Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 4, стр. 611-620

1. ВВЕДЕНИЕ

В настоящей работе рассматривается двумерное уравнение реакция-диффузия в среде с разрывными характеристиками, доказываются существование, локальная единственность и асимптотическая устойчивость его стационарного решения, обладающего большим градиентом на границе раздела сред. Области, в которых решения обладают большими градиентами, называются внутренними переходными слоями. Как правило, ширина переходного слоя много меньше ширины рассматриваемой области,что связано с малой диффузией или интенсивными источниками, в связи с чем при постановке задачи возникает необходимость учитывать наличие малого параметра, равного отношению ширины переходного слоя к ширине рассматриваемой области. Ранее в работе [1] было построено асимптотическое приближение решения двумерной стационарной задачи реакция-диффузия по малому параметру и доказано его существование. С этой целью использовался метод дифференциальных неравенств. В настоящей работе было продолжено исследование этого решения и доказаны его локальная единственность и асимптотическая устойчивость.

Задачи для уравнений реакция-диффузия с разрывными слагаемыми часто возникают при моделировании биофизических процессов, связанных с распространением автоволновых фронтов в средах с барьерами [2], [3], а также явлений на границах разделов сред [4], [5]. Во многих случаях из физического смысла описываемого явления вытекает требование существования стационарного решения модельной задачи, претерпевающего резкие изменения на границах барьеров (разделов сред). В связи с этим созданию адекватных моделей должно предшествовать исследование соответствующих задач на наличие устойчивых стационарных решений. Также стоит отметить трудности, возникающие при численном моделировании задач с разрывными коэффициентами и большими градиентами решений, связанные с выбором сеток и начальных приближений, которые также могут быть преодолены при помощи аналитических методов исследования таких задач [6]–[9].

Доказательство существования и устойчивости решений в работе основано на методе верхних и нижних решений. Обоснование этого метода для задач с разрывными коэффициентами можно найти в работах [10]–[13]. Ранее авторами были исследованы устойчивые решения с внутренними переходными слоями одномерных задач с разрывными коэффициентами [14], в работе [15] рассмотрена двумерная периодическая параболическая задача с периодически изменяющейся во времени границей раздела сред. Алгоритм построения асимптотических приближений решений задач с внутренними переходными слоями на границах разделов, помимо указанных работ, приведен также в [16]–[18], однако, в этих работах существование решения доказывается методом сращивания [19], [20], который не позволяет получать условия устойчивости решений.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим начально-краевую задачу

Здесь $D$ – односвязная область на плоскости $\left( {x,y} \right)$ с гладкой границей $\partial D$, $\varepsilon $ – малый параметр, лежащий в интервале $\left( {0;{{\varepsilon }_{0}}} \right]$, ${\mathbf{n}}$ – внешняя нормаль к кривой $\partial D$.

Пусть ${{C}_{0}}$ – простая гладкая замкнутая кривая, целиком лежащая в области $D,$ заданная в параметрическом виде с помощью гладких функций $x = \hat {x}(\theta )$, $y = \hat {y}(\theta )$, где $\theta \in [0,N]$. Кривая ${{C}_{0}}$ делит область на две части: ${{D}^{{( - )}}}$, ограниченную кривой ${{C}_{0}}$, и ${{D}^{{( + )}}}$, ограниченную кривыми ${{C}_{0}}$ и $\partial D$.

Пусть выполнено

Условие 1. Функция $f(u,x,y,\varepsilon )$ определена на множестве $\bar {\Omega }: = (u,x,y,\varepsilon ) \in {{I}_{u}} \times \bar {D} \times \left( {0;{{\varepsilon }_{0}}} \right]$ и претерпевает разрыв I рода на поверхности

где ${{f}^{{( - )}}}(u,x,y,\varepsilon )\, \in \,{{C}^{3}}({{I}_{u}}\, \times \,{{\bar {D}}^{{( - )}}} \times \left( {0;{{\varepsilon }_{0}}} \right])$, ${{f}^{{( + )}}}(u,x,\varepsilon )\, \in \,{{C}^{3}}({{I}_{u}}\, \times \,{{\bar {D}}^{{( + )}}} \times \left( {0;{{\varepsilon }_{0}}} \right])$ и ${{f}^{{( - )}}}(u,x,y,\varepsilon )\, \ne \,{{f}^{{( + )}}}(u,x,y,\varepsilon )$, $(x,y) \in {{C}_{0}}$, $u \in {{I}_{u}}$.

Определим области ${{D}_{T}}\,: = \,(x,y,t)\, \in \,D\, \times \,\left( {0;T} \right]$, $D_{T}^{{( - )}}\,: = \,(x,y,t)\, \in \,{{D}^{{( - )}}}\, \times \,\left( {0;T} \right]$, $D_{T}^{{( + )}}\,: = \,(x,y,t)\, \in \,{{D}^{{( + )}}}\, \times \,\left( {0;T} \right]$.

Определение 1. Функция ${{\text{v}}_{\varepsilon }}(x,y,t) \in {{C}^{{1,0}}}\left( {{{{\bar {D}}}_{T}}} \right) \cap {{C}^{{1,1}}}({{D}_{T}}) \cap {{C}^{{2,1}}}(D_{T}^{{( - )}} \cup D_{T}^{{( + )}})$ называется решением задачи (1), если она удовлетворяет уравнению (1) в каждой из областей $D_{T}^{{( \mp )}},$ а также условию в начальный момент времени и граничному условию.

Очевидно, что стационарное решение этой задачи является решением следующей задачи для стационарного уравнения реакция-диффузия, которое исследовалось в [1]:

решение которой определено аналогично решению задачи (1).

Определение 2. Функция ${{u}_{\varepsilon }}(x,y) \in {{C}^{1}}(\bar {D}) \cap {{C}^{2}}({{D}^{{( - )}}} \cup {{D}^{{( + )}}})$ называется решением задачи (2), если она удовлетворяет уравнению при $(x,y) \in {{D}^{{( - )}}} \cup {{D}^{{( + )}}}$ и граничным условиям задачи (2).

Потребуем также выполнения следующих условий.

Условие 2. Пусть уравнения ${{f}^{{( \mp )}}}(u,x,y,0) = 0$ имеют решения ${{\varphi }^{{( \mp )}}}(x,y)$ в областях ${{\bar {D}}^{{( \mp )}}}$. Пусть на кривой ${{C}_{0}}$ выполняется неравенство ${{\varphi }^{{( - )}}}(\hat {x}(\theta ),\hat {y}(\theta )) < {{\varphi }^{{( + )}}}\left( {\hat {x}(\theta ),\hat {y}(\theta )} \right)$, $\theta \in [0,N]$.

Условие 3. Пусть также выполнены неравенства

Отметим, что условие 3 обеспечивает локальную единственность (изолированность) корней вырожденных уравнений ${{f}^{{( \mp )}}}(u,x,y,0) = 0$.

Будем исследовать вопрос о существовании у задачи (2) гладкого решения, близкого вне некоторой окрестности кривой ${{C}_{0}}$ к поверхности $u = {{\varphi }^{{( - )}}}(x,y)$ в области ${{D}^{{( - )}}}$ и к поверхности $u = {{\varphi }^{{( + )}}}(x,y)$ в области ${{D}^{{( + )}}}$, и резко изменяющегося от значений ${{\varphi }^{{( - )}}}$ до значений ${{\varphi }^{{( + )}}}$ в окрестности кривой ${{C}_{0}}.$ Рассмотрим так называемые присоединенные уравнения, которые далее используются для описания переходного слоя в нулевом приближении:

где использованы обозначения ${{f}^{{( \mp )}}}(\tilde {u},\theta ,0) = {{f}^{{( \mp )}}}(\tilde {u},\hat {x}(\theta ),\;\hat {y}(\theta ),0)$.

Каждое из присоединенных уравнений (3) эквивалентно присоединенной системе

В силу условий 2 и 3 каждая из точек $({{\varphi }^{{( \mp )}}}(\theta ),0)$ при каждом значении параметра $\theta \in [0,N]$ является точкой покоя типа седла соответствующей присоединенной системы на фазовой плоскости $(\tilde {u},\Phi )$.

Потребуем также выполнения следующего условия.

Условие 4. Пусть

При выполнении условий 2–4 на фазовой плоскости $(\tilde {u},\Phi )$ существуют сепаратрисы ${{\Phi }^{{( \mp )}}}(\tilde {u},\theta ),$ входящие соответственно в седла $\left( {{{\varphi }^{{( \mp )}}}(\theta ),0} \right)$ при $\xi \to \mp \infty $. Выражения для этих сепаратрис имеют следующий вид:

Введем функцию (определена в силу условия 4) Потребуем выполнения еще одного условия.

Условие 5. Пусть уравнение $H(\tilde {u},\theta ) = 0$ имеет решение ${{p}_{0}}\left( \theta \right) \in \left( {{{\varphi }^{{( - )}}}(\theta );\;{{\varphi }^{{( + )}}}(\theta )} \right)$, для которого выполняется неравенство ${{f}^{{( - )}}}\left( {{{p}_{0}}\left( \theta \right),\theta ,0} \right) - {{f}^{{( + )}}}\left( {{{p}_{0}}\left( \theta \right),\theta ,0} \right) > 0$, $\theta \in [0,N]$.

Несложно получить, что из неравенства ${{f}^{{( - )}}}({{p}_{0}}\left( \theta \right),\theta ,0) - {{f}^{{( + )}}}({{p}_{0}}\left( \theta \right),\theta ,0) > 0$ условия 5 следует неравенство

3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ

Следуя алгоритму, приведенному в [1], можно построить асимптотическое приближение решения задачи (2) произвольного порядка. Для этого следует рассмотреть отдельно задачи в каждой из областей ${{D}^{{( - )}}}$ и ${{D}^{{( + )}}}:$

и Здесь $p(\theta ,\varepsilon )$ – неизвестная функция, играющая роль параметра. Эта функция определяется из условий сшивания на этой кривой производных по нормали ${{{\mathbf{n}}}_{0}}$ к кривой ${{C}_{0}}$ асимптотик решений $U_{n}^{{( - )}}$ и $U_{n}^{{( + )}}$ задач (5) и (6):

В нашем случае для доказательства устойчивости решения достаточно построить асимптотические представления решений $U_{2}^{{( \mp )}}(x,y,\varepsilon )$ второго порядка соответственно задач (5) и (6). Эти функции являются суммой регулярной и погранслойной частей:

где $\bar {u}_{i}^{{( \mp )}}(x,y)$, $i = 0,\;1,\;2$ – регулярная часть разложения, функции $Q_{i}^{{( \mp )}}(\xi ,\theta )$ описывают поведение решения в окрестности кривой ${{C}_{0}}$. Для построения этих функций в окрестности кривой ${{C}_{0}}$ стандартным способом (см., например, [21]) перейдем к локальным координатам $\left( {r,\theta } \right)$ согласно равенствам Здесь $\alpha (\theta )$ – угол между внутренней нормалью к кривой ${{C}_{0}}$ и осью $y$, величина $\left| r \right|$ – расстояние от точки $M\left( {x,y} \right)$ из окрестности кривой ${{C}_{0}}$ до этой кривой вдоль нормали к ней. Будем считать, что $r < 0,$ если $M \in {{D}^{{( - )}}}$; $r > 0,$ если $M \in {{D}^{{( + )}}}$; $r = 0$ , если $M \in {{C}_{0}}.$ Введем также растянутую переменную $\xi = r{\text{/}}\varepsilon $.

Пограничные функции ${{R}_{i}}(\eta ,l)$ описывают поведение решения вблизи границы $\partial D,$ в окрестности которой также вводится криволинейная система координат $({{r}_{1}},l)$ [21], где ${{r}_{1}}$ – расстояние от кривой $\partial D$ до точки в окрестности этой кривой вдоль внутренней нормали к ней, $\eta = \frac{{{{r}_{1}}}}{\varepsilon }$ – растянутая переменная, $l$ – параметр кривой.

Неизвестная функция $p(\theta ,\varepsilon )$ ищется в виде разложения по степеням малого параметра: $p(\theta ,\varepsilon ) = {{p}_{0}} + \varepsilon {{p}_{1}} + {{\varepsilon }^{2}}{{p}_{2}} + \ldots $, коэффициенты которого определяются из условия сшивания производных асимптотик (7) в сответствующих порядках.

Уравнения для функции регулярной части получаются стандартным образом [21] путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях $\varepsilon $ в разложении Тейлора по параметру $\varepsilon $ равенств

В нулевом порядке, согласно условию 2, получим $\bar {u}_{0}^{{( \mp )}}(x,y) = {{\varphi }^{{( \mp )}}}(x,y)$. Остальные функции регулярной части определяются из линейных алгебраических уравнений.

В переменных $(\xi ,\theta )$ оператор ${{\varepsilon }^{2}}\Delta $ принимает вид

где ${{L}_{i}}$ – операторы дифференцирования первого или второго порядков по переменной $\theta $ или первого порядка по переменной $\xi .$

Уравнения для функции переходного слоя получаются путем объединения коэффициентов при одинаковых степенях $\varepsilon $ в разложении Тейлора равенств

где $x(\xi ,\theta )$, $y(\xi ,\theta )$ даются равенствами (8) при $r = \varepsilon \xi .$ Условия при $\xi = 0$ для этих задач получаются из равенств Кроме того, для этих функций должно выполняться условие убывания на бесконечности:

С помощью замен $\tilde {u}(\xi ,\theta ) = \bar {u}_{0}^{{( \mp )}}(\hat {x}(\theta ),\hat {y}(\theta )) + Q_{0}^{{( \mp )}}(\xi ,\theta )$ при $\xi \leqslant 0$ для функций с верхним индексом “$ - $” или $\xi \geqslant 0$ для функций с верхним индексом “$ + $”, уравнения для функций переходного слоя нулевого порядка сводятся к присоединенным уравнениям (3), разрешимым в силу условий 2–4. Функции переходного слоя более высоких порядков определяются из краевых задач для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Имеют место оценки:

где $C$, $\kappa $ – положительные константы, не зависящие от $\varepsilon .$

Пограничные функции ${{R}_{i}}(\eta ,l)$, $i = 0,1,\; \ldots $, описывающие решение вблизи границы $\partial D$ определяются стандартным образом [21]. В частности, уравнения для этих функций получаются тем же способом, что и для функций переходного слоя из равенств, аналогичных (9), записанных через локальные координаты $(\eta ,l).$ Эти функции служат для устранения невязок, вносимых регулярной частью в краевое условие задачи (2). В случае граничных условий Неймана задачи (2) получаем ${{R}_{0}}(\eta ,l) \equiv 0$.

Из условия сшивания производных (7) следует равенство

Производные $\partial {{\varphi }^{{( \mp )}}}{\text{/}}\partial r$ в этом равенстве следует понимать как частные производные по переменной $r$ функций ${{\varphi }^{{( \mp )}}}\left( {x(r,\theta ),y(r,\theta )} \right)$ где $x(r,\theta )$, $y(r,\theta )$ – преобразования (8).

В порядке ${{\varepsilon }^{{ - 1}}}$ из  условия  сшивания  следует  уравнение  для определения функции ${{p}_{0}}(\theta ):$ $H({{p}_{0}},\theta ) = 0,$ разрешимое в силу условия 5. Функции ${{p}_{i}}(\theta )$, $i = 1,\;2$, определяются как решения уравнений вида $\left( {\partial H{\text{/}}\partial{ \tilde {u}}} \right)({{p}_{0}},\theta ) \cdot {{p}_{i}} = {{G}_{i}}(\theta )$, где ${{G}_{i}}(\theta )$ – известные функции. Существование величин ${{p}_{i}}$ обеспечивается неравенством (4).

Асимптотическим приближением первого порядка решения задачи (2) будем называть функцию

4. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ

Доказательство существования решения задачи (2) было проведено в [1] при помощи асимптотического метода дифференциальных неравенств [22], [23]. Суть метода состоит в построении пары непрерывных функций $\beta (x,y,\varepsilon ),$ $\alpha (x,y,\varepsilon ),$ называемых соответственно верхним и нижним решениями задачи (2), для которых справедливы неравенства

1) $\alpha (x,y,\varepsilon ) \leqslant \beta (x,y,\varepsilon ),(x,y) \in \bar {D};$

2) ${{\varepsilon }^{2}}\Delta \beta - f(\beta ,x,y,\varepsilon ) \leqslant 0 \leqslant {{\varepsilon }^{2}}\Delta \alpha - f(\alpha ,x,y,\varepsilon ),(x,y) \in (D{\backslash }{{C}_{0}}),$

3) $\tfrac{{\partial \beta }}{{\partial {\mathbf{n}}}}(x,y,\varepsilon ) \geqslant {{u}^{0}}(x,y) \geqslant \tfrac{{\partial \alpha }}{{\partial {\mathbf{n}}}}(x,y,\varepsilon ),(x,y) \in \partial D.$

Согласно теоремам сравнения, доказанным в работах [10], [11], из существования верхнего и нижнего решений следует существование решения задачи (2), заключенного между этими верхним и нижним решениями:

Отметим, что доказательство теорем сравнения в [10], [11] проведено в предположении гладкости верхнего и нижнего решений. В нашем случае этот результат можно обобщить, аналогично тому, как это сделано в [14], используя верхние и нижние решения, не гладкие вдоль кривой ${{C}_{0}},$ если потребовать выполнения следующего условия на скачок нормальных производных на этой кривой: где $x(r,\theta )$, $y(r,\theta )$ даются выражениями (8).

Доказательство аналогичной теоремы для одномерного случая с использованием верхнего и нижнего решений, не гладких в единственной точке, приведено в [14]. Обобщение на двумерный случай можно сделать по аналогии с [14], воспользовавшись первой формулой Грина вместо интегрирования по частям.

Согласно асимптотическому методу дифференциальных неравенств верхнее и нижнее решения задачи (2) строятся отдельно в каждой из областей ${{\bar {D}}^{{( - )}}}$ и ${{\bar {D}}^{{( + )}}}$ как модификации асимптотических представлений. Мы будем использовать асимптотическое представление $U_{1}^{{( \mp )}}(x,y,\varepsilon )$ первого порядка и обозначать соответствующие верхние и нижние решения нижним индексом 1:

Здесь $\mu $, $R$ и $\gamma $ – положительные константы, которые подбираются таким образом, чтобы выполнялись неравенства 1)–3) (слагаемое $\varepsilon R{{{\text{e}}}^{{ - \gamma \eta }}}$ вводится для выполнения неравенства 3), см., например, [23]), функции ${{q}^{{( \mp )}}}(\xi ,\theta )$ вводятся для устранения невязок порядка $O(\varepsilon ),$ возникающих в неравенстве 2) в окрестности кривой ${{C}_{0}}$ в результате добавления к асимптотическому разложению величины $\mu $.

Функции ${{q}^{{( - )}}}(\xi ,\theta )$ и ${{q}^{{( + )}}}(\xi ,\theta ),$ определенные соответственно при $\xi \leqslant 0$ и $\xi \geqslant 0,$ определяются как решения краевых задач

где обозначено Величина $\delta $ в краевых условиях (14) положительная и подбирается таким образом, чтобы выполнялись неравенства 4). Возможность выбора положительного значения $\delta $ определяется неравенством (4).

В работе [1] доказано, что при достаточно малых $\varepsilon $ функции (11) являются верхним и нижним решениями задачи (2), тем самым справедлива следующая теорема существования.

Теорема 1. Пусть выполнены условия 1–5. Тогда при достаточно малом $\varepsilon > 0$ существует функция ${{u}_{\varepsilon }}(x,y)$ – решение задачи (2), для которого функция ${{U}_{1}}(x,y,\varepsilon )$ является равномерным асимптотическим приближением с точностью $O\left( {{{\varepsilon }^{2}}} \right),$ то есть для всех $(x,y) \in \bar {D}$ выполняется неравенство

где $C$ – положительная константа, не зависящая от $\varepsilon .$

5. СУЩЕСТВОВАНИЕ, ЕДИНСТВЕННОСТЬ И АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

Докажем существование и единственность решения задачи (1) для любой начальной функции, лежащей в интервале

Для этого также используем метод дифференциальных неравенств, требующий построения верхнего и нижнего решений задачи (1).

Определение 3. Непрерывные функции $\hat {\beta }(x,y,t,\varepsilon )$ и $\hat {\alpha }(x,y,t,\varepsilon )$ называются соответственно верхним и нижним решениями задачи (1), если для них выполняется следующая система неравенств:

${{1}^{0}}$ $\hat {\alpha }(x,y,t,\varepsilon ) \leqslant \hat {\beta }(x,y,t,\varepsilon ),\;(x,y,t) \in {{\bar {D}}_{T}};$

${{2}^{0}}$ ${{\varepsilon }^{2}}\Delta \hat {\beta } - \tfrac{{\partial{ \hat {\beta }}}}{{\partial t}} - f(\hat {\beta },x,y,t,\varepsilon ) \leqslant 0 \leqslant {{\varepsilon }^{2}}\Delta \hat {\alpha } - \tfrac{{\partial{ \hat {\alpha }}}}{{\partial t}} - f(\hat {\alpha },x,y,t,\varepsilon ),\;(x,y,t) \in D_{T}^{{( \mp )}};$

${{3}^{0}}$ $\tfrac{{\partial{ \hat {\alpha }}}}{{\partial {\mathbf{n}}}}(x,y,t,\varepsilon ) \leqslant {{u}^{0}}(x,y) \leqslant \tfrac{{\partial{ \hat {\beta }}}}{{\partial {\mathbf{n}}}}(x,y,t,\varepsilon ),(x,y,t) \in \partial D \times [0,T];$

${{4}^{0}}$  $\frac{{\partial{ \hat {\beta }}}}{{\partial r}}\left( {x( - 0,\theta ),y( - 0,\theta ),t,\varepsilon } \right)$  ≥  $\frac{{\partial{ \hat {\beta }}}}{{\partial r}}\left( {x( + 0,\theta ),y( + 0,\theta ),t,\varepsilon } \right),$         $\frac{{\partial{ \hat {\alpha }}}}{{\partial r}}\left( {x( - 0,\theta ),y( - 0,\theta ),t,\varepsilon } \right)$  ≤ $\frac{{\partial{ \hat {\alpha }}}}{{\partial r}}(x( + 0,\theta ),$ $y( + 0,\theta ),t,\varepsilon ),$   $t \in [0,T].$

Используя метод доказательства, приведенный в [24], можно получить следующий результат: для любой начальной функции, для которой справедливы неравенства

решение ${{\text{v}}_{\varepsilon }}(x,y,t)$ задачи (1), существует, единственно и в каждый момент времени заключено между верхним и нижним решениями:

Стоит отметить, что доказательство аналогичного утверждения в [24] проводится на основании принципа максимума для функций из класса ${{C}^{{1,1}}}({{D}_{T}}).$ Для верхнего и нижнего решений, удовлетворяющих неравенствам ${{4}^{0}},$ доказательство можно провести, используя следующую лемму.

Лемма. Пусть для функции $z(x,y,t,\varepsilon ) \in C({{\bar {D}}_{T}}) \cap {{C}^{{2,1}}}(D_{T}^{{( - )}} \cup D_{T}^{{( + )}})$ при некотором $\bar {c} > 0$ выполняются условия:

Тогда $z(x,y,t,\varepsilon ) \geqslant 0,(x,t) \in {{\bar {D}}_{T}}.$

Доказательство. Предположим, что функция $z(x,y,t,\varepsilon )$ достигает отрицательного минимума в точке $(\tilde {x},\tilde {y},\tilde {t}) \in {{D}_{T}}$. В силу неравенства (17) это не может быть точка границы $\partial D.$ Если точка $(\tilde {x},\tilde {y})$ – внутренняя точка ${{D}_{T}},$ не лежащая на кривой ${{C}_{0}},$ утверждение леммы следует из классического принципа максимума для параболических уравнений [25], [26].

Если минимум функции $z(x,y,t,\varepsilon )$ достигается в точке $(\hat {x}(\tilde {\theta }),\hat {y}(\tilde {\theta })) \in {{C}_{0}}$, то в этой точке выполняются неравенства $\tfrac{{\partial z}}{{\partial r}}\left( {x( - 0,\theta ),y( - 0,\theta ),t,\varepsilon } \right) \leqslant 0$, $\tfrac{{\partial z}}{{\partial r}}\left( {x( + 0,\theta ),y( + 0,\theta ),t,\varepsilon } \right) \geqslant 0$. Если хотя бы одно из этих неравенств строгое, то они противоречат неравенствам (16).

Если $\tfrac{{\partial z}}{{\partial r}}\left( {x( - 0,\theta ),y( - 0,\theta ),t,\varepsilon } \right) = \tfrac{{\partial z}}{{\partial r}}\left( {x( + 0,\theta ),y( + 0,\theta ),t,\varepsilon } \right) = 0$, то из этого равенства следует $\nabla z\left( {x( - 0,\theta ),y( - 0,\theta ),t,\varepsilon } \right) = \nabla z\left( {x( + 0,\theta ),y( + 0,\theta ),t,\varepsilon } \right) = 0$, тогда к противоречию можно прийти, используя схему доказательства принципа максимума, приведенную в [27] для функций из класса ${{C}^{1}}.$

Итак, функция $z(x,y,t,\varepsilon )$ не может достигать отрицательного минимума в ${{\bar {D}}_{T}}$, откуда следует утверждение леммы.

Единственность решения задачи (1) может быть доказана по аналогии с [25].

Не сложно проверить (аналогичные вычисления можно найти в [15]), что условия ${{1}^{0}}$–${{4}^{0}}$ выполняются, если выбрать функции $\hat {\beta }(x,y,t,\varepsilon )$ и $\hat {\alpha }(x,y,t,\varepsilon )$ следующим образом:

где $\beta _{1}^{{( \mp )}}(x,y,\varepsilon ),$ $\alpha _{1}^{{( \mp )}}(x,y,\varepsilon )$ – функции из (11), $\lambda $ – положительная постоянная.

Таким образом, существование и единственность решения задачи (1) для любой начальной функции, удовлетворяющей неравенствам (13) и, следовательно, (14) следует из того, что существуют верхнее и нижнее решения (18).

Из вида (18) верхнего и нижнего решений параболической задачи, а также из неравенств (15) и (10) следует предельное равенство

Из этого равенства и единственности решения ${{\text{v}}_{\varepsilon }}(x,y,t)$ следует локальная единственность стационарного решения ${{u}_{\varepsilon }}(x,y)$ – решения задачи (2) из промежутка (10) и его асимптотическая устойчивость.

Тем самым доказана следующая

Теорема 2. При выполнении условий 1–5 при достаточно малых $\varepsilon $ стационарное решение ${{u}_{\varepsilon }}(x,y)$ задачи (1) локально единственно как решение задачи (2) и асимптотически устойчиво по Ляпунову с областью устойчивости по крайней мере $\left[ {{{\alpha }_{1}}(x,y,\varepsilon );\;{{\beta }_{1}}(x,y,\varepsilon )} \right]$.

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая работа является развитием на новый класс задач цикла работ [1], [14]–[18], связанных с существованием и устойчивостью решений с внутренними переходными слоями краевых задач с разрывными слагаемыми. Методы исследования, предложенные в настоящей работе, можно обобщить на более сложные классы задач, в том числе прикладные задачи, связанные с моделями биофизики или перколяции. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы для разработки численных алгоритмов решения жестких задач с разрывными коэффициентами.