Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 4, стр. 621-648

1. ВВЕДЕНИЕ

В своих двух классических работах [1] и [2] в 1973, 1974 г. предложен новый энергетический метод исследования возникновения разрушения в двух задачах Коши для абстрактных формально параболического и формально гиперболического уравнений:

где операторы $P$ и $A$ линейные, а оператор $F(u)$ нелинейный. Результаты о разрушении были получены как для классических решений, так и для слабых решений. Отметим также работу [3].

В 1977 г. опубликована работа [4], в которой энергетический метод был использован для решения такой пары абстрактных задач Коши:

где оператор $B(u)$ может быть нелинейным. В 1997 г. вышла работа [5], в которой уже рассматривалось следующее уравнение: В 1998 г. в работе [6] было рассмотрено следующее общее уравнение формально параболического типа: В это же время начинает развиваться тематика доказательства разрушения решений формально гиперболических уравнений с положительной энергией. В этой связи отметим следующие работы P. Pucci и J. Serrin [7] и [8]. Отметим также недавние результаты в этом направлении [9]–[12].

Отметим, что важным развитием энергетического метода явилась работа [13], в которой рассматривалась первая начально-краевая задача для уравнения

в цилиндре $[0,T] \times \Omega $. Результат был обобщен в работах [14] и [15] на случай следующего нелинейного нелокального уравнения: Наша работа продолжает исследования, начатые в работах [16]–[18]. В работе [18] рассматривалась абстрактная задача Коши следующего вида: где $H_{f}^{'}(u),$ $F_{f}^{'}(u)$ – это производные Фреше нелинейных операторов. В этой работе мы рассмотрели классическое и слабое решения задачи Коши (1.1) и доказали результаты о существовании непродолжаемых решений, а также получили достаточные условия разрушения решений за конечное время. Для доказательства разрушения за конечное время мы пользовали нашу модификацию энергетического метода, изложенную в работе [19].

В настоящей работе мы рассмотрим абстрактную задачу Коши следующего вида:

где операторы ${{A}_{0}}$ и ${{L}_{1}},$ ${{L}_{2}},$ $D$ линейные, а операторы ${{A}_{j}}(u)$ и $F(u),$ $P(u)$ нелинейные. Для доказательства существования сильного решения этой задачи Коши мы применим метод монотонных операторов Браудера–Минти [20], а для доказательства разрушения за конечное время применим метод энергетических оценк, развитый в работе [19].

2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ПОЛЯ В КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ПОЛУПРОВОДНИКАХ

В этой работе мы рассмотрим модельные задачи о возникновении “пробоя” в кристаллических полупроводниках при наличии сильной временной дисперсии.

Начнем с рассмотрения системы уравнений квазистационарного электрического поля. Общая система уравнений в этом случае имеет следующий вид (см., например, [21]):

где ${\mathbf{D}}$ – вектор индукции электрического поля, ${\mathbf{E}}$ – вектор напряженности электрического поля, ${\mathbf{J}}$ – вектор плотности тока свободных зарядов, $n$ – концентрация свободных зарядов, наконец, слагаемое $Q$ описывает распределение источников или стоков свободных зарядов.

Напомним, что согласно теории электричества (см., например, [21]) электрические заряды в материальных средах условно делятся на свободные и связанные. Свободные заряды могут перемещаться на макроскопические расстояния, а связанные заряды – нет. При этом электрические среды условно разделяются на проводники, полупроводники и диэлектрики. В проводниках связанных зарядов нет, в диэлектриках нет свободных зарядов, а в полупроводниках есть как свободные, так и связанные заряды. Поскольку в данной работе мы рассматриваем эффект “пробоя” в полупроводниках, то и займемся рассмотрением общих факторов действующих в кристаллических полупроводниках.

В полупроводниках распределение связанных зарядов определяется вектором поляризуемости среды ${\mathbf{P}}$, который связан с вектором индукции электрического поля ${\mathbf{D}}$ равенством

При этом распределение плотности связанных зарядов в полупроводнике определяется величиной В дальнейшем мы будем рассматривать различные модели кристаллических полупроводников. В одних моделях вектор поляризуемости ${\mathbf{P}}$ связан с вектором напряженности электрического поля ${\mathbf{E}}$, например, таким соотношением а в других моделях мы будем рассматривать непосредственно распределение связанных зарядов $\rho $ в виде некоторой функции от потенциала $\phi $ электрического поля ${\mathbf{E}}$ (который, заметим, существует в предположении поверхностной односвязанности области $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}},$ где рассматривается система уравнений (2.1)), например, такого вида Теперь рассмотрим вектор плотности тока свободных зарядов ${\mathbf{J}}$. Во многих моделях его можно рассматривать зависящим от напряженности электрического поля следующим образом: где величина $\sigma (r)$ по своему физическому смыслу есть коэффициент проводимости среды, который зависит, вообще говоря, от модуля напряженности электрического поля ${\mathbf{E}}$. Кроме того, в данной работе мы будем рассматривать случай сильной временной дисперсии, т.е. когда зависимость плотности тока свободных зарядов от напряженности поля является нелокальной. Типичный пример такой зависимости следующий: Наконец, обсудим слагаемое $Q$ в правой части уравнения (2.2). Как мы уже говорили, это слагаемое описывает распределение источников или стоков свободных зарядов в полупроводнике и представляет собой функцию от потенциала $\phi $ самосогласованного электрического поля ${\mathbf{E}}$. В настоящей монографии мы рассматриваем тот важный случай, когда функция $Q$ описывает распределение источников свободных зарядов, которое мы будем моделировать следующим образом: Заметим, что мы будем рассматривать два механизма возникновения пробоя в кристаллических полупроводниках – это пробой, вызванный источниками свободных зарядов, распределение которых описывается функцией (2.7), или пробой, вызванный наличием отрицательной дифференциальной проводимости среды (см., например, [22]). Отрицательность дифференциальной проводимости среды учитывается тем, что вектор плотности тока электрического поля ${\mathbf{J}}$ связан с напряженностью поля ${\mathbf{E}}$ соотношением вида Итак, мы будем рассматривать эти два механизма возникновения пробоя в кристаллических полупроводниках.

Теперь мы обсудим формулу связи индукции электрического поля ${\mathbf{D}}$ от напряженности электрического поля ${\mathbf{E}}$. Для этого с учетом формулы (2.3) надо обсудить различные механизмы зависимости вектора ${\mathbf{P}}$ от ${\mathbf{E}}$. Действительно, помимо формулы (2.5), которая учитывает керровскую зависимость вектора ${\mathbf{P}}$ от вектора ${\mathbf{E}}$ можно учесть еще так называемую пространственную дисперсию среды. Давайте обсудим, как учитывается пространственная дисперсия среды. Как известно (см., например, [23]), в этом случае связь ${\mathbf{P}}$ и ${\mathbf{E}}$ является операторной:

где оператор $\hat {\varkappa }$ поляризуемости среды имеет, вообще говоря, следующий нелокальный характер: Заметим, что формула (2.9) записана для всего трехмерного эвклидова пространства ${{\mathbb{R}}^{3}}$. Предположим, что формула (2.8) рассматривается так же во всем трехмерном пространстве ${{\mathbb{R}}^{3}}$. Тогда формально применим преобразование Фурье к обеим частям равенства (2.8) и получим следующее алгебраическое равенство: где $k = ({{k}_{1}},{{k}_{2}},{{k}_{3}}) \in {{\mathbb{R}}^{3}}$ – это волновой вектор, соответствующий рассматриваемому преобразованию Фурье. Теперь предположим, что Тогда эту функцию можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки $(0,0,0) \in {{R}^{3}}$ с остаточным членом в форме Пеано: В этом месте обычно многие физики-теоретики рассматривают вместо формулы (2.11) ее “укороченный” вариант. А именно следующую формулу: При этом формула (2.10) примет следующий вид: Если теперь формально применить обратное преобразование Фурье к равенству (2.13), то с учетом формулы (2.12) мы получим выражение Таким образом, мы пришли к искомой модельной связи векторов ${\mathbf{P}}$ и ${\mathbf{E}}$. У многих физиков-теоретиков укороченная функция ${{\varkappa }_{0}}(k)$ имеет следующий простой вид: И тогда выражение (2.14) примет следующий вид: Заметим, что эти рассуждения, приведшие нас к формуле (2.14), имеют “физический” характер. Кроме того, формула (2.14) выведена только для всего пространства $x = ({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}) \in {{\mathbb{R}}^{3}}$. Однако формально формула (2.14) корректна и для произвольной области $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$. Поэтому мы будем говорить о пространственной дисперсии и в случае произвольной области изменения переменных $x = ({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}) \in \Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$, имея в виду соотношение вида (2.14).

Теперь обсудим еще один фактор, который влияет на общую ситуацию в кристаллических полупроводниках – это наличие внешнего электрического поля. Пусть ${{{\mathbf{E}}}_{0}}$ – это внешнее постоянное электрическое поле. Тогда согласно общей макроскопической теории электричества (см., например, [24]) наличие этого внешнего поля приводит к возникновению тока свободных зарядов ${{{\mathbf{J}}}_{0}},$ направление которого противоположно направлению внешнего поля ${{{\mathbf{E}}}_{0}}{\text{:}}$

где ${{n}_{0}}(\varphi )$ – есть “квазистационарное” распределение плотности свободных зарядов. Мы будем моделировать эту функцию следующим образом: Наличие этого постоянного внешнего электрического поля ${{{\mathbf{E}}}_{0}}$ приводит к появлению дополнительного слагаемого в уравнении (2.2). Именно, уравнение (2.2) примет следующий вид: Таким образом, мы учли самые разнообразные факторы, имеющие место в кристаллических полупроводниках. Теперь давайте обсудим, каким образом мы будем учитывать все эти факторы. Поскольку все эти факторы имеют отношения к векторам ${\mathbf{J}}$ и ${\mathbf{P}},$ то и учитывать все эти факторы мы будем в виде линейной суперпозиции: Действительно, каждое слагаемое в (2.17) отвечает за свой эффект, имеющий место в кристаллическом полупроводнике.

Приступим к рассмотрению системы уравнений квазистационарного магнитного поля в кристаллическом полупроводнике. Общая система уравнений в отсутствие тока свободных зарядов имеет следующий вид (см., например, [23]):

где ${\mathbf{B}},$ ${\mathbf{H}}$ и ${\mathbf{M}}$ – это векторы индукции, напряженности и намагниченности магнитного поля. Данную систему уравнений необходимо дополнить уравнением, связывающим векторы ${\mathbf{M}}$ и ${\mathbf{H}}$. Действительно, в качестве такового уравнения возьмем уравнение Ландау–Лифшица (см. [24]): где вектор ${\mathbf{R}}$ характеризует, в частности, распределение “источников” магнитных доменов в кристаллическом полупроводнике–магнетике. Довольно часто уравнение (2.18) можно существенно упростить, воспользовавшись тем, что вектор намагниченности представим в виде следующей суммы: т.е. в виде “квазистационарной” намагниченности $\mathfrak{M}$ и малой, быстропеременной добавки ${\mathbf{m}}$. С учетом (2.19) из (2.18) получим уравнение Теперь мы учтем некоторые факторы, имеющие место в кристаллических полупроводниках магнетиках.

Прежде всего заметим, что можно учесть, что квазистационарная намагниченность состоит из нескольких слагаемых, каждое из которых отвечает за учет некоторого фактора:

Во-первых, как правило, $\mathfrak{M}$ содержит линейную по полю часть вида Во-вторых, точно также как и ранее, можно учесть сильную пространственную дисперсию кристаллического полупроводника–магнетика, т.е. следующую связь векторов ${{\mathfrak{M}}_{2}}$ и H: Вывод уравнения (2.20) точно такой же, как и вывод уравнения (2.15). Вектор ${\mathbf{R}}$ также может быть записан в виде следующей суперпозиции: Можно учесть наличие “источников” доменов, описываемых формулой вида Наконец, учтем наличие релаксационных механизмов или, иначе говоря, сильную временную дисперсию следующего вида:

Теперь мы обсудим граничные условия для рассматриваемых систем векторных уравнений. Конечно, их вид и количество для корректной постановки рассматриваемых далее задач зависят от того факта, учитываем ли мы сильную пространственную дисперсию или нет. В основном мы будем рассматривать тот случай, когда граница материальной среды представляет собой заземленную и идеально проводящую среду. Тогда на границе $\partial \Omega $ области $\Omega $ имеют место следующие равенства:

где $\phi $ – это потенциал электрического поля. При рассмотрении кристаллического полупроводника–магнетика мы будем рассматривать аналогичные граничные условия вида где $\psi $ – это потенциал магнитного поля.

Давайте отдельно обсудим возникновение нелинейных граничных условий для потенциала электрического поля. Действительно, предположим, что на границе кристаллического полупроводника $\partial \Omega $, занимающего область $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$, имеются либо стоки, либо источники поверхностных зарядов, тогда согласно граничным условиям общего вида получим граничное условие следующего вида:

где ${{n}_{x}}$ – это внешняя нормаль в точке $x \in \partial \Omega $. Предположим, что распределение поверхностных зарядов моделируется нелинейной степенной функцией вида: где ${{\eta }_{0}} > 0$ для стоков, а ${{\eta }_{0}} < 0$ для источников свободных зарядов.

Таким образом, мы рассмотрели важные физические факторы, имеющие место в кристаллических полупроводниках, и выписали некоторые граничные условия. Теперь мы переходим к выводу разнообразных модельных нелинейных уравнений, являющихся следствиями рассмотренных в этом разделе моделей.

3. МОДЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ h(t)

Во всех полученных в предыдущем разделе уравнениях содержится слагаемое вида

описывающее переходные процессы в кристаллических полупроводниках.

В этом разделе мы рассмотрим некоторые модельные выражения для этой функции $h(t)$. Прежде всего заметим, что в качестве этой функции можно взять следующее выражение:

Действительно, формула (3.1) описывает самый распространенный механизм релаксации. Кроме того, можно рассмотреть следующее уравнение: Наконец, можно учесть колебательный режим релаксации следующего вида: или С другой стороны, в физике обычно релаксационные процессы протекают лишь конечное время, т.е. функция $h(t)$ финитна: где функция $\omega (t) \in {\mathbf{C}}_{0}^{\infty }(R_{ + }^{1})$. В следующих разделах мы будем изучать полученные в этом разделе уравнения при обобщении следующего важного условия, что найдутся постоянные a > 0 и h₀ > 0 такие, что

4. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ

Рассмотрим банаховы пространства ${{V}_{0}},$ ${{V}_{j}},$ ${{W}_{i}}$ при $j = \overline {1,n} $ и при $i = \overline {1,4} $ относительно соответствующих норм

и с сопряженными банаховыми пространствами $V_{0}^{ * },$ $V_{j}^{ * },$ $W_{i}^{ * }$ относительно соответствующих скобок двойственностей и соответствующих норм Предположим, что банаховы пространства ${{V}_{0}},$ ${{V}_{j}},$ ${{W}_{i}}$ при $j = \overline {1,n} $ и при $i = \overline {1,4} $ являются рефлексивными и сепарабельными. Предположим также, что Теперь последовательно укажем условия на все операторные коэффициенты задачи (1.2). Итак,

Условия ${{A}_{0}}{\text{:}}$

(i) оператор ${{A}_{0}}:{{V}_{0}} \to V_{0}^{*}$ является линейным, непрерывным и симметричным, причем имеет место неравенство

(ii) оператор ${{A}_{0}}$ является коэрцитивным, причем имеет место неравенство

(iii) величина $\langle {{A}_{0}}u,u\rangle _{0}^{{1/2}}$ является нормой на ${{V}_{0}},$ порождающей рассматриваемую топологию банахова пространства ${{V}_{0}}.$

Условия $A{\text{:}}$

(i) оператор ${{A}_{j}}:{{V}_{j}} \to V_{j}^{*}$ является монотонным и непрерывным оператором;

(ii) оператор ${{A}_{j}}$ дифференцируем по Фреше, причем его производная Фреше

является непрерывным, симметричным, монотонным и неотрицательно-определенным оператором при фиксированном $u \in {{V}_{j}};$

(iii) оператор ${{A}_{j}}$ является положительно-однородным

(iv) справедливы следующие неравенства сверху и снизу:

(v) величина $\langle {{A}_{j}}(u),u\rangle _{j}^{{1/{{p}_{j}}}}$ является нормой на банаховом пространстве ${{V}_{j}},$ порождающей рассматриваемую топологию банахова пространства ${{V}_{j}}.$

Условия $F$:

(i) оператор $F:{{W}_{3}} \to W_{3}^{*}$ является ограниченно липшиц-непрерывным, т.е. имеет место неравенство

где $\mu = \mu (R)$ есть ограниченная но всяком компакте неубывающая функция своего аргумента;

(ii) оператор $F$ является положительно однородным, т.е.

(iii) оператор $F$ имеет симметричную производную Фреше

(iv) оператор $F$ удовлетворяет неравенству сверху

Условия $L{\text{:}}$

(i) оператор ${{L}_{i}}:{{W}_{i}} \to W_{i}^{*}$ при $i = 1,2$ является линейным, непрерывным и симметричным, причем

(ii) оператор ${{L}_{i}}$ является коэрцитивным, причем

(iii) величина $({{L}_{i}}u,u)_{i}^{{1/2}}$ является нормой на ${{W}_{i}},$ порождающей рассматриваемую топологию банахова пространства ${{W}_{i}}.$

Условия $DP{\text{:}}$

(i) оператор $D:{{W}_{4}} \to V_{0}^{*}$ является линейным и непрерывным, причем имеет место неравенство сверху

(ii) оператор $P:{{V}_{0}} \to {{W}_{4}}$ является ограниченно липшиц-непрерывным, т.е.

где функция ${{\mu }_{0}} = {{\mu }_{0}}(R)$ – ограниченная на всяком компакте неубывающая функция своего аргумента, $R = max\{ {{\left\| {{{u}_{1}}} \right\|}_{0}},{{\left\| {{{u}_{2}}} \right\|}_{0}}\} $;

(iii) справедливо неравенство сверху

(iv) для всех $u \in {{V}_{0}}$ имеет место неравенство

Рассмотрим теперь используемые нами банаховы пространства ${{V}_{0}},$ ${{V}_{j}},$ ${{W}_{i}}$ при $j = \overline {1,n} $ и $i = \overline {1,4} $. Пусть $H$ – некоторое сепарабельное гильбертово пространство, отождествленное со своим сопряженным. Предположим, что выполнены следующие условия.

Условия $H{\text{:}}$

(i) имеют место следующие цепочки плотных и непрерывных вложений:

(ii) имеют место непрерывные вложения

Заметим, что в силу пункта (i) из условий $H$ приходим к следующим равенствам скобок двойственностей

Наконец, потребуем выполнения следующих условий.

Условия h(t):

(i) функция $h(t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}[0, + \infty )$;

(ii) функция $h(t)$ удовлетворяет неравенствам

(iii) для функции $\chi {\text{'}}(t)$ выполнено следующее свойство:

В дальнейшем мы будем предполагать, что выполнены все указанные условия.

5. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Прежде всего рассмотрим следующие функционалы:

и, следующий важный функционал Справедлива (см. [18, лемма 4.1])

Лемма 1. Если оператор $A:X \to X{\text{*}}$ дифференцируем по Фреше и имеет симметричную производную Фреше

и $A(su) = {{s}^{{p - 1}}}A(u)$ при условиях $s \geqslant 0$ и $p \geqslant 2$, где $X$ – это пространство Банаха с сопряженным $X{\text{*}}$ относительно скобок двойственности $\langle \cdot , \cdot \rangle ,$ тогда функционалявляется непрерывно дифференцируемым по Фреше и его производная Фреше есть

В силу результата этой леммы приходим к выводу о том, что имеют место явные выражения для производных фреше функционалов, определенных формулами (5.1) и (5.2):

Имеет место следующая (см. лемма 4.2 работы [18]):

Лемма 2. Пусть выполнены все условия леммы 1 и предположим, что $u(t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];X)$ для некоторого $T > 0,$ тогда функционал

Но тогда в силу этой леммы и цепочек плотных и непрерывных вложений из Условия $H$ приходим к выводу о том, что на функциях

функционалы

Справедливо утверждение (лемма 4.3 из [18]):

Лемма 3. Пусть выполнены все условия леммы 1 и предположим, что $u(t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];X)$ для некоторого $T > 0,$ тогда

Поэтому имеют место следующие равенства для функционалов:

Справедлива следующая

Лемма 4. Имеет место неравенство

где

Доказательство. Имеет место следующая цепочка неравенств:

здесь мы воспользовались Условием ${{A}_{0}}$ пункта (ii), а также Условием $DP$.

Лемма доказана.

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 5. Имеют место неравенства

Доказательство. В силу свойства (iii) Условия $L$ мы приходим к неравенству Шварца

С другой стороны, имеет место по Условию $H$ непрерывное вложение $H$. Наконец, в силу Условия ${{A}_{0}}$ п. (iii) величина $\left\langle {{{A}_{0}}u,u} \right\rangle _{0}^{{1/2}}$ есть норма на ${{V}_{0}},$ поэтому имеет место неравенство Осталось воспользоваться неравенством Коши–Буняковского с “$\varepsilon $”.

Лемма доказана.

6. ЛОКАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ В СИЛЬНОМ ОБОБЩЕННОМ СМЫСЛЕ

Дадим определение сильного обобщенного решения задачи (1.2).

Определение 1. Функцию $u(t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];{{V}_{0}}),$ удовлетворяющую равенству при некотором $T > 0$

где назовем сильным обобщенным решением задачи Коши (1.2).

Прежде всего нам нужно доказать, что оператор

является обратимым, причем обратный оператор является липшиц-непрерывным. С этой целью докажем, что оператор $A(u)$ удовлетворяет всем условиям теоремы Браудера–Минти:

(I) оператор $A(u)$ является радиально-непрерывным.

Это утверждение есть следствие непрерывности операторов ${{A}_{0}}$ и ${{A}_{j}}( \cdot )$.

(II) оператор $A(u)$ является сильно монотонным.

Действительно, имеет место следующая цепочка неравенств:

(III) оператор $A(u)$ является коэрцитивным.

Действительно, имеет место следующая цепочка неравенств:

Таким образом, в силу теоремы Браудера–Минти для оператора определен обратный оператор Докажем, что оператор ${{A}^{{ - 1}}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ является липшиц-непрерывным. Действительно, в силу сильной монотонности оператора $A(u)$ имеет место следующая цепочка неравенств: откуда вытекает искомое неравенство Таким образом, если ввести следующее обозначение: то абстрактную задачу Коши (1.2) можно переписать в классе $v(t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];V_{0}^{ * })$ в эквивалентном виде:

В проверке корректности формулировки нуждается только начальное условие (6.3). Прежде всего заметим, что в классе $v(t) \in \mathbb{C}([0,T];V_{0}^{ * })$ имеет место следующая цепочка неравенств:

Значит, $u(t) \in \mathbb{C}([0,T];{{V}_{0}})$. В силу непрерывности операторов ${{A}_{0}}$ и ${{A}_{j}}$ приходим к выводу о справедливости следующей цепочки выражений: Следовательно, начальное условие (6.3) корректно.

Заметим, что в классе $v(t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];V_{0}^{ * })$ задача (6.2) эквивалентна интегральному уравнению:

где Будем искать решение интегрального уравнения (6.4) в классе $v(t) \in C(0,T;V_{0}^{ * })$. С этой целью перепишем интегральное уравнение (6.4) в операторном виде где Здесь можно воспользоваться результатами работы [26] и доказать следующее утверждение.

Теорема 1. Для любого ${{v}_{0}} \in V_{0}^{ * }$ найдется такое ${{T}_{0}} = {{T}_{0}}({{v}_{0}}) > 0,$ что существует единственное решение $v(t) \in \mathbb{C}([0,{{T}_{0}});V_{0}^{ * })$ уравнения (6.5), причем либо ${{T}_{0}} = + \infty $, либо ${{T}_{0}} < + \infty $ и в последнем случае справедливо следующее предельное свойство:

Отметим, что и поэтому Стало быть, решение $v(t)$ уравнения (6.5) принадлежит к классу ${{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,{{T}_{0}});V_{0}^{*})$.

Итак, мы пришли к уравнению с известной правой частью:

Нам понадобится следующая теорема (см. теорему 12.3.3 с. 651 из [27] или теорему 4.2.1 с. 60 из [28]):

Теорема 2. Пусть $P$ – непрерывно дифференцируемое отображение открытого шара $U = {{B}_{r}}({{x}_{0}})$ в банаховом пространстве $X$ в банахово пространство $Y$. Предположим, что оператор $\Lambda : = P_{f}^{'}({{x}_{0}})$ взаимно однозначно отображает $X$ на все $Y$. Тогда $P$ взаимно однозначно отображает некоторую окрестность $V$ точки ${{x}_{0}}$ на некоторую окрестность $W$ точки $P({{x}_{0}})$, причем отображение $R: = {{P}^{{ - 1}}}:W \to V$ непрерывно дифференцируемо и выполнено равенство

Пусть оператор $P(u): = {{A}_{0}}u + \sum\nolimits_{j = 1}^n {{{A}_{j}}(u)} ,$ $U = X = {{V}_{0}}$, $Y = V_{0}^{*}$. Рассмотрим производную Фреше оператора $P:$Докажем, что для любого ${{u}_{0}} \in {{V}_{0}}$ оператор $P_{f}^{'}({{u}_{0}})$ имеет обратный. С этой целью снова воспользуемся монотонностью рассматриваемых операторов.

(I) оператор $P_{f}^{'}({{u}_{0}})$ является радиально непрерывным.

Это следствие непрерывности оператора ${{A}_{0}}$ и того, что при фиксированном ${{u}_{0}} \in {{V}_{0}}$ оператор $A_{{if}}^{{''}}({{u}_{0}}) \in \mathcal{L}({{V}_{0}};V_{0}^{*})$.

(II) оператор $P_{f}^{'}({{u}_{0}})$ является сильно монотонным.

Действительно, имеет место следующая цепочка неравенств:

(III) Оператор $P_{f}^{'}({{u}_{0}})$ является коэрцитивным.

Но это утверждение есть следствие пункта (II) и линейности этого оператора при фиксированной функции $u(t) \in \mathbb{C}([0,{{{\text{T}}}_{0}});{{V}_{0}}).$ Итак, оператор

является обратимым. Следовательно, в силу теоремы 2 из (6.6) имеет место равенство Таким образом, из теорем 1, 2 и (6.6) вытекает

Теорема 3. Для любых функций ${{u}_{0}} \in {{V}_{0}}$ найдется такое ${{T}_{0}} = {{T}_{0}}({{u}_{0}}) > 0,$ что для любого $T \in (0,{{T}_{0}})$ существует единственное классическое решение задачи (1.2) класса $u(t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,T];{{V}_{0}}),$ причем либо ${{T}_{0}} = + \infty $, либо ${{T}_{0}} < + \infty $ и в последнем случае имеем

7. РАЗРУШЕНИЕ СИЛЬНОГО ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (1.2) ПРИ ${{q}_{2}} + 2 > \bar {p}$

Пусть $u(t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,{{T}_{0}});{{V}_{0}})$ – сильное обобщенное решение задачи (1.2). Прежде всего введем следующие обозначения:

Справедлива

Лемма 6. Имеет место следующее неравенство:

Доказательство. В силу условий $A$ и ${{A}_{0}}$ справедливо неравенство Шварца для производных Фреше $A_{{j,u}}^{'}:{{V}_{j}} \to \mathcal{L}({{V}_{j}};V_{j}^{ * })$ операторов ${{A}_{j}}:{{V}_{j}} \to V_{j}^{ * }:$

Здесь мы воспользовались следующим равенством: вывод которого приведен в лемме 1. Из (7.4), (7.5) вытекает где $\bar {p} = \mathop {max}\limits_{j = 1,N} {{p}_{j}} > 2$.

Лемма доказана.

Приступим к выводу первого энергетического равенства. Действительно, возьмем в равенстве (6.1) $w = u,$ тогда с учетом обозначения (7.1) получим первое энергетическое равенство:

здесь мы воспользовались формулой (5.3). Теперь возьмем в равенстве (6.1) $w = u'$ и с учетом обозначения (7.2) получим второе энергетическое равенство: где мы воспользовались следующими равенствами: для всех $u(t) \in {{\mathbb{C}}^{{(1)}}}([0,{{T}_{0}});{{V}_{0}}),$ которые есть следствия леммы 1. Теперь подставим выражение для ${{(F(u),u)}_{3}}$ из первого энергетического равенства во второе энергетическое равенство. Тогда получим следующее равенство: Теперь займемся постепенным оцениванием слагаемых в правой части равенства (7.7). В силу формулы (5.5) при $i = 1$ имеет место первая оценка: Теперь в силу формулы (5.5) при $i = 2$ имеет место следующая оценка: Теперь в силу формулы (5.4) имеет место следующее неравенство: Теперь в силу формулы (5.5) при $i = 2$ имеет место следующая оценка: Опять в силу формулы (5.5) при $i = 2$ имеет место следующая оценка: Таким образом, из оценок (7.8), (7.9) и из равенства (7.7) вытекает следующее неравенство: где Потребуем пока, чтобы тогда из неравенств (7.3) приходим к искомому интегродифференциальному неравенству: где Теперь проверим выполнимость условия Действительно, имеет место следующая цепочка рассуждений: Итак, приходим к двум условиям: Таким образом, в силу результата леммы 8 приходим к следующему утверждению.

Теорема 4. Пусть ${{u}_{0}} \in {{V}_{0}}$ и выполнены условия (7.10), тогда при выполнении следующих начальных условий:

существует единственное сильное обобщенное решение классапричем ${{T}_{0}} \in (0,{{T}_{1}}]$ и имеет место предельное выражениегде

Справедлива

Лемма 7. Имеет место двустороннее неравенство

где постоянные ${{M}_{1}},$ ${{M}_{2}}$ и ${{B}_{j}}$ больше нуля и не зависят от $u(t),$

Доказательство. Докажем сначала оценку снизу. Действительно, с одной стороны, имеем

С другой стороны, имеем Из неравенств (7.11) и (7.12) вытекает оценка снизу Докажем теперь оценку сверху. Действительно, согласно определению нормы $\left\| {\, \cdot \,} \right\|_{0}^{ * }$ справедлива следующая цепочка выражений:

Лемма доказана.

Замечание 1. В силу результата этой леммы имеем ${{T}_{0}} < + \infty $ при выполнении условий теоремы 4.

8. ОЦЕНКА СНИЗУ НА ВРЕМЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СИЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (1.2)

Теперь приступим к получению нижней оценки на время ${{T}_{0}} > 0$ существования решения задачи (1.2).

Напомним, что величина ${{({{L}_{1}}u,u)}_{1}} \geqslant 0$ для всех $u \in {{V}_{0}},$ поэтому из первого энергетического равенства (7.6) вытекает следующее неравенство:

Справедлива следующая цепочка неравенств: Как и в случае с оценкой (7.9) можно получить следующее неравенство: Таким образом, из (8.2) и (8.3) и неравенства (8.1) вытекает оценка: Теперь воспользуемся арифметическим неравенством Гёльдера: Тогда из (8.4) после интегрирования по времени $t \in [0,T],$ получим неравенство вида из которого в силу леммы Гронуолла–Беллмана–Бихари (см. [29]) получим неравенство откуда в свою очередь вытекает, что при выполнении условия имеет место оценка Следовательно, приходим к неравенству

9. ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ (1.2) ПРИ ${{q}_{2}} + 2 \leqslant \bar {p}$

Теперь мы приступим к получению одного достаточного условия глобального во времени существования сильного обобщенного решения задачи (1.2), которое, как мы увидим, близко к необходимому. Действительно, пусть выполнено следующее условие:

причем предположим, что существует такое $j \in \overline {1,n} ,$ что ${{V}_{j}} \subset {{W}_{3}}$ и ${{p}_{j}} = \bar {p}$. Тогда справедлива следующая цепочка неравенств: Теперь в силу оценки (8.3) и неравенства (9.1) приходим к следующему неравенству: Здесь нужно рассмотреть два случая: (I) ${{q}_{2}} + 2 = \bar {p}$ и (II) ${{q}_{2}} + 2 < \bar {p}$. В первом случае мы приходим к следующему неравенству: Рассмотрим теперь более сложный второй случай. Здесь можно воспользоваться арифметическим неравенством Гёльдера. Действительно, положим поэтому имеет место неравенство И в результате и во втором случае мы приходим к неравенству вида Теперь докажем, что решение дифференциального неравенства (9.2) существует глобально во времени. С этой целью проинтегрируем обе части неравенства (9.2) по времени $t \in [0,T]$, тогда справедлива следующая цепочка неравенств: Теперь воспользуемся леммой Гронуолла–Беллмана (см. [29]) и получим следующую оценку: Отсюда, из теоремы 3 и леммы 7 вытекает, что в данном случае ${{T}_{0}} = + \infty .$ Таким образом, нами доказана

Теорема 5. Пусть ${{u}_{0}} \in {{V}_{0}}$ и выполнено неравенство

причем найдется такое $m \in \overline {1,n} ,$ что $\bar {p} = {{p}_{m}}$ и имеет место непрерывное вложение ${{V}_{m}} \subset {{W}_{3}},$ тогда существует единственное сильное обобщенное решение задачи (1.2) класса

10. РЕШЕНИЕ ОСНОВНОГО ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО НЕРАВЕНСТВА

Рассмотрим теперь следующее интегродифференциальное неравенство:

где $\alpha > 1,$ ${{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}},{{\gamma }_{3}},\lambda \geqslant 0$. Предположим, что найдется такая функция что имеют место следующие неравенства: причем С учетом неравенства (10.2) мы получим следующую цепочку соотношений: Отсюда получим следующее неравенство: где причем в предположении $\Phi {\kern 1pt} '(0) > 0$ имеет место неравенство Кроме того, потребуем, чтобы Из неравенства (10.4) вытекает следующая цепочка неравенств: Заметим, что Поэтому умножим обе части итогового неравенства из цепочки неравенств (10.5) и получим следующее неравенство: Откуда приходим к выводу, что где Теперь потребуем выполнения условия $\delta > 0.$ Займемся арифметикой: Итак, потребуем выполнения следующего условия: При выполнении условия (10.7) продолжим рассмотрение неравенства (10.6). Проинтегрируем его по $t \in [0,{{t}_{1}}]$ и получим, что где Потребуем теперь выполнения условия ${{A}^{2}} > 0.$ Займемся арифметикой: Заметим, что имеет место следующая цепочка равенств: С учетом этой цепочки приходим из (10.9) к эквивалентному условию ${{A}^{2}} > 0{\text{:}}$При выполнении последнего условия (10.10) из неравенства (10.8) получим, что поскольку Таким образом, рассуждая дальше как и ранее, получаем, что но тогда имеет место цепочка неравенств, вытекающая из (10.11): из которого имеем, что $T < + \infty $. Действительно, найдется такой момент времени что верно Таким образом, справедлива

Лемма 8. Пусть неотрицательная функция $\Phi (t) \in {{\mathbb{C}}^{{(2)}}}([0,T])$ при некотором $T > 0$ удовлетворяет интегродифференциальному неравенству (10.1), при указанных условиях (10.2), (10.3) на функцию $h(t)$ и выполнены начальные условия

а также условиетогда $T < + \infty $. Более того, найдется такой момент временичтогде