Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 4, стр. 700-710

ВВЕДЕНИЕ

Статья относится к циклу работ по математическому моделированию и расчетам равновесных плазменных конфигураций, удерживаемых магнитным полем ловушек, представляющих интерес в заманчивых перспективах управляемого термоядерного синтеза. Более конкретно речь идет о ловушках, в которых проводники с током, создающие магнитное поле, погружены в плазменный объем, что делает геометрию поля более сложной и разнообразной и позволяет рассчитывать на более эффективное удержание. Дополнительную сложность исследований конфигураций создает существенное требование, чтобы проводники в них не соприкасались с горячей плазмой. Внимание к этому классу ловушек привлечено А.И. Морозовым, назвавшим их “галатеями” [1]. Согласно основному замыслу, они имеют тороидальную форму вроде токамака с погруженными в него кольцевыми проводниками. Однако для простоты исследований основные положения, касающиеся конфигураций, как правило, ведутся в их распрямленных в цилиндр аналогах (торах бесконечного радиуса) с прямыми или винтовыми проводниками. Первым примером галатей, обсуждавшимся в литературе, была “стелларатор-галатея” (СГ). Ее идея предложена в [2], а численная модель в распрямленном в цилиндр варианте с тремя винтовыми проводниками реализована в [3]. Здесь в расчетах получено ограничение на величину давления плазмы, измеренную в магнитных единицах, которое теоретически обосновано в [4]. В расчетах конфигураций СГ с плазмой, сосредоточенной на сепаратрисе магнитного поля, установлено, что здесь это ограничение слабее, чем в конфигурациях с плазмой на оси, что говорит о более эффективном удержании в галатее по сравнению с традиционными стеллараторами [5].

Много внимания уделено ловушке “Галатея-Пояс” с двумя кольцевыми проводниками в плазменном торе и ее цилиндрическому аналогу с прямыми проводниками. Предложенная в [6], она стала предметом исследований теоретических [6], [7], экспериментальных [8], [9] и численных [10], [11]. Обращено внимание на ее аналогию с токовым слоем С.И. Сыроватского [12] и также на отличие от него [13]. В расчетах “Пояса” также получено ограничение на допустимое отношение газового и магнитного давлений (“плазменное $\beta $”). Содержательный обзор работ 1990-х годов по галатеям имеется в статье А.И. Морозова и В.В. Савельева [14].

Математические модели равновесных конфигураций в предположении плоской, осевой или винтовой симметрии построены в терминах двумерных краевых задач с полулинейным эллиптическим дифференциальным уравнением Грэда–Шафранова [15], [16] для скалярной функции магнитного потока. Задачи решаются численно итерационным методом установления по времени. Проведен также расчет формирования равновесной конфигурации в цилиндрическом аналоге “Пояса” в двумерной нестационарной МГД-модели [17].

Установление равновесных конфигураций в обоих случаях позволяет говорить об их устойчивости в некотором ограниченном смысле, а именно, устойчивости относительно малых возмущений той же неполной размерности, что и невозмущенные решения задачи. Эта условная устойчивость, очевидно, необходима для полноценной МГД-устойчивости относительно трехмерных возмущений, но не достаточна. Тем не менее она может представить интерес в качестве “промежуточного этапа” исследования устойчивости. Сходимость итераций в решении краевых задач с уравнением Грэда–Шафранова названа “диффузионной устойчивостью”, и показано, что если она имеет место для всех конфигураций в цилиндре с винтовым магнитным полем, то такие конфигурации МГД-устойчивы [18]–[20]. Особенности равновесных конфигураций и некоторые вопросы их устойчивости удобно рассмотреть на примере одномерных задач в кольцевой окрестности одного прямого проводника, которые можно считать простейшей моделью основного элемента любой ловушки-галатеи. Такой подход был впервые реализован в [21] в частном случае постоянного тока в плазме, параллельного току в проводнике. Равновесные конфигурации в этом случае не соответствуют сформулированным выше требованиям, так как плазма в них прижата к проводнику. Изолированную от проводника конфигурацию удалось получить в нестационарной МГД-модели при возрастании тока в проводнике со временем на начальном этапе формирования. Эта идея озвучена в двумерной МГД-модели формирования равновесия в цилиндрическом аналоге “Галатеи-Пояса” [22].

В настоящей работе равновесные значения давления плазмы, осевого тока и азимутального поля выбраны так, чтобы давление обращалось в нуль на границе кольца (проводнике и внешнем кожухе) и было максимальным посредине на конечном расстоянии от них. Аналитическое решение задачи о равновесии и здесь существует при ограничении на безразмерное значение максимума давления ${{p}_{0}} < p_{0}^{{{\text{cr}}}}$. В попытках превысить $p_{0}^{{{\text{cr}}}}$ давление приходится “обрезать”, т.е. положить постоянным в средней части кольца, в которой магнитное поле и электрический ток отсутствуют, что напоминает “фигуры равновесия”, исследованные в [14], [23], [24]. Авторам показалось интересным получить те же конфигурации независимо с помощью численного решения одномерного аналога уравнения Грэда–Шафранова. Оказалось, что при ${{p}_{0}} < p_{0}^{{{\text{cr}}}}$ итерационный метод установления сходится, т.е. в пределах указанного ограничения решение условно устойчиво в этом смысле. Параллельно проведено исследование МГД-устойчивости относительно трехмерных возмущений в линейном приближении. Установлено, что при том же ограничении ${{p}_{0}} < p_{0}^{{{\text{cr}}}}$ конфигурации теряют устойчивость при внесении гофрированных возмущений, зависящих от $z$.

При ${{p}_{0}} > p_{0}^{{{\text{cr}}}}$ итерации не сходятся, однако это может быть следствием разрыва некоторых элементов равновесного решения, который не совместился с “гладкой” природой уравнения Грэда–Шафранова. Однако сама необходимость менять модель конфигурации, создавая внутри нее указанную выше область постоянного давления без поля и тока, указывает на очередную разновидность ограничения максимального давления. Физический смысл ограничения очевиден: ловушка с заданными электромагнитными параметрами может удержать плазму лишь ограниченного давления.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ

Объектом исследования являются равновесные конфигурации плазмы, магнитного поля и электрического тока в бесконечном круглом цилиндре, вдоль оси которого расположен круглый проводник конечного диаметра с постоянным током, создающим азимутальное магнитное поле. Кольцевая область сечения этой конструкции плоскостью $z = {\text{const}}$ изображена на фиг. 1. Находящаяся в ней плазма допускает приближение сплошной среды и описывается уравнениями плазмостатики:

где $p$ – давление плазмы, ${\mathbf{H}}$ – напряженность азимутального магнитного поля, ${\mathbf{j}}$ – плотность электрического тока.

Конфигурации можно считать симметричными, в данном случае одномерными, то есть в цилиндрических координатах ($r$, $\varphi $, $z$) будем иметь

Уравнения (1.1) при этом превращаются в систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений:

поскольку третье уравнение (1.1) выполнено автоматически в силу (1.2). Уравнения (1.1) и (1.3) написаны в безразмерных переменных. Единицы всех величин составлены из двух размерных констант, заданных при постановке задачи – радиуса $R$ внешнего цилиндра и величины электрического тока $J$ в проводнике, а именно: т.е. здесь газовое давление $p$ отнесено к характерному магнитному давлению ${{H_{{\text{u}}}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{H_{{\text{u}}}^{2}} {4\pi }}} \right. \kern-0em} {4\pi }}$.

Задача с уравнениями (1.3) ставится на отрезке

где ${{r}_{c}}$ – безразмерное значение радиуса проводника.

Три скалярных функции $p$, $H$, $j$ должны удовлетворять двум уравнениям (1.3). Следовательно, эти уравнения определяют искомые конфигурации с точностью до одной произвольной функции, выбор которой должен соответствовать требованиям или пожеланиям к окончательному решению. Основное требование здесь – изолировать плазму от проводника и внешней границы, т.е. от обоих концов отрезка (1.5). Были испробованы разные способы задания $H(r)$ и $j(r)$ с целью обратить положительную функцию $p(r)$ в нуль на концах, однако удобнее сразу задавать $p(r)$, например, в виде параболы:

и получить аналитические выражения для $H(r)$ и $j(r)$, решая уравнения (1.3).

Два уравнения (1.3) требуют задания двух дополнительных условий. В качестве одного из них задается значение

соответствующее циркуляции магнитного поля, окружающего заданный ток $J$. Роль второго условия сыграл выбор $p(r)$, из которого следует второе граничное условие, например, в виде значения $H(1)$, однозначно определяемого с помощью (1.3) и (1.6). Физический смысл $H(1)$ – циркуляция магнитного поля вокруг всего цилиндра, которая соответствует значению полного тока в круге $r < 1$, т.е. сумме тока $J$ в проводнике и плазменного тока, протекающего в рассматриваемой кольцевой области (1.5).

Решая уравнения (1.3) с заданным $p(r)$ согласно (1.6) и граничному условиию (1.7), получаем

Решение в виде (1.8), (1.9), очевидно, существует лишь при $G(r) \geqslant 0$, откуда следует упомянутое во введении ограничение ${{p}_{0}} < p_{0}^{{{\text{cr}}}}$, где $p_{0}^{{{\text{cr}}}}$ определяется равенствами

Представленные ниже решения задачи получены для кольца (1.5) с радиусом проводника ${{r}_{c}} = 0.2$. Ему соответствует критическое значение $p_{0}^{{{\text{cr}}}} \approx 4.17$. На фиг. 2 и 3 представлены графики всех трех искомых функций для двух докритических значений ${{p}_{0}} = 1$ и ${{p}_{0}} = 4$, то есть одного – далекого от $p_{0}^{{{\text{cr}}}}$, другого – близкого к нему. Следует заметить, что давление ${{p}_{0}}$ определяет граничное значение $Hr = H(1)$ на внешней границе, которое в выбранных единицах соответствует величине полного тока в кольце, включая проводник. Таким образом, плазменный ток в кольце равен

При ${{p}_{0}} = 1$ его безразмерное значение ${{J}^{{{\text{pl}}}}} \approx 0.5$, т.е. равно половине тока в проводнике, а при ${{p}_{0}} = 4$ превосходит его: ${{J}^{{{\text{pl}}}}} \approx 1.5$, т.е. плазменный ток заметно возрастает вместе с давлением.

Плотность плазменного тока $j(r)$ отрицательна при $r < {{r}_{1}}$ и положительна при $r > {{r}_{1}}$. Отрицательный, т.е. противоположный по направлению току в проводнике, он в части кольца, примыкающей к проводнику, обеспечивает изоляцию последнего от плазмы с помощью амперовой силы ${\mathbf{j}} \times {\mathbf{H}} = \nabla p$, сонаправленной с градиентом давления. Та же сила при положительном токе $j(r)$ не позволяет плазме прикасаться к внешней границе $r = 1$. Необходимость в отрицательном токе у проводника отмечена в работе [22] в нестационарной задаче о формировании “Галатеи-Пояса” и подтверждена в расчетах равновесия и его формирования в последующей литературе [10], [17], [19]. Абсолютная величина тока $j(r)$ в рассмотренных конфигурациях у внешней границы больше, чем у внутренней, и возрастает вместе с давлением, что и отмечено выше в обсуждении полного плазменного тока. По мере приближения ${{p}_{0}}$ к $p_{0}^{{{\text{cr}}}}$ графики $j(r)$ становятся круче при $r \sim {{r}_{1}}$, т.е. в области максимального давления.

При ${{p}_{0}} > p_{0}^{{{\text{cr}}}}$ значения $G(r)$ в формуле (1.8) становятся отрицательными при $r > {{r}_{2}}$, где $G({{r}_{2}}) = 0$, ${{r}_{2}} < {{r}_{1}}$, и не пригодны для решения задачи. Чтобы продолжить решение, можно “срезать” параболу (1.6), заменив ее постоянным значением $p \equiv p({{r}_{2}})$ при $r > {{r}_{2}}$ и восстановить ее при ${{r}_{3}} = 2{{r}_{1}} - {{r}_{2}}$ – значении, симметричном ${{r}_{2}}$ относительно ${{r}_{1}}$, чтобы использовать ту же параболу при $r > {{r}_{3}}$. В интервале ${{r}_{2}} < r < {{r}_{3}}$ полагаем

При $r \geqslant {{r}_{3}}$ из уравнения (1.3) следует

и $j(r)$ и $H(r)$ определяются теми же формулами (1.9), но со значением (1.11) для $G(r)$ вместо (1.8).

Графики $p$, $H$ и $j$ при ${{p}_{0}} = 5$ представлены на фиг. 4. Они напоминают “фигуры равновесия” с постоянным давлением плазмы без электрического тока и магнитного поля, окруженные вакуумом с магнитным полем, которое создается “скинированным” током, текущим только по поверхности. Такие фигуры исследованы А.И. Морозовым и В.В. Савельевым с применением теории аналитических функций комплексной переменной [14], [19], [23], [24].

2. ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСНЫХ ПЛАЗМЕННЫХ КОНФИГУРАЦИЙ

Удержание плазмы магнитным полем в ловушках требует устойчивого существования обсуждаемых равновесных конфигураций. Проблема их устойчивости постоянно присутствует в современной научной литературе, посвященной разнообразным проявлениям плазменных неустойчивостей и попыткам борьбы с ними. Строго говоря, устойчивость должна быть исследована хотя бы в линейном приближении относительно любых малых возмущений МГД-переменных, трехмерных, независимо от имеющейся симметрии невозмущенной конфигурации. Симметрия вносит упрощение в коэффициенты линейных уравнений, позволяет расчленить трехмерную задачу на серию более простых для отдельных гармоник возмущений. Для одномерных равновесий в цилиндре этому вопросу посвящены, например, обзоры [25], [26], статья [18] и уделено внимание в книгах [19], [20].

В то же время численные модели равновесия в симметричных ловушках, в том числе галатеях, получены в терминах решения двумерных краевых задач с одним скалярным уравнением Грэда–Шафранова для функции магнитного потока, к которому сводятся уравнения плазмостатики (1.1) [15], [16]. В задачах о равновесии конфигураций с плоской симметрией (${\partial \mathord{\left/ {\vphantom {\partial {\partial z \equiv 0}}} \right. \kern-0em} {\partial z \equiv 0}}$), например, в цилиндре, оно имеет вид (в безразмерных переменных, как и выше)

Здесь

Последнее слагаемое в уравнении моделирует заданный ток в проводниках и сосредоточено в местах их пересечения с плоскостью $z = {\text{const}}$. Давление плазмы $p$ и функция $I$ электрического тока в плоскости сечения цилиндра зависят от $\psi $, т.е. постоянны на магнитных поверхностях (линиях в плоскости сечения цилиндра) $\psi = {\text{const}}$. Они должны быть заданы в соответствии с особенностями конкретной задачи. В галатеях с цилиндрической геометрией достаточно положить ${{H}_{z}} = I(\psi ) \equiv 0$, а зависимость $p(\psi )$ выбрать так, чтобы расположить плазму на линиях $\psi = {\text{const}}$ вдали от проводников и внешней границы. Краевая задача с уравнением (2.1) ставится в сечении ловушки с границей $\Gamma $, непрозрачной для магнитного поля: ${{\left. \psi \right|}_{\Gamma }} = 0$, и численно решается итерационным методом установления. Решение задач этого класса содержит один общий результат: итерационный процесс сходится только при ограничении сверху на характерную величину безразмерного давления. Физический смысл его упомянут выше, но результат имеет и математическую природу, которая не зависит от численных методов решения. Сходимость итераций требует убывания “со временем” погрешности $u(t,r,\varphi )$, что обеспечивается положительной определенностью оператора линеаризованного уравнения

Здесь суть младшие члены уравнения (2.1) для невозмущенного решения $\psi (r,\varphi )$.

Этот общий результат, помимо плазмостатики, относится к более широкому классу задач о взаимодействии процессов реакции и диффузии, например, в теории горения, использующих математический аппарат полулинейного уравнения типа (2.1) любой размерности (см. [19] с соответствующей библиографией).

Сходимость итераций можно истолковать как некоторую устойчивость решения, но только относительно возмущений участвующих в задаче величин ограниченной размерности. Такая устойчивость, названная “диффузионной” [18], необходима, но не достаточна для МГД-устойчивости плазмы в общепринятом смысле. Тем не менее она может представлять интерес, неся в себе некоторую промежуточную количественную информацию о процессах, способствующих или препятствующих устойчивости. “Диффузионная” устойчивость равносильна положительному спектру дифференциального оператора (2.2), который, в свою очередь, зависит от коэффициента $Q(\psi )$. Оператор $ - \Delta \psi $ положителен практически в любой геометрии. Хорошо известно (см., например, [27]), что при

спектр $L$ смещен вправо и, следовательно, становится “еще более положительным”, т.е. задача устойчива.

Если условие (2.3) не выполнено, но коэффициент $Q(\psi )$ ограничен сверху положительной константой

то его спектр можно сравнивать со спектром оператора $ - \Delta \psi $, а именно, записав $L[u] = \lambda u$ в виде Здесь коэффициент при $u$ неотрицателен, следовательно, собственные значения оператора в левой части равенства удовлетворяют неравенству где $\mu $ – положительные собственные значения оператора $ - \Delta u$.

Отсюда следует достаточное условие

положительности оператора $L[u]$ и диффузионной устойчивости рассматриваемой конфигурации. Здесь ${{\mu }_{1}}$ – первое, т.е. минимальное собственное значение $ - \Delta u$, которое во многих простых вариантах геометрии может быть легко вычислено.

Таким образом, вопрос о диффузионной устойчивости решения задачи требует численного решения задачи с уравнением (2.1), только если ${{Q}_{{\max }}} > {{\mu }_{1}}$. Рассмотрим промежуточную устойчивость полученных в разд. 1 одномерных конфигураций в кольцевой окрестности проводника с током. Для этого попытаемся воспроизвести их с помощью уравнения Грэда–Шафранова. Его одномерный вариант для функции $\psi $, связанной с магнитным полем уравнением $H = - {{d\psi } \mathord{\left/ {\vphantom {{d\psi } {dr}}} \right. \kern-0em} {dr}}$, имеет вид

Краевая задач ставится на отрезке ${{r}_{c}} < r < 1$ с граничными условиями Второе из них призвано зафиксировать для определенности значение $\psi $ на границе, которое не играет роли в решении, поскольку функция потока $\psi $ определена с точностью до произвольного слагаемого.

В итерационном процессе нелинейное слагаемое в (2.5) берется с предыдущего слоя (итерации). Итерационный процесс установления состоит в численном решении методом прогонки разностного аналога уравнения (2.5), дополненного производной по времени ${{\partial \psi } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial \psi } {\partial t}}} \right. \kern-0em} {\partial t}}$:

Слагаемое $g_{m}^{{n + 1}}$, соответствующее нелинейному слагаемому уравнения (2.1), содержит значения $\psi $ только с предыдущего слоя: где ${{p}_{m}} = p({{r}_{m}})$ – значения заданной функции (1.6).

В качестве нулевого приближения удобно взять любую монотонно убывающую функцию $\psi (r)$, например, линейную.

В расчетах, проведенных этим методом, получены установившиеся равновесные значения функции $\psi (r)$. Они представлены на фиг. 5. Определенные с ее помощью $H$, $j$ и $p$ совпали с изложенными в разд. 1 результатами при всех значениях параметра ${{p}_{0}} < p_{0}^{{{\text{cr}}}}$, т.е. ограничение давления с помощью очевидного требования $(H{{r}^{2}}) \geqslant 0$ оказалось сильнее требования обсуждаемой промежуточной устойчивости. Этот же результат следует из условия (2.4) при ${{p}_{0}} < p_{0}^{{{\text{cr}}}}$, где ${{Q}_{{\max }}} < {{\mu }_{1}}$, а ${{\mu }_{1}} \approx 6.5$ (вычисляется с помощью корней бесселевых функций ${{J}_{0}}(x)$ и ${{J}_{1}}(x)$). При ${{p}_{0}} > p_{0}^{{{\text{cr}}}}$ итерационный процесс решения задачи с уравнением (2.1) расходится, однако считать “обрезанные” решения на фиг. 4 неустойчивыми, по-видимому, преждевременно, т.к. разрывы функции $j(r)$ и производных функций $H(r)$ и $p(r)$ могут оказать влияние на решение эллиптического уравнения, обычно имеющего дело с гладкими функциями.

Таким образом, в данном случае можно ограничиться выводом, что промежуточная устойчивость конфигураций с заданным давлением (1.6) и само существование гладких решений задачи ограничены одним и тем же пределом $p_{0}^{{{\text{cr}}}}$, определяемым формулой (1.10).

3. МГД-УСТОЙЧИВОСТЬ

Необходимость, но не достаточность рассмотренной диффузионной устойчивости подтверждается примером расчета МГД-устойчивости конфигураций в кольце для нескольких гармоник малых линейных возмущений. В линейных однородных уравнениях для трехмерных возмущений коэффициенты составлены из равновесного решения, поэтому не зависят от переменных $t$, $\varphi $, $z$, следовательно, их частные решения зависят от этих переменных экспоненциально посредством множителя

с действительными значениями $k$ и целыми значениями $m$. В результате семь уравнений для возмущений векторов скорости ${{{\mathbf{V}}}_{1}}$ и магнитного поля ${{{\mathbf{H}}}_{1}}$ и скаляра ${{p}_{1}}$ после громоздких выкладок приводят к задачам на собственные значения с уравнением второго порядка для функции $u = {{V}_{{1r}}}r$: которые ставятся на отрезке ${{r}_{c}} < r < 1$ с условиями $u({{r}_{c}}) = u(1) = 0$ и сложной нелинейной зависимостью коэффициентов ${{F}_{{m,k}}}$ и ${{G}_{{m,k}}}$ от собственного значения ${{\omega }^{2}}$. Уравнение (3.2) получено Л.С. Соловьевым [26] (см. также [19], [20]). Если ${{\omega }^{2}} > 0$, то возмущения не возрастают со временем согласно (3.1), т.е. невозмущенное равновесие устойчиво относительно гармоник возмущений с параметрами $m$ и $k$. Если ${{\omega }^{2}} < 0$, оно неустойчиво. Поскольку интерес представляет лишь “двубалльный” результат, то можно, не прибегая к численному решению краевой задачи, ограничиться поиском “границы устойчивости” – найти значение параметров задачи, при которых старшее собственное значение ${{\omega }^{2}}$ переходит через нуль, т.е. когда краевая задача с уравнением (3.2) при ${{\omega }^{2}} = 0$ имеет нетривиальное решение. Уравнение при этом упрощается и имеет вид где $\eta = 1 + {{\alpha }^{2}}{{r}^{2}}$, $\alpha = {k \mathord{\left/ {\vphantom {k m}} \right. \kern-0em} m}$.

Численно решая его с начальными условиями $u({{r}_{c}}) = 0$, $u{\text{'}}({{r}_{c}}) > 0$ и разными значениями параметра ${{p}_{0}}$, подбираем “методом стрельбы” такое его значение, при котором $u(1)$ обратится в нуль.

Первые расчеты проведены для $m = 1$, т.е. для первой гармоники по $\varphi $ и разных значениях показателя $k$ в формуле (3.2), который характеризует зависимость возмущений от координаты $z$.

В расчетах установлены следующие результаты. Гармоники с $k = 0,1,2$ оказались устойчивыми во всем диапазоне ${{p}_{0}} < p_{0}^{{{\text{cr}}}} \approx 4.17$. При $k = 3$ собственная функция с $\omega = 0$ появилась при ${{p}_{0}} = 3.17$. Это значит, что конфигурация устойчива относительно данной гармоники возмущений при ${{p}_{0}} < 3.17$. С ростом частоты $k$ диапазон значений ${{p}_{0}}$ сужается, т.е. пороговые значения ${{p}_{0}}$ убывают: при $k = 5$ до ${{p}_{0}} = 1.34$, при $k = 10$ до ${{p}_{0}} = 0.55$.

Таким образом, рассмотренные конфигурации в кольце устойчивы относительно независимых от $z$ возмущений в пределах ${{p}_{0}} < p_{0}^{{{\text{cr}}}} \approx 4.17$ и становятся все менее устойчивыми, если включить их “гофрированную” зависимость от $z$. Неустойчивость усиливается при возрастании частоты $k$ колебаний по $z$.

Этот результат качественно повторяет хорошо известные результаты о неустойчивости Z-пинча (того же цилиндра, но без проводника внутри) [11], [19], [25].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрены вопросы устойчивости равновесных конфигураций плазмы, магнитного поля и электрического тока в цилиндрической окрестности кольцевого сечения вокруг прямого проводника с током. В простейшей одномерной модели получены явные выражения для характеристик конфигураций и установлено ограничение на отношение газового и магнитного давлений, в пределах которого могут существовать равновесные конфигурации, не соприкасающиеся с проводником. Проведено два этапа исследования устойчивости конфигураций. Они оказались устойчивыми относительно возмущений ограниченной размерности, но диапазон устойчивых значений давления сужается при включении возмущений, зависящих от координаты $z$.