Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 5, стр. 873-883

Симметризация мгд уравнений несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости

А. М. Блохин^1, 2, А. Ю. Голдин^2, *

¹ Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН
630090 Новосибирск, пр-т Акад. Коптюга, 4, Россия

² Новосибирский государственный университет
630090 Новосибирск, ул. Пирогова, 1, Россия

^* E-mail: goldinandrey@list.ru

Поступила в редакцию 18.07.2019
После доработки 18.07.2019
Принята к публикации 14.01.2020

DOI: 10.31857/S0044466920050051

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматриваются уравнения, описывающие течения несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости при наличии магнитного поля. Обсуждается вопрос о симметризации этой системы уравнений. Библ. 13.

Ключевые слова: полимерная среда, магнитное поле, симметрическая $t$-гиперболическая (по Фридрихсу) система.

1. ВВЕДЕНИЕ

В работах [1], [2] и [3] описывается математическая модель полимерной жидкости. В статье [4] рассматривается вопрос о приведении этой модели к симметрическому виду. Данная работа продолжает изучение уравнений, предложенных в модели, с точки зрения теории дифференциальных уравнений. Проводится симметризация в случае наличия магнитного поля. Также получены условия для $t$-гиперболичности (по Фридрихсу) исследуемой системы, приведены примеры, когда эти условия выполняются. Результаты работы обеспечивают возможность применения развитой теории гиперболических систем уравнений и конструирования специальных численных методов, которые можно будет применить при решении уже сугубо практических задач (см., например, [3]), связанных с течением полимерных сред.

2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Вместо системы уравнений, рассмотренной в [5], [4], изучим теперь магнитогидродинамические уравнения (см., например, монографии [6], [7]). В плоском случае данную реологическую модель в обезразмеренном виде можно записать так (сам процесс обезразмеривания подробно описан в [8]):

(2.1)

${{u}_{x}} + {{v}_{y}} = 0,$

(2.2)

${{L}_{x}} + {{M}_{y}} = 0,$

(2.3)

$\frac{{d{\mathbf{u}}}}{{dt}} + \nabla P = \frac{1}{{Re}}\operatorname{div} \Pi + {{\sigma }_{m}}\left( {{\mathbf{H}},\nabla } \right){\mathbf{H}},$

(2.4)

$\frac{{d{{a}_{{11}}}}}{{dt}} - 2{{A}_{1}}{{u}_{x}} - 2{{a}_{{12}}}{{u}_{y}} + {{\mathcal{L}}_{{11}}} = 0,$

(2.5)

$\frac{{d{{a}_{{12}}}}}{{dt}} - {{A}_{1}}{{v}_{x}} - {{A}_{2}}{{u}_{y}} + {{\tilde {K}}_{1}}{{a}_{{12}}} = 0,$

(2.6)

$\frac{{d{{a}_{{22}}}}}{{dt}} - 2{{a}_{{12}}}{{v}_{x}} - {{A}_{2}}{{v}_{y}} + {{\mathcal{L}}_{{22}}} = 0,$

(2.7)

$\frac{{d{\mathbf{H}}}}{{dt}} - \left( {{\mathbf{H}},\nabla } \right){\mathbf{u}} - {{b}_{m}}{{\Delta }_{{x,y}}}{\mathbf{H}} = 0.$

Здесь $t$ – время;

$u,\;v$ – компоненты вектора скорости ${\mathbf{u}}$ в декартовой системе координат $x,\;y$;

$L,\;M$ – компоненты вектора напряженности магнитного поля ${\mathbf{H}}$ в декартовой системе координат;

$P = p + {{\sigma }_{m}}\tfrac{{{{L}^{2}} + {{M}^{2}}}}{2}$ – полное МГД давление;

${{a}_{{ij}}},i,j = 1,2$ – компоненты симметрического тензора анизотропии $\Pi $ второго ранга;

$\tfrac{d}{{dt}} = \tfrac{\partial }{{\partial t}} + ({\mathbf{u}},\nabla )$ – субстанциональная производная;

${{A}_{1}} = {{W}^{{ - 1}}} + {{a}_{{11}}},{{A}_{2}} = {{W}^{{ - 1}}} + {{a}_{{22}}}$;

${{\mathcal{L}}_{{ii}}} = {{K}_{I}}{{a}_{{ii}}} + \beta (a_{{12}}^{2} + a_{{ii}}^{2})$, $i = 1,2$;

${{K}_{I}} = {{W}^{{ - 1}}} + \tfrac{{\bar {k}}}{3}I$, ${{\tilde {K}}_{I}} = {{K}_{I}} + \beta I$;

$I = {{a}_{{11}}} + {{a}_{{22}}}$ – первый инвариант тензора анизотропии $\Pi $;

$\bar {k} = k - \beta $, $k,\;\beta $ $(0 < \beta < 1)$ – скалярные феноменологические параметры реологической модели;

${\text{Re}}$, $W$ – числа Рейнольдса и Вейсенберга;

${{\sigma }_{m}}$ – коэффициент магнитного давления;

${{b}_{m}} = 1{\text{/}}{{\operatorname{Re} }_{m}}$, ${{\operatorname{Re} }_{m}}$ – магнитное число Рейнольдса;

${{\Delta }_{{x,y}}} = \left( {\tfrac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \tfrac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{y}^{2}}}}} \right)$ – оператор Лапласа.

Везде далее для простоты положим ${{\sigma }_{m}} = 1$. Такой выбор коэффициента магнитного давления возможен за счет подбора характерных величин магнитного поля и скорости течения. В случае абсолютной проводимости коэффициент ${{b}_{m}} = 0$ (см. [7], [9]). Подобные условия встречаются при исследовании космических проблем в задачах астрофизики [10]. Тогда уравнения (2.3)–(2.7) можно переписать в виде

(2.8)

${{{\mathbf{V}}}_{t}} + B{{{\mathbf{V}}}_{x}} + C{{{\mathbf{V}}}_{y}} + {\mathbf{F}} = 0,$

где

${\mathbf{V}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} u \\ v \\ {{{a}_{{11}}}} \\ {{{a}_{{12}}}} \\ {{{a}_{{22}}}} \\ L \\ M \end{array}} \right),\quad B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} u&0&{ - \frac{1}{{\operatorname{Re} }}}&0&0&0&M \\ 0&u&0&{ - \frac{1}{{\operatorname{Re} }}}&0&0&{ - L} \\ { - 2{{A}_{1}}}&0&u&0&0&0&0 \\ 0&{ - {{A}_{1}}}&0&u&0&0&0 \\ 0&{ - 2{{a}_{{12}}}}&0&0&u&0&0 \\ { - L}&0&0&0&0&u&0 \\ 0&{ - L}&0&0&0&0&u \end{array}} \right),$

$C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {v}&0&0&{ - \frac{1}{{{\text{Re}}}}}&0&{ - M}&0 \\ 0&{v}&0&0&{ - \frac{1}{{\operatorname{Re} }}}&L&0 \\ { - 2{{a}_{{12}}}}&0&{v}&0&0&0&0 \\ { - {{A}_{2}}}&0&0&{v}&0&0&0 \\ 0&{ - 2{{A}_{2}}}&0&0&{v}&0&0 \\ { - M}&0&0&0&0&{v}&0 \\ 0&{ - M}&0&0&0&0&{v} \end{array}} \right),\quad F = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\nabla p} \\ {{{\mathcal{L}}_{{11}}}} \\ {{{{\tilde {K}}}_{I}}{{a}_{{12}}}} \\ {{{\mathcal{L}}_{{22}}}} \\ 0 \\ 0 \end{array}} \right).$

Рассмотрим вопрос о $t$-гиперболичности системы (2.1)–(2.7) в предположении, что $P$ – известная функция (см. [11] по поводу определения $t$-гиперболичности). Характеристическое уравнение для нее запишется в виде

(2.9)

$det\left( {\tau {{I}_{7}} + \xi B + \eta C} \right) = 0,$

где ${{I}_{7}}$ – единичная матрица порядка $7$; $\xi ,\eta $ – вещественные числа, не равные нулю одновременно. Раскрывая определитель в левой части, получаем

(2.10)

$\begin{gathered} \mathop {\left( {\tau + \xi u + \eta {v}} \right)}\nolimits^3 \left[ {\mathop {\left( {\tau + \xi u + \eta {v}} \right)}\nolimits^4 + \mathop {\left( {\xi L + \eta M} \right)}\nolimits^2 \left( {\frac{{3{{\xi }^{2}}{{A}_{1}}}}{{Re}} + \frac{{3{{\eta }^{2}}{{A}_{2}}}}{{Re}} + \frac{{4\xi \eta {{a}_{{12}}}}}{{Re}}} \right) - } \right. \\ - \;\left( {2\mathop {\left( {\xi L + \eta M} \right)}\nolimits^2 + \frac{{3{{\xi }^{2}}{{A}_{1}}}}{{Re}} + \frac{{3{{\eta }^{2}}{{A}_{2}}}}{{Re}} + \frac{{4\xi \eta {{a}_{{12}}}}}{{Re}}} \right)\mathop {\left( {\tau + \xi u + \eta {v}} \right)}\nolimits^2 + \mathop {\left( {\xi L + \eta M} \right)}\nolimits^4 + \\ + \;\left. {2\frac{{{{\xi }^{3}}{{A}_{1}}}}{{\mathop {\operatorname{Re} }\nolimits^2 }}(\xi {{A}_{1}} + \eta {{a}_{{12}}}) + \frac{{4\xi \eta (\xi {{A}_{1}} + \eta {{a}_{{12}}})(\eta {{A}_{2}} + \xi {{a}_{{12}}})}}{{\mathop {\operatorname{Re} }\nolimits^2 }} + 2\frac{{{{\eta }^{3}}{{A}_{2}}}}{{\mathop {\operatorname{Re} }\nolimits^2 }}(\eta {{A}_{2}} + \xi {{a}_{{12}}})} \right] = 0. \\ \end{gathered} $

Используем обозначения ${{\alpha }_{1}} = {{A}_{1}}{\text{/}}\operatorname{Re} $, ${{\alpha }_{2}} = {{A}_{2}}{\text{/}}\operatorname{Re} $, ${{\alpha }_{{12}}} = {{a}_{{12}}}{\text{/}}\operatorname{Re} $ и приведем выражение (2.10) к следующему виду:

(2.11)

$\mathop {\left( {\tau + \xi u + \eta v} \right)}\nolimits^3 [{{\vartheta }^{2}} - (3{{\alpha }_{2}}{{\eta }^{2}} - {{\alpha }_{1}}{{\xi }^{2}})\vartheta - 2{{\alpha }_{2}}{{\eta }^{2}}({{\alpha }_{1}}{{\xi }^{2}} - {{\alpha }_{2}}{{\eta }^{2}})] = 0,$

где $\vartheta = \mathop {\left( {\tau + \xi u + \eta v} \right)}\nolimits^2 - \mathop {\left( {\xi L + \eta M} \right)}\nolimits^2 - 2\xi \left( {\xi {{\alpha }_{1}} + \eta {{\alpha }_{{12}}}} \right)$. Из (2.11) имеем

а) $\tau + \xi u + \eta v = 0;$

б) $\mathop {\left( {\tau + \xi u + \eta v} \right)}\nolimits^2 = \mathop {\left( {\xi L + \eta M} \right)}\nolimits^2 + 2({{\alpha }_{1}}{{\xi }^{2}} + {{\alpha }_{{12}}}\xi \eta + {{\alpha }_{2}}{{\eta }^{2}});$

в) $\mathop {\left( {\tau + \xi u + \eta v} \right)}\nolimits^2 = \mathop {\left( {\xi L + \eta M} \right)}\nolimits^2 + {{\alpha }_{1}}{{\xi }^{2}} + 2{{\alpha }_{{12}}}\xi \eta + {{\alpha }_{2}}{{\eta }^{2}}.$

Значит, если матрица

$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\alpha }_{1}}}&{{{\alpha }_{{12}}}} \\ {{{\alpha }_{{12}}}}&{{{\alpha }_{2}}} \end{array}} \right) > 0,$

т.е.

(2.12)

${{\alpha }_{1}} > 0,\quad D = {{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{2}} - \alpha _{{12}}^{2} > 0,$

то уравнение (2.10) при любых вещественных $\xi ,\eta $ $({{\xi }^{2}} + {{\eta }^{2}} \ne 0)$ имеет четыре различных вещественных корня одинарной кратности:

(2.13)

$\begin{array}{*{20}{c}} \tau &{ = - \xi u - \eta v \pm \sqrt {2({{\alpha }_{1}}{{\xi }^{2}} + {{\alpha }_{{12}}}\xi \eta + {{\alpha }_{2}}{{\eta }^{2}})} ,} \\ \tau &{ = - \xi u - \eta v \pm \sqrt {{{\alpha }_{1}}{{\xi }^{2}} + 2{{\alpha }_{{12}}}\xi \eta + {{\alpha }_{2}}{{\eta }^{2}}} } \end{array}$

и один вещественный корень тройной кратности

(2.14)

$\tau = - \xi u - \eta v.$

Условия (2.12) $t$-гиперболичности системы (2.8) (ср. с условиями из [1]) проверяются на еe конкретном решении. Заметим также, что знание корней $\tau $ (2.13) и (2.14) характеристического уравнения (2.9) позволяет правильно поставить краевые условия для системы (2.8) в том случае, когда ее решение при каждом $t$ ищется в ограниченной области $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{2}}$.

Теперь с помощью уравнений (2.1), (2.2) систему (2.8) перепишем в виде системы законов сохранения, или в дивергентном виде [8], считая известным полное МГД давление $P$

(2.15)

$\frac{{\partial{ \mathcal{P}}_{i}^{{(0)}}}}{{\partial t}} + \frac{{\partial{ \mathcal{P}}_{i}^{{(1)}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial{ \mathcal{P}}_{i}^{{(2)}}}}{{\partial y}} + {{\Gamma }_{i}} = 0,\quad i = \overline {1,7} .$

Здесь

$\begin{gathered} \mathcal{P}_{1}^{{(0)}} = u,\quad \mathcal{P}_{2}^{{(0)}} = v,\quad \mathcal{P}_{3}^{{(0)}} = {{\alpha }_{1}} + {{u}^{2}} + {{L}^{2}},\quad \mathcal{P}_{4}^{{(0)}} = {{\alpha }_{2}} + {{v}^{2}} + {{M}^{2}},\quad \mathcal{P}_{5}^{{(0)}} = {{\alpha }_{{12}}} + uv + LM, \\ \mathcal{P}_{6}^{{(0)}} = L,\quad \mathcal{P}_{7}^{{(0)}} = M,\quad \mathcal{P}_{1}^{{(1)}} = {{u}^{2}} - {{\alpha }_{1}} - {{L}^{2}},\quad \mathcal{P}_{2}^{{(1)}} = uv - {{\alpha }_{{12}}} - ML,\quad \mathcal{P}_{3}^{{(1)}} = u({{u}^{2}} - {{\alpha }_{1}}) - u{{L}^{2}}, \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \mathcal{P}_{4}^{{(1)}} = u({{v}^{2}} + {{\alpha }_{2}}) - 2{{\alpha }_{{12}}}v - 2vLM + u{{M}^{2}},\quad \mathcal{P}_{5}^{{(1)}} = v({{u}^{2}} - {{\alpha }_{1}}) - v{{L}^{2}},\quad \mathcal{P}_{6}^{{(1)}} = 0,\quad \mathcal{P}_{7}^{{(1)}} = uM - vL, \\ \mathcal{P}_{1}^{{(2)}} = uv - {{\alpha }_{{12}}} - ML,\quad \mathcal{P}_{2}^{{(2)}} = {{v}^{2}} - {{\alpha }_{2}} - {{M}^{2}},\quad \mathcal{P}_{3}^{{(2)}} = v({{u}^{2}} + {{\alpha }_{1}}) - 2{{\alpha }_{{12}}}u - 2uLM + v{{L}^{2}}, \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \mathcal{P}_{4}^{{(2)}} = v({{v}^{2}} - {{\alpha }_{2}}) - v{{M}^{2}},\quad \mathcal{P}_{5}^{{(2)}} = u({{v}^{2}} - {{\alpha }_{2}}) - u{{M}^{2}},\quad \mathcal{P}_{6}^{{(2)}} = vL - uM,\quad \mathcal{P}_{7}^{{(2)}} = 0; \\ {{\Gamma }_{1}} = {{P}_{x}},\quad {{\Gamma }_{2}} = {{P}_{y}},\quad {{\Gamma }_{3}} = 2u{{P}_{x}} + {{{\tilde {K}}}_{I}}{{\alpha }_{1}} + \pi ,\quad {{\Gamma }_{4}} = 2v{{P}_{y}} + {{{\tilde {K}}}_{I}}{{\alpha }_{2}} + \pi , \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {{\Gamma }_{5}} = v{{P}_{x}} + u{{P}_{y}} + {{{\tilde {K}}}_{I}}{{\alpha }_{{12}}},\quad {{\Gamma }_{6}} = 0,\quad {{\Gamma }_{7}} = 0, \\ \pi = - \beta \operatorname{Re} \; \cdot D + \frac{1}{{{{W}^{2}}\operatorname{Re} }}\left( {\frac{{\widetilde k}}{3} - 1} \right) - \frac{{\overline k }}{{3W}}({{\alpha }_{1}} + {{\alpha }_{2}}),\quad \widetilde k = 2\overline k + 3\beta . \\ \end{gathered} $

При получении вида (2.15) важную роль сыграли следующие соотношения, использующие уравнения (2.2) и (2.7)

$2u{\text{div}}\left( {L{\mathbf{H}}} \right) = - \frac{{\partial {{L}^{2}}}}{{\partial t}} + \frac{{\partial (u{{L}^{2}})}}{{\partial x}} + \frac{{\partial (2uML - {v}{{L}^{2}})}}{{\partial y}},$

$2{v}{\text{div}}\left( {M{\mathbf{H}}} \right) = - \frac{{\partial {{M}^{2}}}}{{\partial t}} + \frac{{\partial (2{v}ML - u{{M}^{2}})}}{{\partial x}} + \frac{{\partial ({v}{{M}^{2}})}}{{\partial y}},$

${v}{\text{div}}\left( {L{\mathbf{H}}} \right) + u{\text{div}}(M{\mathbf{H}}) = - \frac{{\partial (LM)}}{{\partial t}} + \frac{{\partial ({v}{{L}^{2}})}}{{\partial x}} + \frac{{\partial (u{{M}^{2}})}}{{\partial y}}.$

В следующих двух разделах мы введем дополнительный закон сохранения для системы (2.1)–(2.7) и используем его для приведения к симметрическому виду системы (2.8). Заметим при этом, что симметрическая система также будет $t$-гиперболической (см. [11]) при выполнении условий (2.12).

3. ПОЛУЧЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО (ЭНТРОПИЙНОГО) ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ МГД УРАВНЕНИЙ

Будем искать дополнительный закон сохранения для системы (2.1)–(2.7) в виде

(3.1)

$\frac{{\partial {{\mathcal{P}}^{{(0)}}}}}{{\partial t}} + \frac{{\partial {{\mathcal{P}}^{{(1)}}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{\mathcal{P}}^{{(2)}}}}}{{\partial y}} + \Gamma = 0.$

Задача состоит в определении вида функций ${{\mathcal{P}}^{{(0)}}} = {{\mathcal{P}}^{{(0)}}}({\mathbf{U}})$, ${{\mathcal{P}}^{{(1)}}} = {{\mathcal{P}}^{{(1)}}}({\mathbf{U}})$, ${{\mathcal{P}}^{{(2)}}} = {{\mathcal{P}}^{{(2)}}}({\mathbf{U}})$ и $\Gamma = \Gamma \left( {\nabla P,{\mathbf{U}}} \right)$, которые зависят от ${\mathbf{U}} = \mathop {\left( {u,{v},{{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\alpha }_{{12}}},L,M} \right)}\nolimits^{\text{T}} .$ Более подробно о выводе дополнительных законов и использовании их при симметризации систем законов сохранения можно прочитать в работах [6], [12] и [13].

Предположим, что существуют так называемые канонические переменные ${{q}_{i}} = {{q}_{i}}\left( {\mathbf{U}} \right),$ $i = \overline {1,7} ,$ и функции $r = r\left( {\mathbf{U}} \right),\;g = g\left( {\mathbf{U}} \right)$ такие, что верно следующее:

(3.2)

$d{{\mathcal{P}}^{{(0)}}} = \sum\limits_{i = 1}^7 \,{{q}_{i}}d\mathcal{P}_{i}^{{(0)}},$

(3.3)

$\begin{gathered} d{{\mathcal{P}}^{{(1)}}} = \sum\limits_{i = 1}^7 \,{{q}_{i}}d\mathcal{P}_{i}^{{(1)}} + rdu + gdL = ud{{\mathcal{P}}^{{(0)}}} + \left\{ {\sum\limits_{i = 1}^7 \,{{q}_{i}}\mathcal{P}_{i}^{{(0)}} - 2{{\alpha }_{1}}{{q}_{3}} - {{\alpha }_{{12}}}{{q}_{5}} - (2{{q}_{3}}L + {{q}_{5}}M + {{q}_{6}})L + r} \right\}du - \\ \, - ({{q}_{1}} + 2u{{q}_{3}} + v{{q}_{5}})d{{\alpha }_{1}} - ({{q}_{2}} + 2v{{q}_{4}} + u{{q}_{5}})d{{\alpha }_{{12}}} - [{{\alpha }_{1}}{{q}_{5}} + 2{{q}_{4}}{{\alpha }_{{12}}} + (2M{{q}_{4}} + {{q}_{5}}L + {{q}_{7}})L]dv - \\ \, - L({{q}_{2}} + 2v{{q}_{4}} + u{{q}_{5}})dM - \{ 2L({{q}_{1}} + 2u{{q}_{3}} + v{{q}_{5}}) + M({{q}_{2}} + 2v{{q}_{4}} + u{{q}_{5}}) + u{{q}_{6}} + v{{q}_{7}} - g\} dL, \\ \end{gathered} $

(3.4)

$\begin{gathered} d{{\mathcal{P}}^{{(2)}}}\, = \,\sum\limits_{i = 1}^7 \,{{q}_{i}}d\mathcal{P}_{i}^{{(2)}}\, + \,rdv\, + \,gdM\, = \,vd{{\mathcal{P}}^{{(0)}}}\, + \,\left\{ {\sum\limits_{i = 1}^7 \,{{q}_{i}}\mathcal{P}_{i}^{{(0)}}\, - \,2{{\alpha }_{2}}{{q}_{4}}\, - \,{{\alpha }_{{12}}}{{q}_{5}}\, - \,(2{{q}_{4}}M + {{q}_{5}}L + {{q}_{7}})M + r} \right\}{\kern 1pt} dv\, - \\ \, - \left[ {2{{q}_{3}}{{\alpha }_{{12}}} + {{\alpha }_{2}}{{q}_{5}} + (2L{{q}_{3}} + {{q}_{5}}M + {{q}_{6}})M} \right]du - ({{q}_{1}} + 2u{{q}_{3}} + v{{q}_{5}})d{{\alpha }_{{12}}} - ({{q}_{2}} + 2v{{q}_{4}} + u{{q}_{5}})d{{\alpha }_{2}} - \\ \, - M({{q}_{1}} + 2u{{q}_{3}} + v{{q}_{5}})dL - \left\{ {2M({{q}_{2}} + 2v{{q}_{4}} + u{{q}_{5}}) + L({{q}_{1}} + 2u{{q}_{3}} + v{{q}_{5}}) + u{{q}_{6}} + v{{q}_{7}} - g} \right\}dM, \\ \end{gathered} $

(3.5)

$\Gamma = ({{q}_{1}} + 2u{{q}_{3}} + {{q}_{5}}v){{P}_{x}} + ({{q}_{2}} + 2v{{q}_{4}} + {{q}_{5}}u){{P}_{y}} + {{\tilde {K}}_{I}}({{\alpha }_{1}}{{q}_{3}} + {{\alpha }_{2}}{{q}_{4}}) + \pi ({{q}_{3}} + {{q}_{4}}) + {{\tilde {K}}_{I}}{{\alpha }_{{12}}}{{q}_{5}}.$

Далее положим

(3.6)

$\begin{gathered} {{q}_{1}} = 2( - u{{\alpha }_{2}} + v{{\alpha }_{{12}}})G,\quad {{q}_{2}} = 2( - v{{\alpha }_{1}} + u{{\alpha }_{{12}}})G,\quad {{q}_{3}} = {{\alpha }_{2}}G,\quad {{q}_{4}} = {{\alpha }_{1}}G, \\ {{q}_{5}} = - 2{{\alpha }_{{12}}}G,\quad {{q}_{6}} = - 2G(L{{\alpha }_{2}} - M{{\alpha }_{{12}}}),\quad {{q}_{7}} = - 2G(M{{\alpha }_{1}} - L{{\alpha }_{{12}}}), \\ g = - 2uG(L{{\alpha }_{2}} - M{{\alpha }_{{12}}}) - 2vG(M{{\alpha }_{1}} - L{{\alpha }_{{12}}}), \\ \end{gathered} $

где $G$ – некоторая функция от компонент вектора ${\mathbf{U}}$.

Пусть

(3.7)

${{\mathcal{P}}^{{(0)}}} = \sum\limits_{i = 1}^7 {{{q}_{i}}\mathcal{P}_{i}^{{(0)}} - {{q}_{3}}{{\alpha }_{1}} - {{q}_{4}}{{\alpha }_{2}} - {{q}_{5}}{{\alpha }_{{12}}} + r} .$

Поскольку в силу (3.2) и (3.6) из (3.7) следует

$\begin{gathered} 0 = \sum\limits_{i = 1}^7 \,\mathcal{P}_{i}^{{(0)}}d{{q}_{i}} - {{\alpha }_{1}}d{{q}_{3}} - {{q}_{3}}d{{\alpha }_{1}} - {{q}_{4}}d{{\alpha }_{2}} - {{\alpha }_{2}}d{{q}_{4}} - {{q}_{5}}d{{\alpha }_{{12}}} - {{\alpha }_{{12}}}d{{q}_{5}} + dr = \\ = dr - GdD - d\{ G[({{\alpha }_{2}}{{u}^{2}} - 2uv{{\alpha }_{{12}}} + {{\alpha }_{1}}{{v}^{2}}) + ({{\alpha }_{2}}{{L}^{2}} - 2LM{{\alpha }_{{12}}} + {{\alpha }_{1}}{{M}^{2}})]\} , \\ \end{gathered} $

то, если $G = F'(D),$ где $F(D)$ – некоторая функция от $D$, тогда имеем

$r = F(D) + G\{ {{\alpha }_{2}}{{u}^{2}} - 2uv{{\alpha }_{{12}}} + {{\alpha }_{1}}{{v}^{2}} + {{\alpha }_{2}}{{L}^{2}} - 2LM{{\alpha }_{{12}}} + {{\alpha }_{1}}{{M}^{2}}\} ,$

и из (3.2)–(3.5) следует

${{\mathcal{P}}^{{(0)}}} = F(D),\quad {{\mathcal{P}}^{{(1)}}} = uF(D),\quad {{\mathcal{P}}^{{(2)}}} = vF(D),\quad \Gamma = 2{{\tilde {K}}_{I}}DG(D) + \pi ({{\alpha }_{1}} + {{\alpha }_{2}})G(D).$

Итак, с учетом вышеизложенного получаем, что дополнительный закон (3.1) принимает следующий вид (ср. с дополнительным законом из [4]):

(3.8)

$\mathop {\left( {F(D)} \right)}\nolimits_t + {\text{div}}\left( {F(D){\mathbf{u}}} \right) + \Gamma = 0.$

4. СИММЕТРИЗАЦИЯ МГД УРАВНЕНИЙ

Наличие дополнительного нестационарного закона сохранения (3.8) и введенных канонических переменных (3.6) позволяет нам организовать процесс симметризации системы (2.8) (подробности см. в [6], [12] и [13]). При этом учитываются и стационарные законы (2.1), (2.2). После этого процесса, который мы сейчас кратко опишем, исходная система (2.8) будет записана в симметрическом $t$-гиперболическом (по Фридрихсу) виде.

Итак, введем следующие производящие функции $\mathcal{L}$, ${{\mathcal{M}}^{{(1)}}}$, ${{\mathcal{M}}^{{(2)}}}$:

$\mathcal{L} = \sum\limits_{i = 1}^7 \,{{q}_{i}}\mathcal{P}_{i}^{{(0)}} - {{P}^{{(0)}}} = 2GD - r,$

${{\mathcal{M}}^{{(1)}}} = \sum\limits_{i = 1}^7 \,{{q}_{i}}\mathcal{P}_{i}^{{(1)}} + ru + gL - {{\mathcal{P}}^{{(1)}}} = 2uGD,$

${{\mathcal{M}}^{{(2)}}} = \sum\limits_{i = 1}^7 \,{{q}_{i}}\mathcal{P}_{i}^{{(2)}} + r{v} + gM - {{\mathcal{P}}^{{(2)}}} = 2{v}GD,$

при этом в силу (3.2), (3.3), (3.4) для $i = \overline {1,7} $ имеем

$\mathcal{P}_{i}^{{(0)}} = {{\mathcal{L}}_{{{{q}_{i}}}}},\quad \mathcal{P}_{i}^{{(1)}} = \mathcal{M}_{{{{q}_{i}}}}^{{(1)}} - u{{r}_{{{{q}_{i}}}}} - L{{g}_{{{{q}_{i}}}}},\quad \mathcal{P}_{i}^{{(2)}} = \mathcal{M}_{{{{q}_{i}}}}^{{(2)}} - {v}{{r}_{{{{q}_{i}}}}} - M{{g}_{{{{q}_{i}}}}}.$

Как видно из [6], [12] и [13], вместо системы (2.8) можно рассмотреть следующую:

(4.1)

$\frac{\partial }{{\partial t}}({{\mathcal{L}}_{{{{q}_{i}}}}}) + \frac{\partial }{{\partial x}}(M_{{{{q}_{i}}}}^{{(1)}} - u{{r}_{{{{q}_{i}}}}} - L{{g}_{{{{q}_{i}}}}}) + \frac{\partial }{{\partial y}}(M_{{{{q}_{i}}}}^{{(2)}} - {v}{{r}_{{{{q}_{i}}}}} - M{{g}_{{{{q}_{i}}}}}) + {{r}_{{{{q}_{i}}}}}\operatorname{div} {\mathbf{u}} + {{g}_{{{{q}_{i}}}}}\operatorname{div} {\mathbf{H}} + {{\Gamma }_{i}} = 0,\quad i = \overline {1,7} ,$

которая может быть переписана в виде

(4.2)

${{A}_{0}}{{{\mathbf{Q}}}_{t}} + {{A}_{1}}{{{\mathbf{Q}}}_{x}} + {{A}_{2}}{{{\mathbf{Q}}}_{y}} + \Gamma = 0.$

Здесь

${{A}_{0}} = ({{\mathcal{L}}_{{{{q}_{i}}{{q}_{j}}}}}),\quad {{A}_{1}} = (\mathcal{M}_{{{{q}_{i}}{{q}_{j}}}}^{{(1)}} - u{{r}_{{{{q}_{i}}{{q}_{j}}}}} - L{{g}_{{{{q}_{i}}{{q}_{j}}}}}),\quad {{A}_{2}} = (\mathcal{M}_{{{{q}_{i}}{{q}_{j}}}}^{{(2)}} - {v}{{r}_{{{{q}_{i}}{{q}_{j}}}}} - M{{g}_{{{{q}_{i}}{{q}_{j}}}}}),\quad i,j = \overline {1,7} ,$

суть симметрические матрицы и

${\mathbf{Q}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{q}_{1}}} \\ {{{q}_{2}}} \\ {{{q}_{3}}} \\ {{{q}_{4}}} \\ {{{q}_{5}}} \\ {{{q}_{6}}} \\ {{{q}_{7}}} \end{array}} \right),\quad \Gamma = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\Gamma }_{1}}} \\ {{{\Gamma }_{2}}} \\ {{{\Gamma }_{3}}} \\ {{{\Gamma }_{4}}} \\ {{{\Gamma }_{5}}} \\ {{{\Gamma }_{6}}} \\ {{{\Gamma }_{7}}} \end{array}} \right).$

При этом ${{A}_{0}} = I{{J}^{{ - 1}}}$, ${{A}_{1}} = ({{I}_{1}} - u{{I}_{r}} - L{{I}_{g}}){{J}^{{ - 1}}}$, ${{A}_{2}} = ({{I}_{2}} - {v}{{I}_{r}} - M{{I}_{g}}){{J}^{{ - 1}}},$ где матрицы $I,\;J,\;{{I}_{1}},\;{{I}_{2}},\;{{I}_{r}},\;{{I}_{g}}$ определяются так

$d{\mathbf{Q}} = Jd{\mathbf{U}},\quad d{{\mathcal{L}}_{q}} = Id{\mathbf{U}},\quad d\mathcal{M}_{q}^{{(1)}} = {{I}_{1}}d{\mathbf{U}},\quad d\mathcal{M}_{q}^{{(2)}} = {{I}_{2}}d{\mathbf{U}},\quad d{{{\mathbf{r}}}_{q}} = {{I}_{r}}d{\mathbf{U}},\quad d{{{\mathbf{g}}}_{q}} = {{I}_{g}}d{\mathbf{U}},$

${\mathbf{U}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} u \\ {v} \\ {{{\alpha }_{1}}} \\ {{{\alpha }_{2}}} \\ {{{\alpha }_{{12}}}} \\ L \\ M \end{array}} \right),\quad {{\mathcal{L}}_{q}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\mathcal{L}}_{{{{q}_{1}}}}}} \\ {{{\mathcal{L}}_{{{{q}_{2}}}}}} \\ {{{\mathcal{L}}_{{{{q}_{3}}}}}} \\ {{{\mathcal{L}}_{{{{q}_{4}}}}}} \\ {_{{\mathcal{L}{{q}_{5}}}}} \\ {{{\mathcal{L}}_{{{{q}_{6}}}}}} \\ {{{\mathcal{L}}_{{{{q}_{7}}}}}} \end{array}} \right),\quad \mathcal{M}_{q}^{{(1)}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathcal{M}_{{{{q}_{1}}}}^{{(1)}}} \\ {\mathcal{M}_{{{{q}_{2}}}}^{{(1)}}} \\ {\mathcal{M}_{{{{q}_{3}}}}^{{(1)}}} \\ {\mathcal{M}_{{{{q}_{4}}}}^{{(1)}}} \\ {\mathcal{M}_{{{{q}_{5}}}}^{{(1)}}} \\ {\mathcal{M}_{{{{q}_{6}}}}^{{(1)}}} \\ {\mathcal{M}_{{{{q}_{7}}}}^{{(1)}}} \end{array}} \right),\quad \mathcal{M}_{q}^{{(2)}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathcal{M}_{{{{q}_{1}}}}^{{(2)}}} \\ {\mathcal{M}_{{{{q}_{2}}}}^{{(2)}}} \\ {\mathcal{M}_{{{{q}_{3}}}}^{{(2)}}} \\ {\mathcal{M}_{{{{q}_{4}}}}^{{(2)}}} \\ {\mathcal{M}_{{{{q}_{5}}}}^{{(2)}}} \\ {\mathcal{M}_{{{{q}_{6}}}}^{{(2)}}} \\ {\mathcal{M}_{{{{q}_{7}}}}^{{(2)}}} \end{array}} \right),\quad {{{\mathbf{r}}}_{q}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{r}_{{{{q}_{1}}}}}} \\ {{{r}_{{{{q}_{2}}}}}} \\ {{{r}_{{{{q}_{3}}}}}} \\ {{{r}_{{{{q}_{4}}}}}} \\ {{{r}_{{{{q}_{5}}}}}} \\ {{{r}_{{{{q}_{6}}}}}} \\ {{{r}_{{{{q}_{7}}}}}} \end{array}} \right),\quad {{{\mathbf{g}}}_{q}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{g}_{{{{q}_{1}}}}}} \\ {{{g}_{{{{q}_{2}}}}}} \\ {{{g}_{{{{q}_{3}}}}}} \\ {{{g}_{{{{q}_{4}}}}}} \\ {{{g}_{{{{q}_{5}}}}}} \\ {{{g}_{{{{q}_{6}}}}}} \\ {{{g}_{{{{q}_{7}}}}}} \end{array}} \right),$

и имеют следующий вид:

$J = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2{{\alpha }_{2}}G}&{2{{\alpha }_{{12}}}G}&{{{q}_{1}}{{\alpha }_{2}}\frac{{G{\text{'}}}}{G}}&{ - 2uG + {{q}_{1}}{{\alpha }_{1}}\frac{{G{\text{'}}}}{G}}&{2{v}G - 2{{q}_{1}}{{\alpha }_{{12}}}\frac{{G{\text{'}}}}{G}}&0&0 \\ {2{{\alpha }_{{12}}}G}&{ - 2{{\alpha }_{1}}G}&{ - 2{v}G + {{q}_{2}}{{\alpha }_{2}}\frac{{G{\text{'}}}}{G}}&{{{q}_{2}}{{\alpha }_{1}}\frac{{G{\text{'}}}}{G}}&{2uG - 2{{q}_{2}}{{\alpha }_{{12}}}\frac{{G{\text{'}}}}{G}}&0&0 \\ 0&0&{\alpha _{2}^{2}G{\text{'}}}&{G + {{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{2}}G{\text{'}}}&{ - 2{{\alpha }_{{12}}}{{\alpha }_{2}}G{\text{'}}}&0&0 \\ 0&0&{G + {{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{2}}G{\text{'}}}&{\alpha _{1}^{2}G{\text{'}}}&{ - 2{{\alpha }_{{12}}}{{\alpha }_{1}}G{\text{'}}}&0&0 \\ 0&0&{ - 2{{\alpha }_{{12}}}{{\alpha }_{2}}G{\text{'}}}&{ - 2{{\alpha }_{{12}}}{{\alpha }_{1}}G{\text{'}}}&{4\alpha _{{12}}^{2}G{\text{'}} - 2G}&0&0 \\ 0&0&{ - 2{{\alpha }_{2}}G{\text{'}}{{\Pi }_{1}}}&{ - 2GL - 2{{\alpha }_{1}}G{\text{'}}{{\Pi }_{1}}}&{2GM + 4{{\alpha }_{{12}}}G{\text{'}}{{\Pi }_{1}}}&{ - 2G{{\alpha }_{2}}}&{2G{{\alpha }_{{12}}}} \\ 0&0&{ - 2GM - 2{{\alpha }_{2}}G{\text{'}}{{\Pi }_{2}}}&{ - 2{{\alpha }_{1}}G{\text{'}}{{\Pi }_{2}}}&{2GL + 4{{\alpha }_{{12}}}G{\text{'}}{{\Pi }_{2}}}&{2G{{\alpha }_{{12}}}}&{ - 2G{{\alpha }_{1}}} \end{array}} \right),$

${{J}^{{ - 1}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{{{{\alpha }_{1}}}}{{2DG}}}&{ - \frac{{{{\alpha }_{{12}}}}}{{2DG}}}&{ - \frac{{u{{\alpha }_{1}}}}{{DG}}}&{ - \frac{{{v}{{\alpha }_{{12}}}}}{{DG}}}&{ - \frac{{{{\alpha }_{1}}{v} + u{{\alpha }_{{12}}}}}{{2DG}}}&0&0 \\ { - \frac{{{{\alpha }_{{12}}}}}{{2DG}}}&{ - \frac{{{{\alpha }_{2}}}}{{2DG}}}&{ - \frac{{u{{\alpha }_{{12}}}}}{{DG}}}&{ - \frac{{{{\alpha }_{2}}{v}}}{{DG}}}&{ - \frac{{{{\alpha }_{{12}}}{v} + u{{\alpha }_{2}}}}{{2DG}}}&0&0 \\ 0&0&{ - \frac{{\alpha _{1}^{2}G{\text{'}}}}{\Sigma }}&{\frac{{G + DG{\text{'}} - \alpha _{{12}}^{2}G{\text{'}}}}{\Sigma }}&{ - \frac{{{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{{12}}}G{\text{'}}}}{\Sigma }}&0&0 \\ 0&0&{\frac{{G + DG{\text{'}} - \alpha _{{12}}^{2}G{\text{'}}}}{\Sigma }}&{ - \frac{{\alpha _{2}^{2}G{\text{'}}}}{\Sigma }}&{ - \frac{{{{\alpha }_{2}}{{\alpha }_{{12}}}G{\text{'}}}}{\Sigma }}&0&0 \\ 0&0&{ - \frac{{{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{{12}}}G{\text{'}}}}{\Sigma }}&{ - \frac{{{{\alpha }_{2}}{{\alpha }_{{12}}}G{\text{'}}}}{\Sigma }}&{ - \frac{{G + 2{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{2}}G{\text{'}}}}{{2\Sigma }}}&0&0 \\ 0&0&{ - \frac{{L{{\alpha }_{1}}}}{{DG}}}&{ - \frac{{M{{\alpha }_{{12}}}}}{{DG}}}&{ - \frac{{L{{a}_{{12}}} + M{{\alpha }_{1}}}}{{2DG}}}&{ - \frac{{{{\alpha }_{1}}}}{{2DG}}}&{ - \frac{{{{\alpha }_{{12}}}}}{{2DG}}} \\ 0&0&{ - \frac{{L{{\alpha }_{{12}}}}}{{DG}}}&{ - \frac{{M{{\alpha }_{2}}}}{{DG}}}&{ - \frac{{L{{\alpha }_{2}} + M{{\alpha }_{{12}}}}}{{2DG}}}&{ - \frac{{{{\alpha }_{{12}}}}}{{2DG}}}&{ - \frac{{{{\alpha }_{2}}}}{{2DG}}} \end{array}} \right),$

$I = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0&0 \\ {2u}&0&1&0&0&{2L}&0 \\ 0&{2{v}}&0&1&0&0&{2M} \\ {v}&u&0&0&1&M&L \\ 0&0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0&0&1 \end{array}} \right),\quad {{I}_{g}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0&0&1 \\ {2L}&0&0&0&0&{2u}&0 \\ 0&{2M}&0&0&0&0&{2{v}} \\ M&L&0&0&0&{v}&u \\ 1&0&0&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0&0 \end{array}} \right),$

${{I}_{r}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0&0&0&0&0&0 \\ 0&{ - 1}&0&0&0&0&0 \\ { - 2u}&0&{\frac{{{{G}^{4}}}}{{{{\Sigma }^{2}}}} + \alpha _{{12}}^{2}C}&{\alpha _{1}^{2}S}&{ - 2{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{{12}}}C}&{ - 2L}&0 \\ 0&{ - 2{v}}&{\alpha _{2}^{2}C}&{\frac{{{{G}^{4}}}}{{{{\Sigma }^{2}}}} + \alpha _{{12}}^{2}C}&{ - 2{{\alpha }_{2}}{{\alpha }_{{12}}}C}&0&{ - 2M} \\ { - {v}}&{ - u}&{{{\alpha }_{2}}{{\alpha }_{{12}}}C}&{{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{{12}}}C}&{\frac{{{{G}^{4}}}}{{{{\Sigma }^{2}}}} - ({{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{2}} + \alpha _{{12}}^{2})C}&{ - M}&{ - L} \\ 0&0&0&0&0&{ - 1}&0 \\ 0&0&0&0&0&0&{ - 1} \end{array}} \right),$

${{I}_{1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{ - 1}&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&{ - 1}&0&0 \\ { - \tfrac{{2DGG{\text{'}}{{\alpha }_{1}}}}{\Sigma }}&0&{(K - 1)u}&{ - \tfrac{{2{{G}^{3}}G{\text{'}}\alpha _{1}^{2}u}}{{{{\Sigma }^{2}}}}}&{\tfrac{{4{{G}^{3}}G{\text{'}}{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{{12}}}u}}{{{{\Sigma }^{2}}}}}&0&0 \\ {\tfrac{{2G(DG{\text{'}} + G){{\alpha }_{2}}}}{\Sigma }}&{ - 2{{\alpha }_{{12}}}}&{ - \tfrac{{2{{G}^{3}}G{\text{'}}\alpha _{2}^{2}u}}{{{{\Sigma }^{2}}}}}&{(K + 1)u}&{ - 2\left( {{v} - \tfrac{{2{{G}^{3}}G{\text{'}}{{\alpha }_{{12}}}{{\alpha }_{2}}u}}{{{{\Sigma }^{2}}}}} \right)}&0&0 \\ {\tfrac{{{{G}^{2}}{{\alpha }_{{12}}}}}{\Sigma }}&{ - {{\alpha }_{1}}}&{ - {v} - \tfrac{{2{{G}^{3}}G{\text{'}}{{\alpha }_{{12}}}{{\alpha }_{2}}u}}{{{{\Sigma }^{2}}}}}&{ - \tfrac{{2{{G}^{3}}G{\text{'}}{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{{12}}}u}}{{{{\Sigma }^{2}}}}}&{\tfrac{{{{G}^{3}}(4G{\text{'}}\alpha _{{12}}^{2} + 2DG{\text{'}} + G)u}}{{{{\Sigma }^{2}}}}}&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&0 \end{array}} \right),$

${{I}_{2}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0&{ - 1}&0&0 \\ 0&0&0&{ - 1}&0&0&0 \\ { - 2{{\alpha }_{{12}}}}&{\tfrac{{2G\left( {DG{\text{'}} + G} \right){{\alpha }_{1}}}}{\Sigma }}&{(K + 1){v}}&{ - \tfrac{{2{{G}^{3}}G{\text{'}}\alpha _{1}^{2}{v}}}{{{{\Sigma }^{2}}}}}&{\tfrac{{4{{G}^{3}}G{\text{'}}{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{{12}}}{v}}}{{{{\Sigma }^{2}}}} - 2u}&0&0 \\ 0&{ - \tfrac{{2DGG{\text{'}}{{\alpha }_{2}}}}{\Sigma }}&{ - \tfrac{{2{{G}^{3}}G{\text{'}}\alpha _{2}^{2}v}}{{{{\Sigma }^{2}}}}}&{(K - 1)v}&{\tfrac{{4{{G}^{3}}G{\text{'}}{{\alpha }_{{12}}}{{\alpha }_{2}}{v}}}{{{{\Sigma }^{2}}}}}&0&0 \\ { - {{\alpha }_{2}}}&{\tfrac{{{{G}^{2}}{{\alpha }_{{12}}}}}{\Sigma }}&{ - \frac{{2{{G}^{3}}G{\text{'}}{{\alpha }_{{12}}}{{\alpha }_{2}}{v}}}{{{{\Sigma }^{2}}}}}&{ - \tfrac{{2{{G}^{3}}G{\text{'}}{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{{12}}}{v}}}{{{{\Sigma }^{2}}}} - u}&{\tfrac{{{{G}^{3}}(4G{\text{'}}\alpha _{{12}}^{2} + 2DG{\text{'}} + G){v}}}{{{{\Sigma }^{2}}}}}&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&0 \end{array}} \right),$

где

$\begin{gathered} {{\Pi }_{1}} = L{{\alpha }_{2}} - M{{\alpha }_{{12}}},\quad {{\Pi }_{2}} = M{{\alpha }_{1}} - L{{\alpha }_{{12}}},\quad \Sigma = G(G + 2DG{\text{'}}), \\ C = - \frac{{2{{G}^{3}}G{\text{'}}}}{{{{\Sigma }^{2}}}},\quad S = \frac{{{{G}^{2}}(2G{\text{'}}(G + 2DG{\text{'}}) - \Sigma {\text{'}})}}{{{{\Sigma }^{2}}}},\quad K = \frac{{{{G}^{3}}(G - 2G{\text{'}}\alpha _{{12}}^{2})}}{{{{\Sigma }^{2}}}}, \\ \end{gathered} $

${{A}_{0}} = - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{{\alpha }_{1}}}}{{2DG}}}&{\frac{{{{\alpha }_{{12}}}}}{{2DG}}}&{\frac{{u{{\alpha }_{1}}}}{{DG}}}&{\frac{{{v}{{\alpha }_{{12}}}}}{{DG}}}&{\frac{{{{\alpha }_{1}}{v} + u{{\alpha }_{{12}}}}}{{2DG}}}&0&0 \\ {\frac{{{{\alpha }_{{12}}}}}{{2DG}}}&{\frac{{{{\alpha }_{2}}}}{{2DG}}}&{\frac{{u{{\alpha }_{{12}}}}}{{DG}}}&{\frac{{{{\alpha }_{2}}{v}}}{{DG}}}&{\frac{{{{\alpha }_{{12}}}{v} + u{{\alpha }_{2}}}}{{2DG}}}&0&0 \\ {\frac{{u{{\alpha }_{1}}}}{{DG}}}&{\frac{{u{{\alpha }_{{12}}}}}{{DG}}}&{{{a}_{{33}}}}&{{{a}_{{34}}}}&{{{a}_{{35}}}}&{\frac{{L{{\alpha }_{1}}}}{{DG}}}&{\frac{{L{{\alpha }_{{12}}}}}{{DG}}} \\ {\frac{{{v}{{\alpha }_{{12}}}}}{{DG}}}&{\frac{{{v}{{\alpha }_{2}}}}{{DG}}}&{{{a}_{{34}}}}&{{{a}_{{44}}}}&{{{a}_{{45}}}}&{\frac{{M{{\alpha }_{{12}}}}}{{DG}}}&{\frac{{M{{\alpha }_{2}}}}{{DG}}} \\ {\frac{{{{\alpha }_{1}}{v} + u{{\alpha }_{{12}}}}}{{2DG}}}&{\frac{{{{\alpha }_{{12}}}{v} + u{{\alpha }_{2}}}}{{2DG}}}&{{{a}_{{35}}}}&{{{a}_{{45}}}}&{{{a}_{{55}}}}&{\frac{{(M{{\alpha }_{1}} + L{{\alpha }_{{12}}})}}{{2DG}}}&{\frac{{(M{{\alpha }_{{12}}} + L{{\alpha }_{2}})}}{{2DG}}} \\ 0&0&{\frac{{L{{\alpha }_{1}}}}{{DG}}}&{\frac{{M{{\alpha }_{{12}}}}}{{DG}}}&{\frac{{(M{{\alpha }_{1}} + L{{\alpha }_{{12}}})}}{{2DG}}}&{\frac{{{{\alpha }_{1}}}}{{2DG}}}&{\frac{{{{\alpha }_{{12}}}}}{{2DG}}} \\ 0&0&{\frac{{L{{\alpha }_{{12}}}}}{{DG}}}&{\frac{{M{{\alpha }_{2}}}}{{DG}}}&{\frac{{(M{{\alpha }_{{12}}} + L{{\alpha }_{2}})}}{{2DG}}}&{\frac{{{{\alpha }_{{12}}}}}{{2DG}}}&{\frac{{{{\alpha }_{2}}}}{{2DG}}} \end{array}} \right),$

где

${{a}_{{33}}} = \frac{{2{{\alpha }_{1}}({{u}^{2}} + {{L}^{2}})}}{{DG}} + \frac{{G{\text{'}}\alpha _{1}^{2}}}{\Sigma },\quad {{a}_{{44}}} = \frac{{2{{\alpha }_{2}}({{{v}}^{2}} + {{M}^{2}})}}{{DG}} + \frac{{G{\text{'}}\alpha _{2}^{2}}}{\Sigma },$

${{a}_{{45}}} = \frac{{{{\alpha }_{2}}(u{v} + LM) + {{\alpha }_{{12}}}({{{v}}^{2}} + {{M}^{2}})}}{{DG}} + \frac{{G{\text{'}}{{\alpha }_{{12}}}{{\alpha }_{2}}}}{\Sigma },$

${{a}_{{34}}} = \frac{{2{{\alpha }_{{12}}}u{v} + 2LM{{\alpha }_{{12}}}}}{{DG}} + \frac{{G{\text{'}}\alpha _{{12}}^{2} - DG{\text{'}} - G}}{\Sigma },$

${{a}_{{35}}} = \frac{{{{\alpha }_{1}}(u{v} + LM) + {{\alpha }_{{12}}}({{u}^{2}} + {{L}^{2}})}}{{DG}} + \frac{{G{\text{'}}{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{{12}}}}}{\Sigma },$

${{a}_{{55}}} = \frac{{{{\alpha }_{1}}({{{v}}^{2}} + {{M}^{2}}) + {{\alpha }_{2}}({{u}^{2}} + {{L}^{2}})}}{{2DG}} + \frac{{{{\alpha }_{{12}}}(u{v} + LM)}}{{DG}} + \frac{{G{\text{'}}{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{2}}}}{\Sigma } + \frac{G}{{2\Sigma }},$

${{A}_{1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{{{{\alpha }_{1}}u}}{{2DG}}}&{ - \frac{{{{\alpha }_{{12}}}u}}{{2DG}}}&{\frac{{G{\text{'}}\alpha _{1}^{2}}}{\Sigma } - {{\alpha }_{1}}{{N}_{1}}}&{{{b}_{{14}}}}&{{{b}_{{15}}}}&{\frac{{L{{\alpha }_{1}}}}{{2DG}}}&{\frac{{L{{\alpha }_{{12}}}}}{{2DG}}} \\ { - \frac{{{{\alpha }_{{12}}}u}}{{2DG}}}&{ - \frac{{{{\alpha }_{2}}u}}{{2DG}}}&{\frac{{G{\text{'}}{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{{12}}}}}{\Sigma } - {{\alpha }_{{12}}}{{N}_{1}}}&{{{b}_{{24}}}}&{{{b}_{{25}}}}&{\frac{{L{{\alpha }_{{12}}}}}{{2DG}}}&{\frac{{L{{\alpha }_{2}}}}{{2DG}}} \\ {\frac{{G{\text{'}}\alpha _{1}^{2}}}{\Sigma } - {{\alpha }_{1}}{{N}_{1}}}&{\frac{{G{\text{'}}{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{{12}}}}}{\Sigma } - {{\alpha }_{{12}}}{{N}_{1}}}&{\frac{{3uG{\text{'}}\alpha _{1}^{2}}}{\Sigma } - 2u{{\alpha }_{1}}{{N}_{1}}}&{{{b}_{{34}}}}&{{{b}_{{35}}}}&0&0 \\ {{{b}_{{14}}}}&{{{b}_{{24}}}}&{{{b}_{{34}}}}&{{{b}_{{44}}}}&{{{b}_{{45}}}}&{{{b}_{{46}}}}&{{{b}_{{47}}}} \\ {{{b}_{{15}}}}&{{{b}_{{25}}}}&{{{b}_{{35}}}}&{{{b}_{{45}}}}&{{{b}_{{55}}}}&{{{b}_{{56}}}}&{{{b}_{{46}}}} \\ {\frac{{L{{\alpha }_{1}}}}{{2DG}}}&{\frac{{L{{\alpha }_{{12}}}}}{{2DG}}}&0&{{{b}_{{46}}}}&{{{b}_{{56}}}}&{ - \frac{{{{\alpha }_{1}}u}}{{2DG}}}&{ - \frac{{{{\alpha }_{{12}}}u}}{{2DG}}} \\ {\frac{{L{{\alpha }_{{12}}}}}{{2DG}}}&{\frac{{L{{\alpha }_{2}}}}{{2DG}}}&0&{{{b}_{{47}}}}&{{{b}_{{46}}}}&{ - \frac{{{{\alpha }_{{12}}}u}}{{2DG}}}&{ - \frac{{{{\alpha }_{2}}u}}{{2DG}}} \end{array}} \right),$

где

${{N}_{1}} = \frac{{({{u}^{2}} - {{L}^{2}})}}{{DG}},\quad {{b}_{{14}}} = \frac{{G{\text{'}}\alpha _{{12}}^{2} - DG{\text{'}} - G}}{\Sigma } + \frac{{{{\alpha }_{{12}}}(LM - u{v})}}{{DG}},$

${{b}_{{15}}} = \frac{{G{\text{'}}{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{{12}}}}}{\Sigma } + \frac{{{{\alpha }_{{12}}}{{N}_{1}}}}{2} - \frac{{{{\alpha }_{1}}(u{v} - LM)}}{{2DG}},\quad {{b}_{{24}}} = \frac{{G{\text{'}}{{\alpha }_{{12}}}{{\alpha }_{2}}}}{\Sigma } + \frac{{{{\alpha }_{2}}(LM - u{v})}}{{DG}},$

${{b}_{{25}}} = \frac{{2G{\text{'}}{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{2}} + G}}{{2\Sigma }} + \frac{{{{\alpha }_{2}}{{N}_{1}}}}{2} - \frac{{{{\alpha }_{{12}}}(u{v} - LM)}}{{2DG}},$

${{b}_{{34}}} = \frac{{2{v}G{\text{'}}{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{{12}}} - u(DG{\text{'}} + G - G{\text{'}}\alpha _{{12}}^{2})}}{\Sigma } - 2{v}{{\alpha }_{{12}}}{{N}_{1}},\quad {{b}_{{35}}} = \frac{{G{\text{'}}\alpha _{1}^{2}{v} + 2G{\text{'}}{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{{12}}}u}}{\Sigma } - ({{\alpha }_{1}}{v} + {{\alpha }_{{12}}}u){{N}_{1}},$

${{b}_{{44}}} = {{\alpha }_{2}}\left( {\frac{{2{{\alpha }_{{12}}}{v} + 4LM{v} - 2{{M}^{2}}u - 2u{{{v}}^{2}}}}{{DG}} - \frac{{2G{{\alpha }_{{12}}}{v}}}{{D\Sigma }} - \frac{{G{\text{'}}{{\alpha }_{2}}u}}{\Sigma }} \right),$

$\begin{gathered} {{b}_{{45}}} = \frac{{G{v} + {{\alpha }_{2}}G{\text{'}}({{\alpha }_{1}}{v} - 2{{\alpha }_{{12}}}u)}}{\Sigma } - \frac{{G{{\alpha }_{2}}({{\alpha }_{1}}{v} + {{\alpha }_{{12}}}u)}}{{D\Sigma }} - \\ - \;\frac{{{{\alpha }_{{12}}}u({{{v}}^{2}} + {{M}^{2}}) + {{\alpha }_{2}}{v}({{u}^{2}} - {{L}^{2}}) - {{\alpha }_{{12}}}({{\alpha }_{{12}}}{v} + {{\alpha }_{2}}u + 2LM{v})}}{{DG}}, \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {{b}_{{55}}} = \frac{{G{\text{'}}{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{{12}}}{v}}}{\Sigma } - \frac{{G{{\alpha }_{{12}}}({{\alpha }_{1}}{v} + {{\alpha }_{{12}}}u)}}{{2D\Sigma }} - \\ - \;\frac{{{{\alpha }_{1}}u({{{v}}^{2}} + {{M}^{2}}) + ({{\alpha }_{2}}u + 2{{\alpha }_{{12}}}{v})({{u}^{2}} - {{L}^{2}}) - {{\alpha }_{1}}({{\alpha }_{{12}}}{v} + {{\alpha }_{2}}u + 2LM{v})}}{{2DG}}, \\ \end{gathered} $

${{b}_{{46}}} = - \frac{{{{\alpha }_{{12}}}(Mu - L{v})}}{{DG}},\quad {{b}_{{47}}} = - \frac{{{{\alpha }_{2}}(Mu - L{v})}}{{DG}},\quad {{b}_{{56}}} = - \frac{{{{\alpha }_{1}}(Mu - L{v})}}{{2DG}}.$

${{A}_{2}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \tfrac{{{{\alpha }_{1}}{v}}}{{2DG}}}&{ - \tfrac{{{{\alpha }_{{12}}}{v}}}{{2DG}}}&{{{c}_{{13}}}}&{\tfrac{{G{\text{'}}\alpha _{2}^{2}}}{\Sigma } - {{\alpha }_{2}}{{N}_{2}}}&{{{c}_{{15}}}}&{\tfrac{{M{{\alpha }_{1}}}}{{2DG}}}&{\tfrac{{M{{\alpha }_{{12}}}}}{{2DG}}} \\ { - \tfrac{{{{\alpha }_{{12}}}{v}}}{{2DG}}}&{ - \tfrac{{{{\alpha }_{2}}{v}}}{{2DG}}}&{{{c}_{{23}}}}&{\tfrac{{G{\text{'}}\alpha _{2}^{2}}}{\Sigma } - {{\alpha }_{2}}{{N}_{2}}}&{{{c}_{{25}}}}&{\tfrac{{M{{\alpha }_{{12}}}}}{{2DG}}}&{\tfrac{{M{{\alpha }_{2}}}}{{2DG}}} \\ {{{c}_{{13}}}}&{{{c}_{{23}}}}&{{{c}_{{33}}}}&{{{c}_{{34}}}}&{{{c}_{{35}}}}&{ - {{b}_{{56}}}}&{ - {{b}_{{46}}}} \\ {\tfrac{{G{\text{'}}{{\alpha }_{{12}}}{{\alpha }_{2}}}}{\Sigma } - {{\alpha }_{{12}}}{{N}_{2}}}&{\tfrac{{G{\text{'}}\alpha _{2}^{2}}}{\Sigma } - {{\alpha }_{2}}{{N}_{2}}}&{{{c}_{{34}}}}&{\tfrac{{3G{\text{'}}\alpha _{2}^{2}{v}}}{\Sigma } - 2{{\alpha }_{2}}{v}{{N}_{2}}}&{{{c}_{{45}}}}&0&0 \\ {{{c}_{{15}}}}&{{{c}_{{25}}}}&{{{c}_{{35}}}}&{{{c}_{{45}}}}&{{{c}_{{55}}}}&{ - {{b}_{{46}}}}&{ - {{b}_{{47}}}} \\ {\tfrac{{M{{\alpha }_{1}}}}{{2DG}}}&{\tfrac{{M{{\alpha }_{{12}}}}}{{2DG}}}&{ - {{b}_{{56}}}}&0&{ - {{b}_{{46}}}}&{ - \tfrac{{{{\alpha }_{1}}{v}}}{{2DG}}}&{ - \tfrac{{{{\alpha }_{{12}}}{v}}}{{2DG}}} \\ {\tfrac{{M{{\alpha }_{{12}}}}}{{2DG}}}&{\tfrac{{M{{\alpha }_{2}}}}{{2DG}}}&{ - {{b}_{{46}}}}&0&{ - {{b}_{{47}}}}&{ - \tfrac{{{{\alpha }_{{12}}}{v}}}{{2DG}}}&{ - \tfrac{{{{\alpha }_{2}}{v}}}{{2DG}}} \end{array}} \right),$

где

${{N}_{2}} = \frac{{({{{v}}^{2}} - {{M}^{2}})}}{{DG}},\quad {{c}_{{13}}} = {{\alpha }_{1}}\left( {\frac{{{{\alpha }_{{12}}} + LM - u{v}}}{{DG}} - \frac{{G{\text{'}}{{\alpha }_{{12}}}}}{\Sigma } - \frac{{G{{\alpha }_{{12}}}}}{{D\Sigma }}} \right),$

${{c}_{{15}}} = \frac{{{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{2}} + {{\alpha }_{{12}}}(LM - u{v})}}{{2DG}} - \frac{{G\alpha _{{12}}^{2}}}{{2D\Sigma }} - \frac{{{{\alpha }_{1}}{{N}_{2}}}}{2},\quad {{c}_{{23}}} = \frac{{{{\alpha }_{{12}}}({{\alpha }_{{12}}} + LM - u{v})}}{{DG}} - \frac{{G{\text{'}}{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{2}}}}{\Sigma } - \frac{{G{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{2}}}}{{D\Sigma }},$

${{c}_{{25}}} = \frac{{{{\alpha }_{2}}({{\alpha }_{{12}}} + LM - u{v})}}{{2DG}} - \frac{{G{{\alpha }_{{12}}}{{\alpha }_{2}}}}{{2D\Sigma }} - \frac{{{{\alpha }_{{12}}}{{N}_{2}}}}{2},\quad {{c}_{{34}}} = \frac{{G{\text{'}}(2{{\alpha }_{{12}}}{{\alpha }_{2}}u + \alpha _{{12}}^{2}{v} - D{v}) - G{v}}}{\Sigma } - 2{{\alpha }_{{12}}}u{{N}_{2}},$

${{c}_{{33}}} = \frac{{{{\alpha }_{1}}u({{\alpha }_{{12}}} + 2LM) - 2{{\alpha }_{1}}{v}({{u}^{2}} + {{L}^{2}})}}{{DG}} - \frac{{G{\text{'}}\alpha _{1}^{2}{v}}}{\Sigma } - \frac{{2G{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{{12}}}u}}{{D\Sigma }},$

${{c}_{{35}}} = \frac{{u(G{\text{'}}\alpha _{{12}}^{2} - DG{\text{'}} - G)}}{\Sigma } - \frac{{G\alpha _{{12}}^{2}u}}{{D\Sigma }} - \frac{{{{\alpha }_{1}}u({{{v}}^{2}} - {{M}^{2}}) + {{\alpha }_{{12}}}{v}({{u}^{2}} + {{L}^{2}}) - u({{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{2}} + 2LM{{\alpha }_{{12}}})}}{{DG}},$

${{c}_{{45}}} = \frac{{G{\text{'}}\alpha _{2}^{2}u}}{\Sigma } - \frac{{G{{\alpha }_{{12}}}{{\alpha }_{2}}{v}}}{{D\Sigma }} + \frac{{{{\alpha }_{2}}{{\alpha }_{{12}}}{v}}}{{DG}} - ({{\alpha }_{2}}u + {{\alpha }_{{12}}}{v}){{N}_{2}},$

$\begin{gathered} {{c}_{{55}}} = \frac{{G{\text{'}}{{\alpha }_{{12}}}{{\alpha }_{2}}u}}{\Sigma } - \frac{{G\alpha _{{12}}^{2}{v} + G{{\alpha }_{{12}}}{{\alpha }_{2}}u}}{{2D\Sigma }} + \frac{{LM{{\alpha }_{2}}u}}{{DG}} - {{\alpha }_{{12}}}u{{N}_{2}} + \\ + \;\frac{{{{\alpha }_{2}}\left( {{{\alpha }_{{12}}}u + {{\alpha }_{1}}{v}} \right) - {{\alpha }_{2}}{v}({{u}^{2}} + {{L}^{2}}) - {{\alpha }_{1}}{v}({{{v}}^{2}} - {{M}^{2}})}}{{2DG}}. \\ \end{gathered} $

Умножая систему (4.2) слева на матрицу $J{\kern 1pt} {\text{*}}$ и учитывая равенство

$d{\mathbf{Q}} = Jd{\mathbf{U}},$

перепишем ее в терминах исходных переменных:

(4.3)

${{B}_{0}}{{{\mathbf{U}}}_{t}} + {{B}_{1}}{{{\mathbf{U}}}_{x}} + {{B}_{2}}{{{\mathbf{U}}}_{y}} + J{\kern 1pt} {\text{*}}\Gamma = 0,$

где

${{B}_{0}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2G{{\alpha }_{2}}}&{2G{{\alpha }_{{12}}}}&0&0&0&0&0 \\ {2G{{\alpha }_{{12}}}}&{ - 2G{{\alpha }_{1}}}&0&0&0&0&0 \\ 0&0&{G{\text{'}}\alpha _{2}^{2}}&{(G{\text{'}}{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{2}}\; + \;G)}&{ - 2G{\text{'}}{{\alpha }_{{12}}}{{\alpha }_{2}}}&0&0 \\ 0&0&{G{\text{'}}{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{2}} + G}&{G{\text{'}}\alpha _{1}^{2}}&{ - 2G{\text{'}}{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{{12}}}}&0&0 \\ 0&0&{ - 2G{\text{'}}{{\alpha }_{{12}}}{{\alpha }_{2}}}&{ - 2G{\text{'}}{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{{12}}}}&{4G{\text{'}}\alpha _{{12}}^{2} - 2G}&0&0 \\ 0&0&0&0&0&{ - 2G{{\alpha }_{2}}}&{2G{{\alpha }_{{12}}}} \\ 0&0&0&0&0&{2G{{\alpha }_{{12}}}}&{ - 2G{{\alpha }_{1}}} \end{array}} \right),$

${{B}_{1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2G{{\alpha }_{2}}u}&{2G{{\alpha }_{{12}}}u}&{2G{{\alpha }_{2}}}&0&{ - 2G{{\alpha }_{{12}}}}&{2GL{{\alpha }_{2}}}&{ - 2GL{{\alpha }_{{12}}}} \\ {2G{{\alpha }_{{12}}}u}&{ - 2G{{\alpha }_{1}}u}&{ - 2G{{\alpha }_{{12}}}}&0&{2G{{\alpha }_{1}}}&{ - 2GL{{\alpha }_{{12}}}}&{2GL{{\alpha }_{1}}} \\ {2G{{\alpha }_{2}}}&{ - 2G{{\alpha }_{{12}}}}&{G{\text{'}}\alpha _{2}^{2}u}&{(G{\text{'}}{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{2}} + G)u}&{ - 2G{\text{'}}{{\alpha }_{{12}}}{{\alpha }_{2}}u}&0&0 \\ 0&0&{(G{\text{'}}{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{2}} + G)u}&{G{\text{'}}\alpha _{1}^{2}u}&{ - 2G{\text{'}}{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{{12}}}u}&0&0 \\ { - 2G{{\alpha }_{{12}}}}&{2G{{\alpha }_{1}}}&{ - 2G{\text{'}}{{\alpha }_{{12}}}{{\alpha }_{2}}u}&{ - 2G{\text{'}}{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{{12}}}u}&{(4G{\text{'}}\alpha _{{12}}^{2} - 2G)u}&0&0 \\ {2GL{{\alpha }_{2}}}&{ - 2GL{{\alpha }_{{12}}}}&0&0&0&{ - 2G{{\alpha }_{2}}u}&{2G{{\alpha }_{{12}}}u} \\ { - 2GL{{\alpha }_{{12}}}}&{2GL{{\alpha }_{1}}}&0&0&0&{2G{{\alpha }_{{12}}}u}&{ - 2G{{\alpha }_{1}}u} \end{array}} \right),$

${{B}_{2}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2G{{\alpha }_{2}}v}&{2G{{\alpha }_{{12}}}v}&0&{ - 2G{{\alpha }_{{12}}}}&{2G{{\alpha }_{2}}}&{2GM{{\alpha }_{2}}}&{ - 2GM{{\alpha }_{{12}}}} \\ {2G{{\alpha }_{{12}}}v}&{ - 2G{{\alpha }_{1}}v}&0&{2G{{\alpha }_{1}}}&{ - 2G{{\alpha }_{{12}}}}&{ - 2GM{{\alpha }_{{12}}}}&{2GM{{\alpha }_{1}}} \\ 0&0&{G{\text{'}}\alpha _{2}^{2}v}&{(G{\text{'}}{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{2}} + G)v}&{ - 2G{\text{'}}{{\alpha }_{{12}}}{{\alpha }_{2}}v}&0&0 \\ { - 2G{{\alpha }_{{12}}}}&{2G{{\alpha }_{1}}}&{(G{\text{'}}{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{2}} + G)v}&{G{\text{'}}\alpha _{1}^{2}v}&{ - 2G{\text{'}}{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{{12}}}v}&0&0 \\ {2G{{\alpha }_{2}}}&{ - 2G{{\alpha }_{{12}}}}&{ - 2G{\text{'}}{{\alpha }_{{12}}}{{\alpha }_{2}}v}&{ - 2G{\text{'}}{{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{{12}}}v}&{(4G{\text{'}}\alpha _{{12}}^{2} - 2G)v}&0&0 \\ {2GM{{\alpha }_{2}}}&{ - 2GM{{\alpha }_{{12}}}}&0&0&0&{ - 2G{{\alpha }_{2}}v}&{2G{{\alpha }_{{12}}}v} \\ { - 2GM{{\alpha }_{{12}}}}&{2GM{{\alpha }_{1}}}&0&0&0&{2G{{\alpha }_{{12}}}v}&{ - 2G{{\alpha }_{1}}v} \end{array}} \right),$

Cистемы (4.2), (4.3) симметрические. Положительная (отрицательная) определенность матрицы ${{A}_{0}}$ следует из соответствующей определенности матрицы ${{B}_{0}}$ и наоборот.

В случае отрицательной определенности матрицы ${{B}_{0}}$ из системы (4.3) надо умножить эту систему на $ - 1$. В итоге мы получим симметрическую $t$-гиперболическую систему (по Фридрихсу):

(4.4)

${{\hat {B}}_{0}}{{{\mathbf{U}}}_{t}} + {{\hat {B}}_{1}}{{{\mathbf{U}}}_{x}} + {{\hat {B}}_{2}}{{{\mathbf{U}}}_{y}} - J{\kern 1pt} {\text{*}} \cdot \Gamma = 0,$

где ${{\hat {B}}_{0}} = - {{B}_{0}}$, ${{\hat {B}}_{1}} = - {{B}_{1}}$, ${{\hat {B}}_{2}} = - {{B}_{2}}$.

Также стоит отметить, что при выведении дополнительного закона (3.8) мы ввели произвольные функции $G(D)$ и $F(D)$, и, вообще говоря, сам дополнительный закон определяется не единственным образом. Но в предположении, что выполнены условия $t$-гиперболичности (2.12), условие положительной определенности матрицы ${{\hat {B}}_{0}}$ приводит к следующим ограничениям:

(4.5)

$G > 0,\quad G{\text{'}} < 0,\quad G + 2DG{\text{'}} < 0.$

Условия (4.5) выполнены, например, если $F(D) = lnD$ (см., также, [4]). Тогда имеем

$G = \frac{1}{D} > 0,\quad G{\text{'}} = - \frac{1}{{{{D}^{2}}}} < 0,\quad G + 2DG{\text{'}} = - \frac{1}{D} < 0.$

Таким образом, математическая модель, предложенная в [5] и описывающая течения растворов и расплавов несжимаемых вязкоупругих полимерных сред, приведена к симметрическому $t$-гиперболическому виду. При этом из полной системы (2.1)–(2.7) выделена подсистема (2.3)–(2.7), которая при известном полном МГД давлении $P$ является $t$-гиперболической, что доказано с помощью прямой проверки условий $t$-гиперболичности в разд. 2. Далее с использованием соотношений (2.1) и (2.2) проводится симметризация системы (2.8) (следуя С.К. Годунову). При этом неизбежно возникают громоздкие вычисления, связанные с поиском специальных матриц, которые участвуют в процессе приведения исходной системы к конечному симметрическому виду.

Список литературы

Bambaeva N.V., Blokhin A.M. The t-hyperbolicity of a nonstationary system governing flows of polymeric media // J. of Math. Sci. 2013. V. 188. № 4. P. 333–343.
Пышнограй Г.В., Покровский В.Н., Яновский Ю.Г. и др. Определяющее уравнение нелинейных вязкоупругих (полимерных) сред в нулевом приближении по параметрам молекулярной теории и следствия для сдвига и растяжения // Докл. АН СССР. 1994. Т. 339. № 5. С. 612–615.
Алтухов Ю.А., Пышнограй Г.В. Входные течения в канале 4:1 текучих линейных полимеров // Механика композиционных материалов и конструкций. Издание ИПРИМ РАН. 2001. Т. 7. № 1. С. 16–23.
Bambaeva N.V., Blokhin A.M. Symmetrization of the system of equation governing on incompressible viscoelastic polymeric fluid // J. of Math. Sci. 2014. V. 203. № 4. P. 436–443.
Алтухов Ю.А., Гусев А.С., Пышнограй Г.В. Введение в мезоскопическую теорию текучих полимерных систем. Барнаул: изд. АлтГПА, 2012.
Блохин А.М., Трахинин Ю.Л. Устойчивость сильных разрывов в магнитной гидродинамике и электрогидродинамике. Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.
Ахиезер А.И., Ахиезер И.А. Электромагнетизм и электромагнитные волны. М.: Высш. школа, 1985.
Бамбаева Н.В., Блохин А.М. Стационарные решения уравнений несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. № 5. С. 109–134.
Нордлинг К., Остерман Д. Справочник по физике для ученого и инженера. СПб.: БХВ – Петербург, 2011.
Ши-и Бай. Введение в теорию течения сжимаемой жидкости. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.
Годунов С.К. Уравнения математической физики / Под ред. В.В. Абгарян. М.: Наука, 1979.
Блохин А.М. Интегралы энергии и их приложения к задачам газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1986.
Блохин А.М., Доровский В.Н. Проблемы математического моделирования в теории многоскоростного континуума. Новосибирск: Наука, 1994.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал