Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 4, стр. 579-586

ВВЕДЕНИЕ

Важнейшие свойства полиномиальных сплайнов и некоторых их обобщений и различные приложения сплайнов достаточно глубоко исследованы (см., например, [1]–[5]).

В [6], [7] построены гладкие сплайн-функции на базе трехточечных рациональных интерполянтов, которые (в отличие от классических сплайнов) сами и их производные первого и второго порядков обладают, по терминологии Ю.Н. Субботина (см. [8]), свойством безусловной сходимости на соответствующем классе ${{C}^{r}}\left[ {a,b} \right]$ непрерывно дифференцируемых $r$ раз ($r = 0,\;1,\;2$) на отрезке $\left[ {a,b} \right]$ функций. Изучены также (см. [9]) некоторые их аппроксимативные, формосохраняющие свойства.

Ниже для произвольной функции из ${{C}^{2}}\left[ {a,b} \right]$ и ее производных первого и второго порядков получены оценки скорости совместной равномерной сходимости подобных сплайн-функций по трехточечным рациональным интерполянтам и их соответствующих производных.

Эти оценки позволяют применить такие рациональные сплайн-функции для приближенного решения краевых задач и начальной задачи Коши для некоторых дифференциальных уравнений второго порядка. При этом решение представляет собой дважды гладкую на рассматриваемом отрезке функцию, что бывает важно и на практике, когда требуется интерполяция на массивных сетках узлов с “малыми” диаметрами.

Следует также отметить, что структура применяемых рациональных сплайн-функций позволяет получить сравнительно более простые алгоритмы поиска решения.

1. АППРОКСИМАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА

Чтобы исследовать вопрос об оценке скорости совместной сходимости рациональных сплайн-функций и их производных до второго порядка, возьмем произвольную сетку узлов $\Delta :a = {{x}_{0}} < {{x}_{1}} < \ldots < {{x}_{N}} = b$ $(N \geqslant 2)$ и положим

При произвольном $\lambda \geqslant 1$ возьмем также набор чисел $g = \left\{ {{{g}_{1}},{{g}_{2}},\; \ldots ,\;{{g}_{{N - 1}}}} \right\}$ таких, что при $i = 1,2,\; \ldots ,\;N - 1$ имеем

Теперь для определенной на сетке $\Delta $ функции $f(x)$ при $i = 1,2,\; \ldots ,\;N - 1$ рассмотрим рациональные функции вида

удовлетворяющие условиям ${{R}_{i}}({{x}_{j}}) = f({{x}_{j}})$ ($j = i - 1,\;i,\;i + 1$).

Используя разделенные разности, получим

здесь и ниже ${{\delta }_{i}} = f({{x}_{{i - 1}}},{{x}_{i}},{{x}_{{i + 1}}})$ – разделенная разность второго порядка.

Будем считать также, что ${{R}_{0}}(x) \equiv {{R}_{1}}(x)$, ${{R}_{N}}(x) \equiv {{R}_{{N - 1}}}(x)$, и для данных сетки узлов $\Delta $, набора полюсов $g = \left\{ {{{g}_{1}},{{g}_{2}},\; \ldots ,\;{{g}_{{N - 1}}}} \right\}$ и функции $f(x)$ определим на отрезке $\left[ {a,b} \right]$ сплайн-функцию ${{R}_{{N,2}}}(x) = {{R}_{{N,2}}}\left( {x,f,\Delta ,g} \right)$, для которой при $x \in \left[ {{{x}_{{i - 1}}},{{x}_{i}}} \right]$ ($i = 1,2,\; \ldots ,\;N$) выполняется равенство

Можно показать (см. [6]), что ${{R}_{{N,2}}} \in {{C}^{2}}\left[ {a,b} \right]$. При этом

Ниже для непрерывных на $\left[ {\alpha ,\beta } \right]$ функций $\varphi (x)$ будем придерживаться также обозначений

В принятых выше обозначениях имеет место

Теорема 1. Пусть функция $f \in {{C}^{2}}\left[ {a,b} \right]$ и для произвольных $\lambda \geqslant 1$ и сетки узлов $\Delta :a = {{x}_{0}} < {{x}_{1}} < \ldots < {{x}_{N}} = b$ ($N \geqslant 2$) выбраны полюсы $g = \left\{ {{{g}_{1}},{{g}_{2}},\; \ldots ,\;{{g}_{{N - 1}}}} \right\}$ и определены рациональные интерполянты ${{R}_{i}}(x) = {{R}_{i}}(x,f)$ ($i = 0,1,\; \ldots ,\;N$).

Тогда для сплайн-функции ${{R}_{{N,2}}}(x) = {{R}_{{N,2}}}(x,f,\Delta ,g)$ при $x \in \left[ {a,b} \right]$ выполняются неравенства

Заметим, что если в условиях теоремы 1 взять, например, $\lambda = \tfrac{{b - a}}{{\left\| \Delta \right\|}}{{\rho }_{\Delta }}$, то при $r = 0,\;1,\;2$ получим соотношение

Доказательство теоремы 1. Неравенство (1.7) получено в [7], поэтому докажем (1.5) и (1.6).

Для оценки $f(x) - {{R}_{i}}(x)$ при $x \in \left[ {{{x}_{{i - 1}}},{{x}_{{i + 1}}}} \right]$ ($i = 1,2,\; \ldots ,\;N - 1$) преобразуем ${{R}_{i}}(x)$ из (1.1) к виду

в котором, используя (1.2), получаем а коэффициент ${{b}_{i}}$ выразим двояко равенствами Пусть сначала ${{h}_{{i + 1}}} \leqslant {{h}_{i}}$. Тогда ${{g}_{i}} = {{x}_{{i + 1}}} + \lambda {{h}_{{i + 1}}}$ и из (1.8)–(1.10) при $x \in ({{x}_{{i - 1}}},{{x}_{{i + 1}}})$ и $x \ne {{x}_{i}}$ получим

В силу $f \in {{C}^{2}}\left[ {a,b} \right]$ найдутся точки ${{t}_{1}},{{t}_{2}} \in ({{x}_{{i - 1}}},{{x}_{{i + 1}}})$ такие, что

Пусть теперь ${{h}_{{i + 1}}} > {{h}_{i}}$, ${{g}_{i}} = {{x}_{{i - 1}}} - \lambda {{h}_{i}}$ и $x \in ({{x}_{{i - 1}}},{{x}_{{i + 1}}})$, $x \ne {{x}_{i}}$. Тогда из равенств (1.8), (1.9) и (1.11) аналогично получим

Поэтому для $i = 1,2, \ldots ,\;N - 1$ при всех $x \in [{{x}_{{i - 1}}},{{x}_{{i + 1}}}]$ (для узлов – очевидно) имеем

Отсюда и из равенства (1.3) вытекает, что при $x \in \left[ {a,b} \right]$ и любом $\lambda \geqslant 1$ справедливо неравенство

откуда получим (1.5).

Для оценки разности $f{\text{'}}(x) - R_{{N,2}}^{'}(x)$ в случае $f \in {{C}^{2}}\left[ {a,b} \right]$ считаем, как и выше, что рациональные функции ${{R}_{i}}(x) = {{R}_{i}}(x,f)$ ($i = 0,1,\; \ldots ,\;N$) определены для $f(x)$ и сетки узлов $\Delta $ через равенства (1.1) и (1.2).

Тогда, как показано в [7] (лемма 1), для $i = 1,2,\; \ldots ,\;N - 1$ при $x \in [{{x}_{{i - 1}}},{{x}_{{i + 1}}}]$ выполняется неравенство

По построению функции ${{R}_{i}}(x)$ для $i = 1,2,\; \ldots ,\;N - 1$ имеем $f({{x}_{j}}) - {{R}_{i}}({{x}_{j}}) = 0$ при $j = i - 1,\;i,\;i + 1$, а значит, по теореме Ролля о среднем найдутся точки ${{\tau }_{1}} \in ({{x}_{{i - 1}}},{{x}_{i}})$ и ${{\tau }_{2}} \in ({{x}_{i}},{{x}_{{i + 1}}})$, для которых $f{\kern 1pt} {\text{'}}({{\tau }_{j}}) - R_{i}^{'}({{\tau }_{j}}) = 0$ ($j = 1,2$).

Пусть теперь $\tau = {{\tau }_{1}}$, если $x \in [{{x}_{{i - 1}}},{{x}_{i}}]$, и $\tau = {{\tau }_{2}}$, если $x \in \left( {{{x}_{i}},{{x}_{{i + 1}}}} \right]$. Тогда между точками $\tau $ и $x$ найдутся точки ${{c}_{1}}$ и ${{c}_{2}}$ такие, что при $x \in \left[ {{{x}_{{i - 1}}},{{x}_{{i + 1}}}} \right]$ ($i = 1,2,\; \ldots ,\;N - 1$) имеем

Здесь учтем, что $\left| {{{c}_{1}} - {{c}_{2}}} \right| \leqslant \left| {x - \tau } \right| \leqslant \left\| \Delta \right\|$. Тогда отсюда и из (1.12) при $x \in \left[ {{{x}_{{i - 1}}},{{x}_{{i + 1}}}} \right]$ ($i = 1,2,\; \ldots ,\;N - 1$) и $\lambda \geqslant 1$ получим

Далее, из равенства (1.3) (с учетом выбора ${{R}_{0}}(x) \equiv {{R}_{1}}(x)$ и ${{R}_{N}}(x) \equiv {{R}_{{N - 1}}}(x)$) при $x \in \left[ {{{x}_{{i - 1}}},{{x}_{i}}} \right]$ ($i = 1,2,\; \ldots ,\;N$) получим

Для одновременной оценки двух последних слагаемых правой части воспользуемся неравенством (1.13). Величину $\left| {B_{{i,2}}^{'}(x)} \right|$ оценим по неравенству (1.4). Что касается разности ${{R}_{i}}(x) - {{R}_{{i - 1}}}(x)$, то, используя равенства (1.8)–(1.10) для ${{R}_{i}}(x)$ и равенства (1.8), (1.9), (1.11) для ${{R}_{{i - 1}}}(x)$, и лемму 2 из [7], находим, что

и при $x \in \left[ {{{x}_{{i - 1}}},{{x}_{i}}} \right]$ ($i = 1,2,\; \ldots ,\;N - 1$) выполняется неравенство

Значит, отсюда и из неравенств (1.4), (1.13) при $x \in \left[ {{{x}_{{i - 1}}},{{x}_{i}}} \right]$ ($i = 1,2,\; \ldots ,\;N$) и любом $\lambda \geqslant 1$ имеем

откуда следует (1.6).

Теорема 1 доказана.

2. ПРИЛОЖЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Хорошо известны (см., например, [1]–[3], [5]) успешные применения полиномиальных сплайнов и других сплайн-функций для приближенного решения различного вида дифференциальных уравнений.

Предлагаемый ниже метод поиска приближенного гладкого решения данной краевой задачи или задачи Коши в виде сплайн-функции, построенного на основе трехточечных рациональных интерполянтов, часто приводит к простым по реализации алгоритмам.

Суть метода в краткой форме можно показать на примере краевой задачи о нахождении приближенного решения класса ${{C}^{2}}\left[ {a,b} \right]$ уравнения

удовлетворяющего краевым условиям

Как будет видно, предлагаемая схема численного решения применима к общим линейным дифференциальным уравнениям второго порядка (с отличным от нуля старшим коэффициентом).

Будем предполагать, что $f(x)$ и $q(x)$ непрерывны и $q(x) < 0$ на отрезке $\left[ {a,b} \right]$ и задача (2.1), (2.2) имеет единственное решение $y(x)$ класса ${{C}^{2}}\left[ {a,b} \right]$.

На отрезке $[a,b]$ введем (снова для краткости) равномерную сетку узлов $\Delta :{{x}_{i}} = a + ih$, $h = (b - a){\text{/}}N$, $i = 0,1,\; \ldots ,\;N$ ($N \geqslant 2$), и для произвольного $\lambda \geqslant 1$ возьмем набор полюсов $g = \left\{ {{{g}_{1}},{{g}_{2}},\; \ldots ,\;{{g}_{{N - 1}}}} \right\}$ с ${{g}_{i}} = {{x}_{{i + 1}}} + \lambda h$, $i = 1,2,\; \ldots ,\;N - 1$.

Приближенное решение задачи (2.1), (2.2) будем искать в виде сплайн-функции ${{R}_{{N,2}}}(x) = {{R}_{{N,2}}}(x,y(x),\Delta ,g)$, построенной на базе рациональных функций ${{R}_{i}}(x) = {{R}_{i}}(x,y(x))$, задаваемых равенствами типа (1.1)–(1.3).

Дело в том, что из равенства

в силу аппроксимационной теоремы 1 и непрерывности $q(x)$ и $f(x)$ на отрезке $\left[ {a,b} \right]$ вытекает равномерная сходимость на $\left[ {a,b} \right]$ к нулю левой части этого равенства при $h \to 0$ и, например, при $\lambda = (b - a){\text{/}}h$.

При этом сравнительная простота получаемых алгоритмов поиска сплайн-функции ${{R}_{{N,2}}}(x)$ связана с ее конструкцией, из которой, в частности, вытекают равенства (см. [6])

${{R}_{{N,2}}}(x) = {{R}_{1}}(x)$ при $x \in \left[ {{{x}_{0}},{{x}_{1}}} \right]$, ${{R}_{{N,2}}}(x) = {{R}_{{N - 1}}}(x)$ при $x \in \left[ {{{x}_{{N - 1}}},{{x}_{N}}} \right]$.

Значит, при $i = 1,\; \ldots ,\;N - 1$ получим

Сами интерполянты ${{R}_{i}}(x)$ ($i = 1,2,\; \ldots ,\;N - 1$), из которых по равенству вида (1.3) строится искомая сплайн-функция ${{R}_{{N,2}}}(x)$, связаны по формулам вида (1.2) со значениями $y({{x}_{{i - 1}}})$, $y({{x}_{i}})$, $y({{x}_{{i + 1}}})$ равенствами

Для нахождения неизвестных ${{y}_{j}} = y({{x}_{j}})$ ($j = 0,1,\; \ldots ,\;N$) приближенно заменим задачу (2.1), (2.2) на задачу

которая при переходе к узлам $x = {{x}_{i}}$ ($i = 0,1,\; \ldots ,\;N$) приводит к равенствам

Отсюда, если для краткости обозначить

получим для неизвестных ${{y}_{i}}$ ($i = 0,1,\; \ldots ,\;N$) систему линейных алгебраических уравнений

Последнюю систему при ${{y}_{0}} = A$, ${{y}_{N}} = B$ можно записать в виде системы с трехдиагональной матрицей (с доминирующей главной диагональю)

Ясно, что она однозначно разрешима при любом $\lambda \geqslant 1$ и натуральном $N \geqslant 3$ (предполагается $q(x) < 0$ при $x \in \left[ {a,b} \right)$).

Если вместо краевых условий (2.2) задаются краевые условия общего вида

то полученные выше уравнения при $i = 1,2,\; \ldots ,\;N - 1$ остаются в силе. К ним присоединим еще два уравнения, которые получаются из краевых условий (2.4) с учетом равенств ${{R}_{{N,2}}}(x) = {{R}_{1}}(x)$ при $x \in \left[ {{{x}_{0}},{{x}_{1}}} \right]$ и ${{R}_{{N,2}}}(x) = {{R}_{{N - 1}}}(x)$ при $x \in \left[ {{{x}_{{N - 1}}},{{x}_{N}}} \right]$, а также из равенств $y{\text{'}}(a) = R_{{N,2}}^{'}(a) = R_{1}^{'}(a)$ и $y{\text{'}}(b) = R_{{N,2}}^{'}(b) = R_{{N - 1}}^{'}(b)$.

Из краевых условий (2.4) получим соответственно уравнения

Если теперь к уравнениям (2.5) с $i = 1,2,\; \ldots ,\;N - 1$ в качестве первого и последнего уравнений присоединить соответственно (2.6) и (2.7), то получим систему $(N + 1)$ линейных уравнений с $(N + 1)$ неизвестными ${{y}_{0}},{{y}_{1}},\; \ldots ,\;{{y}_{N}}$. Она также легко сводится к системе с трехдиагональной матрицей.

Рассмотрим теперь задачу Коши для уравнения (2.1) с начальными условиями

Из этих условий по аналогии с (2.6) получим

Из последнего равенства и уравнения (2.5) при $i = 1$ с учетом известного значения ${{y}_{0}} = {{A}_{0}}$ составим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными ${{y}_{1}}$ и ${{y}_{2}}$.

Получим

В случае существования решения (${{y}_{1}},{{y}_{2}}$) системы (2.9), что легко проверяется, остальные неизвестные можно находить, используя следующие равенства, вытекающие из (2.5):

Можно показать (ср., например, с [1], 2.7 и [2], гл. VI, § 4), что решения получаемых систем линейных алгебраических уравнений относительно ${{y}_{0}},{{y}_{1}},\; \ldots ,\;{{y}_{N}}$ определяют рациональные сплайн-функции ${{R}_{{N,2}}}(x)$, равномерно сходящиеся на отрезке $\left[ {a,b} \right]$ к решению $y(x)$ соответствующей краевой или начальной задачи, если для матриц этих систем существуют обратные матрицы, нормы которых равномерно ограничены.

Действительно, рассмотрим, например, случай краевой задачи (2.1), (2.2).

Пусть ${{y}_{0}} = A$, ${{y}_{N}} = B$, $({{y}_{1}},{{y}_{2}},\; \ldots ,\;{{y}_{{N - 1}}})$ – решение системы (2.3) и пусть ${{R}_{{N,2}}}(x)$ – рациональная сплайн-функция вида (1.3), составленная по узлам ${{x}_{i}} = a + ih$, $i = 0,1,\; \ldots ,\;N$, и соответствующим значениям ${{y}_{i}}$, $i = 0,1,\; \ldots ,\;N$. Тогда выполняются равенства

Считаем, что существует единственное решение $y(x)$ задачи (2.1), (2.2) класса $C_{{[a,b]}}^{2}$ и ${{R}_{{N,2}}}(x,y)$ означает рациональную сплайн-функцию вида (1.3) для функции $y(x)$ и узлов ${{x}_{i}}$, $i = 0,1,\; \ldots ,\;N$. Если при $x \in \left[ {a,b} \right]$ обозначим

то с использованием (2.1) и (2.10) при $x \in \left[ {a,b} \right]$ и при $i = 1,2,\; \ldots ,\;N - 1$ соответственно получим

Из (2.11), применив теорему 1 с $\lambda = \tfrac{{b - a}}{{\left\| \Delta \right\|}}{{\rho }_{\Delta }} = \tfrac{{b - a}}{h}$ к функции $y(x)$, имеем

где $M(h,q) = 26 + 2{{\left\| q \right\|}_{{[a,b]}}}{{h}^{2}}.$

Из (2.12), выразив сплайн-функции ${{R}_{{N,2}}}(x,y)$ и ${{R}_{{N,2}}}(x)$ через соответствующие значения $y({{x}_{j}})$ и ${{y}_{j}}$ и учитывая $y({{x}_{0}}) = {{y}_{0}} = A$, $y({{x}_{N}}) = {{y}_{N}} = B$, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно разностей ${{z}_{j}} = y({{x}_{j}}) - {{y}_{j}}$ ($j = 0,1, \ldots ,\;N$) следующего вида:

Матрица системы (2.14) имеет диагональное преобладание величины $\delta = {{q}_{{min}}}{\text{/}}d$, где ${{q}_{{min}}} = min\left\{ {\left| {q(x)} \right|:x \in \left[ {a,b} \right]} \right\} > 0$. Поэтому при $i = 1,2,\; \ldots ,\;N - 1$ получим

Пусть теперь ${{R}_{i}}(x)$ и ${{R}_{i}}(x,y)$ ($i = 0,1,\; \ldots ,\;N$) означают рациональные интерполянты вида (1.1) соответственно для значений ${{y}_{j}}$ ($j = 0,1,\; \ldots ,\;N$) и для значений $y({{x}_{j}})$ ($i = 0,1,\; \ldots ,\;N$) решения $y(x)$ задачи (2.1), (2.2) в узлах сетки. Тогда по построению ${{R}_{0}}(x) = {{R}_{1}}(x)$, ${{R}_{N}}(x) = {{R}_{{N - 1}}}(x)$, ${{R}_{0}}(x,y) = {{R}_{1}}(x,y)$, ${{R}_{N}}(x,y) = {{R}_{{N - 1}}}(x,y)$, а при $i = 1,2,\; \ldots ,\;N - 1$ и $x \in \left[ {{{x}_{{i - 1}}},{{x}_{{i + 1}}}} \right]$ выполняется равенство

Из этого равенства при $x \in \left[ {{{x}_{{i - 1}}},{{x}_{{i + 1}}}} \right]$ ($i = 1,2,\; \ldots ,\;N - 1$) имеем

Отсюда при $x \in \left[ {{{x}_{{i - 1}}},{{x}_{i}}} \right]$, ($i = 1,2,\; \ldots ,\;N$) и из равенства

получим

Наконец, при $x \in \left[ {a,b} \right]$ имеем

Если для оценки первого слагаемого правой части воспользоваться теоремой 1, а для оценки ее второго слагаемого неравенствами (2.16), (2.15) и (2.13), то при $x \in \left[ {a,b} \right]$ получим неравенство

Отсюда, в частности, следует равномерная сходимость на отрезке $\left[ {a,b} \right]$ сплайн-функций ${{R}_{{N,2}}}(x)$ к решению $y(x)$ задачи (2.1), (2.2).