Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 2, стр. 297-322

1.1. Постановка задачи для уравнений Навье–Стокса

Рассматривается задача об обтекании неподвижного тела потоком несжимаемой жидкости, имеющим постоянные скорость ${{{\mathbf{w}}}_{\infty }}$ и давление ${{p}_{\infty }}$ на бесконечности. Пусть тело ограничено гладкой замкнутой поверхностью $\Sigma $, $\Omega $ – область вне поверхности $\Sigma $. В основе математической модели лежат уравнения неразрывности и Навье–Стокса для безразмерных полей скорости жидкости ${\mathbf{w}} = {\mathbf{w}}(x,t)$ и давления $p = p(x,t)$ в области $\Omega $:

где $t$ – время, $x$ – точки пространства, $\rho $ – плотность жидкости, которая является заданной и постоянной, $\operatorname{Re} $ – число Рейнольдса, характеризующее вязкость жидкости. Задача рассматривается в неподвижной декартовой системе координат, точки пространства задаются своими координатами $x = ({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}) \in {{\mathbb{R}}^{3}}$. Ставятся условия на бесконечности выполненные в каждый момент времени в смысле равномерной сходимости по $x$, и условие существования в каждый момент времени в каждой точке поверхности тела $\Sigma $ краевых значений скорости и давления, с выполнением равенства

Задача решается для $t \geqslant 0$, в момент времени $t = 0$ ставится начальное условие

где ${{{\mathbf{w}}}_{0}} \in {{C}^{4}}(\bar {\Omega })$ – заданная функция, удовлетворяющая условиям (1.1), (1.3) и (1.4), $\bar {\Omega }$ – замыкание области $\Omega $.

Пусть $\omega (x,t) = \operatorname{rot} {\mathbf{w}}(x,t)$ – поле завихренности и пусть ${{\omega }_{0}}(x) = \operatorname{rot} {{{\mathbf{w}}}_{0}}(x)$ – начальное распределение завихренности. Предполагается, что $\left| {{{\omega }_{0}}} \right| \in {{L}_{1}}(\Omega )$.

Решение ищется в классе функций: в каждый момент времени поля скоростей ${\mathbf{w}}$ и давления $p$, а также производная $\partial {\mathbf{w}}{\text{/}}\partial t$, как функции пространственных координат, удовлетворяют условиям ${\mathbf{w}} \in {{C}^{4}}(\bar {\Omega })$, $\partial {\mathbf{w}}{\text{/}}\partial t \in {{C}^{4}}(\bar {\Omega })$, $p \in {{C}^{1}}(\Omega ) \cap C(\bar {\Omega })$, $\left| \omega \right| \in {{L}_{1}}(\Omega )$.

Заметим также, что при сформулированных условиях в каждый момент времени $t$ поле завихренности удовлетворяет условию $\omega \in {{C}^{3}}(\bar {\Omega })$.

1.2. Гипотезы о поле скоростей

Рассмотрим предельный случай сформулированной задачи для уравнений Навье–Стокса при числе Рейнольдса, стремящемся к бесконечности.

В основе приводимых здесь рассуждений лежит классическая теория пограничного слоя [15, гл. 7, § 1, с. 124–128]. Предполагается, что в уравнении (1.1) вязкость существенна только в тонком пограничном слое на поверхности тела, в котором скорость жидкости изменяется от нуля на стенке (условие прилипания) до своего полного значения во внешнем потоке. Вне этого слоя влиянием вязкости можно пренебречь. Будем считать, что вне пограничного слоя скорость, ее первые и вторые производные по пространственным координатам по модулю много меньше числа Рейнольдса. Тогда вне пограничного слоя в уравнении (1.1) можно положить

Пусть ${{x}_{0}}$ – некоторая точка на поверхности тела. Введем локальную систему координат $O{{\xi }_{1}}{{\xi }_{2}}{{\xi }_{3}}$ с центром в точке $O = {{x}_{0}}$ так, что ось $O{{\xi }_{2}}$ направлена по нормали к поверхности тела, а ось $O{{\xi }_{1}}$ направлена вдоль скорости потока на внешней границе пограничного слоя (см. фиг. 1). В теории пограничного слоя предполагается, что из-за вязкого трения происходит быстрое изменение компоненты скорости ${{w}_{1}}$ вдоль оси $O{{\xi }_{2}}$ от значения ${{w}_{1}} = 0$ на поверхности тела до некоторого конечного значения на внешней границе пограничного слоя над точкой ${{x}_{0}}$. При этом производные $\partial {{w}_{1}}{\text{/}}\partial {{\xi }_{2}}$ и ${{\partial }^{2}}{{w}_{1}}{\text{/}}\partial \xi _{2}^{2}$, ${{\partial }^{2}}{{w}_{2}}{\text{/}}\partial \xi _{2}^{2}$ могут принимать внутри пограничного слоя большие по модулю значения [15, гл. 7, § 1, с. 126]. Будем предполагать, что остальные производные $\partial {{w}_{i}}{\text{/}}\partial {{\xi }_{j}}$ и ${{\partial }^{2}}{{w}_{i}}{\text{/}}(\partial {{\xi }_{i}}\partial {{\xi }_{j}})$ порядка 1 в окрестности точки ${{x}_{0}}$ при числе Рейнольдса, стремящемся к бесконечности.

Тогда в окрестности точки ${{x}_{0}}$ для координат вектора завихренности $\omega $ в локальной системе координат внутри пограничного слоя справедливы соотношения:

Формулы (1.6) и (1.7) означают, что внутри пограничного слоя векторы ${\mathbf{w}}$ и $\omega $ приближенно можно считать ортогональными. Также можно считать ортогональными векторы $\omega $ и ${\text{rot}}\,\omega $. Но тогда справедливо приближенное равенство

Вне пограничного слоя равенство (1.8) также выполнено, т.к. здесь и правая и левая части этого равенства пренебрежимо малы в силу предположения о малости модуля вторых производных поля скоростей по пространственным координатам по сравнению с числом Рейнольдса в области внешнего течения. Но тогда мы можем предположить, что в случае произвольного трехмерного течения вязкой жидкости при стремлении числа Рейнольдса к бесконечности формула (1.8) приближенно выполнена во всей области течения.

Используя формулу векторного анализа

справедливую для дважды дифференцируемого векторного поля ${\mathbf{a}}$, и учитывая условие ${\text{div}}\,\omega = 0$, равенство (1.8) можно записать в виде

Точно также будем считать, что в пограничном слое выполнено равенство $\partial {\mathbf{w}}{\text{'/}}\partial {{\xi }_{3}} \approx 0$. Это равенство можно переписать в виде

Если считать, что вне пограничного слоя жидкость является идеальной, то вне пограничного слоя ${\mathbf{w}}{\text{'}} = 0$ и равенство (1.10) выполнено во всем пространстве.

Замечание 1. Приведенные рассуждения относятся к так называемому ламинарному пограничному слою. В гидродинамике выделяют также случай турбулентного пограничного слоя, в котором течение имеет сильно осциллирующий (турбулентный) характер. Анализ уравнений вязкой жидкости показывает, что внутри такого слоя имеется еще более тонкий ламинарный вязкий подслой [15, гл. 18, § 1, с. 507]. Поэтому можно надеяться, что в некоторых случаях наша модель окажется применима и к течениям с турбулентным пограничным слоем при очень больших значениях числа Рейнольдса, где полученные соотношения (1.8), (1.10) относятся к вязкому подслою, а остальная часть пограничного слоя относится к внешнему невязкому течению.

Замечание 2. В случаях плоскопараллельного или осесимметричного незакрученного течений условия ${\mathbf{w}}\, \bot \,\omega $, $\omega \, \bot \,\operatorname{rot} \omega $ и равенства (1.8), (1.10) выполнены точно во всей области течения при любых значениях числа Рейнольдса.

Таким образом, мы будем рассматривать математическую задачу (1.1)–(1.5) в предположении, что выполнены условия (1.8) и (1.10). Как следует из приведенных физических соображений, эти условия выполнены приближенно для трехмерных течений, возникающих при обтекании тел при больших значениях числа Рейнольдса, и эти условия выполнены точно для плоскопараллельных и осесимметричных незакрученных течений. Поэтому полученные далее математические результаты применимы к указанным осесимметричным течениям вязкой жидкости и могут быть перенесены на случай плоскопараллельных течений. Кроме того, можно предположить, что эти результаты применимы и к произвольному трехмерному течению вязкой жидкости при больших значениях числа Рейнольдса.

В приводимых далее математических выкладках предполагается, что равенства (1.8), (1.10) выполнены точно.

1.3. Преобразование уравнений Навье–Стокса

Из уравнений (1.1)–(1.2) следует уравнение переноса завихренности в вязкой жидкости (см., например, [16, формула (29.1)]):

Далее, мы предполагаем, что в области течения выполнена формула (1.8). Поэтому к последнему уравнению можно применить преобразование, которое ранее использовалось в работах [6], [12]–[14] для плоскопараллельных и осесимметричных течений:

Тогда уравнение (1.11) можно переписать в виде Векторное поле ${\mathbf{w}}{\text{'}}$ называют диффузионной скоростью [12]. Скорость ${\mathbf{u}}$ будем называть скоростью переноса завихренности.

Далее, используя формулу векторного анализа:

и учитывая, что ${\text{div}}\,\omega = 0$, можем записать: Последнее уравнение можно также переписать в виде где $d\omega {\text{/}}dt$ есть так называемая субстанциональная производная, вычисляемая как производная по времени от значений функции $\omega (x(t),t)$ в точке $x(t)$, которая движется со скоростью ${\mathbf{u}}$ (т.е. при условии $dx(t){\text{/}}dt = {\mathbf{u}}$).

2.1. Уравнения движения выделенных частиц

Перейдем к лагранжеву описанию течения жидкости, при котором отслеживаются траектории движения жидких частиц и изменение характеристик жидкости в этих частицах. Будем рассматривать траектории частиц на временном промежутке $t \in [0,T]$, предполагая, что решение уравнений (1.1), (1.2), удовлетворяющее условиям (1.3)–(1.5), существует на этом временном промежутке, является единственным, удовлетворяет условию (1.8) и лежит в классе функций, указанном в п. 1.1.

Пусть $\Omega {\text{'}}(t) = \left\{ {\left. {x \in \Omega \,} \right|\,\omega (x,t) \ne 0} \right\}$ – множество точек пространства, в которых в момент времени $t$ завихренность отлична от нуля. При этом для любого $t \in [0,T]$ множество $\Omega {\text{'}}(t)$ открыто. Обозначим также ${{\Omega }_{0}} = \Omega {\text{'}}(0)$.

При сделанных предположениях относительно поля скоростей жидкости ${\mathbf{w}}$, в каждый момент времени $t$ скорость переноса завихренности ${\mathbf{u}}$, определяемая формулой (1.13), и ее производная по времени, как функции от $x$ удовлетворяют условиям ${\mathbf{u}} \in {{C}^{2}}(\Omega {\text{'}}(t))$, $\partial {\mathbf{u}}{\text{/}}\partial t \in {{C}^{2}}(\Omega {\text{'}}(t))$.

Введем для каждого $t \in [0,T]$ множество

где ${\mathbf{n}}(z)$ – орт внешней нормали к поверхности тела $\Sigma $ в точке $z \in \Sigma $. Также обозначим

Рассмотрим дифференциальное уравнение для неизвестной функции $y(t)$

Каждое решение уравнения (2.2) описывает закон движения некоторой выделенной частицы со скоростью ${\mathbf{u}}$ (заметим, что с физической точки зрения, такая частица является фиктивной). Далее нас, во-первых, будут интересовать траектории частиц, начинающиеся в момент времени $t = 0$ в каждой точке $\xi \in {{\Omega }_{0}}$. Во-вторых, для каждой пары $\xi = (z,\tau ) \in {{\Omega }_{\Sigma }}$ нас будут интересовать траектории частиц, начинающиеся в момент времени $t = \tau $ в точке $z \in \Sigma $.

Для каждой точки $\xi \in {{\Omega }_{0}}$ обозначим $x(\xi ,t) = y(t)$ – решение уравнения (2.2), удовлетворяющее начальному условию $y(0) = \xi $, и определенное при $t \geqslant 0$. Аналогично, для каждой пары $\xi = (z,\tau ) \in {{\Omega }_{\Sigma }}$ обозначим $x(\xi ,t) = y(t)$ – решение уравнения (2.2), удовлетворяющее начальному условию $y(\tau ) = z$, и определенное при $t \geqslant \tau $. Таким образом, мы будем искать функцию $x(\xi ,t)$, где $\xi \in {{\Omega }_{0}} \cup {{\Omega }_{\Sigma }}$, $t \geqslant 0$ при $\xi \in {{\Omega }_{0}}$, $t \geqslant \tau $ при $\xi = (z,\tau ) \in {{\Omega }_{\Sigma }}$, являющуюся решением задачи

В этом разделе мы исследуем свойства решений уравнения (2.2) и задачи (2.3)–(2.5), в предположении, что функция ${\mathbf{u}}$ определяется выражением (1.13), где ${\mathbf{w}}$ – заданная функция, $\omega = \operatorname{rot} {\mathbf{w}}$, поле ${\mathbf{w}}$ имеет указанную выше гладкость.

2.2. Свойства поверхности $\Sigma $

Будем предполагать, что $\Sigma $ есть замкнутая простая гладкая поверхность класса ${{C}^{3}}$. При этом предположим, что $\Sigma = \bigcup\nolimits_{k = 1}^K {{{\Sigma }_{k}}} $, где при каждом $k = 1,...,K$, участок ${{\Sigma }_{k}}$ есть элементарная поверхность с картой ${{\varphi }_{k}}$, т.е.

${{V}_{k}}$ – некоторая область в пространстве ${{\mathbb{R}}^{2}}$, ${{\varphi }_{k}} \in {{C}^{3}}({{V}_{k}})$ – функция, определенная на множестве ${{V}_{k}}$ со значениями в пространстве ${{\mathbb{R}}^{3}}$, причем, векторы $\partial {{\varphi }_{k}}{\text{/}}\partial {{\eta }_{1}}$ и $\partial {{\varphi }_{k}}{\text{/}}\partial {{\eta }_{2}}$ линейно независимы при всех $\eta \in {{V}_{k}}$. Указанные элементарные поверхности могут пересекаться.

Далее, для каждой точки $z \in \Sigma $ и для каждого числа $h \in \mathbb{R}$ определим точку

где ${\mathbf{n}}(z)$ – орт вектора внешней нормали к поверхности $\Sigma $ в точке $z$.

Обозначим также, через ${{\Omega }^{r}}$, $r > 0$, множество точек $x = {{x}_{h}}(z)$, таких что $z \in \Sigma $, $\left| h \right| \leqslant r$. Сделаем следующие предположения о поверхности тела $\Sigma $.

Предположение 1. Существует ${{r}_{0}} > 0$ такое, что при $r = {{r}_{0}}$ отображение множества пар $(z,h)$, где $z \in \Sigma $, $\left| h \right| \leqslant r$, на множество ${{\Omega }^{r}}$, есть биекция.

Предположение 2. Существуют $r \in (0,{{r}_{0}}]$ и $M$, где ${{r}_{0}}$ – константа из предположения 1, такие, что для любой точки $z \in \Sigma $ найдется карта ${{\varphi }_{k}}$, позволяющая ввести в окрестности

координаты $\eta {\text{*}} = (\eta _{1}^{*},\eta _{2}^{*},\eta _{3}^{*}) \equiv ({{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}},h)$ по формуле При этом формула (2.8) определяет биективное отображение некоторого открытого множества $V{\text{*}}(z,r) \subset {{{\mathbf{R}}}^{3}}$ и окрестности ${{U}_{r}}(z)$ так, что выполнены оценки

2.3. Продолжение функции, задающей скорости частиц

Для того, чтобы применить к уравнениям (2.3)–(2.5) классические теоремы о зависимости решения обыкновенного дифференциального уравнения от параметров, расширим область определения функции ${\mathbf{u}}(x,t)$ так, чтобы точки вида $(\xi ,0)$, где $\xi \in {{\Omega }_{0}}$, и точки вида $(\xi ,\tau )$, где $\tau \in (0,T)$, $\xi = (z,\tau ) \in {{\Omega }_{\Sigma }}$, стали внутренними точками области определения функции ${\mathbf{u}}(x,t)$.

Пусть $r > 0$ – константа из предположения 2. Для каждого $t \in [0,T]$ построим множество $\Omega {\text{''}}(t)$ точек $x \in {{\mathbb{R}}^{3}}$, являющееся объединением множества $\Omega '(t)$ и всех точек

где функция ${{x}_{h}}(z)$ имеет вид (2.6). Доопределим также,

Рассмотрим множество

Лемма 1. Множество $\Gamma $ открыто, как множество в пространстве ${{\mathbb{R}}^{4}}$.

Доказательство. Пусть $({{x}_{0}},{{t}_{0}}) \in \Gamma $.

Если ${{x}_{0}} \in \Omega {\text{'}}({{t}_{0}})$ и ${{t}_{0}} > 0$, то точка $({{x}_{0}},{{t}_{0}})$ лежит в множестве $\Gamma $ вместе с некоторой своей окрестностью, в силу определения множества $\Omega {\text{'}}(t)$ и непрерывности функции $\omega $.

Если ${{x}_{0}} \in \Omega {\text{'}}({{t}_{0}})$ и ${{t}_{0}} \leqslant 0$, то найдется ${{\delta }_{1}} > 0$ такое, что при $\left| {x - {{x}_{0}}} \right| < {{\delta }_{1}}$ и при $0 \leqslant t < {{\delta }_{1}}$ выполнено условие $\omega (x,t) \ne 0$. Но тогда для таких $x$ и $t$ выполнено условие $x \in \Omega '(t)$. Если же $\left| {x - {{x}_{0}}} \right| \leqslant {{\delta }_{1}}$ и $t < 0$, то $x \in \Omega {\text{'}}(0) = \Omega {\text{'}}(t)$. Таким образом, при $\left| {x - {{x}_{0}}} \right| < {{\delta }_{1}}$ и $\left| {t - {{t}_{0}}} \right| < {{\delta }_{1}}$ выполнено условие $(x,t) \in \Gamma $.

Теперь пусть ${{x}_{0}} \notin \Omega {\text{'}}({{t}_{0}})$. Тогда точка ${{x}_{0}}$ имеет вид

По предположению 2 в окрестности точки ${{z}_{0}}$ в пространстве ${{\mathbb{R}}^{3}}$ можно ввести локальные координаты $\eta {\text{*}} = ({{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}},h)$ так, что выполнена формула (2.8). Пусть $\eta _{0}^{*} = (\eta _{1}^{0},\eta _{2}^{0},{{h}_{0}})$ – локальные координаты точки ${{z}_{0}}$.

Если ${{t}_{0}} \geqslant 0$, то найдется такое ${{\delta }_{2}} > 0$, что при

и $t \geqslant 0$ выполнены условия $z = {{\varphi }_{k}}({{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}}) \in S(t)$ и если $h > 0$, то $\omega (x(\eta {\text{*}}),t) \ne 0$. Тогда если выполнены условия (2.12) и при этом $t \geqslant 0$, то $x(\eta {\text{*}}) \in \Omega {\text{''}}(t)$. Если же выполнены условия (2.12) и при этом $t < 0$, то $x(\eta {\text{*}}) \in \Omega {\text{''}}(0)$. Но $\Omega {\text{''}}(t) = \Omega {\text{''}}(0)$, а значит опять $x(\eta {\text{*}}) \in \Omega {\text{''}}(t)$.

Если ${{t}_{0}} < 0$, то найдется такое ${{\delta }_{2}} > 0$, что при условиях (2.12) выполнены условия $t < 0$, $z = {{\varphi }_{k}}({{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}}) \in S(0)$ и, если $h > 0$, то $\omega (x(\eta {\text{*}}),0) \ne 0$. Но тогда $x(\eta {\text{*}}) \in \Omega {\text{''}}(0) = \Omega {\text{''}}(t)$.

Таким образом, при условиях (2.12) выполнено условие $(x(\eta {\text{*}}),t) \in \Gamma $. Но тогда и точка $({{x}_{0}},{{t}_{0}})$ лежит в множестве $\Gamma $ вместе с некоторой своей окрестностью из пространства ${{\mathbb{R}}^{4}}$.

Лемма доказана.

Доопределим функцию ${\mathbf{u}}(x,t)$ на всем множестве $\Gamma $ следующим образом.

При $t \geqslant 0$ для всех точек $x$ вида (2.9) определим

где $\partial {\mathbf{u}}(z,t){\text{/}}\partial n$ – производная в момент времени $t$ векторной функции ${\mathbf{u}}$ по направлению вектора ${\mathbf{n}}(z)$, $z = z(x)$, $h = h(x)$. Далее положим

Лемма 2. Функция ${\mathbf{u}}(x,t)$, ее производные по пространственным координатам $\partial {\mathbf{u}}(x,t){\text{/}}\partial {{x}_{i}}$, $i = 1,...,3$, и производная по времени $\partial {\mathbf{u}}(x,t){\text{/}}\partial t$ непрерывны на множестве $\Gamma $.

Доказательство. Непосредственно из определения функции ${\mathbf{u}}$ по формуле (1.13) следует, непрерывность этой функции и ее производных $\partial {\mathbf{u}}(x,t){\text{/}}\partial {{x}_{i}}$, $i = 1,...,3$, $\partial {\mathbf{u}}(x,t){\text{/}}\partial t$, на множестве пар $(x,t)$, в которых $x \in \Omega {\text{'}}(t)$, $t \in (0,T)$. Из формулы (2.13) следует непрерывность функции ${\mathbf{u}}$ и ее рассматриваемых производных при $x \in \Omega '(t)$, $t \in ( - T,T)$.

Пусть теперь $({{x}_{0}},{{t}_{0}}) \in \Gamma $, где ${{t}_{0}} \in ( - T,T)$, точка ${{x}_{0}}$ представляется в виде (2.11). Как и при доказательстве леммы 1 построим в окрестности точки ${{z}_{0}}$ радиуса $r$ в пространстве ${{\mathbb{R}}^{3}}$ локальные координаты $\eta {\text{*}} = ({{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}},h) \equiv (\eta _{1}^{*},\eta _{2}^{*},\eta _{3}^{*})$ так, что выполнена формула (2.8). Пусть $\eta _{0}^{*} = (\eta _{1}^{0},\eta _{2}^{0},{{h}_{0}})$ – локальные координаты точки ${{z}_{0}}$.

Рассмотрим функцию

В силу леммы 1 функция ${\mathbf{\tilde {u}}}$ определена в некоторой окрестности точки $(\eta _{0}^{*},{{t}_{0}}) \equiv (\eta _{1}^{0},\eta _{2}^{0},{{h}_{0}},t)$, а также и в некоторой окрестности точки $(\eta _{1}^{0},\eta _{2}^{0},0,{{t}_{0}})$.

Обозначим ${\mathbf{\tilde {u}}}_{i}^{'}({{\eta }^{*}},t) = \partial {\mathbf{u}}({{\eta }^{*}},t){\text{/}}\partial \eta _{i}^{*}$, ${\mathbf{\tilde {u}}}_{{i,j}}^{{''}}(\eta {\text{*}},t) = \partial {\mathbf{u}}(\eta {\text{*}},t){\text{/}}(\partial \eta _{i}^{*}\partial \eta _{j}^{*})$, $i,j = 1,...,3$. Из предположения 2 и дифференциальных свойств функции $\omega $ следует, что сама функция ${\mathbf{\tilde {u}}}(\eta {\text{*}},t)$ и ее записанные первые и вторые производные определены и непрерывны в окрестности точки $(\eta _{1}^{0},\eta _{2}^{0},0,{{t}_{0}})$ при $\eta _{3}^{*} > 0$ и непрерывно продолжаются в этой окрестности на поверхность $\eta _{3}^{0} = 0$ со стороны области $\eta _{3}^{*} > 0$. Тогда для случая $\eta _{3}^{*} < 0$ можем записать следующие формулы, которые справедливы в окрестности точки $(\eta _{0}^{*},{{t}_{0}})$:

Кроме того, для производной по времени справедливо выражение Из этих формул видно, что функция ${\mathbf{\tilde {u}}}$, ее производные ${\mathbf{\tilde {u}}}_{i}^{'}$, $i = 1,...,3$, и производная $\partial {\mathbf{\tilde {u}}}{\text{/}}\partial t$ непрерывны в окрестности точки $(\eta _{0}^{*},{{t}_{0}})$ (непрерывность функции ${\mathbf{\tilde {u}}}_{{i,3}}^{{''}}(\eta _{1}^{*},\eta _{2}^{*},0,t)$ по переменным $(\eta _{1}^{*},\eta _{2}^{*},t)$ следует из формулы (2.13)). Тогда функция ${\mathbf{u}}$ и ее производные $\partial {\mathbf{u}}{\text{/}}\partial {{x}_{i}}$, $i = 1,...,3$, и $\partial {\mathbf{u}}{\text{/}}\partial t$ также непрерывны в окрестности точки $({{x}_{0}},{{t}_{0}})$. Лемма доказана.

2.4. Свойства функций, описывающих движение индивидуальных частиц

В силу леммы 1 пара $({{y}_{0}},{{t}_{0}})$, где

является внутренней точкой множества $\Gamma $. Тогда на основании леммы 2 мы можем утверждать, что для каждого элемента $\xi = {{\Omega }_{0}} \cup {{\Omega }_{\Sigma }}$ существует и при том единственное непродолжаемое решение $y(t) = x(\xi ,t)$ уравнения (2.2) на множестве $\Gamma $, удовлетворяющее условию (см. [17, § 3, с. 23, § 22, с. 173–174])

Лемма 3. А). Множество ${{T}_{0}}$ всех пар элементов $(\xi ,t)$, где $\xi \in {{\Omega }_{0}}$, для которых определено непродолжаемое решение уравнения (2.2) на множестве $\Gamma $ при условиях (2.14), (2.16) открыто как подмножество пространства ${{\mathbb{R}}^{4}}$. При этом функция $x(\xi ,t)$, являющаяся решением уравнений (2.3)–(2.4), непрерывна и имеет непрерывные производные $\partial x(\xi ,t){\text{/}}\partial {{\xi }_{i}}$, $i = 1,...,3$, на всем множестве ${{T}_{0}}$.

Б) Для любой локальной карты ${{\varphi }_{k}}$, $k = 1,...,K$, обозначим через ${{T}_{k}}$ – множество наборов чисел $({{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}},\tau ,t)$ таких, что для точки $\xi = (z,\tau ) \in {{\Omega }_{\Sigma }}$, где $z = {{\varphi }_{k}}(\eta )$, $\eta = ({{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}}) \in {{V}_{k}}$, определено непродолжаемое решение уравнения (2.2) при условиях (2.15), (2.16). Тогда множество ${{T}_{k}}$ открыто, как подмножество пространства ${{\mathbb{R}}^{4}}$. При этом функция ${{p}_{k}}(\eta ,\tau ,t) = x(\xi ,t)$, $\xi = ({{\varphi }_{k}}(\eta ),\tau ) \in {{\Omega }_{\Sigma }}$, где $x(\xi ,t)$ – решение уравнений (2.3), (2.5), непрерывна и имеет непрерывные производные $\partial {{p}_{k}}{\text{/}}\partial {{\eta }_{i}}$, $i = 1,2$, $\partial {{p}_{k}}{\text{/}}\partial \tau $ на всем множестве ${{T}_{k}}$.

Доказательство. А). Утверждение А) леммы сразу следует из теоремы 15 в [17].

Б) Введем переменную $\tilde {t} = t - \tau $ и рассмотрим вспомогательную функцию ${{\tilde {p}}_{k}}(\eta ,\tau ,\tilde {t}) = {{p}_{k}}(\eta ,\tau ,\tilde {t}) - {{\varphi }_{k}}(\eta )$ ${{\tilde {p}}_{k}}(\eta ,\tau ,\tilde {t}) = {{p}_{k}}(\eta ,\tau ,\tilde {t}) - {{\varphi }_{k}}(\eta )$, $\xi = ({{\varphi }_{k}}(\eta ),\tau ) \in {{\Omega }_{\Sigma }}$. Функция ${{\tilde {p}}_{k}}$ является решением уравнения

удовлетворяющим условию

Каждому непродолжаемому решению уравнения (2.2) при условии (2.15), (2.16) где $\xi = (z,\tau ) \in {{\Omega }_{\Sigma }}$, $z = {{\varphi }_{k}}(\eta )$, $\eta = ({{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}}) \in {{V}_{k}}$, определенному на отрезке времени $({{t}_{1}},{{t}_{2}}) \subset ( - T,T)$, соответствует решение ${{\tilde {p}}_{k}}(\eta ,\tau ,\tilde {t})$, определенное для $\tilde {t} \in ({{t}_{1}} + \tau ,{{t}_{2}} + \tau )$. Правая часть уравнения (2.17) – функция ${\mathbf{u}}(p + {{\varphi }_{k}}(\eta ),\tilde {t} + \tau )$, определена на множестве ${{\tilde {\Gamma }}_{k}}$ параметров $({{p}_{1}},{{p}_{2}},{{p}_{3}},{{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}},\tau ,t)$ таких, что $\eta = ({{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}}) \in {{V}_{k}}$, $\tau \in (0,T)$, $(p + {{\varphi }_{k}}(\eta ),\tilde {t} + \tau ) \in \Gamma $. Легко увидеть, что множество ${{\tilde {\Gamma }}_{k}}$ открыто. Тогда по теореме 13 из [17], множество ${{T}_{k}}$ всех наборов $({{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}},\tau ,t)$, для которых определено непродолжаемое решение уравнения (2.17) при условии (2.18), открыто и функция ${{\tilde {p}}_{k}}(\eta ,\tau ,\tilde {t})$ непрерывна на этом множестве по совокупности аргументов. По теореме 14 из [17] эта функция имеет производные $\partial {{\tilde {p}}_{k}}{\text{/}}\partial {{\eta }_{i}}$, $i = 1,2$, и $\partial {{\tilde {p}}_{k}}{\text{/}}\partial \tau $, которые определены на всем множестве ${{T}_{k}}$ и непрерывны на этом множестве по совокупности аргументов. Тогда функция $x(\xi ,t)$ так же определена на множестве аргументов $\xi = ({{\varphi }_{k}}(\eta ),\tau ) \in {{\Omega }_{\Sigma }}$, и $t$ таких, что $({{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}},\tau ,t) \in {{T}_{k}}$, а соответствующая функция ${{p}_{k}}(\eta ,\tau ,t)$ непрерывна и имеет непрерывные производные $\partial {{p}_{k}}{\text{/}}\partial {{\eta }_{i}}$, $i = 1,2$, $\partial {{p}_{k}}{\text{/}}\partial \tau $ на всем множестве ${{T}_{k}}$. Лемма доказана.

Теперь вспомним, что нас интересуют решения уравнения (2.2) со значениями функции $y(t)$ в области $\Omega $. Для любой точки $\xi \in {{\Omega }_{0}}$ непродолжаемое на множестве $\Gamma $ решение $y(t) = x(\xi ,t)$ удовлетворяет условию $y(t) \in \Omega $, по крайней мере, на некотором интервале времени $[0,\delta )$, $\delta > 0$, где $\delta $, вообще говоря зависит от $\xi $. Это верно, т.к. $y(0) = \xi \in \Omega $, множество $\Omega $ открыто, а функция $y(t)$ непрерывна.

Докажем, что для любого элемента $\xi = (z,\tau ) \in {{\Omega }_{\Sigma }}$ найдется такое $\delta > 0$, что непродолжаемое на множестве $\Gamma $ решение $y(t) = x(\xi ,t)$ удовлетворяет условию $y(t) \in \Omega $ на интервале времени $(\tau ,\tau + \delta )$. Для этого воспользуемся предположением 2 и опять введем в окрестности точки $z$ радиуса $r$ локальные координаты $\eta {\text{*}} = (\eta _{1}^{*},\eta _{2}^{*},\eta _{3}^{*}) \equiv ({{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}},h)$. Найдется такой промежуток $(\tau ,\tau + \Delta \tau )$, $\Delta \tau > 0$, что на этом промежутке решение $y(t)$ определено и удовлетворяет условию $\left| {y(t) - z} \right| < r$. Тогда можно ввести векторную функцию $\eta _{\xi }^{*}(t) = (\eta _{{\xi ,1}}^{*}(t),\eta _{{\xi ,2}}^{*}(t),\eta _{{\xi ,3}}^{*}(t))$, которая каждому $t \in [\tau ,\tau + \Delta \tau )$ ставит в соответствие набор координат $\eta {\text{*}}$ точки $y(t)$. При этом условие $\eta _{{\xi ,3}}^{*}(t) > 0$ является критерием принадлежности точки $y(t)$ множеству $\Omega $.

Чтобы воспользоваться этим критерием, представим функцию $y(t)$ в виде

Тогда Умножим записанное выражение для производной $dy(t){\text{/}}dt$ на вектор ${\mathbf{n}} = {\mathbf{n}}({{\varphi }_{k}}(\eta (t)))$. При этом заметим, что Тогда При $t = \tau $ выполнены равенства $y(t) = {{\varphi }_{k}}(\eta (t)) = z$ и условие ${\mathbf{u}}(z,t){\mathbf{n}}(z) > 0$. Значит, $dh{\text{/}}dt > 0$ при $t = \tau $, а т.к. функция $h(t)$ непрерывна, это неравенство выполнено и на некотором промежутке $(\tau ,\tau + \delta )$, где $0 < \delta < \Delta t$. Тогда функция $h(t)$ положительна при $t \in (\tau ,\tau + \delta )$. Значит, точка $x(\xi ,t)$ лежит в области $\Omega $ для рассматриваемого $\xi $ при $t \in (\tau ,\tau + \delta )$, что и требовалось доказать.

Пусть $\xi \in {{\Omega }_{0}} \cup {{\Omega }_{\Sigma }}$ и пусть ${{t}_{0}} = 0$ при $\xi \in {{\Omega }_{0}}$, ${{t}_{0}} = \tau $ при $\xi = (z,\tau ) \in {{\Omega }_{\Sigma }}$. Как было доказано, существует решение уравнения (2.3), удовлетворяющее условию (2.4) или (2.5) (в зависимости от точки $\xi $), являющееся непродолжаемым на множестве $\Gamma $. При этом существует ${{t}_{1}} > {{t}_{0}}$ такое, что значение $x(\xi ,t)$ определено и $x(\xi ,t) \in \Omega $ при всех $t \in ({{t}_{0}},{{t}_{1}})$. Пусть $t{\kern 1pt} {\text{*}}(\xi )$ – точная верхняя грань множества значений ${{t}_{1}}$, при которых выполнено данное условие. Таким образом, $t{\kern 1pt} {\text{*}}(\xi )$ – верхняя граница по времени существования непродолжаемого решения уравнения (2.3) для данного значения параметра $\xi $.

Теперь для каждого момента времени $t$ введем следующие множества, характеризующие области определения и значений для решений задачи (2.3)–(2.5). Пусть

С физической точки зрения множество ${{D}_{0}}(t)$ представляет собой множество всевозможных значений лагранжевых координат частиц, которые начали свое движение в начальный момент времени из области с ненулевой завихренностью, и которые находятся в момент времени $t$ в потоке, а множество ${{G}_{0}}(t)$ есть множество геометрических точек пространства, в которых в момент времени $t$ находятся эти частицы. Аналогично множество ${{D}_{\Sigma }}(t)$ есть множество значений лагранжевых координат, которые соответствуют частицам, начавшим свое движение на поверхности тела во все предшествующие моменты времени, и которые в момент времени $t$ находятся в потоке; ${{G}_{\Sigma }}(t)$ – есть множество геометрических точек в пространства, в которых в момент времени $t$ находятся все частицы, стартовавшие с поверхности тела.

Лемма 4. А) При каждом $t \in [0,T)$ множество ${{D}_{0}}(t)$ открыто (как элемент метрического пространства ${{\mathbb{R}}^{3}}$).

Б) При каждом $t \in (0,T)$ множества ${{D}_{\Sigma }}(t)$ открыто. (Здесь множество ${{D}_{\Sigma }}(t)$ рассматривается как элемент пространства $\Sigma \times \mathbb{R}$, где поверхность $\Sigma $ рассматривается как самостоятельное метрическое пространство. Будем считать, что расстояние между элементами $\xi = (z,\tau )$ и ${{\xi }_{1}} = ({{z}_{1}},{{\tau }_{1}})$ введено по формуле $\rho (\xi ,{{\xi }_{1}}) = \left| {z - {{z}_{1}}} \right| + \left| {t - {{t}_{1}}} \right|$.)

Доказательство. А) Пусть ${{\xi }_{0}} \in {{D}_{0}}({{t}_{0}})$. Это означает, что непродолжаемое решение ${{y}_{0}}(t)$ уравнения (2.2), удовлетворяющее условиям (2.14), (2.16) c $\xi = {{\xi }_{0}}$, определено на отрезке $[0,{{t}_{0}}]$ и при всех $t \in [0,{{t}_{0}}]$ удовлетворяет условию ${{y}_{0}}(t) \in \Omega $. Тогда функция $\rho ({{y}_{0}}(t),\Sigma )$, где $\rho (y,\Sigma )$ – расстояние от точки $y$ до поверхности $\Sigma $, непрерывна по переменной $t \in [0,{{t}_{0}}]$ и положительна. Значит, найдется такое $\varepsilon > 0$, что для всех $t \in [0,{{t}_{0}}]$ выполнено неравенство

Далее, по лемме 3 найдется такое ${{\delta }_{1}} > 0$, что при $\left| {\xi - {{\xi }_{0}}} \right| < {{\delta }_{1}}$ функция $y(t) = x(\xi ,t)$, являющаяся как функция от переменой $t$ непродолжаемым решением уравнения (2.2) на множестве $\Gamma $ при условиях (2.14), (2.16) с этим $\xi $, также определена в точке ${{t}_{0}}$, а значит, и на всем отрезке $[0,{{t}_{0}}]$. При этом функция $x(\xi ,t)$ равномерно непрерывна на замкнутом множестве пар $(\xi ,t) \in {{\mathbb{R}}^{4}}$ таких, что $\left| {\xi - {{\xi }_{0}}} \right| \leqslant {{\delta }_{1}}{\text{/}}2$, $t \in [0,{{t}_{0}}]$. Тогда найдется $\delta \in (0,{{\delta }_{1}}{\text{/}}2)$ такое, что при $\left| {\xi - {{\xi }_{0}}} \right| < \delta $ выполнено условие $\left| {x(\xi ,t) - x({{\xi }_{0}},t)} \right| < \varepsilon $ при всех $t \in [0,{{t}_{0}}]$, где $\varepsilon $ – константа из неравенства (2.20). Это означает, что точка ${{\xi }_{0}}$ принадлежит множеству ${{D}_{0}}({{t}_{0}})$ вместе со своей окрестностью радиуса $\delta $. Утверждение А) доказано.

Б) Теперь пусть ${{\xi }_{0}} = ({{z}_{0}},{{\tau }_{0}}) \in {{D}_{\Sigma }}({{t}_{0}})$. Это означает, что непродолжаемое решение ${{y}_{0}}(t)$ уравнения (2.2), удовлетворяющее условиям (2.15), (2.16) c $\xi = {{\xi }_{0}}$, определено на отрезке $[{{\tau }_{0}},{{t}_{0}}]$ и при всех $t \in [{{\tau }_{0}},{{t}_{0}}]$ удовлетворяет условию ${{y}_{0}}(t) \in \Omega $.

В соответствии с предположением 2 введем на множестве ${{U}_{r}}({{z}_{0}})$ – трехмерной окрестности точки ${{z}_{0}}$ радиуса $r$, локальные координаты $\eta {\text{*}} = ({{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}},h)$. В силу леммы 4 существует ${{\delta }_{2}} > 0$ такое, что для любой пары $\xi = (z,\tau )$, удовлетворяющей неравенствам

выполнены условия: $\tau < {{t}_{0}}$; непродолжаемое решение $y(t)$ уравнения (2.2) при условиях (2.15), (2.16) определено при $t = {{t}_{0}}$, а значит, и на всем отрезке $[\tau ,{{t}_{0}}]$; при $t \in [\tau ,\tau + {{\delta }_{2}}]$ для этого решения выполнено условие $y(t) \in {{U}_{r}}({{z}_{0}})$.

Тогда для точки $\xi = (z,\tau )$, удовлетворяющей условиям (2.21), можно определить функцию $\eta _{\zeta }^{*}(t) = ({{\eta }_{{\xi ,1}}}(t),{{\eta }_{{\xi ,2}}}(t),{{h}_{\xi }}(t))$, ставящую в соответствие значению функции $y(t)$ в момент времени $t \in [\tau ,\tau + {{\delta }_{2}}]$ набор локальных координат точки $y(t)$. Пусть $\eta _{0}^{*}(t) = ({{\eta }_{{0,1}}}(t),{{\eta }_{{0,2}}}(t),{{h}_{0}}(t))$, $t \in [\tau ,\tau + {{\delta }_{2}}]$, – локальные координаты, соответствующие функции ${{y}_{0}}(t)$. При этом выполнено условие $d{{h}_{0}}{\text{/}}dt > 0$.

В силу леммы 3 функция $\eta _{\xi }^{*}(t)$ непрерывна по совокупности аргументов $(\xi ,t)$ при $\xi $ удовлетворяющих условиям (2.21) и при $t \in [\tau ,\tau + {{\delta }_{2}}]$. Тогда найдутся константы ${{\delta }_{3}} \in (0,{{\delta }_{2}})$ и $\theta > 0$ такие, что при $\left| {z - {{z}_{0}}} \right| < {{\delta }_{3}}$, $\left| {\tau - {{\tau }_{0}}} \right| < {{\delta }_{3}}$, $t \in [\tau ,\tau + {{\delta }_{3}})$ выполнено условие

Теперь пусть ${{t}_{1}} = {{\tau }_{0}} + {{\delta }_{3}}{\text{/}}2$. Тогда для любой точки $\xi = (z,\tau )$, $z \in \Sigma $, $\tau \in R$ такой, что $\left| {z - {{z}_{0}}} \right| < {{\delta }_{3}}$, $\left| {\tau - {{\tau }_{0}}} \right| < {{\delta }_{3}}{\text{/}}4$ функция $\eta _{\xi }^{*}(t)$ определена на отрезке $[\tau ,{{t}_{1}}]$, удовлетворяет условию (2.22) и при этом ${{t}_{1}} - \tau > {{\delta }_{3}}{\text{/}}4$. Но тогда функция $x(\xi ,t) = y(t)$, где $y(t)$ – решение уравнения (2.2) при условиях (2.15), (2.16), удовлетворяет условию

Теперь рассмотрим решение ${{y}_{0}}(t) = x({{\xi }_{0}},t)$ на отрезке $[{{t}_{1}},{{t}_{0}}]$. Как и в случае А) найдется ${{\varepsilon }_{2}} > 0$ такое, что $\rho ({{y}_{0}}(t),\Sigma ) > {{\varepsilon }_{2}}$ при $t \in [{{t}_{1}},{{t}_{0}}]$. Далее, в силу леммы 3 найдется ${{\delta }_{4}} > 0$ такое, что при $\left| {z - {{z}_{0}}} \right| < {{\delta }_{4}}$, $\left| {\tau - {{\tau }_{0}}} \right| < {{\delta }_{4}}$ непродолжаемое решение $y(t)$ уравнения (2.2) при условиях (2.15), (2.16) с $\xi = (z,\tau )$ определено на отрезке $[{{t}_{1}},{{t}_{0}}]$ и удовлетворяет условию $\left| {y(t) - {{y}_{0}}(t)} \right| < {{\varepsilon }_{2}}$ при $t \in [{{t}_{1}},{{t}_{0}}]$. Но тогда $y(t) \in \Omega (t)$ при $t \in [{{t}_{1}},{{t}_{0}}]$. Теперь если $\delta = \min ({{\delta }_{3}},{{\delta }_{4}})$, то при $\left| {z - {{z}_{0}}} \right| < \delta $, $\left| {\tau - {{\tau }_{0}}} \right| < \delta $ решение $y(t)$ удовлетворяет условию $y(t) \in \Omega $ при $t \in (\tau ,{{t}_{0}}]$. Но это означает, что точка ${{\xi }_{0}}$ принадлежит множеству ${{D}_{\Sigma }}({{t}_{0}})$ вместе со своей окрестностью радиуса $\delta $. Утверждение Б) доказано. Лемма доказана.

Лемма 5. Множества ${{G}_{0}}(t)$ и ${{G}_{\Sigma }}(t)$ при каждом $t \in (0,T)$ являются открытыми.

Доказательство. А) Рассмотрим множество ${{G}_{0}}(t)$, $t \in [0,T)$. Для выбранного момента времени $t$ функция $x(\xi ,t)$ определяет отображение точек $\xi \in {{D}_{0}}(t)$ в трехмерное пространство (точке $\xi $ ставится в соответствие точка $x(\xi ,t)$), причем множество ${{G}_{0}}(t)$ есть множество значений этого отображения. Пусть ${{\xi }_{0}} \in {{D}_{0}}(t)$. По лемме 4 существует окрестность этой точки в пространстве ${{\mathbb{R}}^{3}}$, целиком лежащая в множестве ${{D}_{0}}(t)$, а по лемме 3 рассматриваемое отображение непрерывно дифференцируемо в данной окрестности. Рассмотрим якобиан этого отображения

По формуле дифференцирования по времени якобиана перехода к лагранжевым переменным [18, формула (4.40), с. 164] и в силу уравнений (2.3) и начальных условий (2.4) имеем

Из этих соотношений следует, что выполнено условие $J(\xi ,t) \ne 0$ при всех $t \in [0,t{\kern 1pt} {\text{*}}(\xi ))$, $\xi \in {{D}_{0}}(t).$ Действительно, рассматривая соотношения (2.24) как уравнения относительно функции $J$ при заданной функции ${\mathbf{u}}$, можем записать

Тогда из теоремы об обратной функции [19, c. 489] следует, что в рассматриваемый момент времени $t$ у рассматриваемой точки ${{\xi }_{0}} \in {{D}_{0}}(t)$ найдется окрестность такая, что отображение, определяемое функцией $x(\xi ,t)$, есть диффеоморфизм этой окрестности и некоторой окрестности точки ${{x}_{0}} = x({{\xi }_{0}},t)$. Но это и означает, что точка ${{x}_{0}}$ лежит в множестве ${{G}_{0}}(t)$ вместе с некоторой своей окрестностью. Значит множество ${{G}_{0}}(t)$ открыто.

Б) Рассмотрим множество ${{G}_{\Sigma }}(t)$, $t \in (0,T)$. Пусть

По предположению 2 точка ${{z}_{0}}$ лежит в области действия некоторой локальной карты ${{\varphi }_{k}}$ на поверхности.

Каждую точку $\xi = (z,\tau )$, где $z \in {{\Sigma }_{k}}$, можно описать набором координат $\tilde {\eta } = ({{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}},\tau )$ так, что $\xi = ({{\varphi }_{k}}(\eta ),\tau )$, $\eta = ({{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}})$. Пусть

Рассмотрим функцию $\tilde {x}(\tilde {\eta },t) = x(\xi ,t)$ при $\xi = ({{\varphi }_{k}}(\eta ),\tau )$, $\eta \in {{V}_{k}}$, $t \in [\tau ,t{\text{*}}(\xi ))$.

Пусть ${{\tilde {\eta }}_{0}} \in {{\tilde {D}}_{k}}(t)$. По лемме 4 существует окрестность этой точки в пространстве ${{\mathbb{R}}^{3}}$, целиком лежащая в множестве ${{\tilde {D}}_{k}}(t)$, а по лемме 3 для каждого $t \in (\tau ,T)$ отображение, ставящее в соответствие точке $\tilde {\eta } \in {{\tilde {D}}_{k}}(t)$ точку $\tilde {x}(\tilde {\eta },t)$ является непрерывно дифференцируемым. Якобиан этого отображения можно представить в виде

Функция ${{\tilde {J}}_{k}}({{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}},\tau ,t)$ и ее производная по $t$ имеют предел при $t \to \tau $. В силу равенства имеем $\partial{ \tilde {x}}{\text{/}}\partial \tau + \partial{ \tilde {x}}{\text{/}}\partial t = 0$ и, значит, $\partial{ \tilde {x}}{\text{/}}\partial \tau = - {\mathbf{u}}({{\varphi }_{k}}(\eta ),t)$ при $t = \tau $. Тогда Заметим, что векторы ${\mathbf{\tau }}_{i}^{k}$, $i = 1,2$, есть независимые касательные векторы к поверхности $\Sigma $ в точке $z = {{\varphi }_{k}}(\eta )$. Т.к. мы рассматриваем только такие элементы $\tilde {\eta }$, для которых ${\mathbf{u}}(z,\tau ){\mathbf{n}}(z) > 0$, то выполнено условие ${{\tilde {J}}_{k}}({{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}},\tau ,t) \ne 0$ при $t = \tau $. Опять заметим, что Тогда ${{\tilde {J}}_{k}}({{\eta }_{1}},{{\eta }_{2}},\tau ,t) \ne 0$ при всех $t \in [\tau ,t{\kern 1pt} {\text{*}}(\xi ))$.

Теперь, применяя теорему об обратной функции, опять можем утверждать, что существует окрестность точки ${{\tilde {\eta }}_{0}} \in {{\tilde {D}}_{k}}(t)$, для которой отображение, определяемое функцией $\tilde {x}(\tilde {\eta },t)$, есть диффеоморфизм этой окрестности и некоторой окрестности точки ${{x}_{0}} = \tilde {x}({{\tilde {\eta }}_{0}},t)$. Но эта окрестность точки ${{x}_{0}}$ лежит в множестве ${{G}_{\Sigma }}(t)$. Значит, это множество открыто. Лемма доказана.

2.5. Движение частиц, заканчивающееся на поверхности

Далее нас также будут интересовать частицы, траектории которых заканчиваются на поверхности $\Sigma $. Пусть ${{S}^{ - }}(t)$, $t \in [0,T]$, есть множество всех точек $z \in \Sigma $, в которых в момент времени $t$ выполнено условие:

Так же, для каждого момента времени $t \in [0,T]$ введем множество $G_{\Sigma }^{ - }(t)$, элементами которого являются точки области $\Omega $, в которых находятся частицы, движение которых заканчивается на поверхности $\Sigma $, причем, на участке этой поверхности, на котором в момент окончания движения выполнено условие (2.29). Математически множество $G_{\Sigma }^{ - }(t)$ определим как множество всех точек $x \in \Omega $ таких, что $x = x(\xi ,t)$, $\xi \in {{D}_{0}}(t) \cup {{D}_{\Sigma }}(t)$, и для которых выполнено условие:

Для анализа движения всех таких частиц можно ввести новую лагранжеву параметризацию, приписав каждой такой частице лагранжев параметр ${{\xi }^{ - }} = (z,\tau )$, где $\tau \in (0,T)$ – момент окончания движения, $z \in {{S}^{ - }}(\tau )$ – точка, в которой оканчивается движение. Рассмотрим задачу

Заметим, что задача (2.31)–(2.32) полностью аналогична задаче (2.3), (2.5) с обращением времени. Применяя полученные выше для системы (2.3), (2.5) результаты к системе (2.31), (2.32), можем сформулировать следующие свойства ее решений.

Для каждого ${{\xi }^{ - }} = (z,\tau )$, $\tau \in (0,T)$, $z \in {{S}^{ - }}(\tau )$ существует непродолжаемое влево решение уравнения (2.31), определенное на интервале времени $t \in (t{\kern 1pt} {{{\text{*}}}^{ - }}({{\xi }^{ - }}),\tau ]$, удовлетворяющее условию ${{x}^{ - }}({{\xi }^{ - }},t) \in \Omega $ при $t < \tau $.

Далее, для обращенной по времени задачи (2.31), (2.32) введем множество $D_{\Sigma }^{ - }(t)$ значений лагранжевой переменной, аналогичное множеству ${{D}_{\Sigma }}(t)$:

При этом множество $G_{\Sigma }^{ - }(t)$ задается формулой: множества $D_{\Sigma }^{ - }(t)$ и $G_{\Sigma }^{ - }(t)$ открыты (множество $D_{\Sigma }^{ - }(t)$ открыто в смысле расстояния, введенного в лемме 4).

4.1. Уравнения переноса лагранжевой плотности завихренности

Для функции $\psi (\xi ,t)$, с учетом формул (2.24) и (3.6), в каждой точке $x = x(\xi ,t)$ выполнено соотношение:

Теперь из уравнения (1.14), с учетом начальных условий из задачи (3.6), получаем где мы обозначили через ${\mathbf{\gamma }}$ плотность потока завихренности на поверхности тела $\Sigma $: Соотношения (4.1)–(4.3) при заданном поле скоростей ${\mathbf{u}}$ можно рассматривать как начальную задачу для функции $\psi (\xi ,t)$, $t \in [0,T]$, $\xi \in {{D}_{0}}(t) \cup {{D}_{\Sigma }}(t)$.

Формулы (4.1)–(4.3), вместе с формулами (3.3), (3.8) можно использовать для замыкания уравнений движения частиц (2.3)–(2.5), если найти уравнение для функции $\gamma (z,\tau )$, определяемой соотношением (4.4), содержащее только функции $x(\xi ,\tau )$ и $\psi (\xi ,\tau )$. Это соотношение будет получено.

4.2. Уравнение для потока завихренности с поверхности тела

Сделаем следующее дополнительное предположение.

Предположение 4. В каждый момент времени $t \in (0,T)$ почти всюду на поверхности $\Sigma $ выполнено условие $\omega (z,t) \ne 0$.

Кроме того, предполагаем, что во всей области течения выполнено равенство (1.10).

Лемма 6. При условии (1.10) функция $\psi (\xi ,t)$ является ограниченной.

Доказательство. При условии (1.10) уравнение (4.1) можно переписать в виде

Заметим, что в силу начального условия (4.3) при $\tau \in (0,T)$ выполнены равенства

где $\xi = (z,\tau )$, функции $\omega $ и ${\text{rot}}\omega $ берутся в точке $z \in \Sigma $ в момент времени $t$.

С учетом последней формулы найдется константа ${{С}_{1}}$ такая, что при всех $\xi = (z,\tau ) \in {{\Omega }_{\Sigma }}$, выполнена оценка $\left| {\psi (\xi ,\tau )} \right| \leqslant {{С}_{1}}$ и при всех $\xi \in {{\Omega }_{0}}$ выполнена оценка $\left| {\psi (\xi ,0)} \right| \leqslant {{С}_{1}}$. В силу формулы (4.5) найдется константа ${{С}_{2}}$ такая, что $\left| {\partial \psi (\xi ,t){\text{/}}\partial t} \right| \leqslant {{С}_{2}}\left| {\psi (\xi ,t)} \right|$. Но тогда легко показать, что

(это следует из леммы Гронуолла [23, c. 85]). Лемма доказана.

Напомним, что мы доопределили поле скоростей ${\mathbf{w}}(x,t)$ для всех $x \in {{R}^{3}}$ по формуле (3.1), причем при этом при всех $x \in {{R}^{3}}$ справедливы выражения (3.3), (3.8). Из условия (3.2) следует

Искомое соотношение для функции $\gamma (z,\tau )$ – потока завихренности с поверхности тела, получим, подставив выражение для поля скоростей в виде (3.3), (3.8) в последнее равенство.

Рассмотрим производную по времени скорости ${\mathbf{w}}(x,t)$:

здесь ${{\xi }_{z}} = (z,\tau )$.

Суть дальнейшего рассуждения состоит в том, чтобы выделить из записанного выражения в правой части последнего равенства слагаемые, связанные с началом и окончанием движения лагранжевых частиц на поверхности тела в интервале времени $(t - \Delta t,t)$. Специфика и сложность этого рассуждения состоит в том, что учитывается стремление к бесконечности скорости движения индивидуальных частиц при стремлении завихренности к нулю и не используются никакие предположения о структуре границы множества, на котором завихренность не равна нулю. При этом из частиц, окончивших движение на поверхности тела, нас будут интересовать только те частицы, для которых выполнено условие (2.30) (т.е. закончившие движение на участке ${{S}^{ - }}(t{\kern 1pt} {\text{*}}(\xi ))$ поверхности $\Sigma $).

Мы рассматриваем случай $x \in {{\Omega }^{ - }}$, т.к. при этом в подынтегральных выражениях в формуле (4.7) особенность отсутствует, что существенно в дальнейшем рассуждении.

Сначала отметим, что в каждый момент времени $t \in [0,T]$ поле скоростей, индуцируемое вихревыми частицами, сосредоточенными в множестве $G_{\Sigma }^{ - }(t)$ (см. п. 2.5), представляется в виде

функция ${{\psi }^{ - }}({{\xi }^{ - }},t)$ есть решение задачи Соотношение (4.8) и уравнения (4.10)–(4.12) выводятся аналогично второму из соотношений (3.8) и уравнениям (4.1), (4.3)–(4.4).

Вернемся к формуле (4.7). Сравним множества, по которым ведется интегрирование для моментов $t - \Delta t$ и $t$ в аналогичных интегралах в этой формуле. Заметим, что переменная ${{\xi }_{z}}$ пробегает множество ${{D}_{\Sigma }}(t)$ во втором интеграле и множество ${{D}_{\Sigma }}(t - \Delta t)$ в четвертом интеграле (определение множества ${{D}_{\Sigma }}(t)$ было дано в п. 2.4). Для этих множеств справедливы выражения

множество ${{\Sigma }_{\omega }}(\tau ,t)$ определено выражением (3.9).

Далее, справедливы следующие соотношения:

где $\Delta D_{0}^{\Sigma }(t - \Delta t,t)$ есть множество элементов $\xi \in {{\Omega }_{0}}$ таких, что выполнено неравенство и при этом выполнено условие (2.30), а $\Delta {{D}_{0}}(t - \Delta t,t)$ есть множество остальных элементов $\xi \in {{\Omega }_{0}}$, для которых выполнено условие (4.13) (т.е. для которых не выполнено условие (2.30)); где $\Delta D_{\Sigma }^{\Sigma }(t - \Delta t,t)$ есть множество элементов $\xi = (z,\tau )$, $\tau \in (0,t - \Delta t]$, $z \in S(\tau )$, таких, что выполнены неравенство (4.13) и условие (2.30), $\Delta {{D}_{\Sigma }}(t - \Delta t,t)$ – множество остальных элементов $\xi = (z,\tau )$, $\tau \in (0,t - \Delta t]$, $z \in S(\tau )$, таких, что выполнены неравенство (4.13).

Множество $\Delta {{D}_{\Sigma }}(t - \Delta t,t)$ представим в виде

Рассмотрим объединение множеств

Построим множество $\Delta {{G}^{\Sigma }}(t - \Delta t,t)$, состоящее из точек $x \in \Omega $ таких, что $x = x(\xi ,t - \Delta t)$, $\xi \in \Delta {{D}^{\Sigma }}(t - \Delta t,t)$. Все индивидуальные частицы, лагранжевы координаты которых лежат в множестве $\Delta {{D}^{\Sigma }}(t - \Delta t,t)$, заканчивают свое движение на поверхности $\Sigma $ в момент времени, лежащий в промежутке $(t - \Delta t,t]$ с выполнением условия (2.30). Поэтому $\Delta {{G}^{\Sigma }}(t - \Delta t,t) \subset {{G}^{ - }}(t - \Delta t)$.

Теперь перепишем формулу (4.7), выделив отдельно интегралы по множествам частиц, которые начали или окончили (с выполнением условия (2.30)) движение на поверхности $\Sigma $ на промежутке времени $(t - \Delta t,t)$:

Далее исследуем подробно функцию $D_{t}^{{''}}{\mathbf{w}}(x,t)$, определяемую формулой (4.17).

Возьмем произвольное $\varepsilon > 0$ и рассмотрим на поверхности $\Sigma $ множества ${{\Sigma }_{\varepsilon }} = {{\Sigma }_{\varepsilon }}(t)$, состоящее из точек $z \in \Sigma $, таких, что ${\text{|}}\omega (z,t){\text{|}} \geqslant \varepsilon $ и ${\mathbf{u}}(z,t){\mathbf{n}}(z) \geqslant \varepsilon $, и $\Sigma _{\varepsilon }^{ - } = \Sigma _{\varepsilon }^{ - }(t)$, состоящее из точек $z \in \Sigma $, таких, что ${\text{|}}\omega (z,t){\text{|}} \geqslant \varepsilon $ и ${\mathbf{u}}(z,t){\mathbf{n}}(z) \leqslant - \varepsilon $.

Лемма 7. Для каждого ${{t}_{0}} \in (0,T)$ и для каждого $\varepsilon > 0$ существует $\delta = \delta (\varepsilon ,{{t}_{0}})$ такое, что для каждого $\tau \in ({{t}_{0}} - \delta ,{{t}_{0}})$ выполнены условия ${{\Sigma }_{\varepsilon }}({{t}_{0}}) \subset {{\Sigma }_{\omega }}(\tau ,{{t}_{0}})$ и $\Sigma _{\varepsilon }^{ - }({{t}_{0}}) \subset \Sigma _{\omega }^{ - }(\tau ,{{t}_{0}} - \delta )$.

Доказательство. Как и в п. 2.4 рассмотрим непродолжаемые решения уравнения (2.2) $y(t)$, такие, что $(y(t),t) \in \Gamma $, $\Gamma $ – множество, определяемое формулой (2.10) – расширенная область определения функции ${\mathbf{u}}$. Пусть $T$ есть множество наборов $(x,t,\tau )$, $x \in {{\mathbb{R}}^{3}}$, $t \in (0,T)$, $\tau \in (0,T)$, таких, что решение уравнения (2.2), удовлетворяющее условию

определено в момент $t$. Тогда множество $T$ открыто как множество в пространстве ${{R}^{5}}$, причем функция $y$ непрерывно дифференцируема как функция переменных $(x,t,\tau )$ на множестве $T$ (см. теоремы 14, 15 из [17]).

Пусть теперь $A$ есть множество наборов $(x,t,\tau )$ таких, что $x \in \Sigma $, ${\text{|}}\omega (x,{{t}_{0}}){\text{|}} \geqslant \varepsilon $, $t = {{t}_{0}}$, $\tau = {{t}_{0}}$. Множество $A$ есть замкнутое подмножество множества $T$. Тогда существует ${{\delta }_{1}} > 0$ такое, что множество $A$ лежит в множестве $T$ вместе со своей ${{\delta }_{1}}$-окрестностью. Из этого, в частности, следует, что при $\left| {\tau - {{t}_{0}}} \right| < {{\delta }_{1}}$ решение уравнения (2.2), удовлетворяющее условию (4.18), определено на промежутке $[{{t}_{0}} - \delta ,{{t}_{0}}]$.

Осталось доказать, что при достаточно малом $\delta > 0$ это решение удовлетворяет условию $y(t) \in \Omega $ на промежутке $(\tau ,{{t}_{0}}]$, при $x \in {{\Sigma }_{\varepsilon }}({{t}_{0}})$ и на промежутке $[{{t}_{0}} - \delta ,\tau )$, при $x \in \Sigma _{\varepsilon }^{ - }({{t}_{0}})$, где $\tau \in ({{t}_{0}} - \delta ,{{t}_{0}})$.

Т.к. функция $y$ непрерывно зависит от $(x,t,\tau ) \in T$, найдется ${{\delta }_{2}} \in (0,{{\delta }_{1}})$ такое, что решение $y(t)$, удовлетворяющее условию (4.18), где ${\text{|}}\omega (x,{{t}_{0}}){\text{|}} \geqslant \varepsilon $ и ${\text{|}}\tau - {{t}_{0}}{\text{|}} < {{\delta }_{2}}$, удовлетворяет условию $y \in {{\Omega }^{{{{r}_{0}}}}}$ при $t \in [{{t}_{0}} - {{\delta }_{2}},{{t}_{0}}]$, ${{\Omega }^{{{{r}_{0}}}}}$ множество из предположения 1. Тогда точка $y(t)$ представляется в виде (2.6) и мы можем определить функцию $h(x,t,\tau )$, как значение параметра $h$ из формулы (2.6), соответствующее указанному значению функции $y$.

Если $x \in {{\Sigma }_{\varepsilon }}({{t}_{0}})$, то при $\tau = {{t}_{0}}$ в точке $t = {{t}_{0}}$, выполнено условие $\partial h{\text{/}}\partial t = {\mathbf{u}}(x,t){\mathbf{n}}(x) \geqslant \varepsilon $ (см. формулу (2.19)). Теперь мы можем выбрать такое $\delta \in (0,{{\delta }_{2}})$, что при $x \in {{\Sigma }_{\varepsilon }}({{t}_{0}})$,$\tau \in ({{t}_{0}} - \delta ,{{t}_{0}})$, $t \in (\tau ,{{t}_{0}}]$, выполнено условие $\partial h{\text{/}}\partial t \geqslant \varepsilon {\text{/}}2$. Но тогда на всем промежутке $t \in (\tau ,{{t}_{0}}]$ координата $h$ положительна и точка $y(t)$ лежит в области $\Omega $. Тем самым мы доказали, что функция $x(\xi ,t)$, являющаяся решением уравнения (2.3) при условии (2.5), где $\xi = (z,\tau )$, $z \in {{\Sigma }_{\varepsilon }}({{t}_{0}})$, $\tau \in ({{t}_{0}} - \delta ,{{t}_{0}})$, определена на отрезке $[\tau ,{{t}_{0}}]$ и удовлетворяет условию $x(\xi ,t) \in \Omega $ для $t > \tau $. Но это и означает выполнение условия ${{\Sigma }_{\varepsilon }}({{t}_{0}}) \subset {{\Sigma }_{\omega }}(\tau ,{{t}_{0}})$ при указанном значении параметра $\tau $.

Аналогично, если $x \in \Sigma _{\varepsilon }^{ - }({{t}_{0}})$, то при $\tau = {{t}_{0}}$ в точке $t = {{t}_{0}}$ выполнено условие $\partial h{\text{/}}\partial t = {\mathbf{u}}(x,t){\mathbf{n}}(x) \leqslant - \varepsilon $. Тогда мы можем выбрать число $\delta \in (0,{{\delta }_{2}})$ так, что при $x \in \Sigma _{\varepsilon }^{ - }({{t}_{0}})$, $\tau \in ({{t}_{0}} - \delta ,{{t}_{0}})$, $t \in [{{t}_{0}} - \delta ,\tau )$, выполнено условие $\partial h{\text{/}}\partial t \leqslant - \varepsilon {\text{/}}2$. Значит, координата $h$ положительна и точка $y(t)$ лежит в области $\Omega $ при $t \in [{{t}_{0}} - \delta ,\tau )$, что означает выполнение условия $\Sigma _{\varepsilon }^{ - }({{t}_{0}}) \subset \Sigma _{\omega }^{ - }(\tau ,{{t}_{0}} - \delta )$. Лемма доказана.

Рассмотрим слагаемое ${{D''}_{t}}^{{\; + }}{{{\mathbf{w}}}_{\Sigma }}$ из формулы (4.17).

Для рассматриваемой точки $x \in {{\Omega }^{ - }}$ введем обозначение:

Тогда

Возьмем $\varepsilon > 0$. Найдется $\Delta {{t}_{0}} = \Delta {{t}_{0}}(\varepsilon ) > 0$ такое, что при $z \in {{\Sigma }_{\varepsilon }}(t)$ и $\tau \in [t - \Delta {{t}_{0}},t]$, $\tau {\text{'}} \in [\tau ,t]$ выполнено условие $\left| {\omega (x(\xi ,\tau {\text{'}}),\tau {\text{'}})} \right| > \varepsilon {\text{/}}2$, $\xi = (z,\tau )$. При этом

здесь и далее через $A$ обозначены некоторые константы, не зависящие от $\xi ,\;\tau ,\;\tau {\text{'}},\;\varepsilon ,\;\Delta t$, причем, в различных оценках значение константы $A$ может быть различным.

Предположим, что $\Delta t < \Delta {{t}_{0}}$ и что $\Delta {{t}_{0}} \leqslant \delta $, где $\delta = \delta (\varepsilon ,t)$ – константа из леммы 7. Тогда, с учетом леммы 7, можем записать

Оценим разность ${\mathbf{H}}(z,\tau ,t) - {\mathbf{H}}(z,t,t)$ в интеграле ${{I}_{1}}$:

Заметим, что $x({{\xi }_{t}},t) = z = x(\xi ,\tau )$ и $\left| {x(\xi ,t) - x({{\xi }_{t}},t)} \right| \leqslant A\Delta t{\text{/}}\varepsilon $ в силу уравнения (2.3) и оценки (4.20). Далее, $\left| {\psi (\xi ,t) - \psi ({{\xi }_{t}},t)} \right| \leqslant \left| {\psi (\xi ,t) - \psi (\xi ,\tau )} \right| + \left| {\psi (\xi ,\tau ) - \psi ({{\xi }_{t}},t)} \right|$. В силу условия (4.3), можем записать: $\psi (\xi ,\tau ) = \gamma (z,\tau )$, $\psi ({{\xi }_{t}},t) = \gamma (z,t)$. Учитывая уравнение (4.5), лемму 6 и дифференцируя по времени функцию $\gamma $, заключаем, что $\left| {\psi (\xi ,t) - \psi (\xi ,\tau )} \right| \leqslant A\Delta t{\text{/}}\varepsilon $. Тогда

Рассмотрим интеграл ${{I}_{2}}$. При каждом значении параметра $\tau $ множество, по которому идет интегрирование во внутреннем интеграле, можно представить в виде

Параметр $\Delta {{t}_{0}}$ можно выбрать так, что при $\Delta t \leqslant \Delta {{t}_{0}}$, $\tau \in [t - \Delta {{t}_{0}},t]$, $z \in {{S}_{1}}$ выполнено условие $\left| {\omega (z,\tau )} \right| \geqslant \varepsilon {\text{/}}2$. Далее заметим, что множество $B = \left\{ {\left. {\left( {z,\tau } \right)} \right|\tau \in [t - \Delta {{t}_{0}},t],\left| {\omega (z,t)} \right| \geqslant \varepsilon } \right\}$ замкнуто и ограничено, как подмножество пространства ${{\mathbb{R}}^{4}}$, а функция ${\mathbf{u}}(z,\tau )$ определена и непрерывна на этом множестве. Тогда функция ${\mathbf{u}}(z,\tau )$ равномерно непрерывна на этом множестве и найдется функция $\alpha (\varepsilon ,\Delta t)$ такая, что

и для каждого $\varepsilon > 0$ $\alpha (\varepsilon ,\Delta t) \to 0$ при $\Delta t \to 0$. Т.к. функция ${\mathbf{\omega }}$ ограничена (на всей своей области определения), заключаем, что при $\xi = (z,\tau ) \in B$, $t = \tau $. В силу неравенства (4.6) заключаем, что последняя оценка выполнена и при $\xi = (z,\tau ) \in B$, $t \in [\tau ,t]$ (вообще говоря, с некоторой другой константой $A$). Тогда

Далее, константу $\Delta {{t}_{0}}$ при рассматриваемом $\varepsilon > 0$ можно выбрать так, чтобы из условия $\left| {\omega (z,\tau )} \right| < \varepsilon $ при $z \in \Sigma $, $\tau \in [{{t}_{0}} - \Delta t,{{t}_{0}}]$ следовало условие $\left| {\omega (z,t)} \right| < 2\varepsilon $. Тогда при $z \in {{S}_{2}}(\tau ,t)$ выполнено условие $\left| {\omega (z,t)} \right| < 2\varepsilon $ и, значит, мера множества ${{S}_{2}}$ подчинена оценке $\mu ({{S}_{2}}) \leqslant {{\mu }_{\varepsilon }}$, где ${{\mu }_{\varepsilon }} = {{\mu }_{\varepsilon }}(t)$ есть мера множества точек $\left\{ {\left. {z \in \Sigma } \right|\left| {\omega (z,t)} \right| < 2\varepsilon } \right\}$. Значит,

При этом в силу предположения 4 выполнено условие ${{\mu }_{\varepsilon }} \to 0$ при $\varepsilon \to 0$.

Таким образом, для интеграла ${{I}_{2}}$ справедлива оценка $\left| {{{I}_{2}}} \right| \leqslant A(\varepsilon + \alpha (\varepsilon ,\Delta t) + {{\mu }_{\varepsilon }})$.

Аналогично, для интеграла ${{I}_{3}}$ множество, по которому берется внутренний интеграл, представим в виде $S(t){\backslash }{{\Sigma }_{\varepsilon }}(t) = {{S}_{3}} \cup {{S}_{4}}$,

Также, как и при рассмотрении интеграла ${{I}_{2}}$, доказываем, что при $z \in {{S}_{3}}$ выполнена оценка $\left| {{\mathbf{H}}(z,t,t)} \right| \leqslant A\varepsilon $, а мера множества ${{S}_{4}}$ удовлетворяет условию $\mu ({{S}_{4}}) \leqslant {{\mu }_{\varepsilon }}$. Тогда $\left| {{{I}_{3}}} \right| \leqslant A(\varepsilon + {{\mu }_{\varepsilon }})$.

Таким образом, для интеграла $I$ выполнена оценка

Теперь для любого ${{\varepsilon }_{1}} > 0$ найдется $\varepsilon > 0$ такое, что $A(\varepsilon + {{\mu }_{\varepsilon }}) < {{\varepsilon }_{1}}{\text{/}}2$. Для найденного $\varepsilon $ найдем $\delta \in (0,\Delta {{t}_{0}}(\varepsilon ))$ такое, что при $\Delta t < \delta $ выполнено условие $A(\alpha (\varepsilon ,\Delta t) + \Delta t{\text{/}}\varepsilon ) < {{\varepsilon }_{1}}{\text{/}}2$. Тогда при $\Delta t < \delta $ выполнено условие $\left| I \right| \leqslant {{\varepsilon }_{1}}$. Значит $I \to 0$ при $\Delta t \to 0$, что и требовалось доказать.

Таким образом, из формулы (4.19), с учетом формулы (4.3), можем записать:

Для функции $D_{t}^{{''{\kern 1pt} - }}{{{\mathbf{w}}}_{\Sigma }}$ из формулы (4.17), вводя для каждого $\varepsilon > 0$ на поверхности $\Sigma $ множество $\Sigma _{\varepsilon }^{ - } = \Sigma _{\varepsilon }^{ - }(t)$, учитывая, что по лемме 7 при достаточно малом значении $\Delta t > 0$ выполнено условие $\Sigma _{\varepsilon }^{ - }({{t}_{0}}) \subset \Sigma _{\omega }^{ - }(\tau ,{{t}_{0}})$ при $\tau \in (t - \Delta t,t)$, и проведя далее рассуждение, аналогичное рассуждению для функции $D_{t}^{{''{\kern 1pt} + }}{{{\mathbf{w}}}_{\Sigma }}$, получим формулу:

Собирая последнюю формулу, формулу (4.20) и доопределив

получим соотношение

В силу предположений о гладкости поля скоростей жидкости ${\mathbf{w}}$ функция $\gamma (z,t)$ в каждый момент времени дифференцируема на поверхности $\Sigma $ как функция от переменной $z$ за исключением множества нулевой меры. Теперь пусть $x \in \Sigma $ и в рассматриваемый момент времени функция $\,{\mathbf{\gamma }}$ дифференцируема на поверхности в точке $x$. Тогда из формулы (4.23) следует, что функция $D_{t}^{{''}}{{{\mathbf{w}}}_{\Sigma }}$ имеет в точке $x$ краевые значения ${{(D_{t}^{{''}}{{{\mathbf{w}}}_{\Sigma }}(x,t))}^{ \pm }}$:

здесь ${{(D_{t}^{{''}}{{{\mathbf{w}}}_{\Sigma }}(x,t))}^{ + }}$ – краевое значение со стороны области $\Omega $, ${{(D_{t}^{{''}}{{{\mathbf{w}}}_{\Sigma }}(x,t))}^{ - }}$ – краевое значение со стороны области ${{\Omega }^{ - }}$, $D_{t}^{{''}}{{{\mathbf{w}}}_{\Sigma }}(x,t)$ – прямое значение, определяемое непосредственно формулой (4.23), где интеграл понимается в смысле главного значения (см. [24, теорема 2.24, c. 69–70]).

Производная $\partial {\mathbf{w}}{\text{/}}\partial t$ имеет в каждой точке на поверхности $\Sigma $ краевое значение со стороны области ${{\Omega }^{ - }}$: ${{\left( {\partial {\mathbf{w}}{\text{/}}\partial t} \right)}^{ - }} = 0$. Тогда функция $D_{t}^{'}{{{\mathbf{w}}}_{\Sigma }}$ также имеет на поверхности $\Sigma $ краевые значения ${{(D_{t}^{'}{{{\mathbf{w}}}_{\Sigma }}(x,t))}^{ - }}$ со стороны области ${{\Omega }^{ - }}$ и функция $\gamma $ должна в каждый момент времени $t \in (0,T)$ удовлетворять соотношению

Соотношение (4.25) при заданной функции ${\mathbf{f}}(x,t)$ можно рассматривать как уравнение для потока завихренности $\gamma $.

4.3. Анализ уравнения для потока завихренности с поверхности тела

Преобразуем соотношение (4.25), по-прежнему предполагая, что функция ${\mathbf{\gamma }}$ известна и определяется формулами (4.4), (4.12), (4.22).

Лемма 8. Поле $D_{t}^{{''}}{{{\mathbf{w}}}_{\Sigma }}(x,t)$, определяемое формулой (4.17), удовлетворяет условиям

Доказательство. Первое из равенств (4.27) очевидным образом следует из формулы (4.23) и формул ${\text{di}}{{{\text{v}}}_{x}}\left( {\gamma (z) \times {\mathbf{V}}(x - z)} \right) = - \gamma (z) \times {\text{ro}}{{{\text{t}}}_{x}}{\mathbf{V}}(x - z) = 0$ при$x \in \Omega \cup {{\Omega }^{ - }}$, $z \in \Sigma $.

Докажем второе равенство. Выражение (4.23) для поля $D_{t}^{{''}}{{{\mathbf{w}}}_{\Sigma }}(x,t)$ перепишем в виде

Используя тождество (1.9) и учитывая, что ${{\Delta }_{x}}F(x - z) = 0$ при $x \in \Omega \cup {{\Omega }^{ - }}$, $z \in \Sigma $, имеем

Рассмотрим при выбранном значении $t$ функцию

Выражение для этой функции преобразуем к виду Для анализа последней формулы воспользуемся понятием поверхностной дивергенции векторного поля ${\mathbf{f}}(z)$, определенного на поверхности $\Sigma $: где $\sigma $ – измеримая часть поверхности $\Sigma $, краем которой является гладкая кривая $\partial \sigma $, выбранная так, что $x \in \sigma $, $x \notin \partial \sigma $, $d(\sigma )$ – диаметр поверхности $\sigma $, $\mu (\sigma )$ – ее площадь, $\tau (z)$ – единичный направляющий вектор на контуре $\partial \sigma $, направление которого согласовано с направлением нормали к поверхности ${\mathbf{n}}(z)$ так же, как в формуле Стокса.

В силу предположения 1 для каждой скалярной или векторной функции $f$, определенной на поверхности $\Sigma $, можно ввести продолжение $f{\kern 1pt} {\text{*}}$ в окрестности поверхности $\Sigma $ по формуле $f{\kern 1pt} {\text{*}}(x) = f(z)$ при $x = z + h{\mathbf{n}}(z)$. Как показано в статье [25], на поверхности $\Sigma $ для векторного поля ${\mathbf{f}}$ справедливы формулы:

где ${\mathbf{n}}{\text{*}}$ – продолжение поля вектора нормали.

Т.к. ${\mathbf{\gamma }}$ – касательное векторное поле, справедлива формула

$F{\kern 1pt} {\text{*}}(x - z)$ – продолжение функции $F(x - z)$ по переменной $z$. Но тогда Первый  интеграл в последней формуле равен 0, т.к. $\Sigma $ – замкнутая поверхность ([25, формула (9)]).

Рассмотрим ${\text{Div}}\,\gamma $, используя формулу (1.12). В силу формул (4.4), (4.12), учитывая равенство $\omega {\mathbf{n}} = 0$, выполненное на поверхности $\Sigma $, имеем

Тогда ${\mathbf{n}}{\text{*}} \times \gamma {\text{*}} = \left( {{\mathbf{n}} \times \gamma } \right){\kern 1pt} {\text{*}} = - \left( {\omega \times {\mathbf{u}}} \right){\kern 1pt} {\text{*}}$. Легко показать, что если поле ${\mathbf{g}}$ определено в окрестности поверхности $\Sigma $, то ${\mathbf{n}}\operatorname{rot} {\mathbf{g}}{\text{*}} = {\mathbf{n}}\operatorname{rot} {\mathbf{g}}$ (если ввести в точке $z \in \Sigma $ декартову систему координат с одной из осей, направленной по нормали к поверхности, то нормальную к поверхности составляющую вектора ${\text{rot}}\,{\mathbf{g}}$ входят только производные по другим осям, которые одинаковы для функций ${\mathbf{g}}{\text{*}}$ и ${\mathbf{g}}$). Учитывая уравнение (1.12) и условие (1.6), можем записать Значит $q(x) = 0$ и вторая из формул (4.27) выполнена. Лемма доказана.

В силу леммы 8 в каждый момент времени поле $D_{t}^{{''}}{{{\mathbf{w}}}_{\Sigma }}(x,t)$ является потенциальным в областях ${{\Omega }^{ - }}$ и $\Omega $ и его потенциал $u(x)$ есть гармоническая функция (здесь мы опустили зависимость функции $u$ от времени $t$, считая, что функция $D_{t}^{{''}}{{{\mathbf{w}}}_{\Sigma }}(x,t)$ рассматривается в фиксированный момент времени). Из формулы (4.24) следует, что на поверхности $\Sigma $ терпит разрыв касательная компонента градиента потенциала, а нормальная компонента непрерывна. Поэтому функцию $u$ можно искать как решение краевой задачи Неймана для уравнения Лапласа:

Как доказано в статье [26], при условии $f \in {{C}^{{{\kern 1pt} 1}}}(\Sigma )$ решение такой задачи существует и представляется в виде потенциала двойного слоя: где функция $g$ – плотность потенциала двойного слоя, лежит в классе ${{C}^{2}}(\Sigma )$ и удовлетворяет уравнению интеграл является гиперсингулярным и понимается в смысле конечного значения по Адамару: ${{U}_{\varepsilon }}(x)$ – открытый шар радиуса $\varepsilon $ с центром в точке $x$. При этом необходимым и достаточным условием разрешимости уравнения (4.29) является условие а решение уравнения (4.29) определено с точностью до постоянного слагаемого (существует единственное решение, удовлетворяющее условию (4.30)). Множество решений уравнения (4.29) порождает единственную функцию ${\mathbf{u}}$ в области $\Omega $ и множество функций, отличающихся на постоянное слагаемое в области ${{\Omega }^{ - }}$. Функция $D_{t}^{{''}}{{{\mathbf{w}}}_{\Sigma }} = {\text{grad}}\,u$ является единственной и представляется виде (4.23), где (см. [24, теорема 2.23, c. 68–69]) ${\text{Grad}}\,g$ – поверхностный градиент функции $g$.

Еще одно уточнение связано с альтернативной формой записи выражения для функции$D_{t}^{'}{\mathbf{w}}$. Для значения ${\mathbf{w}}(x,t - \Delta t)$ справедливо выражение

Сравнивая последнее выражение с формулой (4.16) для функции ${{D'}_{t}}{\mathbf{w}}$ и учитывая равенство ${\mathbf{w}}(x,t - \Delta t) = 0$ при $x \in {{\Omega }^{ - }}$, для таких точек $x$ можем записать: Выражение в фигурных скобках есть сумма скоростей набегающего потока, скорости, индуцируемой в момент времени $t$ теми вихрями, которые уже находились в потоке в момент времени $t - \Delta t$, и скорости, которую в момент времени $t - \Delta t$ индуцировали вихри, окончившие свое движение в промежуток $(t - \Delta t,t)$, причем, не на поверхности тела.