Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 2, стр. 281-296

1. ВВЕДЕНИЕ

Пусть $\Omega \subset {{R}^{n}}$, $n \geqslant 1$ – ограниченная область с гладкой границей ${{\Gamma }_{1}}$, ${{\Omega }_{2}} \subset \Omega $ – подобласть с гладкой границей ${{\Gamma }_{2}}$ и ${{\Omega }_{1}} = \Omega {\backslash }({{\Omega }_{2}} \cup {{\Gamma }_{2}})$ – подобласть с границей $\Gamma = {{\Gamma }_{1}} \cup {{\Gamma }_{2}}$, причем ${{\Gamma }_{1}} \cap {{\Gamma }_{2}} = \not {0}$. В области $\Omega $ рассмотрим следующую нелинейную задачу с акустическими условиями сопряжения:

где $\nu $ – внешняя нормаль границы $\Gamma $; ${{\bar {\Omega }}_{1}},\;{{\bar {\Omega }}_{2}},\;{{\bar {\Gamma }}_{2}}$ – замыкания множеств ${{\Omega }_{1}},\;{{\Omega }_{2}},\;{{\Gamma }_{2}}$ соответственно; $M,D,K:\;\;{{\bar {\Gamma }}_{2}} \to \left( { - \infty ; + \infty } \right),$ ${{u}_{0}},{{u}_{1}}:\;\;{{\bar {\Omega }}_{1}} \to \left( { - \infty ; + \infty } \right),$ ${{v}_{0}},{{v}_{1}}:{{\bar {\Omega }}_{2}} \to \left( { - \infty ; + \infty } \right),$ ${{\delta }_{0}}:\;\;{{\bar {\Gamma }}_{2}} \to \left( { - \infty ; + \infty } \right)$ – заданные функции, ${{q}_{i}} > 1,$ $i = 1,2$.

Задачи типа (1.1)–(1.8), называемые смешанными задачами с акустическими условиями сопряжения, касаются задач с двумя волновыми уравнениями, которые моделируют поперечные акустические колебания мембраны, состоящей из двух разных материалов ${{\Omega }_{1}}$ и ${{\Omega }_{2}}$.

Уравнения типа (1.1) встречаются при изучении движения вязкоупругих материалов. Такие уравнения или уравнения вида

называются обычно сильно диссипативными волновыми уравнениями или псевдогиперболическими уравнениями (см., например, [1]–[5]). Одной из первых работ, посвященных глобальному поведению решений смешанных задач для сильно диссипативных волновых уравнений, является работа [1], где получен результат о существовании и единственности сильного решения и результат о том, что сильное решение приближается соответствующему стационарному решению при $t \to \infty $. В [3] изучена регулярность глобального аттрактора, порожденного трехмерной задачей для уравнения (1.9) с нелинейным членом $u{\text{|}}u{{{\text{|}}}^{4}}$ (см., также [4], [5]).

Задачи сопряжения изучены, например, в [6]–[9]. В работе [6] рассмотрена задача сопряжения для линейных гиперболических уравнений, где доказаны единственность и регулярность решений для рассматриваемой задачи. В работе [7] изучена задача сопряжения для вязкоупругих волн и доказано экспоненциальное убывание решений.

В [10] авторы сравнили некоторые граничные условия, среди которых имеются и акустические граничные условия. Гиперболические уравнения с акустическими граничными условиями впервые рассмотрены в работе [11] и изучены в работах различных авторов (см., например, [12]–[16]). Отметим, что в монографии [17] исследованы некоторые граничные задачи и задачи сопряжения для линейных гиперболических уравнений, которые фактически также являются смешанными задачами с акустическими граничными условиями и с акустическими условиями сопряжения. В [11] авторы выводят теоретическую модель, описывающую акустическое волновое движение жидкости, где предположено, что каждая точка рассматриваемой поверхности реагирует на избыточное давление акустической волны, как резистивный гармонический осциллятор, причем разные точки поверхности не взаимодействуют друг с другом; поверхности такого типа называются локально реагирующими (см. [18]).

В [19], [20] изучена смешанная задача с акустическими условиями сопряжения для нелинейных гиперболических уравнений с нелинейной диссипацией. Доказаны существование, единственность и экспоненциальное убывание глобальных решений для этой задачи с фокусирующими нелинейными источниками; доказаны также существование глобальных решений и разрушение решений за конечное время для случая с дефокусирующими нелинейными источниками.

В настоящей статье доказывается теорема о существовании и единственности локальных решений для задачи (1.1)–(1.8); доказывается также существование глобальных решений.

В разд. 2 вводятся некоторые обозначения и формулировки основных результатов; в разд. 3 доказываются существование и единственность локальных решений задачи (1.1)–(1.8); существование глобальных решений доказывается в разд. 4.

2. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Скалярное произведение и норма в ${{L}^{2}}\left( {{{\Omega }_{i}}} \right)$, $i = 1,2$, и ${{L}^{2}}({{\Gamma }_{2}})$ обозначаются, соответственно, как

Введем замкнутое подпространство $H_{{{{\Gamma }_{1}}}}^{1}({{\Omega }_{1}})$ пространства ${{H}^{1}}({{\Omega }_{1}})$, как

где ${{\gamma }_{0}}\,:{{H}^{1}}({{\Omega }_{1}}) \to {{H}^{{1/2}}}\left( \Gamma \right)$ – оператор следа нулевого порядка и ${{H}^{{1/2}}}\left( \Gamma \right)$ есть пространство Соболева порядка $\tfrac{1}{2}$ (см. [21]). Заметим, что норма в $H_{{{{\Gamma }_{1}}}}^{1}\left( {{{\Omega }_{1}}} \right)$: и норма в ${{H}^{1}}({{\Omega }_{1}})$ эквивалентны, так как неравенство Пуанкаре удовлетворяется в $H_{{{{\Gamma }_{1}}}}^{1}({{\Omega }_{1}})$. Таким образом, рассматриваем $H_{{{{\Gamma }_{1}}}}^{1}({{\Omega }_{1}})$ с вышеуказанной нормой.

Отображение ${{\gamma }_{1}}\,:\;H(\Delta ,{{\Omega }_{1}}) \cup H(\Delta ,{{\Omega }_{2}}) \to {{H}^{{ - 1/2}}}({{\Gamma }_{2}})$ – оператор следа Неймана, где пространства

снабжены нормами

Основные результаты этой работы установлены в следующих двух теоремах.

Теорема 2.1. Пусть

$f,g \in {{C}^{1}}( - \infty ; + \infty )$ и существуют постоянные ${{c}_{i}} > 0$, $i = 1,2,3,4$, такие, что

Предположим, что $({{u}_{0}},{{v}_{0}},{{\delta }_{0}}) \in H_{{{{\Gamma }_{1}}}}^{1}({{\Omega }_{1}}) \times {{H}^{1}}({{\Omega }_{2}}) \times {{L}^{2}}({{\Gamma }_{2}})$, $\left( {{{u}_{1}},{{v}_{1}},{{\delta }_{1}}} \right) \in {{L}^{{2{{q}_{1}}}}}({{\Omega }_{1}}) \times {{L}^{{2{{q}_{2}}}}}({{\Omega }_{2}}) \times {{L}^{2}}({{\Gamma }_{2}})$, ${{u}_{0}} = {{v}_{0}}$ и ${{u}_{1}} = {{v}_{1}}$ на ${{\Gamma }_{2}}$. Тогда существует $T > 0$ такое, что задача (1.1)–(1.8) имеет единственное решение $\left( {u,v,\delta } \right)$, удовлетворяющее условиям

Кроме того, справедливо одно из следующих утверждений:

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Предположим, что

и существуют постоянные ${{c}_{i}} > 0$, $i = 5,6,7,8$, такие, чтогде

Тогда локальное решение $\left( {u,\upsilon ,\delta } \right)$ задачи (1.1)–(1.8) является глобальным.

3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2.1

Рассмотрим следующую задачу:

где $T > 0$, ${{F}_{1}} = {{F}_{1}}{\kern 1pt} \left( {x,t} \right)$ и ${{F}_{2}} = {{F}_{2}}{\kern 1pt} \left( {x,t} \right)$ – некоторые фиксированные функции, определенные на ${{\Omega }_{1}} \times \left( {0,T} \right)$ и ${{\Omega }_{2}} \times \left( {0,T} \right)$ соответственно.

Чтобы доказать теорему 2.1, нам понадобятся две леммы.

Лемма 3.1. Пусть выполнены условия (2.1), (2.4) и

Тогда для любого $T > 0$ существует единственное решение $\left( {U,V,\delta } \right)$ задачи (3.1)–(3.8) такое, что

Доказательство. Аппроксимации Фаэдо–Галеркина. Пусть $\left\{ {({{\Phi }_{j}},{{\Psi }_{j}},{{e}_{j}})} \right\}$, $j \in N$, – ортогональный базис в $W = \{ (u,{v},\delta ) \in H_{{{{\Gamma }_{1}}}}^{1}({{\Omega }_{1}}) \times {{H}^{1}}({{\Omega }_{2}}) \times {{L}^{2}}({{\Gamma }_{2}})$, $u = {v}\;{\text{на}}\;{{\Gamma }_{2}}\} $ . Так как ${{\Gamma }_{1}}$ и ${{\Gamma }_{2}}$ являются достаточно гладкими, то ${{\Phi }_{j}} \in H_{{{{\Gamma }_{1}}}}^{1}({{\Omega }_{1}}) \cap {{L}^{\infty }}({{\Omega }_{1}})$ и ${{\Psi }_{j}} \in {{H}^{1}}({{\Omega }_{2}}) \cap {{L}^{\infty }}({{\Omega }_{2}})$ для любого $j \in N$. Рассмотрим функции

определенные в виде которые являются решениями следующей задачи :

Общие результаты о нелинейных системах гарантируют существование решения $({{U}_{m}},{{V}_{m}},{{\delta }_{m}})$, $m \in N$, задачи (3.17)–(3.24) на интервале $\left[ {0,{{T}_{m}}} \right]$. Из (3.17)–(3.19) имеем

для $\forall \Phi \in {\text{Span}}\left\{ {{{\Phi }_{1}},{{\Phi }_{2}},...,{{\Phi }_{m}},...} \right\}$, $\forall \Psi \in {\text{Span}}\left\{ {{{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}},...,{{\Psi }_{m}},...} \right\}$, $\forall e \in {\text{Span}}\left\{ {{{e}_{1}},{{e}_{2}},...,{{e}_{m}},...} \right\}$.

Оценка 1. Полагая $\Phi = 2{{U}_{m}}_{t}$ в (3.25), $\Psi = 2{{V}_{m}}_{t}$ в (3.26), $e = 2{{\delta }_{m}}_{t}$ в (3.27), получаем

откуда, используя (3.20), имеем

Интегрируя последнее равенство от $0$ дo $t$, $t \leqslant {{T}_{m}}$, используя (3.20) и неравенство Юнга, получаем

откуда, согласно (2.1), (3.9)–(3.12) и неравенству Гронуолла, получаем оценку 1: гдe ${{C}_{1}}$ – положительная константа, не зависящая от $m$.

Оценка 2. Полагая $\Phi = {{U}_{m}}_{{tt}}$ в (3.25), $\Psi = {{V}_{m}}_{{tt}}$ в (3.26), $e = {{\delta }_{m}}_{{tt}}$ в (3.27) и $t = 0$, получаем

откуда, согласно (2.1), (2.3), (3.9)–(3.12), имеем гдe ${{C}_{2}}$ – положительная константа, не зависиящая от $m$.

Дифференцируя (3.25), (3.26), (3.27) и полагая $\Phi = 2{{U}_{m}}_{{tt}}$, $\Psi = 2{{V}_{m}}_{{tt}}$, $e = 2{{\delta }_{m}}_{{tt}}$, получаем

откуда, используя (3.20) и неравенство Юнга, имеем

Интегрируя последнее неравенство вдоль $\left( {0,t} \right)$ и используя (3.9)–(3.12), (3.28), согласно неравенству Гронуолла, получаем oценку 2:

гдe ${{C}_{3}}$ – положительная константа, не зависиящая от $m$.

Предельный переход. Используя метод компактности и оценки 1, 2, получаем, что существуют $U$, $V$, $\delta $ такие, что после выделения быть может подпоследовательности, при $m \to \infty $

B силу теоремы Реллиха–Кондрашова (cм. [21]), получаем, что

и, наконец, поэтому

Так как

получаем, что

В силу (3.29) и (3.30) можно перейти к пределу в (3.25)–(3.27) и (3.20) при $m \to \infty $:

для любого $\left( {\Phi ,\Psi ,e} \right) \in W,$ п. в. в $\left( {0,T} \right)$ и

Из (3.31) и (3.32) получаем, что

для любых $\Phi \in D({{\Omega }_{1}})$, $\Psi \in D({{\Omega }_{2}}),$ п. в. в $\left( {0,T} \right)$. Поэтому $\Delta U(t) \in {{L}^{2}}({{\Omega }_{1}})$, $\Delta V(t) \in {{L}^{2}}({{\Omega }_{2}})$ п. в. в $\left( {0,T} \right)$ и

В силу (3.33) $\left( {U,V,\delta } \right)$ удовлетворяет граничному условию (3.3).

Начальные условия (3.6)–(3.8) доказываются стандартным путем и это завершает доказательство существования решений.

Единственность. Пусть $({{U}_{1}},{{V}_{1}},{{\delta }_{1}})$ и $({{U}_{2}},{{V}_{2}},{{\delta }_{2}})$ – два решения задачи (3.1)–(3.8). Тогда для ${{U}_{1}} - {{U}_{2}} = \tilde {U}$, ${{V}_{1}} - {{V}_{2}} = \tilde {V}$, ${{\delta }_{1}} - {{\delta }_{2}} = \tilde {\delta }$ имеем

для любого $\left( {\Phi ,\Psi ,e} \right) \in W,$ п.в. в $\left( {0,T} \right)$;

Полагая $\Phi = 2{{\tilde {U}}_{t}}$ в (3.34), $\Psi = 2{{\tilde {V}}_{t}}$ в (3.35), $e = 2{{\tilde {\delta }}_{t}}$ в (3.36) и используя (3.37), получаем

А поскольку

то в силу (3.38)–(3.40) имеем

Отсюда получаем, что $\tilde {U} = 0$, $\tilde {V} = 0$, $\tilde {\delta } = 0$.

Леммa 3.1 доказана.

Для заданных $u \in C(0,T;H_{{{{\Gamma }_{1}}}}^{1}({{\Omega }_{1}})) \cap {{C}^{1}}(0,T;{{L}^{2}}({{\Omega }_{1}}))$, $v \in C(0,T;{{H}^{1}}({{\Omega }_{2}})) \cap {{C}^{1}}(0,T;{{L}^{2}}({{\Omega }_{2}}))$, удовлетворяющих условию $\mathop {\left. u \right|}\nolimits_{{{\Gamma }_{2}}} = \mathop {\left. v \right|}\nolimits_{{{\Gamma }_{2}}} $, рассмотрим следующую задачу:

Лемма 3.2. Пусть выполнены условия (2.1)–(2.4) и ${{u}_{0}} \in H_{{{{\Gamma }_{1}}}}^{1}({{\Omega }_{1}})$, ${{u}_{1}} \in {{L}^{{2{{q}_{1}}}}}({{\Omega }_{1}})$, ${{v}_{0}} \in {{H}^{1}}({{\Omega }_{2}})$, ${{v}_{1}} \in {{L}^{{2{{q}_{2}}}}}({{\Omega }_{2}})$, ${{\delta }_{0}} \in {{L}^{2}}({{\Gamma }_{2}})$, ${{\delta }_{1}} \in {{L}^{2}}({{\Gamma }_{2}})$. Тогда существует $T > 0$ и единственное решение $\left( {U,V,\delta } \right)$ задачи (3.41) такое, что

Доказательство. Аппроксимируем

и последовательностями $\mathop {\{ {{u}_{\mu }}\} }\nolimits_{\mu \in N} $ в $C(0,T;C_{0}^{\infty }({{\Omega }_{1}}))$ и $\mathop {\{ {{v}_{\mu }}\} }\nolimits_{\mu \in N} $ в $C(0,T;C_{0}^{\infty }({{\Omega }_{2}}))$ $\left( {\mathop {\left. {{{u}_{\mu }}} \right|}\nolimits_{{{\Gamma }_{2}}} = \mathop {\left. {{{v}_{\mu }}} \right|}\nolimits_{{{\Gamma }_{2}}} } \right)$ соответственно (см. [22], [23]). Затем проаппроксимируем начальные данные ${{u}_{0}} \in H_{{{{\Gamma }_{1}}}}^{1}({{\Omega }_{1}})$, ${{v}_{0}} \in {{H}^{1}}({{\Omega }_{2}})$, ${{u}_{1}} \in {{L}^{{2{{q}_{1}}}}}({{\Omega }_{1}})$, ${{v}_{1}} \in {{L}^{{2{{q}_{2}}}}}({{\Omega }_{2}})$, ${{\delta }_{0}} \in {{L}^{2}}({{\Gamma }_{2}})$ и ${{\delta }_{1}} \in {{L}^{2}}({{\Gamma }_{2}})$ последовательностями $\mathop {\{ u_{\mu }^{0}\} }\nolimits_{\mu \in N} $ в $H_{{{{\Gamma }_{1}}}}^{1}({{\Omega }_{1}}) \cap {{H}^{2}}({{\Omega }_{1}})$, $\mathop {\{ v_{\mu }^{0}\} }\nolimits_{\mu \in N} $ в ${{H}^{2}}({{\Omega }_{2}})$, $\mathop {\{ u_{\mu }^{1}\} }\nolimits_{\mu \in N} $ в ${{C}^{\infty }}({{\Omega }_{1}})$, $\mathop {\{ v_{\mu }^{1}\} }\nolimits_{\mu \in N} $ в ${{C}^{\infty }}({{\Omega }_{2}})$, $\mathop {\{ \delta _{\mu }^{0}\} }\nolimits_{\mu \in N} $ в ${{C}^{\infty }}({{\Gamma }_{2}})$ и $\mathop {\{ \delta _{\mu }^{1}\} }\nolimits_{\mu \in N} $ в ${{C}^{\infty }}({{\Gamma }_{2}})$ соответственно. Рассмотрим следующее множество задач:

Ясно, что $f({{u}_{\mu }}) \in {{H}^{1}}(0,T;{{L}^{2}}({{\Omega }_{1}}))$, $g({{v}_{\mu }}) \in {{H}^{1}}(0,T;{{L}^{2}}({{\Omega }_{2}}))$. Следовательно, из леммы 1 вытекает существование последовательности единственных решений $({{U}_{\mu }},{{V}_{\mu }},{{\delta }_{\mu }})$ задачи (3.42), удовлетворяющих условиям (3.13)–(16). Теперь докажем сходимость последовательности $({{U}_{\mu }},{{V}_{\mu }},{{\delta }_{\mu }})$ к решению $\left( {U,V,\delta } \right)$ задачи (3.41); для этого достаточно доказать, что последовательность $({{U}_{\mu }},{{V}_{\mu }},{{\delta }_{\mu }})$ удовлетворяет критерию Коши в пространстве

которое снабжается нормой

Положив $\tilde {u} = {{u}_{\mu }} - {{u}_{\tau }}$, $\tilde {v} = {{v}_{\mu }} - {{v}_{\tau }}$, $\tilde {U} = {{U}_{\mu }} - {{U}_{\tau }}$, $\tilde {V} = {{V}_{\mu }} - {{V}_{\tau }}$ и $\tilde {\delta } = {{\delta }_{\mu }} - {{\delta }_{\tau }}$, имеем

Умножая первое уравнение системы (3.43) на $2{{\tilde {U}}_{t}}$, второе уравнение на $2{{\tilde {V}}_{t}}$, третье уравнение на $2{{\tilde {\delta }}_{t}}$ и интегрируя их вдоль ${{\Omega }_{1}} \times \left( {0,T} \right)$, ${{\Omega }_{2}} \times \left( {0,T)} \right.$, ${{\Gamma }_{2}} \times \left( {0,T} \right)$, соответственно, в силу (3.43) получаем

Используя неравенство Гёльдера $\left( {\tfrac{1}{n} + \tfrac{{n - 2}}{{2n}} + \tfrac{1}{2} = 1} \right)$ и условие (2.2), оценим правую часть неравенства (3.44):

аналогично,

Согласно вложению Соболева $H_{{{{\Gamma }_{1}}}}^{1}\left( {{{\Omega }_{1}}} \right) \mapsto {{L}^{{2n/\left( {n - 2} \right)}}}\left( {{{\Omega }_{1}}} \right)$, неравенству Фридрихса и условию $\mathop {\left. {\tilde {u}} \right|}\nolimits_{{{\Gamma }_{2}}} = \mathop {\left. {\tilde {v}} \right|}\nolimits_{{{\Gamma }_{2}}} $ получаем, что

где ${{C}_{4}}$ – положительная константа, зависящая от ${{\Omega }_{1}}$, ${{\Omega }_{2}}$; аналогично, в силу условия (2.3) имеем где ${{C}_{5}}$ – положительная константа, зависящая только от ${{\Omega }_{1}}$, ${{\Omega }_{2}}$ и $p$. Используя эти неравенства, из (3.45), (3.46) получаем где ${{C}_{6}} = max\left\{ {{{c}_{2}},{{c}_{4}}} \right\}{{C}_{4}}{{C}_{5}}$. Учитывая (3.47) в (3.44), имеем

Из последнего неравенства вытекает, что

гдe ${{C}_{7}} = min\{ 1,{{m}_{0}},2{{d}_{0}},{{k}_{0}}\} $, $\mathop {min}\limits_{x \in \mathop {\bar {\Gamma }}\nolimits_2 } M{\kern 1pt} \left( x \right) = {{m}_{0}} > 0$, $\mathop {min}\limits_{x \in \mathop {\bar {\Gamma }}\nolimits_2 } D{\kern 1pt} \left( x \right) = {{d}_{0}} > 0$, $\mathop {min}\limits_{x \in {{{\bar {\Gamma }}}_{2}}} K{\kern 1pt} \left( x \right) = {{k}_{0}} > 0$ и ${{K}_{1}}$ – положительная константа, зависящая только от ${{\Omega }_{1}}$, ${{\Omega }_{2}}$, $p$ и $T$. Tаким образом, в силу леммы Гронуолла имеем где ${{K}_{2}}$, ${{K}_{3}}$ – положительные константы, зависящие только от ${{\Omega }_{1}}$, ${{\Omega }_{2}}$, $p$ и $T$. Так как $\{ u_{\mu }^{0}\} $, $\{ v_{\mu }^{0}\} $, $\{ u_{\mu }^{1}\} $, $\{ v_{\mu }^{1}\} $, $\{ \delta _{\mu }^{0}\} $, $\{ \delta _{\mu }^{1}\} $ являются сходящимися последовательностями в $H_{{{{\Gamma }_{1}}}}^{1}({{\Omega }_{1}})$, ${{H}^{1}}({{\Omega }_{2}})$, ${{L}^{2}}({{\Omega }_{1}})$, ${{L}^{2}}({{\Omega }_{2}})$, ${{L}^{2}}({{\Gamma }_{2}})$, ${{L}^{2}}({{\Gamma }_{2}})$ соответственно, то заключаем, что $({{U}_{\mu }},{{V}_{\mu }},{{\delta }_{\mu }})$ удовлетворяет критерию Коши в ${{Y}_{T}}$. Следовательно, $({{U}_{\mu }},{{V}_{\mu }},{{\delta }_{\mu }})$ сходится к пределу $\left( {U,V,\delta } \right) \in {{Y}_{T}}$. Затем, по той же процедуре, использованной в [22], можно доказать, что этот предел является решением задачи (3.41).

Леммa 3.2 доказана.

Доказательство теоремы 2.1. Для $T > 0$ определим выпуклое замкнутое подпространсто ${{X}_{T}}$ пространства ${{Y}_{T}}$:

Пусть

для $R > 0$.

Тогда из леммы 2 вытекает, что для некоторого $\left( {u,v,\delta } \right) \in {{X}_{T}}$ можем определить $\left( {U,V,\delta } \right) = \Phi \left( {u,v,\delta } \right)$, как решение задачи (3.41), соответствующее $\left( {u,v,\delta } \right)$.

Докажем, что $\Phi $ – сжимающее отображение такое, что $\Phi ({{B}_{R}}({{X}_{T}})) \subset {{B}_{R}}({{X}_{T}})$. Действительно, если $\left( {u,v,\delta } \right) \in {{B}_{R}}({{X}_{T}})$ и $\left( {U,V,\delta } \right) = \Phi \left( {u,v,\delta } \right)$, то для любого $t \in \left( {0,T} \right)$, имеем

Так как $\left( {u,\upsilon ,\delta } \right) \in {{B}_{R}}\left( {{{X}_{T}}} \right)$, то в силу (2.2) и неравенства Гёльдера получаем

откуда где ${{C}_{8}} = max\{ {{c}_{1}},{{c}_{3}}\} $ и ${{K}_{4}} = max\left\{ {\tfrac{1}{{{{C}_{7}}}},\tfrac{{2{{C}_{8}}}}{{{{C}_{7}}}}} \right\}$ не зависит от $R$. Используя неравенство Юнга в последнем члене правой части неравенства (3.48), получаем откуда имеем

Выберем $R$ и $T$ таким образом, чтобы выполнялись неравенства

и

Тогда из (3.49) получаем, что $\left( {U,V,\delta } \right) \in {{B}_{R}}({{X}_{T}})$.

Теперь проверим, что $\Phi $ является сжимающим отображением. Положив $\tilde {u} = u - \bar {u}$, $\tilde {v} = v - \bar {v}$, $\tilde {U} = U - \bar {U}$, $\tilde {V} = V - \bar {V}$ и $\tilde {\delta } = \delta - \bar {\delta }$, гдe $\left( {U,V,\delta } \right) = \Phi \left( {u,v,\delta } \right)$, $\left( {\bar {U},\bar {V},\bar {\delta }} \right) = \Phi \left( {\bar {u},\bar {v},\bar {\delta }} \right)$, для $\left( {\tilde {U},\tilde {V},\tilde {\delta }} \right)$ имеем

Умножая первое уравнение на ${{\tilde {U}}_{t}}$, второе уравнение на ${{\tilde {V}}_{t}}$ и третье уравнение на ${{\tilde {\delta }}_{t}}$ в (3.50) и интегрируя вдоль $\left( {0,t} \right) \times {{\Omega }_{1}}$, $\left( {0,t} \right) \times {{\Omega }_{2}}$ и $\left( {0,t} \right) \times {{\Gamma }_{2}}$, соответственно, получаем

Так как

и, в силу (3.47): то из (3.51) имеем

Следовательно,

где ${{K}_{5}}$ – положительная константа, зависящая только от ${{\Omega }_{1}}$, ${{\Omega }_{2}}$, $p$. Выберем $T$ таким образом, чтобы выполнялось неравенство ${{K}_{5}}T{{R}^{{p - 1}}} < 1$. Тогда из (3.52) вытекает, что $\Phi $ является сжимающим отображением. Отсюда согласно принципу сжимающих отображений получаем существование единственного решения $\left( {U,V,\delta } \right)$ уравнения $\left( {U,V,\delta } \right) = \Phi \left( {U,V,\delta } \right)$. Tеорема 2.1 доказана.

4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2.2

Пусть $\left( {u,v,\delta } \right)$ – слабое решение задачи (1.1)–(1.8). Умножая уравнение (1.1) на ${{u}_{t}}$, (1.2) на ${{v}_{t}}$, (1.3) на ${{\delta }_{t}}$и интегрируя вдоль ${{\Omega }_{1}}$, ${{\Omega }_{2}}$,${{\Gamma }_{2}}$, соответственно, имеем

откуда в силу (1.5) получаем или

Введем следующий функционал:

где $\left( {u,v,\delta } \right)$ – решение задачи (1.1)–(1.8).

Используя (4.2), из (4.1) имеем

Интегрируя (4.1) от $0$ дo $t,$ получаем

Оценим последние два члена правой части (4.3). Используя неравенство Гёльдера с показателями

имеем откуда, в силу неравенства Юнга $\left( {ab \leqslant \tfrac{{{{a}^{\rho }}}}{{\rho {{\eta }^{\rho }}}} + \tfrac{{{{\eta }^{{\rho '}}}{{b}^{{\rho '}}}}}{{\rho {\kern 1pt} '}},\tfrac{1}{\rho } + \tfrac{1}{{\rho {\kern 1pt} '}} = 1} \right)$ с параметром $\eta = \mu _{1}^{{\tfrac{1}{{{{q}_{1}} + 1}}}}$, получаем

Согласно условию (2.5) и неравенству Юнга с показателями

имеем

Используя последнее неравенство и (2.6) в (4.4), получаем

Аналогично, имеем

Из (4.3), (4.5) и (4.6) заключаем, что

где ${{\mu }_{{_{1}}}},{{\mu }_{{_{2}}}}$ выбираются таким образом, чтобы выполнялись неравенства

В силу неравенства Гронуолла и (4.7) получаем

гдe ${{C}_{T}}$ зависит от $\mathop {\left\| {{{u}_{1}}} \right\|}\nolimits_1 $, $\mathop {\left\| {{{v}_{1}}} \right\|}\nolimits_2 $, $\mathop {\left\| {\nabla {{u}_{0}}} \right\|}\nolimits_1 $, $\mathop {\left\| {\nabla {{v}_{0}}} \right\|}\nolimits_2 $, $\mathop {\left\| {{{\delta }_{0}}} \right\|}\nolimits_{{{\Gamma }_{2}}} $, $\mathop {\left\| {{{\delta }_{1}}} \right\|}\nolimits_{{{\Gamma }_{2}}} $ и от положительного числа $T$, которое является произвольным. Таким образом, локальное решение $\left( {u,v,\delta } \right)$, установленное в теореме 1, является глобальным.

Teoрeма 2.2 доказана.