравнение (3.1) в виде

${{u}_{t}}(x,t) = f{\kern 1pt} '(t){{e}^{{ - ax}}} - \int\limits_0^x \,{{e}^{{ - a(x - z)}}}\frac{\partial }{{\partial z}}q(u(z,t))dz,\quad (x,t) \in {{Q}_{{{{t}_{0}}}}}.$

Интегрируя по частям, имеем

${{u}_{t}}(x,t) = f{\kern 1pt} '(t){{e}^{{ - ax}}} - q(u(x,t)) + {{e}^{{ - ax}}}q(u(0,t)) + a\int\limits_0^x \,{{e}^{{ - a(x - z)}}}q(u(z,t))dz,\quad (x,t) \in {{Q}_{{{{t}_{0}}}}}.$

Положив $x = l$ и использовав условия (1.2), (1.6), получим

$q(f(t)) = g{\kern 1pt} '(t){{e}^{{al}}} - f{\kern 1pt} '(t) + q(g(t))){{e}^{{al}}} - a\int\limits_0^l \,{{e}^{{az}}}q(u(z,t))dz,\quad 0 \leqslant t \leqslant {{t}_{0}}.$

Дифференцируя это равенство, имеем

(3.2)

$b(f(t))f{\kern 1pt} '(t) = g{\kern 1pt} ''(t){{e}^{{al}}} - f{\kern 1pt} ''(t) + b(g(t))g{\kern 1pt} '(t){{e}^{{al}}} - a\int\limits_0^l \,{{e}^{{az}}}b(u(z,t)){{u}_{t}}(z,t)dz,\quad 0 \leqslant t \leqslant {{t}_{0}}.$

Используя это уравнение, найдем значение функции $b(s)$ при $s = 0$. Полагая в уравнении (3.2) $t = 0$ и учитывая формулу ${{u}_{t}}(x,0) = f{\kern 1pt} '(0){{e}^{{ - ax}}}$, получаем $b(0)f{\kern 1pt} '(0) = g{\kern 1pt} ''(0){{e}^{{al}}} - f{\kern 1pt} ''(0)$ + $b(0)g{\kern 1pt} '(0){{e}^{{al}}}\; - $ $ - \;ab(0)f{\kern 1pt} '(0)l$. Принимая во внимание условие (1.7), имеем

(3.3)

$b(0) = (g{\kern 1pt} ''(0){{e}^{{al}}} - f{\kern 1pt} ''(0)){{(af{\kern 1pt} '(0)l)}^{{ - 1}}}.$

Дифференцируя уравнение (3.2), получаем

(3.4)

$\begin{gathered} b{\kern 1pt} '(f(t)){{(f{\kern 1pt} '(t))}^{2}} + b(f(t))f{\kern 1pt} ''(t) = g{\kern 1pt} '''(t){{e}^{{al}}} - f{\kern 1pt} '''(t) + b{\kern 1pt} '(g(t)){{(g{\kern 1pt} '(t))}^{2}}{{e}^{{al}}} + b(g(t))g{\kern 1pt} ''(t){{e}^{{al}}} - \\ - \;a\int\limits_0^l \,{{e}^{{az}}}b{\kern 1pt} '(u(z,t)){{({{u}_{t}}(z,t))}^{2}}dz - a\int\limits_0^l \,{{e}^{{az}}}b(u(z,t)){{u}_{{tt}}}(z,t)dz,\quad 0 \leqslant t \leqslant {{t}_{0}}. \\ \end{gathered} $

Используем это уравнение для определения значения $b'(0)$. Найдем сначала производную ${{u}_{{tt}}}(x,t)$ при $t = 0$. Так как из уравнения (1.1) и условий (1.2), (1.3) следует, что ${{u}_{{tt}}}(x,0)$ является решением задачи

${{u}_{{xtt}}}(x,0) + a{{u}_{{tt}}}(x,0) = ab(0)f{\kern 1pt} '(0){{e}^{{ - ax}}},\quad 0 \leqslant x \leqslant l,\quad {{u}_{{tt}}}(0,0) = f{\kern 1pt} ''(0),$

то

${{u}_{{tt}}}(x,0) = f{\kern 1pt} ''(0){{e}^{{ - ax}}} + ab(0)f{\kern 1pt} '(0){{e}^{{ - ax}}}x.$

Таким образом, значения производной ${{u}_{{tt}}}(x,0)$ определяются уже найденной величиной $b(0)$. Полагая $t = 0$ в уравнении (3.4), получаем уравнение для определения значения $b'(0)$

(3.5)

$\begin{gathered} b{\kern 1pt} '(0)\left[ {{{{(f{\kern 1pt} '(0))}}^{2}} - {{{(g{\kern 1pt} '(0))}}^{2}}{{e}^{{al}}} + a\int\limits_0^l \,{{{(f{\kern 1pt} '(0))}}^{2}}{{e}^{{ - az}}}dz} \right] = \\ = \;g{\kern 1pt} '''(0){{e}^{{al}}} - f{\kern 1pt} '''(0) + b(0)[g{\kern 1pt} ''(0){{e}^{{al}}} - f{\kern 1pt} ''(0)] - ab(0)\int\limits_0^l \,{{e}^{{az}}}{{u}_{{tt}}}(z,0)dz. \\ \end{gathered} $

Так как из условия (1.7) следует, что

${{(f{\kern 1pt} '(0))}^{2}} - {{(g{\kern 1pt} '(0))}^{2}}{{e}^{{al}}} + a\int\limits_0^l \,{{(f{\kern 1pt} '(0))}^{2}}{{e}^{{ - az}}}dz > 0,$

то из уравнения (3.5) величина $b{\kern 1pt} '(0)$ определяется однозначно.

Дифференцируя уравнение (3.4), имеем

(3.6)

$\begin{gathered} b{\kern 1pt} ''(f(t)){{(f{\kern 1pt} '(t))}^{3}} = - 3b{\kern 1pt} '(f(t))f{\kern 1pt} '(t)f{\kern 1pt} ''(t) - b(f(t))f{\kern 1pt} '''(t) + g{\kern 1pt} ''''(t){{e}^{{al}}} - f{\kern 1pt} ''''(t) + \\ + \;b{\kern 1pt} ''(g(t)){{(g{\kern 1pt} '(t))}^{3}}{{e}^{{al}}} + 3b{\kern 1pt} '(g(t))g{\kern 1pt} '(t)g{\kern 1pt} ''(t){{e}^{{al}}} + b(g(t))g{\kern 1pt} '''(t){{e}^{{al}}} - \\ - \;a\int\limits_0^l \,{{e}^{{az}}}b{\kern 1pt} ''(u(z,t)){{({{u}_{t}}(z,t))}^{3}}dz - 3a\int\limits_0^l \,{{e}^{{az}}}b{\kern 1pt} '(u(z,t)){{u}_{t}}(z,t){{u}_{{tt}}}(z,t)dz - a\int\limits_0^l \,{{e}^{{az}}}b(u(z,t)){{u}_{{ttt}}}(z,t)dz,\,\;\,0 \leqslant t \leqslant {{t}_{0}}. \\ \end{gathered} $

Используя уравнение (3.6), можно однозначно определить величину $b{\kern 1pt} ''(0)$. Действительно, из задачи (1.1)–(1.3) следует, что значения производных ${{u}_{t}}(x,0)$, ${{u}_{{tt}}}(x,0)$ и ${{u}_{{ttt}}}(x,0)$ определяются уже найденными значениями $b(0)$ и $b{\kern 1pt} '(0)$.

Полагая $t = 0$ в уравнении (3.6) и учитывая то, что

${{(f{\kern 1pt} '(0))}^{3}} - {{(g{\kern 1pt} '(0))}^{3}}{{e}^{{al}}} + a\int\limits_0^l {{(f{\kern 1pt} '(0))}^{3}}{{e}^{{ - 2az}}}dz > 0,$

получаем уравнение для $b{\kern 1pt} ''(0)$, из которого это значение определяется однозначно.

Таким образом, мы показали, что если функция $b(s)$ является решением обратной задачи, то значения $b(0)$, $b{\kern 1pt} '(0)$ и $b{\kern 1pt} ''(0)$ однозначно определяются заданными функциями $f(t)$, $g(t)$ и их производными при $t = 0$. Далее значения $b(0)$, $b{\kern 1pt} '(0)$ и $b{\kern 1pt} ''(0)$ считаются известными.

Введем множество функций

${{\bar {K}}_{{{{t}_{0}}}}} = \left\{ {k \in C[0,f({{t}_{0}})],\;k(0) = b{\kern 1pt} ''(0),\;\left| {k({{s}_{1}}) - k({{s}_{2}})} \right| \leqslant L\left| {{{s}_{1}} - {{s}_{2}}} \right|,\;\forall {{s}_{1}},{{s}_{2}} \in [0,f({{t}_{0}})]} \right\},$

где числа ${{t}_{0}}$ и $L$ таковы, что ${{t}_{0}} \in (0,T]$, $L > 0$ и

(3.7)

$b(0) > {\text{|}}b{\kern 1pt} '(0){\text{|}}f({{t}_{0}}) + ({\text{|}}b{\kern 1pt} ''(0){\text{|}} + Lf({{t}_{0}})){{(f({{t}_{0}}))}^{2}}{\text{/}}2.$

Введем оператор $D$, отображающий функции $k \in {{\bar {K}}_{{{{t}_{0}}}}}$ в функции $b(s;k)$:

$b(s;k) = (Dk)(s) \equiv b(0) + b{\kern 1pt} '(0)s + \int\limits_0^s \,(s - z)k(z)dz,\quad s \in [0,f({{t}_{0}})].$

Очевидно, что функции $b(s;k) = (Dk)(s)$ принадлежат пространству ${{C}^{2}}[0,f({{t}_{0}})]$ и, в силу неравенства (3.7), положительны на отрезке $[0,f({{t}_{0}})]$.

Продолжим функцию $b(s;k)$ с отрезка $[0,f({{t}_{0}})]$ на всю прямую так, чтобы полученная функция удовлетворяла условиям леммы 2. Из лемм 1 и 2 следует, для этой продолженной функции $b(s;k)$ существует единственная функция $u \in {{C}^{3}}[{{Q}_{{{{t}_{0}}}}}]$, являющаяся решением задачи (1.1)–(1.3) на множестве ${{Q}_{{{{t}_{0}}}}}$, причем она однозначно определяется значениями функции $b(s;k)$ на отрезке $[0,f({{t}_{0}})]$. Следовательно, эта функция однозначно определяется функцией $k \in {{\bar {K}}_{{{{t}_{0}}}}}$. Далее это решение задачи (1.1)–(1.3) на множестве ${{Q}_{{{{t}_{0}}}}}$ будем обозначать через $u(x,t;k)$.

Перейдем к выводу нелинейного операторного уравнения для функции $k(s)$. Обозначим через $p(s)$ функцию, обратную к $s = f(t)$, $t \in [0,{{t}_{0}}]$. Введем на множестве ${{\bar {K}}_{{{{t}_{0}}}}}$ оператор $A$, определяемый следующим образом:

$\begin{gathered} (Ak)(s) = \left[ {g{\kern 1pt} ''''(p(s)){{e}^{{al}}} - f{\kern 1pt} ''''(p(s))} \right]h(s) + \left[ {b(g(p(s));k)g{\kern 1pt} '''(p(s)){{e}^{{al}}} - b(s;k)f{\kern 1pt} '''(p(s)} \right]h(s) + \\ + \;3\left[ {b{\kern 1pt} '(g(p(s));k)g{\kern 1pt} '(p(s))g{\kern 1pt} ''(p(s)){{e}^{{al}}} - b{\kern 1pt} '(s;k)f{\kern 1pt} '(p(s))f{\kern 1pt} ''(p(s))} \right]h(s) + \\ \end{gathered} $

(3.8)

$ + \;k(g(p(s))){{(g{\kern 1pt} '(p(s)))}^{3}}{{e}^{{al}}}h(s) - ah(s)\int\limits_0^l \,{{e}^{{az}}}b(u(z,p(s);k);k){{u}_{{ttt}}}(z,p(s);k)dz - $

$\begin{gathered} - \;3ah(s)\int\limits_0^l \,{{e}^{{az}}}b{\kern 1pt} '(u(z,p(s);k);k){{u}_{t}}(z,p(s);k){{u}_{{tt}}}(z,p(s);k)dz - \\ - \;ah(s)\int\limits_0^l \,{{e}^{{az}}}k(u(z,p(s);k)){{({{u}_{t}}(z,p(s);k))}^{3}}dz,\quad 0 \leqslant s \leqslant f({{t}_{0}}), \\ \end{gathered} $

где функция $h(s) = {{(f{\kern 1pt} '(p(s)))}^{{ - 3}}}$.

Рассмотрим в пространстве $C[0,f({{t}_{0}})]$ операторное уравнение

(3.9)

$k(s) = (Ak)(s),\quad 0 \leqslant s \leqslant f({{t}_{0}}).$

Пусть функция $\bar {k}(s)$ принадлежит множеству ${{\bar {K}}_{{{{t}_{0}}}}}$ и является решением уравнения (3.9). Покажем, что соответствующая ей функция $b(s;\bar {k})$ является решением обратной задачи для $s \in [0,f({{t}_{0}})]$. Для этого достаточно доказать, что функция $u(x,t;\bar {k})$ удовлетворяет условию (1.6). Так как функция $\bar {k}(s)$ является решением операторного уравнения (3.9), то из определения (3.8) следует, что функции $b(s;\bar {k})$ и $u(x,t;\bar {k})$ являются решением уравнения (3.6). Интегрируя уравнение (3.6) и учитывая равенства $b(0;\bar {k}) = b(0)$, $b{\kern 1pt} '(0;\bar {k}) = b{\kern 1pt} '(0)$, получаем, что функции $b(s;\bar {k})$ и $u(x,t;\bar {k})$ удовлетворяют уравнению (3.2). Из этого уравнения и уравнения (3.1) для функции $u(x,t;\bar {k})$ следует, что

(3.10)

${{u}_{t}}(l,t;\bar {k}) + \bar {q}(u(l,t;\bar {k})) = g{\kern 1pt} '(t) + \bar {q}(g(t)),\quad 0 \leqslant t \leqslant {{t}_{0}},$

где функция

$\bar {q}(s) = \int\limits_0^s \,b(\xi ;\bar {k})d\xi .$

Интегрируя уравнение (3.10) с условием $u(l,0;\bar {k}) = g(0) = 0$, получаем, что $u(l,t;\bar {k}) = g(t)$ для $t \in [0,{{t}_{0}}]$. Следовательно, $b(s;\bar {k})$ является решением обратной задачи для $s \in [0,f({{t}_{0}})]$.

Таким образом, мы показали, что для доказательства теоремы существования решения обратной задачи достаточно доказать существование решения нелинейного операторного уравнения (3.9), принадлежащего множеству ${{\bar {K}}_{{{{t}_{0}}}}}$.

Докажем, что существуют такие ${{t}_{0}} \in (0,T]$ и $L > 0$, что оператор $A$ отображает множество ${{\bar {K}}_{{{{t}_{0}}}}}$ в себя и является сжимающим на этом множестве.

Из определения (3.8) оператора $A$ и уравнения для определения числа $b{\kern 1pt} ''(0)$ следует, что $(Ak)(0) = b{\kern 1pt} ''(0)$ для всех $k \in {{\bar {K}}_{{{{t}_{0}}}}}$.

Найдем условия, при которых функция $(Ak)(s)$ удовлетворяет условию Липшица с константой $L$ для всех $k \in {{\bar {K}}_{{{{t}_{0}}}}}$. Пусть ${{M}_{1}}$ – положительная постоянная. Выберем числа ${{t}_{0}} \in (0,T]$ и $L > 0$ так, что

(3.11)

$f({{t}_{0}})L \leqslant {{M}_{1}}.$

При выполнении этого условия для функции $b(s;k)$, где $k \in {{\bar {K}}_{{{{t}_{0}}}}}$, справедливы оценки (2.12) с постоянными ${{c}_{5}}$, ${{c}_{6}}$, ${{c}_{7}}$, не зависящими от $L$. Учитывая условие (3.11) получаем, что для функции $u(x,t;k)$, где $k \in {{\bar {K}}_{{{{t}_{0}}}}}$, выполнены оценки (2.13), (2.15), (2.16) с постоянными ${{c}_{8}}$, ${{c}_{9}}$, ${{c}_{{10}}}$, не зависящими от $L$.

Рассмотрим функцию

$\begin{gathered} {{R}_{1}}(s,\xi ,\theta ;k) = {{(g{\kern 1pt} '(p(s)))}^{3}}g{\kern 1pt} '(p(\xi ))p{\kern 1pt} '(\xi ){{e}^{{al}}}h(s) + \\ + \;ah(s)\int\limits_0^l \,{{e}^{{az}}}{{({{u}_{t}}(z,p(s);k))}^{3}}{{u}_{t}}(z,p(\theta );k)p{\kern 1pt} '(\theta )dz,\quad s,\xi ,\theta \in [0,f({{t}_{0}})]. \\ \end{gathered} $

Так как

${{R}_{1}}(0,0,0;k) = {{(g{\kern 1pt} '(0))}^{4}}{{e}^{{al}}}{{(f{\kern 1pt} '(0))}^{{ - 4}}} + a{{(f{\kern 1pt} '(0))}^{{ - 4}}}\int\limits_0^l \,{{e}^{{az}}}{{({{u}_{t}}(z,0;k))}^{4}}dz(1 + 2{{e}^{{ - 3al}}}){\text{/}}3,$

то существуют ${{t}_{0}} \in (0,T]$ и постоянная ${{M}_{2}} \in (0,1)$ такие, что

(3.12)

$0 < {{R}_{1}}(s,\xi ,\theta ;k) \leqslant {{M}_{2}},\quad s,\xi ,\theta \in [0,f({{t}_{0}})],\quad \forall k \in {{\bar {K}}_{{{{t}_{0}}}}}.$

Используя оценки для функций $b(s;k)$, $u(x,t;k)$ и их производных, учитывая их независимость от $L$ и принимая во внимание неравенство (3.12), получаем, что

(3.13)

$\left| {(Ak)({{s}_{1}}) - Ak)({{s}_{2}})} \right| \leqslant ({{M}_{3}} + L{{M}_{2}})\left| {{{s}_{1}} - {{s}_{2}}} \right|\quad \forall {{s}_{1}},{{s}_{2}} \in [0,f({{t}_{0}})],\quad \forall k \in {{\bar {K}}_{{{{t}_{0}}}}},$

где ${{M}_{3}}$ – положительная постоянная, не зависящая от $L$.

Выберем число $L$ так, что

(3.14)

$L \geqslant {{M}_{3}}{{(1 - {{M}_{2}})}^{{ - 1}}}.$

Тогда из неравенств (3.13), (3.14) следует, что функция $(Ak)(s)$ удовлетворяет условию Липшица с константой $L$ для всех $k \in {{\bar {K}}_{{{{t}_{0}}}}}$. Таким образом, оператор $A$ отображает множество ${{\bar {K}}_{{{{t}_{0}}}}}$ в себя.

Найдем условия, при которых оператор $A$ является сжимающим на множестве ${{\bar {K}}_{{{{t}_{0}}}}}$.

Рассмотрим функцию

${{R}_{2}}(s;k) = {{(g{\kern 1pt} '(p(s)))}^{3}}{{e}^{{al}}}h(s) + ah(s)\int\limits_0^l \,{{e}^{{az}}}{{({{u}_{t}}(z,p(s);k))}^{3}}dz,\quad s \in [0,f({{t}_{0}})].$

Так как ${{R}_{2}}(0;k) = (1 + {{e}^{{ - 2al}}}){\text{/}}2$, то существует число ${{t}_{0}} \in (0,T]$ и постоянная ${{M}_{4}} \in (0,1)$ такие, что

(3.15)

$0 < {{R}_{2}}(s;k) \leqslant {{M}_{4}},\quad s \in [0,f({{t}_{0}})],\quad \forall k \in {{\bar {K}}_{{{{t}_{0}}}}}.$

Пусть функции ${{k}_{1}}(s)$ и ${{k}_{2}}(s)$ принадлежат множеству ${{\bar {K}}_{{{{t}_{0}}}}}$. Из леммы 3 и неравенства (3.11) следует, что для функций $u(x,t;{{k}_{1}})$ и $u(x,t;{{k}_{2}})$ справедливы оценки (2.7)–(2.10) с постоянными ${{c}_{1}}$, ${{c}_{2}}$, ${{c}_{3}}$, ${{c}_{4}}$, не зависящими от $L$ и ${{t}_{0}}$. Используя эти оценки и неравенство (3.15), получаем, что

(3.16)

${{\left\| {A{{k}_{1}} - A{{k}_{2}}} \right\|}_{{C[0,f({{t}_{0}})]}}} \leqslant ({{M}_{5}}{{t}_{0}} + {{M}_{4}}){{\left\| {{{k}_{1}} - {{k}_{2}}} \right\|}_{{C[0,f({{t}_{0}})]}}},$

где ${{M}_{5}}$ – положительная постоянная, не зависящая от $L$ и ${{t}_{0}}$. Тогда если ${{t}_{0}} \in (0,T]$ таково, что

(3.17)

${{M}_{5}}{{t}_{0}} + {{M}_{4}} < 1,$

то из неравенства (3.16) следует, что оператор $A$ является сжимающим на множестве ${{\bar {K}}_{{{{t}_{0}}}}}$.

Выберем положительные числа $L$ и ${{t}_{0}} \leqslant T$ такими, что они удовлетворяют неравенствам (3.7), (3.11), (3.14) и (3.17). Легко видеть, что такие $L$ и ${{t}_{0}}$ существуют. Определив с этими постоянными множество ${{\bar {K}}_{{{{t}_{0}}}}}$, мы получим, что оператор $A$ отображает это множество в себя и является сжимающим на ${{\bar {K}}_{{{{t}_{0}}}}}$. Следовательно, существует функция $\bar {k} \in {{\bar {K}}_{{{{t}_{0}}}}}$ , являющаяся решением операторного уравнения (3.9). Как было показано выше, функция $b(s;\bar {k})$ представляет собой решение обратной задачи для $s \in [0,f({{t}_{0}})]$. Теорема доказана.

Отметим, что основанное на методе сжимающих отображений доказательство теоремы существования представляет собой обоснование итерационного метода решения обратной задачи.

Список литературы

Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука. Сибирское отделение, 1980.
Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.
Kabanikhin S.I., Lorenzi A. Identification problems of wave phenomena. VSP. The Netherlands, 1999.
Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.V. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Marcel Dekker, 2000.
Isakov V. Inverse problems for partial differential equations. New York: Springer, 2006.
Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Сибирское научное издательство. Новосибирск, 2008.
Cannon J.R., Du Chateau P. An inverse problem for an unknown source term in a wave equation // SIAM J. Appl. Math. 1983. V. 43. № 3. P. 553–564.
Cavaterra C. An inverse problem for semilinear wave equation // Boll. Un. Mat. Ital. (B). 1988.V. 2. № 3. P. 695–711.
Graselli M. Local existence and uniqueness for a quasilinear hyperbolic inverse problem // Appl. Anal. 1989. V. 32. № 1. P. 15–30.
Shcheglov A.Yu. The inverse problem of determination of a nonlinear source in a hyperbolic equation // J. Inverse and Ill-Posed Problems. 1998. V. 6. № 6. P. 625–644.
Денисов А.М. Существование решения обратной задачи для квазилинейного уравнения гиперболического типа // Дифференц. ур-ния. 2002. Т. 38. № 9. С. 1155–1164.
Денисов А.М., Ширкова Э.Ю. Обратная задача для квазилинейного гиперболического уравнения с нелокальным краевым условием, содержащим запаздывающий аргумент // Дифференц. ур-ния. 2013. Т. 49. № 9. С. 1091–1099.
Денисов А.М. Интегро-функциональное уравнение, возникающее при исследовании обратной задачи для квазилинейного гиперболического уравнения // Дифференц. ур-ния. 2018. Т. 54. № 9. С. 1207–1217.
Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Том 2. М.: Гостехтеориздат, 1951.
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1999.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал