Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 3, стр. 489-502

1. ВВЕДЕНИЕ

Разработка математической модели для процесса вторичной добычи на нефтяных месторождениях является актуальной для современной индустрии задачей [1], [2]. В этой статье мы изучаем упрощенную квази-одномерную модель пористой среды, которая может быть описана и решена явно. В нашей модели межскважинное пространство описывается набором параллельных трубок, не взаимодействующих друг с другом. Трубки обладают различными длинами и площадями поперечного сечения. В [3]–[5] приведен обзор подобных моделей пористой среды. Структура нашей модели предполагает, что левый конец всех трубок соединен с нагнетающей скважиной, а правый – с добывающей. Каждая трубка разделена на два сегмента, наполненных несмешиваемыми фазами (например, водой и нефтью). Разность давлений между скважинами является параметром. Мы предполагаем, что сечение трубок постоянно, движение жидкостей подчиняется закону Дарси, и вытесняемая жидкость (нефть) более вязкая, чем вытесняющая (вода), а значит, обладает меньшей подвижностью.

В этой работе мы изучаем обратную задачу – зная зависимость количества добытой нефти от количества закачанной воды (характеристику вытеснения), определить геометрию резервуара, то есть найти длины и площади сечения трубок. Подобные вопросы в литературе, связанной с нефтедобычей, известны как задачи “history matching” [6]. Отметим, что мы не предполагаем знания разности давлений на добывающей и нагнетающей скважине.

Исследуемая задача восходит к модели Dykstra–Parsons из [7]. Частный случай нашей модели, отвечающий постоянной разности давлений, рассмотрен в [6]. Отметим, что нам не удалось найти в литературе изучения обратной задачи для данной модели. Кроме того, представление пористой среды в виде набора трубок широко описано в литературе, например при описании механизма капиллярного давления в модели Buckley-Leverett в [8] и при вычислении относительных проницаемостей в [9], [10].

Задача “history matching” заключается в восстановлении геометрии резервуара по измерениям на нагнетающей и добывающей скважинах. Величины, доступные для измерения – это дебиты воды и нефти, а также разность давлений на скважинах как функция от времени. Несложно видеть, что знаний дебита воды (или нефти) и разности давлений достаточно для восстановления геометрии в рассматриваемой модели. Однако на практике данные о разности давлений недоступны или недостаточно точны. Наш главный результат заключается в том, что геометрия резервуара может быть устойчиво восстановлена по характеристике вытеснения, которая является параметрической кривой, выражаемой в терминах дебитов воды и нефти.

Решение данной задачи естественным образом разбивается на три части: доказательство единственности решения, построение алгоритма нахождения решения и исследование устойчивости решения в зависимости от начальных данных. В разд. 4 показано, что функция вытеснения не изменяется при гомотетии меры, так что единственность решения необходимо устанавливать с точностью до численного параметра, фиксирующего гомотетию. Главными результатами являются теоремы 2 и 4. Теорема 2 показывает единственность меры при фиксированной функции вытеснения и дополнительном численном параметре, упомянутом выше. Мера при этом определяется как неподвижная точка сжимающего оператора, что дает нам алгоритм для ее численного приближения. Теорема 4 утверждает, что процесс восстановления меры является устойчивым относительно возмущений функции вытеснения в подходящем функциональном классе.

Статья организована следующим образом. В разд. 2 мы формулируем задачу для одной трубки и приводим явную формулу, описывающую движение раздела фаз. В разд. 3 мы вычисляем дебиты воды и нефти как функции от времени для системы из конечного числа трубок. В разд. 4 мы описываем предельный переход в нашей модели, устремляя число трубок к бесконечности, а также показываем гомотетию, лишающую обратную задачу единственности решения. Разд. 5 содержит формулировку и доказательство главного результата, заключающегося в единственности решения обратной задачи с точностью до гомотетии. Разд. 6 содержит результаты, связанные с устойчивостью обратной задачи.

На протяжении всей статьи $ \circ $ означает композицию функций, ${{L}^{\infty }}(I)$, $C(I)$, ${{C}^{1}}(I)$ обозначают пространства ограниченных почти всюду по мере Лебега функций, непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций соответственно, ${\text{Lip}}(f)$ означает константу Липшица функции $f$.

2. ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ С ОДНОЙ ТРУБКОЙ

Рассмотрим две скважины, соединенные тонкой трубкой длины $L$ и площади сечения $S$. Предположим, что в начальный момент времени $t = 0$ трубка заполнена нефтью вязкости ${{\mu }_{o}}$. Далее мы начинаем закачивать воду вязкости ${{\mu }_{w}}$ в нагнетающую скважину, расположенную в точке $x = 0$. Одним из ключевых предположений данной работы является неравенство ${{\mu }_{w}} < {{\mu }_{o}}$. Разность давлений между нагнетающей и добывающей скважинами является функцией времени, мы обозначим ее за $\Delta p(t)$. В нашей постановке задачи все жидкости являются несжимаемыми, а значит нефть и, спустя некоторое время, вода начнут вытекать из добывающей скважины. Обозначим скорость добычи нефти через ${{Q}_{o}}(t)$, а скорость добычи воды через ${{Q}_{w}}(t)$. Мы предполагаем, что наша трубка достаточно тонкая (${{L}^{2}} \gg S$), и все характеристики системы зависят только от координаты $x$, что означает, что в нашей трубке только одна точка на оси $x$ соответствует соприкосновению воды и нефти (обозначим расстояние между нагнетающей скважиной и этой точкой за $l(t)$), а также давление $p(t,x)$ и скорость течения жидкости $v(t,x)$ зависят только от координаты $x$ и момента времени $t$. Так как течение жидкости удовлетворяет уравнению неразрывности, несложно видеть, что $v(t,{{x}_{1}}) = v(t,{{x}_{2}})$ для всех ${{x}_{1}},{{x}_{2}} \in [0,L]$, из чего следует, что скорость течения $v(t)$ зависит только от момента времени $t$ и $\tfrac{{dl}}{{dt}}(t) = v(t)$. Следующим важным предположением является то, что течение в трубке подчиняется закону Дарси:

где $k$ – положительная константа (проницаемость). Это уравнение справедливо для всех точек $x \leqslant l(t)$. Рассмотрим $x \geqslant l(t)$. В этих точках трубы находится нефть, из-за чего вязкость в правой части уравнения меняется:

Интегрируя первое уравнение от $x = 0$ до $x = l(t)$ и второе уравнение от $x = l(t)$ до $x = L$ и суммируя полученные равенства с коэффициентами ${{\mu }_{w}}$ и ${{\mu }_{o}}$ соответственно, получаем, что

Так как $p(t,0) - p(t,L) = \Delta p(t)$, последнее можно переписать в виде

Для краткости введем обозначения: $\kappa = \tfrac{{{{\mu }_{w}}}}{{{{\mu }_{o}}}} < 1$ и $c(t) = \tfrac{k}{{{{\mu }_{o}}}}\Delta p(t)$. После этого мы получаем следующее дифференциальное уравнение:

Оно может быть решено явно, и так как $l(0) = 0$, получаем

Вспоминая, что $l(t) \leqslant L$, получаем

В дальнейшем нам понадобится следующая величина: $F(t{\text{*}})$, $t{\text{*}} = sup\{ t \in [0, + \infty ):l(t) < L\} $:

откуда

3. ОПИСАНИЕ И СВОЙСТВА МОДЕЛИ С НЕСКОЛЬКИМИ ТРУБКАМИ

Рассмотрим систему из $n$ параллельных тонких трубок с длинами ${{L}_{1}}$, ${{L}_{2}}$, $ \ldots $, ${{L}_{n}}$ и площадями поперечного сечения ${{S}_{1}},{{S}_{2}}, \ldots ,{{S}_{n}}$, соединяющих нагнетающую и добывающую скважины. В момент времени $t = 0$ все трубки заполнены нефтью, и, как и в предыдущей модели, мы начинаем закачивать воду в нагнетающую скважину. Обозначим объемы нефти и воды, выкачанные к моменту времени $t$ за ${{\tilde {V}}_{o}}(t)$ и ${{\tilde {V}}_{w}}(t)$ соответственно. Величины ${{\tilde {V}}_{o}}(t)$, ${{\tilde {V}}_{w}}(t)$ и ${{Q}_{o}}(t)$, ${{Q}_{w}}(t)$, как несложно видеть, связаны следующим соотношением:

Кроме того, объем нефти, выкачанный к моменту времени $t$, можно вычислить следующим образом:

Предположим, что ${{L}_{1}} < {{L}_{2}} < \ldots < {{L}_{n}}$. Обозначим за ${{t}_{k}}$ момент прорыва воды в $k$-й трубке, а именно ${{t}_{k}} = sup\{ t \in [0, + \infty ):{{l}_{k}}(t) \leqslant {{L}_{k}}\} $. Из формулы (2.2) видно, что величина ${{l}_{k}}(t)$ зависит от длины трубки ${{L}_{k}}$ и не зависит от ее площади сечения, а формула (2.3), неравенство ${{L}_{1}} < {{L}_{2}} < \ldots < {{L}_{n}}$ и монотонность функции $F$ гарантируют выполнение неравенств ${{t}_{1}} < {{t}_{2}} < \ldots < {{t}_{n}}$. Из последнего на полуинтервале $t \in [{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$ несложно следует равенство:

так как трубки с номерами $\{ 1,2, \ldots ,k\} $ уже заполнены водой, и нефть из них больше не добывается. Подставляя соотношение (2.2) в последнее равенство, получаем

Аналогичную формулу можно получить для скорости добычи воды (при выводе мы воспользовались тем, что на полуинтервале $t \in [{{t}_{k}},{{t}_{{k + 1}}})$ вода добывается из трубок с номерами $\{ 1,2, \ldots ,k\} $):

Пользуясь формулой (2.1) и соотношением ${{l}_{j}}(t) = {{L}_{j}}$ для ${{t}_{k}} \leqslant t < {{t}_{{k + 1}}}$ и $1 \leqslant j \leqslant k$, получаем

Возвращаясь к формуле (2.3) и, подставляя $t{\text{*}} = {{t}_{k}}$, получаем

В этом разделе мы получили формулы (справедливые для ${{t}_{k}} \leqslant t < {{t}_{{k + 1}}}$), выражающие объем добытой нефти и объем добытой воды:

Отметим, что в данной системе величина $F(t)$ может быть заменена произвольным монотонным по $t$ параметром, что позволяет нам рассматривать кривую $({{\tilde {V}}_{w}}(t),{{\tilde {V}}_{o}}(t))$, как зависящую только от наборов длин трубок ${{L}_{1}},{{L}_{2}}, \ldots ,{{L}_{n}}$ и площадей их сечений ${{S}_{1}},{{S}_{2}}, \ldots ,{{S}_{n}}$, но не от функции $F(t)$, которая всего лишь задает некоторую конкретную параметризацию.

Замечание 1. Несмотря на простоту модели, она отражает такое важное и сложное для моделирования явление как возникновение вязких пальцев [11]. Предположим, что у нас есть набор сравнимых, но различных по длине трубок. Скорость вытеснения жидкости будет выше в более коротких трубках, так как в них сопротивление, оказываемое вязким трением, будет меньше. Чем больше воды будет прокачано в коротких трубках, тем меньше будет становиться вязкая сила трения в них в сравнении с длинными трубками, из-за чего разница в скорости вытеснения в коротких и длинных трубках будет расти. Этот процесс отвечает росту вязких пальцев. В то же время модель не отражает других важных явлений, таких как деление вязких пальцев, изменение топологии водяного пятна и других.

4. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД

В этом разделе мы совершим предельный переход, устремив количество трубок в предыдущей модели к бесконечности, для моделирования непрерывной среды. Для этого удобно будет рассмотреть следующую конструкцию: пусть $\mu $ – конечная мера с компактным носителем в $(0, + \infty )$. Ее физический смысл можно описать следующим образом: мера интервала $(a,b) \subset (0, + \infty )$ равна суммарной площади сечения всех трубок с длинами в интервале $(a,b)$. В этой постановке предыдущая модель представляется линейной комбинацией точечных нагрузок, а именно мера $\mu = \sum\nolimits_{k = 1}^n \,{{S}_{k}}{{\delta }_{{{{L}_{k}}}}}$ соответствует набору из $n$ трубок с длинами ${{L}_{1}},{{L}_{2}}, \ldots ,{{L}_{n}}$ и площадями сечений ${{S}_{1}},{{S}_{2}}, \ldots ,{{S}_{n}}$, где

Мы хотим рассматривать формулы (3.1) и (3.2), как относящиеся к дискретной мере $\mu $, выписанной выше, и продолжить их с сохранением непрерывности на пространство всех мер (топологию на пространстве мер мы введем позднее, см. определение 1). Строго говоря, мы ищем отображение, сопоставляющее мере $\mu $ пару функций ${{V}_{w}}$ и ${{V}_{o}}$ так, что в случае дискретной меры $\mu $ полученные функции ${{V}_{w}}$ и ${{V}_{o}}$ являются репараметризациями (3.1) и (3.2), то есть существует непрерывная биекция $\xi $ такая, что $\mathop {\tilde {V}}\nolimits_o (\xi (t)) = {{V}_{o}}(t)$, $\mathop {\tilde {V}}\nolimits_w (\xi (t)) = {{V}_{w}}(t)$. Наше отображение будет непрерывным из пространства мер с некоторой топологией в пространство непрерывных функций со стандартной нормой.

Определение 1. Обозначим через $\mathcal{X}$ банахово пространство всех конечных борелевских мер $\mu $ на $(0, + \infty )$ таких, что

с нормой

Лемма 1. Отображения

заданные формулами удовлетворяютдля $\mu = \sum\nolimits_{k = 1}^n {{{S}_{k}}{{\delta }_{{{{L}_{k}}}}}} $ и являются непрерывными из пространства $\mathcal{X}$ в пространство $C(0,M)$ для любого числа $M > 0$.

Доказательство. Отображения (4.1) и (4.2), очевидно, являются непрерывными в описанных топологиях. Подставим $\mu = \sum\nolimits_{k = 1}^n {{{S}_{k}}{{\delta }_{{{{L}_{k}}}}}} $. Тогда для $\alpha \in [{{L}_{k}},{{L}_{{k + 1}}}]$ получаем

Из этого следует (3.2) для $\sqrt {\tfrac{2}{{1 + k}}F(t)} = \alpha $. Формула (3.1) получается аналогично.

Выбор топологии на пространстве мер обусловлен тем, что множество линейных комбинаций $\delta $-мер плотно в $\mathcal{X}$, а значит, продолжение отображений ${{\tilde {V}}_{w}}$ и ${{\tilde {V}}_{o}}$, описанное в лемме, единственно.

Определение 2. Функция ${{V}_{w}}$, заданная равенством (4.1), не убывает, функция ${{V}_{o}}$, заданная равенством (4.2), возрастает, значит, множество точек $\mathcal{L}(\mu ) = {{\{ ({{V}_{o}}(\alpha ) + {{V}_{w}}(\alpha )),{{V}_{w}}(\alpha )\} }_{{\alpha > 0}}}$ является графиком монотонной функции. Обозначим ее $G$.

Отметим, что функция $G$ играет важную роль в приложениях. Она называется характеристикой вытеснения и показывает, как доля добычи воды изменяется со временем.

В дальнейшем мы будем решать задачу, часто называемую “history matching”, то есть будем пытаться найти параметры среды (меру $\mu $), зная характеристику вытеснения $G$.

Заметим, что формулы (4.1) и (4.2) могут быть упрощены следующим образом:

Для удобства будущих ссылок выпишем полученные после упрощения формулы:

Задача восстановления меры $\mu $ по кривой $\mathcal{L}(\mu )$ инвариантна относительно следующего преобразования.

Замечание 2. Пусть две меры ${{\mu }_{1}},\;{{\mu }_{2}}$ удовлетворяют соотношению ${{\mu }_{1}}(A) = k{{\mu }_{2}}(kA)$ для всех множеств $A \subset {{\mathbb{R}}_{ + }}$, где $k \in {{\mathbb{R}}_{ + }}$ и $k \cdot A = \{ x \in \mathbb{R}:\tfrac{x}{k} \in A\} $. Тогда $\mathcal{L}({{\mu }_{1}}) = \mathcal{L}({{\mu }_{2}})$.

Доказательство. Несложно видеть, что

Аналогичное вычисление показывает, что ${{V}_{{o,{{\mu }_{1}}}}}(\alpha ) = {{V}_{{o,{{\mu }_{2}}}}}(k\alpha )$. Таким образом, мы установили, что кривая $\mathcal{L}({{\mu }_{1}})$ является репараметризацией кривой $\mathcal{L}({{\mu }_{2}})$.

5. ЕДИНСТВЕННОСТЬ В ЗАДАЧЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ МЕРЫ ПО КРИВОЙ ВЫТЕСНЕНИЯ

Как было отмечено выше, для любой ненулевой меры $\mu $ кривая $({{V}_{o}}(\alpha ) + {{V}_{w}}(\alpha ),{{V}_{w}}(\alpha ))$ является графиком монотонной функции, $G:[0,\infty ) \to [0,\infty )$,

Отметим, что $G(s) \to \infty $ при $s \to \infty $, так как ${{V}_{w}}(\alpha ) \to \infty $ при $\alpha \to \infty $. Кроме того, $G$ является липшицевой функцией с константой Липшица, не превосходящей $1$.

Лемма 2. Функция $G$, заданная соотношением (5.1), удовлетворяет следующему условию:

для всех $x,y \in [0, + \infty )$.

Доказательство. Поскольку функция ${{V}_{w}} + {{V}_{o}}$ является монотонной биекцией $[0, + \infty )$ на себя, для любых точек $x,y \in [0, + \infty )$ мы можем выбрать два значения ${{\alpha }_{1}} < {{\alpha }_{2}}$ таких, что ${{V}_{w}}({{\alpha }_{1}}) + {{V}_{o}}({{\alpha }_{1}}) = x$ и ${{V}_{w}}({{\alpha }_{2}}) + {{V}_{o}}({{\alpha }_{2}}) = y$. Запишем (5.11) для них и подставим первое во второе:

Так как ${{V}_{w}}$ и ${{V}_{o}}$ не убывают, получаем

Таким образом, имеем

что и означает (5.2).

С этого момента мы предполагаем, что мера $\mu $ имеет компактный носитель. При этом предположении функция $G$ на некотором луче $[c, + \infty )$ линейна и имеет угловой коэффициент $1$.

Определение 3. Мы будем называть функцию, удовлетворяющую этому свойству, квазилинейной.

Определение 4. Минимум, среди всех констант $c$, таких что $G$ линейна с единичным угловым коэффициентом на луче $[c, + \infty )$, мы будем называть правым концом $G$.

Обратная задача заключается в восстановлении меры $\mu $ по известной функции $G$. Для этого мы будем рассматривать (5.1) как нелинейное уравнение на функцию ${{V}_{w}}$, находить его решение, а затем восстанавливать меру $\mu $ по функции ${{V}_{w}}$.

Отметим, что в предыдущем разделе мы показали, что если мера $\mu $ решает уравнение (5.1), то все меры ${{\mu }_{k}}(A) = k\mu (kA)$ также являются решениями. Ниже мы приведем один из способов зафиксировать одну дополнительную численную константу в дополнение к функции $G$ таким образом, чтобы эта пара задавала меру $\mu $ однозначно. Первым делом нам понадобится исключить меру $\mu $ из уравнения (5.1) и выразить ${{V}_{o}}(\alpha ) + {{V}_{w}}(\alpha )$ в терминах ${{V}_{w}}(\alpha )$. Кроме того, в дальнейшем нам понадобится следующая лемма.

Лемма 3. Пусть $\mu \in \mathcal{X}$ – мера с носителем на интервале $I \subset (0, + \infty )$, и ${{V}_{w}}$ функция, заданная равенством (4.1). Тогда ${{V}_{w}}$ дифференцируема во всех точках $s \geqslant 0$, которые не являются точечными нагрузками для $\mu $ (то есть во всех точках $s \geqslant 0$ таких, что $\mu (\{ s\} ) = 0$), и, более того,

Доказательство. Доказательство леммы является простым вычислением.

Пусть ${{\alpha }_{{\max }}} > 0$ будет произвольным числом таким, что $\mu [{{\alpha }_{{\max }}}, + \infty ) = 0$. Определим

Лемма 4. Если функции ${{V}_{w}}(\alpha ),$ ${{V}_{o}}(\alpha )$ удовлетворяют соотношениям (4.4), (4.5), то для любой точки $\alpha \in [0,{{\alpha }_{{\max }}}]$ выполнено следующее равенство:

Доказательство. Для доказательства этого утверждения достаточно подставить равенства (4.4) и (4.5) в (5.4).

Теперь подставим равенство (5.4) в (5.1):

Как уже было отмечено, помимо функции $G$ нам необходимо зафиксировать еще один численный параметр, чтобы получить единственное решение уравнения. Предположим, что нам дано число ${{\alpha }_{{\max }}}$ и график функции $G$ на отрезке $[0,{{V}_{w}}({{\alpha }_{{\max }}}) + {{V}_{o}}({{\alpha }_{{\max }}})]$. В дальнейшем нам понадобятся значения ${{V}_{w}}({{\alpha }_{{\max }}})$ и ${{V}_{w}}({{\alpha }_{{\max }}})$, они могут быть получены из перечисленных выше данных. Из формулы (4.4) несложно видеть, что

Так как значения ${{V}_{w}}({{\alpha }_{{\max }}}) + {{V}_{o}}({{\alpha }_{{\max }}})$ и $G({{V}_{w}}({{\alpha }_{{\max }}}) + {{V}_{o}}({{\alpha }_{{\max }}})) = {{V}_{w}}({{\alpha }_{{\max }}})$ могут быть получены из графика функции $G$, мы можем восстановить ${{V}_{w}}({{\alpha }_{{\max }}})$ и ${{V}_{w}}({{\alpha }_{{\max }}})$ из графика:

Введем следующее обозначение:

Используя (5.5) и (5.6) последняя формула может быть преобразована к следующему виду:

Здесь ${{V}_{{max}}}$ является обозначением для ${{V}_{o}}({{\alpha }_{{\max }}}) + {{V}_{w}}({{\alpha }_{{\max }}})$. Таким образом, значение функции $G$ в точке ${{V}_{{\max }}}$ и значение параметра ${{\alpha }_{{\max }}}$ определяют функцию $h$.

Определим оператор $T:{{L}^{\infty }}(0,{{\alpha }_{{\max }}}) \to {{L}^{\infty }}(0,{{\alpha }_{{\max }}})$:

Следующая лемма содержит необходимые нам свойства введенного оператора.

Лемма 5. (i). Оператор $T:{{L}^{\infty }}(0,{{\alpha }_{{\max }}}) \to {{L}^{\infty }}(0,{{\alpha }_{{\max }}})$ удовлетворяет неравенству

Область значений $T$ состоит из функций, непрерывных на отрезке $[0,{{\alpha }_{{\max }}}]$, а значит, его можно рассматривать как оператор из пространства ${{L}^{\infty }}(0,{{\alpha }_{{\max }}})$ в $C(0,{{\alpha }_{{\max }}})$.

(ii). Пусть ${{\alpha }_{{\min }}} \in (0,{{\alpha }_{{\max }}})$, $I = ({{\alpha }_{{\min }}},{{\alpha }_{{\max }}})$. Тогда формула (5.8) задает ограниченный оператор из пространства $C(I)$ в ${{C}^{1}}(I)$, а также из пространства ${{C}^{1}}(I)$ в ${{C}^{2}}(I)$.

Доказательство. (i). Для произвольной функции $V \in {{L}^{\infty }}(0,{{\alpha }_{{\max }}})$, и произвольной точки $\alpha \in (0,{{\alpha }_{{\max }}})$ справедливо следующее:

(ii). Функция

лежит в пространстве ${{C}^{\infty }}\left( {\bar {\Delta }} \right)$, где $\Delta = \{ (x,y){{\alpha }_{{\min }}} \leqslant x \leqslant y \leqslant {{\alpha }_{{\max }}}\} $. Перепишем оператор $T$ в следующем виде: Утверждение (ii) следует из элементарных свойств интегрального оператора Фредгольма и дифференцирования последней формулы.

Следующая теорема является главным результатом данного раздела.

Теорема 1. Пусть $G$ – неотрицательная неубывающая квазилинейная липшицева функция, удовлетворяющая условию $\operatorname{Lip} (G) \leqslant 1$ и ${{\alpha }_{{\max }}}$ – положительное число. Зададим функцию $h$ равенством (5.7) с ${{V}_{{\max }}}$, равным правому концу $G$. Тогда существует единственная функция $V \in {{L}^{\infty }}(0,{{\alpha }_{{\max }}})$ такая, что

почти всюду на $(0,{{\alpha }_{{\max }}})$.

Доказательство. В этом доказательстве ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{\infty }}$ будет обозначать норму функции в пространстве ${{L}^{\infty }}(0,{{\alpha }_{{\max }}})$. Достаточно доказать, что отображение

является строгим сжатием на ${{L}^{\infty }}([0,{{\alpha }_{{\max }}}])$. Из этого, применяя теорему о неподвижной точке сжимающего оператора [12], получаем существование и единственность решения. Для произвольной функции ${{V}_{1}},{{V}_{2}} \in {{L}^{\infty }}([0,{{\alpha }_{{\max }}}])$, справедливо следующее: Здесь первое неравенство обеспечивается предположением ${\text{Lip}}(G) \leqslant 1$, а второе – утверждением леммы 5. Так как $\tfrac{{1 - \kappa }}{{1 + \kappa }} < 1$, оператор (5.9) оказывается строгим сжатием, что и завершает доказательство.

Теперь мы докажем, что функция $G$ и значение ${{\alpha }_{{\max }}}$ задают не более чем одну меру $\mu $. Как показано в теореме 1, мы можем единственным образом восстановить функцию ${{V}_{w}}$, которая удовлетворяет нашему уравнению. Единственность соответствующей меры содержится в следующем утверждении.

Утверждение. Пусть ${{\mu }_{1}},{{\mu }_{2}} \in \mathcal{X}$ – меры с носителями на отрезке $[0,T]$. Если для всех точек $\alpha \in [0,T]$ справедливо

то ${{\mu }_{1}} = {{\mu }_{2}}$.

Доказательство. Введем вспомогательные обозначения:

Из равенства (5.10) следует, что для любого числа $\alpha \in {{\mathbb{R}}_{ + }}$ справедливо а значит, $F(t) = 0$ почти всюду. Значит, для почти всех $t \in {{\mathbb{R}}_{ + }}$ выполнено равенство Значит, мера $\tfrac{1}{y}d\mu (y)$ нулевая, и, так как $\tfrac{1}{y} > 0$, мера $\mu $ является нулевой, что и требовалось доказать.

В следующем следствии мы формулируем теорему единственности в терминах мер, а также приводим ее более общую локальную версию.

Следствие. Рассмотрим две меры ${{\mu }_{1}},{{\mu }_{2}} \in \mathcal{X}$ и функции ${{G}_{1}}$ и ${{G}_{2}}$, графиками которых являются кривые $\mathcal{L}({{\mu }_{1}})$ и $\mathcal{L}({{\mu }_{2}})$ соответственно. Предположим, что правые концы функций ${{G}_{1}}$ и ${{G}_{2}}$ совпадают, равны ${{V}_{{\max }}}$ и соответствуют общему значению ${{\alpha }_{{\max }}}$, а также существует точка ${{V}_{0}} \in [0,{{V}_{{\max }}})$ такая, что ${{G}_{1}}(s) = {{G}_{2}}(s)$ для всех чисел $s > {{V}_{0}}$. Обозначим через ${{\alpha }_{0}}$ точку, в которой справедливо равенство $h({{\alpha }_{0}}) = {{V}_{0}}$. Тогда меры ${{\mu }_{1}}$, ${{\mu }_{2}}$ совпадают на луче $({{\alpha }_{0}}, + \infty )$. В частности, если ${{G}_{1}} \equiv {{G}_{2}}$ на $(0, + \infty )$, то ${{\mu }_{1}} \equiv {{\mu }_{2}}$.

Доказательство. Обозначим через ${{V}_{1}}$ и ${{V}_{2}}$ решения из теоремы 1, соответствующие функциям ${{G}_{1}}$ и ${{G}_{2}}$ соответственно. Достаточно доказать, что функции ${{V}_{1}}$ и ${{V}_{2}}$ совпадают на интервале $({{\alpha }_{0}},{{\alpha }_{{\max }}})$. Отметим, что точка $\alpha = 0$ не играет роли в доказательстве леммы 5(i), а значит, если функция $f$ ограниченна на $({{\alpha }_{0}},{{\alpha }_{{\max }}})$, то функция $Tf$ определена на интервале $({{\alpha }_{0}},{{\alpha }_{{\max }}})$, отображение $\psi \mapsto h + T\psi $ переводит ${{L}^{\infty }}({{\alpha }_{0}},{{\alpha }_{{\max }}})$ в себя и является строгим сжатием. Из определения ${{\alpha }_{0}}$ получаем $h(\alpha ) + (T\psi )(\alpha ) > {{V}_{0}}$ для произвольной функции $\psi \in {{L}^{\infty }}({{\alpha }_{0}},{{\alpha }_{{\max }}})$, $\alpha > {{\alpha }_{0}}$, а значит, ${{G}_{1}} \circ (h + T\psi ) = {{G}_{2}} \circ (h + T\psi )$ для всех функций $\psi \in {{L}^{\infty }}({{\alpha }_{0}},{{\alpha }_{{\max }}})$. Итак, уравнение $\psi = {{G}_{1}} \circ (T\psi + h)$ имеет единственное решение в ${{L}^{\infty }}({{\alpha }_{0}},{{\alpha }_{{\max }}})$. Доказательство этого факта дословно повторяет доказательство теоремы 1, и ограничение функций ${{V}_{1}}$ и ${{V}_{2}}$ на интервал $({{\alpha }_{0}},{{\alpha }_{{\max }}})$ совпадают с этим решением.

Далее мы приводим интерпретацию нашего результата в терминах, близких к нефтедобывающей индустрии.

Замечание 3. Знание любого из перечисленных пунктов эквивалентно знанию всех:

• распределение длин трубок ($\mu $);

• характеристика вытеснения ($G$);

• дебиты воды и нефти на добывающей скважине (${{\tilde {V}}_{o}}$ и ${{\tilde {V}}_{w}}$).

Как демонстрирует следующий пример, предположения теоремы 1 не гарантируют существования положительной меры $\mu $ такой, что выполнено (4.1).

Пример. Рассмотрим функцию

и меру $\mu = \rho (x)dx$. Несложно видеть, что функции ${{V}_{w}}$ и ${{V}_{o}}$, соответствующие мере $\mu $, дифференцируемы, и А значит, функция ${{V}_{w}}$ не убывает, и функция ${{V}_{o}}$ возрастает на отрезке $\left[ {0,2 + \tfrac{1}{{100}}} \right]$, значит, полученная по ним функция $G$ удовлетворяет всем предположениям теоремы 1. Кроме того, ясно, что функция $G$ не может быть получена из положительной меры, так как аргумент единственности из доказательства теоремы 1 так же проходит для меры произвольного знака.

6. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

После доказательства единственности решения уравнения $V(\alpha ) = G(h(\alpha ) + (TV)(\alpha ))$ нас интересует его зависимость от функции $G$.

Теорема 2. Пусть ${{G}_{{1,2}}}$ – две неотрицательные неубывающие квазилинейные функции, ${{G}_{1}}$ – липшицева на луче $[0, + \infty )$ с показателем Липшица $\operatorname{Lip} ({{G}_{1}}) \leqslant 1$, и пусть ${{c}_{1}}$, ${{c}_{2}}$ – правые концы ${{G}_{1}}$, ${{G}_{2}}$, а ${{V}_{{\max }}}$ – произвольное число, ${{V}_{{\max }}} \geqslant \max \{ {{c}_{1}},{{c}_{2}}\} $. Зафиксируем произвольное ${{\alpha }_{{\max }}} > 0$, обозначим через ${{h}_{1}},\;{{h}_{2}}$ функции, задаваемые равенством (5.7) для $G = {{G}_{1}}$ и $G = {{G}_{2}}$ соответственно. Более того, пусть ${{V}_{1}}$ и ${{V}_{2}}$ удовлетворяют соотношениям

Тогда

Доказательство. Введем следующее обозначение: $\delta = \mathop {\left\| {{{G}_{1}} - {{G}_{2}}} \right\|}\nolimits_{{{L}^{\infty }}(0,{{V}_{{\max }}})} $. В этом доказательстве будем обозначать через $\left\| {\, \cdot \,} \right\|$ норму в пространстве ${{L}^{\infty }}(0,{{\alpha }_{{\max }}})$. Вычитая равенство (6.2) из (6.1), получаем

Используя лемму 5, получаем Так как $\tfrac{{1 - \kappa }}{{1 + \kappa }} < 1$, справедливо следующее неравенство: Остается оценить норму разности ${{h}_{1}} - {{h}_{2}}$. Используя неравенство $R(\alpha ) \geqslant \kappa {{\alpha }_{{\max }}}$, получаем Собирая все вместе, получаем что завершает доказательство.

Следующее утверждение содержит ключевой в этом разделе технический результат об устойчивости решения интересующего нас уравнения в некоторых функциональных классах.

Утверждение. Пусть для функций ${{G}_{1}},\;{{G}_{2}}$ выполнены все предположения теоремы 2.

(i). Пусть ${{G}_{1}},{{G}_{2}} \in {{C}^{1}}[0,{{V}_{{\max }}}]$, и $\omega $ – модуль непрерывности функции $G_{2}^{'}$. Пусть функции ${{V}_{1}}$, ${{V}_{2}}$ равны нулю на интервале $(0,{{\alpha }_{{\min }}})$ для некоторого числа ${{\alpha }_{{\min }}} > 0$.

Тогда существует константа

такая, что

(ii). Пусть ${{G}_{\epsilon }}$, $\epsilon \geqslant 0$– семейство неубывающих квазилинейных липшицевых функций, ${{G}_{\epsilon }}(0) = 0$, $\operatorname{Lip} ({{G}_{\epsilon }}) \leqslant 1$, и $G_{\epsilon }^{'} \to G_{0}^{'}$ в пространстве ${{L}^{1}}(0,{{V}_{{\max }}})$ при $\epsilon \to 0$. Определим функции ${{V}_{\epsilon }}$ и ${{h}_{\epsilon }}$ по ${{G}_{\epsilon }}$ в соответствии с теоремой 1 и (5.7). Тогда $V_{\epsilon }^{'} \to V_{0}^{'}$ в пространстве ${{L}^{1}}(0,{{\alpha }_{{\max }}})$.

Доказательство. (i). Через $\left\| {\, \cdot \,} \right\|$ мы будем обозначать норму в пространстве ${{L}^{\infty }}(0,{{V}_{{\max }}})$, или ${{L}^{\infty }}(0,{{\alpha }_{{\max }}})$, в зависимости от контекста. Доказательство будет схожим с предыдущим, но сначала отметим, что при сделанных предположениях функции ${{V}_{{1,2}}}$ лежат в пространстве ${{C}^{1}}([0,{{\alpha }_{{\max }}}])$ и, дифференцируя уравнения (6.1) и (6.2), получаем

Поочередно оценивая три слагаемых в правой части, получаем Здесь мы воспользовались неравенством $\left\| {G_{1}^{'}} \right\| \leqslant 1$, следующим из леммы 2.

Теперь оценим три слагаемых в правой части (6.5) по отдельности. В соответствии с леммой 5 найдется константа ${{c}_{1}}$ такая, что

и $\left\| {\tfrac{{d(T{{V}_{2}})}}{{d\alpha }}} \right\| \leqslant {{c}_{1}}{{V}_{{\max }}}.$

Используя (5.7), представим функцию $h$ в виде

где функции $p,q \in {{C}^{\infty }}([{{\alpha }_{{\min }}},{{\alpha }_{{\max }}}])$ не зависят от $G$. Несложно видеть, что найдется константа ${{c}_{2}}$ такая, что и $\left\| {h_{2}^{'}} \right\| \leqslant {{c}_{2}}$.

Объединяя эти оценки и (6.5), а также используя субаддитивность модуля непрерывности и неравенство

для некоторой константы ${{c}_{3}}$ по теореме 2, мы получаем (6.3).

(ii) При доказательстве этого пункта нам понадобится

Лемма 6. Пусть для всех достаточно маленьких чисел $\epsilon \geqslant 0$ функция ${{\varphi }_{\epsilon }}$ является ${{C}^{1}}$ – диффеоморфизмом интервала $I$, и ${{\varphi }_{\epsilon }} \to {{\varphi }_{0}}$, $\varphi _{\epsilon }^{{ - 1}} \to \varphi _{0}^{{ - 1}}$ в ${{C}^{1}}(I)$. Тогда для произвольной функции $f \in {{L}^{1}}(I)$, композиция $f \circ {{\varphi }_{\epsilon }}$ определена, лежит в пространстве ${{L}^{1}}(I)$, и

Доказательство. Утверждение леммы моментально следует из аналогичного утверждения для $f \in {{C}^{\infty }}(I)$ и плотности ${{C}^{\infty }}(I)$ в ${{L}^{1}}(I)$.

Теперь закончим доказательство утверждения. Для этого нам достаточно оценить ${{L}^{1}}$ норму разности ${{V}_{\epsilon }} - {{V}_{0}}$. Рассуждая так же, как в доказательстве предыдущего пункта, мы сможем оценить первые два слагаемых в правой части выражения (6.4). Для оценки последнего слагаемого нам необходимо доказать, что

Так как функция $\left( {h_{0}^{'} + \tfrac{{d(T{{V}_{0}})}}{{d\alpha }}} \right)$ ограничена, достаточно доказать, что Последнее следует из леммы 6, что и завершает доказательство утверждения.

Следующая теорема является главным результатом об устойчивости решения в нашей работе.

Теорема 3. (i). Пусть ${{\mu }_{1}}$, ${{\mu }_{2}}$ – две меры с компактными носителями, лежащими в отрезке $[{{\alpha }_{{\min }}},{{\alpha }_{{\max }}}]$, ${{\alpha }_{{\min }}} > 0$. Обозначим через ${{V}_{1}}$, ${{V}_{2}}$ функции, заданные равенством (4.1) с $\mu = {{\mu }_{1}}$ и $\mu = {{\mu }_{2}}$ соответственно. Предположим, что ${{G}_{1}},{{G}_{2}} \in {{C}^{1}}[0,{{V}_{{\max }}}]$, и обозначим за $\omega $ модуль непрерывности функции $G_{2}^{'}$. Тогда,

для некоторой константы

(ii). Пусть ${{\mu }_{\varepsilon }}$, $\epsilon \geqslant 0$ – семейство мер с носителями на отрезке $[{{\alpha }_{{\min }}},{{\alpha }_{{\max }}}]$, ${{\alpha }_{{\min }}} > 0$. Обозначим через ${{V}_{\epsilon }}$ и ${{G}_{\epsilon }}$ соответствующие им функции, заданные равенствами (4.1), (5.1) с $\mu = {{\mu }_{\epsilon }}$. Предположим, что $G_{\epsilon }^{'} \to G_{0}^{'}$ в пространстве ${{L}^{1}}(0,{{V}_{{\max }}})$ при $\epsilon \to 0$. Тогда имеем

Доказательство. Применяя формулу (5.3) к мерам из формулировки теоремы, вычитая результаты и используя утверждение 6, получаем требуемое.

Отметим, что константа $c$ в (6.6) может быть вычислена явно.