Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 3, стр. 413-428

1. ВВЕДЕНИЕ

На основе сингулярно возмущенных задач моделируются различные конвективно-диффузионные процессы с преобладающей конвекцией. Решение такой задачи имеет большие градиенты в области пограничного слоя [1], [2], вследствие чего применение классических разностных схем [3] может приводить к погрешностям порядка $O(1)$ [4].

Вопросы интерполяции сплайнами исследовались в ряде работ, например, в [5], [6]. Однако задача интерполяции функций с большими градиентами в пограничном слое слабо исследована. В [7] была оценена погрешность кубического сплайна на сетке Бахвалова в сплайн-коллокационном методе. Известно применение полиномиальных и обобщенных сплайнов для построения разностных схем для сингулярно возмущенных задач на основе метода сплайн-коллокации, например, в [8]–[12]. В этих работах доказывается, что построенные схемы обладают погрешностью, равномерной по малому параметру. Однако вопрос оценки погрешности сплайнов между узлами сетки, в случае больших градиентов функции, не рассматривается. В ряде работ исследуется формосохранение при интерполяции сплайнами, например, в [13].

Погрешность полиномиальных сплайнов в случае функций с большими градиентами в пограничном слое оценивалась в [14]–[16]. Доказано, что в случае равномерной сетки погрешность параболического сплайна по Субботину [6] и кубического сплайна неограниченно растет с уменьшением значения малого параметра $\varepsilon $, если зафиксировать шаг сетки. Таким образом, актуальна задача построения сплайнов для функций с большими градиентами в пограничном слое, погрешность которых равномерна по малому параметру.

В [15], [16] доказано, что погрешность параболического сплайна по Субботину и кубического сплайна при наличии экспоненциального пограничного слоя становится равномерной по малому параметру, если применять сетку Шишкина [2].

В [17] предложен другой подход к построению сплайна, погрешность которого равномерна по малому параметру $\varepsilon .$ Построен сплайн класса ${{C}^{2}}[0,1],$ точный на погранслойной составляющей $\Phi (x) = {{e}^{{ - mx/\varepsilon }}}$, где $x \in [0,1],$ $m > 0,$ $\varepsilon \in (0,1],$ соответствующей экспоненциальному пограничному слою [2], [18]. Доказано, что построенный сплайн обладает погрешностью порядка $O({{h}^{3}})$ равномерно по малому параметру $\varepsilon ,$ где $h$ – шаг равномерной сетки.

В данной работе строится обобщенный сплайн класса ${{C}^{2}}[0,1]$ для интерполяции функции с погранслойной составляющей общего вида, отвечающей за большие градиенты функции и известной с точностью до множителя. Строится сплайн, точный на погранслойной составляющей, для которого получены оценки погрешности, равномерные по большим градиентам функции в пограничном слое.

Итак, пусть для интерполируемой функции $u(x)$ справедлива декомпозиция:

где регулярная составляющая $p(x)$ имеет ограниченные производные до некоторого порядка и не задана, погранслойная составляющая $\Phi (x)$ известна и отвечает за большие градиенты функции $u(x)$ в пограничном слое, постоянная $\gamma $ не задана. В частности, задание $\Phi (x) = {{e}^{{ - mx/\varepsilon }}}$ соответствует экспоненциальному пограничному слою и $\Phi (x) = \sqrt {x + \varepsilon } $ – степенному пограничному слою.

Ранее для функции вида (1.1) в [19] построен аналог квадратичного сплайна, точный на погранслойной составляющей $\gamma \Phi (x)$. В [19] обоснована оценка погрешности построенного сплайна порядка $O({{h}^{2}})$ равномерно по функции $\Phi (x)$ и ее производным.

Основные обозначения. Под $C$ и ${{C}_{j}}$ будем понимать положительные постоянные, не зависящие от погранслойной составляющей $\Phi (x)$, ее производных и от шага сетки $h,$ при этом один и тот же символ ${{C}_{j}}$ может обозначать различные постоянные, если это не вызывает недоразумений. Предполагаем, что в случае сингулярного возмущения постоянные ${{C}_{j}}$ не зависят от параметра $\varepsilon .$ Будем писать $f = O(g)$, если справедлива оценка $\left| f \right| \leqslant C\left| g \right|$ и $f = O{\text{*}}(g)$, если $f = O(g)$ и $g = O(f)$. Пусть $C[a,b]$ – пространство непрерывных на $[a,b]$ функций с нормой ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{C[a,b]}}}$, ${{C}^{k}}[a,b]$ – пространство $k$ раз непрерывно дифференцируемых на $[a,b]$ функций. Пусть ${{\delta }_{{ij}}}$ обозначает символ Кронекера. Через $I$ обозначим единичную матрицу. Запись $D = {\text{diag}}\{ {{d}_{1}}, \ldots ,{{d}_{n}}\} $ означает представление квадратной $n \times n$-диагональной матрицы $D$ с диагональными элементами ${{d}_{i}}$, а $A = {\text{tridiag}}\{ {{a}_{i}},{{c}_{i}},{{b}_{i}}\} $-трехдиагональной матрицы $A$ с элементами ${{a}_{i}},{{c}_{i}},{{b}_{i}}$ на главной и соседних диагоналях. Пусть

суть нормы квадратной $n \times n$ матрицы.

2. ПОСТРОЕНИЕ АНАЛОГА КУБИЧЕСКОГО СПЛАЙНА

Зададим равномерную сетку $\Omega :$

Предполагаем, что функция $u(x)$ вида (1.1) задана в узлах сетки, ${{u}_{n}} = u({{x}_{n}}),$ $n = 0,1,2, \ldots ,N$. Ниже будем предполагать, что При выполнении условия (2.1) система функций $\{ 1,x,{{x}^{2}},\Phi (x)\} $ является линейно независимой на интервале $[{{x}_{{n - 1}}},{{x}_{n}}]$, так как определитель Вронского для этих функций не обращается в нуль на интервале $({{x}_{{n - 1}}},{{x}_{n}})$ [20]. Следовательно, эти функции можно использовать на каждом сеточном интервале как базис при построении неполиномиального сплайна.

При построении сплайна ${{S}_{\Phi }}(u,x)$ для функции $u(x)$ вида (1.1) исходим из того, чтобы сплайн был точным на составляющей $\Phi (x)$ и ${{S}_{\Phi }}(u,x) \in {{C}^{2}}[0,1]$. Для этого на произвольном сеточном интервале $[{{x}_{{n - 1}}},{{x}_{n}}]$ зададим интерполяцию второй производной сплайна ${{S}_{\Phi }}(u,x)$ следующим образом:

где ${{M}_{n}} = S_{\Phi }^{{''}}(u,{{x}_{n}})$, $\Phi _{n}^{{''}} = \Phi {\text{''}}({{x}_{n}})$. В силу (2.1) соотношение (2.2) задано корректно. Дважды интегрируя в (2.2) и учитывая условия интерполяции ${{S}_{\Phi }}(u,{{x}_{{n - 1}}}) = {{u}_{{n - 1}}},$ ${{S}_{\Phi }}(u,{{x}_{n}}) = {{u}_{n}},$ получаем

Остается найти постоянные ${{M}_{n}}$. По построению ${{S}_{\Phi }}(u,x) \in {{C}^{2}}[0,1],$ поэтому для $n = 1,2, \ldots ,N - 1$ имеет место равенство

Учитывая (2.3), (2.4) и накладываемые условия $S_{\Phi }^{{''}}(u,0) = u{\text{''}}(0)$, $S_{\Phi }^{{''}}(u,1) = u{\text{''}}(1)$, получаем систему уравнений где

Лемма 1. Пусть выполнены условия (2.1). Тогда система уравнений (2.5), (2.6) однозначно разрешима.

Доказательство. Систему (2.5), (2.6) запишем в матричном виде:

Пусть ${{d}_{n}}$ – величина диагонального преобладания для $n$-го столбца матрицы $H.$ Тогда при $1 < n < N$ имеем ${{d}_{n}} = 1 - ({{B}_{{n - 1}}} + {{A}_{n}}) - ({{B}_{n}} + {{A}_{{n + 1}}}).$ Докажем, что при всех $n$ будет ${{d}_{n}} > 0.$ Сначала покажем, что при всех $n$Имеем Следовательно, Применяя разложения в ряд Тейлора около узла ${{x}_{n}}$ с остаточным членом в интегральной форме получаем

Из (2.1), (2.12) следует ${{A}_{{n + 1}}} + {{B}_{n}} < 1{\text{/}}2$. Учитывая неравенство

из (2.12) получаем ${{A}_{{n + 1}}} + {{B}_{n}} \geqslant 1{\text{/}}4.$

Итак, при выполнении условия (2.1) справедливо двойное неравенство (2.10). Следовательно, при всех $n\;\,{{d}_{n}} > 0$ и матрица $H$ системы (2.5), (2.6) имеет строгое диагональное преобладание по столбцам и не вырождена. Следовательно, система (2.5), (2.6) однозначно разрешима. Лемма доказана.

В соответствии с леммой 1 и (2.3) сплайн ${{S}_{\Phi }}(u,x)$ определяется однозначным образом.

Покажем, что сплайн ${{S}_{\Phi }}(u,x)$ является точным на погранслойной составляющей $\Phi (x).$ Пусть $u(x) = \Phi (x).$ Несложно убедиться, что тогда ${{M}_{j}} = \Phi _{j}^{{''}},$ $j = 0,1, \ldots ,N$ является единственным решением системы (2.5), (2.6). Тогда из (2.3) получаем, что ${{S}_{\Phi }}(\Phi ,x) = \Phi (x).$ Таким образом, ${{S}_{\Phi }}(u,x) \in {{C}^{2}}[0,1]$ и ${{S}_{\Phi }}(\Phi ,x) = \Phi (x).$

Получим оценки на коэффициенты ${{A}_{n}},{{B}_{n}}.$ Учитывая разложение (2.11), из (2.7), (2.8) получаем

Из (2.13) следует, что при выполнении условий (2.1) верно

Лемма 2. Пусть матрица $H$ соответствует (2.9). Тогда при всех $x \in [0,1]$ справедливы оценки

где

Доказательство. Остановимся на обосновании оценки (2.15). Сначала получим оценку погрешности в узлах сетки. Пусть ${{Z}_{n}} = {{M}_{n}} - u_{n}^{{''}}$, $n = 0,1, \ldots ,N$. Тогда

В соответствии с представлением (1.1) и тем, что в случае $u(x) = \Phi (x)$ вектор $\{ \Phi _{n}^{{''}}\} ,$ $n = 0,1, \ldots ,N$, является решением системы (2.5), (2.6), получаем Запишем ${{G}_{n}}$ в виде Учитывая (2.14), получаем

Из (2.9) следует ${{\left\| M \right\|}_{\infty }} \leqslant {{\left\| {{{H}^{{ - 1}}}} \right\|}_{\infty }}{{\left\| F \right\|}_{\infty }}$. Применяя оценку (2.20), получаем

Теперь оценим погрешность в произвольной точке. Пусть $x \in [{{x}_{{n - 1}}},{{x}_{n}}].$ Учитывая (2.2), получаем

Учитывая представление (1.1) и то, что интерполяционная формула является точной в случае $u{\text{''}}(x) = \Phi {\text{''}}(x),$ из (2.22) получаем В силу (2.1) справедлива оценка Учитывая (2.21), (2.24), из (2.23) получаем (2.15).

Получим первую оценку в (2.16). Пусть $x \in [{{x}_{{n - 1}}},{{x}_{n}}],$ $r(x) = {{S}_{\Phi }}(u,x) - u(x).$ В силу условий интерполяции $r({{x}_{{n - 1}}}) = 0$, $r({{x}_{n}}) = 0$. Тогда найдется точка ${{s}_{n}} \in ({{x}_{{n - 1}}},{{x}_{n}}),$ в которой $r'({{s}_{n}}) = 0.$ Тогда имеем

Учитывая оценку (2.15), получаем требуемую оценку.

Аналогично, применяя известный подход, можно получить вторую оценку в (2.16). Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть для функции $u(x)$ справедливо представление (1.1), где $p(x) \in {{C}^{4}}[0,1],$ для функции $\Phi (x)$ справедливо условие (2.1), и для некоторой постоянной ${{C}_{1}}$

Тогда найдется такая константа ${{h}_{0}}$, что для $h \in (0,{{h}_{0}}]$ для некоторой постоянной $C$ справедливы оценки погрешности:

Доказательство. Учитывая (2.26), имеем

Отсюда и из (2.12) при $n \geqslant 1$ имеем Поэтому для величины диагонального преобладания $n$-го столбца матрицы $H$ ${{d}_{n}}$ получаем Но поскольку ${{A}_{n}} \leqslant 1{\text{/}}2$ в силу (2.10), то с учетом (2.28) имеем

Из (2.28)–(2.30) следует, что матрица $H$ имеет строгое диагональное преобладание по столбцам, поэтому ${{\left\| {{{H}^{{ - 1}}}} \right\|}_{1}} \leqslant C$. Но тогда в силу теоремы Демко для матриц обратных к ленточным [24] справедливо также и ${{\left\| {{{H}^{{ - 1}}}} \right\|}_{\infty }} \leqslant C$.

Учитывая (2.10) в (2.19), для некоторой постоянной ${{C}_{2}}$ получаем

Учитывая неравенство ${{\left\| {{{H}^{{ - 1}}}} \right\|}_{\infty }} \leqslant C,$ по аналогии с (2.21) получаем Далее требуемая оценка (2.27) получается по аналогии с леммой 2. Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть дополнительно к условиям леммы 3 при всех $n$ выполнено

Тогда при всех $x \in [0,1]$ справедливы оценки погрешности

Доказательство. Из (2.19) имеем

Отсюда в силу (2.32)

откуда в силу условия ${{\left\| {{{H}^{{ - 1}}}} \right\|}_{\infty }} \leqslant C$ (см. доказательство леммы 3) получаем, что $\mathop {max}\limits_n \left| {{{M}_{n}} - u_{n}^{{''}}} \right| \leqslant C{{h}^{2}}$. Далее требуемые оценки (2.33) получаются аналогично доказательству леммы 2.

Лемма доказана.

Замечание 1. Пусть $\Phi (x) = \sqrt {x + \varepsilon } $, $p{\text{'''}}(0) = 0,$ $\left| {{{p}^{{(4)}}}(x)} \right| \leqslant C$. Несложно показать, что тогда выполнены условия леммы 4 и справедливы оценки погрешности (2.33).

Замечание 2. Пусть для некоторых постоянных ${{C}_{1}},\;{{C}_{2}}$ имеем

Тогда выполнены неравенства (2.26) и (2.32). Следовательно, в соответствии с леммой 4 справедливы оценки погрешности (2.33).

Оценки устойчивости. Применение классических полиномиальных формул для аппроксимации $u{\text{''}}(0),\;u{\text{''}}(1)$ в краевых условиях (2.6) приводит к существенным погрешностям в области больших градиентов [21]. Для приближения $u{\text{''}}(0),\;u{\text{''}}(1)$ можно применять построенный в [22] интерполянт, который учитывает декомпозицию (1.1) и является точным на погранслойной составляющей $\Phi (x).$ В соответствии с [22], дифференцированием этого интерполянта получаются разностные формулы для вычисления производные, также точные на погранслойной составляющей. Если эти формулы применять для вычисления $u{\text{''}}(0),\;u{\text{''}}(1),$ то построенный сплайн остается точным на составляющей $\Phi (x).$

Оценим влияние погрешностей при вычислении производных $u{\text{''}}(0),\;u{\text{''}}(1)$ на точность построенного сплайна. Система (2.5), (2.6) может быть записана в виде (2.9). Для задачи (2.9) справедлива оценка устойчивости:

где $\tilde {M}$ – решение задачи (2.9) с возмущенной правой частью $\tilde {F}$.

Пусть $\tilde {u}{\text{''}}(0),\;\tilde {u}{\text{''}}(1)$ – приближенные значения для производных $u{\text{''}}(0),\;u{\text{''}}(1)$ и ${{\tilde {S}}_{\Phi }}(u,x)$ – соответствующий возмущенным значениям сплайн. Тогда в соответствии с (2.34) при условии ${{\tilde {F}}_{n}} = {{F}_{n}},$ $1 \leqslant n \leqslant N - 1$

Тогда в соответствии с (2.2), (2.35) имеем

Учитывая, что ${{S}_{\Phi }}(u,{{x}_{n}}) = {{\tilde {S}}_{\Phi }}(u,{{x}_{n}}) = {{u}_{n}},$ $n = 0,1, \ldots ,N,$ по аналогии с леммой 2 можно показать, что при всех $x \in [0,1]$ получаем

Таким образом, получены оценки устойчивости (2.36)–(2.38) построенного сплайна и его производных к погрешностям при задании $u''(0),u''(1)$ в краевых условиях.

3. СЛУЧАЙ СИНГУЛЯРНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ

В данном разделе оценим погрешность построенного сплайна в важном частном случае, когда функция $u(x),$ имеющая представление (1.1), имеет специальный вид, соответствующий решению сингулярно возмущенной краевой задачи. В этом случае погранслойная составляющая $\Phi (x)$ зависит от малого параметра $\varepsilon \in (0,1].$

Итак, пусть

Сделаем следующие ограничения.

1. Функции $g(x,\varepsilon )$ и $f(y)$ трижды непрерывно дифференцируемы по $x \in [0,1]$ и $y \in [0, + \infty )$ соответственно, и справедливы неравенства

2.

3. При $h{\text{/}}\varepsilon \geqslant 1$ и $k$ целых неотрицательных

где ${{C}_{1}},\;{{C}_{2}}$ не зависят от $k,\;\varepsilon ,\;h$.

4. Для любого $y \geqslant 0$ имеем

Замечание 3. Представление (3.1) имеет широкий класс функций, описывающих пограничный слой [1], [20]. В частности, ограничения 1–4 справедливы для квазиполинома вида

где многочлен $1 + \sum\nolimits_{i = 1}^K \,{{\alpha }_{i}}{{x}^{i}}$ не имеет действительных корней. Данный квазиполином с точностью $O({{\varepsilon }^{{K + 1}}})$ задает погранслойную асимптотику в случае экспоненциального пограничного слоя.

Лемма 5. Пусть функция $\Phi (x)$ имеет вид (3.1) и выполнены условия 1–4. Тогда найдется такая постоянная ${{C}_{0}}$, что при $\varepsilon \in (0,{{C}_{0}}],$ $h \in (0,1]$ для некоторых постоянных ${{C}_{3}},\;{{C}_{4}}$ справедливы оценки

Доказательство. Из (3.2) следует, что

Вначале рассмотрим случай $h{\text{/}}\varepsilon \geqslant {{C}_{5}} \geqslant 1$, где ${{C}_{5}}$ – достаточно большая константа. Из (2.13), (3.2), (3.3), (3.6) находим

Из полученных выражений для ${{A}_{{n + 1}}}$ и ${{B}_{n}}$ получаем, что матрица $H$ имеет вид

где ${{H}_{1}} = M + J$ – верхнетреугольная двухдиагональная матрица с показателем диагонального преобладания $O{\text{*}}(\varepsilon {\text{/}}h)$, где $M$ – диагональная часть $H$, $J$ – матрица, все ненулевые элементы которой являются элементами верхней наддиагонали ${{H}_{1}}$. Для матрицы ${{H}_{2}}$ справедлива оценка Находим обратную матрицу с помощью конечного ряда Неймана: Учитывая, что ${{\left\| {{{M}^{{ - 1}}}} \right\|}_{\infty }} \leqslant 2$, а в силу диагонального преобладания с показателем $O{\kern 1pt} {\text{*}}(\varepsilon {\text{/}}h)$ будет ${{\left\| {{{M}^{{ - 1}}}J} \right\|}_{\infty }} = 1 - O{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{*}}(\varepsilon {\text{/}}h),$ получаем Последнее соотношение справедливо, так как строчные суммы модулей элементов матрицы $\sum\nolimits_{i = 0}^{N - 2} \,{{( - 1)}^{i}}{{({{M}^{{ - 1}}}J)}^{i}}$ оцениваются сверху и снизу суммами геометрических прогрессий вида $\eta {{(\varepsilon ,h)}^{m}}$, где $\eta (\varepsilon ,h) = 1 - O{\kern 1pt} {\text{*}}(\varepsilon {\text{/}}h)$. Минимум получается в силу того, что каждое слагаемое меньше единицы, а всего их $N - 1 = O{\kern 1pt} {\text{*}}({{h}^{{ - 1}}})$.

Из представления $H = {{H}_{1}} + {{H}_{2}}$ и полученных оценок на нормы матриц $H_{1}^{{ - 1}},\;{{H}_{2}}$ при достаточно малом $\varepsilon {\text{/}}h$ получаем (3.5), при этом $h{\text{/}}\varepsilon \geqslant {{C}_{5}}.$

Пусть теперь $h{\text{/}}\varepsilon < {{C}_{5}}$. Докажем, что в этом случае матрица $H$ имеет строгое диагональное преобладание с показателем преобладания, не зависящим от $h$ и $\varepsilon $. Аналогично (3.7), (3.8) из (2.12) находим

Но в силу условия 4 имеем Поэтому для ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$ из (3.2) будем иметь

Из (2.5), (2.6), (3.10), (3.11) следует, что при достаточно малых $\varepsilon $ матрица $H$ имеет строгое диагональное преобладание с показателем преобладания, не зависящим от $h$ и $\varepsilon ,$ откуда следует равномерная ограниченность ${{\left\| {{{H}^{{ - 1}}}} \right\|}_{\infty }}$ и оценка (3.5) при $h{\text{/}}\varepsilon < {{C}_{5}}$. Лемма доказана.

Из лемм 2, 5 следует справедливость оценок

Оценки (3.12) можно улучшить при дополнительных ограничениях на функцию $f(y)$. Сделаем ограничения дополнительно к 1–4:

5. Условия 2 и 3 выполнены и для $n = 3$.

6. При $h{\text{/}}\varepsilon \geqslant 1$ и $k$ целых неотрицательных

где ${{\tilde {K}}_{1}},\;{{\tilde {K}}_{2}}$ – положительные постоянные, не зависящие от $k$.

Ограничения 1–6 справедливы, в частности, для квазиполинома из замечания 3.

Теорема 1. Пусть для функции $u(x)$ справедливо представление (1.1), где $p(x) \in {{C}^{4}}[0,1]$ и для некоторой постоянной ${{C}_{4}}\left| {{{p}^{{(3)}}}(x)} \right|,\;\left| {{{p}^{{(4)}}}(x)} \right| \leqslant {{C}_{4}}$, для функции $\Phi (x)$ справедливо представление (3.1) и выполнены условия 1–6. Тогда найдется постоянная ${{C}_{0}}$ такая, что при $\varepsilon \leqslant {{C}_{0}}$ для некоторой постоянной $C$ справедливы оценки погрешности:

Доказательство. При $h{\text{/}}\varepsilon \leqslant C$ оценки (3.14) вытекают из (3.12). Поэтому достаточно рассмотреть случай $h{\text{/}}\varepsilon \geqslant C$, где $C > 1$ – достаточно большая, не зависящая от $\varepsilon $ и $h$ константа.

Лемма 6. Пусть выполнены предположения 1–6. Тогда для $C > 1$ при $\varepsilon \in (0,1],\;h \in (0,1]$ таких, что $h{\text{/}}\varepsilon \geqslant C,$ для ${{A}_{n}}$ и ${{B}_{n}}$ справедливы представления

где $\mu ,\;\nu $ не зависят от $n$.

Доказательство. В силу предположений 1–6 при некотором $\theta \in (0,1)$ имеем

где в соответствии с (3.13) $\mu (\varepsilon ,h) = {{\varepsilon }^{2}}{\text{/}}(2{{h}^{2}}){{\tilde {K}}_{2}}$. Доказательство для ${{B}_{n}}$ аналогично. Лемма доказана.

Обозначим через $\hat {H}$ матрицу $(N - 1)$-го порядка системы (2.18) после исключения из нее компонент ${{Z}_{0}},\;{{Z}_{N}}$. В силу леммы 5, (3.7) и (3.8) эта матрица имеет вид

где есть трехдиагональная тёплицева матрица $(N - 1)$-го порядка с диагональным преобладанием и неотрицательными элементами при достаточно малых значениях $\varepsilon {\text{/}}h$, у которой

Лемма 7. Пусть матрица ${{\hat {H}}_{0}}$ соответствует (3.16)–(3.18). Тогда найдутся такие константы ${{C}_{6}},\;{{C}_{7}},\;{{C}_{8}}$, что при $\varepsilon {\text{/}}h \leqslant {{C}_{8}}$ матрица ${{\hat {H}}_{0}}$ обратима и имеет место представление

где $D = {\text{diag}}\{ {{d}_{{ii}}}\} $ – диагональная матрица, ${{B}_{1}} = \{ b_{{ij}}^{1}\} $ – верхняя треугольная матрица, причем справедливы соотношения:

Доказательство. Обратимость ${{\hat {H}}_{0}}$ вытекает из диагонального преобладания, которое следует из (3.16)–(3.18) при достаточно малых $\varepsilon {\text{/}}h$ ($\varepsilon {\text{/}}h \leqslant {{C}_{8}}$).

Докажем (3.19)–(3.21). Представим ${{\hat {H}}_{0}}$ в виде

Тогда в силу (3.16)–(3.18) справедливо представление $\tilde {H} = {{\tilde {H}}_{1}} + {{\tilde {H}}_{2}}$, ${{\tilde {H}}_{s}} = \{ {{\tilde {h}}_{{ij,s}}}\} ,$ $s = 1,2$, где В силу (3.18) формулы (3.19)–(3.21) достаточно доказать для матрицы $\tilde {H}$.

Учитывая (3.23), получаем, что ${{\tilde {H}}_{1}} = I - L$, где $L$ – нильпотентная матрица, т.е. ${{L}^{s}} = 0$ при $s \geqslant N$. Поэтому матрица $\tilde {H}_{1}^{{ - 1}} = \{ {{\tilde {h}}_{{ij, - 1}}}\} $ представима конечным рядом Неймана

Отсюда

Из (3.22)–(3.25) следует, что при достаточно малых $\tfrac{\varepsilon }{h},\;\left( {\tfrac{\varepsilon }{h} \leqslant {{C}_{8}}} \right)$, матрица $\tilde {H}$ обратима и ${{\left\| {{{{\tilde {H}}}^{{ - 1}}}} \right\|}_{\infty }} = O\left( {\tfrac{h}{\varepsilon }} \right)$. При этом в силу (3.23), (3.25) получим

где ${{\left\| M \right\|}_{\infty }} = O\left( {\tfrac{\varepsilon }{h}} \right)$.

Из (3.24)–(3.26) следует представление вида (3.19)–(3.23) для ${{\tilde {H}}^{{ - 1}}}$, в котором $D = I,$ ${{B}_{1}} = \tilde {H}_{1}^{{ - 1}},$ ${{B}_{2}} = \tilde {H}_{1}^{{ - 1}}M$ . Лемма доказана.

Из (3.16), (3.19)–(3.20) следует, что при достаточно малых $\varepsilon $ для матрицы ${{\hat {H}}^{{ - 1}}}$ справедливо представление

Докажем справедливость оценки

где $G$ определено в (2.18). В силу представления (3.19) для обоснования (3.28) достаточно доказать, что

Оценим первую компоненту вектора ${{B}_{1}}G$. Оценки остальных компонент аналогичны. В силу (3.21) имеем

Для оценки суммы (3.30) воспользуемся преобразованием Абеля [23, с. 306]. Положим ${{a}_{n}} = {{G}_{n}}$, ${{b}_{n}} = {{( - 1)}^{{n - 1}}}\kappa _{{\varepsilon ,h}}^{{n - 1}}$, ${{B}_{n}} = {{b}_{1}} + {{b}_{2}} + \cdots + {{b}_{n}}$. Тогда верно

Поскольку в силу (2.20), (3.21) имеем

то в силу (3.31) для обоснования оценки (3.29) достаточно установить оценку В силу (2.18), (3.15) имеем

Итак, получили (3.32), что обосновывает оценку (3.29), из которой следует оценка (3.28).

Теперь из (3.28), (3.27), (2.18), (2.20) получаем

Далее, используя (2.23) и (3.33), получаем $\left| {S_{\Phi }^{{''}}(u,x) - u{\text{''}}(x)} \right| \leqslant Ch$, что соответствует требуемой оценке (3.14) при $i = 2.$ Оценки в (3.14) при $i = 0,1$ выводятся по аналогии с леммой 2. Итак, теорема 1 доказана.

Замечание 4. В теореме 1 оценки погрешности (3.14) получены в случае $\varepsilon \leqslant {{C}_{0}},$ где ${{C}_{0}}$ – достаточно малая положительная постоянная. Производные решения сингулярно возмущенной задачи являются равномерно ограниченными, если параметр $\varepsilon $ отделен от нуля [2]. Поэтому в случае $\varepsilon \geqslant {{C}_{0}}$ справедливы оценки (2.26) и для оценки погрешности сплайна можно применить замечание 2.

4. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Зададим функцию $u(x)$ вида (1.1)

где $\Phi (x) = (1 + x){{e}^{{ - x/\varepsilon }}}.$ В табл. 1 представлена максимальная погрешность сплайна (2.3) в зависимости от значений $\varepsilon $ и $N$. Максимум погрешности берется по узлам сетки, полученной из сетки $\Omega $ делением каждого сеточного интервала на 10 равных частей. Результаты вычислений согласуются с оценкой (3.14) при $i = 0.$ С увеличением параметра $\varepsilon $ погрешность сплайна становится порядка $O({{h}^{4}}),$ что соответствует замечанию 2.

Отметим, что в [16] численные эксперименты показали, что в случае функции вида (4.1) и равномерной сетки при заданном шаге $h$ погрешность кубического сплайна неограниченно растет с уменьшением параметра $\varepsilon .$

Теперь зададим функцию с составляющей, соответствующей степенному пограничному слою

В табл. 2 аналогичным образом представлены погрешности в случае сплайна (2.3) и функции (4.2). В (4.2) $p(x) = cos\tfrac{{\pi x}}{2},$ $p{\text{'''}}(0) = 0$, поэтому в силу замечания 1 результаты вычислений согласуются с оценкой (2.33) при $i = 0.$

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Применение кубического сплайна дефекта один для интерполяции функций с большими градиентами в случае равномерной сетки может приводить к неприемлемым погрешностям. Построен неполиномиальный аналог кубического сплайна на основе того, чтобы сплайн был точным на составляющей, отвечающей за большие градиенты интерполируемой функции. Эта составляющая рассматривается как функция общего вида, известная с точностью до множителя. Доказано, что такой сплайн можно построить однозначным образом. В случае ограничений на погранслойную составляющую, выполняемых при наличии экспоненциального пограничного слоя, получены оценки погрешности для сплайна и его производных, равномерные по малому параметру.