Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 4, стр. 676-686
О существовании и единственности решения задачи коши для системы интегральных уравнений, описывающей движение разреженной массы самогравитирующего газа
Н. П. Чуев *
Уральский государственный университет путей сообщения
620034 Екатеринбург, ул. Колмогорова, 66, Россия
* E-mail: n_chuev44@mail.ru
Поступила в редакцию 14.11.2019
После доработки 14.11.2019
Принята к публикации 16.12.2019
Аннотация
В работе исследуется задача Коши для системы нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра, описывающей с применением лагранжевых координат движение конечной массы разреженного самогравитирующего газа, ограниченной свободной границей. Сформулирована и доказана теорема существования и единственности решения задачи в пространстве бесконечно дифференцируемых функций. Решение строится в виде ряда с реккурентно вычисляемыми коэффициентами. Локальная сходимость ряда доказывается с помощью метода последовательных приближений. Библ. 33.
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящей статье изучается задача Коши о движении в вакууме конечной массы самогравитирующего по закону Ньютона идеального разреженного газа с переменной областью течения, ограниченного свободной поверхностью.
Исследованиями движений сплошной среды с учетом сил самогравитации занимались Дирихле, Дедекинд и Риман. Они изучали фигуры равновесия вращающейся идеальной сжимаемой жидкости. Затем данная теория получила развитие в работах выдающихся ученых А. Пуанкаре, Дж. Дарвина, Дж. Джинса, А.М. Ляпунова, Л. Лихтенштейна и др. [1]–[3]. Движение гравитирующего газового шара рассматривалось как модель звезд в работах и монографиях К.П. Станюковича [4], Л.И. Седова [5]. Движение газа в поле тяжести изучалось в работе А.Ф. Сидорова [6], в которой были построены точные решения установившегося плоскопараллельного изэнтропического течения газа с политропным уравнением состояния. В статье О.И. Богоявленского [7] рассмотрена динамика адиабатических движений гравитирующего идеального газа, при которых скорости являются линейными функциями координат и газ с постоянной плотностью заполняет некоторый эллипсоид. В работе С.Л. Дерябина, Н.П. Чуева [8] исследовались сферически-симметричные течения самогравитирующего идеального газа в вакуум и задача о распаде разрыва, построены точные решения начально-краевой задачи для нелинейной интегродифференциальной системы с частными производными в виде сходящихся степенных рядов. Теория математического моделирования динамики самогравитирующих газовых сред интенсивно развивается [9]–[11]. Данная работа является продолжением исследования автора [12] и разработкой методов доказательства существования и единственности решения задачи Коши для системы газовой динамики, описывающей эволюцию конечной массы самогравитирующего газа.
В связи с развитием космических исследований, особенно астрофизики, учеными стали интенсивно изучаться проблемы динамики разреженных газов. При этом в литературе рассматривались главным образом задачи, требующие кинетического описания [13]. В данной работе задача динамики разреженного газа изучается в рамках феноменологической математической модели газовой динамики [14], исследуется закон эволюции конечной массы газа и свободной границы. Система газовой динамики без давления или разреженного самогравитирующего газа описывает распределение вещества на космологических масштабах, течение сред, эволюцию материи только посредством гравитации. Задачи о движении газа со свободными границами в последние 50 лет стали объектом строгих математических исследований. Основные результаты в этом направлении получены М.А. Лаврентьевым, Л.В. Овсянниковым, В.И. Налимовым, В.В. Пухначевым, В.К. Андреевым и др. [15]–[18].
Система уравнений газовой динамики, описывающая движение разреженной среды в поле тяжести, является системой нелинейных интегродифференциальных уравнений [3]. Разработка теории нелинейных интегродифференциальных уравнений была начата А.М. Ляпуновым, Э. Шмидтом, А. Хаммерштейном, Л. Лихтенштейном. В течение последующего столетия появляется множество работ, посвященных исследованию интегродифференциальных уравнений. Некоторые результаты этих работ изложены в монографиях и обзорах [8]–[11] с приложением обширных библиографий по данной теме.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В работе рассматривается нестационарная задача со свободной поверхностью для системы уравнений газовой динамики, описывающей движение изэнтропического, самогравитирущего и изолированного конечного объема идеального газа. Пусть в момент $t = 0$ в пространстве ${{R}^{3}}$ задана область ${{\Omega }_{0}}$, заполненная идеальным разреженным изэнтропическим газом, частицы которого притягиваются друг к другу по закону Ньютона. Задача о движении газа в силовом поле сводится к определению области ${{\Omega }_{t}} \in {{R}^{4}}$, занимаемой газом в момент времени $t$, вектора скорости ${\mathbf{u}}({\mathbf{x}},t)$ и плотности $\rho ({\mathbf{x}},t)$, удовлетворяющих в области ${\mathbf{x}} \in {{\Omega }_{t}}$, $t \in \left( {0,Т} \right)$ системе уравнений газовой динамики в форме Л. Эйлера [3]:
(1)
$\begin{gathered} \frac{{d{\mathbf{u}}({\mathbf{x}},t)}}{{dt}} = {\mathbf{F}}({\mathbf{x}},t), \\ \frac{{d\rho ({\mathbf{x}},t)}}{{dt}} = - \rho ({\mathbf{x}},t)\operatorname{div} {\mathbf{u}}({\mathbf{x}},t), \\ \end{gathered} $при условиях, что при $t = 0$ в каждой точке ${\mathbf{x}} = {\text{\{ }}x,y,z{\text{\} }}$ области ${{\Omega }_{0}}$ известны распределения: ${{{\mathbf{u}}}_{0}} = {\text{\{ }}{{u}_{0}},{{{v}}_{0}},{{w}_{0}}{\text{\} }}$, $\rho = {{\rho }_{0}}({\mathbf{x}})$, где ${{u}_{0}}({\mathbf{x}})$ – вектор скорости частиц газа, ${{\rho }_{0}}({\mathbf{x}})$ – плотности газа.
На границе ${{\Gamma }_{t}}$ области ${{\Omega }_{t}}$ выполняется условие $\rho ({\mathbf{x}},t) = 0$ для ${\mathbf{x}} \in {{\Gamma }_{t}}$, при $t \geqslant 0.$
Функции ${{{\mathbf{u}}}_{0}}({\mathbf{x}})$, ${{\rho }_{0}}({\mathbf{x}})$ и замкнутая граница области ${{\Gamma }_{0}}$ задаются в пространстве ${{C}^{\infty }}({{\bar {\Omega }}_{0}})$ – бесконечно-дифференцируемых функций в области ${{\bar {\Omega }}_{0}}$.
Сила ньютоновского притяжения в правой части векторного уравнения системы (1) равна ${\mathbf{F}}({\mathbf{x}},t) = \nabla \Phi ({\mathbf{x}},t)$, где $\nabla \Phi $ – градиент ньютоновского потенциала, который задается тройным интегралом
(2)
$\Phi ({\mathbf{x}},t) = G\iiint\limits_{{{\Omega }_{t}}} {\frac{{\rho ({\mathbf{x}}{\text{'}},t)}}{{\left| {{\mathbf{x}} - {\mathbf{x}}{\text{'}}} \right|}}}{\kern 1pt} d{\mathbf{x}}{\text{'}},$Гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона [12]–[15]
Отметим следующее: функции u, v, F, x и переменные $\xi $, $\eta $, x всюду в тексте являются векторными величинами.
В настоящем исследовании движение газа будем рассматривать при условии, что свободная граница во все моменты времени состоит из одних и тех же частиц, т.е. исключается возможность переноса массы через свободную поверхность. Это обстоятельство, а также условие разреженности газа делает удобным переход от эйлеровых координат $({\mathbf{x}},t)$ к лагранжевым координатам ($\xi $, $t$), для которых область определения решения задачи о движении конечной массы газа будет заранее фиксированной. При переходе к этим координатам область становится заданной цилиндрической областью ${{{\text{Q}}}_{t}} = {{\Omega }_{0}} \times \left( {0,T} \right)$.
Преобразуем систему газовой динамики (1) и найдем ее вид в лагранжевых координатах ($\xi $, $t$) следующим образом.
Пусть система газовой динамики (1) имеет решение ${\mathbf{u}}({\mathbf{x}},t)$, $\rho ({\mathbf{x}},t)$. При известном векторе скорости ${\mathbf{u}}({\mathbf{x}},t)$ закон движения частиц газа определяется решением системы дифференциальных уравнений
с начальным условием в момент времени $t = 0$Известно, что если векторное поле ${\mathbf{u}}({\mathbf{x}},t)$ задано в некоторой области ${{\Omega }_{t}} \in {{R}^{4}}$, непрерывно и удовлетворяет условию Липшица по х, то область ${{{\text{Q}}}_{t}}$ однократно покрыта семейством интегральных кривых уравнения (3). Условие Липшица в любом замкнутом ограниченном множестве можно заменить более сильными условиями: дифференцируемости функции и ограниченности частных производных на любой замкнутой ограниченной части ${{\Omega }_{t}}$. Эти условия выполняются тогда, когда частные производные непрерывны на множестве ${{\Omega }_{t}}$. Каждая интегральная кривая однозначно определена условием прохождения через заданную точку $\xi \in {{\Omega }_{0}}$ в момент времени t = 0. Решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений (3) с начальными условиями (4) будет иметь вид
Рассмотрим подробнее свойства решения (5) задачи Коши (3), (4). Вектор-функция ${\mathbf{x}} = {\mathbf{x}}\left( {\xi ,t} \right)$ описывает траекторию частицы газа, находящейся в точке $\xi \in {{\Omega }_{0}}$ в момент t = 0, а также задает отображение замкнутой ${{\Omega }_{0}}$ в область ${{\Omega }_{t}}$ при фиксированном t. Непрерывное взаимно однозначное отображение ${\mathbf{x}}\left( {\xi ,t} \right)$ обладает достаточной гладкостью, существованием дифференцируемого обратного преобразования и выполнимо при условии, что якобиан отображения
(6)
$J(\xi ,t) = \frac{{\partial (x,y,z)}}{{\partial (\xi ,\eta ,\zeta )}} = {\text{det}}\left( {\frac{{\partial {\mathbf{x}}}}{{\partial \xi }}} \right)$(7)
$\frac{{\partial J\left( {\xi ,t} \right)}}{{\partial t}} = J(\xi ,t){{\operatorname{div} }_{x}}{\mathbf{u}}\left( {{\mathbf{x}}\left( {\xi ,t} \right)t} \right)$Решением (7), (8) будет функция
(9)
$J\left( {\xi ,t} \right) = {\text{exp}}\left( {\int\limits_0^t {\operatorname{div} {\mathbf{u}}} \left( {{\mathbf{x}}\left( {\xi ,\tau } \right)\tau } \right)} \right)d\tau .$Введем лагранжевы переменные $\xi = {\text{\{ }}\xi ,\eta ,\zeta {\text{\} }}$ как значения координат частиц газа в начальный момент в области ${{\Omega }_{0}}$. Если ${\mathbf{x}} = {\text{\{ }}x,y,z{\text{\} }}$ как функции независимых переменных $\xi $, $\eta $, $\varsigma $, $t$, то в момент $t$ скорость частицы будет
(11)
$\frac{{\partial {\mathbf{x}}\left( {\xi ,t} \right)}}{{\partial t}} = {\mathbf{u}}\left( {{\mathbf{x}}\left( {\xi ,t} \right),t} \right) = {\mathbf{v}}\left( {\xi ,t} \right).$Используем для функций при переходе от эйлеровых к лагранжевым переменным
(12)
$f({\mathbf{x}},t) = f\left( {{\mathbf{x}}\left( {\xi ,t} \right),t} \right) = g\left( {\xi ,t} \right)$(14)
$\frac{{d{\mathbf{u}}}}{{dt}} = \frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\frac{{\partial {\mathbf{x}}}}{{\partial t}}} \right) = \frac{{{{\partial }^{2}}{\mathbf{x}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}.$Перейдем в векторном уравнении системы (1) к лагранжевым координатам, предварительно продифференцировав потенциал $\Phi (\xi ,t)$. Тогда силовая функция F (2)
Применяя теорему о замене переменной в кратном интеграле и заменяя ${\mathbf{x}}{\text{'}} = {\mathbf{x}}\left( {\eta ,t} \right)$ в предыдущем равенстве, получаем
(17)
${\mathbf{F}}\left( {{\mathbf{x}}\left( {\xi ,t} \right),t} \right) = G\iiint\limits_{{{\Omega }_{0}}} {\rho \left( {{\mathbf{x}}\left( {\eta ,t} \right),t} \right)\frac{{{\mathbf{x}}\left( {\eta ,t} \right) - {\mathbf{x}}\left( {\xi ,t} \right)}}{{{{{\left| {{\mathbf{x}}\left( {\xi ,t} \right) - {\mathbf{x}}\left( {\eta ,t} \right)} \right|}}^{3}}}}J\left( {{\mathbf{x}}\left( {\eta ,t} \right)} \right)d\eta },$На основании (14)–(17) система (1) в форме Лагранжа примет вид
(18)
$\begin{gathered} \frac{{{{\partial }^{2}}{\mathbf{x}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} = G\iiint\limits_{{{\Omega }_{0}}} {{{\rho }_{0}}\left( \eta \right)\frac{{{\mathbf{x}}\left( {\eta ,t} \right) - {\mathbf{x}}\left( {\xi ,t} \right)}}{{\left| {{\mathbf{x}}\left( {\xi ,t} \right) - {\mathbf{x}}{{{(\eta ,t)}}^{3}}} \right|}}d\eta } = {\mathbf{F}}\left( {{\mathbf{x}}\left( {\xi ,t} \right)} \right), \\ \tilde {\rho }(\xi ,t)J(\xi ,t) = {{\rho }_{0}}(\xi ). \\ \end{gathered} $Приведенные рассуждения позволяют сформулировать следующее утверждение – аналог леммы [16].
Лемма. Для того чтобы гладкое отображение ${\mathbf{x}} = {\mathbf{x}}\left( {\xi ,t} \right)$ (5) определяло с помощью равенства $\tfrac{{d{\mathbf{x}}}}{{dt}} = {\mathbf{u}}\left( {{\mathbf{x}},t} \right)$ (3) и уравнения неразрывности решение системы (1), описывающей движение разреженной массы самогравитирующего газа, необходимо и достаточно, чтобы это отображение удовлетворяло системе уравнений (18), а также следующим начально-краевым условиям:
(19)
$\begin{gathered} {\mathbf{x}}(\xi ,0) = \xi ,\quad {{\left. {\frac{{\partial {\mathbf{x}}(\xi ,t)}}{{\partial t}}} \right|}_{{t = 0}}} = {{{\mathbf{u}}}_{0}}(\xi ),\quad J(\xi ,0) = 1,\quad \tilde {\rho }(\xi ,0) = {{\rho }_{0}}(\xi ), \\ \tilde {\rho }(\xi ,t) = 0\quad при\quad \xi \in {{\Gamma }_{0}}\quad и\quad t \geqslant 0\quad для\quad \forall \xi \in {{\Omega }_{0}}. \\ \end{gathered} $Доказательство. Если система (1) имеет решение ${\mathbf{u}}({\mathbf{x}},t)$, $\rho ({\mathbf{x}},t)$, то предыдущие рассуждения доказывают необходимость утверждения. Докажем достаточность. Пусть система (18) с учетом (19) определяет решение ${\mathbf{x}} = {\mathbf{x}}(\xi ,t)$ и $\rho = \tilde {\rho }(\xi ,t)$. Рассмотрим уравнение неразрывности системы (18). Дифференцируя это уравнение по t, получаем
(20)
$\frac{{\partial{ \tilde {\rho }}({\mathbf{\xi }},t)}}{{\partial t}}J(\xi ,t) + \frac{{\partial J(\xi ,t)}}{{\partial t}}\tilde {\rho }(\xi ,t) = 0.$(23)
$\tilde {\rho }(\xi ,t) = \tilde {\rho }({{{\mathbf{x}}}^{{ - 1}}}({\mathbf{x}},t),t) = \rho ({\mathbf{x}},t).$Используя правила дифференцирования функций (13) с лагранжевыми переменными, получаем
(24)
$\frac{{\partial{ \tilde {\rho }}({\mathbf{\xi }},t)}}{{\partial t}} = \frac{{d\rho ({\mathbf{x}},t)}}{{dt}}.$На основании последнего равенства и производной якобиана (7) получим
Окончательно выполнив преобразование (23) и сократив на $J(\xi ,t) > 0$ при $t \geqslant 0$, получим, что $\rho = \tilde {\rho }(\xi ,t)$ удовлетворяет уравнению неразрывности системы (1). При этом выполняются начальные и краевые условия для $\rho ({\mathbf{x}},t)$ в силу условий (16) и равенства (22). Аналогично решение ${\mathbf{x}} = {\mathbf{x}}(\xi ,t)$ системы (18) на основании равенств (11), а также (14), (21), (22) и замены переменной интегрирования в кратном интеграле системы (18) $\eta $ на ${\mathbf{x}}{\text{'}} \in {{\Omega }_{t}}$ удовлетворяет уравнению Эйлера системы (1)
Рассмотрим граничные условия. Граница ${{\Gamma }_{t}}$ при $t \geqslant 0$ отделяет газ от вакуума, и в качестве уравнения поверхности можно взять ${{\Gamma }_{t}}:\rho \left( {{\mathbf{x}},t} \right) = 0$ при $t \geqslant 0$. Условие, что поверхность ${{\Gamma }_{t}}:\rho \left( {x,t) = 0} \right.$ все время состоит из одних и тех же частиц, определяется равенством
при ${{\left. \rho \right|}_{{{{\Gamma }_{t}}}}} = 0$.Это равенство также является кинематическим условием, которое следует из уравнения неразрывности системы (1) при ${{\left. \rho \right|}_{{{{\Gamma }_{t}}}}} = 0$.
Решение системы (18), (19) будет обеспечивать выполнение кинематического условия при
Так как ${{\left. {{{\rho }_{0}}(\xi )} \right|}_{{{{\Gamma }_{0}}}}} = 0$ и $J \ne 0$, то с учетом (23), (24) $\rho ({\mathbf{x}}(\xi ,t)) = 0$, после дифференцирования которого по $t$ получим выполнение кинематического условия ${{\rho }_{t}} + \nabla \rho {{{\mathbf{x}}}_{t}} = 0$ или ${{\rho }_{t}} + \nabla \rho {\mathbf{u}} = 0$.Подробное изучение вопросов непрерывности и дифференцируемости искомых функций в системах (1) и (18) проведем в разд. 3.
Продолжим преобразование системы (18), (19). Задача Коши для интегродифференциальной системы уравнений (18), (19) эквивалентна системе интегральных уравнений типа Вольтерра:
(25)
${\mathbf{x}}(\xi ,t) = \xi + {{{\mathbf{u}}}_{0}}(\xi )t + \int\limits_0^t {(t - \tau )} {\mathbf{F}}({\mathbf{x}}(\xi ,\tau ),\tau )d\tau ,$(26)
$\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{max}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{sup}}\left| \xi \right|,{\text{sup}}\left| {{{u}_{0}}\left( \xi \right)} \right|,{\text{sup}}\left| {{{\rho }_{0}}\left( \xi \right)} \right|,} \\ {{\text{sup}}\left| {{{{\mathbf{F}}}_{0}}} \right| = G\iiint\limits_{{{\Omega }_{0}}} {{{\rho }_{0}}(\eta )\frac{{\eta - \xi }}{{{{{\left| {\xi - \eta } \right|}}^{3}}}}d\eta }{\kern 1pt} |} \end{array}} \right) = A < \infty .} \end{array}$Решение системы интегральных уравнений (25) ${\mathbf{x}} = {\mathbf{x}}(\xi ,t)$ по заданному начальному значению плотности позволит определить плотность газа для $t \geqslant 0$:
3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА ВОЛЬТЕРРА
Рассмотрим систему (25) с условиями (19), (26). Докажем теорему.
Теорема. Интегральное уравнение (25) в области ${{Q}_{t}} = {{\bar {\Omega }}_{0}} \times [0,{{t}_{1}}]$ при $0 \leqslant t \leqslant {{t}_{1}}$ имеет единственное решение, удовлетворяющее начально-краевым условиям (19), (26), принадлежащее пространству ${{{\mathbf{C}}}^{\infty }}({{\bar {\Omega }}_{0}})$, в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда. Общий член ряда может быть вычислен по рекуррентной формуле
(28)
${{{\mathbf{x}}}_{{n + 1}}}(\xi ,t) = {{\xi }_{0}} + {{{\mathbf{u}}}_{0}}(\xi )t + \int\limits_0^t {\left( {t - \tau } \right)} \cdot {\mathbf{F}}({{{\mathbf{x}}}_{n}}(\xi ,\tau ),\tau )d\tau ,$(29)
$\left| {{\mathbf{x}}(\xi ,t)} \right| \leqslant {\text{max}}\left| \xi \right| + \frac{{{\text{max}}\left| {{{{\mathbf{u}}}_{0}}(\xi )} \right|t + {\text{max}}\left| {{{{\mathbf{F}}}_{0}}(\xi )} \right|\tfrac{{{{t}^{2}}}}{2}}}{{1 - D{{t}^{2}}}},$Доказательство. Применяя метод последовательных приближений [28], [29], построим первое приближение, полагая ${{{\mathbf{x}}}_{0}}(\xi ,t) = \xi $, ${{{\mathbf{x}}}_{0}}(\eta ,t) = \eta = \left\{ {\xi {\text{'}},\eta {\text{'}},\zeta {\text{'}}} \right\}$:
(30)
${{{\mathbf{x}}}_{1}}(\xi ,t) = \xi + {{{\mathbf{u}}}_{0}}(\xi )t + G\int\limits_0^t {(t - \tau )} \iiint\limits_{{{\Omega }_{0}}} {{{\rho }_{0}}(\eta )\frac{{\eta - \xi }}{{{{{\left| {\xi - \eta } \right|}}^{3}}}}d\eta d\tau } = \xi + {{{\mathbf{u}}}_{0}}(\xi )t + {{{\mathbf{F}}}_{0}}(\xi )\frac{{{{t}^{2}}}}{2}.$(31)
${{{\mathbf{x}}}_{{n + 1}}}(\xi ,t) = \xi + {{{\mathbf{u}}}_{0}}(\xi )t + G\int\limits_0^t {(t - \tau )} \iiint\limits_{{{\Omega }_{0}}} {{{\rho }_{0}}(\eta )\frac{{{{{\mathbf{x}}}_{n}}(\eta ,\tau ) - {{{\mathbf{x}}}_{n}}(\xi ,\tau )}}{{{{{\left| {{{{\mathbf{x}}}_{n}}(\xi ,\tau ) - {{{\mathbf{x}}}_{n}}(\eta ,\tau )} \right|}}^{3}}}}d\eta d\tau }.$Докажем методом математической индукции непрерывность функций ${{{\mathbf{x}}}_{n}}(\xi ,t)$ и принадлежность пространству ${{C}^{\infty }}({{\bar {\Omega }}_{0}})$. Для ${{{\mathbf{x}}}_{0}}$ и ${{{\mathbf{x}}}_{1}}$ это следует из начальных условий (19), (26) на основании теорем о дифференцируемости ньютоновского потенциала [23]–[27]. Пусть ${{{\mathbf{x}}}_{n}}(\xi ,t) \in {{C}^{\infty }}({{\bar {\Omega }}_{0}})$ в области ${{Q}_{t}} = {{\bar {\Omega }}_{0}} \times [0,{{t}_{1}}]$, причем время ${{t}_{1}}$ в дальнейшем будет определено. Докажем справедливость утверждения для ${{{\mathbf{x}}}_{{n + 1}}}(\xi ,t)$. Для доказательства рассмотрим (31). Преобразуем тройной интеграл в равенстве (31), представляющий вектор-функцию объемной силы притяжения ${\mathbf{F}}({\mathbf{x}}(\xi ,t),t)$. Итерации ${{{\mathbf{x}}}_{n}}(\xi ,t)$ задают последовательность отображений ${{\Omega }_{0}} \cup {{\Gamma }_{0}}$ в области ${{\Omega }_{n}} \cup {{\Gamma }_{n}}$ для $n \in N$, где $N$ – множество натуральных чисел. Обратное отображение ${{\Omega }_{n}} \cup {{\Gamma }_{n}} \to {{\Omega }_{0}} \cup {{\Gamma }_{0}}$ с помощью функций
(32)
$\xi = {\mathbf{x}}_{n}^{{ - 1}}({{{\mathbf{x}}}_{n}},t)\quad {\text{и}}\quad \eta = {\mathbf{x}}_{n}^{{ - 1}}({\mathbf{x}}_{n}^{'},t),$Пусть
(33)
$\rho ({\mathbf{x}}_{n}^{'},t) = {{\rho }_{0}}({\mathbf{x}}_{n}^{{ - 1}}({\mathbf{x}}_{n}^{'},t)){{J}^{{ - 1}}}({\mathbf{x}}_{n}^{'},t),$(34)
${\mathbf{F}}\left( {{{{\mathbf{x}}}_{n}},t} \right) = G\iiint\limits_{{{\Omega }_{n}}} {\rho ({\mathbf{x}}_{n}^{'},t)\tfrac{{{\mathbf{x}}_{n}^{'} - {{{\mathbf{x}}}_{n}}}}{{{{{\left| {{{{\mathbf{x}}}_{n}} - {\mathbf{x}}_{n}^{'}} \right|}}^{3}}}}d{\mathbf{x}}_{n}^{'}}$Функция ${\mathbf{F}}\left( {{{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{n}}}},t} \right)$ в области ${{\bar {\Omega }}_{n}}$ имеет классический вид
На основании индуктивного предположения, что ${{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{n}}}} = {{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{n}}}}\left( {\xi ,t} \right) \in {{C}^{\infty }}\left( {{{{\bar {\Omega }}}_{0}}} \right)$, принадлежности ${{{\mathbf{u}}}_{0}}(\xi ) \in {{C}^{\infty }}\left( {{{{\bar {\Omega }}}_{0}}} \right)$, интегрирования бесконечно дифференцируемой функции по $t$ следует, что ${{{\mathbf{x}}}_{{{\mathbf{n}} + 1}}}(\xi ,t) \in {{C}^{\infty }}$ в области ${{Q}_{t}} = {{\bar {\Omega }}_{0}} \times [0,{{t}_{1}}]$.
Таким образом, ${{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{n}}}}(\xi ,t) \in {{C}^{\infty }}$ при всех n, принадлежащих N.
Из равенства (11) следует, что
Рассмотрим и оценим разность $\left| {{{{\mathbf{x}}}_{{{\mathbf{n}} + 1}}}(\xi ,t) - {{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{n}}}}(\xi ,t)} \right|$ для $n \in N$. Из равенства (28) имеем
(35)
$\left| {{{{\mathbf{x}}}_{{{\mathbf{n}} + 1}}}(\xi ,t) - {{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{n}}}}(\xi ,t)} \right| = \left| {\int\limits_0^t {\left( {t - \tau } \right)} \left[ {{\mathbf{F}}\left( {{{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{n}}}}(\xi ,\tau ),\tau } \right) - {\mathbf{F}}\left( {{{{\mathbf{x}}}_{{{\mathbf{n}} - 1}}}(\xi ,\tau ),\tau } \right)} \right]d\tau } \right|.$(36)
$\begin{gathered} {\mathbf{F}}\left( {{{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{n}}}}(\xi ,t} \right),t) - {\mathbf{F}}\left( {{{{\mathbf{x}}}_{{{\mathbf{n}} - 1}}}(\xi ,t),t} \right) = \int\limits_0^1 {\frac{d}{{dr}}} {\mathbf{F}}\left( {r{{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{n}}}}(\xi ,t) + (1 - r){{{\mathbf{x}}}_{{{\mathbf{n}} - 1}}}(\xi ,t),t} \right)dr = \\ = \;\int\limits_0^1 {{\mathbf{F}}{\text{'}}} \left( {{\mathbf{X}},t} \right)dr \times \left( {{{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{n}}}}(\xi ,t) - {{{\mathbf{x}}}_{{{\mathbf{n}} - 1}}}(\xi ,t)} \right) \\ \end{gathered} $или в матричной форме
(38)
$max\left| {{{{\mathbf{x}}}_{{{\mathbf{n}} + 1}}} - {{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{n}}}}} \right| \leqslant {{q}^{n}}max\left| {{{{\mathbf{x}}}_{1}} - {{{\mathbf{x}}}_{0}}} \right|.$(39)
$max\left| {{{{\mathbf{x}}}_{{{\mathbf{n}} + 1}}} - {{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{n}}}}} \right| \leqslant {{q}^{n}}max\left| {{{{\mathbf{u}}}_{0}}(\xi )t + {{{\mathbf{F}}}_{0}}(\xi )\frac{{{{t}^{2}}}}{2}} \right| \leqslant {{q}^{n}}A\left( {t + \frac{{{{t}^{2}}}}{2}} \right) \leqslant C{{q}^{n}}\quad {\text{при}}\quad C = \mathop {\left. {A\left( {t + \frac{{{{t}^{2}}}}{2}} \right)} \right|}\nolimits_{t = {{t}_{1}}} .$Последнее неравенство показывает, что для $n > {{N}_{1}}$ максимум разности $\left| {{{{\mathbf{x}}}_{{{\mathbf{n}} + {\mathbf{p}}}}} - {{{\mathbf{x}}}_{{\mathbf{n}}}}} \right|$ может быть сколь угодно малым при любом $p > 0$. Это доказывают неравенства
Таким образом, для $q < 1$ последовательность ${\text{\{ }}{{{\mathbf{x}}}_{n}}{\text{\} }}$ является фундаментальной. Неравенства (38), (39) справедливы для $n \in N$, что приводит к утверждению об абсолютной и равномерной сходимости ряда относительно $\xi \in {{\bar {\Omega }}_{0}}$ и $t \in [0,{{t}_{1}})$
и доказывает равномерную сходимость последовательности ${\text{\{ }}{{{\mathbf{x}}}_{n}}(\xi ,t){\text{\} }}$(40)
${{{\mathbf{x}}}_{n}}(\xi ,t) = \xi + \sum\limits_{k = 1}^n {({{{\mathbf{x}}}_{k}}(\xi ,t) - {{{\mathbf{x}}}_{{k - 1}}}(\xi ,t))} $Предельный переход при $n \to \infty $ в равенствах (28), (31) дает соотношение (25). Отсюда следуют дифференцируемость ${\mathbf{x}}(\xi ,t)$ и обращение в тождество векторного уравнения системы (18).
Используем полученные результаты для оценки верхней границы решения ${\mathbf{x}}(\xi ,t)$ в области ${{\bar {\Omega }}_{0}} \times [0,{{t}_{1}})$. Рассмотрим неравенство (40), тогда имеем
Доказательство единственности решения. Допустим, что ${\mathbf{y}}(\xi ,t)$ является другим решением интегрального уравнения (25), и составим разность двух решений (25):
Используя лемму Адамара и полученные преобразования (36), заменяя ${{{\mathbf{x}}}_{n}}$ и ${{{\mathbf{x}}}_{{n - 1}}}$ в правой части равенства на ${\mathbf{x}}(\xi ,t)$ и ${\mathbf{y}}(\xi ,t)$, получаем
(41)
$\left| {{\mathbf{x}} - {\mathbf{y}}} \right| \leqslant 6M{{T}_{1}}\int\limits_0^t {\left| {{\mathbf{x}} - {\mathbf{y}}} \right|} d\tau .$Согласно неравенству Гронуолла [33], в интегральной форме для $\xi \in {{\bar {\Omega }}_{0}}$, $t \in [0,{{t}_{1}})$ из (41) следует $\left| {{\mathbf{x}}(\xi ,t) - {\mathbf{y}}(\xi ,t)} \right| = 0$, т.е. ${\mathbf{x}}(\xi ,t) = {\mathbf{y}}(\xi ,t)$.
Таким образом, не существует другой функции ${\mathbf{y}}(\xi ,t)$, отличной от ${\mathbf{x}}(\xi ,t)$ и удовлетворяющей уравнению (25), начальным условиям (19) и условиям (26).
Доказательство теоремы полностью завершено.
Решение интегрального уравнения (25) ${\mathbf{x}} = {\mathbf{x}}(\xi ,t)$ определено при $\xi \in {{\bar {\Omega }}_{0}}$, $t \geqslant 0$. Тогда свободная граница является образом точек ${{\Gamma }_{0}}$ при отображении $\xi \in {{\Gamma }_{0}}$ в точки ${\mathbf{x}} \in {{\Gamma }_{t}}$. Тем самым задача по определению закона движения свободной границы является также задачей об отыскании отображения ${\mathbf{x}} = {\mathbf{x}}(\xi ,t)$.
Таким образом, задача Коши о движении разреженной конечной массы самогравитирующего газа решена полностью.
Замечание. Задача Коши о движении разреженной конечной массы самогравитирующего газа может быть рассмотрена без серьезных изменений данного текста в пространстве $A$ – аналитических функций – на основании теорем об аналитичности потенциала [23]–[27].
Данную задачу можно изучать в пространстве ${{C}^{{k,\alpha }}}\left( {\bar {\Omega }} \right)$, состоящем из функций, все $k$-е производные которых равномерно непрерывны по Гёльдеру с показателем $\alpha $.
Список литературы
Ламб Г. Гидродинамика. М.–Л., 1947.
Чандрасекхар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. М.: Мир, 1973.
Лихтенштейн Л. Фигуры равновесия вращающейся жидкости. М.: Наука, 1971.
Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.: Наука, 1971. 875 с.
Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1987.
Сидоров А.Ф. О некоторых течениях газа в поле тяжести // Прикл. матем. и механ. 1978. № 42. С. 96–104.
Богоявленский О.И. Динамика гравитирующего газового эллипсоида // Прикл. матем. и механ. 1976. № 40. С. 270–280.
Дерябин С.Л., Чуев Н.П. Сферически-симметричное истечение самогравитирующего газа в вакуум // Прикл. матем. и механ. 1994. Т. 58. № 2. С. 77–84.
Барская И.С., Мухин С.И., Чечеткин В.М. Математическое моделирование равновесных конфигураций самогравитирующего газа // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2006. № 41. 23 с.
Страховская Л.Г. Модель эволюции самогравитирующего газового диска // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2012. № 80. 24 с.
Паршин Д.В., Черевко А.А., Чупахин А.П. Завихренные установившиеся течения самогравитирующего газа // Прикл. механ. и техн. физ. 2014. Т. 55. № 2.
Чуев Н.П. Аналитический метод исследования пространственных задач динамики самогравитирующего газа // Вычисл. технологии. 1998. Т. 3. № 1.
Коган М.Н. Динамика разреженного газа. Кинетическая теория. М., 1967. 440 с.
Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 336 с.
Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973. 416 с.
Овсянников Л.В. Общие уравнения и примеры. Задачи о неустановившемся движении жидкости со свободной границей. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1967. 75 с.
Налимов В.И., Пухначев В.В. Неустановившиеся движения идеальной жидкости со свободной границей. Новосибирск: НГУ, 1975. 174 с.
Андреев В.К. Устойчивость неустановившихся движений жидкости со свободной границей. Новосибирск: Наука, 1992. 136 с. ISBN 5-02 -029967.
Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегродифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. 304 с.
Вайнберг М.М. Интегродифференциальные уравнения. ВИНИТИ. Итоги науки, 1962.
Lichtenstein L. Vorlesungen uber einige Klassen nichtlinearer Integralgleiungen und Integro-differential gleichungen. Berlin, 1931. 174 s.
Цалюк З.Б. Интегральные уравнения Вольтерра. Итоги науки и техн. Сер. Матем. анализ. 1977. Т. 15. С. 131–198.
Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. Гостехиздат, 1953. 415 с.
Сретенский Л.Н. Теория ньютоновского потенциала. М.–Л.: ОГИЗ, 1946. 318 с.
Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979. 392 с.
Schmidt E. Bemerkungen zur Potentialtheorie. Mathematische Annalen. T. 68.
Антонов В.А., Никифоров И. И., Холшевников К.В. Элементы теории гравитационного потенциала и некоторые случаи его явного выражения. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2008. 208 с. ISBN 978-5-288-04 733-6.
Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. М.: Физматлит, 2002. 160 с. ISBN 5-9221-0275- 3.
Смирнов Н.С. Введение в теорию нелинейных интегральных уравнений. М.–Л.: ОНТИ, 1936. 125 с.
Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. II. М.: Наука, 1983. 448 с.
Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.
Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. М.: Наука, 1979.
Эванс Л.К. Уравнения с частными производными. Новосибирск, 2003. 562 с. ISBN 5-901873-06-8.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Журнал вычислительной математики и математической физики