Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 5, стр. 752-761

1. ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В статье рассматривается задача реконструкции входного воздействия системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Суть задачи состоит в построении алгоритма динамического восстановления входа (возмущения) по измерению части фазовых координат системы. Методы решения подобного типа задач хорошо известны. В настоящей работе мы исследуем задачу, которая имеет две особенности. Во-первых, предполагается, что измеряются (с ошибкой) в дискретные, достаточно частые, моменты времени не все, а только часть фазовых координат заданной динамической системы. Во-вторых, относительно неизвестного возмущения, действующего на систему, известно лишь, что оно является элементом пространства функций, ограниченных по существу. Указанные предположения ведут к невозможности точного восстановления входа. Учитывая данную особенность задачи, мы конструируем устойчивый к информационным помехам и погрешностям вычислений алгоритм решения, который основан на подходящей модификации известного в теории гарантированного управления метода экстремального сдвига.

Рассматривается нелинейная система дифференциальных уравнений

с начальным состоянием где $0 < \vartheta < + \infty $, $x \in {{\mathbb{R}}^{n}}$, $y \in {{\mathbb{R}}^{r}}$, $u \in {{\mathbb{R}}^{q}}$, ${{f}_{1}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) \in W_{\infty }^{1}(T;{{\mathbb{R}}^{n}})$ и ${{f}_{2}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) \in W_{\infty }^{1}(T;{{\mathbb{R}}^{r}})$ – заданные функции, $u$ – возмущение, $A$, ${{A}_{1}}$ и $C$ – стационарные матрицы соответствующих размерностей, отображения $B:{{\mathbb{R}}^{r}} \to {{\mathbb{R}}^{n}}$ и ${{B}_{1}}:{{\mathbb{R}}^{r}} \to {{\mathbb{R}}^{r}}$ – удовлетворяют условиям Липшица. Здесь $W_{\infty }^{1}(T;{{\mathbb{R}}^{n}})$ – пространство дифференцируемых $n$-мерных функций, производные которых ограничены по существу, т.е являются элементами пространства ${{L}_{\infty }}(T;{{\mathbb{R}}^{n}})$.

Содержательно суть обсуждаемой в работе задачи состоит в следующем. На систему (1.1) действует неизвестное возмущение $u({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) \in {{L}_{\infty }}(T;{{\mathbb{R}}^{q}})$. В дискретные, достаточно частые, моменты времени

измеряется часть фазовых состояний системы (1.1), а именно состояния $y({{\tau }_{{i,j}}}) = y({{\tau }_{{i,j}}};{{z}_{0}},u({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ))$, где ${{z}_{0}} = \left\{ {{{x}_{0}},{{y}_{0}}} \right\}$ – начальное состояние системы (1.1), $z( \cdot ;{{z}_{0}},u({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )) = \left\{ {x( \cdot ;{{z}_{0}},u({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )),y( \cdot ;{{z}_{0}},u({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ))} \right\}$ – решение системы (1.1), отвечающее этому начальному состоянию и возмущению $u({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$. Состояния $y({{\tau }_{{i,j}}})$ измеряются с ошибкой. Результаты измерений – векторы $\xi _{{i,j}}^{h} \in {{\mathbb{R}}^{r}}$, $i \in [0:m - 1]$, $j \in [0:{{m}^{{(1)}}} - 1]$ – удовлетворяют неравенствам Здесь $h \in (0,1)$ – уровень погрешности измерения, символ $|\, \cdot \,{{|}_{r}}$ означает евклидову норму в пространстве ${{\mathbb{R}}^{r}}$. Предполагаем, что начальное состояние системы (1.1), т.е. вектор ${{z}_{0}}$, известно с ошибкой. Именно, известен вектор $z_{h}^{0} = \{ \tilde {x}_{0}^{h},\xi _{{0,0}}^{h}\} $, где $\xi _{{0,0}}^{h}$ удовлетворяет неравенству (1.2) при $i = 0$, $j = 0$, а $\tilde {x}_{0}^{h}$ – неравенству ${{\left| {{{x}_{0}} - \tilde {x}_{0}^{h}} \right|}_{n}} \leqslant h$. Обсуждаемая задача состоит в построении алгоритма приближенного восстановления (реконструкции) неизвестного возмущения $u({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ по результатам неточных измерений состояний $y({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$.

Описанная задача относится к классу задач динамического восстановления (реконструкции). Подобные задачи в последние годы вызывают пристальное внимание. Один из подходов к решению задач динамической реконструкции входа был развит в [1]–[7]. Подход основан на методах теории гарантированного управления [8] и методе сглаживающего функционала [9]. В случае, когда $u(t)$ стеснено мгновенными ограничениями ($u(t) \in P$, где $P$ – выпуклый компакт в соответствующем евклидовом пространстве) и измеряются все фазовые координаты системы (1.1), обсуждаемая задача может быть решена на основе конструкций работы [1]. В данной работе мы рассмотрим случай измерения части координат. Кроме того, будем предполагать, что мгновенные ограничения на вход отсутствуют. Именно, известно лишь, что $u( \cdot )$ является измеримой (по Лебегу) функцией, ограниченной по существу. При этом укажем алгоритм решения задачи, который основан на методе динамического обращения, а также известном в теории позиционного управления методе экстремального сдвига. Другие алгоритмы реконструкции входных воздействий систем обыкновенных дифференциальных уравнений при измерении части фазовых координат приведены в работах [1], [2], [4]–[7].

Для решения обсуждаемой задачи воспользуемся подходом, развитым в работах [1]–[7]. Согласно этому подходу задача реконструкции заменяется задачей управления некоторой новой системой (системами). Таким образом, необходимо а) подобрать вспомогательную систему (системы), б) указать алгоритм формирования управления (управлений) выбранной системой (системами). В нашем случае в качестве вспомогательных систем мы возьмем две системы. Первая система имеет вид

Ее начальное состояние ${{w}^{h}}(0) = 0$ и управление ${{u}^{h}} = {{u}^{h}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$. Вторая система ($w_{0}^{h} \in {{\mathbb{R}}^{r}}$, $\text{v}_{ * }^{h} \in {{\mathbb{R}}^{r}}$) следующего вида: с управлением $\text{v}_{ * }^{h} = \text{v}_{ * }^{h}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$. Ее начальное состояние имеет вид

Заметим, что один и тот же выход $y({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ может порождаться целым семейством возмущений. Следуя принятому в теории некорректных задач подходу [9], мы будем восстанавливать элемент из этого семейства минимальной ${{L}_{2}}$-нормы.

2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Прежде, чем перейти к описанию алгоритма решения рассматриваемой задачи, приведем некоторые вспомогательные результаты, которые нам понадобятся в дальнейшем. Фиксируем два семейства разбиений интервала $T$. Семейство

а также семейство При этом второе семейство выбирается таким образом, что Ниже используем обозначение Заметим, что

Введем вспомогательную управляемую систему, описываемую векторным линейным дифференциальным уравнением (1.4) с управлением $\text{v}_{ * }^{h}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$. Пусть взята некоторая функция $\alpha = \alpha (h):(0,\;1) \to (0,\;1)$. Положим

Здесь и всюду ниже векторы $\xi _{{i,j}}^{h} \in {{\mathbb{R}}^{r}}$ таковы, что В системе (1.4) управление $\text{v}_{ * }^{h}(t)$ зададим по правилу (2.1). Следовательно, управление $\text{v}_{ * }^{h}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ в системе (1.4) будет находиться по принципу обратной связи В таком случае система (1.4) примет вид

Фиксируем число $\gamma \in (0,1)$. В дальнейшем нам понадобится

Условие 1. Выполнены следующие соотношения:

Пусть

Как видно из доказательства теоремы 5 (см. [10]), при $t > 0$ имеет место неравенство Кроме того,

Учитывая эти неравенства, заключаем, что справедлива

Лемма 1. Пусть выполнено условие $1$. Тогда при всех $t \in T$ верно неравенство

При этом имеет место сходимость ${{\varphi }_{\gamma }}\left( {\alpha (h),h,{{\delta }_{1}}(h)} \right) \to 0$ при $h \to 0$.

Здесь и всюду ниже $d,{{d}_{0}},{{d}_{1}},\; \ldots ,\;{{C}_{1}},{{C}_{2}},\; \ldots $, а также $c,{{c}_{0}},{{c}_{1}},{{c}_{2}} \ldots $ означают постоянные, которые могут быть выписаны в явном виде.

Лемма 2. Пусть $\alpha = \alpha (h) = \delta _{1}^{{2/3}}(h)$. Тогда имеет место неравенство

Доказательство. В силу леммы 1, каково бы ни было число $\gamma \in (0,1)$, имеет место соотношение

Пусть ${{\delta }_{1}}{{\alpha }^{{ - 1}}} = \alpha \delta _{1}^{{ - \gamma }}.$ Тогда $\alpha = \delta _{1}^{{(1 + \gamma )/2}}.$ В таком случае имеем Значит, Считаем $\delta _{1}^{\gamma } = \delta _{1}^{{1/2 - \gamma /2}}$, т.е. $\gamma = 1{\text{/}}3$. Тогда $\alpha = \delta _{1}^{{2/3}}$, $(1 + \gamma ){\text{/}}2 = 2{\text{/}}3$, $1{\text{/}}2 - \gamma {\text{/}}2 = 1{\text{/}}3$. Справедливость леммы вытекает из неравенства (2.3). Лемма доказана.

В дальнейшем нам потребуется следующее

Условие 2. Существует матрица ${{A}_{ * }}$ размерности $r \times r$ такая, что ${{A}_{1}}A = {{A}_{ * }}{{A}_{1}}$.

Приведем примеры матриц, для которых выполняется условие 2:

1) $r = n$, матрицы $A$ и ${{A}_{1}}$ перестановочные (коммутирующие);

2) $r < n$, матрицы $A$ и ${{A}_{1}}$ имеют структуру:

Здесь ${{A}^{{(1)}}}$, ${{A}^{{(2)}}}$ – матрицы размерности $r \times r$, $\mathcal{O}$ – нулевая матрица размерности $r \times (n - r)$, ${{A}^{{(3)}}}$, ${{A}^{{(4)}}}$ – матрицы размерностей $(r - n) \times r$ и $(r - n) \times (r - n)$ соответственно, причем матрицы ${{A}^{{(1)}}}$ и ${{A}^{{(2)}}}$ – коммутирующие;

3) ${{A}_{1}} = A_{0}^{'}$ и ${{A}_{1}}A = A_{0}^{ + }$, где ${{A}_{0}}$ – некоторая матрица, $A_{0}^{ + }$ – псевдообратная для ${{A}_{0}}$ матрица, $A_{0}^{'}$ – транспонированная матрица.

Введем обозначения

Лемма 3. Справедливы неравенства

Доказательство. Заметим, что

В силу (1.2) верны неравенства Учитывая условия ${{\dot {f}}_{1}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) \in {{L}_{\infty }}(T;{{\mathbb{R}}^{n}})$, ${{\dot {f}}_{2}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) \in {{L}_{\infty }}(T;{{\mathbb{R}}^{r}})$ и $u({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) \in {{L}_{\infty }}(T;{{\mathbb{R}}^{q}})$ заключаем, что верны соотношения В таком случае, нетрудно показать, что Утверждение леммы вытекает из леммы 2, а также неравенств (2.4)–(2.7). Лемма доказана.

Пусть ${{\delta }_{1}} = h$, $\delta = h[{{h}^{{ - 3/4}}}]$. Здесь символ $[a]$ означает целую часть числа $a$. Тогда имеем

Значит, Поэтому Учитывая последнее неравенство, в силу леммы 3, имеем Таким образом, верна

Лемма 4. Пусть ${{\delta }_{1}} = h$, $\delta = h[{{h}^{{ - 3/4}}}]$. Тогда справедливо неравенство

Пусть $(H,|\, \cdot \,{{|}_{H}})$ – гильбертово пространство со скалярным произведением ${{( \cdot , \cdot )}_{H}}$, $s$ – элемент пространства $H$, $c$ и $\varepsilon $ – некоторые числа, из которых $\varepsilon $ положительно.

Лемма 5. Пусть a) элемент $\text{v} \in H$ удовлетворяет неравенству

${\text{б }})$ $u \in H$ элемент минимальной нормы, удовлетворяющий неравенству

Тогда верны неравенства

Доказательство леммы тривиально.

3. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ

Перейдем к описанию алгоритма решения рассматриваемой задачи. При этом мы организуем процесс синхронного управления системами (1.1), (1.3) и (1.4).

До начала работы алгоритма фиксируем величину $h$, числа $\gamma \in (0,1)$ и $\alpha = \alpha (h)$, а также разбиения ${{\Delta }_{{{{m}_{h}}}}}$ и ${{\Delta }_{{{{m}_{h}},m_{h}^{{(1)}}}}}$. Работу алгоритма разобьем на однотипные шаги.

Управления в системе (1.3) будем корректировать в узлах первого разбиения. При $t \in [{{\tau }_{{0,h}}},{{\tau }_{{1,h}}})$ полагаем $u_{0}^{h} = 0.$ Далее, сначала, в момент ${{\tau }_{{i + 1,h}}}$ ($i$-й шаг, $0 \leqslant i \leqslant {{m}_{h}} - 2$), вычислим вектор $u_{{i + 1}}^{h}$ по формуле

где символ $( \cdot , \cdot )$ означает скалярное произведение в соответствующем конечномерном евклидовом пространстве. Затем на вход системы (1.3) в течение промежутка ${{\delta }_{i}} = [{{\tau }_{{i + 1,h}}},{{\tau }_{{i + 2,h}}})$ будем подавать постоянное управление ${{u}^{h}}(t) = u_{{i + 1}}^{h}$. В результате под действием этого управления система (1.3) переходит из состояния ${{w}^{h}}({{\tau }_{{i + 1,h}}})$ в состояние ${{w}^{h}}({{\tau }_{{i + 2,h}}})$. На следующем, $(i + 1)$-м шаге, аналогичные действия повторяются.

Управления в системе (1.4) будем корректировать в узлах второго разбиения. В моменты ${{\tau }_{{i,j,h}}}$ будем вычислять функции $\text{v}_{ * }^{h}(t)$ и ${{\tilde {v}}^{h}}(t)$, $t \in {{\delta }_{{i,j,h}}} = [{{\tau }_{{i,j,h}}},{{\tau }_{{i,j + 1,h}}})$ по формулам (2.1) и (2.2) соответственно. Первую функцию будем подавать на вход системы (1.4) в течение всего промежутка ${{\delta }_{{i,j,h}}}$. Под действием этого управления система (1.4) перейдет из состояния $w_{0}^{h}({{\tau }_{{i,j,h}}})$ в состояние $w_{0}^{h}({{\tau }_{{i + 1,j,h}}})$. В свою очередь вторую функцию будем использовать для вычисления векторов $\mu _{i}^{h}$.

Работа алгоритма заканчивается в момент $\vartheta $.

Теорема 1. Пусть $\gamma = 1{\text{/}}3$, $\alpha (h) = \delta _{1}^{{2/3}}(h)$, ${{\delta }_{1}} = h$, $\delta = h[{{h}^{{ - 3/4}}}]$, $u( \cdot )$ – неизвестное возмущение, действующее на систему (1.1). Пусть также выполнены условия $1$ и $2$. Тогда при всех ${{\tau }_{{i,h}}} \in {{\Delta }_{h}}$ верны неравенства

где ${{d}_{1}} > 0$ – некоторая постоянная,

Доказательство. Из первого равенства в (1.1) вытекает

Поэтому В свою очередь из второго равенства в (1.1) имеем Из первой подсистемы в (1.1) получаем В свою очередь из второй подсистемы в (1.1) следует равенство Поэтому в силу условия 2 имеем Следовательно, Из (3.2), учитывая (3.3)–(3.5), заключаем, что справедливо равенство Оценим изменение величины $\varepsilon ( \cdot )$. Заметим, что Нетрудно видеть также, что имеет место равенство где В силу леммы 3 верна оценка Поэтому справедливо неравенство где Кроме того, в силу уже упоминавшейся леммы Далее, имеем Из (3.9) следует неравенство Далее, в силу леммы 5, учитывая (3.11), а также правило выбора управления ${{u}^{h}}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ (см.(3.1)), получаем При выводе (3.12), (3.13) мы полагали $\varepsilon = 2{{\left| {{{s}_{i}}} \right|}_{r}}\phi (h,{{\delta }_{1}})$, $H = {{L}_{2}}([{{\tau }_{i}},{{\tau }_{{i + 1}}}];{{\mathbb{R}}^{r}})$, $s(\tau ) = ({{A}_{1}}C){\text{'}}{{s}_{i}}$ при п. в. $\tau \in [{{\tau }_{i}},{{\tau }_{{i + 1}}}]$, $c = ({{s}_{i}},\mu _{{i + 1}}^{h} - \mu _{i}^{h})$. В силу (3.10), (3.13), верно неравенство Кроме того, имеем Заметим, что Здесь Из (3.6), (3.7), (3.14), (3.15) и последнего неравенства выводим где Из (3.16) при $\delta \in (0,1)$ получаем Воспользовавшись леммой из работы [11], а также неравенством (3.17), будем иметь Заметим, что В силу леммы 4, учитывая (3.12), из (3.18), получаем при всех $i = 0,1,\; \ldots ,\;{{m}_{h}} - 1$ оценку Теорема доказана.

Введем множество

Пусть Нетрудно видеть, что такой элемент существует и единственен.

Имеет место

Теорема 2. Пусть ${{A}_{1}}C \ne 0$ и ${{\text{v}}_{ * }}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) \in {{L}_{\infty }}(T;{{\mathbb{R}}^{q}})$. Тогда имеет место сходимость

Доказательство теоремы проводится по стандартной схеме (см., например, [1]–[3]) и опирается на теорему 1.

4. ОЦЕНКА СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ АЛГОРИТМА

При некоторых дополнительных условиях может быть выписана оценка скорости сходимости (см. ниже теорему 3). Установим эту оценку. Для этого нам понадобится следующая

Лемма 6 (см. [2, с. 29]). Пусть $u({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) \in {{L}_{\infty }}({{T}_{ * }};{{\mathbb{R}}^{n}})$, $\text{v}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) \in W({{T}_{ * }};{{\mathbb{R}}^{n}})$, ${{T}_{ * }} = [a,b]$, $ - \infty < a < b < + \infty $,

Тогда при всех $t \in {{T}_{ * }}$ верно неравенствоЗдесь символ ${\text{var}}({{T}_{ * }};\text{v}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ))$ означает вариацию функции $\text{v}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} )$ на отрезке ${{T}_{ * }}$, а символ $W({{T}_{ * }};{{\mathbb{R}}^{n}})$ – множество функций $y({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ):{{T}_{ * }} \to {{\mathbb{R}}^{n}}$ с ограниченной вариацией.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы $1$, $q = r$, ${\text{rank}}({{A}_{1}}C) = r$, ${{\text{v}}_{ * }}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ) \in W(T;{{\mathbb{R}}^{r}})$ и ${\text{vrai}}ma{{x}_{{t \in T}}}{{\left| {\text{v}{\text{*}}(t)} \right|}_{r}} \leqslant d$. Тогда справедлива оценка

гдепостоянная $C$ зависит от $d$ и ${\text{var}}(T;{{\text{v}}_{ * }}({\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} ))$ и не зависит от $h$, ${{m}_{h}}$, $m_{h}^{{(1)}}$, $\xi _{{i,j}}^{h}$.

Доказательство. Воспользовавшись неравенством (3.12), а также теоремой 1, нетрудно видеть, что для любых ${{t}_{1}},{{t}_{2}} \in {{T}_{ * }}$, ${{t}_{1}} < {{t}_{2}}$, верно неравенство

где $\nu (h) = {{d}_{1}}\{ {{h}^{{2/3}}}{\text{/}}{{({{h}^{{1/4}}} - h)}^{2}} + {{h}^{{1/4}}}\} $ (см. формулировку теоремы 1). Далее, снова воспользовавшись неравенством (3.12), имеем Утверждение теоремы следует из (4.1) и леммы 6. Теорема доказана.