Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 5, стр. 873-883
Симметризация мгд уравнений несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости
А. М. Блохин 1, 2, А. Ю. Голдин 2, *
1 Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН
630090 Новосибирск, пр-т Акад. Коптюга, 4, Россия
2 Новосибирский государственный университет
630090 Новосибирск, ул. Пирогова, 1, Россия
* E-mail: goldinandrey@list.ru
Поступила в редакцию 18.07.2019
После доработки 18.07.2019
Принята к публикации 14.01.2020
Аннотация
Рассматриваются уравнения, описывающие течения несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости при наличии магнитного поля. Обсуждается вопрос о симметризации этой системы уравнений. Библ. 13.
1. ВВЕДЕНИЕ
В работах [1], [2] и [3] описывается математическая модель полимерной жидкости. В статье [4] рассматривается вопрос о приведении этой модели к симметрическому виду. Данная работа продолжает изучение уравнений, предложенных в модели, с точки зрения теории дифференциальных уравнений. Проводится симметризация в случае наличия магнитного поля. Также получены условия для $t$-гиперболичности (по Фридрихсу) исследуемой системы, приведены примеры, когда эти условия выполняются. Результаты работы обеспечивают возможность применения развитой теории гиперболических систем уравнений и конструирования специальных численных методов, которые можно будет применить при решении уже сугубо практических задач (см., например, [3]), связанных с течением полимерных сред.
2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Вместо системы уравнений, рассмотренной в [5], [4], изучим теперь магнитогидродинамические уравнения (см., например, монографии [6], [7]). В плоском случае данную реологическую модель в обезразмеренном виде можно записать так (сам процесс обезразмеривания подробно описан в [8]):
(2.3)
$\frac{{d{\mathbf{u}}}}{{dt}} + \nabla P = \frac{1}{{Re}}\operatorname{div} \Pi + {{\sigma }_{m}}\left( {{\mathbf{H}},\nabla } \right){\mathbf{H}},$(2.4)
$\frac{{d{{a}_{{11}}}}}{{dt}} - 2{{A}_{1}}{{u}_{x}} - 2{{a}_{{12}}}{{u}_{y}} + {{\mathcal{L}}_{{11}}} = 0,$(2.5)
$\frac{{d{{a}_{{12}}}}}{{dt}} - {{A}_{1}}{{v}_{x}} - {{A}_{2}}{{u}_{y}} + {{\tilde {K}}_{1}}{{a}_{{12}}} = 0,$(2.6)
$\frac{{d{{a}_{{22}}}}}{{dt}} - 2{{a}_{{12}}}{{v}_{x}} - {{A}_{2}}{{v}_{y}} + {{\mathcal{L}}_{{22}}} = 0,$(2.7)
$\frac{{d{\mathbf{H}}}}{{dt}} - \left( {{\mathbf{H}},\nabla } \right){\mathbf{u}} - {{b}_{m}}{{\Delta }_{{x,y}}}{\mathbf{H}} = 0.$$u,\;v$ – компоненты вектора скорости ${\mathbf{u}}$ в декартовой системе координат $x,\;y$;
$L,\;M$ – компоненты вектора напряженности магнитного поля ${\mathbf{H}}$ в декартовой системе координат;
$P = p + {{\sigma }_{m}}\tfrac{{{{L}^{2}} + {{M}^{2}}}}{2}$ – полное МГД давление;
${{a}_{{ij}}},i,j = 1,2$ – компоненты симметрического тензора анизотропии $\Pi $ второго ранга;
$\tfrac{d}{{dt}} = \tfrac{\partial }{{\partial t}} + ({\mathbf{u}},\nabla )$ – субстанциональная производная;
${{A}_{1}} = {{W}^{{ - 1}}} + {{a}_{{11}}},{{A}_{2}} = {{W}^{{ - 1}}} + {{a}_{{22}}}$;
${{\mathcal{L}}_{{ii}}} = {{K}_{I}}{{a}_{{ii}}} + \beta (a_{{12}}^{2} + a_{{ii}}^{2})$, $i = 1,2$;
${{K}_{I}} = {{W}^{{ - 1}}} + \tfrac{{\bar {k}}}{3}I$, ${{\tilde {K}}_{I}} = {{K}_{I}} + \beta I$;
$I = {{a}_{{11}}} + {{a}_{{22}}}$ – первый инвариант тензора анизотропии $\Pi $;
$\bar {k} = k - \beta $, $k,\;\beta $ $(0 < \beta < 1)$ – скалярные феноменологические параметры реологической модели;
${\text{Re}}$, $W$ – числа Рейнольдса и Вейсенберга;
${{\sigma }_{m}}$ – коэффициент магнитного давления;
${{b}_{m}} = 1{\text{/}}{{\operatorname{Re} }_{m}}$, ${{\operatorname{Re} }_{m}}$ – магнитное число Рейнольдса;
${{\Delta }_{{x,y}}} = \left( {\tfrac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \tfrac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{y}^{2}}}}} \right)$ – оператор Лапласа.
Везде далее для простоты положим ${{\sigma }_{m}} = 1$. Такой выбор коэффициента магнитного давления возможен за счет подбора характерных величин магнитного поля и скорости течения. В случае абсолютной проводимости коэффициент ${{b}_{m}} = 0$ (см. [7], [9]). Подобные условия встречаются при исследовании космических проблем в задачах астрофизики [10]. Тогда уравнения (2.3)–(2.7) можно переписать в виде
гдеРассмотрим вопрос о $t$-гиперболичности системы (2.1)–(2.7) в предположении, что $P$ – известная функция (см. [11] по поводу определения $t$-гиперболичности). Характеристическое уравнение для нее запишется в виде
где ${{I}_{7}}$ – единичная матрица порядка $7$; $\xi ,\eta $ – вещественные числа, не равные нулю одновременно. Раскрывая определитель в левой части, получаем(2.10)
$\begin{gathered} \mathop {\left( {\tau + \xi u + \eta {v}} \right)}\nolimits^3 \left[ {\mathop {\left( {\tau + \xi u + \eta {v}} \right)}\nolimits^4 + \mathop {\left( {\xi L + \eta M} \right)}\nolimits^2 \left( {\frac{{3{{\xi }^{2}}{{A}_{1}}}}{{Re}} + \frac{{3{{\eta }^{2}}{{A}_{2}}}}{{Re}} + \frac{{4\xi \eta {{a}_{{12}}}}}{{Re}}} \right) - } \right. \\ - \;\left( {2\mathop {\left( {\xi L + \eta M} \right)}\nolimits^2 + \frac{{3{{\xi }^{2}}{{A}_{1}}}}{{Re}} + \frac{{3{{\eta }^{2}}{{A}_{2}}}}{{Re}} + \frac{{4\xi \eta {{a}_{{12}}}}}{{Re}}} \right)\mathop {\left( {\tau + \xi u + \eta {v}} \right)}\nolimits^2 + \mathop {\left( {\xi L + \eta M} \right)}\nolimits^4 + \\ + \;\left. {2\frac{{{{\xi }^{3}}{{A}_{1}}}}{{\mathop {\operatorname{Re} }\nolimits^2 }}(\xi {{A}_{1}} + \eta {{a}_{{12}}}) + \frac{{4\xi \eta (\xi {{A}_{1}} + \eta {{a}_{{12}}})(\eta {{A}_{2}} + \xi {{a}_{{12}}})}}{{\mathop {\operatorname{Re} }\nolimits^2 }} + 2\frac{{{{\eta }^{3}}{{A}_{2}}}}{{\mathop {\operatorname{Re} }\nolimits^2 }}(\eta {{A}_{2}} + \xi {{a}_{{12}}})} \right] = 0. \\ \end{gathered} $Используем обозначения ${{\alpha }_{1}} = {{A}_{1}}{\text{/}}\operatorname{Re} $, ${{\alpha }_{2}} = {{A}_{2}}{\text{/}}\operatorname{Re} $, ${{\alpha }_{{12}}} = {{a}_{{12}}}{\text{/}}\operatorname{Re} $ и приведем выражение (2.10) к следующему виду:
(2.11)
$\mathop {\left( {\tau + \xi u + \eta v} \right)}\nolimits^3 [{{\vartheta }^{2}} - (3{{\alpha }_{2}}{{\eta }^{2}} - {{\alpha }_{1}}{{\xi }^{2}})\vartheta - 2{{\alpha }_{2}}{{\eta }^{2}}({{\alpha }_{1}}{{\xi }^{2}} - {{\alpha }_{2}}{{\eta }^{2}})] = 0,$а) $\tau + \xi u + \eta v = 0;$
б) $\mathop {\left( {\tau + \xi u + \eta v} \right)}\nolimits^2 = \mathop {\left( {\xi L + \eta M} \right)}\nolimits^2 + 2({{\alpha }_{1}}{{\xi }^{2}} + {{\alpha }_{{12}}}\xi \eta + {{\alpha }_{2}}{{\eta }^{2}});$
в) $\mathop {\left( {\tau + \xi u + \eta v} \right)}\nolimits^2 = \mathop {\left( {\xi L + \eta M} \right)}\nolimits^2 + {{\alpha }_{1}}{{\xi }^{2}} + 2{{\alpha }_{{12}}}\xi \eta + {{\alpha }_{2}}{{\eta }^{2}}.$
Значит, если матрица
(2.13)
$\begin{array}{*{20}{c}} \tau &{ = - \xi u - \eta v \pm \sqrt {2({{\alpha }_{1}}{{\xi }^{2}} + {{\alpha }_{{12}}}\xi \eta + {{\alpha }_{2}}{{\eta }^{2}})} ,} \\ \tau &{ = - \xi u - \eta v \pm \sqrt {{{\alpha }_{1}}{{\xi }^{2}} + 2{{\alpha }_{{12}}}\xi \eta + {{\alpha }_{2}}{{\eta }^{2}}} } \end{array}$Условия (2.12) $t$-гиперболичности системы (2.8) (ср. с условиями из [1]) проверяются на еe конкретном решении. Заметим также, что знание корней $\tau $ (2.13) и (2.14) характеристического уравнения (2.9) позволяет правильно поставить краевые условия для системы (2.8) в том случае, когда ее решение при каждом $t$ ищется в ограниченной области $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{2}}$.
Теперь с помощью уравнений (2.1), (2.2) систему (2.8) перепишем в виде системы законов сохранения, или в дивергентном виде [8], считая известным полное МГД давление $P$
(2.15)
$\frac{{\partial{ \mathcal{P}}_{i}^{{(0)}}}}{{\partial t}} + \frac{{\partial{ \mathcal{P}}_{i}^{{(1)}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial{ \mathcal{P}}_{i}^{{(2)}}}}{{\partial y}} + {{\Gamma }_{i}} = 0,\quad i = \overline {1,7} .$В следующих двух разделах мы введем дополнительный закон сохранения для системы (2.1)–(2.7) и используем его для приведения к симметрическому виду системы (2.8). Заметим при этом, что симметрическая система также будет $t$-гиперболической (см. [11]) при выполнении условий (2.12).
3. ПОЛУЧЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО (ЭНТРОПИЙНОГО) ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ МГД УРАВНЕНИЙ
Будем искать дополнительный закон сохранения для системы (2.1)–(2.7) в виде
(3.1)
$\frac{{\partial {{\mathcal{P}}^{{(0)}}}}}{{\partial t}} + \frac{{\partial {{\mathcal{P}}^{{(1)}}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{\mathcal{P}}^{{(2)}}}}}{{\partial y}} + \Gamma = 0.$Предположим, что существуют так называемые канонические переменные ${{q}_{i}} = {{q}_{i}}\left( {\mathbf{U}} \right),$ $i = \overline {1,7} ,$ и функции $r = r\left( {\mathbf{U}} \right),\;g = g\left( {\mathbf{U}} \right)$ такие, что верно следующее:
(3.3)
$\begin{gathered} d{{\mathcal{P}}^{{(1)}}} = \sum\limits_{i = 1}^7 \,{{q}_{i}}d\mathcal{P}_{i}^{{(1)}} + rdu + gdL = ud{{\mathcal{P}}^{{(0)}}} + \left\{ {\sum\limits_{i = 1}^7 \,{{q}_{i}}\mathcal{P}_{i}^{{(0)}} - 2{{\alpha }_{1}}{{q}_{3}} - {{\alpha }_{{12}}}{{q}_{5}} - (2{{q}_{3}}L + {{q}_{5}}M + {{q}_{6}})L + r} \right\}du - \\ \, - ({{q}_{1}} + 2u{{q}_{3}} + v{{q}_{5}})d{{\alpha }_{1}} - ({{q}_{2}} + 2v{{q}_{4}} + u{{q}_{5}})d{{\alpha }_{{12}}} - [{{\alpha }_{1}}{{q}_{5}} + 2{{q}_{4}}{{\alpha }_{{12}}} + (2M{{q}_{4}} + {{q}_{5}}L + {{q}_{7}})L]dv - \\ \, - L({{q}_{2}} + 2v{{q}_{4}} + u{{q}_{5}})dM - \{ 2L({{q}_{1}} + 2u{{q}_{3}} + v{{q}_{5}}) + M({{q}_{2}} + 2v{{q}_{4}} + u{{q}_{5}}) + u{{q}_{6}} + v{{q}_{7}} - g\} dL, \\ \end{gathered} $(3.4)
$\begin{gathered} d{{\mathcal{P}}^{{(2)}}}\, = \,\sum\limits_{i = 1}^7 \,{{q}_{i}}d\mathcal{P}_{i}^{{(2)}}\, + \,rdv\, + \,gdM\, = \,vd{{\mathcal{P}}^{{(0)}}}\, + \,\left\{ {\sum\limits_{i = 1}^7 \,{{q}_{i}}\mathcal{P}_{i}^{{(0)}}\, - \,2{{\alpha }_{2}}{{q}_{4}}\, - \,{{\alpha }_{{12}}}{{q}_{5}}\, - \,(2{{q}_{4}}M + {{q}_{5}}L + {{q}_{7}})M + r} \right\}{\kern 1pt} dv\, - \\ \, - \left[ {2{{q}_{3}}{{\alpha }_{{12}}} + {{\alpha }_{2}}{{q}_{5}} + (2L{{q}_{3}} + {{q}_{5}}M + {{q}_{6}})M} \right]du - ({{q}_{1}} + 2u{{q}_{3}} + v{{q}_{5}})d{{\alpha }_{{12}}} - ({{q}_{2}} + 2v{{q}_{4}} + u{{q}_{5}})d{{\alpha }_{2}} - \\ \, - M({{q}_{1}} + 2u{{q}_{3}} + v{{q}_{5}})dL - \left\{ {2M({{q}_{2}} + 2v{{q}_{4}} + u{{q}_{5}}) + L({{q}_{1}} + 2u{{q}_{3}} + v{{q}_{5}}) + u{{q}_{6}} + v{{q}_{7}} - g} \right\}dM, \\ \end{gathered} $(3.5)
$\Gamma = ({{q}_{1}} + 2u{{q}_{3}} + {{q}_{5}}v){{P}_{x}} + ({{q}_{2}} + 2v{{q}_{4}} + {{q}_{5}}u){{P}_{y}} + {{\tilde {K}}_{I}}({{\alpha }_{1}}{{q}_{3}} + {{\alpha }_{2}}{{q}_{4}}) + \pi ({{q}_{3}} + {{q}_{4}}) + {{\tilde {K}}_{I}}{{\alpha }_{{12}}}{{q}_{5}}.$(3.6)
$\begin{gathered} {{q}_{1}} = 2( - u{{\alpha }_{2}} + v{{\alpha }_{{12}}})G,\quad {{q}_{2}} = 2( - v{{\alpha }_{1}} + u{{\alpha }_{{12}}})G,\quad {{q}_{3}} = {{\alpha }_{2}}G,\quad {{q}_{4}} = {{\alpha }_{1}}G, \\ {{q}_{5}} = - 2{{\alpha }_{{12}}}G,\quad {{q}_{6}} = - 2G(L{{\alpha }_{2}} - M{{\alpha }_{{12}}}),\quad {{q}_{7}} = - 2G(M{{\alpha }_{1}} - L{{\alpha }_{{12}}}), \\ g = - 2uG(L{{\alpha }_{2}} - M{{\alpha }_{{12}}}) - 2vG(M{{\alpha }_{1}} - L{{\alpha }_{{12}}}), \\ \end{gathered} $Пусть
(3.7)
${{\mathcal{P}}^{{(0)}}} = \sum\limits_{i = 1}^7 {{{q}_{i}}\mathcal{P}_{i}^{{(0)}} - {{q}_{3}}{{\alpha }_{1}} - {{q}_{4}}{{\alpha }_{2}} - {{q}_{5}}{{\alpha }_{{12}}} + r} .$Поскольку в силу (3.2) и (3.6) из (3.7) следует
Итак, с учетом вышеизложенного получаем, что дополнительный закон (3.1) принимает следующий вид (ср. с дополнительным законом из [4]):
4. СИММЕТРИЗАЦИЯ МГД УРАВНЕНИЙ
Наличие дополнительного нестационарного закона сохранения (3.8) и введенных канонических переменных (3.6) позволяет нам организовать процесс симметризации системы (2.8) (подробности см. в [6], [12] и [13]). При этом учитываются и стационарные законы (2.1), (2.2). После этого процесса, который мы сейчас кратко опишем, исходная система (2.8) будет записана в симметрическом $t$-гиперболическом (по Фридрихсу) виде.
Итак, введем следующие производящие функции $\mathcal{L}$, ${{\mathcal{M}}^{{(1)}}}$, ${{\mathcal{M}}^{{(2)}}}$:
Как видно из [6], [12] и [13], вместо системы (2.8) можно рассмотреть следующую:
(4.1)
$\frac{\partial }{{\partial t}}({{\mathcal{L}}_{{{{q}_{i}}}}}) + \frac{\partial }{{\partial x}}(M_{{{{q}_{i}}}}^{{(1)}} - u{{r}_{{{{q}_{i}}}}} - L{{g}_{{{{q}_{i}}}}}) + \frac{\partial }{{\partial y}}(M_{{{{q}_{i}}}}^{{(2)}} - {v}{{r}_{{{{q}_{i}}}}} - M{{g}_{{{{q}_{i}}}}}) + {{r}_{{{{q}_{i}}}}}\operatorname{div} {\mathbf{u}} + {{g}_{{{{q}_{i}}}}}\operatorname{div} {\mathbf{H}} + {{\Gamma }_{i}} = 0,\quad i = \overline {1,7} ,$(4.2)
${{A}_{0}}{{{\mathbf{Q}}}_{t}} + {{A}_{1}}{{{\mathbf{Q}}}_{x}} + {{A}_{2}}{{{\mathbf{Q}}}_{y}} + \Gamma = 0.$Умножая систему (4.2) слева на матрицу $J{\kern 1pt} {\text{*}}$ и учитывая равенство
перепишем ее в терминах исходных переменных:(4.3)
${{B}_{0}}{{{\mathbf{U}}}_{t}} + {{B}_{1}}{{{\mathbf{U}}}_{x}} + {{B}_{2}}{{{\mathbf{U}}}_{y}} + J{\kern 1pt} {\text{*}}\Gamma = 0,$Cистемы (4.2), (4.3) симметрические. Положительная (отрицательная) определенность матрицы ${{A}_{0}}$ следует из соответствующей определенности матрицы ${{B}_{0}}$ и наоборот.
В случае отрицательной определенности матрицы ${{B}_{0}}$ из системы (4.3) надо умножить эту систему на $ - 1$. В итоге мы получим симметрическую $t$-гиперболическую систему (по Фридрихсу):
(4.4)
${{\hat {B}}_{0}}{{{\mathbf{U}}}_{t}} + {{\hat {B}}_{1}}{{{\mathbf{U}}}_{x}} + {{\hat {B}}_{2}}{{{\mathbf{U}}}_{y}} - J{\kern 1pt} {\text{*}} \cdot \Gamma = 0,$Также стоит отметить, что при выведении дополнительного закона (3.8) мы ввели произвольные функции $G(D)$ и $F(D)$, и, вообще говоря, сам дополнительный закон определяется не единственным образом. Но в предположении, что выполнены условия $t$-гиперболичности (2.12), условие положительной определенности матрицы ${{\hat {B}}_{0}}$ приводит к следующим ограничениям:
Условия (4.5) выполнены, например, если $F(D) = lnD$ (см., также, [4]). Тогда имеемТаким образом, математическая модель, предложенная в [5] и описывающая течения растворов и расплавов несжимаемых вязкоупругих полимерных сред, приведена к симметрическому $t$-гиперболическому виду. При этом из полной системы (2.1)–(2.7) выделена подсистема (2.3)–(2.7), которая при известном полном МГД давлении $P$ является $t$-гиперболической, что доказано с помощью прямой проверки условий $t$-гиперболичности в разд. 2. Далее с использованием соотношений (2.1) и (2.2) проводится симметризация системы (2.8) (следуя С.К. Годунову). При этом неизбежно возникают громоздкие вычисления, связанные с поиском специальных матриц, которые участвуют в процессе приведения исходной системы к конечному симметрическому виду.
Список литературы
Bambaeva N.V., Blokhin A.M. The t-hyperbolicity of a nonstationary system governing flows of polymeric media // J. of Math. Sci. 2013. V. 188. № 4. P. 333–343.
Пышнограй Г.В., Покровский В.Н., Яновский Ю.Г. и др. Определяющее уравнение нелинейных вязкоупругих (полимерных) сред в нулевом приближении по параметрам молекулярной теории и следствия для сдвига и растяжения // Докл. АН СССР. 1994. Т. 339. № 5. С. 612–615.
Алтухов Ю.А., Пышнограй Г.В. Входные течения в канале 4:1 текучих линейных полимеров // Механика композиционных материалов и конструкций. Издание ИПРИМ РАН. 2001. Т. 7. № 1. С. 16–23.
Bambaeva N.V., Blokhin A.M. Symmetrization of the system of equation governing on incompressible viscoelastic polymeric fluid // J. of Math. Sci. 2014. V. 203. № 4. P. 436–443.
Алтухов Ю.А., Гусев А.С., Пышнограй Г.В. Введение в мезоскопическую теорию текучих полимерных систем. Барнаул: изд. АлтГПА, 2012.
Блохин А.М., Трахинин Ю.Л. Устойчивость сильных разрывов в магнитной гидродинамике и электрогидродинамике. Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.
Ахиезер А.И., Ахиезер И.А. Электромагнетизм и электромагнитные волны. М.: Высш. школа, 1985.
Бамбаева Н.В., Блохин А.М. Стационарные решения уравнений несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. № 5. С. 109–134.
Нордлинг К., Остерман Д. Справочник по физике для ученого и инженера. СПб.: БХВ – Петербург, 2011.
Ши-и Бай. Введение в теорию течения сжимаемой жидкости. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.
Годунов С.К. Уравнения математической физики / Под ред. В.В. Абгарян. М.: Наука, 1979.
Блохин А.М. Интегралы энергии и их приложения к задачам газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1986.
Блохин А.М., Доровский В.Н. Проблемы математического моделирования в теории многоскоростного континуума. Новосибирск: Наука, 1994.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Журнал вычислительной математики и математической физики