1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 59, № 4, 2019

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 4, стр. 670-683

Локальные бифуркации в уравнениях Кана–Хилларда, Курамото–Сивашинского и их обобщениях

А. Н. Куликов 1, Д. А. Куликов 1, *

1 ЯрГУ
150003 Ярославль, ул. Советская, 14, Россия

* E-mail: anat_kulikov@mail.ru

Поступила в редакцию 08.11.2017
После доработки 14.11.2018
Принята к публикации 14.11.2018

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается периодическая краевая задача для нелинейного эволюционного уравнения, которое при конкретизации его коэффициентов приобретает вид таких известных уравнений в математической физике, как уравнение Кана–Хилларда, Курамото–Сивашинского, Кавахары. Изучены три бифуркационные задачи, возникающие при смене устойчивости у пространственно однородных состояний равновесия. Их анализ основан на использовании метода инвариантных многообразий, аппарата нормальных форм для динамических систем с бесконечномерным пространством начальных условий, а также асимптотические методы анализа. Для бифурцирующих решений указаны асимптотические формулы, дан ответ об их устойчивости. Для уравнений Курамото–Сивашинского и Кавахары показано существование двумерного локального аттрактора, все решения на котором неустойчивы в смысле определения Ляпунова. Библ. 31.

Ключевые слова: нелинейная краевая задача, устойчивость, локальные бифуркации, нормальная форма, асимптотические формулы.

ВВЕДЕНИЕ

В работе будет рассмотрено нелинейное уравнение с частными производными

(0.1)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{u}_{t}} + \gamma {{u}_{{xxxx}}} + \beta {{u}_{{xx}}} + \alpha u + {{\gamma }_{1}}{{u}_{x}} + {{\gamma }_{2}}{{u}_{{xxx}}} + {{\gamma }_{3}}{{u}_{{xxxxx}}} + } \\ { + \;{{a}_{2}}{{{({{u}^{2}})}}_{x}} + {{b}_{2}}{{{({{u}^{2}})}}_{{xx}}} + {{a}_{3}}{{{({{u}^{3}})}}_{x}} + {{b}_{3}}{{{({{u}^{3}})}}_{{xx}}} = 0,} \end{array}$
где $\beta ,{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}},{{\gamma }_{3}},{{a}_{2}},{{b}_{2}},{{a}_{3}},{{b}_{3}} \in R,\gamma ,\alpha $ – неотрицательные постоянные, $u = u(t,x).$

Уравнение (0.1) при различных вариантах выбора его коэффициентов встречается во многих разделах механики и математической физики. Например, при $\gamma = \beta = \alpha = {{\gamma }_{3}} = {{b}_{2}} = {{b}_{3}} = {{a}_{3}} = 0$ получаем широко известное уравнение Кортевега-де Вриза. Если $\gamma > 0,\;\alpha \geqslant 0,$ ${{b}_{2}} = {{a}_{3}} = {{b}_{3}} = 0,$ то такой вариант уравнения (0.1) принято называть уравнением Курамото–Сивашинского [1]–[3]. В работе [2] соответствующее уравнение было получено при изучении двумерной системы Навье–Стокса в модификации Колмогорова после введения функции тока и ряда дополнительных предположений на параметры задачи. В работах [4]–[8] уравнение (0.1) было рассмотрено в варианте, когда $\alpha = 0,\;\gamma > 0$ $(\gamma = 1),$ ${{b}_{2}} = {{a}_{3}} = {{b}_{3}} = 0.$ Такая версия достаточно популярна и носит название – уравнение Кавахары (или Кавахары–Бенни-Лина). Уравнение Кавахары описывает эволюцию длинных волн в гидродинамике.

В приложениях к гидродинамике рассматривалось уравнение (0.1) при $\gamma = 1,\;\alpha = 0,$ ${{\gamma }_{1}} = {{\gamma }_{2}} = {{\gamma }_{3}} = 0.$ Такой вариант уравнения, если ${{a}_{2}} = {{a}_{3}} = {{b}_{2}} = 0,$ ${{b}_{3}} \ne 0$ известен под названием уравнения Кана–Хилларда [9].

Добавим, что к уравнению (0.1) во многих содержательных случаях может быть сведено уравнение, выведенное в [10] для описания механизма формирования рельефа на поверхности пластинок под воздействием потока ионов, а также при лазерной или электрохимической обработке [11]. Ряд математических задач для уравнения Бредли–Харпера и уравнений, из него полученных, было рассмотрено в работах [12]–[14].

Во многих из упомянутых работ уравнение (0.1) рассматривают вместе с периодическими краевыми условиями (см., например, [2], [3], [10], [11]). В данной работе уравнение (0.1) рассмотрим вместе с краевыми условиями

(0.2)
$u(t,x + 2\pi ) = u(t,x),$
а также будем считать, что $\gamma = 1$ (если изначально было $\gamma > 0,$ то нормировка времени позволяет обеспечить равенство $\gamma = 1).$

Дополним краевую задачу (0.1), (0.2) начальным условием

(0.3)
$u(0,x) = f(x).$
Пусть $f(x) \in H_{2}^{s},$ где $s = 5$ при ${{\gamma }_{3}} \ne 0$ и $s = 4$ при ${{\gamma }_{3}} = 0.$ Через $H_{2}^{s}$ обозначено пространство Соболева [15], состоящее из $2\pi $ периодических функций, у которых обобщенные производные до порядка $s$ включительно интегрируемы с квадратом на отрезке длины периода. При таком выборе $f(x)$ из результатов работ [16], [17] вытекает, что смешанная задача (0.1), (0.2), (0.3) локально корректно разрешима и ее решения в фазовом пространстве (пространстве начальных условий $H_{2}^{s}$) порождают локальный полупоток [18]
$f(x) \to {{f}_{t}}(x) = u(t,x).$
Эти замечания дают основание считать, что для исследования краевой задачи можно использовать методы качественной теории дифференциальных уравнений с бесконечномерным фазовым пространством (см., например, [18]).

1. ЛИНЕАРИЗОВАННАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

Изучим вопрос об устойчивости тривиального состояния равновесия краевой задачи (0.1), (0.2) и рассмотрим для этого вспомогательную линейную краевую задачу

(1.1)
${{u}_{t}} = Au,$
(1.2)
$u(t,x + 2\pi ) = u(t,x).$
Здесь линейный дифференциальный оператор (ЛДО) $A$ определен равенством
$Av = - {{v}^{{(IV)}}} - \beta v{\kern 1pt} {\text{''}} - \alpha v - {{\gamma }_{1}}v{\kern 1pt} {\text{'}} - {{\gamma }_{2}}v{\kern 1pt} {\text{'''}} - {{\gamma }_{3}}{{v}^{{(V)}}},$
где $v = v(x)$ – гладкая $2\pi $ периодическая функция. ЛДО $A$ имеет счетное семейство собственных значений (СЗ)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{\lambda }_{n}} = {{\tau }_{n}} + i{{\sigma }_{n}},\quad {{\tau }_{n}} = - {{n}^{4}} + \beta {{n}^{2}} - \alpha ,\quad {{\sigma }_{n}} = - {{\gamma }_{1}}n + {{\gamma }_{2}}{{n}^{3}} - {{\gamma }_{3}}{{n}^{5}},\quad n = 0, \pm 1, \pm 2,\; \ldots } \end{array}$
Соответствующие собственные функции (СФ) $exp(inx)$ образуют полную ортогональную систему функций в пространстве ${{L}_{2}}( - \pi ,\pi ).$ Поэтому решения линейной краевой задачи (1.1), (1.2) будут асимптотически устойчивы, если при всех $n$ выполнены неравенства ${{\tau }_{n}} < 0$ (в нашем случае $\mathop {lim}\limits_{|n| \to \infty } {{\tau }_{n}} = - \infty )$ и они неустойчивы, если при некотором $k$ выполнено неравенство ${{\tau }_{k}} > 0.$ В свою очередь нулевое решение нелинейной краевой задачи (0.1), (0.2) будет асимптотически (экспоненциально) устойчивым, если при всех $n$ справедливо неравенство ${{\tau }_{n}} < 0$ и оно неустойчиво, если существует такое целое $k,$ что ${{\tau }_{k}} > 0.$ Для краевой задачи (0.1), (0.2) реализуется критический случай, если ${{\tau }_{n}} \leqslant 0$ и при некоторых целых $k$ реализуется равенство ${{\tau }_{k}} = 0.$

Выделим возможные критические случаи в задаче об устойчивости нулевого решения рассматриваемой краевой задачи (0.1), (0.2). Пусть сначала $\alpha > 0.$ Тогда из анализа неравенства ${{n}^{4}} - \beta {{n}^{2}} + \alpha > 0$ и соответствующего равенства ${{n}^{4}} - \beta {{n}^{2}} + \alpha = 0$ при целых $n$ вытекает, что можно выделить два критических случая, если $\alpha \ne 0.$

Первый критический случай. Существует такое натуральное $m,$ что при $n = \pm m$ выполнено равенство ${{\tau }_{m}} = {{\tau }_{{ - m}}} = 0,$ а для $n \ne \pm m$ неравенство ${{\tau }_{n}} < 0.$ Такой вариант реализуется, если $\beta = {{\beta }_{1}} = {{m}^{2}} + {{(m + \delta )}^{2}},$ $\alpha = {{\alpha }_{1}} = {{m}^{2}}{{(m + \delta )}^{2}},$ $\delta \in ( - 1,1),$ что вытекает из теоремы Виета. При таком выборе $\alpha $ и $\beta $ линейная краевая задача (1.1), (1.2) имеет два линейно независимых периодических по t решения

${{q}_{m}} = exp(imx + i{{\sigma }_{m}}t),\quad {{q}_{{ - m}}} = {{\bar {q}}_{m}},\quad {{\sigma }_{m}} = {{\gamma }_{2}}{{m}^{3}} - {{\gamma }_{1}}m - {{\gamma }_{3}}{{m}^{5}},\quad {{\sigma }_{{ - m}}} = - {{\sigma }_{m}}.$

Второй критический случай. Существует такое натуральное $m,$ что равенство ${{\tau }_{n}} = 0$ реализуется при $n = \pm m$ и $n = \pm (m + 1).$ При остальных $n \ne \pm m,$ $n \ne \pm (m + 1)$ выполнено неравенство ${{\tau }_{n}} < 0.$ Такой вариант критического случая имеет место при $\alpha = {{\alpha }_{2}} = {{m}^{2}}{{(m + 1)}^{2}},$ $\beta = {{\beta }_{2}} = {{m}^{2}} + {{(m + 1)}^{2}}.$ Тогда краевая задача (1.1), (1.2) имеет следующие периодические по t решения:

$\begin{array}{*{20}{c}} {{{q}_{m}} = exp(imx + i{{\sigma }_{m}}t),\quad {{q}_{{ - m}}} = \mathop {\bar {q}}\nolimits_m ,\quad {{q}_{{m + 1}}}exp(i(m + 1)x + i{{\sigma }_{{m + 1}}}t),\quad {{q}_{{ - (m + 1)}}} = {{{\bar {q}}}_{{m + 1}}},} \\ {{{\sigma }_{m}} = {{\gamma }_{2}}{{m}^{3}} - {{\gamma }_{1}}m - {{\gamma }_{3}}{{m}^{5}},\quad {{\sigma }_{{m + 1}}} = {{\gamma }_{2}}{{{(m + 1)}}^{3}} - {{\gamma }_{1}}(m + 1) - {{\gamma }_{3}}{{{(m + 1)}}^{5}}.} \end{array}$

Особый критический случай при исследовании устойчивости возникает при $\alpha = 0.$ Тогда ЛДО $A$ имеет нулевое СЗ (${{\lambda }_{0}} = 0$), а соответствующая СФ ${{e}_{0}}(x) = 1.$ При $\beta = {{\beta }_{3}} = 1(\alpha = {{\alpha }_{3}} = 0)$ ЛДО $A$ имеет СЗ ${{\lambda }_{{ \pm 1}}} = \pm i\sigma ,$ где $\sigma = {{\gamma }_{2}} - {{\gamma }_{1}} - {{\gamma }_{3}}.$ Если $n \ne 0, \pm 1,$ то выполнено неравенство ${{\tau }_{n}} < 0.$

В следующих разделах работы будут проанализированы бифуркационные задачи, возникающие в случаях, близких к трем отмеченным критическим. Это позволит найти решения, ответвляющиеся от состояния равновесия $u = 0.$

2. БИФУРКАЦИОННАЯ ЗАДАЧА В СЛУЧАЕ, БЛИЗКОМ К КРИТИЧЕСКОМУ, ОДНОЙ ПАРЫ ЧИСТО МНИМЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

Положим в уравнении (0.1) $\beta = {{\beta }_{1}} + {{\nu }_{1}}\varepsilon ,\alpha = {{\alpha }_{1}} - {{\nu }_{2}}\varepsilon ,$ где ${{\nu }_{1}},{{\nu }_{2}} \in R,$ $\varepsilon \in (0,{{\varepsilon }_{0}}),$ $0 < {{\varepsilon }_{0}} \ll 1.$ Краевую задачу (0.1), (0.2) перепишем в следующем виде:

(2.1)
${{u}_{t}} = {{A}_{1}}u + \varepsilon {{B}_{1}}u + F(u),$
(2.2)
$u(t,x + 2\pi ) = u(t,x).$
Здесь
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{A}_{1}}u = - {{u}_{{xxxx}}} - {{\beta }_{1}}{{u}_{{xx}}} - {{\alpha }_{1}}u - {{\gamma }_{1}}{{u}_{x}} - {{\gamma }_{2}}{{u}_{{xxx}}} - {{\gamma }_{3}}{{u}_{{xxxxx}}},\quad {{B}_{1}}u = {{\nu }_{2}}u - {{\nu }_{1}}{{u}_{{xx}}},} \\ {F(u) = {{F}_{2}}(u) + {{F}_{3}}(u),\quad {{F}_{2}}(u) = - {{a}_{2}}{{{({{u}^{2}})}}_{x}} - {{b}_{2}}{{{({{u}^{2}})}}_{{xx}}},\quad {{F}_{3}}(u) = - {{a}_{3}}{{{({{u}^{3}})}}_{x}} - {{b}_{3}}{{{({{u}^{3}})}}_{{xx}}}.} \end{array}$
Из предположений п. 1 вытекает, что ЛДО $A(\varepsilon ) = {{A}_{1}} + \varepsilon {{B}_{1}}$ имеет СЗ
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{\lambda }_{ \pm }}(\varepsilon ) = \tau (\varepsilon ) \pm i\sigma (\varepsilon ),\quad \sigma (\varepsilon ) = {{\sigma }_{m}},\quad \tau (\varepsilon ) = \varepsilon \tau _{m}^{'},\quad \tau _{m}^{'} = {{\nu }_{1}}{{m}^{2}} + {{\nu }_{2}}.} \end{array}$
Этой паре СЗ отвечают СФ $exp( \pm imx).$ Для остальных СЗ $A(\varepsilon )$ справедливо неравенство $\operatorname{Re} {{\lambda }_{n}}(\varepsilon ) \leqslant - {{\gamma }_{0}} < 0,$ ${{\gamma }_{0}}$ – достаточно малая положительная постоянная, которая не зависит от $\varepsilon ,$ если $|\varepsilon |$ достаточно мал.

Все эти свойства позволяют заключить, что для краевой задачи (2.1), (2.2) справедливо утверждение, которое широко известно как бифуркационная теорема Андронова–Хопфа (см., например, [18]). Согласно ей изучение динамики решений с достаточно малыми по норме фазового пространства решений может быть сведено к изучению динамики вспомогательной двумерной системы на двумерном центральном многообразии ${{M}_{2}}(\varepsilon )$ [18]–[20]. Остальные решения с достаточно малыми начальными условиями $u(0,x) = f(x)$ приближаются к ${{M}_{2}}(\varepsilon )$ со скоростью экспоненты. Такую вспомогательную систему принято называть нормальной формой (НФ). При этом она в комплексной форме записи может быть записана в виде одного дифференциального уравнения для вспомогательной комплекснозначной функции $z = z(t)$

(2.3)
$\dot {z} = \varepsilon [\tau _{m}^{'} + ({{l}_{m}} + i{{g}_{m}}){\text{|}}z{{{\text{|}}}^{2}}]z,$
если первая ляпуновская величина ${{l}_{m}} \ne 0$, а также $\varepsilon \ne 0.$ Здесь выписана “главная” часть НФ, играющая определяющую роль при исследовании задачи в ситуации общего положения. Недостающие слагаемые имеют порядок $o(\varepsilon ).$

В приложениях к уравнениям с частными производными важен алгоритм построения НФ, т.е. способ вычисления ее коэффициентов. Ниже, в этом разделе, приводится алгоритм такого построения, который может быть проинтерпретирован как модификация широко известного метода Крылова–Боголюбова.

Решения краевой задачи (2.1), (2.2), принадлежащие центральному многообразию ${{M}_{2}}(\varepsilon ),$ будем искать в виде

(2.4)
$\begin{array}{*{20}{c}} {u(t,x,\varepsilon ) = {{\varepsilon }^{{1/2}}}{{u}_{1}}(t,x,z,\bar {z}) + \varepsilon {{u}_{2}}(t,x,z,\bar {z}) + {{\varepsilon }^{{3/2}}}{{u}_{3}}(t,x,z,\bar {z}) + O({{\varepsilon }^{2}}).} \end{array}$
Здесь $z = z(t)$ – решение дифференциального уравнения (2.3). Функция

${{u}_{1}}(t,x,z,\bar {z}) = z{{q}_{m}} + \bar {z}{{\bar {q}}_{m}},{{q}_{m}} = exp(imx + i{{\sigma }_{m}}t).$

Функции ${{u}_{2}},{{u}_{3}}$ гладко зависят от своих аргументов. При фиксированных $t,\;z,\;\bar {z}$ эти функции, как функции переменного $x,$ принадлежат $H_{2}^{s},$ а по переменной $t$ имеют период $2\pi {\text{/}}{{\sigma }_{m}}.$ Наконец,

${{M}_{k}}({{u}_{j}}) = \frac{{{{\sigma }_{m}}}}{{{{{(2\pi )}}^{2}}}}\int\limits_0^{2\pi /{{\sigma }_{m}}} \,\int\limits_0^{2\pi } \,{{u}_{j}}{{q}_{k}}dxdt = 0,\quad j = 2,3,\quad k = \pm m,\quad {{q}_{{ - m}}} = {{\bar {q}}_{m}}.$
Класс таких функций обозначим через $V.$

Подстановка суммы (2.4) в краевую задачу (2.1), (2.2) с последующим приравниванием членов при $\varepsilon $ и ${{\varepsilon }^{{3/2}}}$ приводит к неоднородным краевым задачам для определения функций ${{u}_{2}},{{u}_{3}}.$ Так, для ${{u}_{2}}$ получаем краевую задачу

(2.5)
${{u}_{{2t}}} - {{A}_{1}}{{u}_{2}} = {{\Phi }_{2}}(t,x,z,\bar {z}),$
(2.6)
${{u}_{2}}(t,x + 2\pi ) = {{u}_{2}}(t,x),$
где ${{\Phi }_{2}}(t,x,z,\bar {z}) = - {{a}_{2}}{{(u_{1}^{2})}_{x}} - {{b}_{2}}{{(u_{1}^{2})}_{{xx}}}.$ Краевая задача (2.5), (2.6) однозначно разрешима в классе функций из $V.$ При этом
${{u}_{2}}(t,x,z,\bar {z}) = {{\eta }_{m}}{{(z{{q}_{m}})}^{2}} + {{\bar {\eta }}_{m}}{{(\bar {z}{{\bar {q}}_{m}})}^{2}},$
где
${{\eta }_{m}} = \frac{{2(2{{b}_{2}}m - i{{a}_{2}})}}{{3m({{c}_{m}} + 2i{{d}_{m}}m)}},\quad {{c}_{m}} = 3{{m}^{2}} - 2m\delta - {{\delta }^{2}},\quad {{d}_{m}} = 5{{\gamma }_{3}}{{m}^{2}} - {{\gamma }_{2}}.$
Для ${{u}_{3}}$ получим аналогичную неоднородную краевую задачу
(2.7)
${{u}_{{3t}}} - {{A}_{1}}{{u}_{3}} = {{\Phi }_{3}}(t,x,z,\bar {z}),$
(2.8)
$\begin{gathered} {{u}_{3}}(t,x + 2\pi ) = {{u}_{3}}(t,x), \\ {{\Phi }_{3}}(t,x,z,\bar {z}) - {{a}_{3}}{{(u_{1}^{3})}_{x}} - {{b}_{3}}{{(u_{1}^{3})}_{{xx}}} - 2{{a}_{2}}{{({{u}_{1}}{{u}_{2}})}_{x}} - 2{{b}_{2}}{{({{u}_{1}}{{u}_{2}})}_{{xx}}} - {{B}_{1}}{{u}_{1}} - \\ - \;(\tau _{m}^{'} + ({{l}_{m}} + i{{g}_{m}}){\text{|}}z{{{\text{|}}}^{2}})z{{q}_{m}} - (\tau _{m}^{'} + ({{l}_{m}} - i{{g}_{m}})|z{{|}^{2}})\bar {z}{\kern 1pt} {{{\bar {q}}}_{m}}. \\ \end{gathered} $
При выписывании правой части уравнения (2.7) следует учесть, что производная по $t$ от $z = z(t)$ вычисляется в силу уравнения (2.3). Из условий ее разрешимости в классе функций $V({{M}_{m}}({{\Phi }_{3}}) = 0)$ находим, что с необходимостью
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{l}_{m}} = \frac{{4[{{c}_{m}}(2b_{2}^{2}{{m}^{2}} - a_{2}^{2}) - 6{{a}_{2}}{{b}_{2}}{{d}_{m}}{{m}^{2}}]}}{{3(c_{m}^{2} + 4{{m}^{2}}d_{m}^{2})}} + 3{{b}_{3}}{{m}^{2}},} \\ {{{g}_{m}} = - 3{{a}_{3}}m - \frac{{8m{{d}_{m}}(2b_{2}^{2}{{m}^{2}} - a_{2}^{2}) + 12m{{a}_{2}}{{b}_{2}}{{c}_{m}}}}{{3(c_{m}^{2} + 4{{m}^{2}}d_{m}^{2})}},} \end{array}$
а также еще раз подтвердилось, что надкритичность $\tau _{m}^{'} = {{\nu }_{1}}{{m}^{2}} + {{\nu }_{2}}.$

Лемма 2.1. НФ (2.3) имеет периодическое решение ${{P}_{1}}$

${{z}_{m}}(t) = {{\rho }_{m}}exp(i\varepsilon {{\omega }_{m}}t),\quad {{\rho }_{m}} = \sqrt { - \frac{{\tau _{m}^{'}}}{{{{l}_{m}}}}} ,\quad {{\omega }_{m}} - {{g}_{m}}\frac{{\tau _{m}^{'}}}{{{{l}_{m}}}},$
которое существует, если $\tau _{m}^{'}{{l}_{m}} < 0.$ Решение ${{P}_{1}}$ устойчиво, если ${{l}_{m}} < 0(\tau _{m}^{'} > 0)$, и неустойчиво при ${{l}_{m}} > 0\;(\tau _{m}^{'} < 0).$

Проверка справедливости леммы 2.1 стандартна. Например, существование точного решения проверяется простой подстановкой.

Из леммы 2.1, формулы (2.4) для решений на инвариантном (“центральном”) многообразии ${{M}_{2}}(\varepsilon )$ вытекает, что справедлива

Теорема 2.1. Существует такое ${{\varepsilon }_{0}} > 0,$ что при всех $\varepsilon \in (0,{{\varepsilon }_{0}})$ периодическому решению ${{P}_{1}}$ НФ (2.3) соответствует семейство периодических решений $P({{\varphi }_{m}})$ краевой задачи (2.1), (2.2)

(2.9)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{u}_{m}}(t,x,\varepsilon ) = {{\varepsilon }^{{1/2}}}{{\rho }_{m}}[exp(i{{\varphi }_{m}}) + exp( - i{{\varphi }_{m}})] + } \\ { + \;\varepsilon \rho _{m}^{2}[{{\eta }_{m}}exp(2i{{\varphi }_{m}}) + {{{\bar {\eta }}}_{m}}exp( - 2i{{\varphi }_{m}})] + O({{\varepsilon }^{{3/2}}}),} \end{array}$
где ${{\varphi }_{m}} = {{\varphi }_{m}}(t,x) = mx + ({{\sigma }_{m}} + \varepsilon {{\omega }_{m}})t + {{\varphi }_{0}},$ а ${{\varphi }_{0}}$ – произвольная действительная постоянная. Каждое из решений (2.9) устойчиво, если ${{l}_{m}} < 0$, и неустойчиво, если ${{l}_{m}} > 0.$

В иной терминологии семейство периодических решений в фазовом пространстве $H_{2}^{s}$ порождает цикл ${{C}_{m}},$ который орбитально асимптотически устойчив, если ${{l}_{m}} < 0$ (при ${{l}_{m}} > 0$ неустойчив).

Подчеркнем, что решения ${{u}_{m}}(t,x,\varepsilon )$ имеют структуру бегущей волны ${{u}_{m}}(t,x,\varepsilon ) = {{u}_{m}}({{\Theta }_{m}},\varepsilon ),$ где ${{\Theta }_{m}} = mx + ({{\sigma }_{m}} + \varepsilon {{\omega }_{m}} + o(\varepsilon ))t.$

С физической точки зрения, случай, когда цикл ${{C}_{m}}$ устойчив, более содержателен, так как соответствующие решения физически реализуемы. Такая ситуация воспроизводится при рассмотрении одного из вариантов уравнения Курамото–Сивашинского (при ${{b}_{2}} = {{a}_{3}} = {{b}_{3}} = {{\gamma }_{2}} = {{\gamma }_{3}} = 0$). При таком выборе коэффициентов

(2.10)
${{l}_{m}} = - \frac{{4a_{2}^{2}}}{{3(3{{m}^{2}} - 2m\delta - {{\delta }^{2}})}} < 0$
вне зависимости от выбора натурального $m$ и $\delta \in ( - 1,1).$

Если рассмотреть обобщенное уравнение Кана–Хиллиарда [9] $({{a}_{2}} = {{b}_{2}} = {{a}_{3}} = {{\gamma }_{1}} = {{\gamma }_{2}} = {{\gamma }_{3}} = 0),$ то для него ${{\sigma }_{m}} = {{\omega }_{m}} = 0.$ В этом случае получим не семейство периодических решений, а семейство состояний равновесия ${{S}_{m}},$ порождающих одномерное инвариантное множество. Оно асимптотически устойчиво, если ${{b}_{3}} < 0$ $({{l}_{m}} < 0)$, и неустойчиво, если ${{b}_{3}} > 0$ $({{l}_{m}} > 0).$

Здесь разобран вариант, когда $\alpha > 0.$ Традиционный вариант уравнений Кана–Хиллиарда предполагает, что $\alpha = 0.$ Его следует рассматривать отдельно.

3. СЛУЧАЙ, БЛИЗКИЙ К КРИТИЧЕСКОМУ, ДВУХ ПАР ЧИСТО МНИМЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

Положим в уравнении (0.1)

$\alpha = {{\alpha }_{2}} - {{\nu }_{2}}\varepsilon ,\quad \beta = {{\beta }_{2}} + {{\nu }_{1}}\varepsilon ,\quad {{\nu }_{1}},{{\nu }_{2}} \in \mathbb{R},\quad \varepsilon \in (0,{{\varepsilon }_{0}}),$
где $0 < {{\varepsilon }_{0}} \ll 1,$ а постоянные ${{\alpha }_{2}},{{\beta }_{2}} > 0$ были выбраны в разд. 1. Рассмотрим полученную краевую задачу
(3.1)
${{u}_{t}} = {{A}_{2}}u + \varepsilon {{B}_{2}}u + F(u),$
(3.2)
$u(t,x + 2\pi ) = u(t,x).$
Здесь ${{A}_{2}}u = - {{u}_{{xxxx}}} - {{\beta }_{2}}{{u}_{{xx}}} - {{\alpha }_{2}}u - {{\gamma }_{1}}{{u}_{x}} - {{\gamma }_{2}}{{u}_{{xxx}}} - {{\gamma }_{3}}{{u}_{{xxxxx}}},$ а ${{B}_{2}} = {{B}_{1}}$ (см. определение ${{B}_{1}}$ в разд. 2). Нелинейный оператор $F(u)$ был определен также в разд. 2. ЛДО $A(\varepsilon ) = {{A}_{2}} + \varepsilon {{B}_{2}}$ имеет СЗ

$\begin{gathered} {{\lambda }_{{ \pm m}}}(\varepsilon ) = {{\tau }_{m}}(\varepsilon ) \pm i{{\sigma }_{m}}(\varepsilon ),\quad {{\lambda }_{{ \pm (m + 1)}}}(\varepsilon ) = {{\tau }_{{m + 1}}}(\varepsilon ) \pm i{{\sigma }_{{m + 1}}}(\varepsilon ), \\ {{\tau }_{m}}(\varepsilon ) = \tau _{m}^{'}\varepsilon ,\quad \tau _{m}^{'} = {{\nu }_{1}}{{m}^{2}} + {{\nu }_{2}}, \\ \end{gathered} $
${{\tau }_{{m + 1}}}(\varepsilon ) = \tau _{{m + 1}}^{'}\varepsilon ,\quad \tau _{{m + 1}}^{'} = {{\nu }_{1}}{{(m + 1)}^{2}} + {{\nu }_{2}},$
$\begin{gathered} {{\sigma }_{m}}(\varepsilon ) = {{\sigma }_{m}},\quad {{\sigma }_{m}} = {{\gamma }_{2}}{{m}^{3}} - {{\gamma }_{1}}m - {{\gamma }_{3}}{{m}^{5}}, \\ {{\sigma }_{{m + 1}}}(\varepsilon ) = {{\sigma }_{{m + 1}}},\quad {{\sigma }_{{m + 1}}} = {{\gamma }_{2}}{{(m + 1)}^{3}} - {{\gamma }_{1}}(m + 1) - {{\gamma }_{3}}{{(m + 1)}^{5}}. \\ \end{gathered} $

Этим СЗ отвечают СФ $exp( \pm imx),exp( \pm i(m + 1)x)$ соответственно. При остальных $n$ справедливо неравенство $\operatorname{Re} {{\lambda }_{n}} \leqslant - {{\gamma }_{0}} < 0,$ $n \ne \pm m,$ $n \ne \pm (m + 1),$ ${{\gamma }_{0}}$ – положительная постоянная, которая не зависит от $\varepsilon .$

В такой ситуации краевая задача (3.1), (3.2) имеет в окрестности решения четырехмерное гладкое инвариантное (“центральное”) [18]–[20] многообразие ${{M}_{4}}(\varepsilon ),$ на котором динамику решений краевой задачи определяют решения вспомогательной системы из четырех обыкновенных дифференциальных уравнений (или системы из двух таких уравнений в комплексной форме записи).

В этом разделе сначала ограничимся изучением ситуации общего положения. Будем считать, что либо $m \ne 1,$ либо ${{\gamma }_{2}} \ne 5{{\gamma }_{3}}$ при $m = 1.$ В противном случае, кроме “резонанса” мод, реализуется резонанс собственных частот 1 : 2 в линеаризованной при $\varepsilon = 0$ краевой задачи (3.1), (3.2). Предположение, что $m = 1$ и ${{\gamma }_{2}} = 5{{\gamma }_{3}},$ приводит к НФ иной структуры.

Решения, принадлежащие ${{M}_{4}}(\varepsilon ),$ будем искать в виде, аналогичном сумме (2.4)

(3.3)
$u(t,x,\varepsilon ) = {{\varepsilon }^{{1/2}}}{{u}_{1}}(t,x,{{z}_{1}},{{\bar {z}}_{1}},{{z}_{2}},{{\bar {z}}_{2}}) + \varepsilon {{u}_{2}}(t,x,{{z}_{1}},{{\bar {z}}_{1}},{{z}_{2}},{{\bar {z}}_{2}}) + {{\varepsilon }^{{3/2}}}{{u}_{3}}(t,x,{{z}_{1}},{{\bar {z}}_{1}},{{z}_{2}},{{\bar {z}}_{2}}) + O({{\varepsilon }^{2}}).$
В правой части равенства (3.3) ${{z}_{1}}(t),$ ${{z}_{2}}(t)$ – решения системы дифференциальных уравнений, которую принято называть НФ. Она будет выписана ниже. Кроме того,
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{u}_{1}}(t,x,{{z}_{1}},{{{\bar {z}}}_{1}},{{z}_{2}},{{{\bar {z}}}_{2}}) = {{z}_{1}}{{q}_{m}} + {{{\bar {z}}}_{1}}{{{\bar {q}}}_{m}} + {{z}_{2}}{{q}_{{m + 1}}} + {{{\bar {z}}}_{2}}{{{\bar {q}}}_{{m + 1}}},} \\ {{{q}_{m}} = exp(imx + i{{\sigma }_{m}}t),\quad {{q}_{{m + 1}}} = exp(i(m + 1)x + i{{\sigma }_{{m + 1}}}t).} \end{array}$
Наконец, достаточно гладкие функции ${{u}_{j}}(t,x,{{z}_{1}},{{\bar {z}}_{1}},{{z}_{2}},{{\bar {z}}_{2}})$ $(j = 2,3),$ как функции переменного $x,$ принадлежат $H_{2}^{s},$ относительно переменной $t$ являются тригонометрическими полиномами, для них справедливы тождества
$\int\limits_0^{2\pi } \,{{u}_{j}}exp( \pm ikx)dx \equiv 0,\quad k = \pm m,\quad k = \pm (m + 1).$
В нерезонасном случае (считаем, что ${{\sigma }_{m}}:{{\sigma }_{{m + 1}}} \ne 1;2;1{\text{/}}2;3;1{\text{/}}3$) главная часть НФ имеет вид
(3.4)
$\begin{array}{*{20}{c}} {z_{1}^{'} = \varepsilon {{z}_{1}}[\tau _{m}^{'} + ({{l}_{{11}}} + i{{g}_{{11}}}){\text{|}}{{z}_{1}}{{{\text{|}}}^{2}} + ({{l}_{{12}}} + i{{g}_{{12}}}){\text{|}}{{z}_{2}}{{{\text{|}}}^{2}}],} \\ {z_{2}^{'} = \varepsilon {{z}_{2}}[\tau _{{m + 1}}^{'} + ({{l}_{{21}}} + i{{g}_{{21}}}){\text{|}}{{z}_{1}}{{{\text{|}}}^{2}} + ({{l}_{{22}}} + i{{g}_{{22}}}){\text{|}}{{z}_{2}}{{{\text{|}}}^{2}}].} \end{array}$
Здесь $\tau _{m}^{'} = {{\nu }_{1}}{{m}^{2}} + {{\nu }_{2}},$ $\tau _{{m + 1}}^{'} = {{\nu }_{1}}{{(m + 1)}^{2}} + {{\nu }_{2}}.$ Остальные коэффициенты ${{l}_{{jk}}},$ ${{g}_{{jk}}} \in \mathbb{R}$ определяются при реализации алгоритма построения НФ.

Подставим сумму (3.3) в краевую задачу (3.1), (3.2) и приравняем слагаемые при одинаковых степенях ${{\varepsilon }^{{1/2}}}.$ В результате получим неоднородные краевые задачи для определения функций ${{u}_{2}},{{u}_{3}}.$ При их составлении следует учесть, что производные по $t$ функций ${{z}_{1}}(t),$ ${{z}_{2}}(t)$ вычисляются как производные в силу системы дифференциальных уравнений (3.4). В результате получим две следующие задачи:

(3.5)
${{u}_{{2t}}} - {{A}_{2}}{{u}_{2}} = {{\Phi }_{2}}(t,x,{{z}_{1}},{{\bar {z}}_{1}},{{z}_{2}},{{\bar {z}}_{2}}),$
(3.6)
${{u}_{2}}(t,x + 2\pi ) = {{u}_{2}}(t,x),$
(3.7)
${{u}_{{3t}}} - {{A}_{3}}{{u}_{3}} = {{\Phi }_{3}}(t,x,{{z}_{1}},{{\bar {z}}_{1}},{{z}_{2}},{{\bar {z}}_{2}}),$
(3.8)
${{u}_{3}}(t,x + 2\pi ) = {{u}_{3}}(t,x).$
Здесь
$\begin{gathered} {{\Phi }_{2}}(t,x,{{z}_{1}},{{{\bar {z}}}_{1}},{{z}_{2}},{{{\bar {z}}}_{2}}) = - {{a}_{2}}{{(u_{1}^{2})}_{x}} - {{b}_{2}}{{(u_{1}^{2})}_{{xx}}}, \\ {{\Phi }_{3}}(t,x,{{z}_{1}},{{{\bar {z}}}_{1}},{{z}_{2}},{{{\bar {z}}}_{2}}) = - {{a}_{3}}{{(u_{1}^{3})}_{x}} - {{b}_{3}}{{(u_{1}^{3})}_{{xx}}} - 2{{a}_{2}}{{({{u}_{1}}{{u}_{2}})}_{x}} - 2{{b}_{2}}{{({{u}_{1}}{{u}_{2}})}_{{xx}}} + \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} + \;{{B}_{2}}{{u}_{1}} - {{z}_{1}}{{q}_{m}}\left[ {\tau _{m}^{'} + ({{l}_{{11}}} + i{{g}_{{11}}})\left| {z_{1}^{2}} \right| + ({{l}_{{12}}} + i{{g}_{{12}}})\left| {z_{2}^{2}} \right|} \right] - \\ - \;{{{\bar {z}}}_{1}}{{{\bar {q}}}_{m}}\left[ {\tau _{m}^{'} + ({{l}_{{11}}} - i{{g}_{{11}}})\left| {z_{1}^{2}} \right| + ({{l}_{{12}}} - i{{g}_{{12}}})\left| {z_{2}^{2}} \right|} \right] - \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} - \;{{z}_{2}}{{q}_{{m + 1}}}\left[ {\tau _{{m + 1}}^{'} + ({{l}_{{21}}} + i{{g}_{{21}}})\left| {z_{1}^{2}} \right| + ({{l}_{{22}}} + i{{g}_{{22}}})\left| {z_{2}^{2}} \right|} \right] - \\ - \;{{{\bar {z}}}_{2}}{{{\bar {q}}}_{{m + 1}}}\left[ {\tau _{{m + 1}}^{'} + ({{l}_{{21}}} - i{{g}_{{21}}})\left| {z_{1}^{2}} \right| + ({{l}_{{22}}} - i{{g}_{{22}}})\left| {z_{2}^{2}} \right|} \right]. \\ \end{gathered} $
Решения краевых задач (3.5), (3.6) и (3.7), (3.8) следует искать в виде тригонометрических многочленов от переменных $t$ и $x$, которые при всех $t$ ортогональны в смысле скалярного произведения в ${{L}_{2}}(0,2\pi )$ функциям $exp( \pm imx),exp( \pm i(m + 1)x).$ Соответствующее решение краевой задачи (3.5), (3.6) имеет следующий вид:
(3.9)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{{u}_{2}}(t,x,{{z}_{1}},{{{\bar {z}}}_{1}},{{z}_{2}},{{{\bar {z}}}_{2}}) = {{\eta }_{1}}z_{1}^{2}q_{m}^{2} + {{\eta }_{2}}z_{2}^{2}q_{{m + 1}}^{2} + {{\eta }_{3}}{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{q}_{m}}{{q}_{{m + 1}}} + } \\ { + \;{{\eta }_{4}}{{{\bar {z}}}_{1}}{{z}_{2}}{{{\bar {q}}}_{m}}{{q}_{{m + 1}}} + {{{\bar {\eta }}}_{1}}\bar {z}_{1}^{2}\bar {q}_{m}^{2} + {{{\bar {\eta }}}_{2}}\bar {z}_{2}^{2}\bar {q}_{{m + 1}}^{2} + {{{\bar {\eta }}}_{3}}{{{\bar {z}}}_{1}}{{{\bar {z}}}_{2}}{{{\bar {q}}}_{m}}{{{\bar {q}}}_{{m + 1}}} + {{{\bar {\eta }}}_{4}}{{z}_{1}}{{{\bar {z}}}_{2}}{{q}_{m}}{{{\bar {q}}}_{{m + 1}}}.} \end{array}$
При этом после подстановки суммы (3.9) в краевую задачу (3.5), (3.6) можно убедиться, что
$\begin{gathered} {{\eta }_{1}} = \frac{{2(2{{b}_{2}}m - {{a}_{2}}i)}}{{3m({{c}_{1}} + 2im{{d}_{1}})}},\quad {{\eta }_{2}} = \frac{{2(2{{b}_{2}}(m + 1) - {{a}_{2}}i)}}{{3(m + 1)({{c}_{2}} + 2i(m + 1){{d}_{2}})}}, \\ {{\eta }_{3}} = \frac{{2(2m + 1)({{b}_{2}}(2m + 1) - i{{a}_{2}})}}{{m({{c}_{3}} + i{{d}_{3}})}},\quad {{\eta }_{4}} = \frac{{2({{b}_{2}} - i{{a}_{2}})}}{{m({{c}_{4}} + i{{d}_{4}})}},\quad {{c}_{1}} = 3{{m}^{2}} - 2m - 1, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{c}_{2}} = 3{{m}^{2}} + 8m + 4,\quad {{c}_{3}} = (m + 1)(9{{m}^{2}} + 9m + 2), \\ {{c}_{4}} = ({{m}^{2}} - 1)(m + 2),\quad {{d}_{1}} = 5{{m}^{2}}{{\gamma }_{3}} - {{\gamma }_{2}},\quad {{d}_{2}} = 5{{(m + 1)}^{2}}{{\gamma }_{3}} - {{\gamma }_{2}}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{d}_{3}} = 5{{\gamma }_{3}}(6{{m}^{4}} + 15{{m}^{3}} + 14{{m}^{2}} + 6m + 1) - 3{{\gamma }_{2}}(2{{m}^{2}} + 3m + 1), \\ {{d}_{4}} = 3{{\gamma }_{2}}(m + 1) - 5{{\gamma }_{3}}({{m}^{3}} + 2{{m}^{2}} + 2m + 1). \\ \end{gathered} $
Коэффициенты НФ (3.4) находим из условий разрешимости краевой задачи (3.7), (3.8) в классе тригонометрических многочленов. Для этого должны обратиться в 0 коэффициенты в правой части уравнения (3.7) при ${{q}_{m}},\;{{\bar {q}}_{m}},\;{{q}_{{m + 1}}},\;{{\bar {q}}_{{m + 1}}}.$ Откуда находим, что

${{l}_{{11}}} = 3b_{3}^{{}}{{m}^{2}} + \frac{{4({{c}_{1}}(2b_{2}^{2}{{m}^{2}} - a_{2}^{2}) - 6{{a}_{2}}{{b}_{2}}{{d}_{1}}{{m}^{2}})}}{{3(c_{1}^{2} + 4{{m}^{2}}d_{1}^{2})}},$
${{g}_{{11}}} = - 3{{a}_{3}}m - \frac{{4m(2{{d}_{1}}(2b_{2}^{2}{{m}^{2}} - a_{2}^{2}) + 3{{b}_{2}}{{a}_{2}}{{c}_{1}})}}{{3(c_{1}^{2} + 4{{m}^{2}}d_{1}^{2})}},$
${{l}_{{22}}} = 3b_{3}^{{}}{{(m + 1)}^{2}} + \frac{{4({{c}_{2}}(2b_{2}^{2}{{{(m + 1)}}^{2}} - a_{2}^{2}) - 6{{a}_{2}}{{b}_{2}}{{d}_{2}}{{{(m + 1)}}^{2}})}}{{3(c_{2}^{2} + 4{{{(m + 1)}}^{2}}d_{2}^{2})}},$
${{g}_{{22}}} = - 3{{a}_{3}}(m + 1) - \frac{{4(m + 1)(2{{d}_{2}}(2b_{2}^{2}{{{(m + 1)}}^{2}} - a_{2}^{2}) + 3{{b}_{2}}{{a}_{2}}{{c}_{2}})}}{{3(c_{2}^{2} + 4{{{(m + 1)}}^{2}}d_{2}^{2})}},$
${{l}_{{12}}} = 6b_{3}^{{}}{{m}^{2}} + \frac{{4(2m + 1)}}{{c_{3}^{2} + d_{3}^{2}}}[{{c}_{3}}(b_{2}^{2}m(2m + 1) - a_{2}^{2}) - (3m + 1){{a}_{2}}{{b}_{2}}{{d}_{3}}] + 4\left[ {\frac{{{{c}_{4}}(b_{2}^{2}m + a_{2}^{2}) - (m - 1){{a}_{2}}{{b}_{2}}{{d}_{4}}}}{{c_{4}^{2} + d_{4}^{2}}}} \right],$
$\begin{gathered} {{g}_{{12}}} = - 6{{a}_{3}}m - 4(2m + 1)\left[ {\frac{{{{d}_{3}}(b_{2}^{2}(2m + 1)m - a_{2}^{2}) + (3m + 1){{c}_{3}}{{b}_{2}}{{a}_{2}}}}{{c_{3}^{2} + d_{3}^{2}}}} \right] + \\ + \;4\frac{{{{d}_{4}}(b_{2}^{2}m + a_{2}^{2}) + (m - 1){{a}_{2}}{{b}_{2}}{{c}_{4}}}}{{c_{4}^{2} + d_{4}^{2}}}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{l}_{{21}}} = 6{{(m + 1)}^{2}}{{b}_{3}} + 4\frac{{m + 1}}{m}\left[ {\frac{{{{c}_{4}}(b_{2}^{2}(m + 1) - a_{2}^{2}) - (m + 2){{d}_{4}}{{a}_{2}}{{b}_{2}}}}{{c_{4}^{2} + d_{4}^{2}}}} \right] + \\ + \;4\frac{{(m + 1)(2m + 1)}}{m}\left[ {\frac{{{{c}_{3}}(b_{2}^{2}(2m + 1)(m + 1) - a_{2}^{2}) - {{a}_{2}}{{b}_{2}}{{d}_{3}}(3m + 2)}}{{c_{3}^{2} + d_{3}^{2}}}} \right], \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{g}_{{21}}} = - 6{{a}_{3}}(m + 1) - 4\frac{{m + 1}}{m}\left[ {\frac{{{{d}_{4}}(b_{2}^{2}(m + 1) - a_{2}^{2}) + (m + 2){{a}_{2}}{{b}_{2}}{{c}_{4}}}}{{c_{4}^{2} + d_{4}^{2}}}} \right] - \\ - \;4\frac{{(m + 1)(2m + 1)}}{m}\left[ {\frac{{{{d}_{3}}(b_{2}^{2}(2m + 1)(m + 1) - a_{2}^{2}) + (3m + 2){{c}_{3}}{{b}_{2}}{{a}_{2}}}}{{c_{3}^{2} + d_{3}^{2}}}} \right]. \\ \end{gathered} $

В системе дифференциальных уравнений (3.4) положим

${{z}_{1}} = {{\rho }_{1}}exp(i{{\varphi }_{1}}),\quad {{z}_{2}} = {{\rho }_{2}}exp(i{{\varphi }_{2}})$
и для действительных функций ${{\rho }_{1}}(t),\;{{\rho }_{2}}(t),\;{{\varphi }_{1}}(t),\;{{\varphi }_{2}}(t)$ получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений (НФ)
(3.10)
$\begin{gathered} \mathop {\dot {\rho }}\nolimits_1 = \varepsilon [\tau _{m}^{'} + {{l}_{{11}}}\rho _{1}^{2} + {{l}_{{12}}}\rho _{2}^{2}]{{\rho }_{1}}, \\ \mathop {\dot {\rho }}\nolimits_2 = \varepsilon [\tau _{{m + 1}}^{'} + {{l}_{{21}}}\rho _{1}^{2} + {{l}_{{22}}}\rho _{2}^{2}]{{\rho }_{2}}, \\ \end{gathered} $
(3.11)
$\begin{gathered} \mathop {\dot {\varphi }}\nolimits_1 = \varepsilon [{{g}_{{11}}}\rho _{1}^{2} + {{g}_{{12}}}\rho _{2}^{2}], \\ \mathop {\dot {\varphi }}\nolimits_2 = \varepsilon [{{g}_{{21}}}\rho _{1}^{2} + {{g}_{{22}}}\rho _{2}^{2}]. \\ \end{gathered} $
В системе (3.10), (3.11) определяющую роль играет замкнутая подсистема (3.10) для амплитудных переменных ${{\rho }_{1}},\;{{\rho }_{2}}.$ Она, безусловно, имеет нулевое состояние равновесия ${{\rho }_{1}} = {{\rho }_{2}} = 0,$ соответствующее состоянию равновесия $u = 0$ краевой задачи (3.1), (3.2), но может иметь и ненулевые состояния равновесия.

Лемма 3.1. Система (3.10) имеет следующие ненулевые состояния равновесия:

$\begin{gathered} {{S}_{1}}:{{\rho }_{{11}}} = \sqrt { - \tau _{m}^{'}{\text{/}}{{l}_{{11}}}} ,\quad {{\rho }_{{21}}} = 0,\quad е с л и \quad \tau _{m}^{'}{{l}_{{11}}} < 0, \\ {{S}_{2}}:{{\rho }_{{12}}} = 0,\quad {{\rho }_{{22}}} = \sqrt { - \tau _{{m + 1}}^{'}{\text{/}}{{l}_{{22}}}} ,\quad е с л и \quad \tau _{{m + 1}}^{'}{{l}_{{22}}} < 0, \\ {{S}_{3}}:{{\rho }_{{13}}} = \sqrt {{{\Delta }_{1}}{\text{/}}\Delta } ,\quad {{\rho }_{{23}}} = \sqrt {{{\Delta }_{2}}{\text{/}}\Delta } ,\quad е с л и \quad {{\Delta }_{1}}\Delta > 0\;\,{\text{и }}\;\,{{\Delta }_{2}}\Delta > 0. \\ \end{gathered} $
В последних двух формулах
$\Delta = {{l}_{{11}}}{{l}_{{22}}} - {{l}_{{21}}}{{l}_{{12}}},\quad {{\Delta }_{1}} = {{l}_{{12}}}\tau _{{m + 1}}^{'} - {{l}_{{22}}}\tau _{m}^{'},\quad {{\Delta }_{2}} = {{l}_{{21}}}\tau _{m}^{'} - {{l}_{{11}}}\tau _{{m + 1}}^{'}.$
Состояние равновесия ${{S}_{1}}$ асимптотически устойчиво, если ${{l}_{{11}}} < 0,$ ${{\Delta }_{2}} < 0$, и неустойчиво, если хотя бы одна из величин ${{l}_{{11}}},\;{{\Delta }_{2}}$ положительна. Состояние равновесия ${{S}_{2}}$ асимптотически устойчиво, если ${{l}_{{22}}} < 0,$ ${{\Delta }_{1}} < 0$, и неустойчиво, если хотя бы одна из величин ${{l}_{{22}}},\;{{\Delta }_{1}}$ – положительна.

Наконец, ${{S}_{3}}$ асимптотически устойчиво, если

$\Delta > 0,\quad {{l}_{{11}}}{{\Delta }_{1}} + {{l}_{{22}}}{{\Delta }_{2}} < 0.$

Если $\Delta < 0$ или ${{l}_{{11}}}{{\Delta }_{1}} + {{l}_{{22}}}{{\Delta }_{2}} > 0,$ то ${{S}_{3}}$ неустойчиво.

Координаты ${{S}_{3}}$ находим как решения алгебраической системы

${{l}_{{11}}}\rho _{1}^{2} + {{l}_{{12}}}\rho _{2}^{2} = - \tau _{m}^{'},\quad {{l}_{{21}}}\rho _{1}^{2} + {{l}_{{22}}}\rho _{2}^{2} = - \tau _{{m + 1}}^{'}.$
Условия устойчивости указанных состояний равновесия проверяются стандартным образом. Для этого необходимо линеаризовать систему дифференциальных уравнений (3.10) на соответствующем состоянии равновесия.

Из результатов работ [21]–[24] вытекает справедливость утверждения.

Теорема 3.1. Существует такая положительная постоянная ${{\varepsilon }_{0}},$ что при всех $\varepsilon \in (0,{{\varepsilon }_{0}})$ ненулевому состоянию равновесия ${{S}_{1}}({{S}_{2}})$ соответствует цикл ${{L}_{m}}(\varepsilon )({{L}_{{m + 1}}}(\varepsilon ))$ нелинейной краевой задачи (3.1), (3.2). Соответствующий цикл ${{L}_{m}}(\varepsilon )({{L}_{{m + 1}}}(\varepsilon ))$ орбитально асимптотически устойчив (неустойчив), если асимптотически устойчиво (неустойчиво) соответствующее ему состояние равновесия.

Цикл ${{L}_{m}}(\varepsilon )$ порожден семейством периодических решений

${{u}_{m}}(t,x,\varepsilon ) = {{\varepsilon }^{{1/2}}}{{\rho }_{{11}}}(exp(i{{\psi }_{m}}) + exp( - i{{\psi }_{m}})) + \varepsilon \rho _{{11}}^{2}[{{\eta }_{1}}exp(2i{{\psi }_{m}}) + {{\bar {\eta }}_{1}}exp( - 2i{{\psi }_{m}})] + o(\varepsilon ),$
где ${{\psi }_{m}} = mx + ({{\sigma }_{m}} + {{\omega }_{m}}\varepsilon )t + {{\psi }_{0}},$ ${{\psi }_{0}} \in R.$

Для периодических решений, порождающих цикл ${{L}_{{m + 1}}}(\varepsilon ),$ имеем асимптотические формулы

$\begin{array}{*{20}{c}} {{{u}_{{m + 1}}}(t,x,\varepsilon ) = {{\varepsilon }^{{1/2}}}{{\rho }_{{22}}}(exp(i{{\psi }_{{m + 1}}}) + exp( - i{{\psi }_{{m + 1}}})) + } \\ { + \;\varepsilon \rho _{{22}}^{2}[{{\eta }_{2}}exp(2i{{\psi }_{{m + 1}}}) + {{{\bar {\eta }}}_{{{\kern 1pt} 2}}}exp( - 2i{{\psi }_{{m + 1}}})] + o(\varepsilon ),} \end{array}$
где ${{\psi }_{{m + 1}}} = (m + 1)x + ({{\sigma }_{{m + 1}}} + {{\omega }_{{m + 1}}}\varepsilon )t + {{\psi }_{0}},{{\psi }_{0}} \in R.$

При тех же $\varepsilon $ состоянию равновесия ${{S}_{3}}$ соответствует двумерный инвариантный тор ${{T}_{2}}(\varepsilon ),$ который асимптотически устойчив, если асимптотически устойчиво ${{S}_{3}}.$ Тор ${{T}_{2}}(\varepsilon )$ седловой, если неустойчиво состояние равновесия ${{S}_{3}}.$

Тор заполнен решениями, для каждого из которых справедлива асимптотическая формула

$\begin{gathered} {{u}_{T}}(t,x,\varepsilon ) = {{\varepsilon }^{{1/2}}}[{{\rho }_{{13}}}[exp(i{{\psi }_{3}}) + exp( - i{{\psi }_{3}})] + {{\rho }_{{23}}}[exp(i{{\psi }_{4}}) + exp( - i{{\psi }_{4}})]] + \varepsilon [\rho _{{13}}^{2}{{\eta }_{1}}exp(2i{{\psi }_{3}}) + \\ + \;\rho _{{23}}^{2}{{\eta }_{2}}exp(2i{{\psi }_{4}}) + {{\rho }_{{13}}}{{\rho }_{{23}}}{{\eta }_{3}}exp(i{{\psi }_{3}} + i{{\psi }_{4}}) + {{\rho }_{{13}}}{{\rho }_{{23}}}{{\eta }_{4}}exp(i{{\psi }_{4}} - i{{\psi }_{3}}) + {\text{к }}.{\text{с }}.] + o(\varepsilon ). \\ \end{gathered} $
Здесь ${{\psi }_{3}} = mx + ({{\sigma }_{m}} + \varepsilon {{\omega }_{m}} + o(\varepsilon ))t + {{\psi }_{{30}}},$ ${{\psi }_{4}} = (m + 1)x + ({{\sigma }_{{m + 1}}} + \varepsilon {{\omega }_{{m + 1}}} + o(\varepsilon ))t + {{\psi }_{{40}}},{{\psi }_{{30}}},$ ${{\psi }_{{40}}} \in R,$ ${{\omega }_{m}} = {{g}_{{11}}}\rho _{{13}}^{2} + {{g}_{{12}}}\rho _{{23}}^{2},$ ${{\omega }_{{m + 1}}} = {{g}_{{21}}}\rho _{{13}}^{2} + {{g}_{{22}}}\rho _{{23}}^{2}.$ Через к.с. во второй скобке правой части обозначены слагаемые, которые комплексно сопряжены к выписанным в явном виде. Поправки к частотам ${{\sigma }_{m}},\;{{\sigma }_{{m + 1}}}$ находим после анализа системы дифференциальных уравнений (3.11).

Теорема 3.1 сформулирована в ситуации общего положения. Если ${{\sigma }_{m}} = {{\sigma }_{{m + 1}}} = {{\omega }_{m}} = {{\omega }_{{m + 1}}} = 0,$ то семейство решений ${{u}_{T}}$ уже не зависит от $t$ и двумерное инвариантное множество ${{T}_{2}}(\varepsilon )$ заполнено семейством неоднородных состояний равновесия. Состояниям равновесия ${{S}_{1}},{{S}_{2}}$ соответствуют одномерные инвариантные многообразия, заполненные неоднородными состояниями равновесия. Последнее можно обнаружить, если рассмотреть уравнение Кана–Хилларда (т.е. уравнение (0.1) при ${{\gamma }_{1}} = {{\gamma }_{2}} = {{\gamma }_{3}} = {{a}_{2}} = {{b}_{2}} = {{a}_{3}} = 0,$ $\alpha > 0$), если ${{b}_{3}} < 0.$

Иная ситуация имеет место, если уравнение (0.1) рассмотреть при ${{\gamma }_{2}} = {{\gamma }_{3}} = {{b}_{2}} = {{a}_{3}} = {{b}_{3}} = 0,$ ${{\gamma }_{1}} \ne 0,$ ${{a}_{2}} \ne 0,$ $\alpha > 0.$ При таком выборе коэффициентов получаем одну из версий уравнения Курамото–Сивашинского (см. [2]). Пусть, кроме того, ${{\alpha }_{2}} = 36,$ ${{\beta }_{2}} = 13$ $(m = 2)$ и ${{\nu }_{1}} > 4{{\nu }_{2}} > 0.$ Проверка условий теоремы 3.1 показывает, что существуют два цикла ${{L}_{2}}(\varepsilon ),\;{{L}_{3}}(\varepsilon )$ и тор ${{T}_{2}}(\varepsilon ).$ При этом устойчив тор, а циклы седловые. Следовательно, с физической точки зрения, реализуются двухчастотные колебания, которые и заполняют двумерный инвариантный тор (в ситуации общего положения).

Пусть теперь $m = 1,$ ${{\gamma }_{2}} = 5{{\gamma }_{3}}.$ Следовательно, в рассматриваемой бифуркационной задаче реализуется при $\varepsilon = 0$ резонанс “собственных” частот 1 : 2, т.е. ${{\sigma }_{2}} = 2{{\sigma }_{1}}.$ Отметим, что ниже ограничимся частным случаем бифуркационной задачи. Более общий ее вариант предусматривает, что ${{\gamma }_{2}} - 5{{\gamma }_{3}} = {{\gamma }_{4}}\varepsilon ,$ где ${{\gamma }_{4}} \in R,$ а $\varepsilon $ – малый параметр.

В этом случае аппарат теории нормальных форм применяется в иной форме. Решения, принадлежащие ${{M}_{4}}(\varepsilon )$, следует искать в виде (см. [25], [26])

(3.12)
$u(t,x,\varepsilon ) = \varepsilon {{u}_{1}}(x,{{z}_{1}}{{\bar {z}}_{1}},{{z}_{2}},{{\bar {z}}_{2}}) + {{\varepsilon }^{2}}{{u}_{2}}(x,{{z}_{1}},{{\bar {z}}_{1}},{{z}_{2}},{{\bar {z}}_{2}}) + o({{\varepsilon }^{2}}),$
где

$\begin{gathered} {{u}_{1}}(t,x,{{z}_{1}},{{{\bar {z}}}_{1}},{{z}_{2}},{{{\bar {z}}}_{2}}) = {{z}_{1}}{{q}_{1}} + {{{\bar {z}}}_{1}}{{{\bar {q}}}_{1}} + {{z}_{2}}{{q}_{2}} + {{{\bar {z}}}_{2}}{{{\bar {q}}}_{2}},\quad {{z}_{j}} = {{z}_{j}}(t),\quad j = 1,2, \\ {{q}_{1}} = exp(i\sigma t + ix),\quad {{q}_{2}} = exp(2i\sigma t + 2ix),\quad {{\sigma }_{1}} = \sigma = {{\gamma }_{2}} - {{\gamma }_{1}} - {{\gamma }_{3}}. \\ \end{gathered} $

Подчеркнем, что ${{q}_{2}} = q_{1}^{2},\;{{q}_{1}}{{\bar {q}}_{1}} = 1,$ ${{q}_{2}}{{\bar {q}}_{2}} = 1.$ Наконец, комплекснозначные функции ${{z}_{1}}(t),\;{{z}_{2}}(t)$ удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений (НФ)

(3.13)
${{\dot {z}}_{1}} = \varepsilon {{\psi }_{1}}({{z}_{1}},{{\bar {z}}_{1}},{{z}_{2}},{{\bar {z}}_{2}}) + o(\varepsilon ),\quad {{\dot {z}}_{2}} = \varepsilon {{\psi }_{2}}({{z}_{1}},{{\bar {z}}_{1}},{{z}_{2}},{{\bar {z}}_{2}}) + o(\varepsilon ).$
Правые части НФ (3.13) будут определены позднее. Подстановка суммы (3.12) в краевую задачу (3.1), (3.2) и выделение членов пропорциональных ${{\varepsilon }^{2}}$ приводит к неоднородной краевой задаче для определения функций ${{u}_{2}} = {{u}_{2}}(t,x,{{z}_{1}},{{\bar {z}}_{1}},{{z}_{2}},{{\bar {z}}_{2}}).$ В этом случае соответствующая краевая задача имеет вид
(3.14)
${{u}_{{2t}}} = {{A}_{2}}{{u}_{2}} + \varepsilon {{B}_{2}}{{u}_{1}} - {{a}_{2}}{{(u_{1}^{2})}_{x}} - {{b}_{2}}{{(u_{1}^{2})}_{{xx}}} - {{\psi }_{1}}{{q}_{1}} - {{\bar {\psi }}_{1}}{{\bar {q}}_{1}} - {{\psi }_{2}}{{q}_{2}} - {{\bar {\psi }}_{2}}{{\bar {q}}_{2}},$
(3.15)
${{u}_{2}}(t,x + 2\pi ,{{z}_{1}},{{\bar {z}}_{1}},{{z}_{2}},{{\bar {z}}_{2}}) = {{u}_{2}}(t,x,{{z}_{1}},{{\bar {z}}_{1}},{{z}_{2}},{{\bar {z}}_{2}}).$
Из условий ее разрешимости в классе $2\pi {\text{/}}\sigma $ периодических по переменной $t$ функций вытекает, что
${{\psi }_{1}} = \tau _{1}^{'}{{z}_{1}} + ({{l}_{3}} + i{{g}_{3}}){{\bar {z}}_{1}}{{z}_{2}},\quad {{\psi }_{2}} = \tau _{2}^{'}{{z}_{2}} + ({{l}_{4}} + i{{g}_{4}})z_{1}^{2}.$
В нашем случае

$\tau _{1}^{'} = {{\nu }_{1}} + {{\nu }_{2}},\quad \tau _{2}^{'} = 4{{\nu }_{1}} + {{\nu }_{2}},\quad {{l}_{3}} + i{{g}_{3}} = 2({{b}_{2}} - i{{a}_{2}}),\quad {{l}_{4}} + i{{g}_{4}} = 2(2{{b}_{2}} - i{{a}_{2}}).$

Далее, включая следующий раздел, ограничимся рассмотрением вариантов уравнения, когда ${{b}_{2}} = 0.$ Если дополнительно ${{a}_{3}} = 0,\;{{b}_{3}} = 0,$ то получаем одну из версий уравнения Кавахары, а при ${{\gamma }_{2}} = {{\gamma }_{3}} = 0,\;{{a}_{3}} = 0,$ ${{b}_{2}} = 0$ получаем одну из версий для уравнения Курамото–Сивашинского. При таких дополнительных предположениях укороченная нормальная форма примет вид $({{a}_{2}} \ne 0)$

${{\dot {z}}_{1}} = \varepsilon [\tau _{1}^{'}{{z}_{1}} - 2i{{a}_{2}}{{\bar {z}}_{1}}{{z}_{2}}],\quad {{\dot {z}}_{2}} = \varepsilon [\tau _{2}^{'}{{z}_{2}} - 2i{{a}_{2}}z_{1}^{2}].$
Замены ${{z}_{1}} = {{v}_{1}}{\text{/}}(2{{a}_{2}}),$ ${{z}_{2}} = - {{v}_{2}}{\text{/}}(2{{a}_{2}})$ сводят последнюю систему дифференциальных уравнений к следующей:

(3.16)
${{\dot {v}}_{1}} = \varepsilon [\tau _{1}^{'}{{v}_{1}} + i{{\bar {v}}_{1}}{{v}_{2}}],\quad {{\dot {v}}_{2}} = \varepsilon [\tau _{2}^{'}{{v}_{2}} + iv_{1}^{2}].$

В системе дифференциальных уравнений (3.16) положим

${{v}_{1}} = {{\rho }_{1}}exp(i{{\varphi }_{1}}),\quad {{v}_{2}} = {{\rho }_{2}}exp(i{{\varphi }_{2}}),\quad {{\rho }_{1}},{{\rho }_{2}} \geqslant 0,\quad {{\varphi }_{1}},{{\varphi }_{2}} \in \mathbb{R}.$
В результате она перепишется в действительной форме:

$\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\dot {\rho }}}_{1}} = \varepsilon [\tau _{1}^{'}{{\rho }_{1}} - {{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}}sin\psi ],\quad {{{\dot {\rho }}}_{2}} = \varepsilon [\tau _{2}^{'}{{\rho }_{2}} + \rho _{1}^{2}sin\psi ],} \\ {\mathop {\dot {\varphi }}\nolimits_1 = \varepsilon {{\rho }_{2}}sin\psi ,\quad \mathop {\dot {\varphi }}\nolimits_2 = \varepsilon (\rho _{1}^{2}{\text{/}}{{\rho }_{2}})cos\psi ,\quad \psi = {{\varphi }_{2}} - 2{{\varphi }_{1}}.} \end{array}$

В свою очередь из последней системы дифференциальных уравнений можно выделить замкнутую подсистему из трех уравнений

$\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\dot {\rho }}\nolimits_1 = \varepsilon [\tau _{1}^{'}{{\rho }_{1}} - {{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}}sin\psi ],\mathop {\quad \dot {\rho }}\nolimits_2 = \varepsilon [\tau _{2}^{'}{{\rho }_{2}} + \rho _{1}^{2}sin\psi ],} \\ {\dot {\psi } = \varepsilon \left[ {\frac{{\rho _{1}^{2}}}{{{{\rho }_{2}}}} - 2{{\rho }_{2}}} \right]cos\psi ,} \end{array}$
которая имеет следующие грубые состояния равновесия:
${{S}_{1}}:\psi = \frac{\pi }{2},\quad {{\rho }_{1}} = \sqrt { - \tau _{1}^{'}\tau _{2}^{'}} ,\quad {{\rho }_{2}} = \tau _{1}^{'},$
${{S}_{2}}:\psi = \frac{{3\pi }}{2},\quad {{\rho }_{1}} = \sqrt { - \tau _{1}^{'}\tau _{2}^{'}} ,\quad {{\rho }_{2}} = - \tau _{1}^{'}.$
Состояние равновесия ${{S}_{1}}$ существует, если $\tau _{1}^{'} > 0,\;\tau _{2}^{'} < 0,$ а ${{S}_{2}},$ если $\tau _{1}^{'} < 0,\;\tau _{2}^{'} > 0.$ При этом первое из них асимптотически устойчиво, а второе неустойчиво.

Пусть в уравнении (0.1) ${{b}_{2}} = 0,\;{{\gamma }_{2}} = 5{{\gamma }_{3}},$ $\alpha = {{\alpha }_{2}} - {{\nu }_{2}}\varepsilon ,$ $\beta = {{\beta }_{2}} - {{\nu }_{1}}\varepsilon ,$ ${{\alpha }_{2}} = 4,$ ${{\beta }_{2}} = 5,$ ${{a}_{2}} \ne 0.$ Из построений и результатов работы [25], [26] вытекает справедливость утверждения.

Теорема 3.2. Существует ${{\varepsilon }_{0}} > 0,$ что при всех $\varepsilon \in (0,{{\varepsilon }_{0}})$ краевая задача (0.1), (0.2) имеет предельный цикл, если $\tau _{1}^{'}\tau _{2}^{'} < 0.$ Это цикл устойчив, если $\tau _{2}^{'} < 0$ и $2\tau _{1}^{'} + \tau _{2}^{'} < 0.$ Для решений, формирующих этот цикл, справедлива асимптотическая формула

$u(t,x,\varepsilon ) = \frac{\varepsilon }{{{{a}_{2}}}}\sqrt { - \tau _{1}^{'}\tau _{2}^{'}} cos(\sigma t + x + {{\varphi }_{0}}) + \frac{\varepsilon }{{{{a}_{2}}}}\tau _{1}^{'}sin(2\sigma t + 2x + 2{{\varphi }_{0}}) + O({{\varepsilon }^{2}}),\quad {{\varphi }_{0}} \in R.$
Напомним, что $\tau _{1}^{'} = {{\nu }_{1}} + {{\nu }_{2}},$ $\tau _{2}^{'} = 4{{\nu }_{1}} + {{\nu }_{2}}.$

4. ОСОБЫЙ ВАРИАНТ БИФУРКАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ

В этом разделе рассмотрим краевую задачу (0.1), (0.2) при $\alpha = 0.$ Будем дополнительно предполагать, что ${{a}_{3}} = {{b}_{3}} = {{b}_{2}} = 0.$ При всех этих дополнительных предположениях получаем уравнение, которое принято называть уравнением Кавахары (Кавахары–Бенни–Лина) [4], [5]. Если дополнительно ${{\gamma }_{2}} = {{\gamma }_{3}} = 0,$ то имеем уравнение Курамото–Сивашинского.

Положим также $\beta = 1 + \varepsilon ,$ $\varepsilon \in (0,{{\varepsilon }_{0}}),$ $0 < {{\varepsilon }_{0}} \ll 1.$ В результате получим особый вариант критического случая, когда спектру устойчивости принадлежит ${{\lambda }_{0}} = 0$ и ${{\lambda }_{{ \pm 1}}} = \pm i{{\sigma }_{1}},$ ${{\sigma }_{1}} = - {{\gamma }_{1}} + {{\gamma }_{2}} - {{\gamma }_{3}}$ (см. разд. 1). Перепишем краевую задачу (0.1), (0.2) в форме, аналогичной разд. 2, разд. 3:

(4.1)
${{u}_{t}} = {{A}_{3}}u + \varepsilon {{B}_{3}}u - {{a}_{2}}(u)_{x}^{2},$
(4.2)
$u(t,x + 2\pi ) = u(t,x),$
где ${{A}_{3}}u = - {{u}_{{xxxx}}} - {{u}_{{xx}}} - {{\gamma }_{1}}{{u}_{x}} - {{\gamma }_{2}}{{u}_{{xxx}}} - {{\gamma }_{3}}{{u}_{{xxxxx}}},$ ${{B}_{3}}u = - {{u}_{{xx}}}.$

Любое решение краевой задачи (4.1), (4.2) можно представить в виде суммы

$u(t,x) = {{u}_{0}}(t) + v(t,x),\quad {{u}_{0}}(t) = {{M}_{0}}(u) \equiv \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } u(t,x)dx,$
$v(t,x) = \sum\limits_{n \ne 0} \,{{u}_{n}}(t)exp(inx),\quad {{u}_{n}}(t) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } u(t,x)exp( - inx)dx.$
Ясно, что ${{M}_{0}}(v) = 0.$ Подчеркнем, что правая часть уравнения (4.1) имеет нулевое пространственное среднее. Поэтому краевая задача (4.1), (4.2) может быть заменена на уравнение
${{\dot {u}}_{0}}(t) = 0,\quad {{u}_{0}}(t) = c,$
где $c$ – произвольная действительная постоянная, и краевая задача для $v(t,x)$
(4.3)
${{v}_{t}} = A(c)v + \varepsilon {{B}_{3}}v - {{a}_{2}}{{({{v}^{2}})}_{x}},$
(4.4)
$v(t,x + 2\pi ) = v(t,x),\quad {{M}_{0}}(v) = 0,$
где $A(c)v = {{A}_{3}}v - 2{{a}_{2}}c{{v}_{x}}.$ Следовательно, ЛДО $A(c)$ имеет СЗ
${{\lambda }_{{ \pm 1}}}(\varepsilon ,c) = \varepsilon \pm i\sigma (c),\quad \sigma (c) = {{\gamma }_{2}} - {{\gamma }_{1}} - {{\gamma }_{3}} - 2{{a}_{2}}c,\quad \sigma (0) = {{\sigma }_{1}},$
а для остальных ${{\lambda }_{n}}(\varepsilon ,c)$ выполнено неравенство $\operatorname{Re} {{\lambda }_{n}}(\varepsilon ,c) \leqslant - {{\gamma }_{0}} < 0.$ Причем ${{\gamma }_{0}}$ не зависит от выбора $c.$ Фазовым пространством нелинейной краевой задачи (4.3), (4.4) следует считать пространство $H_{{2,0}}^{s} \subset H_{2}^{s},$ состоящее из тех функций $f(x) \in H_{2}^{s}(u(0,x) = f(x)),$ для которых дополнительно выполнено равенство ${{M}_{0}}(f) = 0.$

Для анализа бифуркаций нелинейной краевой задачи (4.3), (4.4) применима методика из разд. 2 данной работы. Напомним, что исследование окрестности краевой задачи (4.3), (4.4) может быть сведено к анализу НФ:

(4.5)
$\dot {z} = \varepsilon [1 + (l + ig){\text{|}}z{{{\text{|}}}^{2}}]z.$
В данном случае
$l = - \frac{{4a_{2}^{2}}}{{3(4 + {{d}^{2}})}} < 0,\quad g = \frac{{2da_{2}^{2}}}{{3(4 + {{d}^{2}})}},\quad d = 5{{\gamma }_{3}} - {{\gamma }_{2}}.$
Дифференциальное уравнение (4.5) имеет устойчивое периодическое решение
$z(t) = {{\rho }_{0}}exp(i\varepsilon {{\omega }_{0}}t),\quad {{\rho }_{0}} = \sqrt { - 1{\text{/}}l} ,\quad {{\omega }_{0}} = - g{\text{/}}l,$
которому соответствует семейство периодических решений, имеющих структуру бегущей волны
${{v}_{c}}(t,x,\varepsilon ) = 2{{\rho }_{0}}{{\varepsilon }^{{1/2}}}cos({{\psi }_{c}}) + O(\varepsilon ),\quad {{\psi }_{c}} = x + \sigma (c)t + \alpha ,$
где $\alpha $ – произвольная действительная постоянная. В данном разделе выписан только главный член асимптотики в действительной форме. Понятно, что формулу для ${{v}_{c}}(t,x,\varepsilon )$ можно уточнить, если воспользоваться вычислениями из разд. 2. Периодические решения ${{v}_{c}}(t,x,\varepsilon )$ формируют цикл ${{L}_{c}}(\varepsilon )$ в фазовом пространстве решений вспомогательной краевой задачи (4.3), (4.4). Все ее решения с достаточно малыми по норме начальными условиями и лежащие в некоторой окрестности ${{L}_{c}}(\varepsilon )$ приближаются к нему со скоростью экспоненты, показатель которой $\kappa ({{\gamma }_{0}}) < 0,$ но не зависит от выбора $c.$

Возвратимся теперь к краевой задаче (4.1), (4.2). Она имеет семейство периодических решений

(4.6)
${{u}_{c}}(t,x,\varepsilon ) = c + 2{{\rho }_{0}}{{\varepsilon }^{{1/2}}}cos({{\psi }_{c}}) + O(\varepsilon ),$
которое зависит от двух произвольно выбранных параметров $c$ и ${{c}_{0}}.$ Более того, это семейство решений формирует двумерное инвариантное множество ${\text{Cil}}(\varepsilon )$ для решений краевой задачи (4.1), (4.2) (локальный аттрактор для ее решений). Это инвариантное множество уместно назвать цилиндром, так как с геометрической точки зрения представляет собой декартово произведение замкнутой траектории ${{L}_{c}}(\varepsilon )$ на прямую.

Подчеркнем, что все решения (4.6) периодические функции переменной $t,$ период которых зависит от выбора $c.$ Действительно,

${{T}_{c}} \simeq 2\pi {\text{/}}\sigma (c),\quad \sigma (c) = {{\gamma }_{2}} - {{\gamma }_{1}} - {{\gamma }_{3}} - 2{{a}_{2}}c\quad ({{a}_{2}} \ne 0).$

Доказательство того факта, что все решения двупараметрического семейства периодических решений (4.6) неустойчивы в смысле определения Ляпунова в норме фазового пространства решений достаточно стандартно. Выберем два какие-либо решения из этого семейства:

${{u}_{1}} = u(t,x,{{c}_{1}},{{\alpha }_{1}}) = {{c}_{1}} + 2{{\rho }_{0}}{{\varepsilon }^{{1/2}}}cos(x + \sigma ({{c}_{1}})t + {{\alpha }_{1}}) + o({{\varepsilon }^{{1/2}}}),$
${{u}_{2}} = u(t,x,{{c}_{2}},{{\alpha }_{2}}) = {{c}_{2}} + 2{{\rho }_{0}}{{\varepsilon }^{{1/2}}}cos(x + \sigma ({{c}_{2}})t + {{\alpha }_{2}}) + o({{\varepsilon }^{{1/2}}}).$

“Главные” части обоих последних формул обозначим через ${{w}_{1}},{{w}_{2}},$ т.е.

${{w}_{j}} = {{w}_{j}}(t,x,{{c}_{j}},{{\alpha }_{j}}) = {{c}_{j}} + 2{{\rho }_{0}}{{\varepsilon }^{{1/2}}}cos(x + \sigma ({{c}_{j}})t + {{\alpha }_{j}}),\quad j = 1,2.$
Тогда следствием тригонометрических преобразований будет равенство
${\text{|}}\Delta {{w}_{x}}{\text{|}} = {\text{|}}{{w}_{{1x}}} - {{w}_{{2x}}}{\text{|}} = 4{{\rho }_{0}}{{\varepsilon }^{{1/2}}}{\text{|}}sin{{\Theta }_{1}}(t){\text{||}}cos{{\Theta }_{2}}(t,x){\text{|}},$
где
$\begin{gathered} {{\Theta }_{1}}(t) = 0.5[(\sigma ({{c}_{1}}) - \sigma ({{c}_{2}}))t + {{\Delta }_{1}}],\quad {{\Theta }_{2}}(t,x) = x + 0.5[(\sigma ({{c}_{1}}) + \sigma ({{c}_{2}}))t + {{\Delta }_{2}}], \\ {{\Delta }_{1}} = {{\alpha }_{1}} - {{\alpha }_{2}},{{\Delta }_{2}} = {{\alpha }_{1}} + {{\alpha }_{2}}. \\ \end{gathered} $
Элементарные вычисления показывают, что

$\left\| {\Delta {{w}_{x}}} \right\|_{{{{L}_{2}}(0,2\pi )}}^{2} = \int\limits_0^{2\pi } \,{{(\Delta {{w}_{x}})}^{2}}dx = 16\pi \rho _{0}^{2}\varepsilon si{{n}^{2}}({{\Theta }_{1}}(t)).$

Из этих построений вытекает, что справедливы 3 замечания:

1) ${{\left\| {\Delta {{w}_{x}}} \right\|}_{{{{L}_{2}}(0,2\pi )}}} = 4{{\pi }^{{1/2}}}{{\rho }_{0}}{{\varepsilon }^{{1/2}}},$ если $t = {{t}_{k}},$ где ${{t}_{k}}$ выбирается как решение уравнения

$0.5[(\sigma ({{c}_{1}}) - \sigma ({{c}_{2}})){{t}_{k}}] + {{\Delta }_{1}} = \frac{\pi }{2} + \pi k,$
где $k \in Z,$ т.е. ${{t}_{k}} = \frac{{\pi + 2\pi k - {{\Delta }_{1}}}}{{2{{a}_{2}}({{c}_{2}} - {{c}_{1}})}}.$ Выбор $k$ обеспечивает справедливость неравенство ${{t}_{k}} > 0.$ Кроме того, $\mathop {lim}\limits_{|k| \to \infty } {\text{|}}{{t}_{k}}{\text{|}} = \infty .$

2) Следовательно, имеем

${{\left\| {\Delta w} \right\|}_{{H_{2}^{s}}}} \geqslant {{\left\| {\Delta {{w}_{x}}} \right\|}_{{{{L}_{2}}(0,2\pi )}}} \geqslant 4{{\pi }^{{1/2}}}{{\rho }_{0}}{{\varepsilon }^{{1/2}}},$
если $s = 4$ или 5, a $t = {{t}_{k}}.$

3) Наконец, при $t = 0$ получаем неравенство ${{\left\| {\Delta w} \right\|}_{{H_{2}^{s}}}} \leqslant \delta ,$ если ${\text{|}}{{c}_{1}} - {{c}_{2}}{\text{|}} \leqslant {{\delta }_{1}},$ ${\text{|}}{{\alpha }_{1}} - {{\alpha }_{2}}{\text{|}} \leqslant {{\delta }_{1}}.$ При этом $\delta = \delta ({{\delta }_{1}}) \to 0,$ если ${{\delta }_{1}} \to 0.$

Аналогичные замечания справедливы и для решений ${{u}_{1}},\;{{u}_{2}},$ а не только для их “главных” частей, если ${{\varepsilon }_{0}}$ – достаточно малая положительная постоянная, а $\varepsilon \in (0,{{\varepsilon }_{0}}).$

Похожий результат был получен в [27], где рассматривалась иная краевая задача.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе изучена периодическая краевая задача для уравнения (0.1), которое при конкретизации коэффициентов включает в себя такие известные уравнения, как Курамото–Сивашинского, Кана–Хилларда, Кавахары. Для краевой задачи (0.1), (0.2) изучены локальные бифуркации при смене устойчивости однородными состояниями равновесия. Отметим, что задача о локальных бифуркациях для краевой задачи типа (0.1), (0.2) рассматривалась, но для некоторых частных случаев, часто при дополнительных условиях на класс решений. В большинстве случаев речь шла об изучении локальных бифуркаций для простейшей редакции уравнения Курамото–Сивашинского вместе с периодическими краевыми условиями и дополнительными предположениями относительно решений такой краевой задачи. Например, четности (нечетности) относительно пространственной переменной $x$ (см., например, [28], [29]). При этом использовалась редукция краевой задачи к конечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений на основе применения метода Галеркина с небольшим количеством базисных функций (например, четырех). Часто детальный анализ бифуркаций был основан на использовании компьютерного анализа соответствующих бифуркационных задач. Отметим также, что во многих работах используется основополагающая работа [30], где доказана теорема о существовании глобального аттрактора смешанной задачи

${{u}_{t}} + \nu {{u}_{{xxxx}}} + {{u}_{{xx}}} + \frac{1}{2}{{({{u}_{x}})}^{2}} = 0,$
$u(0,x) = {{u}_{0}}(x),\quad x \in R,$
$u(t,x + L) = u(t,x),\quad u(t, - x) = u(t,x)$
или
${{u}_{t}} + \nu {{u}_{{xxxx}}} + {{u}_{{xx}}} + {{({{u}^{2}})}_{x}} = 0,$
$u(0,x) = {{u}_{0}}(x),\quad x \in R,$
$u(t,x + L) = u(t,x),\quad u(t, - x) = - u(t,x),$
т.е. периодических краевых задач для базисного варианта уравнения Курамото–Сивашинского, но с дополнительными условиями четности или нечетности решений. В некоторых работах в ситуациях, аналогичных работам [28], [29] для анализа базисного варианта уравнения Курамото–Сивашинского использовался метод Ляпунова–Шмидта (см., например, [31]).

Список литературы

  1. Kuramoto Y. Chemical oscillations, waves and turbulence. Berlin: Springer, 1984. P. 114–132.

  2. Sivashinsky G.I. Weak turbulence in periodic flow // Physica D. 1985. V. 17. P. 234–255.

  3. Диссипативные солитоны // Под ред. Н. Ахмедиева и А. Анкевича. М.: Физматлит, 2008. P. 422–425.

  4. Kawahara T., Takaoka M. Chaotic behaviour of solutions lattice in an unstable dissipative-dispersive nonlinear system // Physica D. 1989. V. 39. P. 4095–4099.

  5. Xie Yuan-Xi. New explicit and exact solutions of the Benney-Kawahara-Lin equation// Chinese Physics B. 2009. V. 18. № 10. P. 4094–4099.

  6. Hunter J.K., Scheurle J. Existence of perturberbed solitary wave solutions to a model equation for water waves // Physica D. 1988. V. 32. P. 253–268.

  7. Porubov A.V. Exact travelling wave solutions of nonlinear evolution equation of surface waves in a convecting fluid // J. Phys. A: Math. Gen. 1993. V. 26. P. 797–800.

  8. Порубов А.В. Локализация нелинейных волн деформации. М.: Физматлит, 2009. С. 26–31.

  9. Cahn J.W., Hilliard J.E. Free energy of a nonuniform system 1. Interfacial free energy // J. Chem. Phys. 1958. V. 28. P. 258–267.

  10. Bradley R.M., Harper J.M.E. Theory of ripple topography by ion bombardment // J. Vac. Technol. A. 1988. V. 6. 4. P. 2390–2995.

  11. Emel’yanov V.I. Kuramoto–Sivashinsky equation of modulation of surface relief of molten layer and formation of surface microstructures under pulsed irradition of solid // Laser Physics. 2011. V. 21. № 1. P. 222–228.

  12. Куликов А.Н., Куликов Д.А. Формирование волнообразных наноструктур на поверхности плоских подложек при ионной бомбардировке // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2012. Т. 52. № 5. С. 930–945.

  13. Куликов А.Н., Куликов Д.А. Бифуркации пространственно неоднородных решений в двух краевых задачах для обобщенного уравнения Курамото–Сивашинского // Вестник МИФИ. 2014. Т. 3. № 4. С. 408–415.

  14. Kulikov A.N., Kulikov D.A. Inhomogeneous solutions for a modified Kuramoto–Sivashinsky equation // J. of Math. Sci. 2016. V. 219. № 2. P. 173–183.

  15. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1950. С. 39–83.

  16. Соболевский П.Е. Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве // Тр. ММО. 1961. Т. 10. С. 297–350.

  17. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. С. 76–103.

  18. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. С. 11–57.

  19. Куликов А.Н. О гладких инвариантных многообразиях полугруппы нелинейных операторов в банаховом пространстве // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль. 1976. С. 114–129.

  20. Куликов А.Н. Инерциальные многообразия нелинейных автономных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве // Препринт 85 института. М.: ИПМ АН СССР, 1991. 22 с.

  21. Колесов А.Ю., Куликов А.Н., Розов Н.Х. Инвариантные торы одного класса точечных отображений: принцип кольца // Дифференц. ур-ния. 2003. Т. 39. № 5. С. 584–601.

  22. Колесов А.Ю., Куликов А.Н., Розов Н.Х. Инвариантные торы одного класса точечных отображений: сохранение инвариантного тора при возмущениях // Дифференц. ур-ния. 2003. Т. 39. № 6. С. 738–753.

  23. Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений. М.: Физматлит, 2004. С. 14–112.

  24. Куликов А.Н. О бифуркациях рождения инвариантных торов // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль. 1983. С. 112–117.

  25. Kulikov A.N. Resonance of proper frequencies 1 : 2 as a reason for hard excitation of oscillations for the plate in ultrasonic gas // Tр. международного конгресса ENOC-2008. Saint-Petersburg. 2008. P. 1638–1643.

  26. Куликов А.Н. Бифуркация малых периодических решений в случае, близком к резонансу 1 : 2 для одного класса нелинейных эволюционных уравнений // Динамические системы. 2012. Т. 2(30). № 3–4. С. 241–258.

  27. Куликов А.Н. Аттракторы двух краевых задач для модифицированного телеграфного уравнения // Нелинейная динамика. 2008. Т. 4. № 1. С. 57–68.

  28. Armbruster D., Guckenheimer J., Holmes P. Kuramoto–Sivashinsky dynamics on the center – unstable manifolds // Siam. J. Appl. Math. V. 49. № 3. P. 676–691.

  29. Kevrekidis I.G., Nicolaenko B., Scovel J.C. Back in the saddle again: A computer assisted study of the Kuramoto–Sivashinsky equation // SIAM J. Appl. Math. 1990. V. 50. P. 760–790.

  30. Nicolaenko B., Scheurer B., Temam R. Some global dynamics properties of the Kuramoto–Sivashinsky equations: Nonlinear stability and attractors // Physica D. 1985. V. 16. P. 155–183.

  31. Changpin Li, Zhonghua Y. Bifurcation of two-dimensional Kuramoto–Sivashinsky equation // Appl. Math. JCU. 1998. V. 13. P. 263–270.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал